Clases_1_2 Investigación de Operacionezs
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Capítulo 1 Introducción En este capítulo revisaremos conceptos relacionados al curso. Comenzaremos respondiendo algu- nas preguntas. 1.1. ¿Qué es un problema? Es un fenómeno que requiere solución. Por ejemplo, un problema sería determinar la materia prima para obtener el menor costo de producción en la fabricación de un cierto producto, satisfaciendo todas las exigencias impuestas. Frecuentemente, para enfrentar un problema es bueno recurrir a la matemática. De esta manera, el problema puede ser formulado como un modelo matemático que representa el problema. 1.2. ¿Qué es un modelo matemático? Es una expresión matemática que representa un determinado problema. Dependiendo de su forma, el modelo se denomina: modelo de programación lineal, de programación no lineal, de programación dinámica, de ecuaciones diferenciales, etc. Con respecto a un mismo problema, pueden existir varios modelos que lo representen, algunos serán mejores que otros. Resolver un modelo matemático nos provee una solución muy teórica del problema respectivo, pues frecuentemente el comportamiento inesperado de algunos factores que intervienen en el problema, como el humano, hacen que las soluciones obtenidas no sean las esperadas. Para resolver el problema, debemos estudiar métodos que resuelvan el modelo asociado. El estudio de los principales métodos para resolver algunos de los más importantes modelos matemáticos es el objetivo principal de este curso. Ejemplo 1.1 (Elección de un vehículo) Imagine que tenemos dos opciones para la adquisición de un automóvil y que nuestros datos relevantes son el precio y el consumo de combustible: 1. Toyota Prius (híbrido: gasolinero y eléctrico), digamos que el precio es de 108800 soles y el consumo promedio es de 5 lt =100 km. 2. Corolla (gasolinero puro), que cuesta 70400 soles y consume 8 lt =100 km. 1
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teoría de investigación de operaciones
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Capítulo 1
Introducción
En este capítulo revisaremos conceptos relacionados al curso. Comenzaremos respondiendo algu-nas preguntas.
1.1. ¿Qué es un problema?
Es un fenómeno que requiere solución.
Por ejemplo, un problema sería determinar la materia prima para obtener el menor costo deproducción en la fabricación de un cierto producto, satisfaciendo todas las exigencias impuestas.
Frecuentemente, para enfrentar un problema es bueno recurrir a la matemática. De esta manera,el problema puede ser formulado como un modelo matemático que representa el problema.
1.2. ¿Qué es un modelo matemático?
Es una expresión matemática que representa un determinado problema. Dependiendo de su forma,el modelo se denomina: modelo de programación lineal, de programación no lineal, de programacióndinámica, de ecuaciones diferenciales, etc.
Con respecto a un mismo problema, pueden existir varios modelos que lo representen, algunosserán mejores que otros.
Resolver un modelo matemático nos provee una solución muy teórica del problema respectivo, puesfrecuentemente el comportamiento inesperado de algunos factores que intervienen en el problema,como el humano, hacen que las soluciones obtenidas no sean las esperadas.
Para resolver el problema, debemos estudiar métodos que resuelvan el modelo asociado. El estudiode los principales métodos para resolver algunos de los más importantes modelos matemáticos es elobjetivo principal de este curso.
Ejemplo 1.1 (Elección de un vehículo) Imagine que tenemos dos opciones para la adquisiciónde un automóvil y que nuestros datos relevantes son el precio y el consumo de combustible:
1. Toyota Prius (híbrido: gasolinero y eléctrico), digamos que el precio es de 108800 soles y elconsumo promedio es de 5 lt =100km.
2. Corolla (gasolinero puro), que cuesta 70400 soles y consume 8 lt =100 km.
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2
¿Qué carro se debería comprar para obtener el mejor costo-bene…cio?
Para tomar una decisión, vamos a considerar que el costo total depende de los kilómetros reco-rridos. De…namos:
x: Cantidad de kilómetros (km) recorridos.
Por otro lado, construimos dos modelos (funciones) que representan los costos totales de mantenerrodando cada automóvil:
fP(x): La función costo total del Prius en términos de los kilómetros recorridos. Considerando
el precio de la gasolina a S=:14 por galón, el Prius consume ensoleskm:µ
5 lt100 km
¶µ14 soles3:78 lt
¶=5£ 14100£ 3:78
soleskm
=7
37:8
soleskm
= 0:18519soleskm
Así, el modelo que representa el costo total que ocasiona el Prius será:
fP (x) = 108800+
µ5
100
¶µ14
3:78
¶x = 108800+
7
37:8x
fC(x): La función costo total de mantenimiento en término de los kilómetros recorridos, en elcaso del Corolla. Así, el modelo que representa el costo total del Corolla es:
fC (x) = 70400+
µ8
100
¶µ14
3:78
¶x = 70400+
28
25£ 3:78x
Para tomar una decisión, podemos hallar el punto de intersección de los grá…cos, vea la …gura 1.1,analíticamente esto se consigue resolviendo fP(x) = fC(x), es decir,
108800+7
37:8x = 70400+
28
25£ 3:78xde donde x = 345600 km.
2e+5 2.5e+5 3e+5 3.5e+5 4e+51.4e+5
1.5e+5
1.6e+5
1.7e+5
1.8e+5
1.9e+5
2e+5
x
y
Figura 1.1: En azúl, el costo total relacionado al Corolla, y en rojo al del Prius.
Aquí ya podemos hacer algunas interpretaciones, y con esto tomar decisiones:
Una persona promedio recorre 15000km al año. Así, deberían pasar 34560015000
= 23:04 años paraque, a partir de ahí, el Prius resulte más bene…cioso. Conviene el Corolla claramente.
Si un taxista recorre 120000km al año, deberían pasar tan solo 345600120000
= 2:88 años para obtenerbene…cio del Prius.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3
1.3. ¿Qué es la investigación de operaciones (IO)?
Tiene sus orígenes en la segunda guerra mundial con la necesidad de optimizar recursos. Lainvestigación de operaciones (o programación matemática) es una rama de las matemáticas queconsiste en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos, con el objetivo de realizar unproceso de toma de decisiones, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo de…nido, comola maximización de los bene…cios o la minimización de costos.
1.4. Algunos modelos en investigación de operaciones
Los pasos para construir un modelo matemático que represente un problema se denomina procesode modelación, frecuentemente ellos son:
1. Estudiar el problema
2. Obtener datos relevantes
3. Establecer las variables
4. Establecer el objetivo
5. Establecer las restricciones
No existe una fórmula mágica para construir un modelo matemático, todo dependerá de la prácticay habilidad del modelador.
1.4.1. Un problema de dieta
Una madre quiere que su hijo pequeño obtenga como mínimo 1mg de Tiamina, 5mg de Niacinay 400 calorías en su porción de desayuno, que puede consistir de harina láctea1, de leche en polvo ode una mezcla de ambos. Se sabe que 100 g de harina láctea contiene 0:3mg de Tiamina, 3:0mg deNiacina y 330 calorías; mientras que 100 g de leche en polvo contiene 0:75mg de Tiamina, 0:75mgde Niacina y 360 calorías. Además, 100 g de harina láctea y 100 g de leche en polvo cuestan S/. 1:20y S/. 1:50, respectivamente. Construya un modelo que al resolverlo, minimice el costo de esa porciónde desayuno.
Solución. Seguimos los siguientes pasos.
La variable. Notamos dos variables, x1 y x2, donde:
x1: cantidad de harina láctea en gramos (g) a ser incluida en la porción.
x2: cantidad de leche en polvo en gramos (g) a ser incluida en la porción.
La función objetivo. Notamos que 1 g de harina láctea cuesta S/. 0:012, mientras que 1 g de lecheen polvo cuesta S/. 0:015. Así, x1 gramos de harina láctea costará 0:012x1, mientras que x2gramos de leche en polvo costará 0:015x2. El costo total es entonces 0:012x1 + 0:015x2. Por lotanto, la función objetivo es:
Minimizar 0:012x1 + 0:015x21Complemento nutritivo compuesto por harina de cereales tostada y leche en polvo que se utiliza en el período de
destete y en la lactancia arti…cial.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 4
Las restricciones. Se nota que, 1 g de harina láctea contiene 0:003mg de Tiamina, 0:03mg deNiacina y 3:3 calorías. Mientras que 1 g de leche en polvo contiene 0:0075mg de Tiamina,0:0075mg de Niacina y 3:6 calorías. Vemos además que 0:003x1, 0:03x1 y 3:3x1 representanla cantidad de Tiamina, Niacina y calorías, respectivamente, en x1 gramos de harina láctea.Mientras que 0:0075x2, 0:0075x2 y 3:6x2 representan la cantidad de Tiamina, Niacina y calorías,respectivamente, en x2 gramos de leche en polvo. Como se tienen que satisfacer cantidadesmínimas en los nutrientes en esa porción, tenemos:
0:003x1 + 0:0075x2 ¸ 1
0:03x1 + 0:0075x2 ¸ 5
3:3x1 + 3:6x2 ¸ 400
Tipo de variable. Las variables son números reales no negativos: x1 ¸ 0 y x2 ¸ 0.El modelo matemático. La expresión matemática resultante es:
Minimizar 0:012x1 + 0:015x2Sujeto a:0:003x1 + 0:0075x2 ¸ 1
0:03x1 + 0:0075x2 ¸ 5
3:3x1 + 3:6x2 ¸ 400
x1; x2 ¸ 0
(1.1)
El modelo en (1.1) se llama problema de programación lineal y es uno de los más importantes dentrode la investigación de operaciones.
Ejercicio 1.1 Modi…que (1.1) de modo que se incorporen las siguientes condiciones: ahora los valoresmínimos de cantidad de Tiamina y Niacina son 0:7mg y 3:3mg, respectivamente; mientras que lacantidad de calorías no puede exceder las 530. Construya el nuevo modelo similar al expuesto en(1.1).
Ejercicio 1.2 Para una buena alimentación, el cuerpo necesita de vitaminas y proteínas. La necesi-dad mínima de vitaminas es de 32 unidades por día, y de proteínas, 36 unidades por día. Una personatiene disponible carne y huevos para alimentarse. Cada unidad de carne contiene 4 unidades de vita-minas y 6 unidades de proteínas. Cada unidad de huevo contiene 8 unidades de vitaminas y 6 unidadesde proteínas. ¿Cuáles son las cantidades diarias de carne y huevos que deben ser consumidas parasatisfacer las necesidades de vitaminas y proteínas con el menor costo posible? Cada unidad de carnecuesta 3 unidades monetarias y cada unidad de huevo cuesta 2:5 unidades monetarias. Construya unmodelo similar al expuesto en (1.1).
Ejercicio 1.3 Un vendedor de frutas puede transportar 800 cajas de frutas para su región de ventas.Necesita transportar 200 cajas de naranjas obteniendo un lucro de 20 unidades monetarias por caja,por lo menos 100 cajas de duraznos obteniendo un lucro de 10 unidades monetarias por caja, y comomáximo 200 cajas de tangerinas obteniendo 30 unidades monetarias de lucro por caja. ¿De qué formadeberá cargar el camión para obtener el máximo lucro? Construya un modelo de programación linealde la forma (1.1).
