clase3-Econometría

Clases 3Econometrıa I

JavieraVasquez

Propiedadesdel EstimadorMCO

Sesgo delEstimador MCO

Varianzaestimador MCO

Inferenciasobre elestimadorMCO

Estadısticot-student

p-value

Intervalos deconfianza

t, p-value, e ICen STATA


Javiera Vasquez


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p-value



Contenidos

1 Propiedades del Estimador MCOSesgo del Estimador MCOVarianza estimador MCO

2 Inferencia sobre el estimador MCOEstadıstico t-studentp-valueIntervalos de confianzat, p-value, e IC en STATA


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p-value



Sesgo del estimador MCO

Recordemos el modelos en desvıos con respecto a la media:

yi = β2xi + ui (1)

El estimador MCO de β2 es:

β2 =

∑Ni=1 xiyi∑Ni=1 x2

i

(2)

Reemplazando (1) en (2):

β2 =

∑Ni=1 xi (β2xi + ui )∑N

i=1 x2i


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p-value




β2 =

∑Ni=1 xi (β2xi + ui )∑N

i=1 x2i

=β2

∑Ni=1 x2

i +∑N

i=1 xiui∑Ni=1 x2

i

β2 = β2 +

∑Ni=1 xiui∑Ni=1 x2

i

(3)


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p-value




Tomando valor esperado de la expresion anterior:

E [β2|xi ] = β2 +

∑Ni=1 xiE [ui |xi ]∑N

i=1 x2i

E [β2|xi ]S3= β2

E [β2] = β2

El estimador MCO es insesgado.


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p-value



Varianza del estimador MCO

La definicion de varianza de una variable aleatoria Z es:

V [Z ] = E [Z − E (Z )]2

De esta forma, y utilizando (3):

V [β2|xi ] = E [β2 − E (β2|xi )|xi ]2

V [β2|xi ] = E

[∑Ni=1 xiui∑Ni=1 x2

i

|xi

]2


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p-value



Varianza del estimador MCO

V [β2|xi ] =

∑Ni=1 x2

i E [u2i |xi ]

(∑N

i=1 x2i )2

V [β2|xi ]S4=

∑Ni=1 x2

i σ2

(∑N

i=1 x2i )2

V [β2|xi ] = σ2

∑Ni=1 x2

i

(∑N

i=1 x2i )2

V [β2|xi ] =σ2

∑Ni=1 x2

i

= V [β2] (4)


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p-value



Inferencia: Introduccion

Una vez que hemos estimado los coeficientes de la rectade regresion lineal, nos interesa saber si estos valores sonestadısticamente signficativos, es decir, si el valorestimado es significativamente distinto de cero.

Puede ser que efectivamente el coeficiente estimado seamuy cercano a cero, pero puede ser que aun cuando elcoeficiente estimado no sea cercano a cero, tenga unadesviacion estandar elevada.

La forma de testear la significancia estadıstica delcoeficiente estimado, es justamente realizando un test dehipotesis construyendo el estadıstico ad-hoc.


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p-value



β2 se distribuye normal

Hasta el momento, para demostrar que MCO es insesgado yque tiene varianza dada por la ecuacion (5) no hemos utilizadoningun supuesto de distribucion de los errores, solo que tienenmedia cero y varianza homocedastica igual a σ2. Para poderrealizar inferencia se requiere el supuesto de normalidad deltermino de error:

uiiid∼ N(0, σ2)

Dado este supuesto se tiene que β2 tambien tiene unadistribucion normal:

β2iid∼ N(β2, V (β2))


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p-value



Estadıstico para la H0: β2=0

Supongamos que queremos testear la H0 de que β2 = 0 contrala alternativa de que es distinto de cero:

H0 : β2 = 0

H1 : β2 6= 0

Test de dos colas


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p-value




Entonces, si la hipotesis nula es cierta:

β2 ∼ N(0, V (β2))

β2√V (β2)

∼ N(0, 1)

donde:

V (β2) =σ2

∑Ni=1 x2

i


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p-value




Pero σ2 es desconocida y debe ser estimada. El estimadorconsistente de la varianza de los errores es:

σ2 =

∑Ni=1 u2

i

N − 2


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p-value




Luego se tiene que el estimador de V (β2) es:

V (β2) =σ2

∑Ni=1 x2

i

Con lo cual, el estimador no se distribuye normal sino tconN − 2 grados de libertad:

β2√V (β2)

∼ tN−2

Por lo cual el valor calculado del estadıstico debe sercomparado con un valor de tabla de la distribucion t-studentcon N − 2 grados de libertad.


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p-value



Zona de rechazo de la H0


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p-value



¿Cuando se rechaza la H0?

Luego, si el valor del estadıstico es mayor al valor de tabla dela distribucion t-student que delimita la zona de rechazo, serechaza la hipotesis nula que el coeficiente estimado para β2

es igual a cero. Si el valor calculado para el estadıstico esmenor que el valor de tabla que delimita la zona de rechazo,no se puede rechazar la hipotesis nula de que el coeficienteestimado para β2 es igual a cero, con lo cual el coeficiente noes estadısticamente significativo.


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p-value



Otra forma de ver significancia: p-value

El p-value corresponde al menor valor de significancia al cualla hipotesis nula puede ser rechaza basado en el valor calculadodel estadıstico, es decir, el p-value es la probabilidad asociadaal estadıstico:

p = 2Φ(−|tc |)


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p-value



p-value


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p-value



Valores mas probable del coeficiente: Intervalos deConfianza

Los intervalos de confianza muestran el rango de valoresmas probable para el coeficiente β2

Una vez definido el nivel de significancia exigido, el nivelde confianza tambien queda definido.

La probabilidad de estar en el intervalo de confianza esigual a uno menos el nivel de significancia escogido.

El nivel de confianza es la probabilidad de estar en la zonade no rechazo de la H0


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p-value



Intervalos de Confianza

Pr

t α

2,n−k <

β2 − β2√V (β2)

< t1−α2

,n−k

= 95%

Pr [t α2

,n−k ·√

V (β2) < β2 − β2 < t1−α2

,n−k ·√

V (β2)] = 95%

Pr [β2 − t1−α2

,n−k ·√

V (β2) < β2 < β2 − t α2

,n−k ·√

V (β2)] = 95%

Pr [β2 − t1−α2

,n−k ·√

V (β2) < β2 < β2 + t1−α2

,n−k ·√

V (β2)] = 95%

Pr [β2 − 1,96 ·√

V (β2) < β2 < β2 + 1,96 ·√

V (β2)] = 95%


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p-value



Intervalos de Confianza

De igual forma se puede hacer inferencia sobre la constante(β1), solo que es este caso la varianza de este parametroestimado es:

V (β1) = X2V (β2)


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p-value



t, p-value, e IC en STATA

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