Clase de la semana 7
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Semana 7 Energía mecánica y su conservación Energía potencial gravitatoria y elástica. Fuerzas conservativas y no conservativas. Conservación de la energía mecánica.
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Ley de conservación de la energía mecánica
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Semana 7
Energía mecánica y su conservación
Energía potencial gravitatoria y elástica. Fuerzas conservativas y no conservativas. Conservación de la energía mecánica.
21/04/10 Yuri Milachay 2
Energía potencial gravitatoria U Es la energía asociada a la capacidad que tiene el peso de realizar
trabajo por la posición relativa del cuerpo en un campo gravitatorio.
1
2
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Energía potencial gravitatoria U El trabajo realizado por el peso
mientras el cuerpo se traslada desde y1
hasta y2.
El trabajo del peso puede expresarse en términos de mgy.
El producto mgy recibe el nombre de energía potencial gravitatoria.
∫ −=−=→
2
12121 mgymgymgdyW
)ymg(yW 12peso −−=
)ymg(yW 21peso −=
y1m
wg
PE m g y=
Nivel de referencia
y2
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Energía potencial gravitatoria U La energía potencial sólo tiene
sentido cuando se establece un nivel de referencia.
El nivel de referencia es arbitrario.
El valor de la energía potencial depende del nivel de referencia y de la masa del cuerpo.
1 2W U U U= − = −∆
Dada la expresión del trabajo,
El signo negativo de ∆U implica que cuando la energía potencial del cuerpo aumenta, el trabajo realizado por el peso es negativo.
Y viceversa, cuando la energía potencial del cuerpo disminuye, el trabajo realizado por el peso es positivo.
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Conservación de la energía mecánica (I) La expresión del trabajo en función
de la energía cinética para el caso de un bloque que se mueve por acción de la gravedad es
Por otro lado, ese mismo trabajo se escribirá como:
Igualando la expresión del trabajo,
k2 k1W E E= −
1 2W U U= −
k2 k1 1 2E E U U− = −
k2 2 k1 1E U E U+ = +
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Se define la energía mecánica como la suma de la energía cinética de un cuerpo mas su energía potencial.
Si sólo la fuerza de gravedad efectúa trabajo, la energía mecánica total es constante, es decir, se conserva
El peso es una fuerza conservativa
Ejercicio. Desde el piso se lanza un proyectil de 4,00 kg de masa en dirección vertical hacia arriba con una rapidez de 29,43 m/s.
Escriba las ecuaciones de su movimiento y(t) y vy(t).
b) Calcule y(m), vy(m/s), K, U, K+U en t = 0 s, 2,00 s y 4,00 s
1,73x1031538192-9,8139,24,00
1,73x10315381929,8139,22,00
1,73x1030,00172929,40,000,00
K+UUKvy(m/s)y(m)t(s)
mec kE E U= +
Conservación de la energía mecánica (I)
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Energía potencial elástica
La fuerza del resorte siempre se opone al movimiento del bloque mostrado (FR=-kx)
Trabajo realizado por el resorte:
2
1
x
resorte
x
W kxdx= −∫2 22 1
resorte
x xW (k k )
2 2= − −
2
kxU
2
R =
Energía potencial elástica
resorte R1 R2W U U= −
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Conservación de la energía mecánica (II) La expresión del trabajo en función
de la energía cinética para el caso de un bloque que se mueve por acción del resorte es
Por otro lado, ese mismo trabajo se escribirá como:
Igualando la expresión del trabajo,
k2 k1W E E= −
R1 R 2W U U= −
k2 k1 R1 R 2E E U U− = −
k2 R 2 k1 R1E U E U+ = +
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Conservación de la energía mecánica (III)
En el caso de que el aporte en la energía se dé por la presencia de resortes y por el movimiento en el campo gravitatorio, la expresión general de la ley de conservación de la energía mecánica sería:
k2 2 R 2 k1 1 R1E U U E U U+ + = + +
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En un puesto de carga un paquete de 0,200 kg de masa se suelta del reposo en el punto A de una vía que forma un cuarto de circulo con radio de 1,60 metros. El paquete es tan pequeño relativo a dicho radio que puede tratarse como partícula.
El paquete se desliza por la vía y llega al punto B con rapidez de 4,80 m/s . A partir de ahí, el paquete se desliza 3,00 m sobre una superficie horizontal hasta el punto C, donde se detiene. a) ¿Qué coeficiente de fricción cinética tiene la superficie horizontal. b) ¿Cuánto trabajo realiza la fricción sobre el paquete al deslizarse éste por el arco circular entre A y B?
Solución: Cualquiera que sea el punto donde se
analice al bloque, actuarán sobre él tres fuerzas: peso, normal y la fricción.
De estas tres fuerzas, solo el peso es conservativa, la fricción y la normal son fuerzas no conservativas.
Aplicamos el teorema de trabajo y energía entre B y C.
Ejercicio
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Un carrito (m = 50,0 kg) de un juego de un parque de diversiones rueda sin fricción por la vía de la figura, partiendo del reposo en A a una altura h sobre la base del rizo. Trate el carrito como partícula. Si h = 3,50R y R = 20,0 m, calcule: La rapidez del carrito al pasar por el
punto B. El valor de la fuerza normal sobre el
carrito al pasar por B.
Ejercicio Solución Como se desprecia el rozamiento, en
cualquier punto en donde se analice las fuerzas sobre el carrito, obtendremos dos fuerzas: el peso y la normal. El peso es una fuerza conservativa y la normal es no conservativa.
Aplicamos el teorema de trabajo y energía entre A y B
FNC B A
normal
W E E
W
= −
B A
A B
E E
E E
m
= −
=
( )A
1gh m
2= 2
Bv m+ Bgh
mB sv 24,3=
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Ejercicio Una mujer que pesa 600 N se sube a una báscula que contiene un resorte rígido. En equilibrio, el resorte se comprime 1,0 cm bajo su peso. Calcule la constante del resorte y el trabajo total efectuado por el resorte durante la compresión.Solución:Con las coordenadas escogidas, x = -1,0 cm = -0,010 m y dado que la fuerza es Fx = -600 N, entonces:
Ahora, usando x1 = 0 y x2 = -0,010 m, tenemos:
N/m106,0x
Fk 4R ×==
2 2R i f
1 1W kx kx 3,0J
2 2= − = −
Un bloque de 0.50 kg se empuja contra un resorte horizontal de masa despreciable, comprimiéndolo 0,20 m (ver figura). Al soltarse, el bloque se mueve 1,00 m sobre una mesa horizontal antes de detenerse. La constante del resorte es k = 100 N/m.
Calcule la energía mecánica inicial y final.
Calcule el coeficiente de fricción cinética µk entre el bloque y la mesa.
k =100 N/m
m = 0,50 kg
0,20 m
1,00 m
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Ejercicio
La vagoneta de una montaña rusa de masa m = 1 500 kg parte de un punto situado a una altura H = 23,0 m respecto de la parte más baja de un riso de 15,0 m de diámetro (ver figura). Si el rozamiento es despreciable, determinar la fuerza normal debajo de los carriles sobre la vagoneta cuando los pasajeros están cabeza abajo en el punto más alto del rizo.
Solución En el punto más alto del rizo.
Aplicamos el teorema de trabajo y energía entre A y B
Luego,
2
n
vF mg m
R+ =
2
2
1mgH mv mg2R
2mv H
2mg 2R R
= +
= −
4n
2HF mg 5 1,67x10 N
R = − =
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Ejercicio Un objeto de 3,00 kg en reposo se deja libre a una altura de 5,00 m sobre
una rampa curva y sin rozamiento. Al pie de la rampa hay un muelle cuya constante es k = 400 N/m. El objeto se desliza por la rampa y choca contra el muelle, comprimiéndolo una distancia x antes de alcanzar momentáneamente el reposo. (a) Determinar x (b) Que ocurre con el objeto después de alcanzar el reposo.
