Unidad: Función Lineal y Afín

Instituto Comercial OsornoDepto. De Matemática

Objetivos de la Unidad:• Conocer e interpretar el concepto

de función.

• Conocer, identificar e interpretar

las funciones lineal y afín.

• Utilizar las funciones lineal y afín

para modelar situaciones.

• Manipular algebraicamente su

forma analítica.

Introducción:Hasta el año 2008 las empresas de

telefonía de red fija cobraban a sus

usuarios un cargo fijo mensual, a lo

que se les sumaba el valor de los

minutos hablados durante el mes.

Desde el año 2009 el cargo fijo fue

eliminado. Ahora, las empresas de

telefonía ofrecen planes de minutos,

los cuales consisten, en su mayoría, en

una cantidad de minutos limitados por

un precio fijo.

Actividad inicial:1. Observen y analicen el grafico inicial. ¿ Qué tipo de grafico es?, descríbanlo

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0

40 80 120 160 200 240

Minutos Hablados

Pre

cio

a P

ag

ar

Cobros de una compañía de Telefonía

2. Completen la siguiente tabla y determinen una fórmula que permita calcular el precio por minutos hablados.Minutos

Hablados

0 40 80 120 160 200

Precio a Pagar

 Concepto de Función:

Una función es una relación

entre dos variables x e y, de

modo que a cada valor de x le

corresponde un único valor de

y. Luego, y esta en función de

x y se define por la expresión

algebraica:

Como pudiste ver en la

tabla anterior existían dos

variables, el precio y los

minutos hablados.

Además una variable

dependía de la otra, es

decir, en este caso el

precio dependía del

número de minutos que se

hablen.

En , el valor de y depende del valor de x; por lo cual, x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

• Los Seres Humanos somos

dependientes del Oxigeno para

vivir.

• Los peces dependen del mar

para vivir.

Ejemplos de Dependencia en la Vida Diaria

Una función f asocia cada elemento de un conjunto A con un único elemento de un conjunto B. Esto se puede representar por el siguiente diagrama.

A Bf

Otra forma de representar una función mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas

a

b

x

y

Eje de abscisas

Eje de ordenadas

Eje de Abscisas

En el eje horizontal se representa a la

variable independiente y recibe el

nombre de eje de abscisas o eje x.

Eje x

Eje de Ordenadas

En el eje vertical se ubica la variable

dependiente y recibe el nombre de

eje de ordenadas o eje y.

Eje de ordenadas

Ubica los siguientes puntos en el sistema de coordenadas cartesianas: (1,2); (2,3); (3,2); (2,1).

Ejemplo:

y

1

x2 43 5

2

3

4

5

1

(1,2)

Evaluar una función y =

f(x) es obtener el valor

que la función le asocia a

un valor determinado de x.

Evaluar funciones

Ejemplos:

Evalúa la función F(x)=2x+2 en los valores que se indican.

F(0)= 2*0 + 2 = 0 + 2= 2

F(1) = 2*1 + 2 =2+ 2= 4

F(2) = 2* 2 + 2 = 4 + 2= 6

En una función, la imagen de

un número equivale al

resultado de evaluar el

número en la función.

La preimagen de un número

es el valor que se evaluó en

la función para obtener dicho

número.

Concepto de Imagen y Preimagen

Ejemplos:

Evalúa la función F(x)=2x+2 en los valores que se indican. X=0; X=1; X=2

F(0)= 2*0 + 2 = 0 + 2= 2

0: preimagen

2: imagen

F(1) = 2*1 + 2 = 2 + 2= 4

1: preimagen

4:imagen

Actividad:

1. Dadas las funciones f(x)= -2x, y g(x)=2x+4, calcula:

a) f(1)=

b) g(0)=

c) f(1/2)=

d) g(-1)=

2. Dada la función que relaciona cada número con su tercera parte, más cuatro.

a) ¿Cuál es la función f(x)?

b) Indica cual es la variable independiente y dependiente.

c) Calcula f(9), f(-3) y f(-9)

d) Si el valor de f(x) es seis, ¿ Cual es el valor del número?

Ejemplo:

Imagen de f:Preimagen de f:

1 5

3

5

f

y

x

Se llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente

Definición:

Ejemplo:

Daniel elaboró 160 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. En este momento dispone de 12 cajas ¿Puede distribuir todos los alfajores en ellas?Para responder esta preguntas se construye la siguiente tabla:

Donde x es la cantidad de cajas e y es la cantidad de alfajores por caja.

Observa que los valores de x y los valores de y deben ser números enteros, ya que dividir los alfajores o las cajas no tiene sentido en este caso, ni tampoco pueden ser números enteros negativos.

Entonces, x = 12 y x = 30 no son valores posibles para esta función.

Por lo tanto, los valores de x, para los cuales los correspondientes valores de y son números naturales, son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.

Se llama Recorrido de una función, y se expresa por Rec f(x), al conjuntode valores que toma la Variable Dependiente y, es decir, todos los valoresque son imagen de algún valor del dominio.

Definición:

Ejemplo:

La abuelita Josefina quiere repartir 120 caramelos entre los nietos que vayan a verla el día sábado a su casa.

a. ¿Cuántos caramelos le corresponderían a un solo nieto?

b. ¿Si la visitan tres de sus nietos, cuántos caramelos recibe cada uno?

c. Determina la expresión algebraica que modela esta situación.

d. Determina el recorrido de la función.

Proporcionalidad Directa y función LinealEn el centro de una ciudad, el arriendo de un estacionamiento cuesta $ 500 por hora. Observa el gráfico que representa la relación que existe entre tiempo y precio. Luego, completa la tabla.

Completa la tabla:

Responde:

• ¿Qué pasa con el total a pagar cuando aumenta la cantidad de horas de arriendo?

• ¿Cuánto gastarías por 3 horas de estacionamiento?, ¿y por 5?

• ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y el tiempo?

• La razón entre los tiempos de arriendo del estacionamiento y la razón entre los precios, ¿forman una proporción?

Recuerda que:

•Dos variables son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra aumenta (o disminuye) en un mismo factor.

•Dos variables son directamente proporcionales si la razón entre las cantidades correspondientes se mantiene constante. Cuando dos variables x e y son directamente proporcionales, la función que las relaciona se escribe y=kx, donde k es la constante de proporcionalidad. Esta función se conoce como Función Lineal

El gráfico de una función Lineal corresponde a una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

Además en una función lineal f(x)=kx, el coeficiente k recibe el nombre de coeficiente de dirección o pendiente.Ejemplo:

Ejemplo:

1. En los días de calor, el dueño de un quiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con los posibles pedidos. Complétala.

2. Con los datos de la tabla, contruye el gráfico en tu cuaderno.

Pendiente de una Recta

La pendiente de una recta indica la inclinación de esta respecto al eje X, y su valor equivale a la razón entre el incremento de los valores de las ordenadas y de las abscisas, medidos entre dos puntos cualesquiera de la recta. Su signo indica si se trata de una recta que asciende o desciende( de izquierda a derecha)

Se asocia el valor de la pendiente de una recta con la razón entre los aumentos de las ordenadas y abscisas . Para determinar esta razón, se calcula la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas.Para los puntos A(1,3) y B(3, 6) se tiene:

1 2

3

4 5

Eje y

1

2

3

4

5

6

3

2

6Eje x

Si se realiza el mismo calculo para los puntos B(3,6) y C (7,12).Calcula la pendiente, grafica los puntos el plano cartesiano y dibuja la pendiente..

Función Afín

Una función afín se expresa algebraicamente como f(x)= mx +n (m 0, n 0). Su intersección es una recta que intersecta al eje Y en el punto (0,n ) y no pasa por el origen de coordenadas. El coeficiente m corresponde a la pendiente de la recta y n se llama coeficiente de posición.

Eje X

Eje Y

0

Ejemplo:

• Representa gráficamente las funciones afines f(x)=2x+n ; para n = 1; n =-1; n = 0; n = 2.

Para n=1f(x)=2x+1

Eje X

1

2

3

1 2 3 4

Eje Y

Aplicaciones de la función Afín

Una empresa de agua potable cobra $1.200 mensuales por cargo fijo y alcantarillados . Además cada metro cúbico de agua tiene un costo de $200.

Si en una casa se consumieron 6 metros cúbicos, deberán pagarse en total:

Total a Pagar = 200 6 + 1200

= 1200 + 1200

= 2400

La función que relaciona el costo del agua

potable con los metros cúbicos

consumidos (X), es una Función Afín cuya

expresión algebraica es:

F(x)= 200x+1200

Por lo que basta con saber la cantidad

de metros cúbicos consumidos,

reemplazarlos en la función y se

obtendrá el total a pagar.

Responde(utilizando la función anterior):

1. Si una familia gasta 28 metros cúbicos de agua, ¿cuánto es el gasto total?.

2. Si la familia dispone de $ 9.000 para el gasto de agua potable. ¿ Cuántos metros cúbicos puede consumir como máximo?. Es decir, ¿cuál es el valor de x si f(x)=9.000?

1. Un container vacio pesa 100 kg. Y se utilizará para transportar cajas de 20 kg. cada una.

a) ¿Cuál es la masa total del container si contiene 25 cajas?

b) la función que relaciona el peso total del

Container con la cantidad de cajas.

c) Si la masa total del container es 1.100 kg. ¿Cuántas cajas contiene?

Ejercicios:

2. El costo fijo en la factura del gas es de $ 1.100 mensuales, más $2.400 por metro cúbico de consumo. Con la información anterior:

a)Completa la siguiente tabla

b) Determina la expresión algebraica dela función que relaciona las variables consumo (C) y valor a pagar (V).

c) Si una persona pagó por el consumo del mes$55.000, ¿ Puede haber consumido menosde 20 metros cúbicos de gas? Justifica.

Consumo (metros cúbicos)

3 6 9 12 15 18

Valor a pagar ($)