UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEONUNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEONFACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS

Y ADMINISTRACIÓN PÚBLICAY ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

ESTADISTICAESTADISTICA

TEMA 4TEMA 4DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS

DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA Y DE POISSON.DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA Y DE POISSON.

Ing. LAURO MALDONADO M.Ing. LAURO MALDONADO M.

Integrantes:Integrantes:JOSÉ ANDRÉS ALARCÓN NÚÑEZJOSÉ ANDRÉS ALARCÓN NÚÑEZ

DENISSE ISALU ARAUJO MARROQUINDENISSE ISALU ARAUJO MARROQUINYEYETZI ESAPARZA GARCIAYEYETZI ESAPARZA GARCIA

CLARA IVONNE JARAMILLO GARCIACLARA IVONNE JARAMILLO GARCIAHARISSA ZAHLE QUESADA NERIHARISSA ZAHLE QUESADA NERI

ADRIAN ROMO GONZALEZADRIAN ROMO GONZALEZGERARDO ISRAEL URBINA VAQUERAGERARDO ISRAEL URBINA VAQUERA

Monterrey, Nuevo León a 10 de abril 2008Monterrey, Nuevo León a 10 de abril 2008

IntroducciónIntroducción

En este tema entenderemos que la distribución de En este tema entenderemos que la distribución de variables aleatorias discretas se utiliza para variables aleatorias discretas se utiliza para determinar el comportamiento de un sistema.determinar el comportamiento de un sistema.

Se utiliza la distribución aleatoria porque no se Se utiliza la distribución aleatoria porque no se conocen los resultados, o los datos con presicion, conocen los resultados, o los datos con presicion, se crean escenarios futuros. Para esto se emplean se crean escenarios futuros. Para esto se emplean tres tipos de variables aleatorias discretas: tres tipos de variables aleatorias discretas:

La distribución binomialLa distribución binomial La La HipergeometricaHipergeometrica ejemploejemplo La PoissonLa Poisson inicioinicio

Toma valores 0 -1, se caracteriza por Toma valores 0 -1, se caracteriza por que los resultados que se pueden que los resultados que se pueden obtener son mutuamente excluyentes, obtener son mutuamente excluyentes, ósea, no depende uno del otro, se ósea, no depende uno del otro, se utiliza típicamente esta distribución utiliza típicamente esta distribución para tomar desiciones como por para tomar desiciones como por ejemplo: aceptar o rechazar opciones ejemplo: aceptar o rechazar opciones como, si o no, se cumple o no se como, si o no, se cumple o no se cumple, etc... Solo con dos opcionescumple, etc... Solo con dos opciones……

Se caracteriza porque genera más de Se caracteriza porque genera más de un resultado, y las probabilidades de un resultado, y las probabilidades de llegar a ese resultado no son llegar a ese resultado no son constantes, esta distribución se constantes, esta distribución se caracteriza porque en un tiempo muy caracteriza porque en un tiempo muy corto se pueden tener valores muy corto se pueden tener valores muy altos de una variable y en el siguiente altos de una variable y en el siguiente instante varia drásticamente en instante varia drásticamente en cualquier lapso de tiempo. Este tipo cualquier lapso de tiempo. Este tipo de distribución se encuentra en de distribución se encuentra en sistemas que tienen picos de sistemas que tienen picos de demandademanda……

Un ejemplo de esto es en la fila del cine... Un ejemplo de esto es en la fila del cine... antes de una película, ahí gente formada antes de una película, ahí gente formada para entrar y el pico de demanda en la para entrar y el pico de demanda en la taquilla es alto, de modo que a la hora que taquilla es alto, de modo que a la hora que inicia la película la fila decrece inicia la película la fila decrece rápidamente, esto pude crear, al momento rápidamente, esto pude crear, al momento de comprar las entradas, desesperación por de comprar las entradas, desesperación por parte del cliente, que se puede ir, para esto parte del cliente, que se puede ir, para esto una solución de emergencia por parte del una solución de emergencia por parte del cine, seria habilitar otra taquilla para cine, seria habilitar otra taquilla para disminuir la demanda sobre la otra taquilladisminuir la demanda sobre la otra taquilla……

A medida que pasa el tiempo es difícil que A medida que pasa el tiempo es difícil que vuelva a subir el pico de demanda por que vuelva a subir el pico de demanda por que ya se soluciono.ya se soluciono.

Cuando un sistema presenta una Cuando un sistema presenta una distribución de probabilidad distribución de probabilidad hipergeométrica se toma una decisiones hipergeométrica se toma una decisiones rápida para estabilizar el sistema. Con el fin rápida para estabilizar el sistema. Con el fin que el pico de demanda no se incremente que el pico de demanda no se incremente más. Porque puede afectar al sistema a más. Porque puede afectar al sistema a estudiarestudiar……

Se caracteriza porque los datos estadísticamente Se caracteriza porque los datos estadísticamente tienen que ser independientes uno del otro esta tienen que ser independientes uno del otro esta distribución es la que mas comúnmente se distribución es la que mas comúnmente se encuentra en los sistemas reales principalmente en encuentra en los sistemas reales principalmente en situaciones donde existen personas , objetos , es situaciones donde existen personas , objetos , es decir elementos que toman valores enteros ( 1234..) decir elementos que toman valores enteros ( 1234..) que no se pueden fraccionar.que no se pueden fraccionar.

Sus usos mas frecuentes es determinar el numero Sus usos mas frecuentes es determinar el numero

de personas , numero de productos , numero de de personas , numero de productos , numero de embarcaciones , es decir que sus resultados sean embarcaciones , es decir que sus resultados sean números enteros., a diferencia de la binomial , la números enteros., a diferencia de la binomial , la poisson solo usa un parámetro que es la media poisson solo usa un parámetro que es la media (labda) (labda)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA ALEATORIAS DISCRETAS: BINOMIAL, HIPERGEOMETRICA

Y DE POISSONY DE POISSON

¿Qué es un espacio muestral?¿Qué es un espacio muestral? Es el conjunto de todos los resultados posibles de un Es el conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento estadístico denotado por “S”.experimento estadístico denotado por “S”. ¿Qué es una variable?¿Qué es una variable? Se denomina variable a la entidad que puede Se denomina variable a la entidad que puede

tomar un valor cualesquiera durante la de un tomar un valor cualesquiera durante la de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.durante el proceso se llama constante.

¿Qué es una variable aleatoria?¿Qué es una variable aleatoria? Es una función que asocia un numero real a cada Es una función que asocia un numero real a cada

elemento del espacio muestral. Es decir son elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.otra.

Una variable aleatoria se define como Una variable aleatoria se define como un evento numérico cuyo valor se un evento numérico cuyo valor se determina mediante un proceso determina mediante un proceso aleatorio. Si a cada uno de los aleatorio. Si a cada uno de los posibles valores numéricos de una posibles valores numéricos de una variable aleatoria X se le asigna un variable aleatoria X se le asigna un valor de probabilidad, ya sea valor de probabilidad, ya sea mediante una lista o una función mediante una lista o una función matemática, el resultado es una matemática, el resultado es una distribución de probabilidad.distribución de probabilidad.

Una variable aleatoria se puede Una variable aleatoria se puede clasificar en:clasificar en:

Variable aleatoria discretaVariable aleatoria discreta

Variable aleatoria continuaVariable aleatoria continua

Continuar…Continuar…

Una variable discreta proporciona datos que son Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.de conteo.

Ejemplos:Ejemplos: La cantidad de alumnos regulares en un grupo La cantidad de alumnos regulares en un grupo

escolar.escolar. El número de águilas en cinco lanzamientos de una El número de águilas en cinco lanzamientos de una

moneda.moneda. Numero de circuitos en una computadora.Numero de circuitos en una computadora. El numero de vehículos vendidos en un día, en un El numero de vehículos vendidos en un día, en un

lote de autos.lote de autos.

Estas distribuciones de probabilidad estándar Estas distribuciones de probabilidad estándar pueden servir para una amplia gama de variables pueden servir para una amplia gama de variables aleatorias discretas que se usan en los negocios. aleatorias discretas que se usan en los negocios. Los que se describen en este capitulo son las Los que se describen en este capitulo son las distribuciones de probabilidad binomial, distribuciones de probabilidad binomial, hipergeometrica y de Poissonhipergeometrica y de Poisson……

Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; esta comprendido entre dos valores cualesquiera; esta puede asumir infinito número de valores y estos se puede asumir infinito número de valores y estos se pueden medir. pueden medir.

No se pueden listar todos los posibles valores No se pueden listar todos los posibles valores fraccionarios de la variable, y por tanto las fraccionarios de la variable, y por tanto las probabilidades se determinan a través de una probabilidades se determinan a través de una función matemática y se representan gráficamente función matemática y se representan gráficamente mediante una función de densidad de mediante una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad.probabilidad o curva de probabilidad.

Ejemplo:Ejemplo: La estatura de un alumno de un grupo escolar.La estatura de un alumno de un grupo escolar. El peso en gramos de una moneda.El peso en gramos de una moneda. Las dimensiones de un vehiculoLas dimensiones de un vehiculo……

La distribución de probabilidad es una La distribución de probabilidad es una distribución teórica de frecuencias que distribución teórica de frecuencias que describe como se espera que varíen los describe como se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.incertidumbre.

Se pueden clasificar en:Se pueden clasificar en:

Distribuciones discretas, Distribuciones discretas, Son aquellas Son aquellas donde las variables asumen un donde las variables asumen un número limitado de valores, por número limitado de valores, por ejemplo el número de años de ejemplo el número de años de estudio.estudio.

Estas son: binomial , hipergeometrica y Estas son: binomial , hipergeometrica y poissonpoisson

Distribuciones continuas: Son aquellas Distribuciones continuas: Son aquellas donde las variables en un estudio donde las variables en un estudio pueden asumir cualquier valor dentro pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, de determinados límites; por ejemplo, la altura de un estudiante.la altura de un estudiante.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETASDISCRETAS

La distribución de probabilidad para una variable La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:aleatoria discreta puede ser:

1.- Una relación teórica de resultados y 1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés.fenómeno de interés.

2.- Una relación empírica de resultados y sus 2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas.frecuencias relativas observadas.

3.- Una relación subjetiva de resultados 3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de convicción artificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados.probabilidad de posibles resultados.

Sabemos que una variable aleatoria Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia bien definida que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son que asume; y dichos valores son numerables.numerables.

Existen varios modelos matemáticos Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real.discretos de la vida real.

Las más útiles son:Las más útiles son:

1.- La distribución uniforme discreta.1.- La distribución uniforme discreta.

2.- La distribución de probabilidad Binomial 2.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli.o de Bernoulli.

3.- La distribución de probabilidad 3.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica.Hipergeométrica.

4.- La distribución de probabilidad de 4.- La distribución de probabilidad de Poisson.Poisson.

LA DISTRIBUCION BINOMIALLA DISTRIBUCION BINOMIAL

Esta distribución fue elaborada por Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas de gran número de problemas de carácter económico y en numerosas carácter económico y en numerosas aplicaciones como:aplicaciones como:

- Juegos de azar.- Juegos de azar. - Control de calidad de un producto.- Control de calidad de un producto. - En educación.- En educación. - En las finanzas.- En las finanzas.

Es una distribución discreta de probabilidad que es Es una distribución discreta de probabilidad que es aplicable como un modelo en situaciones de toma aplicable como un modelo en situaciones de toma de decisiones en las que se supone que el proceso de decisiones en las que se supone que el proceso de muestreo se ha realizado conforme a un de muestreo se ha realizado conforme a un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso en el cual:proceso en el cual:

En cada ensayo solo pueden presentarse dos En cada ensayo solo pueden presentarse dos resultados u observaciones mutuamente resultados u observaciones mutuamente excluyentes. Para simplificar, a estos resultados se excluyentes. Para simplificar, a estos resultados se les llama éxito y fracaso.les llama éxito y fracaso.

Los resultados de una serie de ensayos u Los resultados de una serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.observaciones constituyen eventos independientes.

La probabilidad de éxito en cada ensayo, La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por “p”, permanece constante de un denotada por “p”, permanece constante de un ensayo a otro. Es decir, el proceso es estacionarioensayo a otro. Es decir, el proceso es estacionario

La distribución binomial se usa :La distribución binomial se usa : para obtener un número determinado de para obtener un número determinado de

éxitos en un proceso de Bernoulli. Se éxitos en un proceso de Bernoulli. Se requieren tres valores: el número requieren tres valores: el número determinado de éxitos (x), el número de determinado de éxitos (x), el número de ensayos u observaciones (n) y la ensayos u observaciones (n) y la probabilidad de éxito para cada prueba probabilidad de éxito para cada prueba (p) y q= (1-p) si la probabilidad es de (p) y q= (1-p) si la probabilidad es de fracaso, la formula para determinar la fracaso, la formula para determinar la probabilidad de un número determinado probabilidad de un número determinado de éxitos X en una distribución binomial esde éxitos X en una distribución binomial es

P[ x = k] = ( n/k ) pk qn - kP[ x = k] = ( n/k ) pk qn - k K = numero de éxitosK = numero de éxitos n = número de pruebas n = número de pruebas p = probabilidad de éxitos p = probabilidad de éxitos q = probabilidad de fracasosq = probabilidad de fracasos

Ejemplo:Ejemplo: La probabilidad de que un prospecto La probabilidad de que un prospecto

elegido al azar por un cazador de talentos elegido al azar por un cazador de talentos realice un gol es de 0.20. Si el cazador de realice un gol es de 0.20. Si el cazador de talentos llama a seis delanteros, la talentos llama a seis delanteros, la probabilidad de que hagan 4 goles se probabilidad de que hagan 4 goles se determina como sigue:determina como sigue:

P (x = 4 l n = 6 , p = 0.20) = P (x = 4 l n = 6 , p = 0.20) = 66CC44 (0.20) (0.20)44 (0.80)(0.80)22 = 6! / 4! 2! (0.20) = 6! / 4! 2! (0.20)4 4 (0.80) (0.80)22

= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 / (4 x 3 x 2) (2 ) = = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 / (4 x 3 x 2) (2 ) = (0.0016) ( 0.64 ) = 0.01536 = (0.0016) ( 0.64 ) = 0.01536 = 0.0150.015

Con frecuencia lo que interesa es la Con frecuencia lo que interesa es la probabilidad acumulada de la ocurrencia probabilidad acumulada de la ocurrencia de “x o mas” éxitos o de “x o menos” éxitos de “x o mas” éxitos o de “x o menos” éxitos en n ensayos. En un caso como este se en n ensayos. En un caso como este se determina la probabilidad de cada determina la probabilidad de cada resultado comprendido en el intervalo resultado comprendido en el intervalo determinado, y luego se suman las determinado, y luego se suman las probabilidades.probabilidades.

En el ejemplo, la probabilidad de que el En el ejemplo, la probabilidad de que el delantero haga cuarto o más goles se delantero haga cuarto o más goles se determina como sigue:determina como sigue:

P(x > 4) l n=6 , p= 0.20) = P(x = 4) + P(x > 4) l n=6 , p= 0.20) = P(x = 4) + P( x = 5) + P(x = 6)P( x = 5) + P(x = 6)

= 0.01536 + 0.001536 + .000064 = = 0.01536 + 0.001536 + .000064 = 0.016960 = 0.0170.016960 = 0.017

Donde:Donde: P(x = 4) = 0.01536 ( de acuerdo al P(x = 4) = 0.01536 ( de acuerdo al

ejemplo)ejemplo) P( x = 5) = P( x = 5) = 66CC55 (0.20) (0.20)55 (0.80) (0.80)1 1 = 6! / 5! 1! = 6! / 5! 1!

(0.20)(0.20)55 (0.80) = 6(0.00032)(0.80) = (0.80) = 6(0.00032)(0.80) = 0.0015360.001536

P( x = 6) = P( x = 6) = 66CC66 (0.20) (0.20)66 (0.80) (0.80)0 0 = 6! / 6! 0! = 6! / 6! 0! (0.000064) (1) = (0.000064) = 0.000064(0.000064) (1) = (0.000064) = 0.000064

Se entiende que el exponente 0 es igual a 1Se entiende que el exponente 0 es igual a 1

Debido a que cuando la muestra es Debido a que cuando la muestra es relativamente grande, el uso de la formula relativamente grande, el uso de la formula binomial requiere muchos cálculos binomial requiere muchos cálculos aritméticos, se suelen usar tablas para aritméticos, se suelen usar tablas para probabilidades binomiales.probabilidades binomiales.

““si a la probabilidad de que un prospecto si a la probabilidad de que un prospecto para delantero, elegido al azar, realice un para delantero, elegido al azar, realice un gol es 0.20, la probabilidad de que un caza gol es 0.20, la probabilidad de que un caza talentos que llama a 15 delanteros haga talentos que llama a 15 delanteros haga menos de tres goles es”:menos de tres goles es”:

P(x < 3 l n=15, p= 0.20) = P(x < 2) = P(x < 3 l n=15, p= 0.20) = P(x < 2) = P(x =0) + P(x = 1) + P(x = 2)P(x =0) + P(x = 1) + P(x = 2)

= 0.0352 + 0.1319 +0.2309= 0.0352 + 0.1319 +0.2309

= 0.3980 = 0.40= 0.3980 = 0.40

La variableLa variable binomial expresada como binomial expresada como proporcionesproporciones

En lugar de expresar la variable aleatoria En lugar de expresar la variable aleatoria

binomial como numero de éxitos, x, se le binomial como numero de éxitos, x, se le puede expresar en términos de la puede expresar en términos de la proporción de éxitos p, que es el cociente proporción de éxitos p, que es el cociente del número de éxitos entre el número de del número de éxitos entre el número de ensayos:ensayos:

p = X / np = X / n

Existen casos en que la formula se modifica Existen casos en que la formula se modifica solo respecto de la definición de la solo respecto de la definición de la proporciónproporción

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICALA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

Se emplea para calcular la probabilidad de Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otra observación anterior.cualquier otra u otra observación anterior.

Es decir la distribución Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.ensayo.

La formula se define de la siguiente La formula se define de la siguiente manera: manera:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICAHIPERGEOMÉTRICA

P ( X ) = (s C x ) (N - S C n - x )P ( X ) = (s C x ) (N - S C n - x ) N C nN C n

Donde:Donde:

N = Tamaño de la poblaciónN = Tamaño de la población s = numero de éxitos en la poblacións = numero de éxitos en la población x = numero de éxitos que son de interésx = numero de éxitos que son de interés n = Tamaño de la muestra o números de ensayosn = Tamaño de la muestra o números de ensayos C = Denota una combinaciónC = Denota una combinación

Suponga que durante la semana se Suponga que durante la semana se fabricaron 50 estaciones de juego fabricaron 50 estaciones de juego para vaideo. Cuarenta de ellas para vaideo. Cuarenta de ellas funcionaron perfectamente, y diez funcionaron perfectamente, y diez tuvieron al menos un defecto. Se tuvieron al menos un defecto. Se seleccionó al azar una muestra de seleccionó al azar una muestra de cinco. Utilizando la fórmula cinco. Utilizando la fórmula Hipergeométrica, ¿cuál es la Hipergeométrica, ¿cuál es la probabilidad de que 4 de los 5 probabilidad de que 4 de los 5 funcionen perfectamente?funcionen perfectamente?

P ( 4 ) = (40 C 4 ) (50 - 40 C 5 - 4 )P ( 4 ) = (40 C 4 ) (50 - 40 C 5 - 4 ) 50 C 550 C 5 P ( 4 ) = (91 390) (10)P ( 4 ) = (91 390) (10) 2 118 760 2 118 760 P ( 4 ) = .431P ( 4 ) = .431

La probabilidad de seleccionar 5 La probabilidad de seleccionar 5 estaciones de juego y encontrar que 4 estaciones de juego y encontrar que 4 funcionan perfectamente es de 0.431.funcionan perfectamente es de 0.431.

LA DISTRIBUCION DE POISSONLA DISTRIBUCION DE POISSON

Esta función de distribución de Esta función de distribución de variable discreta se emplea para variable discreta se emplea para calcular las probabilidades asociadas calcular las probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo de tiempo o intervalo continuo de tiempo o espacio; este intervalo es espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida generalmente una unidad de medida conocida: cm2, Km., gramos, litros, conocida: cm2, Km., gramos, litros, pulgadas, etcpulgadas, etc

Algunos de los problemas que presentan como un Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con distribución de Poisson son:fenómeno con distribución de Poisson son:

- Los embotellamientos que se producen por día.- Los embotellamientos que se producen por día.

- Número de llamadas por hora.- Número de llamadas por hora.

- Defectos por m2 de tela.- Defectos por m2 de tela.

- Número de defectos por lote de un proceso de - Número de defectos por lote de un proceso de producción.producción.

-- Número de negocios cerrados por semana.Número de negocios cerrados por semana.

A este tipo de problemas se les A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x conoce el número de éxitos x obtenidos por unidad de medida en n obtenidos por unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible ensayos; pero es totalmente imposible conocer el número de fracasos (n - x).conocer el número de fracasos (n - x).

Se dice que se da un proceso de Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos Poisson si se pueden observar eventos discretos en un intervalo continuo en discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el intervalo forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente:lo suficiente:

1.- La probabilidad de observar 1.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es exactamente un éxito en el intervalo es estable.estable.

2.- La probabilidad de observar dos o más 2.- La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero.éxitos en el intervalo es cero.

3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier 3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente intervalo es estadísticamente independiente de que suceda en cualquier otro intervalode que suceda en cualquier otro intervalo

La formula para determinar la probabilidad de La formula para determinar la probabilidad de un número determinado X de éxitos en una un número determinado X de éxitos en una distribución de poisson es:distribución de poisson es:

P (X l ) = X e - / X! P (X l ) = X e - / X!

n = numero de ensayosn = numero de ensayos x = numero de éxitos esperados en “n” ensayosx = numero de éxitos esperados en “n” ensayos e = 2.71828e = 2.71828 = n p = constante igual al numero de éxitos = n p = constante igual al numero de éxitos

promedio por unidad de medidapromedio por unidad de medida P = probabilidad constante durante el proceso P = probabilidad constante durante el proceso

igual al numero de éxitos promedio por unidad igual al numero de éxitos promedio por unidad de medidade medida

Aquí la constante “e” es constante: Aquí la constante “e” es constante: 2.7183, que es la base de los 2.7183, que es la base de los logaritmos naturales, y los valores e - logaritmos naturales, y los valores e - pueden obtenerse de diferentes pueden obtenerse de diferentes fuentesfuentes

Ejemplo: si en un departamento de Ejemplo: si en un departamento de reparación de maquinaria se reciben en reparación de maquinaria se reciben en promedio cinco solicitudes de servicio por promedio cinco solicitudes de servicio por hora, la probabilidad de recibir menos de hora, la probabilidad de recibir menos de tres solicitudes durante una hora elegida al tres solicitudes durante una hora elegida al azar se determina como:azar se determina como:

P (X < 3 l = 5.0) = P( X 2) = P( x = 0 ) + P( x = 1) + P( x = 2)P (X < 3 l = 5.0) = P( X 2) = P( x = 0 ) + P( x = 1) + P( x = 2)

= = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.12460.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.1246

DondeDonde

P (X = 0 l = 5.0) = 0.0067P (X = 0 l = 5.0) = 0.0067 P (X = 1 l = 5.0) = 0.0337P (X = 1 l = 5.0) = 0.0337 P (X = 2 l = 5.0) = 0.0842P (X = 2 l = 5.0) = 0.0842

Como se supone que un proceso de Como se supone que un proceso de Poisson es estacionario, se concluye que la Poisson es estacionario, se concluye que la media ( ) del proceso siempre es media ( ) del proceso siempre es proporcional a la magnitud del conjunto de proporcional a la magnitud del conjunto de tiempo o de espacio. Por tanto, si la media tiempo o de espacio. Por tanto, si la media de que se disponga corresponde a un de que se disponga corresponde a un determinado periodo, para otro periodo determinado periodo, para otro periodo que se requiera puede determinarse la que se requiera puede determinarse la media. Esto es muy importante, ya que el media. Esto es muy importante, ya que el valor de que se debe ser aceptable al valor de que se debe ser aceptable al periodo de interés.periodo de interés.

CONCLUSIÓNCONCLUSIÓN

En estos temas analizamos En estos temas analizamos distribuciones de probabilidad distribuciones de probabilidad aleatoria de tipo discreto aleatoria de tipo discreto específicamente binomial poisson específicamente binomial poisson hipergeométrica.hipergeométrica.

Es importante saber como se Es importante saber como se comportan los sistemas con el fin de comportan los sistemas con el fin de anticiparnos a posibles problemas.anticiparnos a posibles problemas.

Tenemos que ser precisos en sabes si Tenemos que ser precisos en sabes si los valores de sus variables de estos los valores de sus variables de estos sistemas toman valores enteros o sistemas toman valores enteros o valores fraccionados de ahí la valores fraccionados de ahí la importancia de clasificarlos como importancia de clasificarlos como valores discretos o valores continuosvalores discretos o valores continuos

El primero se caracteriza por tomar valores El primero se caracteriza por tomar valores de 0-1 en sus resultadosde 0-1 en sus resultados

El hipergeometrico se concluye que es el El hipergeometrico se concluye que es el más crítico para analizar porque, se tiene más crítico para analizar porque, se tiene que tomar una decisión a corto plazo que tomar una decisión a corto plazo debido a que su curva característica es debido a que su curva característica es prolongada al principio factor, que tenemos prolongada al principio factor, que tenemos que disminuir rápidamenteque disminuir rápidamente

El ultimo toma exclusivamente valores El ultimo toma exclusivamente valores enteros, y esta distribución se encuentra en enteros, y esta distribución se encuentra en la mayoría de los sistemas.la mayoría de los sistemas.

Distribuciones de probabilidad

Distribución binominal

Distribución exponencial

Distribución de Poisson

Distribución hipergeométrica

Distribuciones de probabilidad

Desviación normal

Distribución de normal

Distribuciones de probabilidad

Distribución de uniforme

Cálculo de probabilidades

Determinación del valor de X

Aproximación a la distribución

binomial probabilidad

Distribución binominal

Acumulada