Clase E5

La ley de Ohm, o el movimiento de cargas en un “medio viscoso”

Iones pequeños y grandes y la velocidad de conducción.

++++++

-------

+

-

En la atmósfera existen otros iones mucho mas grandes llamados “nucleos”, que resultan de iones liquidos (sales) del mar que se evaporan. Estos iones tienen mucha menos movilidad y por lo tanto generan, con el mismo campo, corrientes menores.

Veremos que esta regla de proporcionalidad entre un campo aplicado (o una diferencia de potencial) y la corriente inducida es un hecho empírico en una gran cantidad de medios, y define otra propiedad (geométrica y material, como la capacidad), llamada RESISTENCIA.

El movimiento de cargas dentro de un dieléctrico: una rareza no tan rara (o al menos conocida)

++++++

-------

-

-

-

++

Los iones por radiación conforman pequeñas estructuras con gran movilidad dentro del aire,

por lo que la corriente es grande.

Siguiendo las leyes de la mecánica, en un campo constante, la velocidad de una partícula debería (o debiera, o debiese...) aumentar con el tiempo,

ya que la aceleración es constante.

Velocidad constante en un campo de fuerza es la huella digital, la presencia in vitus motus, de un proceso disipativo. La Ley de Ohm, pues

(que es un hecho empírico) no es mucho mas que decir que las cargas en un dieléctrico se mueven “como si” estuviesen en un medio viscoso.

Disipación en un medio denso como un máximo de la velocidad sin choque (o mas bien, como la velocidad que optimiza el tiempo, incluidos los

choques)++++++

-------

++

La base molecular de la disipación tiene muchas versiones según el problema. Pero en general, un factor común, es que el impulso ordenado

(la aceleración en dirección del campo) se pierde en energía cinética desordenada (choques con otras partículas). Al aumentar la velocidad

aumenta la probabilidad de choque y por lo tanto la perdida de energía. La disipación (viscosidad o resistencia) tiene que ver entonces con el rango de libertad (probabilidad de avanzar sin colisiones de las partículas en el

medio)

vt

PtvdchoqueP m

)(

La Ley de Ohm (uno que no tiene billete)

-

-

-

++

La corriente es proporcional al voltaje (lo cual, en este caso es lo mismo que decir que la velocidad es proporcional a la fuerza)

RIV V

La familia de objetos crece:

RIV

LA RESISTENCIA (por ahora un pistón), un amortiguador de corriente.

+

+

+

-

--

+

+

+

-

--

EL CAPACITOR: Tiene el potencial de acumular carga, una fuerza proporcional a la carga y una energía proporcional a la carga al

cuadrado ... empieza a parece a un resorte (aunque todavía no lo hemos visto oscilar)

VCQ

La familia de objetos crece:

RIV

LA RESISTENCIA (por ahora un pistón), un amortiguador de corriente.

+

+

+

-

--

+

+

+

-

--

EL CAPACITOR: Tiene el potencial de acumular carga y por lo tanto se parece a un

resorte (aunque todavía no lo hemos visto oscilar)

VCQ dt

dQI

La corriente es precisamente el cambio de carga en una unidad de tiempo. Por lo tanto, los dos objetos básicos quedan relacionados por una ecuación diferencial. De paso,

cambiando la carga (q) por la posición (x) y por lo tanto la corriente (I) por la velocidad (v) cada objeto mantiene su identidad (resistencia – piston, capacitor – resorte)

Como se descarga un capacitor?

RIV +

+

+

-

--

+

+

+

-

--

VCQ dt

dQI

Q dQR

C dt

Q dQ

RC dt

¿Cual es la energía disipada en una resistencia?

RIV

El cambio de la carga es proporcional a la corriente

y el tiempoVqU

Asumiremos que la contribución debido a la energía cinética es despreciable.En tal caso, la energía potencial perdida se ha disipado enteramente, con lo cual, la

energía disipada es igual al cambio de energía potencial

Itq De donde:

La misma relación de siempre La corriente, el ritmo de cambio de la carga


RIV

El cambio de la carga es proporcional a la corriente

y el tiempoVqU

Asumiremos que la contribución debido a la energía cinética es despreciable.En tal caso, la energía potencial perdida se ha disipado enteramente, con lo cual, la

energía disipada es igual al cambio de energía potencial

Itq De donde:

R

VRIVI

t

UVItU

22


RIV

R

VRIVI

t

U 22

Tres maneras de medir la disipación del campo (las tres equivalentes y las tres entendibles...)

La tasa de flujo de Cargas * La energía disipada en cada carga transportada

Fija la corriente, cuanto mayor es la resistencia mas se disipaEn general la resistencia y la corriente están relacionadas.


RIV

R

VRIVI

t

U 22

Tres maneras de medir la disipación del campo (las tres equivalentes y las tres entendibles...)

La tasa de flujo de Cargas * La energía disipada en cada carga transportada

Fija la corriente, cuanto mayor es la resistencia mas se disipaEn general la resistencia y la corriente están relacionadas.

Fijo el voltaje, cuanto menor es la resistencia aumenta el transito de cargas y por lo tanto la

descarga (y la disipación) es mas

rápida.

Heike Kamerlingh Onnes (Holandes)

++++++

-------

++

Fuentes de movimiento: ¿Quien da batalla a la disipación?1) El extraño caso de algunos materiales por los cuales pueden circular corrientes no disipativas (no ohmicas).

De nuestro modelo de juguete de la Ley de Ohm como resultado de

colisiones se intuye que a medida que baja la temperatura, la

resistencia disminuye, lo cual es cierto.

Otro descubrimiento notable y su correspondiente galardonado (1913)

A temperaturas extremadamente bajas (en este caso 4.2 K) se da una transicion de fase, la mecánica de bolas que colisionan ya no funciona y un material puede volverse superconductor con lo que una corriente puede circular sin disipar y por lo tanto ad infinitum sin medicación de ninguna batería.

RIV

Fuentes de movimiento: ¿Quien da batalla a la disipación?1) En general las corrientes son disipativas y es necesario

una bateria que compense la energía disipada.

La batería, un objeto que inyecta energía en un circuito (en realidad, se define la batería como la cantidad de trabajo que hace por

unidad de carga) y por lo tanto queda caracterizada por generar una diferencia de

potencial V.

Álgebra de circuitos. Dos reglas de conservación y sus usos.

R

VI

R

Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y composición.

El circuito mas simple en un estado estacionario, la corriente que fluye es proporcional al voltaje inyectado por la batería e inversamente

proporcional a la resistencia.


Componiendo do leyes básicas de conservación (Las leyes K) que estipulan que las cargas solo transitan (i.e. ni se crean ni desaparecen) y que la energía se conserva (equivale a postular el estado estacionario del

circuito) se pude calcular la corriente a lo largo de cualquier circuito y eventualmente reducir un conjunto de resistencias a una resistencia

equivalente.

R1

R2


R1

R2

1I

2I

3I

321 III

321 III

La Ley K

Tres incógnitas: I1,I2 e I3... Faltan ecuaciones...

La segunda Ley de K establece simplemente la conservación de carga, si las corrientes entrantes y saliente no fuesen iguales (o su suma con signo igual a cero, que es lo mismo) se

acumularía carga en el vértice.


R1

R2

V2V1 V3

V6 V5 V4

La Primera Ley de K establece que en el estado

estacionario, la energía disipada es la misma que la

energía entregada por la batería y por lo tanto los

cambios de potenciales a lo largo de un circuito cerrado

suman cero.


R1

R2

V+V+ V+

V- V- V-

La Primera Ley de K establece que en el estado

estacionario, la energía disipada es la misma que la

energía entregada por la batería y por lo tanto los

cambios de potenciales a lo largo de un circuito cerrado

suman cero.

Similarmente, en equilibrio, los conductores son

equipotenciales, luego todos estos saltos de potencial son

equivalentes.

El ejemplo mas sencillo de composición: Resistencias en serie se suman (concatenación de disipaciones).

R1

R2


R1

R2

V2V2

V1 V1

Vint

La corriente, por conservación de carga es igual en todos los tramos. La suma de saltos de potencial a lo

largo de las dos resistencias es igual al de la batería. O, lo que es lo

mismo dicho en una ecuación:

21 RIRIV V2 - Vint Vint - V1


R (R

1+

R2

)

V2V2

V1 V1

Olvidando este punto de paso intermedio, si uno quiere conocer

por ejemplo la corriente, o la energía disipada, esta caída

escalonada no es relevante y uno puede pasar a un circuito

equivalente

21 RIRIV

RIRRIV )( 21

El segundo ejemplo canónico de composición: Resistencias en paralelo suman inversas (se suman las

conductividades).

R1

R2

V+V+ V+

V- V- V-


conductividades).

R1

R2

V+V+ V+

V- V- V-

1I 2I

2211 RIRIV I

La corriente se divide entre las dos ramas en manera proporcional a la inversa de cada resistencia.


conductividades).

R1

R2

V+V+ V+

V- V- V-

1I 2I

2211 RIRIV I

La corriente se divide entre las dos ramas en manera proporcional a la inversa de cada resistencia.

R

V+V+

V- V-

I 2121 R

V

R

VIII

R

V

La aditividad es en las corrientes y por lo tanto en la inversa de las resistencias.


conductividades).

R1

R2

V+V+ V+

V- V- V-

1I 2IIR

V+V+

V- V-

I

2121 R

V

R

VIII

R

V

21

111

RRR

Circuitos con corrientes (y cargas) que cambian en el tiempo.

Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y descarga de capacitores.

CR1

Ya habíamos visto la dinámica de este proceso sin demasiado detalle cuantitativo. También

habíamos visto que un capacitor cargado acumula energía que pierde cuando se descarga.


CR1



La relación entre corriente y carga es como la de la posición

y velocidad: La corriente

dt

dQI


CR1



La relación entre corriente y carga es como la de la posición

y velocidad: La corriente

dt

dQI

El circuito está abierto, con lo que no hay transporte de carga. en cuanto se cierra, el conductor empieza a descargarse. Tal como habíamos, visto, al descargarse disminuye el campo y por lo tanto la corriente, con lo que se descarga mas lento... Es decir el ritmo de descarga depende de la carga lo cual da, como ya sabemos, ... exponenciales. Veámoslo.


CR1

La relación entre corriente y carga es como la de la posición y

velocidad: La corriente

dt

dQI


CR1



dt

dQI

La relación entre voltaje y carga, dada por el campo generado en el

capacitor es:

C

QV

La relación entre corriente y potencial:

RIV

C

QRI


CR1



dt

dQI


capacitor es:

C

QV


RIV

C

QRI


CR1



dt

dQI


capacitor es:

C

QV


RIV

C

QR

dt

dQ


CR1



RC

Q

dt

dQ

El ritmo de descarga es proporcional a la carga (como cualquier otra regla

exponencial de crecimiento o decrecimiento de una población)

El factor de cambio esta dado por el producto de R y C (cuanto mas grande R, menos corriente y se descarga mas lento,

cuanto mas grande C, menos el voltaje para una misma carga y por lo tanto

menos corriente)


CR1



RC

Q

dt

dQ

tecQ )/( t

o eQQ

RCEl tiempo en el que el conductor pierde 1/e

de su carga, después de 3 veces este tiempo habrá periodo 1/e^3 y así...

Siempre la misma idea de una exponencial como un operador que cada tic (Tau) divide

por e.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

T=RC

Q

Q0

La carga (así como su tasa de cambio) decrece exponencialmente.

Descarga de un capacitor, una función conocida.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

T=RC

I

I0

La derivada de una exponencial es otra exponencial (nótese que cambia solamente la escala). Por lo tanto, carga y corriente decrecen con un

tiempo típico de decrecimiento dado por RC.

Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función

Cargando capacitores, circuitos dinámicos forzados (por una batería que

inyecta energía)


CR1

Misma historia dada vuelta. Ahora en vez de disipar energía se inyecta (mediante una bateria) para cargar

un capacitor. Esta cuenta ya la habíamos hecho (sin resistencia)

para calcular la energía de un capacitor (que recuerden, iba como

q cuadrado)


CR1




q cuadrado)

Ahora se da vuelta la exponencial ya que a medida que se carga el capacitor la diferencia de potencial (a lo largo de la resistencia) es menor y por lo tanto hay

menos corriente. Esto se vuelve mas claro cuando se dibujan explícitamente las cargas (el regreso del manosanta).

+-

+

+

-


CR1




q cuadrado)

Ahora se da vuelta la exponencial ya que a medida que se carga el capacitor la diferencia de potencial (a lo largo de la resistencia) es menor y por lo tanto hay

menos corriente. Esto se vuelve mas claro cuando se dibujan explícitamente las cargas (el regreso del manosanta).

+-

+

+

-

0C

QRIV

De alguna manera, estos signos son lisibles “como si” la bateria trabajase contra la carga del capacitor y la disipacion de la

resistencia.


CR1

+-

+

+

-

0C

QRIV

C

QRIV

C

QR

dt

dQV

Una ecuación diferencial de primer

orden (exponenciales)

forzada.


CR1

+-

+

+

-

0C

QRIV

C

QRIV

C

QR

dt

dQV

Una ecuación diferencial de primer

orden (exponenciales)

forzada. Una solución transitoria (dependiente de las condiciones iniciales, (homongenea)) y una solución estacionaria, dependiente del forzado (particular).

(es una solución estacionaria), la transitoria HA de ser una exponencial

Q=CV


CR1

+-

+

+

-

C

QR

dt

dQV

)1( t

eCVQ

Proponiendo una solución exponencial, resolviendo como siempre y sumando la solución

estacionaria.


CR1

+-

+

+

-

C

QR

dt

dQV

t

eQQQ

infinf

TransitoriaEstacionaria

)1( t

eCVQ

Proponiendo una solución exponencial, resolviendo como siempre y sumando la solución

estacionaria. Durante la carga, la energía de la batería contribuye a cargar el capacitor (a un ritmo proporcional a la corriente) y es disipada en la resistencia. A medida que el capacitor se carga la corriente es menor hasta llegar al punto (después de un tiempo infinito) en el que el voltaje del capacitor es igual a la de la batería y no hay corriente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


T=RC

Q

Q0

La función 1- exp

El capacitor se carga y a medida que el circuito alcanza el valor de equilibrio, el salto de potencial se acerca (con signo invertido) al de

la batería y la corriente disminuye (la derivada de la carga).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


T=RC

I

I0

La derivada de la función (1- exp) es una exponencial.

El capacitor se carga y la corriente decrece. A medida que el capacitor va acercándose a su carga maxima, la corriente disminuye cada vez mas lenta acercándose a su asintota de cero.

Notese que, en ausencia de inercia (¿¿quien sera la masa de los circuitos?? esta acercamiento es monotónico y no hay oscilaciones.

R1

+

+

-0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CR1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Q I

Q I

La carga de un capacitor: La carga empieza siendo cero, el capacitor no tiene energia. Se enciende la bateria y fluye corriente, lo que carga el capacitor. Esto disminuye la diferencia de potencial en la corriente, disminuyendo la corriente y disminuyendo el ritmo de carga. Cada vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles) hasta que el capacitor se carga para generar (valor asintotico) un potencial igual al de la bateria. Aqui no hay mas corriente por lo que no se disipa mas energia.

La descarga de un capacitor: La carga empieza siendo Q, el capacitor tiene energia. Esta diferencia de potencial inducida por el capacitor genera una corriente que disipa la engergia del capacitor. A medida que el capacitor pierde carga, la corriente disminuye con lo que pierde carga mas lento y esto sigue iterandose cada vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles) hasta que el capacitor disipa toda su energia, pierde la carga y la corriente es cero.

R1

+

+

-0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CR1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Q I

Q I

NOTESE QUE EN AMBOS CASOS, LA CONSTANTE TEMPORAL (DE CARGA O DESCARGA) ES LA MISMA Y ESTA DADA POR EL PRODUCTO RC.

Analizando un circuito sin hacer ni una sola cuenta.

C

R1

Historia conocida

C

R1

R2

La carga de un capacitor con perdida. ¿Que aspectos cualitativos de la dinamica de

este circuito podemos conocer, sin resolver ninguna cuenta?

Clase E5

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