Clase de Pierre Gy

La Teoría de Muestreo de La Teoría de Muestreo de Pierre GyPierre Gy

Fundamentos – Descomposición Fundamentos – Descomposición de los erroresde los errores

La Teoría de Muestreo de P. Gy se basa en la La Teoría de Muestreo de P. Gy se basa en la descomposición del error totaldescomposición del error total considerando que el considerando que el muestreo se realiza en diversas etapas y separando el muestreo se realiza en diversas etapas y separando el error en las etapas de muestreo del error de análisis:error en las etapas de muestreo del error de análisis:

OE (overall error) error totalOE (overall error) error total TE (total sampling error) error total en las etapas de muestreoTE (total sampling error) error total en las etapas de muestreo AE (analytical error) error analíticoAE (analytical error) error analítico

AETEOE


Como el muestreo involucra diversas etapas, el error total Como el muestreo involucra diversas etapas, el error total en las etapas de muestreo puede dividirse en una suma de en las etapas de muestreo puede dividirse en una suma de los errores parciales, cada uno de ellos compuesto por un los errores parciales, cada uno de ellos compuesto por un error de preparación error de preparación y uno de y uno de selecciónselección::

PEPEii error de preparación (p.ej. chancado) error de preparación (p.ej. chancado)

SESEii error de selección (p.ej. división de la muestra) error de selección (p.ej. división de la muestra)

i

i AETEOE

iii SEPETE

i

ii AESEPEOE )(


La teoría se construye considerando dos modelos:La teoría se construye considerando dos modelos: Modelo de selección continuoModelo de selección continuo Modelo de selección discretoModelo de selección discreto

El El modelo de selección continuomodelo de selección continuo considera el muestreo de material considera el muestreo de material como si fuera un flujo unidimensional continuo y permite resolver el como si fuera un flujo unidimensional continuo y permite resolver el problema de manera simpleproblema de manera simple

El material se caracteriza por:El material se caracteriza por: El El contenido críticocontenido crítico en un tiempo dado en un tiempo dado El El flujoflujo de material en un tiempo dado de material en un tiempo dado

En este modelo se define el error como la suma de una componente En este modelo se define el error como la suma de una componente que mide el contenido crítico y otra que mide el flujo:que mide el contenido crítico y otra que mide el flujo:

CE error de selección continuaCE error de selección continua QE error en contenido críticoQE error en contenido crítico WE error en medición del flujo (weighting error)WE error en medición del flujo (weighting error)

)(ta

)(t

WEQECE


El error en el contenido crítico puede a su vez El error en el contenido crítico puede a su vez descomponerse en la suma de tres errores:descomponerse en la suma de tres errores:

QEQE11 error de fluctuación de corto alcance error de fluctuación de corto alcance

QEQE22 error de fluctuación de largo alcance no periódica error de fluctuación de largo alcance no periódica

QEQE33 error de fluctuación periódica error de fluctuación periódica

Recordando que el modelo de selección continuo Recordando que el modelo de selección continuo considera el problema de seleccionar puntos en el eje considera el problema de seleccionar puntos en el eje temporal, es necesario relacionarlo con la realidad, temporal, es necesario relacionarlo con la realidad, donde se cuenta con fragmentos o grupos de donde se cuenta con fragmentos o grupos de fragmentos (discreta).fragmentos (discreta).

321 QEQEQEQE


Al pasar al modelo discreto se encuentra además que Al pasar al modelo discreto se encuentra además que el muestreo se ve afectado por un error de el muestreo se ve afectado por un error de materialización:materialización:

Este error de materialización se compone de un error Este error de materialización se compone de un error de delimitación y otro de extracción del incremento. de delimitación y otro de extracción del incremento. Así:Así:

QEQE11 error de fluctuación de corto alcance error de fluctuación de corto alcance QEQE22 error de fluctuación de largo alcance no periódica error de fluctuación de largo alcance no periódica QEQE33 error de fluctuación periódica error de fluctuación periódica WE error en medición del flujo (weighting error)WE error en medición del flujo (weighting error) DE error de delimitación del incrementoDE error de delimitación del incremento EE error de extracción del incrementoEE error de extracción del incremento

MECESE

EEDEWEQEQEQESE 321


Finalmente, el modelo de selección discreto identifica el lote L con un Finalmente, el modelo de selección discreto identifica el lote L con un grupo discreto de unidades (pueden ser partículas individuales o grupo discreto de unidades (pueden ser partículas individuales o grupos de partículas).grupos de partículas).

Se definen por esta razón, la heterogeneidad de constitución y de Se definen por esta razón, la heterogeneidad de constitución y de distribución del lote:distribución del lote: CHCHLL heterogeneidad de constituciónheterogeneidad de constitución del lote: se debe a las propiedades del lote: se debe a las propiedades

intrínsecas de la población de partículas individualesintrínsecas de la población de partículas individuales DHDHLL heterogeneidad de distribuciónheterogeneidad de distribución del lote: se debe a la distribución del lote: se debe a la distribución

espacial de las partículas (y grupos de partículas) en el loteespacial de las partículas (y grupos de partículas) en el lote

El modelo de selección discreto puede relacionarse con el modelo El modelo de selección discreto puede relacionarse con el modelo continuo al nivel del error de fluctuación de pequeño alcance:continuo al nivel del error de fluctuación de pequeño alcance:

FE error fundamentalFE error fundamental GE error de agrupamiento y segregaciónGE error de agrupamiento y segregación

GEFEQE 1


En resumen, el error total se obtiene como:En resumen, el error total se obtiene como:

PEPEii error de preparación de la etapa i error de preparación de la etapa i QEQE1i1i error de fluctuación de corto alcance error de fluctuación de corto alcance QEQE2i2i error de fluctuación de largo alcance no periódica error de fluctuación de largo alcance no periódica QEQE3i3i error de fluctuación periódica error de fluctuación periódica WEWEii error en medición del flujo (weighting error) error en medición del flujo (weighting error) DEDEii error de delimitación del incremento error de delimitación del incremento EEEEii error de extracción del incremento error de extracción del incremento FEFEii error fundamental de la etapa i error fundamental de la etapa i GEGEii error de agrupamiento y segregación de la etapa i error de agrupamiento y segregación de la etapa i AE error analíticoAE error analítico

iiiiiiiii

iiiiiiii

iii

AEEEDEWEQEQEGEFEPEOE

AEEEDEWEQEQEQEPEOE

AESEPEOE

)(

)(

)(

32

321

El Error Fundamental (FE)El Error Fundamental (FE)

Definición matemáticaDefinición matemáticaCuantificaciónCuantificación

Error fundamental, FEError fundamental, FE Corresponde al Corresponde al mínimo error de muestreomínimo error de muestreo que se tendría que se tendría

si se seleccionara cada fragmento o partícula si se seleccionara cada fragmento o partícula aleatoriamente, una a la vez. aleatoriamente, una a la vez.

Para un determinado peso de muestra, el FE es el mínimo Para un determinado peso de muestra, el FE es el mínimo error de muestreo que existiría si el protocolo de muestreo error de muestreo que existiría si el protocolo de muestreo fuera implementado de manera perfecta. Por lo tanto, para fuera implementado de manera perfecta. Por lo tanto, para un estado dado de conminución y un determinado peso de un estado dado de conminución y un determinado peso de la muestra, el FE es el menor error posible. la muestra, el FE es el menor error posible.

A pequeña escala, la heterogeneidad de constitución es A pequeña escala, la heterogeneidad de constitución es responsable del error fundamental. responsable del error fundamental.

El FE puede ser pequeño para constituyentes mayores y El FE puede ser pequeño para constituyentes mayores y materiales finos, pero puede ser abrumador para materiales finos, pero puede ser abrumador para constituyentes menores.constituyentes menores.

Mezclando y homogeneizando el lote no reducirá el FE.Mezclando y homogeneizando el lote no reducirá el FE.

HeterogeneidadHeterogeneidad

Corresponde a la variabilidad encontrada en una Corresponde a la variabilidad encontrada en una población estadística y puede dividirse en:población estadística y puede dividirse en: Heterogeneidad de constituciónHeterogeneidad de constitución (CH): Cada partícula del (CH): Cada partícula del

lote tiene un contenido crítico diferente. lote tiene un contenido crítico diferente. Heterogeneidad de distribuciónHeterogeneidad de distribución (DH): Consiste en las (DH): Consiste en las

diferencias observadas de un grupo de fragmentos o diferencias observadas de un grupo de fragmentos o partículas (incremento) a otro. partículas (incremento) a otro.

Variabilidad se debe a tres factores: Variabilidad se debe a tres factores: La heterogeneidad de constituciónLa heterogeneidad de constitución La distribución espacial de los constituyentes o estado de La distribución espacial de los constituyentes o estado de

segregaciónsegregación La forma del lote que junto a la presencia de la gravedad es La forma del lote que junto a la presencia de la gravedad es

responsable de la segregación.responsable de la segregación.

HeterogeneidadHeterogeneidad CH: Diferencias entre CH: Diferencias entre

fragmentosfragmentos DH: Diferencias entre DH: Diferencias entre

grupos de fragmentosgrupos de fragmentos Si todos los fragmentos Si todos los fragmentos

fueran iguales en forma y fueran iguales en forma y contenido (CH=0), entonces contenido (CH=0), entonces no habría DH: cualquier no habría DH: cualquier grupo de fragmentos de grupo de fragmentos de igual tamaño sería idéntico. igual tamaño sería idéntico.

CH

DH

Cálculo del error Cálculo del error fundamentalfundamental

Definición matemática de la CHDefinición matemática de la CH

Definición matemática de la CHDefinición matemática de la CH

Heterogeneidad de un fragmento con respecto Heterogeneidad de un fragmento con respecto al lote: diferencia en contenido del constituyente al lote: diferencia en contenido del constituyente crítico del fragmento respecto al lote crítico del fragmento respecto al lote estandarizada:estandarizada:

heterogeneidad del fragmento en el loteheterogeneidad del fragmento en el lote contenido crítico del fragmentocontenido crítico del fragmento contenido crítico del lotecontenido crítico del lote

L

Lii a

aah

)(

ih

ia

La

Considerar el efecto de la masa:Considerar el efecto de la masa:

masa del fragmentomasa del fragmento masa del lotemasa del lote masa media de fragmentos en el lotemasa media de fragmentos en el lote número de fragmentos en el lotenúmero de fragmentos en el lote

L

i

L

LiF

i

i

L

Lii M

M

a

aaN

M

M

a

aah

)()(

iM

LM

iM

FN

Valor esperado de es cero.Valor esperado de es cero.Varianza:Varianza:

Difícil de calcular. Difícil de calcular.

ih

L

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L

LiF

N

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i

L

LiF

F

ii

CHM

M

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M

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hEhEhVAR

F

F

i

1

2

1

2

22

)(

)(1

}){(}{)(

Heterogeneidad intrínseca del loteHeterogeneidad intrínseca del lote

Definición: Definición: Heterogeneidad intrínseca del loteHeterogeneidad intrínseca del lote

Además:Además: Existe fuerte correlación entre y su densidadExiste fuerte correlación entre y su densidad Existe muy baja correlación entre y su tamañoExiste muy baja correlación entre y su tamaño

LIH

FN

i L

i

L

Li

F

LLL M

M

a

aa

N

MCHIH

1

2

2

2)(

ia

ia

Considerando el lote como un conjunto de fracciones separadas por Considerando el lote como un conjunto de fracciones separadas por rangos de tamaños y densidades, indexados respectivamente por rangos de tamaños y densidades, indexados respectivamente por

y y ::

Definiendo Definiendo el fragmento medio de una fracción (o lote) el fragmento medio de una fracción (o lote) y y su volumen (sólo depende del tamaño)su volumen (sólo depende del tamaño) su densidadsu densidad su masa (depende del tamaño y de la densidad)su masa (depende del tamaño y de la densidad) su contenido críticosu contenido crítico es el número de fragmentos en la fracción es el número de fragmentos en la fracción es la masa de la fracciónes la masa de la fracción

L

F

L

LN

i L

i

L

LiL M

M

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aaN

M

M

a

aaIH

F2

2

2

1

2

2

2 )()(

V

F L

VM F

a

N

LM

Equivalentemente:Equivalentemente:

Puede calcularse en laboratorio o aproximarse:Puede calcularse en laboratorio o aproximarse: varía más entre fracciones de densidad que varía más entre fracciones de densidad que

entre fracciones de tamaño entre fracciones de tamaño contenido crítico contenido crítico medio de la fracción de densidad medio de la fracción de densidad

varía poco de una fracción de densidad a varía poco de una fracción de densidad a otra:otra:

valor medio en una fracción de valor medio en una fracción de tamaño tamaño

En consecuencia: En consecuencia:

L

L

L

L

L

LF

L

LL M

M

a

aaV

M

MM

a

aaIH 2

2

2

2 )()(

a

aa

L

LL MM /

L

L

L

L

M

M

M

M

L

LL

L M

MMM

Heterogeneidad intrínseca queda:Heterogeneidad intrínseca queda:

Para simplificar esta expresión se definen una Para simplificar esta expresión se definen una serie de factores.serie de factores.

YXM

M

a

aa

M

MVIH

L

L

L

L

L

LL

2

2)(

Factor de formaFactor de forma Mide la desviación de la forma de las partículas respecto Mide la desviación de la forma de las partículas respecto

a un cubo.a un cubo.

Volumen de la partícula se escribe: Volumen de la partícula se escribe:

Entonces:Entonces:

es constante para fracciones de tamaño:es constante para fracciones de tamaño:

f

3 dfV

L

L

L

L

M

Mdf

M

MVX

3

L

L

M

MdfX

3

f

Factor granulométricoFactor granulométrico

Mide la distribución granulométrica de las Mide la distribución granulométrica de las partículas.partículas. Material no calibrado (chancado): Material no calibrado (chancado): Material calibrado (entre dos mallas): Material calibrado (entre dos mallas): Material naturalmente calibrado: Material naturalmente calibrado:

Se escribe:Se escribe:

g

25.0g

55.0g

75.0g

3

3

dgfM

MdfX

L

L

Factor mineralógicoFactor mineralógico

Dos extremos de Dos extremos de : : En el caso de material homogéneo: En el caso de material homogéneo: En el caso de material liberado (máxima En el caso de material liberado (máxima

heterogeneidad de constitución): heterogeneidad de constitución):

El factor mineralógico se define como el valor El factor mineralógico se define como el valor de de en el caso de liberación. en el caso de liberación.

m

Y0Y

maxYY c

Ym

YXM

M

a

aa

M

MVIH

Y

L

L

L

L

X

L

LL

2

2)(


Mineral liberado : Mineral liberado : Densidad: Densidad: Contenido crítico: Contenido crítico: Masa: Masa:

Ganga, Ganga, : : Densidad: Densidad: Contenido crítico: Contenido crítico: Masa: Masa:

L

M

gM

ML M

M

MM

Ma

ML

M

1Ma

MM

gL

g

0ga

gM

m


se escribe:se escribe:

Si Si Si Si

L

ML

L

LgL

L

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L

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Lgg

L

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L

LMM

L

L

L

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M

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aa

a

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M

M

a

aa

M

M

a

aa

M

M

a

aaY

)()0()1(

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2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

max

)1()1( 2

LgL

LM a

a

am

Y

L

ML a

ma 1.0

gLL ama )1(9.0

m

Factor de liberaciónFactor de liberación

Permite escribir Permite escribir , con , con . . Mide el grado de liberación del mineral. Mide el grado de liberación del mineral.

Material muy homogéneo: Material muy homogéneo: Material homogéneo: Material homogéneo: Material medio: Material medio: Material heterogéneo: Material heterogéneo: Material muy heterogéneo: Material muy heterogéneo:

Dos métodos para estimar este factor:Dos métodos para estimar este factor: Basado en tamaño de liberación del componente crítico.Basado en tamaño de liberación del componente crítico. Basado en la mineralogía del material.Basado en la mineralogía del material.

l

mlY 10 l

05.0l

1.0l

2.0l

4.0l

8.0l

Método basado en tamaño de liberación Método basado en tamaño de liberación

del componente críticodel componente crítico

el tamaño nominal de los fragmentos del loteel tamaño nominal de los fragmentos del lote el tamaño de liberación del materialel tamaño de liberación del material parámetro a determinarparámetro a determinar

Se define el factor de liberación como:Se define el factor de liberación como: con con

Generalmente, Generalmente, Método relativamente nuevo y no hay resultados Método relativamente nuevo y no hay resultados

experimentales suficientes para determinar el parámetro experimentales suficientes para determinar el parámetro libre .libre .

d

ld

b

bl

d

dl

5.0b

ddlb l 5.0

b

El tamaño de liberación dl se define como d95 para el cual el 95% del constituyente de interés está liberado.

Método basado en la mineralogía Método basado en la mineralogía del materialdel material

el contenido crítico del loteel contenido crítico del lote el contenido crítico del fragmento más el contenido crítico del fragmento más

grande del lotegrande del lote

Se define el factor de liberación como:Se define el factor de liberación como:

L

L

a

aal

1max

La

maxa

ResumenResumen

Heterogeneidad intrínseca del lote se expresa como:Heterogeneidad intrínseca del lote se expresa como:

donde: donde: es el factor mineralógico (gr/cm3)es el factor mineralógico (gr/cm3) es el factor de liberación (adimensional)es el factor de liberación (adimensional) es el factor de forma (adimensional)es el factor de forma (adimensional) es el factor granulométrico (adimensional)es el factor granulométrico (adimensional) es el tamaño de fragmento nominal (cm)es el tamaño de fragmento nominal (cm)

se mide en gramosse mide en gramos La heterogeneidad intrínseca relaciona el error La heterogeneidad intrínseca relaciona el error

fundamental (FE) con la masa de las muestras.fundamental (FE) con la masa de las muestras.

3dlmgfIH L

m

l

f

g

d

LIH

Recordando que:Recordando que:

Se puede demostrar:Se puede demostrar: Media del error fundamental es despreciableMedia del error fundamental es despreciable Varianza puede expresarse como:Varianza puede expresarse como:

es la probabilidad de seleccionar cualquier muestra en es la probabilidad de seleccionar cualquier muestra en lotelote

Constante de Constante de

MuestreoMuestreo

F

L

L

LFE N

CH

P

P

M

IH

P

P

112

P

LS MPM

3

32

11

1111

dCMM

dlcgfMM

IHMM

LS

LSL

LSFE

lmgfC dCK

F

LLL N

MCHIH

Ecuación de Pierre GyEcuación de Pierre Gy

Varianza del error fundamentalVarianza del error fundamental

concon

MMSS = masa de la muestra en gramos = masa de la muestra en gramos

MMLL= masa del lote en gramos= masa del lote en gramos

d = diámetro (dd = diámetro (d9595) de partículas en cm) de partículas en cmC = constante de muestreo en g/cmC = constante de muestreo en g/cm33, ,

depende de ddepende de d

32 11dC

MM LSFE

lmgfC

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