Clase4

Variablesaleatorias

Variable aleatoria

Definicion

Una variable aleatoria (v.a.) X es cualquier funcion:

X ∶ Ω→ R

En otras palabras, una v.a. es una aplicacion que especifica unamanera particular de cuantificar los posibles resultados de unexperimento aleatorio. Al conjunto de todos los posibles valoresque X puede tomar se le denota por RX y se le llama el rangode X. Si RX es finito o enumerable, X se denomina una v.a.discreta; mientras que si RX es un intervalo, X se denominauna v.a. continua.

Prof. Cristian Bayes FACI PUCP 1 / 11

Variablesaleatorias

El comportamiento probabilıstico de una v.a. discreta sedescribe mediante:

Definicion

(La funcion de probabilidad) Si X es una v.a. discreta, la funcionde probabilidad de X viene dada por:

fX(x) = P (X = x) = P (ω ∈ Ω / X(ω) = x).

Se sigue de esta definicion que ∑x∈RXfX(x) = 1 y que si

x ∉ RX , entonces fX(x) = 0.


Variablesaleatorias

En las v.a.s continuas, la nocion de funcion de probabilidadcarece de sentido ya que la factibilidad de que X tome un solovalor entre infinitos es siempre nula. Esto sin embargo, no limitala posibilidad de evaluar probabilidades que X tome valores enun intervalo. Para ello se utiliza el siguiente concepto.

Definicion

(La funcion de densidad) Si X es una v.a. continua, la funcionde densidad de X es una aplicacion fX ∶ R → [0,∞[ tal que

P (a ≤X ≤ b) = ∫ ba fX(x)dx y que satisface:

Area bajo la grafica de fX = ∫∞

−∞fX(x)dx = 1.

Cabe remarcar que f no es una probabilidad, sino un modelomatematico que permite evaluar P (a ≤X ≤ b) como el areabajo su grafica entre los puntos a y b.


Variablesaleatorias

Definicion

(La funcion de distribucion acumulada) La funcion de distribu-cion acumulada de una v.a. X viene dada por:

FX(x) = P (X ≤ x) = P (ω ∈ Ω / X(ω) ≤ x)

Proposicion

La funcion de distribucion acumulada satisface las siguientes pro-piedades:1.- FX es una funcion creciente y continua por la derecha.2.- lımx→−∞ FX(x) = 0 y lımx→∞ FX(x) = 1.

3.−F (x) = ∑u≤x,u∈RXfX(u) , si X es una v.a. discreta

∫ x−∞ fX(u)du , si X es una v.a. continua.

4.- Si X es una v.a. continua, entonces fX(x) = dFX(x)dx .


Variablesaleatorias

Ejemplo:

Un almacen cuenta con un stock de 12 productos, de los cuales3 tienen pasada su fecha de vencimiento, pero el almacenero lodesconoce. Si ante un pedido de 4 de estos productos elalmacenero los elige al azar, halle la funcion de probabilidad yla funcion de distribucion acumulada del numero de productosvencidos que el seleccionara en la muestra. Grafique ambasfunciones.Suponga que para realizar una obra han quedado en la licitacionfinal dos empresas, las cuales podrıan ofrecer indistintamenteuna inversion para la obra de hasta un millon de soles. Si sedefine la variable aleatoria X como el monto que invertira laempresa ganadora. Halle la funcion de densidad y la funcion dedistribucion acumulada de X. Grafique ambas funciones.


Variablesaleatorias

Definicion

(El valor esperado) Sea X una v.a. y g ∶ R → R una funcionque transforma a la v.a. X en una nueva v.a. g(X). Se defineel valor esperado de g(X) como:

E[g(X)] = ∑x∈RXg(x)fX(x), si Xes una v.a. discreta

∫ ∞−∞ g(x)fX(x)dx , si Xes una v.a. continua.

Si H es la identidad, obtendremos la media o valor esperado deX, µX = E[X]. Este es utilizado como representante, o valorpromedio de los posibles valores que X puede tomar.Si tomamos la funcion g(x) = (x − µ)2 en la definicion anterior,obtendremos σ2X = V (X) = E[(X − µX)2] = E[X2] − µ2X . Aeste numero se le llama la varianza de X y a su raiz ladesviacion estandar de X. Ambas constituyen medidas de ladispersion de los posibles valores de X.


Variablesaleatorias

Ejemplo:

a) Halle e interprete la media en los problemas previamentedesarrollados. Calcule tambien la desviacion estandar en estosejemplos.

b) Suponga que en el problema de la licitacion, al pedirseinformacion sobre el resultado final de ella nos indican que elmonto de inversion obtenido fue mayor a lo que se esperaba, ¿con que probabilidad este monto habra superado los 900,000soles?


Variablesaleatorias

Independencia

Diremos que dos variables aleatorias X e Y son independientes,si para cualesquiera subconjuntos A y B del rango de estasvariables que no tengan probabilidad 0 se cumple que

P (X ∈ A,Y ∈ B) = P (ω ∈ Ω/X(ω) ∈ A e Y (ω) ∈ B)= P (X ∈ A)P (Y ∈ B)

Vale aclarar que esta definicion puede extenderse a mas de doseventos.


Variablesaleatorias

Propiedades

Las siguientes son alguna de las propiedads del valor esperado yde la varianza. Si X e Y son v.a’s y a y b son constantes:

Proposicion

E[a + bX] = a + bE[X]V (a + bX) = b2V (X)E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]Si X e Y son independientes,

V (aX + bY ) = a2V (X) + b2V (Y ).


Variablesaleatorias

Ejemplo

La fabricacion de una pieza metalica requiere de 10 soles eninsumos por pieza y se hace en 2 etapas independientes, cuyostiempos de fabricacion en minutos son v.a´s X e Y confunciones de densidad:

fX(x) = 2 − x2 , si 2 < x < 4

0 , en otro caso.

fY (y) = 12 , si 1 < y < 30 , en otro caso.

Si cada minuto de fabricacion por pieza en la primera etapa ysegunda etapa cuestan respectivamente 3 soles y 5 soles,a) Calcule el costo total esperado en la fabricacion de una piezametalica.b) Calcule la varianza del costo total de fabricacion.


Variablesaleatorias

Ejemplo

Suponga que en un proceso de produccion la temperaturamaxima en grados centıgrados a alcanzarse es una v.a continuaX con funcion de densidad

fX(x) = 0.005e−0.005x, si x > 00 , en otro caso.

a) Determine la funcion de densidad de esta temperatuta engrados Farenheit.b) Suponga que el costo de produccion depende de latemperatura maxima alcanzada X y viene dada en soles porC(X) = 500 + 2(X − 50)2, ¿con que probabilidad el proceso deproduccion costara menos de 1,750 soles? Halle tambien lafuncion de densidad de este costo.


Clase4

Documents

Transcript of Clase4