Analisis Matematico I

por Mara Luisa Perez Segu

Introduccion

Se presenta aqu el material correspondiente a un primer curso en Analisis Matematico. Seintercalan numerosos ejemplos inmediatamente despues de que se ha introducido un conceptonuevo, de manera que sea mas completa la comprension del concepto. Se proponen tambiendiversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientras que la solucion de otros requierede un mayor esfuerzo, imaginacion y dedicacion.

En la primera seccion se establecen los conceptos basicos del conjunto de los numerosreales. En ella se estudia el conjunto de los numeros reales en comparacion con otros sistemasnumericos. En particular se trata su tamano, su orden y su estructura algebraica.

En la segunda seccion, ademas de definir los conceptos mas basicos en topologa general,se estudian las peculiaridades topologicas del espacio euclidiano; en particular se demuestranlos importantes teoremas de Bolzano Weierstrass, de Heine Borel, de interseccion de Cantor,de la cubierta de Lebesgue y del punto mas cercano.

La seccion numero 3 estudia el tema de sucesiones. Se dan criterios de convergencia.

En la seccion 4 se inicia dando un resumen de las propiedades basicas de las funciones.Posteriormente se da la definicion de continuidad y se estudia la relacion con los conceptostopologicos definidos en las secciones anteriores. Aqu se demuestran los teoremas del puntomas cercano y del valor intermedio. Tambien se tratan los temas de continuidad uniforme yde sucesiones de funciones (y convergencia uniforme).

En las seccion 5 se da la definicion de espacio metrico y se hace una comparacion con elestudio del espacio euclidiano, estableciendo las posibles generalizaciones a espacios metricos.

El material de estas notas constituyo el curso del mismo nombre impartido en la Facultadde Ciencias de Fsico-Matematicas de la Universidad Michoacana durante el primer semestrede 2008.

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Indice

Introduccion I

1. El conjunto de los numeros reales 1

2. Topologa del espacio euclidiano 19

3. Sucesiones 32

4. Continuidad 41

5. Espacios metricos 51

Referencias y lecturas complementarias 54

Indice Alfabetico 55

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1. El conjunto de los numeros reales

En cursos previos hemos tenido oportunidad de familiarizarnos con los numeros reales ycon otros sistemas numericos pero no han quedado establecidos, de manera formal, muchosconceptos. Una formalizacion completa de esos conceptos corresponde a un curso de Logica;nosotros trataremos de hacer algo intermedio, buscando acercarnos, mediante la intuicion,a los axiomas formales. Analizaremos de esta manera la diferencia entre el conjunto de losnumeros reales y otros sistemas numericos. Veremos las diferencias como conjuntos, compa-raremos los tamanos, y tambien estudiaremos sus diferencias como estructuras algebraicas ycomo conjuntos ordenados.

Los sistemas numericos que hemos trabajado con frecuencia son:

N = {1, 2, 3, . . .}, el conjunto de los numeros naturales.Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}, el conjunto de los numeros enteros.Q = {a

b: a, b Z, b 6= 0}, el conjunto de los numeros racionales. Aqu debe considerarse

que ab

= cd

si y solo si ad = bc.

R = {A.a1a2... : A Z, an {0, 1, 2, 3, . . . , 9}} para n N, el conjunto de los numerosreales. Aqu tambien debe considerarse que hay repeticiones cuando hay colas de 0s o9s (por ejemplo 23.04999 . . . = 23.05000 . . .). R es el conjunto de lmites de racionales, demanera que los reales nos sirven para medir distancias (con signo) y podemos representar alos reales en una recta numerica y viceversa. Los elementos de R\Q se llaman irracionales.

C = {(a, b) : a, b R}, el conjunto de los numeros complejos.

Diferencias como conjuntos.

1.1 Observacion. N Z Q R C y estas inclusiones son propias.Demostracion. Es claro que 1 Z \ N; 1

2 Q \ Z. Tambien, para considerar R como

subconjunto de C se piensa que los elementos reales de C son los que tienen su segundacoordenada igual a 0 (y es obvio que la contencion es propia). Para probar que Q esta con-tenido propiamente en R veamos que

2 no pertenece a Q. Supongamos que

2 = a

b, con a

y b enteros sin factores en comun; entonces, despejando y elevando al cuadrado tenemos que2b2 = a2, de donde a es par: a = 2c; pero entonces 2b2 = 4c2, as que b2 = 2c2 y entonces b

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es par, contradiciendo nuestra suposicion de que a y b no tienen factores en comun.

Diferencias por tamano

Veremos aqu que N,Z y Q tienen el mismo tamano pero que el tamano de R es mayor.Debemos precisar que significa esto del tamano o cardinalidad de manera medianamenteformal.

Dados dos conjuntos A y B, decimos que el cardinal de A es menor o igual que elde B, en smbolos |A| 4 |B| o ]A 4 ]B , si existe una funcion inyectiva de A en B.

Sea f : A B una funcion. Recordemos que f es inyectiva si para a1, a2 A distintosse tiene que f(a1) 6= f(a2). Decimos que f es suprayectiva si el conjunto imagen, Im(f),definido por

Im(f) = {f(a) : a A},es todo B. Recordemos tambien que f es inyectiva si, y solo si, tiene inversa izquierda, esdecir, existe g : B A que cumple con que g f es la funcion identica en A, idA : A A,dada por idA(a) = a para todo a A) y que f es suprayectiva si, y solo si, f tiene inversaderecha (es decir, si existe g : B A que cumple con que f g = idB. (Ver [Notas de clasede Algebra Superior I].)

1.2 Observacion. |A| 4 |B| si, y solo si, existe una funcion suprayectiva de B en A.Demostracion. Para esto solo basta notar que si g f = idA entonces f es inyectiva y g

es suprayectiva.

Dados dos conjuntos A y B decimos que A y B tienen la misma cardinalidad, |A| = |B|,si existe una funcion biyectiva de A en B.

1.3 Observacion. Es facil ver que la relacion 4 entre cardinales es reflexiva (|A| 4 |A|porque le funcion idA es inyectiva), transitiva (pues la composicion de funciones inyectivases inyectiva); tambien es antisimetrica, lo cual no es obvio y es el contenido del Teoremade Schroeder-Bernstein que se demuestra en un curso de Teora de Conjuntos); la razonpor la que no es obvio es que es facil construir funciones f : A B y g : B A ambasinyectivas, aun cuando ninguna de las dos sea biyectiva (por ejemplo tomando A = B = Ny f = g : N N definidas por f(n) = g(n) = 2n para toda n N. El ejemplo que dimoses muy trivial y resulta rebuscado pues la funcion identica es biyectiva; sin embargo, masadelante probaremos que |N| = |Q| dando funciones inyectivas de uno en otro (y no es obviocomo construir una funcion biyectiva entre ambos).

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Decimos que un conjunto A es numerable si |A| = |N|. Al cardinal de N se le llama alef0 y se le denota por 0.

1.4 Proposicion. Si A y B son numerables, entonces A B tambien lo es.Demostracion. Consideremos una funcion biyectiva de N en A y llamemos an a la imagen

del natural n bajo esta funcion. De esta manera podemos escribir A = {a1, a2, a3, . . .} (yen esta escritura no hay repeticiones). Analogamente, el que B sea numerable nos dice quepodemos numerar los elementos de B: B = {b1, b2, b3, . . .}. Entonces, al escribir A B ={a1, b1, a2, b2, a3, b3, . . .} estamos numerando los elementos de A B, con la salvedad de quepuede haber repeticiones (pues A y B podran tener elementos en comun); sin embargo estono es problema porque la numeracion que dimos es lo mismo que haber establecido unafuncion suprayectiva de N en A B: 1 7 a1, 2 7 b1, 3 7 a2, . . . as que, por la proposicionque demostramos arriba, |A B| 4 |N| y, como es obvio que |N| = |A| 4 |A B| (pues lafuncion inclusion i : A AB definida por i(a) = a para todo a es inyectiva), el Teoremade Schroeder-Bernstein nos da el resultado.

1.5 Corolario. Z es numerable.

Demostracion. Tomar A = {0,1,2,3, . . .} y B = N.

1.6 Proposicion. Si A y B son numerables, entonces tambien lo es el producto carte-siano de ellos AB = {(a, b) : a A, b B}.

Demostracion. Sean A = {a1, a2, a3, . . .} y B = {b1, b2, b3, . . .}. Escribamos los elemen-tos de A B en una tabla y numeremoslos en zigzag siguiendo las flechas como indica elesquema:

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1.7 Proposicion. Q es numerable.

Demostracion. Podemos establecer una funcion suprayectiva de NN en el conjunto delos racionales positivos por (m,n) 7 m

n. El resto de la demostracion se deduce facilmente de

las proposiciones anteriores.

1.8 Nota. Observemos que hemos probado que el conjunto de los racionales es nume-rable utilizando el Teorema de Shroeder-Bernstein, y que no es obvio como dar una funcionbiyectiva entre N y Q.

1.9 Proposicion. R no es numerable.

Demostracion. Supongamos que s lo es y demos una numeracion para los elementospositivos de R:

A1 = B1.b1,1b1,2b1,3 A2 = B2.b2,1b2,2b2,3 A3 = B3.b3,1b3,2b3,3

...

Construyamos un elemento c = 0.c1c2c3 R que no este en esta numeracion tomando: cncualquier dgito distinto de 0, 9 y de bn,n.

Dentro de la Teora de Conjuntos se prueba que hay conjuntos con cardinal mayor queel de R. Otra idea importante en este sentido es la pregunta de si hay conjuntos que tienencardinalidad intermedia entre la de N y la de R. Se prueba que la existencia o no es inde-pendiente de la axiomatica mas estandar de la Teora de Conjuntos. En ciertos contextosse toma la no existencia como axioma y se le llama hipotesis del continuo. Todo estocorresponde a un estudio muy complicado dentro de la Logica.

Diferencias algebraicas

Las diferencias algebraicas principales son: En N no hay inversos aditivos (en los otross); en Z no hay inversos multiplicativos (en Q y en R s para elementos distintos de 0). Ladiferencia entre Q y R es de tipo geometrico: en Q no todo se puede medir (en R s).

1.10 Proposicion. Un numero real es racional si y solo si su expansion decimal esperiodica.

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Demostracion. Para ver que si un numero real tiene una expansion periodica, entonces elnumero es racional, llamemos x al numero; es claro que lo podemos multiplicar por potenciasapropiadas de 10 de tal manera que al restar una de otra se elimine el periodo, y despuesdespejar x de una expresion de enteros: por ejemplo, si x = 3.825, entonces 103x 10x =3825.2538.25 = 3787, as que x = 3787

990. Para ver el recproco, sea a

bel numero considerado,

donde a y b son enteros y b 6= 0; al hacer la division segun el algoritmo usual, los residuosque van quedando son enteros entre 0 y b 1, as que forzosamente debera haber algunarepeticion; a partir de ese momento, los cocientes y los residuos que se van obteniendo vanformando un periodo de repeticion.

Propiedad (R1). R es un campo, es decir, en R hay dos operaciones binarias: + (suma)y (producto) que satisfacen:

(1) Hay neutro para + llamado neutro aditivo, es decir, un elemento 0 tal que a+ 0 =0 + a = a para todo real a.

(2) Hay inversos aditivos, es decir, dado a real existe otro real que denotamos por aque satisface a+ (a) = (a) + a = 0.

(3) La suma es asociativa, es decir, para a, b, c R se tiene que (a+ b)+ c = a+(b+ c).(4) La suma es suma!conmutativa, es decir, para a, b R se tiene que a+ b = b+ a.(5) Hay neutro para llamado neutro multiplicativo, es decir, un elemento 1 tal que

a 1 = 1 a = a para todo real a.(6) Hay inversos multiplicativos para todos los elementos distintos de 0, es decir, dado

a real no cero existe otro real que denotamos por 1a

que satisface a 1a

= 1a a = 1.

(7) El producto es asociativo, es decir, para a, b, c R se tiene que (a b) c = a (b c).(8) El producto es conmutativo, es decir, para a, b R se tiene que a b = b a.(9) Se satisface la propiedad distributiva del producto sobre la suma es decir,

para a, b, c R se tiene que a (b+ c) = a b+ a c.

Las propiedades algebraicas que nosotros conocemos y hemos usado ya innumerablesveces se deducen de las propiedades de campo. Enunciaremos algunas a continuacion.

1.11 Proposicion. (a) Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0; vale la cancelacion aditiva ymultiplicativa (de elementos no cero).

(b) a 0 = 0.(c) 0, 1 y los inversos aditivos y multiplicativos son unicos.

(d) (a + b) = (a) + (b), a = (1) a, (a) = a, (1) (1) = 1, 11a

= a (para

a 6= 0), (a) (b) = a b, 1a = 1a .

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Demostracion. Probaremos como ilustracion algunas de ellas; las demas se dejan comoejercicio para el lector.

En (b), a 0 + 0 = a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 de donde, sumando el inverso aditivode a 0, obtenemos el resultado.

En (c), para probar que solo hay un neutro aditivo, supongamos que 0 y 0 son neutros.Entonces 0 = 0 + 0 = 0, en donde en la primera igualdad utilizamos que 0 es neutro yen la segunda, que 0 lo es.

En (d), la propiedad a = (1)a afirma que (1)a es el inverso aditivo de a (aqu 1 esel inverso aditivo de 1), lo cual es facil de comprobar sumando a con el y usando la propiedaddistributiva.

Diferencias como conjuntos ordenados

Empezaremos esta parte recordando algunas propiedades de las relaciones, en particulartrabajaremos propiedades de la relacion de orden.

Formalizaremos aqu, en terminos de conjuntos, lo que significa una relacion; nosotroshemos trabajado ya innumerables ejemplos de relaciones: por ejemplo, dentro del conjuntode las personas podemos hablar de la relacion ser hermano de; tambien las funciones sonrelaciones entre conjuntos (si f : A B es funcion, relacionamos cada elemento a A consu imagen f(a)).

Una relacion de un conjunto A a un conjunto B es un subconjunto R del productocartesiano. Si (a, b) R decimos que a esta relacionado con b y escribimos aRb.

La definicion que acabamos de dar resulta poco natural; sin embargo, para tener bienestructuradas las Matematicas deben ponerse en un lenguaje axiomatico, basado en la Teorade Conjuntos, todos los conceptos. Desde luego, una vez que ya queda bien establecido elconcepto, uno lo usa tranquilamente de manera mas ligera (no hacerlo le impedira avanzary hara la teora muy tediosa). En los ejemplos que daremos a continuacion empezaremoshaciendo estableciendo como algunas relaciones que nos son familiares se pueden ver co-mo subconjuntos de un producto cartesiano; posteriormente definiremos algunas relacionesimportantes en Matematicas de manera mas informal.

1.12 Ejemplo. (a) En la relacion ser hermano de, los conjuntos A y B son conjuntosde personas y (a, b) R a es hermano de b.

(b) En la relacion dada por la funcion f : A B, donde A es el conjunto de los pases,

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B es el conjunto de las ciudades y f(a) = capital de a, la relacion tiene por elementosa las parejas (a, f(a)), variando a en el conjunto de pases. Notemos que la costumbre esconsiderar a este conjunto relacion como la grafica de la funcion (en este nuevo lenguaje,ambos conceptos son uno mismo).

(c) Si A = B = N la relacion ser multiplo de tiene por elementos (a, b) con a = xb paraalguna x N.

(d) Dado un conjunto Z, en su conjunto potencia P(Z), definido por

P(Z) = {X : X Z}

podemos definir la relacion de contencion o inclusion es decir, decimos que X esta rela-cionado con Y si y solo si X Y .

(e) En cualquier conjunto A se considera la relacion de igualdad.

(f) Para A el conjunto de los triangulos en el plano, una relacion importante es la relacionde semejanza.

(g) Dado un natural n, la congruencia modulo n es una relacion en A = Z.

(h) En R es importante la relacion .

1.13 Ejercicio. Dada una relacion R A B, determinar condiciones necesarias ysuficientes para que R sea funcion, para que sea funcion inyectiva y para que sea funcionsuprayectiva.

En lo que sigue tomaremos los conjuntos A y B como uno mismo.

Una relacion R en un conjunto A es:

Reflexiva si aRa para todo a A. En 1.12 son reflexivas las relaciones definidas en (c),(d), (e) (f), (g) y (h).

Simetrica si aRb implica bRa. En 1.12 son simetricas las relaciones definidas en (a), (e),(f) y (g).

Transitiva si aRb y bRc implica aRc. En 1.12 son transitivas las relaciones definidas en(a), (c), (d), (e), (f), (g) y (h).

Antisimetrica si aRb y bRa implica a = b. En 1.12 son antisimetricas las relacionesdefinidas en (c), (d), (e) y (h).

Orden parcial si es reflexiva, transitiva y antisimetrica. En 1.12 son orden parcial (c),(d), (e) y (h).

Relacion de equivalencia si es reflexiva, transitiva y simetrica. En 1.12 son relacion

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de equivalencia (e), (f) y (g).

La definicion de antisimetra es un poco mas difcil de entender. Notemos, por ejemplo,que la relacion definida en (c) no es antisimetrica si se define en Z en lugar de N pues5R(5) y (5)R5 pero 5 6= 5. Tambien notemos que la relacion ser padre de definida enel conjunto de las personas es antisimetrica por vacuidad, es decir, el conjunto de elementosque satisfacen la hipotesis (aRb y bRa) es vaco.

Las relaciones de equivalencia y los ordenes parciales son muy importantes en Matemati-cas. A continuacion profundizamos un poco sobre estos conceptos.

De costumbre, cuando se tiene una relacion de equivalencia R, en lugar de escribir aRbse pone a b y se dice que a es equivalente a b.

1.14 Observacion. Si f : X Y es una funcion, entonces la relacion definida en Xpor a b f(a) = f(b) es relacion de equivalencia. La relacion es la misma si se cambia elcodominio de la funcion por la imagen, es decir, si se considera la funcion como suprayectiva.

Si un conjunto A es la union de subconjuntos ajenos, A =iI Ai, al conjunto de los

{Ai : i I} se le llama particion de A.1.15 Observacion. Si {Ai : i I} es una particion del conjunto A, entonces en A

esta definida de manera natural una relacion a b a y b son elementos del mismo Ai.Recprocamente toda relacion de equivalencia en un conjunto A parte a A en subconjuntosajenos; cada uno de esos subconjuntos consiste de todos los elementos relacionados entre s.Si a A, al conjunto de elementos relacionados con a se le llama clase de a y se le denotausualmente por a o por [a].

Si es una relacion de equivalencia en un conjunto A, a la particion {a : a A} se llamacociente de A por la relacion y se le denota por A/ .

1.16 Observacion. Si es una relacion de equivalencia en un conjunto A y p : A A/ es la funcion definida por p(a) = a, entonces los elementos relacionados son precisa-mente los que tienen la misma imagen bajo la funcion p. Ademas la funcion p es suprayectiva.A p se llama proyeccion natural de A en A/ .

De las observaciones hechas aqu arriba tenemos que es esencialmente lo mismo el hablarde relaciones de equivalencia, de particiones o de funciones suprayectivas.

1.17 Ejercicio. En cada una de las relaciones de equivalencia definidas en 1.12 deter-minar cuales son las clases y como esta definida la proyeccion natural.

El ejemplo clasico de orden parcial es el de en R o en algun subconjunto de R. Escostumbre denotar cualquier orden parcial por este mismo smbolo. Como muchos de nuestros

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ejemplos son con numeros y no coincide la nocion de con la del orden parcial que definimos,para no confundir denotaremos por un orden parcial generico.

Sea un orden parcial en un conjunto A. Decimos que: es orden total (o cadena) si dados a, b A se tiene forzosamente que a b o b a.

Observemos que (c), (d) y (e) en 1.12 no son ordenes totales.

Un elemento a0 A es minimal c si (a a0 a = a0).Un elemento es a0 A es menor si para todo a A se tiene que a0 aAnalogamente, dado un orden parcial se define elemento maximal y elemento mayor.

1.18 Ejemplo. Las definiciones de minimal y de menor se parecen pero no son la misma.Estudiemos que pasa en los ejemplos de 1.12.

En (c), 1 es elemento menor y minimal, pero si en lugar de N tomamos como conjuntobase a N\{1}, entonces ya no hay ningun elemento menor y todos los primos son minimales.En ninguno de los dos casos hay maximal ni mayor, pero si la misma relacion la tomamosen N {0} entonces 0 es elemento mayor y maximal.

En (d), es elemento menor y minimal y N es mayor y maximal. La misma relaciondefinida en P \ {} no tiene elemento menor y cada subconjunto de N que conste de un soloelemento es elemento minimal de la relacion.

En (e), todos los elementos son minimales y maximales (y no hay menor ni mayor cuandoel conjunto tiene mas de un elemento).

En (h), no hay elementos minimales, ni menor, ni maximal, ni mayor. Si se cambia elconjunto base por A = (0, 1] entonces no hay elementos minimales ni menor pero 1 es mayory maximal.

1.19 Observacion. (i) En caso de existir un elemento menor este es unico, tambien esel unico minimal (y lo mismo para elemento mayor).

(ii) Los elementos minimales pueden no existir y, en caso de que existan, puede habermas de uno (y lo analogo para mayor y maximal).

(iii) Si el orden es total, entonces los conceptos de minimal y menor son iguales (y loanalogo para mayor y maximal).

Enunciamos a continuacion una propiedad muy importante que tiene N como conjunto

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ordenado y que no la comparte con Z (ni con Q, R o C).

Principio del Buen Orden. Todo conjunto no vaco de N tiene un elemento menor.

A continuacion vamos a profundizar un poco sobre este principio. Para ello empecemospor observar que en cursos anteriores hemos hecho demostraciones por induccion cuandotrabajamos con numeros naturales (o con subconjuntos de N o, incluso, con conjuntos quese parecen a N en el sentido del orden). Enunciaremos aqu el principio bajo el cual lasdemostraciones por induccion son correctas (segun la Logica Matematica).

Principio de Induccion. Si un subconjunto S de N contiene al 1 y cada vez que contienea un natural n tambien contiene a su sucesor n+ 1, entonces S = N.

Veremos que los dos principios son equivalentes, es decir, si se supone uno de ellos comocierto, el otro resulta ser una proposicion. Como habamos dicho anteriormente, en Logica sefundamentan las Matematicas y se dan definiciones o axiomas de los conceptos; los axiomasdeben ser independientes unos de otros (ninguno debe poder probarse suponiendo otro ytampoco debe haber contradicciones entre ellos). En el caso que estamos tratando ahora,cualquiera de los dos principios puede tomarse como axioma dentro de la definicion de N (yel otro es una proposicion).

1.20 Proposicion. El Principio de Induccion y el Principio del Buen Orden son equi-valentes.

Demostracion. Empecemos probando que el Principio de Induccion implica el del BuenOrden. Sea 6= A N y supongamos que A no tiene primer elemento; apliquemos elPrincipio de Induccion a S = N \ A; como 1 no puede estar en A (pues sera su primerelemento) entonces 1 S; y si n S, entonces, como A no tiene primer elemento, entonceslos numeros 1, 2, . . . , n no pertenecen a A (pues el mas chico de los que s perteneciera serael primer elemento de A); entonces tampoco n+ 1 A (por la misma razon), as que hemosprobado que n S n + 1 S, de donde, por el Principio de Induccion, S = N, peroentonces A = , lo cual es una contradiccion.

1.21 Ejercicio. Probar que el Principio del Buen Orden implica el de Induccion.

Por satisfacer el Principio del Buen Orden decimos que N esta bien ordenado.

1.22 Observacion. Todo conjunto finito ordenado totalmente esta bien ordenado. Esclaro que Z no lo esta pues el mismo no tiene primer elemento. Tambien es obvio que cualquierconjunto que contenga a Z no puede estar bien ordenado. Sin embargo observemos que haymas razones (aparte de contener a Z), en cuanto al orden, para que Q no este bien ordenado,pues, por ejemplo, el conjunto de los racionales positivos tampoco esta bien ordenado yaque, por ejemplo, el subconjunto A = {x Q : x > 2} no tiene primer elemento (2 no es

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elemento en A).

Decimos que dos conjuntos ordenados X y Y son isomorfos como conjuntos orde-nados si existe una funcion biyectiva f : X Y que respeta el orden (es decir, si X yY denotan los ordenes en X y Y , respectivamente, y x1, x2 X entonces x1 X x2 f(x1) Y f(x2). Observemos que dos conjuntos son isomorfos cuando son esencialmente unomismo si lo que nos interesa de ellos es exclusivamente su cardinalidad y su orden. Tenemospor ejemplo que los siguientes conjuntos son todos isomorfos a N con el orden usual:

A = {n Z : n 7},B = {3n : n N},C = {1 1

n: n N},

D = {n Z : n < 0},

donde el orden en los conjuntos A, B y C es el usual, y el orden en D es el orden invertido(es decir a b a b).

1.23 Nota. Es claro que si dos conjuntos ordenados son isomorfos y uno de ellos esta bienordenado, entonces el otro tambien lo esta. Tambien es claro que los conjuntos totalmenteordenados finitos estan bien ordenados. Una pregunta natural es Hay otros conjuntos bienordenados aparte de (los isomorfos a) N y los finitos? La respuesta a esta pregunta es afir-mativa y corresponde a la teora de ordinales (es decir, conjuntos bien ordenados). Paraconstruir ordinales distintos de N y los finitos podemos, por ejemplo, agregar un elementomayor al conjunto de los naturales (un conjunto isomorfo a este dentro de R es {1 1

n}{1}).

Agregando mas elementos mayores que los que se tienen podemos construir otros conjuntosordenados no isomorfos; inclusive esto podemos hacerlo indefinidamente y construir el ordi-nal {1 1

n}N. Observemos que el procedimiento marcado puede incluso iterarse de manera

que se construya un nuevo ordinal {a 1n

: a, n N}.

1.24 Ejercicio. Probar que si en X = NN definimos el orden lexicografico (llamadoas por su similitud con el orden del diccionario) por (a, b)R(c, d) (a < c) o (a = c y b d),entonces X esta bien ordenado y es isomorfo a {a 1

n: a, n N}.

Todos los ordinales que hemos construido aqu son numerables. En Teora de Conjuntosse prueba que todo conjunto se puede bien ordenar; como corolario se tiene que el conjuntode los numeros reales se puede bien ordenar; desde luego el orden que se le dara no tendranada que ver con el orden usual y las propiedades de compatibilidad con las operacionesen R (por ejemplo a b a + c b + c no se daran); simplemente, el resultado diceque hay conjuntos bien ordenados de la cardinalidad de R (y de cualquier cardinalidad). Enconjuntos bien ordenados se puede hacer demostraciones por induccion (llamada inducciontransfinita); para ello debe tomarse en cuenta si el elemento particular que se toma es

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sucesor (es decir le sigue inmediatamente a otro) o no (o sea, es un elemento lmite). (Porejemplo en 1.24 los elementos lmite son todos los de la forma (n, 1) para n N, y todos losdemas son sucesores.)

Pasemos ahora al estudio del orden en R.

Propiedad (R2). Hay un conjunto no vaco P de R que satisface:

(a) Si a, b P entonces a+ b P .(b) Si a, b P entonces ab P .(c) Si a R, entonces exactamente una de las siguientes es cierta: a P , a P o

a = 0.

Decimos que a > b si a b P . Definimos tambien , < y . La costumbre es poneruna recta horizontal representando geometricamente a R y entonces veremos abajo que lospuntos mas a la derecha son mas grandes que los que estan mas a la izquierda, y quelos elementos de P son precisamente los que estan a la derecha del 0, es decir, que P esel conjunto de los reales positivos. Esta es la formalizacion de la definicion de orden queconocemos (y que hace de R un conjunto totalmente ordenado).

Tambien las propiedades de orden que hemos usado con frecuencia se deducen de (R2),como veremos a continuacion.

1.25 Proposicion. (a) a2 0, 1 > 0 y N P .(b) Si a b y c d entonces a + c b + d y, si una de las dos primeras desigualdades

es estricta, tambien lo es la tercera.

(c) Si a b, c 0 y d 0, entonces ac bc y ad bd.(d) a > 0 si y solo si 1

a> 0.

(e) ab > 0 si y solo si ambos a y b son positivos o ambos son negativos.

Demostracion. Probaremos, como ilustracion, algunas de ellas

(a) Por (R2)(c) tenemos tres casos: Si a = 0 entonces a2 = 0; si a P , entonces a2 Ppor (R2)(b); si a P , entonces a2 0 tambien por (R2)(b), pero (a)2 = a2, as quea2 P . Para ver que 1 P basta observar que 1 = (1)2 y utilizar lo que acabamos deprobar. Un argunento por induccion y (R2)(a) nos permiten concluir que N P .

(b) a b nos dice que a b P ; analogamente y c d significa c d P . Usando(R2)(a) vemos que a b+ c d P , de donde obtenemos lo que queramos.

(d) Como a y 1a

son cada uno inverso multiplicativo del otro, basta demostrar una impli-cacion, digamos (); ademas es claro que 1

a6= 0, as que supongamos que ( 1

a

) P ; pero12

entonces 1 = a ( 1a

) 6 P , lo cual es un absurdo. Las propiedades (R1) y (R2) dicen que R es un campo ordenado.

A partir de ahora usaremos las propiedades algebraicas y de orden que hemos visto arribade manera natural, sin mencionar que las estamos usando y como hemos hecho en nuestroscursos de Calculo.

Dado a R definimos el valor absoluto de a, en smbolos |a|, por

|a| ={

a, si a 0a, si a < 0

Notemos que |a| es la distancia (sin signo) que hay de a a 0 en la recta real.1.26 Ejercicio. Probar que, para a, b R, se tiene que |a| |b| si, y solo si a2 b2.

1.27 Proposicion. (a) |a| 0; se da la igualdad si y solo si a = 0.(b) | a| = |a|.(c) |ab| = |a||b|.(d) Para r > 0, |a| < r significa que r < a < r.(e) |a| a |a|.(f) Desigualdad del triangulo: |a+ b| |a|+ |b|.Demostracion. Las pruebas de (a), (b), (c) y (d) son faciles y se dejan como ejercicio.

Para probar (e), usamos el ejercicio anterior para observar que es equivalente a probar que(a+ b)2 (|a|+ |b|)2, que es equivalente a probar que 2ab 2|a||b|, lo cual es obvio.

Dados a, b reales definimos [a, b] = {x R : a x b}. De la manera usual definimostambien (a, b), (, b], etc., y a todos ellos los llamamos intervalos aunque, si queremosser mas especficos, los intervalos en los que un extremo es o le llamamos rayo. Losintervalos de la forma [a, b] son cerrados y los intervalos de la forma (a, b) son abiertos.Intervalos de la forma [a, b) o (a, b] se llaman semiabiertos (o semicerrados).

1.28 Ejercicio. Hacer un dibujo en la recta real del conjunto {x R : 3(x1)(x4) 0}.

1.29 Ejercicio. Hacer un dibujo en la recta real del conjunto {x R : |2x+ 1| 1}.

1.30 Ejercicio. Hacer un dibujo del conjunto de puntos en R que satisfacen |x + 3| a, con lo cual queda probado que s es nfimo.

Utilizando el Principio del Supremo podemos probar la siguiente propiedad, tambien muyimportante de R, la cual es equivalente a que el conjunto N no es acotado.

Principio Arquimedeano. Dado a numero real positivo existe n N tal que na > 1.Demostracion. Supongamos falso el resultado. Entonces 1 es cota superior del conjunto

C = {na R : n N}. Sea s = supC. Entonces s a no es cota superior de C, as queexiste n N tal que s a < na. Pero entonces s < na + a = (n + 1)a C, lo cual es unacontradiccion.

1.37 Corolario. N no es acotado.

Demostracion. Supongamos que s lo es. Entonces existe a R tal que n a para todon N. Como a > 0 entonces tambien 1

a> 0, por tanto, por el Principio Arquimedeano existe

n N tal que n 1a> 1, de donde n > a lo cual es una contradiccion.

1.38 Ejercicio. Suponiendo que N no es acotado probar el Principio Arquimedeano.

Otras formas del Principio Arquimedeano son las siguientes. Las demostraremos usandoel Principio (es claro que cada una de ellas lo implica).

1.39 Corolario. (a) Dado > 0 existe n N tal que 1n< .

(b) Dados a y b reales con a > 0 existe n N tal que na > b.(c) Dado a > 0 existe un unico n N tal que n 1 a < n.Demostracion. Probaremos (a) y dejaremos (b) y (c) como ejercicio. (a) Sea n N tal

que n > 1.

1.40 Corolario. Dados a y b numeros reales con a < b existe q racional tal que a < q < b.Esta propiedad nos dice que Q es denso en R.

Demostracion. Sin perdida de generalidad supongamos que a > 0 (esto puede hacerseporque, en caso contrario, si b > 0 podemos probar el resultado para b

2en lugar de a, y si

b 0 entonces podemos trabajar con b < a, los cuales son ambos positivos). Tenemos

16

que b a > 0 as que, por el inciso (a) del corolario anterior existe n N tal que 1n< b a;

ademas, usando el inciso (b) del corolario anterior consideremos m el menor natural tal quem ( 1

n

)> a. Entonces m1

n a < m

n. Entonces es claro que m

n< b puesto que m

n m1

n=

1n< b a < b m1

n.

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................| | | | 1n

a b

b a

0 1n

De la siguiente propiedad tenemos que tambien el conjunto de los numeros irracionaleses denso en R. La demostracion se deja como ejercicio.

1.41 Corolario. Dados a y b numeros reales con a < b y > 0 numero irracional, existeq racional tal que a < q < b.

Otra propiedad muy importante del conjunto de los numeros reales es la siguiente.

1.42 Teorema. Propiedad de los Intervalos Anidados. Si I1 I2 I3 es unacadena de intervalos cerrados no vacos entonces

nN In 6= .

Demostracion. Escribamos In = [an, bn]. Como A = {an : n N} es un conjunto acotadosuperiormente (por ejemplo b1 es una cota superior), entonces A tiene supremo, digamos a0.Analogamente {bn : n N} tiene nfimo b0. Probemos que a0

nN In. Fijemos k N y

probemos que ak a0 bk (as que a0 Ik). La primera desigualdad es obvia. Para ver lasegunda observemos que bk an para toda n (es decir, bk es cota superior de {an : n N})pues si n k entonces an ak < bk bn y si n > k entonces an < bn bk. As, pordefinicion de supremo, a0 bn para toda n.

1.43 Observacion. El resultado anterior es falso si los intervalos no son cerrados, esdecir, la interseccion de intervalos anidados no cerrados puede ser vaca, por ejemplo, consi-deremos In = (0,

1n

para n N.

Sean

C0 = [0, 1]

C1 =

[0,

1

3

][

2

3, 1

]C2 =

[0,

1

9

][

2

9,1

3

][

2

3,7

9

][

8

9, 1

]...

17

Es decir, para n 1, Cn es el conjunto que se obtiene de Cn1 al eliminar el tercio de enmediode cada subintervalo en Cn1. El conjunto C =

nNCn se llama conjunto de Cantor.

1.44 Proposicion. (a) El conjunto numerable de los extremos de los Cn esta contenidoen el conjunto de Cantor.

(b) El conjunto de Cantor consta de todos los elementos de R que tienen una expansionternaria de la forma 0.a1a2 . . . (es decir,

a13

+ a232

+ a333

+ ) donde cada an es 0 o 2.(c) El conjunto de Cantor no es numerable.

Demostracion. El inciso (a) es claro. Para convencerse de que el inciso (b) es ciertobasta fijarse en la representacion geometrica de los conjuntos Cn. Para probar el inciso (c)observemos que existe una biyeccion entre el conjunto de Cantor y el intervalo [0, 1] (labiyeccion es a1

3+ a2

32+ a3

33+ 7 a1

2+ a2

22+ a3

23+ ).

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2. Topologa del espacio euclidiano

Recordemos que la distancia euclidiana entre dos puntos x = (x1, x2, . . . , xs), y =(y1, y2, . . . , ys) de Rs se define como

d(x, y) = ||x y|| =

(x1 y1)2 + + (xs ys)2.Dado un numero real r > 0 y x Rs, la bola con centro en x y radio r es el conjunto

de puntos de Rs cuya distancia a x es menor que r, en smbolos,

Br(x) = {y Rs : d(x, y) < r}.

Sea A un subconjunto de Rs. Decimos que A es abierto si para todo a A existe r > 0tal que Br(x) A. Al conjunto de abiertos se le llama topologa para Rs.

En cada uno de los siguientes ejemplos conviene hacer un dibujo del conjunto en cuestionpara tener una buena idea geometrica de lo que ocurre.

2.1 Ejemplo. (1) En R2 el conjunto A = {(x, 0) : x > 0} es abierto, pero el conjuntoB = {(x, 0) : x 0} no lo es. (Aqu A y B son semiplanos.)

(2) Para cualquier r real positivo y x Rs la bola Br(x) es abierta y tambien lo es{y Rs : d(y, x) > r}.

(3) En R2 el conjunto A = {(x, y) : x > y} es abierto. (Aqu A es un semiplano limitadopor la recta con ecuacion x = y.

(4) En R un intervalo de la forma [a, b) no es abierto pero s lo es un intervalo de la forma(a, b).

(5) En R3 el conjunto A = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1} no es abierto. (Aqu A es lacascara de una esfera.)

(6) En R el conjunto Q de los numeros racionales no es abierto.

(7) El conjunto de Cantor no es abierto en R.

2.2 Nota. La condicion de ser abierto es relativa, es decir, un conjunto puede ser abiertocomo subconjunto de Rs y no serlo como subconjunto de Rm para naturales distintos m yn. Por ejemplo R es abierto como subconjunto de s mismo pero no lo es cuando lo vemosdentro de R2 (como {(x, 0) R2 : x R}).

2.3 Proposicion. El conjunto de todos los abiertos de Rs satisface las siguientes pro-piedades:

(a) y Rs son abiertos.(b) La union arbitraria de abiertos es abierto, es decir, si {U : } es una familia de

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abiertos (aqu es un conjunto de ndices arbitrario), entonces U tambien es abierto.

(c) La interseccion finita de abiertos es abierto, es decir, si n N y U1, U2, . . . , Un sonabiertos entonces tambien lo es U1 Un.

Demostracion. El inciso (a) es claro. Para ver (b), tomemos x U. Entonces x Upara algun y, como este es abierto, hay una bola alrededor de x totalmente contenida en Uy, por tanto, en

U. Probemos (c): Si x U1 Un, entonces para cada i = 1, . . . , k

existe ri real positivo tal que Bri(x) Ui. Sea r el menor elemento de {r1, . . . , rn} EntoncesBr(x) esta contenida en todas las Bri(x), as que tambien esta contenida en la interseccionU1 Un.

2.4 Proposicion. Un subconjunto A de R es abierto si y solo si es la union de unacantidad numerable de intervalos abiertos.

Demostracion. Por lo anterior ya sabemos que la union de intervalos abiertos es unconjunto abierto. Tambien sabemos que todo abierto A de R es union de intervalos abiertospuesto que en R las bolas son intervalos y para cada x A existe Ix bola (intervalo)alrededor de x tal que Ix A, as que A =

xA Ix. Sin embargo esta union no tiene

porque ser numerable. Para ver que s podemos poner A como union numerable de intervalosconsideremos solo x A Q y, para cada uno de estos, sea x = {r Q : Br(x) A} ={rx,1, rx,2, rx,3, . . .}. Por la densidad de Q en R tenemos que A =

x,iBrx,i(x) donde la union

se toma sobre todas las x A Q y sus correspondientes radios rx,i en x: Dado y A,existe s > 0 racional tal que Bs(y) A; sea x racional en A con distancia a y menor ques2; entonces y B s

2(x) Bs(y) A y B s

2(x) es una de las bolas consideradas en la union

numerable.

Un subconjunto A de Rs es cerrado si su complemento Rs \ A es abierto.2.5 Observacion. Cerrado no es lo contrario de abierto, es decir, un conjunto puede ser

tanto abierto como cerrado (por ejemplo ) o no ser ninguna de las dos cosas (por ejemplo[0, 1) como subconjunto de R).

2.6 Proposicion. El conjunto de todos los cerrados de Rs satisface las siguientes pro-piedades:

(a) y Rs son cerrados.(b) La interseccion arbitraria de cerrados es cerrado, es decir, si {C : } es una

familia de cerrados (aqu es un conjunto de ndices arbitrario), entoncesC tambien

es cerrado.

(c) La union finita de cerrados es cerrado, es decir, si n N y C1, C2, . . . , Cn son cerradosentonces tambien lo es C1 Cn.

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Demostracion. (a) es obvio. Las demostraciones de (b) y de (c) utilizan las Leyes deDe Morgan. Hagamos (b) y dejemos (c) como ejercicio. Sea {C : } una familia decerrados. Entonces Rs \C = (Rs \ C) que es un abierto por 2.3(b).

En cada uno de los siguientes ejemplos conviene hacer un dibujo del conjunto en cuestionpara tener una buena idea geometrica de lo que ocurre.

2.7 Ejemplo. (1) En R2 el conjunto {(x, 0) : x > 0} no es cerrado, pero el conjunto{(x, 0) : x 0} s lo es.

(2) Para cualquier r real positivo y x Rs, el conjunto Dr(x) = {y Rs : d(x, y) r}(llamado disco de radio r alrededor de x) es cerrado.

(3) En R2 el conjunto A = {(x, y) : 0 y 1x} (0 [0,)) es cerrado. (Aqu A es la

region del primer cuadrante comprendida entre el eje x, el eje y la hiperbola con ecuaciony = 1

x.)

(4) En R un intervalo de la forma [a, b) no es cerrado, pero s lo es un intervalo de laforma [a, b].

(5) En R3 el conjunto {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1} es cerrado.(6) En R el conjunto Q de los numeros racionales no es cerrado.

(7) El conjunto Z es cerrado en R.

Sea A Rs. Entonces (a) El interior de A es el conjuntoInt(A) = Ao = {x Rs : r > 0, Br(x) A}.

Intuitivamente, los puntos interiores son aquellos que estan muy dentro de A en elsentido de que una bola alrededor de ellos esta contenida en A.

(b) La frontera de A es el conjunto

(A) = Fr(A) = {x Rs : r > 0, Br(x) A 6= , Br(x) (Rs \ A) 6= }.Intuitivamente los puntos frontera son aquellos en la orilla de A puesto que cualquier bolaa su alrededor intersecta tanto a A como a su complemento.

(c) La cerradura de A es el conjunto

A = {x Rs : r > 0, Br(x) A 6= }.Intuitivamente los puntos cerradura de A son aquellos que estan muy pegados a A, enel sentido de que cualquier bola a su alrededor debe intersectar a A.

(d) El conjunto de puntos de acumulacion de A es el conjunto

A = {x Rs : r > 0, (Br(x) \ {x}) A 6= }.

21

Intuitivamente un punto de acumulacion de A es un punto que esta pegado a los demaspuntos de A.

2.8 Nota. La definiciones anteriores tambien son relativas al Rs en donde se este traba-jando.

En cada uno de los siguientes ejemplos conviene hacer un dibujo del conjunto en cuestionpara tener una buena idea geometrica de lo que ocurre.

2.9 Ejemplo. (1) Sea A = [0, 1) {2} R. Entonces Int(A) = (0, 1), (A) = {0, 1, 2},A = [0, 1] {2} y A = [0, 1].

(2) Sea A = Q R. Entonces Int(A) = , (A) = R, A = R y A = R.(3) A = {(x, y) : x > y} R2. Entonces Int(A) = A, (A) = {(x, y) : x = y},

A = {(x, y) : x y} y A = {(x, y) : x y}.(4) A = {(x, y, z) : x = 0 o y = 0 o z = 0} R3. Entonces Int(A) = , (A) = A, A = A

y A = A.

(5) A = [0, 1] [0, 1] [0, 1] R3. (Aqu A es un cubo.) Entonces Int(A) = (0, 1) (0, 1) (0, 1), (A) = ({0, 1} [0, 1] [0, 1]) ([0, 1]{0, 1} [0, 1]) ([0, 1] [0, 1]{0, 1})(las seis caras del cubo), A = A y A = A.

(6) A = { 1n

: n N} [0, 1] R2. (Aqu A consiste en lneas verticales que se acercanal eje y.) Entonces Int(A) = , (A) = A ({0} [0, 1]), A = A ({0} [0, 1]) y A =A ({0} [0, 1]).

(7) Z Z R2. Entonces Int(A) = , (A) = A, A = A y A = A.

2.10 Proposicion. Sea A Rs. Entonces(a) Int(A) es el mayor abierto contenido en A, de manera que IntA =

U donde

{U : } es la familia de todos los abiertos de Rs que estan contenidos en A.(b) A es el menor cerrado que contiene a A, de manera que A =

C donde {C :

} es la familia de todos los cerrados de Rs que estan contenidos en A.Demostracion. (a) Es claro que Int(A) A. Probemos ahora que Int(A) es abierto:

Sea x Int(A) y sea r > 0 tal que Br(x) A; veamos que esta misma bola tambienesta contenida en Int(A); para esto, tomemos y Br(x) y sea s = r d(x, y); este radio esmayor que 0 pues y Br(x). Ademas es claro que Bs(y) Br(x) (para convencerse de estobasta hacer un dibujo; la demostracion algebraica hace uso de la desigualdad del triangulo).De aqu tenemos que Bs(y) A y as, y Int(A). Ahora demostremos que todo abiertocontenido en A esta contenido en Int(A): Sea U abierto contenido en A. Entonces, para todox U existe r > 0 tal que Br(x) U A, as que x Int(A). Solo falta ver que Int(A)es la union de todos los abiertos de Rs que estan contenidos en A, pero esto ya es claro delo que tenemos pues Int(A), al ser abierto, es uno de los uniendos y entonces esta contenido

22

en la union; la otra inclusion se demostro ya.

(b) Es claro que A A. Veamos que A es cerrado; para ello debemos probar que sucomplemento es abierto. Sea x Rs \ A. Como x 6 A, existe una bola Br(x) que nointersecta a A, as que esta contenida en el complemento de A; queremos probar que estamisma bola tambien esta contenida en el complemento de A. Supongamos que esto no escierto y sea y Br(x)A. Entonces toda bola alrededor de y intersecta a A (por estar y enla cerradura de A) y tambien toda bola intersecta al complemento de A (pues el mismo yesta en ese complemento), de manera que y (A); ahora, como y Br(x), que es abierto,hay una bola con centro en y contenida totalmente en Br(x), as que Br(x) intersecta a A, locual es un absurdo y hemos probado lo que queramos. El resto de la demostracion es como(a) y se deja como ejercicio.

2.11 Proposicion. Sea A Rs. Entonces(a) A = Int(A) (A) = A (A) = A A.(b) (A) = A (Rs \ A).Demostracion. Se sigue facilmente de las definiciones.

2.12 Lema. Sea A Rs y sea x Rs. Entonces(a) x es punto cerradura de A si y solo si existe una sucesion (a1, a2, . . .) de elementos de

A tal que d(an, x) 0 y sea n N tal que 1n< r. Entonces

an Br(x), as que Br(x) A 6= y entonces x A.(b) La demostracion es como en el inciso (a) pero tomando los puntos en A (B 1

n(x) \

{x}).

2.13 Observacion. En la proposicion anterior se puede sustituir la condicion de qued(an, x) 0 tal que (x0, x0+) U0 ; entonces,por ser x0 = sup T , existe x1 (x0 , x0) tal que [0, x1] esta cubierto por un numero finitode elementos de . Agregando U0 a esa coleccion finita obtenemos una coleccion finita deelementos de que cubren al intervalo [0, x0], probando as que x0 T . Ahora observemosque para [0, x0 +

2] tambien esta cubierto por una cantidad finita de elementos de , as que

si x0 < 1 habra un elemento en T mayor que x0, lo cual es imposible.

La esencia del lema siguiente es que la compacidad es una propiedad absoluta en elsentido de que si un subconjunto de Rs es compacto, entonces un conjunto identico a eldentro de Rt (para t posiblemente distinto de s) tambien es compacto. Lo probaremos en uncaso particular para ilustrar, aunque la demostracion sera muy parecida en el caso general.

2.23 Lema. Si un subconjunto A de R es compacto, entonces A{0} es un subconjuntocompacto de R2 (y lo analogo para Rs).

Demostracion. Tomemos = {U : } una cubierta abierta de A{0}. Cada uno delos abiertos de es union de bolas de R2, as que al intersectarlo con R{0} obtenemos unaunion de intervalos abiertos (posiblemente vacos). De esta manera, la cubierta de A{0} enR2 pasa a ser una cubierta de abiertos de A en R y entonces podemos extraer una subcubierta

26

finita; al considerar los subconjuntos de que determinan esta subcubierta finita obtenemosla subcubierta buscada.

2.24 Corolario. Toda celda cerrada es compacta.

Demostracion. Es claro que en la demostracion de que [0, 1] es un subconjunto compactode R podemos sustituir [0, 1] por cualquier intervalo cerrado. Por simplicidad probemos que[0, 1] [0, 1] es compacto. (La generalizacion a cualquier celda en Rs es inmediata.) Sea = {U : } una cubierta abierta de [0, 1] [0, 1]. Sea T = {y [0, 1] : [0, 1] [0, y]esta cubierto por un numero finito de elementos de }. Por el lema, 0 T , as que T 6= .Es claro que T esta acotado superiormente, as que T tiene supremo y0. Como antes, veamosque y0 = 1 y que y0 T . Para cada x [0, 1] sea Ux tal que (x, y0) Ux y seaBx bola alrededor de (x, y0) contenida en Ux. Entonces {Bx : x [0, 1]} es una cubiertaabierta de [0, 1] {y0} que, como en el lema, es compacto, as que tiene una subcubiertafinita Bx1 , . . . , Bxk ; supongamos (sin perdida de generalidad) que esta subcubierta es mnima(eliminando las que esten contenidas en union de otras, para que las bolas que queden seantodas necesarias para cubrir) y que x1 < < xk. Las intersecciones de las orillas de cadapareja de bolas consecutivas nos definen una cantidad finita de puntos fuera de la rectahorizontal con altura y0; al tomar la distancia mnima de estos puntos a la recta notamosque la franja [0, 1] [y0 + ) Bx1 Bxk Ux1 Uxk , as que, como en lademostracion de la proposicion anterior, y0 = 1 y y0 T .

2.25 Lema. Si A es un subconjunto cerrado de un conjunto compacto K Rs, entoncesA es compacto.

Demostracion. Sea = {U : } una cubierta abierta para A. Consideremos lacubierta abierta para K que se obtiene al agregar Rs \ A a . Como K es compacto, estanueva cubierta tiene una subcubierta finita. Es claro que los elementos de que pertenezcana esta nueva cubierta cubren a A as que esa es la subcubierta finita buscada.

2.26 Proposicion. Teorema de Heine-Borel. Los compactos de Rs son los conjuntoscerrados y acotados.

Demostracion. Empecemos por probar que si A Rs es compacto, entonces A es cerradoy acotado. Consideremos la cubierta abierta {Bn(0) : n N}. Como A es compacto estacubierta tiene una subcubierta finita: {Bn1(0), . . . , Bnk(0)}; pero estas bolas estan anidadasas que hay una de ellas Bn0(0) que contiene a todas y entonces tambien a A. Para ver queA es cerrado tomemos un punto x en el complemento y consideremos la cubierta abierta{Un : n N} de A, donde Un = {z Rs : d(x, z) > 1n}. Como A es compacto, esta cubiertatiene una subcubierta finita; pero los elementos de la cubierta estan anidados, as que A Unpara alguna n. Eso implica que B 1

2n(x) esta contenida en el complemento de A, probando

as que A es cerrado. Ahora veamos que si A es cerrado y acotado entonces es compacto.Sea C celda cerrada que contenga a A (existe pues A es acotado). Entonces C es compacto

27

as que por el lema anterior, A tambien lo es.

2.27 Proposicion. Teorema de interseccion de Cantor. Sean K1, K2 . . . compactosno vacos en Rs tales que K1 K2 . Entonces

nNKn 6= .

Demostracion. Supongamos quenNKn = y sea, para cada n, Un = Rs\Kn. Entonces

U1 U2 ynN Un =

nN(Rs \Kn) = Rs \

nNKn = Rs \ = Rs. Pero entonces

{Un : n N} es una cubierta abierta para K1 y como este conjunto es compacto existe unasubcubierta finita; pero como las Un estan encadenadas tenemos que K1 Un0 para algunan0. Pero Kn0 K1, as que tambien Kn0 esta contenido en Un0 , lo cual es un absurdo al quellegamos por haber supuesto que

nNKn = .

2.28 Proposicion. Teorema de la cubierta de Lebesgue. Sea K compacto y seaU una cubierta abierta de K. Existe > 0 tal que si A es un subconjunto de K condiam(A) < , entonces A U para alguna U U .

Demostracion. Para x K sea Ux U tal que x Ux. Sea r(x) > 0 tal que B2r(x)(x) Ux. Consideremos B = {Br(x)(x) : x K}. esta es una cubierta abierta de K que es compac-to; extraigamos una subcubierta finita: {Br(x1)(x1), . . . , Br(xt)(xt)}. Sea = min{r(x1), . . . , r(xt)}.Entonces si A es un subconjunto de K con diametro menor que y a A, al tomari {1, . . . , t} tal que a Br(xi)(xi) tenemos que, como el diametro de A es menor que, A B2r(xi)(xi) Uxi .

Observemos que si un numero cumple las condiciones de la proposicion anterior, en-tonces tambien lo cumple cualquier numero positivo menor que . Cualquiera de ellos es unnumero de Lebesgue para la cubierta.

2.29 Proposicion. Teorema del punto mas cercano. Sea C cerrado no vaco y seaa 6 C. Entonces existe c0 C tal que d(c0, a) d(c, a) para todo c C.

Demostracion. Sea d = d(a, C) = inf{d(a, c) : c C}. Como C es cerrado, entoncesd > 0 (si no, existira una sucesion (cn)n de elementos de C tal que d(a, cn) 0 tal que Br(x)esta contenido en A. Sea y Br(x); es claro que el segmento [x, y] esta contenido en Br(x)as que, al agregar este segmento a la poligonal de a hasta x, obtenemos una poligonal de ahasta y, probando as que y U ; de esta manera tenemos que Br(x) U y de aqu que Ues abierto. Sea V = A \U ; un argumento similar al que probo que U es abierto nos dice queV tambien es abierto (pues si un punto y de A no se puede unir mediante una poligonal a a,entonces ningun punto de una bola alrededor de y contenida en A se puede unir medianteuna poligonal a a). Como U es no vaco (pues a U) y A es conexo, obtenemos que V =

30

(si no, (U, V ) sera una separacion para A). Entonces U = A y con esto concluimos quetodo punto de A se puede unir a a mediante una poligonal. Como a era arbitrario, cualquierpareja de puntos de A se puede unir mediante una poligonal.

2.42 Ejemplo. Un conjunto no abierto conexo en R2 y en el que no es cierto que dospuntos cualesquiera se puedan unir mediante una poligonal es C = ({0} [0, 1]) nAn nBn donde para n N, An = { 1n} [0, 1] y Bn es el segmento que va de

(1n, 0)

a(

1n+1

, 1).

Demostracion. Es claro quenAn

nBn pues cualesquiera dos puntos estan unidos

por una poligonal. Para ver que C es conexo, usamos el siguiente ejercicio.

2.43 Ejercicio. Probar que si C Rs es conexo y D es tal que C D C entonces Des conexo.

31

3. Sucesiones

Intuitivamente, una sucesion en un conjunto X es una lista de elementos de X (nonecesariamente distintos) en la que importa como estan ordenados estos elementos. Conside-raremos solo sucesiones infinitas, o sea, listas infinitas. Damos a continuacion la definicionformal.

Una sucesion en un conjunto X es una funcion A : N X. A la imagen del natural nbajo esta funcion lo denotamos por an y le llamamos termino n-esimo de la sucesion, y a lamisma sucesion A la denotamos escribiendo sus imagenes en X, es decir, A = (a1, a2, a3, . . .)o, en forma sintetica, A = (an)nN o, simplemente, A = (an)n. El rango de una sucesion esel conjunto {an : n N} de sus terminos.

3.1 Ejemplo. (a) La sucesion an = n es la sucesion (1, 2, 3, . . .). El rango de esta sucesiones N.

(b) La sucesion definida por an = (1)n es la sucesion (1, 1,1, 1, . . .) y es distinta dela sucesion definida por bn = (1)n+1 que es (1,1, 1,1, . . .) aun cuando sus rangos son elmismo conjunto de dos elementos {1, 1}.

(c) Una sucesion constante es una en la que todos los terminos son iguales, por ejemplo,la sucesion constante 1 es (1, 1, 1, . . .).

Una sucesion (an)n en Rs converge a a Rs si para todo real > 0 existe un numeronatural N tal que si n N entonces d(an, a) < . En otras palabras, a partir de cierto lugarN todos los terminos de la sucesion estan en la bola con centro en a y radio . En este casoescribimos an a. Una sucesion no convergente se llama divergente.

3.2 Observacion. an a si y solo si ||an a|| = d(an, a) 0.

3.3 Proposicion. En caso de existir, el punto de convergencia es unico.

Demostracion. Supongamos que an a y an b y que a 6= b. Entonces = d(a,b)2es positivo. Por definicion de convergencia a a, sabemos que existe N1 tal que si n N1entonces an B(a); por otro lado, la convergencia a b nos dice que existe N2 tal que sin N2 entonces an B(b). Pero entonces si tomamos un natural n mayor que el maximoentre N1 y N2 tendremos que an B(a)B(b), lo cual es un absurdo porque las dos bolasno se intersectan por la definicion de .

3.4 Nota. Gracias a la proposicion anterior podemos escribir limn

an = a cuando lasucesion (an)n converge a a; decimos ademas que a es el lmite de la sucesion.

Una sucesion en Rs es acotada si su rango es un conjunto acotado.

32

3.5 Proposicion. Toda sucesion convergente es acotada.

Demostracion. Supongamos que (an)n es una sucesion convergente a a. Entonces, para =1, tenemos que existe un natural N tal que si n N , entonces d(an, a) < 1. En consecuencia,para toda n N , se tiene que ||an|| ||a|| + 1. Sea R = max{||a1||, . . . , ||aN1||, ||a|| + 1}.Entonces todo elemento de la sucesion tiene norma menor o igual que R.

Dadas sucesiones A = (an)n y B = (bn)n en Rs y c real definimos nuevas sucesiones comosigue:

(a) La sucesion suma A+B tiene termino n-esimo an + bn.

(b) El producto por el escalar c se obtiene multiplicando cada termino de la sucesionpor c: cA = (can)n.

(c) Si s = 1 definimos el producto de las sucesiones A y B por AB = (anbn)n.

(d) Si s = 1 y bn 6= 0, el cociente de A entre B es la sucesion cuyo termino n-esimo esanbn

.

3.6 Proposicion. Si an a y bn b, entonces(a) an + bn a+ b.(b) can ca.(c) anbn ab(d) Si b 6= 0, entonces an

bn a

b.

Demostracion. Haremos solo (a) y (c); dejaremos (b) y (d) como ejercicio. (a) Sea > 0.Entonces ||(an + bn) (a+ b)|| ||an a||+ ||bn b||. Como an a, existe N1 N tal quesi n N1, entonces ||an a|| < 2 . Analogamente, existe N2 N tal que si n N2, entonces||bnb|| < 2 . Sea N = max{N1, N2}. Entonces para n N tenemos que ||ana||+||bnb|| 0. Entonces

||anbnab|| = ||anbnanb+anbab|| ||anbnanb||+||anbab|| = ||an||||bnb||+||ana||||b||.Aqu podemos proceder como en (a), buscando ver que cada uno de los sumandos es tanchico como queramos para n suficientemente grande. Consideremos el primer sumando: Elque la sucesion (an)n sea convergente implica que es acotada, digamos, por M > 0. Entonces,sea N1 tal que para n N1 se tenga que ||bnb|| < 2M . El segundo sumando puede acotarsede la misma manera por

2(pues ||b|| es constante y, si fuera 0, no sera problema) y la

demostracion termina como en (a).

La siguiente proposicion nos permite estudiar la convergencia de sucesiones en Rs fijando-nos solo en el caso s = 1, en vista de que una sucesion en Rs es convergente si y solo si loes en cada coordenada y, ademas, el lmite puede calcularse coordenada a coordenada (enR).

33

3.7 Proposicion. Sea (an)n una sucesion en Rs y sea, para cada n, an = (an,1, an,2, . . . , an,s)la expresion de an mediante sus coordenadas reales. Entonces an converge a b = (b1, b2, . . . , bs) Rs si y solo si

an,1 b1,an,2 b2,

...

an,s bs.

Demostracion. La demostracion es estandar y esta basada en la misma idea que ya hemosmanejado anteriormente: Toda bola tiene dentro un cubo y todo cubo tiene dentro una bola.Demostremos por ejemplo la implicacion (): Sea > 0. Sea, > 0 tal que el cubo concentro en b y lado 2 este contenido en B(b). Tomemos N suficientemente grande para quesi n N entonces en todas las coordenadas i se tenga an,i (bi , bi + ). Entonces paran N se tiene que an B(b).

3.8 Proposicion. La sucesion definida por an =1n

converge a 0.

Demostracion. Sea > 0; por el Principio Arquimedeano existe N N tal que N > ;entonces, para n N , se tiene 1

n 1

N< , como queramos probar.

Sea (an)n una sucesion de reales. Decimos que an tiende a infinito (en smbolos, an )si para todo numero real R existe N N tal que si n N entonces an > R. Analogamente,decimos que an si para todo numero real R existe N N tal que si n N entoncesan < R.

3.9 Ejercicio. Probar que una sucesion (an)n de elementos positivos tiende a infinito siy solo si la sucesion de recprocos ( 1

an)n tiende a 0.

3.10 Proposicion. Sean f(n) y g(n) dos polinomios: f(n) = bknk + + b1n + b0 y

g(n) = clnl + + c1n+ c0, con las bi y las cj reales y bk y cl distintos de 0. Entonces

limn

f(n)

g(n)=

bkck, si k = l,

0, si k < l,, si k > l.

En el ultimo caso el signo es el mismo que el de bk.

Demostracion. Es facil darse cuenta de la validez de este resultado si en cualquiera delos casos dividimos numerador y denominador por la potencia maxima de n que aparezca yutilizamos las propiedades de lmite vistas en 3.6.

34

3.11 Proposicion. Criterio de Comparacion. Si an a, bn b y an bn paratoda n, entonces a b.

Demostracion. Supongamos que es falso el resultado, es decir, que a > b; sea = ab2

.Sea N N tal que, para n N , an (a , a + ) y bn (b , b + ). EntoncesaN < a+ b < bN , lo cual es una contradiccion.

3.12 Corolario. Lema del Sandwich. Si an bn cn para toda n N y limn

an =L = lim

ncn, entonces (bn)n es convergente y lim

nbn = L.

Demostracion. Sea > 0. Queremos encontrar N N tal que si n N , entonces|bn L| < . Sea N1 tal que si n N1 entonces |an L| < y sea N2 tal que si n N2entonces |cn L| < . Entonces, para n max{N1, N2}, tenemos que bn an > L ybn cn < L+ , as que bn (L , L+ ), como queramos demostrar.

3.13 Proposicion. Sea a un numero real. Si |a| < 1 entonces an 0.Demostracion. Como |a| < 1 podemos escribir |a| = 1

1+rcon r > 0. Entonces, por el

Teorema del Binomio de Newton tenemos que

0 |a|n = 1(1 + r)n

=1

1 + nr + . . . 1 entonces an .

3.15 Proposicion. Sea (an)n una sucesion de reales positivos convergente a a. Entoncesan

a.

Demostracion. Sea > 0. Queremos probar que |an a| < . Si a = 0, entonces

|an a| = |an| = an, y este ultimo es menor que si |an| < 2, lo cual es posible

lograr para n suficientemente grande pues an 0. Si a 6= 0, entonces

|an a| = |(

an

a)(an +

a|

|an +a| =

|an a||an +

a|

|an a|a

.

Este ultimo es menor que si |ana| 0.

A continuacion calcularemos algunos lmites utilizando los resultados vistos arriba.

3.16 Ejemplo. (a) limn

2n

n!= 0 ya que, para n grande,

0

1

4+

1

4=

1

2,

1

5+ + 1

8>

1

8+ + 1

8=

4

8=

1

2,

1

9+ + 1

16>

1

16+ + 1

16=

8

16=

1

2,

...

Entonces, es claro que la sucesion tiende a infinito pues sus terminos van creciendo y losterminos en posicion potencia de 2 no estan acotados pues a2k > 1 +

k2.

Una sucesion (an)n es monotona creciente (respectivamente, monotona decreciente)si an an+1 (resp. an an+1) para toda n.

3.17 Proposicion. Teorema de la convergencia monotona. Sea (an)n una sucesionacotada y monotona creciente (resp. decreciente); entonces (an)n es convergente y

limn

an = sup{an : n N} (resp. inf{an : n N}).

Demostracion. Haremos el caso de la sucesion creciente. Sea a0 = sup{an : n N} ysea > 0. Por definicion de supremo, a0 no es cota superior, as que existe N N talque aN > a0 . Ahora, la sucesion es creciente as que, para n N , an aN , de dondean > a0 ; por otro lado, como a0 es cota superior, tenemos que an a0, as que, paran N , an (a0 , ] (a0 , a0 + ), como queramos demostrar.

En el siguiente ejemplo veremos como puede aplicarse el Teorema de la ConvergenciaMonotona. Una vez que sepamos que la sucesion es convergente, haremos un truco algebraicopara calcular el lmite.

36

3.18 Ejemplo. Sea (an)n la sucesion definida en forma recursiva como sigue: a1 = 1 y,para n 2, an = 2an1+34 . Determinar si la sucesion es convergente y, en ese caso, calcularsu lmite.

Solucion. Probemos por induccion que la sucesion es creciente y que esta acotada por 2.Tenemos que a2 =

54< 2, as que a1 < a2 < 2. Ademas, suponiendo que an1 an < 2,

tenemos que 2an1+34

2an+34

< 22+34

< 2, es decir, an an+1 < 2. El Teorema de laConvergencia Monotona nos dice entonces que la sucesion es convergente, sin embargo, nonos dice cual es el lmite. Por otro lado, podemos usar la misma formula recursiva que nosdefine la sucesion para calcular el lmite pues si an a, entonces 2an1+34 2a+34 , as quea = 2a+3

4y, despejando a de esta ecuacion, tenemos a = 3

2.

3.19 Nota. El truco que aplicamos en el ejemplo anterior solo debe aplicarse una vez quesabemos que la sucesion es convergente; por ejemplo, si trataramos de aplicarlo a la sucesiondefinida por a1 = 1 y para n 2, an = 2an1 + 1, concluiramos que la sucesion converge alnumero a que satisface 2a+ 1 = a, es decir, a = 1, lo cual es claramente incorrecto pues lasucesion es no acotada.

3.20 Proposicion. La sucesion (an)n definida por an =(1 + 1

n

)nconverge a un numero

entre 2 y 3.

Demostracion. Veremos que la sucesion es creciente y que esta acotada por 3. Usando eldesarrollo dado por el Teorema del Binomio de Newton tenemos que

an = 1 + n1

n+n(n 1)

2!

1

n2+n(n 1)(n 2)

3!

1

n3+ + n(n 1) 1

n!

1

nn

= 1 + 1 +1

2!

(1 1

n

)+

1

3!

(1 1

n

)(1 2

n

)+ + 1

n!

(1 1

n

) (

1 n 1n

).

Analogamente,

an+1 = 1 + 1 +1

2!

(1 1

n+ 1

)+ + 1

3!

(1 1

n+ 1

)(1 2

n+ 1

)+ +

1

(n+ 1)!

(1 1

n+ 1

) (

1 nn+ 1

).

Al comparar termino a termino vemos que an < an+1. Para ver que 3 es una cota superior,observemos que, para k = 2, . . . , n, tenemos que 1

k!= 1

k(k1)1 1221 = 12k1 ; ademas, parai = 1, . . . , n 1, tenemos que 0 < 1 i

n< 1. Entonces

an 1 + 1 + 12

+1

4+ + 1

2n1< 3.

37

Entonces (an)n converge a un numero entre 2 y 3.

El numero al que converge la sucesion de la proposicion anterior se llama e.

3.21 Proposicion. Si k es un numero entero, la sucesion (an)n definida por an =(1 + k

n

)nconverge a ek.

Demostracion. Para k = 0, el resultado es obvio. Supongamos entonces que k 6= 0.Tenemos (

1 +k

n

)n=

(1 +

1nk

)nkk

.

Entonces basta observar que cuando n tambien nk.

Sea (an)n una sucesion en un conjunto A. Una subsucesion de (an) es una sucesion(a(k))kN donde : N N es una funcion creciente. En otras palabras, si llamamos(k) = nk, la subsucesion es (an1 , an2 , an3 , . . .), y se obtiene eliminando algunos terminos(posiblemente una cantidad infinita) de la sucesion original (a1, a2, a3, . . .).

3.22 Ejemplo. (a) La subsucesion de terminos pares de una sucesion se obtienemediante la funcion : N N dada por (n) = 2n. Analogamente definimos la sucesion determinos impares. Por ejemplo, la sucesion de terminos pares de la sucesion (1,1, 1,1, . . .)es la sucesion constante 1 y la sucesion de terminos impares es la sucesion constante 1.

(b) Una subsucesion cola es la que se obtiene mediante una funcion : N N de la forma(n) = n + c, donce c es una constante; en otras palabras, una subsucesion cola se obtieneeliminando los primeros c terminos de la sucesion; por ejemplo, la sucesion (1

5, 1

6, 1

7, . . .) es

cola de la sucesion (an)n donde an =1n

(aqu c = 4).

(c) La sucesion definida por bn = 2n es subsucesion de la sucesion definida por an = n

(aqu (n) = 2n).

La siguiente observacion es clara a partir de la definicion de convergencia.

3.23 Observacion. (a) Si (an)n es una sucesion convergente a a entonces cualquiersubsucesion de (an)n tambien converge a a.

(b) Si una cola de una sucesion converge entonces tambien la sucesion converge.

3.24 Teorema. Teorema de Bolzano Weierstrass (para sucesiones). Toda suce-sion acotada tiene subsucesion convergente.

Demostracion. Sea (an)n una sucesion acotada. Tenemos dos casos: que el rango R ={an : n N} sea finito o que sea infinito. Si R es finito, entonces hay un valor que se repiteuna infinidad de veces; sea a este valor. Entonces la subsucesion constante con valor a es

38

subsucesion de (an)n y es obvio que converge a a. Si R es infinito, entonces, por el Teoremade Bolzano Weierstrass 2.20, R tiene un punto de acumulacion a y, en consecuencia, paratoda k la bola con centro en a y radio 1

ktiene una infinidad de terminos de la sucesion (pues

si solo tuviera una cantidad finita, entonces la bola agujerada mas pequena Br(a) \ {a},donde r es la menor de las distancias a los puntos de la sucesion dentro de B 1

k(a) \ {a}, no

tendra puntos de la sucesion). Definamos la subsucesion escogiendo puntos de la sucesioncomo sigue: an1 es un elemento de la sucesion en B1(a) \ {a}, an2 es un elemento en lasucesion de manera que n2 > n1 y an2 B 1

2(a) \ {a}, etc. (en general construimos nk+1 > nk

y ank+1 B 1k+1 (a) \ {a}).

Una sucesion (an)n en Rs es de Cauchy si dado > 0 existe N N tal que paran,m N , d(an, am) < .

3.25 Nota. . La sucesion (an)n en Rs es de Cauchy si y solo si para todo k N se tieneque d(an+k, an) 0.

3.26 Proposicion. Toda sucesion convergente en cualquier subconjunto de Rs es deCauchy.

Demostracion. Sea (an)n una sucesion convergente a a y sea > 0. Sea N N tal que paran N , d(an, a) < 2 . Entonces, para n,m N se tiene que d(an, am) < d(an, a) +d(a, am) 0. Sea N1 N tal que para n,m N1, d(an, am) < 2 . Ademas, sea ak0 untemino de la sucesion cuya distancia a a sea menor que

2y tal que k0 > N1 (dicha k0

existe pues hay una subsucesion que converge a a). Entonces, para n k0 se tiene qued(an, a) d(an, ak0) + d(ak0 , a) < 2 + 2 = .

3.28 Nota. . El conjunto de los racionales no es completo pues, por ejemplo, una sucesionde racionales que converja en R a

2 (como (1, 1.4, 1.41, . . .)) es de Cauchy pero su lmite

no es racional.

39

Al igual que hicimos antes con la proposicion 3.17, podemos usar 3.27 para determinarque cierta sucesion es convergente, y despues usar que s lo es para encontrar el lmite, comoveremos en el siguiente ejemplo.

3.29 Ejemplo. Probar que la sucesion de promedios (an)n definida recursivamente pora1 = 0, a2 = 1 y, para n 2, an+1 = an+an12 , es convergente y encontrar su lmite.

Solucion. Como esta sucesion no es monotona, no podemos usar 3.17; sin embargo, noes difcil probar que es de Cauchy, como veremos a continuacion. Observemos primero que|an+1 an| = 12n ; entonces, para k 0,

|an+k an| |an+k an+k1|+ + |an+1 an|=

1

2n+k1+ + 1

2n=

1

2n(1 + + 1

2k1) 1

2n1 0.

El truco que usamos para encontrar el lmite a en 3.18 no sirve aqu puesto que solo nosdira a = a+a

2, de lo cual no podemos extraer ninguna nueva informacion. Sin embargo

consideremos la sucesion de terminos impares: (0, 12, 1

2+ 1

8, . . . , 1

2(1 + 1

4+ + 1

4n), . . .) cuyo

lmite ya sabemos calcular y es 12

11 1

4

= 23. El lmite de la sucesion debe ser entonces tambien

23

(por 3.23).

40

4. Continuidad

Empezaremos por recordar algunos conceptos generales sobre funciones.

Si f : X Y es funcion y A X definimos la imagen de A bajo f como el conjunto

f(A) = {f(a) : a A} = {y Y : a A tal que f(a) = y}.

Si B Y definimos la imagen inversa o preimagen de B bajo f como el conjunto

f1(B) = {x X : f(x) B}.

Por ejemplo, si f : R R esta definida por f(x) = x2, entonces f(R) = [0,), f(Z) ={0, 1, 4, 9, 16, . . .}, f1({1}) = y f1({1}) = {1, 1}.

4.1 Observacion. Sea f : X Y una funcion. Entonces(a) f es suprayectiva si y solo si f(X) = Y .

(b) f es inyectiva si y solo si para todo y Y se tiene que f1(y) consta a lo mas de unelemento.

(c) f es biyectiva si y solo si para todo y Y se tiene que f1(y) consta de un elementode X exactamente. En este caso se puede considerar a f1 como funcion.

Tenemos algunas propiedades basicas.

4.2 Proposicion. Sea f : X Y una funcion.(a) Si A1 A2 X entonces f(A1) f(A2).(b) Si {A : } es una familia de subconjuntos de X entonces f

(A

)=

f(A).

(c) Si A1, A2 X entonces f(A1 A2) f(A1) f(A2). Se da la igualdad para todapareja A1, A2 de subconjuntos de X si y solo si f es inyectiva.

(d) Si A1, A2 X entonces f(A1 \ A2) f(A1) \ f(A2). Se da la igualdad para todapareja A1, A2 de subconjuntos de X si y solo si f es inyectiva.

Demostracion. Demostraremos solo (c) y dejaremos las demas como ejercicio. (c) Seay f(A1 A2). Entonces y = f(x) para algun x A1 A2, as que x A1 y x A2 yentonces y = f(x) f(A1) y y = f(x) f(A2), de donde entonces y = f(x) f(A1)f(A2).Supongamos que se da la igualdad para toda pareja A1, A2 de subconjuntos de X y probemosque f es inyectiva. Sean x1 y x2 elementos distintos de X; queremos ver que f(x1) 6= f(x2).Supongamos que f(x1) = f(x2) = y y sean A1 = {x1} y A2 = {x2}. Entonces f(A1 A2) =f() = , pero f(A1)f(A2) = {y}, lo cual es una contradiccion. Ahora supongamos que f esinyectiva y sean A1, A2 subconjuntos de X. Queremos probar que f(A1A2) f(A1)f(A2).

41

Sea y f(A1) f(A2) y sean x1 A1 y x2 A2 tales que f(x1) = y y f(x2) = y. Por ser finyectiva, x1 = x2 A1 A2 de donde y f(A1) f(A2).

4.3 Proposicion. Sea f : X Y una funcion.(a) Si B1 B2 Y entonces f1(B1) f1(B2).(b) Si {B : } es una familia de subconjuntos de Y entonces f1

(B

)=

f1(B).

(c) Si {B : } es una familia de subconjuntos de Y entonces f1(

B)

= f

1(B).

(d) Si B1, B2 Y entonces f1(B1 \B2) = f1(B1) \ f(B2).Demostracion. Demostraremos solo (d) y dejaremos las demas como ejercicio. Tenemos

que x f1(B1 \B2) f(x) B1 \B2 f(x) B1 y f(x) 6 B2 x f1(B1)\f(B2).

4.4 Ejercicio. Sea f : X Y una funcion. Probar lo siguiente:(a) Si A X entonces f1f(A) A. Se da la igualdad para todo A si y solo si f es

inyectiva.

(b) Si B Y entonces ff1(B) B. Se da la igualdad para todo B si y solo si f essuprayectiva.

Ahora continuaremos estudiando las funciones que preservan cercana, es decir, las fun-ciones continuas.

La definicion con / que conocemos de funcion continua para funciones de R en R segeneraliza de manera natural a funciones de Rs en Rt: Dada f : Rs Rt funcion y x0 Rsdecimos que f es continua en x0 si para toda > 0 existe > 0 tal que f(B(x0)) B(f(x0)). Decimos que f es continua si lo es para todo x0 Rs.

A continuacion veremos varias equivalencias de esta definicion. En situaciones especialesnos convendra mas usar alguna de ellas que la propia definicion.

4.5 Proposicion. Dada f : Rs Rt funcion son equivalentes:(a) f es continua.

(b) Para toda sucesion convergente (xn)n en Rs se tiene que (f(xn))n es una sucesionconvergente de Rt y lim f(xn) = f(lim xn).

(c) Para todo subconjunto A de Rs se tiene f(A) f(A).(d) Para todo C Rt cerrado se tiene que f1(C) es un cerrado del dominio Rs.(e) Para todo U Rt abierto se tiene que f1(U) es un abierto del dominio Rs.

42

Demostracion. (a)(b) Sea (xn)n en Rs sucesion convergente a x0 y sea > 0. Tomemos > 0 tal que f(B(x0)) B(f(x0)) (existe por hipotesis); usando la convergencia de (xn)nsea n N tal que n N xn B(x0). Entonces tambien para n N se tiene quef(xn) B(f(x0)), como queramos. (b)(c) Sea f(x) f(A) con x A. Sabemos, por2.12, que existe una sucesion (an)n de elementos de A que converge a x; entonces (f(an))nconverge a f(x), por hipotesis, as que, tambien por 2.12, f(x) f(A), como queramosprobar. (c)(d) Sea C Rt cerrado. Para probar que f1(C) es cerrado basta ver quef1(C) f1(C). Tenemos que f(f1(C)) C = C, de donde la contencion buscada esclara. (d)(e) Sea U Rt abierto. Entonces Rt \ U es cerrado, de donde f1(Rt \ U) escerrado, pero f1(Rt \ U) = Rs \ f1(U), as que f1(U) es abierto. (e)(a) Sean x Rt y > 0. Como B(f(x)) es abierto, su imagen inversa f

1(B(f(x)) tambien lo es y ademascontiene a x as que existe > 0 tal que B(x0) f1(B(f(x)), de donde f(B(x0)) B(f(x0)).

Observemos que las equivalencias (b) y (c) nos dan mas la idea intuitiva del significadode funcion continua en cuanto a que puntos cercanos tienen imagenes cercanas.

4.6 Ejemplo. (i) La funcion identica de Rs en Rs es continua.

(ii) Si c Rt entonces la funcion constante f : Rs Rt con valor c es continua.(iii) Si s < t entonces la funcion inclusion f : Rs Rt definida por f((x1, . . . , xs)) =

(x1, . . . , xs, 0, . . . , 0) es continua.

(iv) Si s > t, entonces la funcion proyeccion f : Rs Rt definida por f((x1, . . . , xs)) =(x1, . . . , xt) es continua.

(v) Si f : Rs Rt y g : Rt Ru son continuas entonces tambien lo es la funcioncomposicion g f : Rs Ru.

(vi) Si c, d R y f, g : Rs Rt son continuas entonces tambien lo es la funcioncf + dg : Rs Rt (definida por (cf + dg)(x) = cf(x) + dg(x)).

(vii) Si t = 1, 2 y f, g : Rs Rt son continuas entonces tambien lo es la funcion productofg : Rs Rt (definida por fg(x) = f(x)g(x)).

Demostracion. (i) y (ii) son claras y se demuestran a partir de cualquiera de las equiva-lencias de funcion continua.

(iii) y (iv) se pueden probar directamente de la definicion pues la interseccion de unabola de un espacio euclidiano con otro contenido en el es tambien una bola.

(v) se prueba facilmente usando la equivalencia (b).

(vi) y (vii) son faciles usando la equivalencia (b).

43

4.7 Ejemplo. La funcion f : R R definida por

f(x) =

{1, si x < 0,2, si x 0,

no es continua.

Demostracion. Para ilustrar, usemos cada una de las equivalencias de funcion continua.(El lector debera hacer un dibujo de la situacion en cada uno de los casos usando la graficade f .)

(a) Sea x0 = 0 y sea =12. Entonces para toda > 0 la bola f(B(0)) contiene al 1,

as que no esta contenida en la bola (2 , 2 + ).(b) Sea xn = 1n . Entonces xn 0 pero f(xn) = 1 1 6= 2 = f(0).(c) Sea A = (, 0). Entonces f(A) = f(, 0] = {1, 2} que no es un subconjunto de

f(A) = {1} = {1}.(d) Sea C = {1}. Entonces f1(C) = (, 0) que no es cerrado.(e) Sea U = (3

2, 3). Entonces f1(U) = [0,) que no es abierto.

En algunas ocasiones nuestras funciones estan definidas en un subconjunto X de Rsy no en todo Rs. La definicion de continuidad con / es facil en este caso pues solo seconsideraran los elementos de las bolas que estuvieran en el conjunto. Conviene tambientener las propiedades correspondientes en las demas equivalencias de continuidad. Para ello,definimos topologa relativa como sigue: Si X Rs y U X decimos que U es abiertorelativo a X (o, simplemente, abierto en X) si U es la interseccion de un abierto de Rs conX. Analogamente, definimos cerrado relativo a X.

4.8 Ejemplo. (a) Sea X = [0, 1) R. Entonces [0, 12) es abierto en X y [1

2, 1) es cerrado

en X.

(b) Si consideramos a R como el subconjunto de R2 de los elementos cuya segundacoordenada es 0 entonces la topologa relativa de R como subconjunto de R2 es la mismaque la usual de R.

(c) Si X = {(x, y) R2 : ||(x, y)|| = 1} entonces {(cos(), sen() : 0 < < pi4} es abierto

en X.

(d) Si X = (0, 1) (1, 2) entonces (0, 1) es abierto y cerrado en X.

Las siguientes propiedades son claras:

4.9 Proposicion. Sea X Rs. Entonces(a) U X es abierto relativo a X si y solo si para todo x U existe r > 0 tal que

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Br(x) X U .(b) y X son abiertos relativos a X.(c) La interseccion finita de abiertos en X es abierto en X.

(d) La union arbitraria de abiertos en X es abierto en X.

(e) C X es cerrado en X si y solo si X \ C es abierto en X.(f) Si X es abierto y U X entonces U es abierto en X si y solo si es abierto en Rs.(g) Si X es cerrado y C X entonces C es cerrado en X si y solo si es cerrado en Rs.

Los conceptos de interior, cerradura, frontera y puntos de acumulacion se relativizan demanera obvia, simplemente considerando bolas relativas (es decir, BXr (x) = Br(x)X).. Usa-mos las notaciones IntX(A), X(A), A

Xy AX . por las nociones relativas correspondientes.

4.10 Ejemplo. En cada uno de los siguientes se da un subconjunto X de algun Rs y unsubconjunto A de X. Determinar en cada caso IntX(A), X(A), A

X, AX .

(i) X = [0, 1) [2, 3), A = (0, 12) [2, 3).

(ii) X = Q, A = [0,

2) Q.(iii) X = Z, A = {0}.Solucion. IntX(A) = A, X(A) = {0, 12}, A

X= [0, 1

2] [2, 3), AX = AX . (ii) IntX(A) =

(0,

2)Q, X(A) = {0}, AX = [0,

2)Q, AX = [0,2)Q. (iii) IntX(A) = A, X(A) = ,AX

= A, AX = .

Las equivalencias de funcion continua se leen como sigue:

4.11 Proposicion. Sea X Rs y sea f : X Rt. Son equivalentes:(a) f es continua (es decir, para todo x0 X y > 0 existe > 0 tal que f(BX (x0))

B(f(x0))).

(b) Para toda sucesion convergente (xn)n en X se tiene que (f(xn))n es una sucesionconvergente de Rt y lim f(xn) = f(lim xn).

(c) Para todo A X se tiene f(AX) f(A).(d) Para todo C Rt cerrado se tiene que f1(C) es un cerrado de X.(e) Para todo U Rt abierto se tiene que f1(U) es un abierto de X.

4.12 Observacion. Sea X Rs. Entonces la inclusion i : X Rs (definida pori(x) = x) es continua.

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Demostracion. La imagen inversa de un abierto U de Rt es f1(U)X, que es un abiertode X.

4.13 Corolario. Sea f : Rs Rt continua y sea X Rs. Entonces la restriccionf |X : X Rt (definida por f |X(x) = f(x)) es continua.

Demostracion. Tenemos que f |X = f i donde i : X Rs es la inclusion.

Con la definicion de funcion continua ya generalizada a dominios que sean subconjuntosde Rs tenemos mas ejemplos de funciones continuas en Rs como veremos en la siguienteproposicion.

4.14 Proposicion. Sea Rs = C D con C y D cerrados y sea f : Rs Rt tal que f |Cy f |D son continuas. Entonces f es continua.

Demostracion. Sea E Rt cerrado. Entonces f1(E) = (f |C)1(E) (f |D)1(E). ComoF |C es continua, entonces (f |C)1(E) es un cerrado en C, pero C es cerrado, as que tambien(f |C)1(E) es cerrado en Rs. De la misma manera (f |D)1(E) es cerrado en Rs, as que suunion es cerrado en Rs, como queramos probar.

4.15 Ejemplo. La funcion f : R R definida por

f(x) =

{0, si x 0,x, si x 0,

es continua.

4.16 Ejercicio. Probar que la conclusion de 4.14 es falsa si los conjuntos C y D no soncerrados.

4.17 Ejercicio. Encontrar una familia infinita de cerrados {C : } de R cuya unionsea R y una funcion no continua f : R R tal que f |C sea continua para toda .

Las definiciones de compacto y de conexo no ofrecen dificultad pues son conceptos abso-lutos, es decir si X Rs entonces A X es compacto (o conexo) si y y solo si lo es comosubconjunto de Rs (las cubiertas abiertas o separaciones en abiertos pueden tomarse en Rso en X segun convenga).

Las siguientes dos proposiciones son muy importantes. Nos dicen que imagen continuade conexo es conexo y lo mismo para compactos.

4.18 Proposicion. Sea f : C Rt funcion continua con C Rs conexo. Entoncesf(C) es un subconjunto conexo de Rt.

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Demostracion. Supongamos que f(C) no es conexo y sea (U, V ) una separacion en abiertosde f(C). Veamos que (f1(U), f1(V )) es una separacion en abiertos de C. Por ser f continuatenemos que f1(U) y f1(V ) son abiertos. Como f(C) U V entonces

C f1(f(C)) f1(U V ) = f1(U) f1(V ).Finalmente, como f(C) U V = entoncesC f1(U) f1(V ) f1(f(C)) f1(U) f1(V ) = f1(f(C)U V ) = f1() = . v

4.19 Proposicion. Sea f : K Rt funcion continua con K Rs compacto. Entoncesf(K) es un subconjunto compacto de Rt.

Demostracion. Sea F una cubierta abierta de f(K). Consideremos C = {f1(U) : U F}. Por ser f continua, cada elemento de C es abierto. Ademas, si x K, entonces f(x) f(K) y existe U F tal que f(x) U , de donde x f1(U) C, por lo que C es una cubiertaabierta de K. Como K es compacto, C tiene una subcubierta finita: {f1(U1), . . . , f1(Un)}.Veamos que {U1, . . . , Un} es cubierta de f(K). En efecto, si f(x) f(K) con x K, entoncesexiste i {1, . . . , n} tal que x f1(Ui), de donde f(x) Ui.

Es importante hacer notar que en la demostracion anterior usamos la definicion de com-pacto con cubiertas y no la de cerrado y acotado. De hecho, se necesita toda la fuerza de lacompacidad para la demostracion pues es falso que la imagen continua de acotado sea aco-tado o que la imagen continua de cerrado sea cerrado como veremos en el siguiente ejemplo.

4.20 Ejemplo. Sea f : (0,) R definida por f(x) = 1x.

(a) Sea A = (0, 1). Entonces A es acotado pero f(A) = (1,) que no es acotado.(b) Sea C = [1,). Entonces C es cerrado pero f(C) = (0, 1] que no es cerrado.

Tenemos dos corolarios muy importantes de las dos proposiciones cuando el codominioes el conjunto de los numeros reales.

4.21 Corolario. Sea f : K R funcion continua con K Rs compacto. Entonces falcanza su mnimo (es decir, existe x0 K tal que f(x) f(x0) para todo x K) y sumaximo (es decir, existe x1 K tal que f(x) f(x1) para todo x K).

Demostracion. Probaremos que f alcanza su mnimo. (La demostracion de que alcanza sumaximo es analoga.) Tenemos que F (K) es compacto, as que es cerrado y acotado. Por seracotado, tiene nfimo s, el cual, por ser f(K) cerrado, pertenece a f(K), es decir, s = f(x0)para algun x0 K.

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4.22 Corolario. Teorema del Valor Intermedio. Sea f : C R funcion continuacon C Rs conexo. Sean x0, x1 C. Si r R es un numero tal que f(x0) r f(x1)entonces existe x C tal que f(x) = r.

Demostracion. Supongamos que no. Entonces ((, r), (r,)) es una separacion enabiertos para f(C), lo cual no es posible pues f(C) es conexo.

4.23 Ejercicio. Probar que si f : [0, 1] [0, 1] es continua entonces f tiene un puntofijo (es decir, existe x0 [0, 1] tal que f(x0) = x0).

Decimos que una funcion f : X Rt es uniformemente continua si para todo x Xy > 0 existe > 0 tal que f(B(x)) B(f(x)). La diferencia entre este concepto yel de continuidad es que la misma debe servir para toda x. Es claro que toda funcionuniformemente continua es continua, sin embargo no es cierto el recproco como veremos enel siguiente ejemplo.

4.24 Ejemplo. La funcion f : (0, 1) R definida por f(x) = 1x

es continua pero no esuniformemente continua.

Demostracion. Ya sabemos que la funcion es continua por ser cociente de continuas; sinembargo conviene que analicemos como es necesario tomar cuando esta dada. Dadosx0 (0, 1) y > 0 tenemos que

|f(x) f(x0)| =1x 1x 0

= x0 xxx0 .

Dada x0 fija si tomamos < min{x02 , x20

2} entonces para |x x0| < tenemos que |x| > x02

y asx0xxx0 < |x0x|x20

2

| < x20< . Ahora veamos que dado > 0 no hay una > 0 que sirva

para toda x0. En efecto, supongamos que s y tomemos x0 =

2

. Entonces, si x = x0 2tenemos que |x x0| = 2 < perox0 xxx0

= 2(x0 2)x0 >2

x20=

22

= .

En el ejemplo anterior fue esencial el que tomaramos un dominio no compacto como nosdice la proposicion siguiente.

4.25 Proposicion. Si f : K Rt es continua y K es compacto, entonces f es unifor-memente continua.

Demostracion. Primera forma. Sea > 0. Supongamos que no existe que sirva paratodos los puntos de K. Entonces para cada n N existen xn, yn K tales que ||xnyn|| < 1n

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pero ||f(xn) f(yn)|| . Como K es compacto (xn)n tiene una subsucesion convergente aun elemento x0 de K. Fijemonos en los terminos correspondientes a esta subsucesion en lasucesion (yn)n, y de esta nueva sucesion extraigamos tambien una subsucesion convergente aun elemento y0 de K. Tenemos entonces dos sucesiones convergentes con los mismos ndices(xnk)k y (ynk)k y la distancia entre xnk y ynk tiende a 0 as que los puntos donde convergenson uno mismo: x0 = y0, sin embargo las distancias entre las imagenes siempre son mayoreso iguales que as que tambien ||f(x0) f(y0)|| , lo cual es un absurdo.

Segunda forma. Sea > 0. Para cada x K, tomemos x > 0 (dada por la continuidad def) tal que f (Bx(x)) B 2f(x). Llamemos Bx = Bx(x) para x K. Entonces {Bx : x K}forma una cubierta abierta de K; la compacidad de K nos da un numero de Lebesgue (ver2.28) tal que si A es un subconjunto de K de diametro menor que entonces existe unelemento de la cubierta que contiene a A. Sean x, y K tales que ||x y|| < . Entonces, elconjunto A = {x, y} tiene diametro menor que , de manera que existe z K con x, y Bzy as f(x), f(y) B