Clase No. 26: Sistemas autónomos. Diferencias ﬁnitas para ...

Clase No. 26:

Sistemas autónomos.Diferencias finitas para EDO

Introducción a EDPsMAT–251 Dr. Alonso Ramírez Manzanares

CIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 23.11.2015 1 / 32

Sistemas autónomos (I)

Hemos visto el PVI:Y ′ = F(x,Y), Y(a) = α.

La variable x aparece explícitamente separada del resto de las variables

Y = (y1,y2, ...,yn),

pero esto no necesariamente tiene que ser así. Si introducimos la variabley0 = x y agregamos la ecuación diferencial

y′0 = 1

y la condición inicial y0(a) = a, entonces podemos reescribir el sistema

X′ = G(X), X(a) = β,

donde

X =

y0Y

, G =

1F

, β =

aα

.

En general, a un sistema de la forma X′ = G(X) se dice que es autónomo.


Sistemas autónomos (II)

Ejemplo. Considere el sistema

y′1(x) = −2(y2(x)− 2.4)

y′2(x) = 3(y1(x)− 1.2)

Es de la forma

Y ′ = F(Y(x)) con F(Y) =

0 −23 0

Y +

4.8−3.6

−1 0 1 2 3

01

23

4

ry1

ry2


Sistemas autónomos (III)

La solución general del problema es

Y(x) =

p2r cos(

p6x+ δ)p

3r sin(p

6x+ δ)

+

1.22.4

donde r y δ dependen de la condición inicial. Si usamos como condicióninicial

Y(0) =

1.51.5

entonces δ = arctan(−p

6), y r = 0.3p2cos δ

. Para las pruebas:

• Calculamos la solución con el método de Euler.

Yk+1 = Yk + hF(Yk)


Sistemas autónomos (IV)

• La comparamos con la solución con el método de Runge-Kutta desegundo orden.

Yk+1 = Yk +h

2(K1 +K2)

K1 = F(Yk)

K2 = F(Yk + hK1)


Resultado con Euler (h = 0.005,n = 3000)

−1 0 1 2 3

01

23

4

y1

y 2


Resultado con RK2 (h = 0.005,n = 3000)

−1 0 1 2 3

01

23

4

y1

y 2


Método de diferencias finitas (I)

El método de diferencias finitas consiste en:

• Hacer una discretización del dominio

• En cada nodo de la discretización, reemplazar las derivadas queaparecen en la ecuación diferencial por alguna aproximación basada endiferencias finitas.Esto es, las derivadas se aproximan localmente mediante unacombinación lineal de las variables que hay que calcular.

• Se incluyen las condiciones de frontera en términos de las variables delproblema

• Al final se obtiene un conjunto de ecuaciones que hay que resolver.

Explicamos la aplicación del método mediante la solución de un problemade valores en la frontera para resolver una ecuación diferencial ordinaria desegundo orden:


Método de diferencias finitas (II)

Queremos resolver

y′′ = f (x,y,y′)

y(a) = α, y(b) = β

Aproximamos las derivadas por algún esquema de diferencias finitas:

y′(x) ≈1

2h[y(x+ h)− y(x− h)]

y′′(x) ≈1

h2[y(x+ h)− 2y(x) + y(x− h)]

Hacemos una discretización uniforme del intervalo [a,b]:

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

Entonces tenemos que


Método de diferencias finitas (III)

y0 = α1

h2[yi−1 − 2yi + yi+1] = f

xi, yi,1

2h(yi+1 − yi−1)

i = 1,2, ...,n− 1

yn = β

Consideremos el caso lineal:

f (x, y, y′) = u(x) + v(x)y+w(x)y′

Entonces

1

h2[yi−1 − 2yi + yi+1] = ui + viyi +

wi

2h(yi+1 − yi−1)

Es decir,

−

1 +h

2wi

yi−1 + (2 + h2vi)yi −

1−h

2wi

yi+1 = −h2ui

Si definimos


Método de diferencias finitas (IV)

ai = −

1 +h

2wi

di = 2 + h2vi

ci = −

1−h

2wi

bi = −h2ui

Entonces para i = 2, ...,n− 2 tenemos

aiyi−1 + diyi + ciyi+1 = bi

Para i = 1, a1α + d1y1 + c1y2 = b1.

Para i = n− 1, an−1yn−2 + dn−1yn−1 + cn−1β = bn−1.


Método de diferencias finitas (V)

Así, tenemos que resolver el sistema lineal

d1 c1a2 d2 c2

a3 d3 c3. . .

. . .. . .

an−2 dn−2 cn−2an−1 dn−1

y1y2y3...

yn−2yn−1

=

b1 − a1αb2b3...

bn−2bn−1 − cn−1β

Ejemplo.

y′′ = y′ − y+ ex − 3sinx (1)

y(1) = α = 1.097374911 (2)

y(3) = β = 56.559080896 (3)

La solución del problema es y(x) = ex − 3cosx.


Método de diferencias finitas (VI)

En este caso se tiene que

(2− h2)y1 −

1−h

2

y2 = −h2[ex1 − 3sinx1] +

1+h

2

α

−

1+h

2

yi−1 + (2− h2)yi −

1−h

2

yi+1 = −h2[exi − 3sinxi]

−

1+h

2

yn−2 + (2− h2)yn−1 =

1−h

2

β − h2[exn−1 − 3sinxn−1]

Tomamos n = 100.

Resolvemos el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Seidel.

Inicializamos el algoritmo con el segmento que une a los puntos (a, α) y(b, β).


Método de diferencias finitas (VII)

Después de 20000 iteraciones, el error entre la solución analítica y lanumérica es 0.2055.

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

010

2030

4050

vx

vy

Inicialización y solución numérica


Método de diferencias finitas (VIII)

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.00

00.

010

0.02

00.

030

vx

vy −

vs

Error yi − y(xi)

n max |yi − y(xi)| Iteraciones50 0.0082 7382

100 0.0022 26200


Ejemplo de condiciones mixtas (I)

Consideremos el problema

x2y′′ − 0.11y = 0,

y(0) = 0,

y′(1) = 1.1

La solución del problema es y(x) = x1.1.

0 2 4 6 8 10

−4

−2

02

4

c(0, 10)

c(−

4, 4

)

x0 x1 x2 x3 xn−3 xn−2 xn−1 xn


Ejemplo de condiciones mixtas (II)

Para los nodos interiores tenemos que la siguiente ecuación:

x2i

yi−1 − 2yi + yi+1

h2− 0.11yi = 0

Así, para i = 2, ...,n− 1 tenemos

x2iyi−1 − (2x2

i+ 0.11h2)yi + x2

iyi+1 = 0

Para i = 1,−(2x2

1 + 0.11h2)y1 + x21y2 = 0

Para i = n,yn−2 − 4yn−1 + 3yn

2h= 1.1

Probamos para diferentes discretizaciones, y obtenemos los siguientesresultados:


Ejemplo de condiciones mixtas (III)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

c(a, b)

c(m

alph

a, m

beta

* b

)

Inicialización y solución numérica


Ejemplo de condiciones mixtas (IV)

Error yi − y(xi)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00

00.

001

0.00

20.

003

0.00

40.

005

vx

vy −

vs

n max |yi − y(xi)| Iteraciones Error cuadrático25 0.001024 1486 0.0050350 0.001287 4292 0.00710

100 0.005231 10907 0.03680


Otro ejemplo (I)

Considere la ecuación

−εy′′ + βy′ = 0 0 < x < 1,

y(0) = 0

y(1) = 1

La solución del problema es

y(x) =exp

βxε

− 1

exp

βε

− 1.

Si fijamos para ε = 0.01, β = 1.0 tenemos la siguiente gráfica


Otro ejemplo (II)

Solución analítica

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vx

vy


Otro ejemplo (III)

Supongamos que ε << β.Aplicamos un esquema de diferencias finitas para resolver el problema devalores en la frontera:

y0 = 0,

yn = 1;

−εyi+1 − 2yi + yi−1

h2+ β

yi+1 − yi−1

2h= 0

Resolvemos el problema con n = 9, y obtenemos


Otro ejemplo (IV)

Solución numérica con aproximaciones de segundo orden, con n = 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.

50.

00.

51.

0

vxi

vu


Otro ejemplo (V)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.

40.

00.

20.

40.

60.

81.

0

vxi

vu


Otro ejemplo (VI)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vxi

vu


Otro ejemplo (VII)

Si definimos

Pε =|β|

2εh Número de Péclet

se puede ver que la solución numérica está dada por

yi =1−

1+Pε1−Pε

i

1−

1+Pε1−Pε

n .

De esta expresión se puede explicar el comportamiento de la soluciónnumérica.

Necesitamos que el número de Péclet sea menor que 1 para evitar lasoscilaciones.

Si en lugar de usar la aproximación en diferencias centrales para aproximary′ usamos diferencia hacia atrás, obtenemos el esquema


Otro ejemplo (VIII)

y0 = 0

−εyi+1 − 2yi + yi−1

h2+ β

yi − yi−1

h= 0

yn = 1

Solución numérica con aproximación de diferencias hacia atrás, con n = 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vxi

vyi


Otro ejemplo (IX)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vxi

vyi


Otro ejemplo (X)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

vxi

vyi


Otro ejemplo (XI)

Para explicar lo anterior, hay que notar que

yi − yi−1

h=yi+1 − yi−1

2h−h

2·yi+1 − 2yi + yi−1

h2

Entonces

−εyi+1 − 2yi + yi−1

h2+ β

yi − yi−1

h

= −εyi+1 − 2yi + yi−1

h2+ β

yi+1 − yi−1

2h−hβ

2·yi+1 − 2yi + yi−1

h2

= −

ε+hβ

2

yi+1 − 2yi + yi−1

h2+ β

yi+1 − yi−1

2h= 0


Introducción a EDPs (I)

• Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que relaciona lasderivadas parciales de una función.

• La variable dependiente (función desconocida) en la EDP es función deal menos dos variables independientes.

• El orden de la EDP es igual al orden de la derivada parcial de mayororden que aparece en la ecuación.

• Son ampliamente utilizadas para modelas fenómenos físicos.

Ejemplo.Sea u : Ω2 → R una función de dos variables. La forma general de una EDPde segundo orden es

Auxx + 2Buxy +Cuyy +Dux + Euy + F = 0.

donde A,B,C,D,E,F ∈ R.


Categorías de EDPsLa ecuación

Auxx + 2Buxy +Cuyy +Dux + Euy + F = 0

se dice que es:

• Elíptica si AC− B2 > 0.Ejemplo: la ecuación de Poisson

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= g(x,y)

• Parabólica si AC− B2 = 0.Ejemplo: la ecuación de calor

∂u

∂t= a

∂2u

∂x2+ g(x)

• Hiperbólica si AC− B2 < 0.Ejemplo: la ecuación de onda

∂2u

∂t2= a2 ∂

2u

∂x2+ g(x)


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