CALC INTEGRAL

POR: RITA DEDERLE CABALLERO

MTODO DE DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES SIMPLESEs un mtodo algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fraccin en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores ms sencillos que el dado.

CASO 1

Todos los factores que aparecen en el denominador son lineales y distintos.

1.-Resuelve la siguiente integral

De acuerdo a la recomendacin planteada en este mtodo analicemos la factorizacin del denominador

Por lo cual podemos realizar la siguiente descomposicin de fracciones:

Realizando las operaciones

Comparando las fracciones podemos deducir de los numeradores que

Sustituyendo de EC. 3 tenemos A = -1 en EC.1 tenemos que B + C = 1 , pero de EC.2 tenemos

B = C por lo tanto 2 B = 1 en consecuencia:

Ahora estamos en condiciones de resolver la integral inicial Ec.A obteniendo integrales a las cuales les podemos aplicar las frmulas de manera inmediata

Aplicando propiedades de los logaritmos podemos decir que:

1.

INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES SIMPLES

La Integracin mediante fracciones parciales, es uno de los mtodos de Integracin mas fcil, en donde la forma a seguir est dada, por unos criterios.

Definicin: Se llama funcin racional a toda funcin del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado

Ejemplo:

Cmo descomponer una funcin racional en fracciones parciales?

Veamos los siguientes casos:

CASO 1: Factores Lineales Distintos.

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccin racional propia (que el denominador se puede descomponer), le Corresponde una fraccin de la forma , siendo A una constante a determinar.

Ejemplo:

Luego nos queda la siguiente igualdad

tambin lo podemos escribir Haciendo un Sistema.

Las soluciones son:

Quedando de esta manera:

Con lo cual

Ejemplo: I = 2x+3 /( x 2 )( x+5 ) dx

_ 2x+3 _ = _ A _ + B _

( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x + 5 )

_ 2x+3 _ = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x+5 )

Para el calculo de A se le da un valor arbitrario a x que la vuelva cero.

I forma:

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

Si x = 5

2(5)+3 = A (5+5) + B (5 2)

10 + 3 = 7B

7 = 7B

B = 1

Ahora se le da un valor arbitrario a x para que B sea igual a cero.

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

Si x = 2

2(2)+3 = A(2+5)+B(2 2)

4+3 = 7A

7 = 7A

A = 1

I = _Adx_ + __Bdx__

x 2 x + 5

Se reemplaza el valor de A y B

I = _(1)dx_ + __(1)dx__

x 2 x + 5

I = _dx_ + __dx__

x 2 x + 5

I = ln ( x 2 ) + ln ( x 5 ) + c

II forma:

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

2x+3 = Ax+5A + Bx 2B

2x+3 = (A+ B)x + (5A 2B)

Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes dos formulas:

Ec#1 2 = A+B

Ec#2 3 = 5A2B

Para eliminar el coeficiente B se multiplica la primera ecuacin por 2:

2A+2B = 4

5A2B = 3 7A = 7

A = 1

Reemplazando en la Ec#1:

2 = A+B

2 = 1+B

B = 21

B = 1

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

Calculemos la siguiente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

Ejemplo: I = 2x+3 /( x 2 )( x+5 ) dx

_ 2x+3 _ = _ A _ + B _

( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x + 5 )

_ 2x+3 _ = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x+5 )

Para el calculo de A se le da un valor arbitrario a x que la vuelva cero.

I forma:

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

Si x = 5

2(5)+3 = A (5+5) + B (5 2)

10 + 3 = 7B

7 = 7B

B = 1

Ahora se le da un valor arbitrario a x para que B sea igual a cero.

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

Si x = 2

2(2)+3 = A(2+5)+B(2 2)

4+3 = 7A

7 = 7A

A = 1

I = _Adx_ + __Bdx__

x 2 x + 5

Se reemplaza el valor de A y B

I = _(1)dx_ + __(1)dx__

x 2 x + 5

I = _dx_ + __dx__

x 2 x + 5

I = ln ( x 2 ) + ln ( x 5 ) + c

II forma:

2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )

2x+3 = Ax+5A + Bx 2B

2x+3 = (A+ B)x + (5A 2B)

Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes dos formulas:

Ec#1 2 = A+B

Ec#2 3 = 5A2B

Para eliminar el coeficiente B se multiplica la primera ecuacin por 2:

2A+2B = 4

5A2B = 3 7A = 7

A = 1

Reemplazando en la Ec#1:

2 = A+B

2 = 1+B

B = 21

B = 1

x2+2x+3/(x 1) (x + 1)2 dx

_ x2+2x+3 _ = _ A _ + _ B _ + _ C _

(x 1) (x + 1)2 x 1 (x + 1) (x + 1)2

_ x2+2x+3 _ = _ A (x + 1)2_+ B (x 1) ( x+1 ) + C(x 1)

(x 1) (x + 1)2 (x 1) (x + 1)2

x2+2x+3 = A (x + 1)2 + B (x 1)( x+1 ) + C(x 1)

x2+2x+3 = A (x + 1)2 + B (x2 1) + C(x 1)

x2+2x+3 = A (x2 + 2x +1) + Bx2 B + Cx C

x2+2x+3 = Ax2 + 2Ax + A + Bx2 B + Cx C

x2+2x+3 = Ax2 + Bx2 + 2Ax + Cx + A B C

x2+2x+3 = (A+B)x2 + (2A+ C)x + (A B C)

Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes tres formulas:

Ec#1 1 = A+B

Ec#2 2 = 2A+C

Ec#3 3 = A B C 6 = 4A

A = 6/4

A = 3/2

Reemplazo Ec#1:

1 = 3/2+B B = 1 3/2

B = 1/2

Reemplazo Ec#2:

2A+C = 2 2(3/2) + C = 2

3 + C = 2

C = 1

I = A _ dx + _ B _ dx + _ C _ dx

x 1 x + 1 (x + 1)2

3/2 dx _ 1/2 _ dx _ _ dx _

x 1 x + 1 (x + 1)2

= 3/2 ln(x 1) 1/2 ln (x+1) + _ 1 _ + C

(x+1)

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_1224914895.unknown

_1225083494.unknown

_1225096215.unknown

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