CIRCUITOS 2Redes de dos puertos

1

2

Introducción

Un puerto esta formado por dos terminales

Conectar una fuente ó señal de entrada. La corriente que entra por un terminal

Sale por el otro terminal.

Red de un puerto

3

Redes de dos puertos

Una red de dos puertos tiene dos pares de terminales

Un puerto de entrada (fuente) y Un puerto de salida (carga).

Puede conectarse con otra red para formar una red más compleja.

1 3 2 4;i i i i

4

Redes de dos puertos

Una red de dos puertos no tiene conexión entre el circuito externo del lado derecho y el del lado izquierdo excepto a través del cuadripolo. Puede considerarse que es el único medio de transmisión entre ambas partes.

5

Se definen como variables de redes de dos puertos: el voltaje de entrada V1, la corriente de entrada I1, el voltaje de salida V2, y la corriente de salida I2. De estas cuatro variables, se seleccionan dos como variables independientes y dos como variables dependientes.

Red lineal – No hay fuentes independientes

Redes de dos puertos

6

Ecuaciones y parámetros de RDP

Las ecuaciones de una red lineal de dos puertos expresan a las dos variables dependientes como una combinación lineal de las dos variables independientes.

Se utilizan para modelar el comportamiento de la red vista desde sus terminales.

Los cuatro coeficientes de las mencionadas combinaciones lineales se denominan parámetros de la red.

Existen diversos conjuntos de parámetros, de acuerdo a cuáles variables se eligen como independientes.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V P I P I

V P I P I

7

Parámetros de admitancia [Y] Supongamos que las variables

independientes son los voltajes, en tal caso, las ecuaciones del circuito son las siguientes:

En forma matricial, se tiene:

Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros de admitancia de cortocircuito se definen de la siguiente manera:

2221212

2121111

VyVyI

VyVyI

2

1

2221

1211

2

1

V

V

yy

yy

I

I

8

Parámetros de admitancia [Y]

y11 y y21 se determinan con el puerto de salida en corto circuito, y excitando el puerto de entrada. Por ello se denominan admitancia de entrada con la salida en corto circuito y admitancia de transferencia con la salida en corto circuito, respectivamente.

y22 y y12 se determinan con el puerto de entrada en corto circuito, y excitando el puerto de salida. Por ello se denominan admitancia de salida con la entrada en corto circuito y admitancia de transferencia con la entrada en corto circuito, respectivamente.

0000 12

2221

2

1122

1

2212

1

111 V

V

IyV

V

IyV

V

IyV

V

Iy

9

Parámetros de Admitancia [Y] Modelo general

10

Ejemplo

Determine los parámetros de impedancia de circuito abierto para el circuito.

Ls

VVVCs

RLs

VVVVCsI

RLs

VVI x

xx

xx

)();(; 21

221

1

RLsRLCsCsL

VRLCsCsLLsVVx

2

)(232

2232

1

11

Ejemplo

2

1

232

2

232

2

232

2

232

2

2

1

2

2

2

22

1

V

V

RLsRLCsCsL

RCsLCs

RLsRLCsCsL

LCsRLsRLCsCsL

LCs

RLsRLCsCsL

LCs

I

I

RLsRLCsCsL

LCsyy

2232

2

2112

12

Admitancia de entrada y Ganancia de voltaje

A partir de los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden determinar las funciones circuitales de interés cuando a la entrada se coloca una fuente ideal de voltaje y a la salida se conecta una carga resistiva

R

sVIsVVVyVyIVyVyI o

i

)();(;; 2122212122121111

13

Admitancia de entrada y Ganancia de voltaje

R

sVIsVVVyVyIVyVyI o

i

)();(;; 2122212122121111

Ry

y

sV

sVsG

i

o

1)(

)()(

22

21

Ry

yyysYin 1

)(

22

211211

14

Ejemplo

Los parámetros de admitancia de cortocircuito de un circuito vienen dados por:

Determine la ganancia de voltaje del circuito cuando se le conecta una carga: 0,9 Ω

Dibuje el diagrama de polos y ceros Encuentre la respuesta al escalón unitario y

represente gráficamente.

3432

34

3432

23432

2

3432

)1(2

23

2

23

2

23

2

23

2

2221

1211

sss

ss

sss

ssss

s

sss

s

yy

yy

15

Ejemplo

La ganancia de voltaje del circuito es:

La función tiene un cero doble en el origen y tres polos, dados por:

30676620

18

3432

34

9

103432

2

)(23

2

23

2

23

2

sss

s

sss

sssss

s

sG

57.065.057.065.02 321 jpjpp

16

Ejemplo

57.065.057.065.02 321 jpjpp

17

Ejemplo

Para hallar la respuesta al escalón unitario escribimos la ganancia de voltaje en forma factorizada, así:

La transformada inversa de Laplace de la salida es:

ssss

s

ssGsVo )152620)(2(

181)()(

2

2

)()57.0sen(5633

198)57.0cos(

43

36

43

36)( 65.02 tutteetv tt

o

18

Ejemplo

0.2

0.2

vo t( )

100 t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.2

0.1

0

0.1

0.2Re s p u e s t a a l e s c a l o n

)()57.0sen(5633

198)57.0cos(

43

36

43

36)( 65.02 tutteetv tt

o

19

Parámetros de impedancia [Z] Supongamos que las variables independientes son

las corrientes, en tal caso, las ecuaciones del circuito son las siguientes:

En forma matricial, se tiene:

Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros de impedancia de circuito abierto se definen de la siguiente manera:

2221212

2121111

IzIzV

IzIzV

2

1

2221

1211

2

1

I

I

zz

zz

V

V

20

Parámetros de impedancia [Z]

z11 y z21 se determinan dejando el puerto de salida en circuito abierto, y excitando el puerto de entrada. Por ello se denominan impedancia de entrada con la salida en circuito abierto e impedancia de transferencia con la salida en circuito abierto, respectivamente.

z22 y z12 se determinan dejando el puerto de entrada en circuito abierto, y excitando el puerto de salida. Por ello se denominan impedancia de salida con la entrada en circuito abierto e impedancia de transferencia con la entrada en circuito abierto, respectivamente.

0000 12

2221

2

1122

1

2212

1

111 I

I

VzI

I

VzI

I

VzI

I

Vz

21

Parámetros de impedancia [Z] Modelo general

22

Ejemplo

Determine los parámetros de impedancia de circuito abierto para el circuito.

)(1

)()(

1222

2111

IILsICs

V

IILsIRLsV

CsLsLs

LsRLs

zz

zz1

2

2221

1211

2112 zz

23

Se tiene una red de dos puerto con una impedancia de carga a la salida

Se dijo que los parámetros de impedancia se describen como:

Impedancia de entrada y Ganancia de voltaje

2221212

2121111

IzIzV

IzIzV

24

Ganancia de voltaje

Teniendo en cuenta la carga, se tiene entonces :

Para determinar la función de transferencia, eliminamos I1 de las ecuaciónes anteriores

Despejamos2

12 1

111

L

VZ Vz

IZ

12 2 1

111

L

L

Z V Z VI

Z Z

L

L

Z

VzIzV

Z

VzIzV

2221212

2121111

25

Ganancia de voltaje

Y reemplazamos

Y se llega a que la función de transferencia es:

12 2 1 22 21 22

11

L

L L

Z V Z V VV Z Z

Z Z Z

2 21

1 11( )L

L

V Z Z

V Z Z Z

11 22 21 12( )Z Z Z Z Z

26

Impedancia de entrada

Para la impedancia de entrada, eliminamos V2

L

L

Z

VzIzV

Z

VzIzV

2221212

2121111

222 21 11

L

ZV Z I

Z

21 1

222

L

L

Z I ZV

Z Z

27

Impedancia de entrada

Reemplazando

21 1

221 11 1 12

( )LL

L

Z Z IZ Z

V Z I ZZ

12 21

1 1 11 122L

Z ZV I Z I

Z Z

1 11 11 22 12 21

1 22

L

L

V Z Z Z Z Z Z

I Z Z

28

Relación entre [Z] y [Y]

A partir de los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden obtener los parámetros de impedancia de circuito abierto y viceversa, así:

Multiplicando por la inversa, se tiene que:

2

1

2221

1211

2

1

V

V

yy

yy

I

I

2

1

1

2221

1211

2

1

I

I

yy

yy

V

V

29

En consecuencia, la matriz de los parámetros de impedancia de circuito abierto es la inversa de la matriz de parámetros de admitancia de cortocircuito.

1

2221

1211

2221

1211

yy

yy

zz

zz 1

2221

1211

2221

1211

zz

zz

yy

yy

Relación entre [Z] y [Y]

30

Ejemplo

Hallar [Z] a partir de [Y]1

2221

1211 12

CsLsLs

LsRLs

yy

yy

RLsRLCsCsL

RCsLCs

RLsRLCsCsL

LCsRLsRLCsCsL

LCs

RLsRLCsCsL

LCs

yy

yy

2

2

2

22

1

232

2

232

2

232

2

232

2

2221

1211

21122211

11

21122211

21

21122211

12

21122211

221

2221

1211

2221

1211

yyyy

y

yyyy

yyyyy

y

yyyy

y

yy

yy

zz

zz

31

Parámetros híbridos [H]

Las variables independientes son la corriente de entrada y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito son:

2221212

2121111

VhIhI

VhIhV

2

1

2221

1211

2

1

V

I

hh

hh

I

V

0000 12

2221

2

1122

1

2212

1

111 I

V

IhI

V

VhV

I

IhV

I

Vh

32

Parámetros híbridos [H]

h11 y h21 se determinan con el puerto de salida en corto circuito, y excitando el puerto de entrada. Se denominan impedancia de entrada con la salida en corto circuito y ganancia de corriente con la salida en corto circuito, respectivamente.

h22 y h12 se determinan con el puerto de entrada en circuito abierto, y excitando el puerto de salida. Se denominan admitancia de salida con la entrada en circuito abierto y ganancia inversa de voltaje con la entrada en circuito abierto, respectivamente.

0000 12

2221

2

1122

1

2212

1

111 I

V

IhI

V

VhV

I

IhV

I

Vh

33

Parámetros híbridos [G]

Las variables independientes son la corriente de entrada y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito son:

2221212

2121111

IgVgV

IgVgI

2

1

2221

1211

2

1

I

V

gg

gg

V

I

0000 12

2221

2

1122

1

2212

1

111 V

I

VgV

I

IgI

V

VgI

V

Ig

34

Parámetros de transmisión [T]

Las variables independientes son la corriente y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito son:

221

221

IDVCI

IBVAV

2

2

1

1

I

V

DC

BA

I

V

0000 22

12

2

12

2

12

2

1

VI

IDV

I

VBI

V

ICI

V

VA

35

Interconexión de RDP

Conexión en serie

1 1 1

2 2 2

a b

a b

I I I

I I I

1 1 1

2 2 2

a b

a b

V V V

V V V

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

a bZ Z Z

V Z I

36

Interconexión de RDP

Conexión en paralelo

1 1 1

2 2 2

a b

a b

I I I

I I I

1 1 1

2 2 2

a b

a b

V V V

V V V

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

a bY Y Y

I Y V

37

Interconexión de RDP

Conexión en cascada

1 2 1 2;b a b aV V I I

[ ] [ ][ ]a bT T T

38

Resumen de parámetros

39

Ejemplo

Para el circuito del ejemplo anterior; determine el voltaje de salida cuando la excitación es la señal escalón unitario y represente gráficamente.

Solución La función de transferencia era:

Para la excitación con el escalón unitario:

Voltaje de salida será:

Dominio del tiempo:

102

10

)(

)(2

sssV

sV

i

o

ssVi

1)(

)102(

10)(

2

ssssVo

)()3sen(3

1)3cos(1)( tutetetv tt

o

40

Ejemplo

La función de transferencia en forma factorizada es la siguiente: f=ilaplace((s+1/2)/((s+0.3091)*(s+1.65)*(s^2+1.291*s+1.9609)))

La respuesta al escalón unitario:

)9609.1s2910.1s)(6500.1s)(3091.0s(

s)s(G

22

1

2427.1j6455.02427.1j6455.03091.06500.1

sssss

ssG

)9609.12910.1)(6500.1)(3091.0()(

22

1

tseneteeetve ttt 243.1349.0243.1cos018.0204.0278.05.0)( 645.0645.065.1309.0