Clase No. 28: Introducción a EDP: Ecuaciones...

Clase No. 28:

Introducción a EDP:Ecuaciones hiperbólicas

MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 30.11.2015 1 / 23

Ecuación de onda unidireccional

ut + aux = 0

u(x,0) = u0(x)

donde a es una constante, t representa el tiempo y x es la variable espacial.Se puede ver que la solución es de la forma

u(x, t) = u0(x− at)

−3 −2 −1 0 1 2 3

01

23

45

c(−3, 3)

c(−

0.5,

5)

h h

k

k

uji

j

i

x

t


Convergencia y consistencia (I)

Convergencia

Un esquema de un paso de diferencias finitas es convergente si se tieneque las aproximaciones uij de las solución u(x, t) cumplen con uij → u(xj, ti) sih,k→ 0.

Consistencia

Dada una EDP Pu = f y un esquema de diferencias finitas Ph,kv = f , decimosque el esquema es consistente con la EDP si para cualquier función suaveϕ(x, t) se tiene que

Pϕ − Ph,kϕ→ 0 si h,k→ 0.

La convergencia es en cada punto (x, t).


Convergencia y consistencia (II)

Ejemplo. Consideremos el esquema FTFS. y la ecuación de onda. Entonces

P =∂

∂t+ a

∂

∂x

Pϕ = ϕt + aϕx

Ph,kϕ =ϕi+1j − ϕijk

+ aϕij+1 − ϕ

ij

hϕij

= ϕ(jh, ik)

Aplicando el desarrollo de Taylor:

ϕi+1j = ϕi

j+ kϕt +

1

2k2ϕtt +O(k3)

ϕij+1 = ϕi

j+ hϕx +

1

2h2ϕxx +O(h3)

donde todas las derivadas están evaluadas en (jh, ik). Así


Convergencia y consistencia (III)

Ph,kϕ = ϕt + aϕx +1

2kϕtt +

1

2ahϕxx +O(k2) +O(h2)

Entonces

Pϕ − Ph,kϕ = −1

2kϕtt −

1

2ahϕxx +O(k2) +O(h2)→ 0

si h,k→ 0. Por tanto, el esquema es consistente.


La condición CFL (I)

Proposición

Para un esquema explícito de la ecuación ut + aux = 0, que es de la formaui+1j = αuij−1 + βuij + γuij+1 en el que λ = k/h se mantiene constante, una

condición necesaria para la estabilidad es la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),

|aλ| ≤ 1.


La condición CFL (II)

La rapidez de propagación numérica para el esquema es h/k = λ−1. Sireescribimos la condición CFL como

λ−1 ≥ |a|,

interpretamos la condición como que la rapidez de propagación numéricadebe ser mayor o igual que la rapidez de propagación de la ecuacióndiferencial.


Ecuación de onda bidireccional (I)

Sea Ω = (0,X). Queremos calcular la solución u(x, t) en Ω× [0,T] delproblema

ρ(x)utt(x, t)− μuxx(x, t) = g(x, t) (x, t) ∈ Ω× [0,T] (1a)

u(x,0) = f1(x) x ∈ Ω (1b)

ut(x,0) = f2(x) x ∈ Ω (1c)

u(0, t) = h1(t) t ∈ [0,T] (1d)

ux(X, t) = h2(t) t ∈ [0,T] (1e)


Ecuación de onda bidireccional (II)


Solución mediante diferencias finitas

Dividimos los intervalos Ω y [0,T] de la siguiente manera

0 = x0 < x1 < ... < xM = X con xj = j∆x, ∆x =X

M.

0 = t0 < t1 < ... < tL = T con ti = i∆t, ∆t =T

L.

Denotamos por uij el valor de la solución numérica en el nodo (j, i). Tambiénusamos la siguiente notación

ρj = ρ(xj), gij

= g(xj, ti),

para indicar el valor de la función en el nodo.


Discretización del dominio

0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

x

y

u00 u1

0 u20 ... uM−2

0 uM−10 uM

0

u01 u1

1 u21 ... uM−2

1 uM−11 uM

1

u(x,0)=f1(x), ut(x,0)=f2(x)

u(0,t)=h1(t) ux(X,t)=h2(t)

uj−1i uj

i uj+1i

uj(i−1)

uj(i+1)


Esquema de solución explícito (I)

Tenemos que para i = 0 y 0 ≤ j ≤M,

u0j

= f1(xj).

Para j = 0 y 1 ≤ i ≤ L se tiene que

ui0 = h1(ti).

Para i = 1 y 1 ≤ j ≤M− 1, podemos tomar la siguiente aproximación

u1j

= u0j

+ ∆t(ut)0j

+∆t2

2(utt)

0j

= u0j

+ ∆t(ut)0j

+∆t2

2

1

ρj

g0j

+ μu0j+1 − 2u0

j + u0j−1

∆x2

= u0j

+ ∆t f2(xj) +∆t2

2ρj∆x2

∆x2g0j

+ μ(u0j+1 − 2u0

j+ u0

j−1)


Esquema de solución explícito (II)

Para j = M y 1 ≤ i ≤ L podemos tomar la aproximación

h2(ti) = ux(xM, ti) ≈uiM−2 − 4ui

M−1 + 3uiM

2∆x

=⇒ uiM

=4ui

M−1 − uiM−2 + 2∆xh2(ti)

3Finalmente, para 1 ≤ j ≤M− 1 y 1 < i ≤ L, tenemos

ρj

∆t2(ui+1

j − 2uij+ ui−1

j )−μ

∆x2(ui

j+1 − 2uij+ ui

j−1) = gij.

de donde

ui+1j = 2ui

j− ui−1

j+

∆t2

4∆x2ρj

4∆x2gij+ 4μ(ui

j+1 − 2uij+ ui

j−1)

En los ejemplos, fijamos el valor de M, y calculamos

∆t < s∆xμ

maxρ,


Esquema de solución explícito (III)

para algún s ∈ (0,1). Luego calculamos el valor de L:

L = dT/∆t − 1e .


Ejemplo 1 (I)

Definimos ρ(x) = μ(x) = 1. Queremos que la solución del problema (1) sea lafunción

u(x, t) = sinπ

2xcos

π

2t.

Entonces

f1(x) = u(x,0) = sinπ

2x

f2(x) = ut(x,0) = 0

h1(x) = u(0, t) = 0

h2(x) = ux(0, t) = 0

La solución obtenida para X = 1 y T = 6 se muestra en las siguientes figuras.


Ejemplo 1 (II)

Las siguientes gráficas muestran el valor del error promedio entre lasolución analítica y la numérica para cada instante de tiempo

Error(ti) =

√

√

√

√

1

M+ 1

M∑

j=0

[u(xj, ti)− uij]2.


Ejemplo 1 (III)

usando diferentes valores de los parámetros M y L.

0 1 2 3 4 5 6

0.00

000.

0005

0.00

100.

0015

M=250

t

Err

or p

rom

edio

L=2008L=3012L=6024

0 1 2 3 4 5 6

0e+

002e

−04

4e−

046e

−04

8e−

04

M=500

t

Err

or p

rom

edio

L=4009L=6013L=12025

También se muestra el valor de la aproximación de la energía en cadainstante de tiempo


Ejemplo 1 (IV)

Energía(ti) =1

2

M∑

j=0

[(δxuij)2 + (δtu

ij)2]∆x

donde δxuij y δtu

ij son aproximaciones de la derivadas en las direcciones x y

t en el nodo (j, i).

0 1 2 3 4 5 6

0.61

9301

0.61

9303

0.61

9305

M=250

t

Ene

rgia

L=2008L=3012L=6024

0 1 2 3 4 5 60.61

8079

60.

6180

802

0.61

8080

8

M=500

t

Ene

rgia

L=4009L=6013L=12025


Ejemplo 1 (V)

Para el caso continuo

Energía(tj) =1

2

∫ 1

0(u2

x+ u2

t)dx =

π2

8

La línea punteada de la gráfica muestra este valor y la línea azul es laenergía para la solución obtenida con M = 500 y L = 12025.

0 1 2 3 4 5 6

0.61

700.

6174

0.61

78M=500 L=12025

t

Ene

rgia


Ejemplo 2 (I)

Definimos ρ(x) = μ(x) = 1.

Sean X = 1.0 y T = 9.0. Resolvemos el problema con las siguientecondiciones

f1(x) = u(x,0) = 0, f2(x) = ut(x,0) = 0.

h1(t) = u(0, t) = 0.0, h2(t) = ux(1, t) = 0.0

Tomando M = 500 se tiene que L = 6013 para s = 0.75. La solución obtenidacon el esquema explícito se muestra a continuación.


Ejemplo 2 (II)


Ejemplo 2 (III)

Queremos comparar esta solución con otras soluciones obtenidas condiscretizaciones más burdas, para ver si no hay grandes cambios. Para esto,a partir de cada solución calculamos los valores de la solución en unaretícula que tiene 300 puntos en la dirección x y 2000 en la dirección t,usando interpolación bilineal. Con esos valores calculamos el error promedioen cada instante de tiempo

E(tj) =

√

√

√

√

1

300

300∑

i=1

(vji − u

ji)

2, j = 1, ...,2000,

donde vji son los valores obtenidos para la solución calculada con la

discretización de mayor resolución. La siguiente gráfica muestra lacomparación del error entre 3 discretizaciones.


Ejemplo 2 (IV)

0 2 4 6 8

0.00

000.

0005

0.00

100.

0015

Comparacion con M=500, L=6013

t

Err

or

M=250 L=3012M=100 L=1212


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