1Estadstica Descriptiva y Probabilidades

Profesor:

Ing. Ricardo Rosas Roque

Probabilidad de la unin de dos eventos compatibles es:

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( )A B A B A B

Eventos mutuamente excluyentes

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces se cumple que:

P(A U B) = P(A) + P(B)

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Ejemplo:

De las 1.200 cuentas por cobrar que tiene unacompaa, estas se han clasificado as: 1.000 defcil cobro(A), 100 de difcil cobro (B), 70 dedudoso cobro(C) y 30 irrecuperables (D). Si seselecciona una cuenta aleatoriamente, cual es laprobabilidad de que la cuenta sea de fcil o dedifcil cobro?

P(A U B) =

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Suponer que los 200 obreros de una compaa seclasifican desde el punto de vista de sucalificacin y desde el punto de vista de laantigedad, segn la tabla siguiente:

Si se selecciona un obrero aleatoriamente, cules la probabilidad de que sea un obrero experto(E) tenga menos de 5 aos de antigedad (M)?

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Se sabe que una persona tira al blanco, tieneigual probabilidad de acertar que de fallar. Sila persona tira al blanco 3 veces, cual es laprobabilidad de acertar dos veces?

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Eventos Independientes Dos eventos son independientes, cuandoocurre uno, no afecta la probabilidad de queocurra el otro.

La probabilidad de que dos eventosindependientes A y B ocurran uno despus deotro se simboliza:

Por extensin:

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Ejemplo: La probabilidad de dar al blanco es 1/3 y la probabilidad de fallar es de 2/3. Cual es la probabilidad de acertar dos veces de un total de 3 intentos?

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Eventos condicionales o dependientes

Dos eventos son condicionales o dependientes,cuando ocurre uno, tiene efecto sobre queocurra el otro.

Frecuentemente en los problemas dedependencia, se da una informacin adicionalantes de pedir la probabilidad correspondiente.Esa informacin adicional, se refiere alcumplimiento previo de una condicin

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La probabilidad condicional o dependencia sesimboliza como: P(A|E), que se lee:probabilidad de A dado E

Se llama probabilidad del sucesoA condicionado a E y se representapor P(A/E) a la probabilidad del suceso A unavez ha ocurrido el E. 10

Ejemplo

Donde: P (B/A) es la probabilidad de que se d el suceso

B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B y A) es la probabilidad del suceso simultneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

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Ejemplo

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

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Ejemplo:

Hallar la probabilidad de que al tirar un dado salga el nmero 2, condicionada a que haya salido un nmero impar.

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Ejemplo 2:

En un estudio sanitario se ha llegado a laconclusin de que la probabilidad de que unapersona sufra problemas coronarios (suceso B)es 0,10 (probabilidad a priori).

Adems, la probabilidad de que una personasufra problemas de obesidad (suceso A) es 0,25y la probabilidad de que una persona sufra a lavez problemas de obesidad y coronarios (sucesointerseccin de A y B) es del 0,05.

Calcular la probabilidad de que una personasufra problemas coronarios si est obesa(probabilidad condicionada P(B/A)). 14

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Ejemplo:

Se sabe que de los 900 obreros que trabajanen una compaa, 160 son casados. Adems sesabe, que 80 obreros tienen ms de dos hijos y60 de estos son casados. Si se escoge unobrero aleatoriamente y resulta ser casado;cual es la probabilidad de que tenga ms dedos hijos?

El espacio muestral es: S = 900. El eventocondicin son los obreros casados: E = 160. Elevento ms de dos hijos es: A = 80. El eventocasados con ms de dos hijos es: A E =60.

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Ejemplo:

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Principio de la multiplicacin en la Probabilidad condicional

Si dos eventos E y A son dependientes, de talforma que E es el evento condicin, laprobabilidad de que se cumplan ambos, unodespus de otro, es igual a la probabilidad delprimero por la probabilidad del segundo dadoel primero.

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Ejemplo:

Una urna contiene 4 fichas verdes y 3 azules.Se extrae una ficha de la urna sin retorno a lamisma. Luego se extrae otra ficha de la urna. SiE es el evento de extraer una ficha verde en laprimera extraccin y A, el evento de extraeruna ficha verde en la segunda seleccin; cuales la probabilidad de que se cumplan A y E?

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Ejemplo:

Dado que la persona seleccionada de unapoblacin result ser estudiante universitario(evento E); cual es la probabilidad de que hallanacido en una regin X?

Los xitos posibles son aquellas personas queson estudiantes universitarios y tambinnacieron en la regin X, es decir A E.

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Probabilidad compuesta

La probabilidad de que se den simultneamentedos sucesos (suceso interseccin de A y B) esigual a la probabilidad a priori del suceso Amultiplicada por la probabilidad del suceso Bcondicionada al cumplimiento del suceso A.

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Ejemplo:

Estudiamos el evento A (% de varones mayoresde 40 aos casados) y el evento B (varonesmayores de 40 aos con ms de 2 hijos) yobtenemos la siguiente informacin:

Un 35% de los varones mayores de 40 aosestn casados.

De los varones mayores de 40 aos y casados,un 30% tienen ms de 2 hijos (evento Bcondicionado al evento A).

Calcular la probabilidad de que un varnmayor de 40 aos est casado y tenga msde 2 hijos (evento interseccin de A y B). 22

Ejemplo 2

Estudiamos el evento A (alumnos que hablaningls) y el evento B (alumnos que hablanalemn) y obtenemos la siguiente informacin:

Un 50% de los alumnos hablan ingls. De los alumnos que hablan ingls, un 20%

hablan tambin alemn (evento B condicionadoal evento A).

Calcular la probabilidad de que un alumnohable ingls y alemn (evento interseccin deA y B).

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Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un evento a partir de probabilidades condicionadas:

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Ejemplo

Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%

b) Juan, con una probabilidad del 30%

c) Luis, con una probabilidad del 10%

En funcin de quien sea tu prximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

Cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:26

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