Es una operacin que permite efectuar diferentes

maneras o selecciones que podemos formar con los

elementos de un conjunto dado.

Nos permite resolver problemas prcticos. Por ejemplo,

cuntas placas de automviles podemos formar

utilizando un conjunto dado de letras y dgitos.

Nos sirve de base para la solucin de problemas de

probabilidades.

Es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n

inclusive. Se le representa por n! (se lee n factorial) :

n! = n (n -1) ( n- 2).... 3 x 2 x 1 = n ( n- 1)!

Por definicin : 0! = 1

Ejemplo:

Sean:

1! = 1

3! = 3 x 2 x 1 = 6

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Una permutacin de n objetos diferentes tomados de r en r

es una ordenacin de r objetos entre los n dados. Es decir,

la cantidad de maneras en que se pueden disponer en

trminos de orden:

FRMULA:)!(

!

rn

nPrn

La Empresa Minera Golden S.A.C. acord elegir dentro de

su Directorio conformado por 10 miembros, los cargos de

Presidente, Secretario y Tesorero. Determinar el nmero de

diferentes arreglos de los 3 elegidos entre los 10 miembros

del Directorio.

720

)!310(

!10

)!(

!

310

310

P

P

rn

nPrn

DESARROLLO:

Se llama combinacin de n elementos tomados de r en r, a los

grupos que se pueden formar con esos elementos, tales que, dos

grupos se consideran distintos nicamente cuando tienen algn

elemento diferente. Por lo tanto, el inters de las combinaciones

siempre se relacionan con el nmero de diferentes subgrupos que

pueden formarse con n objetos.

)!(!

!

rnr

nCrn

Supongamos que 3 miembros de la Empresa Minera

Golden S.A.C. de un total de 10 miembros van a ser

escogidos para ocupar los cargos de Presidente,

Secretario y Tesorero. Determinar el nmero de

grupos diferentes de 3 personas que pueden ser

escogidas sin tener en cuenta los diferentes cargos en

la que cada grupo podra ser escogido.

120

)!310(!3

!10

)!(!

!

310

310

C

C

rnr

nCrn

1.1. EXPERIMENTO

Accin sobre la cual vamos a realizar una medicin u observacin.

Determinstico (Cuando el resultado se puede determinar).

No determinstico (Cuando el resultado NO se puede determinar).

1.2. RESULTADO

Toda posible consecuencia de realizar un experimento.

1.3. ESPACIO MUESTRAL - S

Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

1.4. EVENTO

Es un subconjunto del espacio muestral.

2. PROBABILIDADES: DEFINICIN

Es la probabilidad de que realizado un experimento ocurran

determinados resultados

3. ENFOQUES DE PROBABILIDAD

3.1. ENFOQUE CLSICO

Todos los resultados posibles de realizar un experimento tienen la

misma probabilidad de ocurrir.

Hallar la probabilidad de obtener el numero 5 al lanzar undado.

Desarrollo

1667,0

51

1

6,5,4,3,2,1

5

5

x

x

A

P

P

ba

aP

S

a = Posibilidad Favorable

b = Posibilidad Desfavorable

4. PROBABILIDAD DE EVENTOS

4.1. PROBABILIDAD DE UN EVENTO AISLADO

No tiene vinculacin con otro evento.

Determinar la probabilidad de que de una baraja de

naipes bien mezclada se extraiga el as de espadas.

P A( ) , 1

520 0192

4.2. PROBABILIDAD DE DOS O MS EVENTOS.

4.2.1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Dos o ms eventos son mutuamente excluyentes o

disjuntos si no pueden ocurrir simultneamente. La

probabilidad del evento A B es:

0)()( ==

U

PBAP

P A B P A P B( ) ( ) ( )U = +

Cul es la probabilidad de extraer una dama o un rey

de una baraja de naipes bien mezclada?.

DESARROLLO

1538,0)(

52

4

52

4)(

)()()(

52

4)(

52

4)(Re

52

BAP

BAP

BPAPBAP

BPDama

APy

cartasS

4.2.2. EVENTOS NO EXCLUYENTES.

Dos o ms eventos no son excluyentes o conjuntos

cuando es posible que ocurran ambos.

P A B P A P B P A y B( ) ( ) ( ) ( )U = + -

Sea A el evento de obtener un As y B el evento de

obtener un corazn en una sola oportunidad de sacar

una carta de la baraja. Determinar la probabilidad de

sacar un As o un corazn o ambas en una sola

oportunidad.

3077,0)(

52

1

52

13

52

4)(

)()()()(

52

1)(

52

13)(

52

4)(

BAP

BAP

BAPBPAPBAP

ByAPcoraznyAs

BPCorazn

APAs

4.2.3. EVENTOS INDEPENDIENTES.

Dos o ms eventos son considerados independientes si los

eventos en ningn modo se afectan uno al otro.

P A y B P A P B( ) ( ) ( )

Una nfora contiene 4 bolas rojas y 3 bolas azules. Se

extrae una bola de la nfora y despus se la devuelve

al nfora. Otra bola es extrada despus de la

devolucin. Determinar la probabilidad de que ambas

extracciones sean bolas rojas.

74)(

2

7

4)(

1

BPRoja

extraccin

APRoja

extraccin

3265,0)(

7

4

7

4)(

)()()(

AyBP

xAyBP

BxPAPAyBP

4.2.4. EVENTOS DEPENDIENTES

Si A y B estn relacionados de tal manera que la

ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A , entonces

A y B son denominados eventos dependientes y la

probabilidad del evento B es llamado probabilidad

condicional.

Una nfora contiene 4 bolas rojas y 3 bolas azules. Se

extrae una bola de la caja y no es regresada a la caja

antes de sacar la segunda bola. Determinar la

probabilidad de que ambas bolas sean rojas.

632

7

4)(1

A

BPRojaExtraccin

APRojaExtraccin

2857,0)(

6

3

7

4)(

)()(

AyBP

xAyBP

A

BxPAPAyBP

DESARROLLO

5. TEOREMA DE BAYES

Si A1; A2;...; An son n eventos mutuamente excluyentes, de loscuales al menos uno de los Ai (i = 1,2,... n) debe ocurrir, y sea Bun evento cualesquiera del espacio muestral S , la Probabilidadcondicional de la ocurrencia de Ai cuando el evento B ha ocurridoes:

n

n

i

A

BPAP

A

BPAP

A

BPAP

A

BPAP

B

AP

....2

2

1

1

1

1

Ai

BPAP

Ai

BPAiP

B

AP

n

i

i

1

1

1. En un depsito hay 3000 cajas de plumas de las marcasA,B,C,D,E. De ellas hay 500 cajas de plumas deterioradas.Las cajas se distinguen de la manera siguiente:

MARCA TOTAL DE CAJASTOTAL DE CAJAS

DEFECTUOSAS

A 200 50

B 300 40

C 1000 300

D 800 80

E 700 30

Total 3000 500

Se elige en forma aleatoria una caja y se le encuentradefectuosa determinar la probabilidad de que la cajadefectuosa sea de la marca A.

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

1

A

BPAP

A

BPAP

A

BPAP

A

BPAP

A

BPAP

A

BPAP

B

AP

700

30

3000

700

800

80

3000

800

1000

300

3000

1000

300

40

3000

300

200

50

3000

200200

50

3000

200

1

xxxxx

x

B

AP

1,0

3000

500300

50

11

B

AP

B

AP

En cuntas formas diferentes puede elegirse Presidente, Secretario y Tesorero para un Club Deportivo entre 8 candidatos

En un examen para ocupar un cargo en el Departamento de Control de Calidad de una Organizacin Empresarial en Ingeniera se presentaron 4 candidatos.

De cuntas diversas maneras pueden ser asignados los 4 cargos diferentes a

los 4 candidatos?

Para integrar la Comisin de Promocin Bodas de Plata se inscribieron 8 personas. Cuntas comisiones diferentes de 6 personas pueden formarse?

En cuntas formas diferentes puede elegirse 2 profesores asociados entre 6 candidatos y 3 profesores principales entre 5 candidatos para el Consejo de

Facultad.

Para realizar una campaa en Drogadiccin y Alcoholismo se debe escoger a 4 mdicos y 9 psiclogos. Estos se deben elegir entre dos grupos: uno de 7

mdicos y otro de 12 psiclogos De cuntas maneras diferentes pueden

formarse?

F I N