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13
ING. KENNEDY R. GOMEZ TUNQUE [email protected] UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA E.A.P DE CIVIL (HUANCAVELICA)
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ING. KENNEDY R. GOMEZ [email protected]
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERIA
E.A.P DE CIVIL (HUANCAVELICA)
-
METODO DEL GRADIENTE HIDRAULICO (MGH)
Descripcin Matemtica:
=
+ =
En cada nodo se debe cumplir laecuacin de continuidad:
En cada tuberia la energia totaldisponible se gasta en perdidas porfriccion y perdidas menores:
= +
La perdida de altura piezometrica en cada tramode tuberia que conecte dos nodos de la red es:
+ = [][]
= []
Vector de Carga Piezometrica: Vector de Caudales en cada tubera:
H next =-[(A21*N-1*A11
-1*A12)
-1] * [A21*N
-1(Q+A11
-1*A10*Ho) + q - A21*Q] Q next =(I-N
-1)*Q -N
-1*A11
-1*(A12*Hnext + A10*Ho)
Obtenemos finalmente:
La ecuacin para todos los nodos de la red:
][ [][] []
[][]
=[][]
El objetivo del MGH es solucionar esta ecuacin,iterativamente:
= + [] = + []
= + +
n = 2 para Darcy-weisbach
-
METODO DEL GRADIENTE HIDRAULICO
1 2
3
5
4
67
1
2
3
4
5
6
7
Longit.
(m)
Nudo
Final
Nudo
Inicial
Deman.
(l/s)
Cota
PiezometNudoK local
Rugosi.
Ks (m)
Diamet.
(mm)
5 0 30.00
6 5 600.00 200.00 6.00E-05 0.00
2 5 200.00 100.00 6.00E-05 0.00
6 0 40.00
1 6 300.00 250.00 6.00E-05 0.00
40.00
5 4 400.00 150.00 6.00E-05 0.00 4 0 30.00
0 60.00
4 3 200.00 100.00 6.00E-05 0.00 3 0
1 0 0.00
2 3 400.00 150.00 6.00E-05 10.00 2
1 2 500.00 250.00 6.00E-05 0.00
La presin en el tanque elevado es100 mca
Suponer caudales iniciales:Q=100 l/s
Calcular las presiones en cada unade los nudos y las caudales encada tubera de la red que semuestra. Utilizando el algoritmogradiente hidrulico.(tolerancia mnima deerror = 0.001).
v=1.141E-6
-
1 2 3 4 5 6
-1 1 0 0 0 0 1
0 -1 1 0 0 0 2
0 0 1 -1 0 0 3
(At)= 0 0 0 1 -1 0 4
0 -1 0 0 1 0 5
0 0 0 0 1 -1 6
-1 0 0 0 0 1 7
2 3 4 5 6
1 0 0 0 0 1
-1 1 0 0 0 2
0 1 -1 0 0 3
A12 0 0 1 -1 0 4
-1 0 0 1 0 5
0 0 0 1 -1 6
0 0 0 0 1 7
1 -1 0 0 -1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
A21 0 0 -1 1 0 0 0
0 0 0 -1 1 1 0
0 0 0 0 0 -1 1
NN= 5
NT= 7
NS= 1
NN = Numero de nodos con altura piezometrica desconocidaNT = Numero de tuberas de la redNS = Numero de nodos con altura piezometrica conocida
Solucin:
A12 = "matriz de conectividad" asociada a cada uno de losnodos de la red. Su dimensin es NT X NN con slo doselementos diferentes de cero en la i-sima fila:
-1 en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i1 en la columna correspondiente al nodo final del tramo i
A21 = Matriz transpuesta de A12A10 = matriz topolgica tramo a nodo para los NS nodosde cabeza fija.
Su dimensin es NT X NS con un valorigual a:-1 en las filas correspondientes a lostramos conectados a nodos de cabezafija.
-1
0
0
A10 0
0
0
-1
-
[H]= vector de alturas piezometricas desconocidas [5x1][Ho] = vector de alturas piezometricas fijas [1x1][q] = vector consumo [5x1]
Datos:
I = "matriz identidad cuya dimensin es NT X NT
Q = vector de caudales inicialesasumidos
0.06
0.04
q 0.03
0.03
0.04
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
I 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
N = "matriz diagonal cuya dimensin es NT X NT
2 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0 0
N 0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 0 2
N = 2xI:2 por que se usala ecuacion deDarcy-weisbach
0.10
0.10
Q 0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
1
2
3
4
5
6
7
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
Nudo
tuberia
29423.91540
2583.23149
451.95134
6.74
88.89
294.24
72.57
294.24
25.83
hf+hm(m)
674.12313
8889.2796
29423.91540
7257.14415
4.52
294.24
25.83
4.52
hf(m)
6.74
72.57
294.24
72.57
1 6 0.01781 2.03718
6 5 0.01667 3.18310
2 5 0.01781 12.73240
5 4 0.01667 5.65884
4 3 0.01781 12.73240
2 3 0.01667 5.65884
f v(m/s)
1 2 0.01593 2.03718
Nudo Q
-
Segundo Tramo
400
0.15
F1 = 1
0.10 F2 =
F3 =
F4 =
F5 =
ij 163.2135
Kl23= 10.00
ij= 7257.14415
Re23= 743932 0.01667
V23= 5.658842 0.01667
Q23= 0.01600
(T=20)= 1.14E-06 0.01669
L=
D=
KS= 6.00E-05
= 2
3.7+2.51
2
2 =
=
22
= 0.08262686
2
=2
2
=8
24
Primer Tramo
500
0.25
F1 = 1
0.10 F2 =
F3 =
F4 =
F5 =
ij
Kl12= 0.00
ij= 674.12313 0.00000
Re12= 446359 0.01593
V12= 2.037183 0.01593
Q12= 0.01450
(T=20)= 1.14E-06 0.01600
L=
D=
KS= 6.00E-05
[A11] = Matriz diagonal [NTxNT] [7x7]
Calculo de [A11]:
+ +
Presenta el valor de:
En la diagonal
,, = Parmetros caractersticos del tubo,Las vlvulas y bombas
-
Calculo de [A11]:
= + +
En la diagonal
1
2
3
4
5
6
7
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
Nudo
tuberia
29423.91540
2583.23149
451.95134
6.74
88.89
294.24
72.57
294.24
25.83
hf+hm(m)
674.12313
8889.2796
29423.91540
7257.14415
4.52
294.24
25.83
4.52
hf(m)
6.74
72.57
294.24
72.57
1 6 0.01781 2.03718
6 5 0.01667 3.18310
2 5 0.01781 12.73240
5 4 0.01667 5.65884
4 3 0.01781 12.73240
2 3 0.01667 5.65884
f v(m/s)
1 2 0.01593 2.03718
Nudo Q
A11
0
0
0
0
0
0
0
45.19513
0
0
0
0
0
258.323150
0 0 0 0 0
0 0 0 0 2942.39154
0 0 0 0
0 0 2942.39154 0 0
0 0 0 725.71442 0
67.41231 0 0 0 0
0 888.92796 0 0 0
Primera Iteracin:
-
Vector de Carga Piezometrica:
Comparando los caudales:
Vector de Caudales en cada tubera:
( | Qnext | - | Q | ) * 1000 =
-35.638
-51.306
-14.332
-54.332
14.332
-94.362
-65.638
La norma del vector es:
Error = ( | Qnext - Q | )
Error = 0.14310026
H next =-[(A21*N-1*A11
-1*A12)
-1] * [A21*N
-1(Q+A11
-1*A10*Ho) + q - A21*Q]
H next =
170.196
78.169
99.014
96.776
91.326
Q next =(I-N-1)*Q -N
-1*A11
-1*(A12*Hnext + A10*Ho)
Q next =
0.0644
0.0487
0.0457
0.0857
0.1143
0.0056
0.0344
-
Vector de Carga Piezometrica:
Comparando los caudales:
Vector de Caudales en cada tubera:
La norma del vector es:
Segunda Iteracin:
0.1
0.0
0.0 =
Q = Qnext = 0.1 =
0.0
0.0
0.10.0857
0.0457
451.95134
2583.23149
0.00000
0.00000
0.0644 7257.14415 0.00000
0.0487 29423.91540 0.00000
0.0056 7257.14415 163.2135
0.0344 29423.91540 0.00000
0.1143 674.12313 0.00000
A11
0
1432.75853
0
0
0 0
0
0
0
117.97158
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
1011.06142
467.08353
204.13010
0
0
077.07370
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 38.717870 0
0
Q next =
0.0449
0.0250
0.0899
0.0499
0.1101
0.0251
0.0149
H next =
82.738
78.102
89.972
96.356
91.839
( | Qnext | - | Q | ) * 1000 =
-19.4736
-23.6955
4.2220
4.2220
-19.4736
-4.2220
19.4736
Error = ( | Qnext - Q | )
Error = 0.04186421
-
Error = ( | Qnext - Q | )
Error = 0.02040156
( | Qnext | - | Q | ) * 1000 =
0.9654
0.9654
-9.9165
-9.9165
-10.8819
-0.9654
9.9165
Q next =
0.0350
0.0141
0.0909
0.0509
0.1091
0.0350
0.0050
H next =
83.595
81.429
89.591
96.270
91.970
A11
0
0
00
00000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
438.07275
325.76103
735.54341
128.87787
40.62598
0 0 0 0 074.22758
0
0
0
0
186.33763
0 0 0 0
0.1
0.0
Q = Qnext = 0.0 = =
0.0
0.0
0.0
0.10.0899
0.0499
451.95134
2583.23149
0.00000
0.00000
0.0449 7257.14415 0.00000
0.0250 29423.91540 0.00000
0.0251 7257.14415 163.2135
0.0149 29423.91540 0.00000
0.1101 674.12313 0.00000
Comparando los caudales:
La norma del vector es:
Tercera Iteracin:Vector de Carga Piezometrica:
Vector de Caudales en cada tubera:
-
Error = ( | Qnext - Q | )
Error = 0.00593924
( | Qnext | - | Q | ) * 1000 =
3.0660
3.0660
-3.0660
-0.6903
0.6903
0.6903
-2.3757
Q next =
0.0357
0.0117
0.0939
0.0539
0.1061
0.0343
0.0057
H next =
78.376
79.305
88.531
96.017
92.421
A11
0
41.06228
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
73.57680
417.41826
146.28977
253.79538
415.35547
131.371640
0
0
0
0
0
0
0.11
0.04
Q = Qnext = 0.00 = =
0.03
0.01
0.05
0.090.0909
0.0509
451.95134
2583.23149
0.00000
0.00000
0.0350 7257.14415 0.00000
0.0141 29423.91540 0.00000
0.0350 7257.14415 163.2135
0.0050 29423.91540 0.00000
0.1091 674.12313 0.00000
Comparando los caudales:
La norma del vector es:
Cuarta Iteracin:Vector de Carga Piezometrica:
Vector de Caudales en cada tubera:
-
Error = ( | Qnext - Q | )
Error = 0.00024597
Qnext * 1000 =
35.670
11.624
54.046
94.046
105.954
34.330
5.670
Q next =
0.0940
0.1060
0.0343
0.0057
0.0357
0.0116
0.0540
H next =
92.432
78.277
79.223
88.457
96.003
A11
42.447970 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 139.29183 0
0 0 0 0 345.45330 0
0
0 0 0 258.80504 0 0 0
0 0 166.60131 0 0 0
0
0 412.40860 0 0 0 0 0
71.50994 0 0 0 0 0
0.11
0.03
Q = Qnext = 0.01 = =
0.04
0.01
0.05
0.09
0.0539 2583.23149 0.00000
0.0939 451.95134 0.00000
0.0357 7257.14415 0.00000
0.0117 29423.91540 0.00000
0.00000
0.0343 7257.14415 163.214
0.0057 29423.91540 0.00000
0.1061 674.12313
Comparando los caudales:
La norma del vector es:
Quinta Iteracin:Vector de Carga Piezometrica:
Vector de Caudales en cada tubera:
-
Por lo tanto:
Carga Piezometrica: Presion = Hf - CT
Hf=
88.457
78.277
79.223
96.003
100.000
92.432
P=
88.457
78.277
79.223
96.003
100.000
92.432Qnext * 1000 =
35.670
11.624
54.046
94.046
105.954
34.330
5.670
Caudales finales:
