Clase 9 Introducción al Programa de Matemáticas

3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: LaTeoría de Probabilidades (Clase 9)

Juan D. Vélez

Universidad Nacional

Abril 22, 2013

(Institute) 3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría de Probabilidades (Clase 9)Abril 22, 2013 1 / 32

Falacias en probabilidades

A un hombre lo aterroriza viajar en avión, pero un día se ve obligadoa tomar un vuelo. Al abordar el avión, la azafata y sus vecinos notanque el hombre lleva un zapato rojo y otro azul. Cuando el pasajeronota las risas de sus compañeros de viaje, replica:

Sé que la probabilidad de que un avión se venga a tierra es baja. Peronunca he oído que un avión se estrelle con un pasajero abordo quelleve zapatos de colores diferentes; !la probabilidad ha de ser nula!



Un joven le dice a su novia: tus padres hubiesen podido engendrar223 � 223 = 70, 368, 744, 177, 664 hijos diferentes. Si en el momentode la fecundación tu madre se hubiese movido un milímetro, elespermatozoide "triunfador" hubiese sido otro y tu no existirías.Tampoco estarías aquí si cualquier otro evento, sin importar cuánminúsculo, hubiese cambiado antes de que fueras concebida.Tampoco estarías aquí de haberse roto uno solo de los eslabones deesa cadena in�nita de eventos que llevó a que �nalmente tus padresse enamoraran, se casaran, y luego un día determinado te procrearan.Y lo mismo es cierto para tu padre, para tu madre, tus abuelos, tusbisabuelos, tus tatarabuelos. . .

Luego, mi amor, ¡eres el fenómeno más improbable que haya conocidoen toda mi vida, eres un verdadero milagro viviente!



Un estudio realizado en Canadá mostró que el tamaño del pie estácorrelacionado con una mejor ortografía. Sujetos con pies másgrandes cometieron menos errores de ortografía en una examenrealizado por el Instituto para el desarrollo de la Niñez. ¿Quéexplicación podría haber?

El estudio se realizó en un colegio, desde primero de primaria hasta elgrado once. ¡La razón es evidente!


Pablo y sus dos novias

Pablo tiene dos novias, una que vive en Envigado, Elvira, y otra que viveen Bello, Beatriz. Pablo las quiere por igual, así que cada vez que llega ala estación San Antonio, decide a cuál de las dos visitar, dependiendo delprimer metro que parta hacia uno de los dos destinos: si el primer metroque llega, sale para Bello, entonces visita a Beatriz. Pero si sale haciaEnvigado, decide ir donde Elvira. Los trenes parten puntuales cada diezminutos, con diferencias de un minuto en los horarios:

Envigado Bello12 : 00 12 : 0112 : 10 12 : 1112 : 20 12 : 2112 : 30 12 : 31...

...



¿Cómo se explica que Beatriz viva furiosa con Pablo, por desinteresado,mientras que Elvira está feliz con su cumplido novio?



Si Pablo llega a la estación San Antonio en cualquier hora del día que estépor fuera de la región verde, tomará el metro hacia Envigado, y visitará aElvira solo cuando llegue en la zona verde visitará a Beatriz.


Falacia del votante

En una votación de millones de electores el votante sabe que su vototiene un peso despreciable con respecto al resultado �nal; sinembargo, siente que si deja de votar, su candidato resultaráperjudicado. Cuando se les alega a los votantes �eles que un simplevoto no decide nada y que, por tanto, si de decidir el resultado de lavotación se trata, votar es "botar el tiempo", probablementeargumentarán: �si así pensaran todos, nunca podríamos ganar�. ¿Escorrecto este razonamiento?

No obstante, el condicional "si así pensaran. . . " no tiene validez sinopara una persona que tuviese tal poder de in�uencia en el gruposocial que su decisión de no votar fuese seguida por la mayoría. Y ese,con seguridad, no es el caso del votante anónimo. AlessandroPizzorno, sociólogo de Harvard, cree que esa ilusión del votante sederiva del sentido de responsabilidad y del sentimiento de pertenenciainvolucrados en el acto de votar.


Falacia del votante

El matemático André Weil escribió: �Cuántas veces, también por ejemplocuando comento que nunca voy a votar en las elecciones, se me haobjetado: �Pero si todo el mundo hiciera lo mismo. . . ´ , a lo que suelocontestar que esta eventualidad no me parece lo su�cientemente verosímilpara que me sienta obligado a tenerla en cuenta�.

A Weil


Falacia del votante

Tratemos de precisar los términos de la discusión y veamos que de hechoes posible demostrar con perfecto rigor que votar en una elección en laque, digamos, hay dos candidatos y potencialmente varios millones devotantes es, en efecto, un acto insensato.En primer lugar, un acto A que se realiza con la intención o propósito deque ocurra el suceso B se denominara insensato si satisface las siguientesdos condiciones: i) la probabilidad de que B ocurra como consecuencia deA, que denotaremos por p(A =) B), es muy pequeña. Y, ii) ejecutar Aimplica un cierto costo, que denotaremos por C , no despreciable. Estecosto puede ser monetario, en tiempo, en energía, en recursos, etcétera.


Falacia del votante

Una medida del grado de insensatez de A dependerá obviamente de lamagnitud de p(A =) B) y de C . Un ejemplo posiblemente sirva paraaclarar los términos y para persuadir al lector de que nuestra de�nición esrazonable. A se de�ne como el acto de enviar una carta al Papa parapersuadirlo de que apruebe el matrimonio gay. El costo, C , es escribirlamás los costos de papelería y envío. Este acto es claramente insensato, yaque satisface las dos condiciones (i) y (ii) de nuestra de�nición, porque laprobabilidad de lograr el objetivo es in�nitesimal mientras que el costoinvolucrado no es despreciable.


Falacia del votante

Si aceptamos que esta de�nición de insensatez es razonable, el acto, A, devotar por un candidato cualquiera con el propósito, B, de que éste ganelas elecciones, es insensato, ya que satisface i) y ii). Veamos: laprobabilidad de que B sea una consecuencia de A es la probabilidad de quemi voto cambie el resultado de las elecciones, lo que ocurriría solo dehaber un perfecto empate. La probabilidad, de que esto ocurra, aunquedifícil de estimar (¿quién se atreve a propone un modelo?), es in�nitesimal(tan pequeña como la probabilidad de persuadir al Papa en el ejemploanterior) si tenemos la certeza de que, digamos, al menos un millón depersonas votarán, aunque posiblemente basta saber que cien mil lo harán.La condición ii) también se satisface, ya que el costo aunque pequeño noes nulo: hay que registrar la cédula, ir hasta el lugar de la votación, hacer�la... La conclusión es ineludible: votar es, en consecuencia, un actoinsensato.


Falacia del votante

Otra forma de ver la insensatez que implica votar es �invertir� el orden dela votación, lo que obviamente no alterará el resultado �nal. Supongamosque el día de la votación, el ferviente votante deposita su voto al �nal dela jornada electoral, y una vez se hayan contabilizado los demás votos. Eltotal se mantiene en absoluto secreto y es desconocido, tanto para él comopara el resto de los electores. Una vez depositado su voto, éste se suma alos ya contabilizados y �nalmente se anuncia el ganador. Para depositar elvoto, el votante debe viajar a media noche desde un pueblo vecino hasta lacapital. ¿Votaría el lector en estas circunstancias? Es evidente que votarde último, o a cualquier otra hora del día, es claramente irrelevante.


Probabilidades en medicina

Supongamos que una determinada enfermedad (digamos, el SIDA) tieneuna prevalencia en un determinado grupo humano, de un individuo porcada 10, 000 habitantes. Supongamos además que un determinadoexamen médico, por ejemplo, de sangre, es capaz de detectar laenfermedad con un 99% de con�abilidad, aunque sujeto a un 1% de falsospositivos. Es decir, si un individuo padece la enfermedad, el examen conabsoluta seguridad la detecta. Pero ocurre que, en promedio, uno de cada100 individuos sanos muestra, por error, un resultado positivo en dichoexamen. Un sujeto de dicho grupo, y escogido al azar, y del cuál notenemos ninguna información médica, resulta positivo en ese examen.¿Qué tan probable resulta que sí padezca la enfermedad?La pregunta se realizó entre los mejores médicos egresados de las diezescuelas de medicina más prestigiosas de USA. Solo un puñado de ellosestimó correctamente la probabilidad.



Supongamos que la población en cuestión tiene tamaño N, y denotemospor R el porcentaje de individuos enfermos. Si p = R/100, esto nos diceque en dicha población hay pN enfermos (en el ejemplo anterior,R = 0.01%). Luego el número de individuos sanos esN � pN = N(1� p). Si todos los individuos se sometieran al examenmédico, aquellos enfermos, pN en total, darían positivo en el examen; ydentro la población sana, habría qN(1� p) falsos positivos, dondeq = 0.01. El siguiente diagrama muestra en color verde a los enfermos, yen azul, el conjunto de falsos positivos.



Luego la probabilidad buscada corresponde al cociente de individuos en elcírculo verde dividido por el total de individuos en ambos círculos:

Probabilidad =pN

pN +Nq(1� p)=

pp + q � pq .

En nuestro caso, p = 0.0001, q = 0.01 nos da una probabilidad deaproximadamente 0.01, es decir, de un 1 en 100. Es decir, aunque elexamen es altamente con�able, ¡la probabilidad de estar realmenteenfermo es apenas del 1% !


**El juego del "Agalludo" (complemento que no haceparte de la evaluación)

Dos personas se turnan en el lanzamiento de un dado. En su turno, cadajugador hace una serie de lanzamientos, y va sumando los puntajesobtenidos. En cualquier momento puede decidir que no lanza más, y elpuntaje obtenido se adiciona al total acumulado, el cual se contabiliza enuna tabla. En cualquier momento del juego, y durante el turno de undeterminado jugador, si el dado llegase a caer en 1, entonces el totalacumulado en dicho turno (y solo en este turno) se anula, y el jugadordeberá ceder el dado a su contrincante. Quien primero acumule 100puntos se convierte en el ganador de la partida.¿Cómo jugar este juego de manera óptima? De manera precisa, unaprimera aproximación al problema podría plantearse de la siguientemanera: si cada jugador decide jugar rachas de máximo n lanzamientos,¿cuál sería el puntaje promedio esperado si juega con esta estrategia?¿Cuál sería el valor de n que maximiza dicho puntaje?


**El juego del "Agalludo" (solución)

Llamaremos una secuencia de n lanzamientos, una secuencia "válida", sien ninguno de los lanzamientos el dado cae en el número 1. Estas sonprecisamente las secuencias que le aportan al jugador un puntaje positivodurante su turno. Cada secuencia de lanzamientos, que denotaremos porl = (a1, . . . , an), consiste de una secuencia de enteros (resultados de cadauna de las tiradas del dado), 2 � ai � 6, que aporta una suma igual aσ(l) = a1 + � � �+ a6. Denotemos por Ln el conjunto de todos los posiblessecuencias "válidas" de n lanzamientos. Entonces, en promedio, despuésde 6n posibles juegos (algunos, donde salga en algún lanzamiento elnúmero 1, aportarán suma cero), la suma total obtenida seráSn = ∑

l2Lnσ(l). Es decir, el promedio a la larga será

f (n) =Sn6n



Veamos ahora como computar Sn. En claro queS1 = 2+ 3+ 4+ 5+ 6 = 20. Supongamos conocido el valor de Sn�1.Entonces, por cada n� 1 tupla �ja l = (a1, . . . , an�1) en Ln�1 puedenfabricarse cinco n-tuplas, (l , 2) = (a1, . . . , an�1, 2),(l3, 3) = (a1, . . . , an�1, 3), (l , 4) = (a1, . . . , an�1, 4),(l , 5) = (a1, . . . , an�1, 5) y (l , 6) = (a1, . . . , an�1, 6). De ahí que

Sn = ∑l2Ln�1

σ(l , 2) + σ(l , 3) + σ(l , 4) + σ(l , 5) + σ(l , 6) =

= ∑l2Ln�1

(20+ 5σ(l)) = 5 ∑l2Ln�1

σ(l) + 20� 5n�1

= 5Sn�1 + 20� 5n�1.



De la fórmula anterior obtenemos:

S2 = 5S1 + 20� 51 = 20� 2� 5S3 = 5� (20� 2� 5) + 20� 52 = 20� 3� 52

S4 = 5� (20� 3� 52) + 20� 53 = 20� 4� 53

La fórmula general será entonces Sn = 20� n� 5n�1, y en consecuencia

f (n) =20n5n�1

6n



Gra�quemos ahora la función f (x) = 20x5x�1/6x .



En la grá�ca anterior observamos que el máximo se obtiene entre 5 y6 jugadas (en x ' 5.5) aproximadamente.

Luego, el mejor promedio al jugar "agalludo" se obtiene jugando lamitad de las veces rachas de cinco lanzamientos, y la otra mitad,rachas de 6 lanzamientos.



En la grá�ca anterior observamos que el máximo se obtiene entre 5 y6 jugadas (en x ' 5.5) aproximadamente.Luego, el mejor promedio al jugar "agalludo" se obtiene jugando lamitad de las veces rachas de cinco lanzamientos, y la otra mitad,rachas de 6 lanzamientos.


La aguja de Bu¤on (no hace parte de la evaluación)

Existe un curioso experimento de tipo probabilístico que permite obtenerun valor aproximado del número π. Se conoce con el nombre deexperimento de la aguja de Bu¤on, pues se realiza con una aguja y seatribuye su descubrimiento a George Luis Leclerc, Conde de Bu¤on,naturalista y escritor francés del siglo XVIII.

Bu¤on


La aguja de Bu¤on

El experimento se realiza así: sobre una hoja amplia de cartulina se dibujaun conjunto de rectas paralelas separadas entre sí una distancia �ja D.ahora se lanza, sobre la hoja y al azar, una aguja, también de longitud D,y se anotan tanto el número de lanzamientos, N, como el número decortes, C ; esto es, el número de veces en que la aguja al caer hacecontacto con alguna de las rectas dibujadas. Calculamos luego 2N/C ,cociente que se irá aproximando a π a medida que se aumente el númerode lanzamientos, por lo que su límite, cuando dicho número tienda ain�nito, será precisamente π.


La aguja de Bu¤on

La razón de esto estriba en que la probabilidad de corte, medida de formaaproximada por el cociente C/N, es exactamente 2/π, como veremos acontinuación. Si ahora despejamos π de la igualdad (aproximada)C/N ' 2/π, llegamos a la fórmula π ' 2N/C .En 1901, un matemático italiano de apellido Lazzarini tuvo la pacienciasu�ciente para realizar a mano el experimento 3408 veces y obtuvo, segúnél, 2169 cortes de línea, lo que da para π un valor de 3, 14246196. . . , quecoincide con π hasta la segunda cifra decimal. Como veremos al �nal,dicho resultado es sospechoso.


La aguja de Bu¤on

Suponga que la aguja es un segmento de longitud D = 1, y que ladistancia entre las rectas paralelas es también 1. Entonces cualquierlanzamiento de la aguja equivale en el modelo teórico a �jar dos números:la distancia X (véase �gura siguiente) del extremo izquierdo del segmento(la aguja) a la línea vertical del mismo lado, número que varía entre 0 y 1,y el ángulo a que dicho segmento forma con un eje horizontal y que varíaentre �π/2 y π/2. Ahora bien, para que el segmento corte la línea de laderecha se requiere que la distancia X , más la proyección horizontal delsegmento, esto es, cos a, dé un total mayor o igual que 1. Es decir, queX + cos a � 1, de lo cual se deduce que X � (1� cos a), o, de formaequivalente, que X caiga en el intervalo [1� cos a, 1].


La aguja de Bu¤on

Gra�quemos ahora la función f (z) = 1� cos z , para �π/2 � z � π/2.Pues bien, todos los puntos del rectángulo MNSR, que pertenezcan a laregión A, comprendida entre la curva f (z) y la línea horizontal X = 1(parte sombreada de color verde), corresponden a cortes de la aguja;aquellos situados por debajo de la curva no corresponden a cortes.


La aguja de Bu¤on

Por tanto, la probabilidad de obtener un corte será igual a la relación entreel área A y el área total de R (el área sombreada contiene sólo aquellospuntos que corresponde a posiciones de caída de la aguja en que seproducen cortes), que es igual a π. Pero el área A es igual al área delrectángulo R menos el área bajo la curva f (z), por tanto,

A = π �Z π/2

�π/2(1� cos z)dz = 2.

En consecuencia, la probabilidad de corte será 2/π.


La aguja de Bu¤on

El siguiente programa en Maple simula dicho experimento.El procedimiento r toma como entrada dos números a < b, y genera unnúmero aleatorio entre a y b> r:=proc(a,b)> a+(b-a)*evalf( rand()/10^12 );> end proc:El procedimiento "aguja" toma un entero n y genera iterativamente (nveces) y aleatoriamente, dos reales: w , en el intervalo [�π/2,π/2], y xen [0, 1], los cuales parametrizan una caida de una aguja, con base en x yángulo w . Si 1� cos(w) < x , el porque la aguja corta una de las líneas enel experimento de Bu¤on, y en este caso c se incrementa en una unidad.


La aguja de Bu¤on

El programa aguja(n) retorna una pareja p = c/n y 2/p. Este últimovalor aproxima a π.>aguja:=proc(n)>local c,i,w,x,p;> c:=0;> for i from 1 to n do> w:=r(-Pi/2,Pi/2); x:=r(0,1);> if evalf( 1-cos(w)< x ) then> c:=c+1; end if;> end do;> p:=evalf(c/n);> [p, 2/p];> end proc:


La aguja de Bu¤on

Con 10000 lanzamientos se obtiene una aproximación para π igual a3.129. Con el número de lanzamientos supuestamente realizado porLazzarini, 3408, se obtiene la aproximación 3.192. Para obtener la segundacifra decimal de π, se necesitan más de 100, 000 tiradas(aguja(100000) = 3.149). ¿Mintió Lazzarini?


Probabilidad y mecánica cuántica (Anexo)

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