Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales Escuela de Ingeniera Forestal Departamento Manejo de Bosques Ctedra de Biometra Forestal Asignatura: ESTADISTICA Y BIOMETRIA Profesor Argenis Mora Garcs

GUA TERICA TEMA 3

UNIDAD II: INFERENCIA ESTADSTICA PARAMTRICA BSICA. TEMA 3. LA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS. Algunos experimentos aleatorios producen resultados que pueden ser descritos por

letras, smbolos, o simples descripciones generales. Otros experimentos producen

resultados en trminos numricos, como por ejemplo, el nmero de cara que pueden

ocurrir cuando se lanza una moneda varias veces; el nmero de puntos observados

cuando se lanza un par de dados; el nmero de plantas en un rea de 100 m2; o el

nmero de semillas que germinan en un semillero. Una variable aleatoria (de ahora en

adelante la abreviamos como V.A) es una descripcin bien definida de los resultados en

el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se escribir a las variables aleatorias

con las letras maysculas X, Y y Z; mientras que sus respectivos valores o

resultados con sus respectivas letras minsculas: x, y y z. Este espacio muestral

asociado con un experimento aleatorio puede ser clasificado en dos tipos: discreto y

continuo.

El espacio muestral discreto es aquel que contiene un numero finito de elementos y/o

no finito pero contable. Ejemplos: i) el nmero de hogares con servicios pblicos

deficientes, ii) el nmero de accidentes por mes, iii) el nmero de lanzamientos

necesarios hasta que la cara aparezca, iv) nmero de votantes entre 18 y 20 aos de

edad.

El espacio muestral continuo contiene un infinito e incontable nmero de resultados.

Cualquier V.A o caracterstica obtenida por medicin, como por ejemplo, el tiempo

necesario para que las semillas germinen, el peso de personas que viven en una regin

determinada, la distancia entre comunidades dependientes de un centro de acopio de

productos agrcolas, etc., todas en teora pudieran tomar cualquier valor en un intervalo

de medicin. Por ejemplo, dependiendo de la precisin del instrumento de medicin, se

podra obtener un caudal de un ro en 3.1 m3/minuto 3.2 m3/minuto; pero tambin es

posible que este caudal tome el valor de 3.17.

2. Distribuciones de Probabilidad de V.A.

2.1 Probabilidades de V.A discretas.

Una V.A discreta puede ser descrita por medio de probabilidades de que cada valor

individual ocurra cuando un experimento aleatorio se realice. La lista de todos los

resultados numricos posibles y sus probabilidades asociadas a cada resultado se llama

la distribucin de probabilidad de una V.A. Aqu tenemos el ejemplo clsico del

lanzamiento de una moneda: S la lanzamos tres veces (este hecho es el experimento

aleatorio) la moneda y solo nos interesa saber el nmero de veces en que caiga el lado de

la cara, entonces la caracterstica o la variable aleatoria que nos interesa estudiar es

el nmero de cara y la denotamos como X. Ahora bien, los resultados posibles dentro

del espacio muestral ya definido serian: 0, 1, 2, y 3 veces que caiga cara. Estos valores

sern denominados como x. Formalmente, podemos escribir este resultado en una tabla

o cuadro como sigue:

Pero de dnde salieron esas fracciones?, primero que nada veamos que el nmero de

veces que lanzaremos la moneda es la base para el conteo de el nmero de veces en

que caiga el lado de la cara. Cuales serian los posibles resultados para esta variable

aleatoria? Es posible que al lanzar tres veces la moneda surjan varios resultados tericos

y debemos considerar el orden en que estos resultados se produzcan, veamos la

siguiente tabla o cuadro. Llamamos E para escudo y C para cara.

Interpretemos los resultados anteriores, sabemos que existen 8 casos posibles, pero solo

4 resultados:

1) ninguna salga cara (todas las tres veces fue escudo), por tanto el primer resultado

terico es 0 cara, x = 0 de un total de 8 casos slo se puede dar una vez.

2) slo una vez de los tres lanzamientos es cara, x = 1 de un total de 8 casos, este

resultado se puede dar tres veces.

3) es posible que en dos oportunidades apareci cara x = 2 de un total de 8 casos, este

resultado se puede dar en tres casos.

4) que todas las veces cay cara, es decir, tres veces en los tres lanzamientos x = 3 de

un total de 8 casos y este resultado es posible una sola vez.

As, que los resultados posibles para la variable aleatoria, X, llamada el nmero de veces

en que caiga el lado de la cara, al lanzar una moneda tres veces, son x1=0 cara, x2=1

cara, x3=2 caras y, x4=3 caras, cuyas probabilidades de ocurrencia de cada resultado es

1/8, 3/8, 3/8 y 1/8, respectivamente. Como ahora se resume en la tabla o cuadro de la

distribucin de probabilidades

Con frecuencia es posible y hasta conveniente expresar los resultados y las

probabilidades a travs de una ecuacin denominada funcin de probabilidades;

algunas veces derivarlas no es muy obvia. En el caso del lanzamiento de una moneda si

es posible construir una funcin de probabilidad basndonos en el hecho de que al

lanzar una moneda se tendrn dos posibles resultados: cara o escudo, y sabemos el

nmero de posibles resultados (0, 1, 2, 3) cuando cara aparezca. As tenemos que con

reglas de la combinatoria es posible hacerlo:

Donde x se refiere a los posibles resultados de la variable aleatoria X, es decir, x = 0, 1, 2,

3, 4, , n. y L es el nmero de veces en que se lanza la moneda, aqu fue 3 veces.

Para el caso de nuestro ejemplo, tenemos que al lanzar la moneda tres veces, es decir n

veces, implica que se darn 2n casos donde aparecer cara. Por tanto, nuestra funcin

de probabilidad para el nmero de veces en que cae cara al lanzar tres veces una

moneda es

Para los valores x = 0, 1, 2, 3 nmero de veces en que caiga el lado de la cara, al lanzar

una moneda tres veces. Con esta funcin de probabilidad podemos usarla para hallar

varias probabilidades de acuerdo a uno varios eventos de inters. Por ejemplo, La

probabilidad de que al lanzar la moneda tres veces, el nmero de caras est entre 1 y 2;

esto se expresara as P(1 X 2) = P(X=1)+P(X=2)= 3/8 +3/8 =6/8, resultado que se

puede resolver bien sea con el cuadro de distribucin de probabilidades o con la funcin

de probabilidad ya descritas anteriormente. Finalmente, se debe notar que las

distribuciones de probabilidad discretas deben cumplir con dos condiciones:

a) Las probabilidades de cada uno de los resultados deben sumar 1.

b) Las probabilidades de los resultados individuales debe ser 0 P(X=x) 1; eso

significa que las probabilidades no pueden ser ni negativas ni mayor a 1.

Tambin, la distribucin de probabilidades de variables discretas puede ser visualizada

a travs de un grfico donde se expresa en el eje de las y los resultados de las

probabilidades individuales de cada valor de x mostrados en el eje de las X

2.2 Probabilidades de V.A. continuas

Respecto a las variables aleatorias continuas, la probabilidad de cualquier valor exacto

es siempre cero. Esto es debido a que es imposible construir una tabla o cuadro similar a

las de las variables discretas. Aunque un valor exacto puede tener una probabilidad de

cero, las probabilidades asociadas con intervalos si es posibles, as que para V.A

continuas solo es posible calcular probabilidades para intervalos, mayores o menores

que algn valor en particular: P(1.9 X 2.1); P(X 2.5) y P(X 3.3). Estas

probabilidades calculadas deben ser mayores o iguales a 0 y menores o iguales a 1.

Cuando las probabilidades son representadas en un grfico para variables continuas,

esta reflejar una curva continua, y se denominar densidad de probabilidad. Como la

mostrada a continuacin

De esta manera, para hallar las probabilidades como las postuladas anteriormente se

obtienen hallando el rea bajo la curva entre los dos lmites, por lo que determinar P(1.9

X 2.1) es igual que P(1.9 < X< 2.1).

Las probabilidades para variables aleatorias continuas con dominios bien definidos

tienen propiedades similares a las discretas:

1) El rea total bajo la curva entre los resultados ms bajos y ms altos debe sumar 1.

2) Las probabilidades entre dos lmites, x1 y x2, deben ser 0 P(x1 X x2) 1.

La Media y Varianza de una Variable Aleatoria Discreta

La media de una V.A puede obtenerse a partir de la distribucin de probabilidades que

esta tenga. Y se define como el promedio ponderado de todos los posibles resultados de

una V.A, donde los pesos o ponderaciones son las probabilidades asociadas a cada uno.

Por ejemplo, si retomamos el caso del lanzamiento de la moneda tres veces y deseamos

conocer el nmero promedio de veces en que aparezca cara se obtiene asi:

Debido a que la suma de las probabilidades debe sumar 1, el denominador siempre ser

1, por tanto la frmula quedara resumida y generalizada de la siguiente manera, para

una V.A discreta:

La letra griega (miu) es tratada como la media de la poblacin de la variable aleatoria

X; y es la media terica de una distribucin de probabilidades y se refiere tambin como

el valor esperado o esperanza matemtica de X, es decir E(X). El trmino valor esperado

o esperanza matemtica es una medida ponderada del centro, o media ponderada de

todos los posibles valores de una V.A.

Como en el caso de la media, la varianza de una V.A discreta es el promedio ponderado

de las diferencias entre cada resultado de la V.A y la media elevadas al cuadrado, donde

los pesos o ponderaciones son las probabilidades de los resultados. Usemos los

resultados del ejemplo anterior

La notacin (sigma) se utiliza para definir la varianza de la poblacin de una V.A. en

general, la varianza de una V.A discreta viene dada como:

Donde f(xi) es la probabilidad de xi. Con alguna manipulacin algebraica la frmula

anterior puede reescribirse de la siguiente manera:

La cual permitir realizar los clculos a mano. Al aplicar la raz cuadrada del valor de la

varianza se obtendr la desviacin estndar y se denotar simplemente con la letra

griega .

La Media y Varianza de una Variable Aleatoria Continua

Para el clculo de la media de V.A continuas se debe utilizar la tcnica del clculo

integral. Y la ecuacin general es

Donde a x b. Esta integral lo que permite es determinar el rea bajo la curva de una

densidad de probabilidades determinada. Afortunadamente, ya existen tablas de

probabilidades ya calculadas o software de computacin (como en Excel) que pueden

ser usadas para algunas densidades de probabilidad tericas ya conocidas en la

literatura estadstica, como se ver en captulos por venir. Como para la media, el

clculo de la varianza para variables continuas requiere de un entendimiento del clculo

integral. La ecuacin se describir a continuacin, pero al igual que para la media, slo

se har para tenerla como referencia

Donde a x b.

Distribuciones Tericas de probabilidad para V.A Discretas

1. Distribucin Binomial: Se basa en el principio de un experimento con dos posibles

resultados (ocurrencia o no de un evento). Sea p la probabilidad de xito (ocurrencia del

evento) y sea (1 p) la probabilidad de falla (no ocurrencia). Estas probabilidades se

deben conocer a priori cada vez que se realiza el experimento y permanece constante de

experimento a experimento. El experimento se ejecuta n veces y cada uno de ellos son

independientes entre si. La V.A esta representada por el numero de veces en que se

produce el xito en los n experimentos ejecutados. Es decir, Y = 0, 1, 2, 3, 4, ., n.

esta distribucin binomial se define as:

Donde n es el numero de ensayos, y el numero o conteo de elementos que contiene el

atributo xito que deseamos registrar (ocurrencia de un evento). P es la probabilidad

de que ocurra el evento en cada ensayo (no confundir con la probabilidad de hallar y).

Los parmetros de esta distribucin son

= n*P

2 = n*P*(1- P)

Ejemplo 1: Sea Y una variable aleatoria con distribucin binomial, con n= 10 y

probabilidad de ocurrencia de un evento en inters o xito de P = 0.8; formalmente se

usa la notacin Y ~ b(n=10, P=0.8). Hallar la tabla de distribucin de probabilidades

asociada a cada valor de Y y graficarla en un histograma. Para hallar cada una de las

probabilidades asociadas podemos hacerlo aplicando directamente la formula de la

funcion de probabilidad binomial mostrada anteriormente

Y as sucesivamente hasta calcular p(y=10)

)yn(y)p1(p

!y)!yn(

!n)y(p

)yn(y)p1(p

!y)!yn(

!n)y(p

)010(0)8.01(8.0

!0)!010(

!10)0y(p

)110(1)8.01(8.0

!1)!110(

!10)1y(p

)210(2)8.01(8.0

!1)!110(

!10)2y(p

y P(Y=y)

0 0.000

1 0.000

2 0.000

3 0.001

4 0.006

5 0.026

6 0.088

7 0.201

8 0.302

9 0.268

10 0.107

A su vez podemos calcular el valor esperado o media de esta distribucin

= n*P = 10*0.8 = 8

y la varianza

2 = n*P*(1- P) = 10*0.8*(1 0.8) = 4

Grficamente quedara representada as,

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero de exito

Pro

b

Adicionalmente, se podra conocer las probabilidades siguientes

a) p (y =3) = 0.001

b) p (y > 7) = p (y=8) + p(y=9) + p(y=10) = 0.302 + 0.268 + 0.107 = 0.677

c) p (y 3) = p(0) + p(y=1) + p(y=2) + p(y=3) = 0.000 + 0.000 + 0.000 = 0

d) p (y 8) = p (y=8) + p(y=9) + p(y=10) = 0.302 + 0.268 + 0.107 = 0.677

Note que p (y > 7) = p (y 8)

2. Distribucin de Probabilidad Poisson

Esta distribucin es til para modelar variables que por su naturaleza es de carcter

discreto. A su vez, este conteo se realice sobre una unidad de tiempo o espacio. El

parmetro de la distribucin es lamda : numero promedio de ocurrencias del evento

por unidad de tiempo/ espacio. La funcin de probabilidad asociada a la variable tipo

Poisson es la siguiente:

Al igual que con la funcin de distribucin binomial, es posible calcular la probabilidad

exacta de cada uno de los valores que tome Y aplicando la formula anterior. Ntese que

los posibles valores que puede tomar Y son 0, 1, 2, 3, 4, 5, , hasta infinito.

Ejemplo 2. Sea Y una variable aleatoria que sigue una distribucin Poisson con Lamda

() igual a 5, formalmente se usa la notacin Y ~ P(=5) construya la tabla de

distribucin y grafquela

,!y

e)y(p

y

,!0

5e)0y(p

05

,!1

5e)1y(p

15

,!2

5e)2y(p

25

Y as hasta encontrar p(y=10), atencin aqu, he usado hasta y=10 solo como referencia,

se puede construir hasta cualquier valor de y mximo que este pueda tomar en la

realidad; por ejemplo, si realizamos un muestreo en un rodal y contamos el numero de

parcelas con presencia de de rboles de la especie Teca, los nmeros pueden ser desde 0

parcelas hasta un numero finito de parcelas que se hayan seleccionado para tal estudio

(25 parcelas, por ejemplo). A continuacin se tiene la tabla de distribucin de frecuencias

y la grafica respectiva.

Y P(Y=y)

0 0.007

1 0.034

2 0.084

3 0.140

4 0.175

5 0.175

6 0.146

7 0.104

8 0.065

9 0.036

10 0.018

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Distribucin de Probabilidad de V.A Continuas

Distribucin Normal

La distribucin normal es la de mayor uso y desarrollo terico dentro de todas las

distribuciones de probabilidad incluyendo discretas y continuas. Esta distribucin tiene

las siguientes caractersticas:

a) tiene forma acampanada

b) es simtrica respecto a la media y es unimodal

c) los extremos o colas de la curva se aproximan cada vez ms al eje horizontal, pero

nunca llega a alcanzarlo.

d) El rea bajo la curva es igual a 1

Las probabilidades de las V.A continuas son modeladas por una funcin denominada

funcin de densidad; y proporciona un medio para determinar las probabilidades

dentro del intervalo de los valores que puede esta tomar

a) p (y < a)

b) p (y > a)

c) p (a < y < c)

Esta funcin viene dada por

Esta funcin tiene una media denominada y una varianza 2 y formalmente podemos

usar la notacin Y ~ N (, 2) es decir, que la variable aleatoria continua Y sigue una

distribucin normal con parmetros media denominada y una varianza 2

Distribucin Normal estndar o tipificada

Para facilitar el calculo de las probabilidades de variables continuas asociadas a una

distribucin normal es posible usar una transformacin de la variable original en una

nueva variable tambin continua que llamaremos Z.

2

2

2

)y(exp

2

1)y(f

yZ

As esta nueva variables sigue una distribucin normal con media 0 y varianza 1

Z ~ N (=0, 2=1)

Grficamente podemos visualizar esta transformacin de una variable continua Y a una

estndar Z de la siguiente manera:

Dada la variable dimetro a la altura de pecho DAP una variable aleatoria que tiene una

distribucin normal con media 35 cm y una varianza de 1 cm2. entonces determnese la

probabilidad de encontrar rboles que presenten DAP entre 33,1 y 36,8 cm, es decir

p (a X b) = p (33,1 y 36,8)

= =

p (-1,9 Z 1,8) = p (Z 1,8) p (Z -1,9)

p (-1,9 Z 1,8) = 0,036 0,029 = 0,007

00.10.20.30.40.50.6

-4 -2 0 2 4

Pro

ba

bil

ida

d

Valores de z

0.00

0.20

0.40

0.60

3031323334353637383940Valores de DAP

P (33,1 < X < 36,8) ? P (a < X < b) ?

)b

za

(p

)1

358.36z

1

351.33(p

)b

za

(p

)1

358.36z

1

351.33(p