clasificacion de las señales

5/9/2018 clasificacion de las señales - slidepdf.com

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DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Sáenz Peña 180 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina

Clasificación de las señales 1

TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONESCLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES

Básicamente tenemos dos tipos de señales: determinísticas y aleatorias. Lasdeterminísticas tienen un valor conocido en cada instante de tiempo y pueden expresarsematemáticamente como, por ejemplo, x(t) = 5 cos 10t . Para una señal o forma de ondaaleatoria no es posible dar una expresión explícita como la anterior. Sin embargo, cuando se laobserva durante un largo período de tiempo puede verse cierta regularidad y puede serdescripta en términos de probabilidades y promedios estadísticos. El ejemplo mássobresaliente de este caso, en sistemas de comunicaciones, es el ruido. Sin embargo, tambiénson aleatorias las señales provenientes de las fuentes de información. Es aleatoria la señal devideo, la voz de un locutor de radio, el mensaje de un fax, etc. Lo cual es bastante lógico. Siestas señales fueran determinísticas no tendrían sentido las comunicaciones. ¿Para quétransmitir algo si el receptor sabe a priori de qué se trata?

Haremos un breve repaso de algunas características de estas señales, como así tambiéndel ruido, ya que deberemos tratar con ellas posteriormente (fundamentalmente con el ruido).

Señales de potencia y de energía

Una señal eléctrica puede ser representada por un voltaje v(t), o una corriente i(t), queentrega una potencia instantánea p(t) a través de un resistor R:

R

t v t p

)()(

2

= (1)

ó

Rt i t p )()( 2= (2)

En sistemas de comunicaciones es común normalizar las ecuaciones anterioresconsiderando a R = 1 Ω aunque en realidad pueda tener otro valor. En ese caso lasexpresiones anteriores toman la forma general:

)()( 2 t x t p = (3)

donde x(t) representa una tensión o una corriente, indistintamente. La energía disipadadurante el intervalo de tiempo (- T/2, T/2) por una señal con potencia instantánea expresadapor (3) se puede escribir como:

∫ −=2 /

2 /

2 )(T

T

T x dt t x E (4)

y la potencia media disipada por la señal durante el intervalo es:

∫ −= 2 /

2 /

2 )(1 T

T

T x dt t x

T P (5)



2 Clasificación de las señales

Como veremos más adelante, la performance de un sistema de comunicacionesdepende de la energía de la señal detectada; las señales de mayor energía brindan mayorconfiabilidad (menos errores). Por otro lado, la potencia es la velocidad a la que se entregaenergía. La potencia determina la tensión eléctrica que debe ser aplicada a un transmisor.

En el análisis de sistemas de comunicaciones a menudo es deseable tratar con formasde onda de energía. Clasificaremos a x(t) como una señal de energía si, y sólo si, tiene energía

mayor que cero y de valor finito (0 < E x < ∞) para toda la extensión del tiempo:

∫ ∫ ∞

∞−−∞→== dt t x dt t x E

T

T T x )()(lim 2

2 /

2 /

2 (6)

En la práctica siempre transmitimos señales que tienen energía finita. Sin embargo,para describir las señales periódicas, que por definición existen para todo tiempo t y tienenenergía infinita, es conveniente definir una clase de señales llamadas señales de potencia. Pordefinición, una señal es de potencia si, y sólo si, tiene potencia mayor que cero y de valorfinito para todo t :

∫ −∞→=

2 /

2 /

2

)(

1

lim

T

T T x dt t x T P (7)

Esta clasificación de las señales es mutuamente excluyente. O sea, una señal deenergía tiene energía finita pero potencia media cero, mientras que una señal de potenciatiene potencia finita pero energía infinita. Como regla general, las señales periódicas y lasseñales aleatorias se clasifican como señales de potencia, mientras que las señalesdeterminísticas no periódicas se las clasifica como señales de energía.

AleatoriasSeñales

PeriódicasSeñales PotenciadeSeñales

PeriódicasnoticasDeterminísSeñalesEnergíadeSeñales

La clasificación en estas dos categorías descriptas es un modelo conveniente para tratarcierto tipo de señales y el ruido.

Densidad espectral

La densidad espectral de una señal caracteriza la distribución de energía o de potenciade una señal en el dominio de la frecuencia.

Densidad Espectral de Energía. La energía total de una señal de energía x(t), definidasobre un intervalo (-∞, +∞) se describe mediante la ecuación (6). Podemos relacionar laenergía de esa señal expresada en el tiempo con la energía expresada en el dominio de lafrecuencia mediante la siguiente expresión:

∫ ∫ ∞

∞−

∞

∞−== df f X dt t x E x

22 )()( (8)

donde X(f) es la transformada de Fourier de la señal x(t). Recordemos que, se definematemáticamente a la transformada de Fourier de la siguiente manera:

∫ ∞

∞−

−⋅= dt et x f X ft j π 2)()(

Podemos hacer:




2)()( f X f x =Ψ (9)

La función Ψ x (f) es la densidad espectral de energía de la señal x(t). Por lo tanto, laenergía total de la señal x(t) se puede expresar así:

∫

∞

∞−

Ψ= df f E x x )( (10)

Esta ecuación establece que la energía de una señal es igual al área bajo la curva Ψ x (f).La densidad espectral de energía describe la energía de la señal por unidad de ancho debanda, expresado en Joules/Hertz. Como X(f) es una función par resulta que:

∫ ∞Ψ=

0)(2 df f E x x (11)

Densidad Espectral de Potencia. La potencia promedio, de una señal real x(t) se defineen la ecuación (7). Si x(t) es una señal periódica con período T 0, se la clasifica como unaseñal de potencia, con potencia media expresada por:

∫ ∑−

∞

−∞=

==2 /

2 /

22

0

0

0

)(1 T

T n

n x c dt t x T

P (12)

donde el término c n2 representa a los coeficientes complejos de la serie de Fourier

(esta es la relación de Parseval para señales periódicas). La función densidad espectral de potencia, G x (f), de una señal periódica x(t), es una función real, par y no negativa que da ladistribución de la potencia de x(t) en función de la frecuencia. Se la define como:

∑∞

−∞=

−=n

n x nf f c f G )()( 02δ (13)

La ecuación (13) define la densidad espectral de potencia de una señal periódica x(t) como una sucesión de funciones delta “pesadas” por el coeficiente c n

2 . Esto significaque es una función discreta de la frecuencia. La potencia media total, normalizada, quedaexpresada como:

∫ ∫ ∞

∞−

∞==

0)(2)( df f Gdf f GP x x x (14)

La densidad espectral de potencia se expresa en unidades tales como Watts/Hertz.

Autocorrelación

Autocorrelación de una señal de energía

La correlación es un proceso de comparación. La autocorrelación se refiere a lacomparación de una señal con una versión desplazada de sí misma. La función deautocorrelación, R x ( τ ), de una señal real de energía x(t), viene definida por:

∞<<∞+= ∫ ∞

∞−τ τ τ -para )()()( dt t x t x R x (15)

La función de autocorrelación da una idea de qué tanto se parece una señal a una

versión desplazada (τ unidades en el tiempo) de sí misma. R x no es una función del tiempo




sino que es función de la diferencia de tiempo o desplazamiento τ , entre la función inicial y lafunción desplazada.

La función de autocorrelación de una señal real de energía tiene las siguientespropiedades:

1. )()( τ τ −= x x RR es una función par.

2. τ τ todopara )0()( x x RR ≤ tiene su valor máximo en el origen.

3. )()( f R x x Ψ↔τ la autocorrelación y la densidad espectral de energía forman un

par transformado de Fourier.

4. ∫ ∞

∞−= dt t x R x )()0( 2 el valor en el origen es igual a la energía de la señal (se

puede ver de la (15) haciendo τ = 0).

Autocorrelación de una señal periódica (señal de potencia)

La función de autocorrelación de una señal real de potencia se define como:

∞<<∞+= ∫ −∞→τ τ τ -para )()(

1lim)(

2 /

2 /

T

T T x dt t x t x

T R (16)

Cuando la señal de potencia x(t) es periódica con período T 0, el tiempo de promediaciónpuede tomarse sobre un período, quedando la expresión:

∞<<∞+= ∫ − τ τ τ -para )()(1

)(2 /

2 /0

0

0

T

T x dt t x t x

T R (17)

Las propiedades de la autocorrelación para una función real periódica son:



3. )()( f GR x x ↔τ la autocorrelación y la densidad espectral de potencia forman un

par transformado de Fourier.

4. ∫ −=2 /

2 /

2

0

0

0

)(1

)0(T

T x dt t x

T R el valor en el origen es igual a la potencia media de

la señal, como se puede ver de la (17) haciendo τ = 0.

Señales aleatorias

Veremos a continuación algunas características de las señales aleatorias y repasaremosalgunos conceptos básicos de estadísticas.

Sea X(A) una variable aleatoria. Representa la relación entre un evento aleatorio A y unnúmero real. Por conveniencia indicaremos a la variable aleatoria solamente por X , quedandoimplícita su relación con A. La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Las variablesaleatorias discretas son aquellas que ante un evento, el conjunto de resultados posibles es

discreto. Por ejemplo, supongamos el evento A = “se arroja un dado” . Los valores posiblespara X son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las variables aleatorias continuas son aquellas que, para un




evento definido, presentan un conjunto de resultados continuos. Por ejemplo, supongamos elevento A = “se mide una tensión eléctrica” . Los posibles resultados para la variable aleatoria X podrían ser, por ejemplo, los pertenecientes al intervalo continuo [200, 240], representandovalores de tensión eléctrica en volts1.

La función de distribución F X (x) (o función de distribución acumulativa) de la variablealeatoria X viene dada por:

)()( x X P x F X ≤= (18)

donde el término de la derecha representa la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que el número real x . Esta función F x tiene las siguientes propiedades:

1. 1)(0 ≤≤ x F X

2. 2121 xxsi )()( ≤≤ x F x F X X

3. 0)( =−∞ X F

4. 1)( =+∞ X F

Para el caso de una variable aleatoria continua, la fda es continua. Para el caso de unavariable aleatoria discreta la fda tiene saltos escalonados o bien podríamos decir que escontinua por segmentos. También sigue siendo creciente.

Otra expresión útil es la función de densidad de probabilidad (fdp), definida como:

dx

x dF x p X

X

)()( = (19)

Esta función expresa la probabilidad de que la variable aleatoria X esté comprendidaentre dos ciertos valores:

∫ =

−=

≤−≤=≤≤

2

1

)(

)()(

)()()(

12

1221

x

x X

X X

dx x p

x F x F

x X P x X P x X x P

La función de densidad de probabilidad tiene las siguientes propiedades:

1. 0)( ≥ x p X

2. 1)()()( =−∞−+∞=∫ ∞

∞− X X X F F dx x p

Obviamente el área debajo de p X (x) debe ser igual a 1 pues la probabilidad de obtenerun resultado cualquiera (perteneciente al conjunto), una vez observado el evento, es 1.

La fdp de una variable aleatoria continua es una función continua. Para el caso de lastensiones eléctricas tomado antes como ejemplo, la función de densidad de probabilidad seríauna recta horizontal, de altura 1/40, y que se extiende desde x = 200 hasta x = 240. Estoforma un rectángulo cuya área tiene valor 1, como debe ser. En este caso decimos que la

1 Esta suposición es en realidad bastante exagerada para una situación real. Si se mide, por ejemplo, la tensióneléctrica domiciliaria repetidas veces, se encontrará que el valor es bastante estable y difícilmente tenga unadistribución uniforme entre 200 y 240V sino en un intervalo más pequeño (y con una distribución diferente).




variable aleatoria tiene una distribución uniforme. Para el caso de una variable aleatoriadiscreta, la fdp también es discreta. Entonces, para el ejemplo del dado, tendríamos unafunción discreta formada por puntos de ordenada = 1/6 y abscisa 1, 2, 3, etc, hasta 6. Lasuma de las ordenadas de cada punto da 1, como debe ser. La fdp también tiene, en estecaso, una distribución uniforme. La distribución uniforme es la más sencilla de todas y desdeluego que existen numerosas funciones de densidad de probabilidad con diferentes formas.

Nótese que, para el caso de la fdp continua y uniforme del ejemplo de las tensiones, sicalculamos la función primitiva (la antiderivada) obtenemos como fda, función de distribuciónacumulativa, una recta que cumple con la ecuación (18) y con todas las propiedades que seenumeraron acerca de ella. Para el caso del dado, la fda sería “una recta escalonada”.

Indicaremos a la función de densidad de probabilidad como p(x). Además, escribiremosP(X=x i ) como la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome el valor x i . Esimportante aclarar que esta última expresión sólo es válida para variables discretas.Para el caso de variables continuas p X (x 0 ) no representa la probabilidad de nada.Siempre se debe integrar entre dos valores x 1 y x 2 y lo que se obtiene es laprobabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre entre los valores x 1 y x 2. Unavez más, refiriéndonos al ejemplo de las tensiones eléctricas, la probabilidad de que el

resultado del evento sea, por decir algo, 223,18 volts no tiene sentido. En tal caso, deberemoscalcular la integral de la fdp entre dos valores muy cercanos a 223,18 y obtendremos laprobabilidad de que el resultado del evento esté dentro de ese rango de integración.

El valor medio (o valor esperado) m X de una variable aleatoria X viene definido por

∫ ∞

∞−== dx x xp X E m X X )( (20)

donde ⋅E es el valor esperado de la variable aleatoria. El valor esperado representa

algo así como el promedio entre los posibles resultados de la variable aleatoria. Para elejemplo del dado, el valor esperado es 3,5. Este valor surge de hacer la siguiente operación:

( )

5,3

6543216

1

6

16

6

12

6

11

)(6

1

=

+++++=

⋅++⋅+⋅=

== ∑=

L

j

j j x X P x X E

Nótese que la variable aleatoria X puede no ser igual a su valor esperado para ningúnresultado experimental.

Para el ejemplo de las tensiones eléctricas el valor medio o esperado (también llamadoesperanza algunas veces) es 220 V, suponiendo una distribución uniforme, es decir, unadistribución con igual probabilidad para todos los resultados. Se puede comprobar fácilmenteaplicando la (20).

El n-ésimo momento de una distribución de probabilidad de una variable aleatoria X viene definido por

∫ ∞

∞−= dx x p x X E X

nn )( (21)




Para el análisis de los sistemas de comunicaciones son de utilidad el primero y segundomomento. Para el primer caso, haciendo n = 1 obtenemos la ecuación (20) que da el valormedio; para el segundo caso, haciendo n = 2 se obtiene el valor cuadrático medio de X :

∫ ∞

∞−= dx x p x X E X )(22 (22)

Otra definición de importancia es la varianza de una variable aleatoria X , expresadacomo:

∫ ∞

∞−−=−= dx x pm x m X E X X X X )()()()var( 22 (23)

La varianza de X es normalmente denotada como 2 X σ , y su raíz cuadrada, σ X , es

llamada la desviación estándar de X . La varianza es una medida de la “aleatoriedad” odispersión de la variable X . El valor de la varianza da una idea del “ancho” de la función dedensidad de probabilidad de la variable aleatoria X . Cuanto más “ancha” es una fdp dada,mayor es la varianza de la misma. La varianza y el valor cuadrático medio se relacionan de la

siguiente manera:

22

22

22

222

2

2

2

X

X X X

X X

X X X

m X E

mmm X E

m X E m X E

m X m X E

−=

+−=

+−=

+−=σ

Así, la varianza es igual a la diferencia entre el valor cuadrático medio y el cuadrado dela media.

Procesos aleatorios

Figura 1. Proceso aleatorio.




Un proceso aleatorio, X(A, t), puede ser visto como una función de dos variables: unevento A y el tiempo t . Supongamos N muestras de una función del tiempo X j (t). Cada unade las muestras puede ser relacionada con la salida de diferentes generadores de ruido. Paraun evento específico A j tenemos una función del tiempo X(A j , t) = X j (t) (o sea una muestra dela función). La totalidad de las muestras forman un conjunto o ensamble. Para un tiempoespecífico t k , X(A, t k ) es una variable aleatoria X(t k ), cuyo valor depende del evento. Para unevento específico A = A j y un tiempo específico t = t k , X(A j , t k ) es simplemente un número. Por

conveniencia designaremos a este proceso aleatorio como X(t) y la dependencia con A quedaráimplícita. La Figura 1 muestra un ejemplo de proceso aleatorio. Se trata de N eventos; cadaevento depende del resultado aleatorio del mismo y del tiempo.

Promedios estadísticos de una variable aleatoria

El valor de un proceso aleatorio no puede ser conocido a priori (ya que no se conoce laidentidad del evento A). Se busca entonces poder describir este proceso estadísticamente,mediante su función de densidad de probabilidad (fdp). En general, la forma de la fdp de unproceso aleatorio será diferente para diferentes tiempos. Y en general también, no es prácticodeterminar empíricamente la fdp. Sin embargo, se puede obtener una descripción parcial através de la media y de la autocorrelación. Definiremos a la media de un proceso aleatorio X(t)

como:

∫ ∞

∞−== )()()( k X X k t mdx x xpt X E

k (24)

donde X(t k ) es la variable aleatoria obtenida por observación del proceso aleatorio en eltiempo t k . La fdp de X(t k ) es p xk (x). Es la función de densidad de probabilidad sobre todo elconjunto de eventos, tomada en el tiempo t k .

Definiremos a la función de autocorrelación del proceso aleatorio X(t) como una funciónde dos variables, t 1 y t 2:

)()(),( 2121 t X t X E t t R X = (25)

donde X(t 1 ) y X(t 2 ) son las variables aleatorias obtenidas por observación de X(t) en lostiempos t 1 y t 2 respectivamente. La función de autocorrelación da una pauta de cuánto separecen dos muestras del mismo proceso aleatorio, desplazadas en el tiempo.

Procesos estacionarios

Un proceso aleatorio X(t) se dice estacionario en sentido estricto si ninguna de suspropiedades estadísticas son afectadas por un desplazamiento sobre el eje de tiempos. Unproceso aleatorio se dice estacionario en sentido amplio si la media y la autocorrelación no

varían con un desplazamiento en el tiempo. Así, un proceso es estacionario en sentido ampliosi,

constante)( == X mt X E (26)

y

)(),( 2121 t t Rt t R X X −= (27)

Estacionario en sentido estricto implica estacionario en sentido amplio, pero noviceversa. La mayoría de los procesos aleatorios usados en sistemas de comunicaciones sonestacionarios en sentido amplio.




En procesos estacionarios la autocorrelación no depende del tiempo sino de ladiferencia de tiempos t 1 y t 2. Es decir, todos los pares de valores de X(t) separados en eltiempo τ = t 1 – t 2 tienen el mismo valor de autocorrelación. Así, para procesos estacionarios,expresamos la autocorrelación simplemente como R X ( τ ).

Autocorrelación en procesos estacionarios en sentido amplio. Así como la varianzaprovee una medida de la aleatoriedad de una variable aleatoria, la función de autocorrelación

provee una medida similar para los procesos aleatorios. Como se dijo antes, para procesosestacionarios en sentido amplio la autocorrelación es una función de τ ττ τ = t 1 – t 2, estoes:

)()()()(),( 212121 τ X X X Rt t Rt X t X E t t R =−== ∞<<∞+= τ τ τ -para )()()( t X t X E R X (28)

Para un proceso estacionario en sentido amplio, R X ( τ ) da una idea del “parecido” de losvalores del proceso separados por un tiempo τ. En otras palabras, da una idea de la rapidezcon que va cambiando el proceso a lo largo del tiempo. Si R X ( τ ) cambia lentamente significaque, en promedio, los valores de X(t) tomados en t 1 y t 1 + τ son aproximadamente iguales. De

esa manera una representación de X(t) en el dominio de la frecuencia debería tener unapreponderancia de bajas frecuencias. Por el contrario, si R X ( τ ) decrece rápidamente con elaumento de τ deberíamos esperar que X(t) cambie rápidamente con el tiempo y que contengaprincipalmente altas frecuencias.

Las propiedades de la función de autocorrelación para un proceso estacionario ensentido amplio son:



3. )()( f GR x x ↔τ la autocorrelación y la densidad espectral de potencia

forman un par transformado de Fourier.

4. )()0( 2 t X E R x = el valor en el origen es igual a la potencia media de

la señal.

Ergodicidad . Para calcular m X y R X ( τ ) por promediación del ensamble o conjunto,deberíamos promediar todas las muestras de la función y deberíamos contar con informaciónestadística más amplia que generalmente no está disponible. Cuando un proceso aleatoriopertenece a cierta clase especial llamado proceso ergódico, su promedio temporal esigual al promedio del ensamble y las propiedades estadísticas del proceso pueden

determinarse a partir del promedio temporal de una sola muestra. Para que unproceso aleatorio sea ergódico debe ser estacionario en sentido estricto (la inversano es necesariamente verdadera). Sin embargo, en sistemas de comunicaciones quesatisfacen la condición de estacionario en sentido amplio, sólo nos interesa saber la media y lafunción de autocorrelación.

Podemos decir que un proceso es ergódico en la media si

∫ −∞→=

2 /

2 /)( /1lim

T

T T X dt t X T m (29)

es decir, calculamos el valor medio a partir del promedio temporal.

Y es ergódico en la autocorrelación si:




∫ −∞→+=

2 /

2 /)()( /1lim)(

T

T T X dt t X t X T R τ τ (30)

es decir, calculamos la autocorrelación a partir de la función de autocorrelación en eltiempo.

Comprobar la ergodicidad de un proceso aleatorio es, en general, muy difícil.En la práctica lo que se hace es una evaluación intuitiva para saber si es razonableintercambiar los promedios temporales y los promedios de las muestras. En la mayoría de lossistemas de comunicaciones (en ausencia de efectos transitorios) se asume la ergodicidad enla media y en la autocorrelación.

Ya que en un proceso ergódico el promedio temporal es igual al promedio de lasmuestras del conjunto, las variables eléctricas principales como valor dc, valor rms, etc, sepueden relacionar, en este caso, con las propiedades estadísticas de la siguiente manera:

1. La cantidad )(t X E m X = es igual al nivel DC de la señal. Este resultado es bastante

intuitivo, ya que el valor medio estadístico coincide con el valor medio temporal, y el valormedio temporal de una señal eléctrica representa la componente DC.

2. La cantidad 2 X m es igual a la potencia normalizada de la componente DC. También

es bastante intuitivo. Si m X es el valor medio de tensión eléctrica, entonces su cuadrado, 2 X m ,

representa la potencia continua normalizada.

3. El segundo momento de X(t), )(2 t X E es igual a la potencia media normalizada

total (AC + DC). Este resultado quizás no es tan evidente como los dos anteriores. Pero unamanera de interpretarlo es viendo que X 2(t) es la potencia instantánea normalizada (AC + DC)de la señal X(t). Por lo tanto su valor medio representa la potencia media normalizada AC +DC.

4. La cantidad )(2 t X E es igual al valor rms del voltaje o corriente de la señal (AC +

DC). Teniendo en cuenta el punto 3, vemos que se trata de la raíz cuadrada de la potenciamedia normalizada total. Esto coincide con la definición de valor rms de una señal (en otraspalabras, es la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la señal de tensión o decorriente)

5. La varianza, 2 X σ , es igual a la potencia media normalizada de la componente AC de

la señal:

( )

( )

( )

dcpotencia

2

totalpotencia

2

222

22

22

22

2

22

2

2

)()(2)(

)(2

)(

)var(

X

X X

X X

X X X X X

X X X

X X

X X

m X E

mm X E

m X E m X E

dx x pmdx x p xmdx x p x

dx x pm xm x

dx x pm x

m X E X

−=

+−=

+−=

−−=

+−=

−=

−==

∫ ∫ ∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

321

σ




6. Si el proceso tiene media cero (esto es, 02 == X X mm ), entonces 22 X E X =σ , y la

varianza representa la potencia media total normalizada (porque no hay potencia media DC).

7. La desviación estándar, σ X , es el valor rms de la componente AC de la señal. Surgedel punto 5, tomando la raíz cuadrada de la potencia media AC y teniendo en cuenta ladefinición de valor rms.

8. Si m X = 0 entonces σ X es el valor rms total de la señal (ya que no hay tensión ocorriente continua).

Un proceso aleatorio X(t) generalmente puede ser clasificado como una señal depotencia que tiene densidad espectral de potencia G X (f). La característica de esta densidadespectral puede resumirse así:

1. 0)( ≥f G X

2. )()( f Gf G X X −=

3. )()( τ X X Rf G ↔

4. ∫ ∞

∞−= df f GP X X )(

En la Figura 2 se muestran dos ejemplos de cómo se obtiene la densidad espectral depotencia de una secuencia binaria, bipolar, aleatoria. A partir de dicha secuencia, se calcula lafunción de autocorrelación, siendo la transformada de Fourier de esta última la densidadespectral de potencia de la secuencia original. En el segundo ejemplo el ancho de pulso esmenor y por lo tanto el ancho de banda resultante es mayor (recuérdese que lo que es “angosto” en el dominio del tiempo es “ancho” en el dominio de la frecuencia y viceversa).

Ruido en sistemas de comunicaciones

El término ruido se refiere a señales eléctricas indeseadas que están siempre presentesen los sistemas eléctricos. La presencia de ruido superpuesto en una señal tiende aenmascarar a dicha señal. Esto limita la capacidad del receptor para decidir correctamenteacerca de cuál fue el símbolo transmitido, además de limitar la velocidad de transmisión. Haydiferentes fuentes de ruido, tanto naturales como artificiales (generados por el hombre). Entodo sistema de comunicaciones hay que pelear contra el ruido, diseñando las antenas y filtrosadecuados, o instalando los equipos en lugares apropiados.

Hay un tipo de ruido específico llamado ruido térmico o de Johnson que es causado porla agitación térmica natural de los electrones presentes en distintos componentes como ser

cables conductores, resistores, transistores, etc. Los mismos electrones que realizan laconducción eléctrica de la señal deseada producen el ruido térmico. Más adelante, en otrocapítulo, veremos más en detalle la expresión matemática de la tensión y de la potencia delruido térmico. Por ahora veremos su comportamiento estadístico y su espectro de frecuencia.

El ruido térmico tiene una naturaleza aleatoria y puede ser descripto como un procesoGaussiano de media cero. Un proceso Gaussiano n(t) es una función aleatoria cuyo valor n, acualquier valor arbitrario del tiempo t , está estadísticamente caracterizado por una función dedensidad de probabilidad Gaussiana p(n):

−=

2

2

1exp

2

1)(

σ π σ

nn p (31)




donde sigma cuadrado es la varianza de n. La fdp Gaussiana Normalizada es unproceso de media cero que se asume tiene σ =1. Su gráfica representativa puede verse en laFigura 3.

Figura 2. Autocorrelación y densidad espectral de potencia (Ejemplo 1).




Figura 2. (Ejemplo 2).




Figura 3. Función de densidad de probabilidad Gaussiana, normalizada (σσσσ = 1).

A menudo representaremos una señal aleatoria como suma de una componente DC yruido Gaussiano:

z = a + n

donde z es la variable aleatoria, a la componente DC y n el ruido Gaussiano. Para este

caso, la fdp p(z) se expresa como:

−−=

2

2

1exp

2

1)(

σ π σ

a z z p (32)

donde, una vez más, sigma cuadrado es la varianza de n. Esta forma gaussiana que sele asigna a la distribución de probabilidad de ruido blanco surge de un teorema que dice que lasuma de muchas variables aleatorias independientes tiende a una distribución gaussiana, sinimportar qué distribución tiene cada variable. La gráfica de la (32) es similar a la de la Figura 3pero en vez de estar centrada en el eje y está centrada en un eje que pasa por a (donde a esun valor de la abscisa).

Ruido blanco

La característica distintiva del ruido térmico es que su densidad espectral de potencia esconstante para todas las frecuencias que son de interés en la mayoría de los sistemas decomunicaciones. Es decir, una fuente de ruido térmico emana una igual cantidad de potenciapor unidad de ancho de banda para todas las frecuencias (desde DC hasta aproximadamente1012 Hz). Por lo tanto se puede describir al ruido térmico asumiendo que su densidad espectralde potencia Gn(f) es constante para todas las frecuencias, y se expresa como:

hertz /watts 2

)( 0N f Gn = (33)




El factor ½ se incluye para indicar que la función es par y abarca tanto frecuenciasnegativas como positivas. Un ruido de estas características se dice que es ruido blanco. Eladjetivo blanco se debe a que se lo compara con la luz blanca que tiene componentes igualespara todas las frecuencias (para todos los “colores”).

La función de autocorrelación del ruido blanco viene dada por la antitransformada deFourier de la densidad espectral de potencia:

)(2

)()( 01 t N

f GR nn δ τ =ℑ= − (34)

Por lo tanto, la función de autocorrelación del ruido blanco es una función delta “pesada” por el factor N 0 /2 y ocurre en τ = 0. Esto indica que dos valores cualquiera de lafunción de ruido son incorrelados y no tienen ningún “parecido”.

La potencia media P n del ruido blanco es infinita ya que el ancho de banda es infinito yel área debajo de la curva de densidad espectral de potencia es infinita:

∞==

∫

∞

∞− df

N

P n 2

0

También puede verse que la función de autocorrelación vale infinito en el origen,cumpliendo con las propiedades enunciadas anteriormente para los procesos aleatoriosestacionarios. Desde luego, hay que tener en cuenta que esto de considerar infinito al anchode banda y a la potencia media, es una abstracción. En realidad el ancho de banda no puedeser infinito. Sin embargo, para los fines prácticos, siempre que este ancho de banda sea mayorque el ancho de banda del sistema de comunicaciones, se lo puede considerar como infinito. LaFigura 4 muestra la densidad espectral de potencia y la función de autocorrelación del ruidoblanco.

Figura 4. (a) Densidad espectral de potencia del ruido blanco. (b) Funciónde autocorrelación del ruido blanco.

Ya que el ruido es un proceso ergódico, veamos cómo se relacionan sus propiedadesestadísticas con sus propiedades eléctricas:

1. El valor medio o esperanza de la fdp Gaussiana es cero, por lo tanto el nivelde tensión continua del ruido es cero. Esto es intuitivamente lógico, ya que los nivelespositivos de tensión de ruido compensan a los niveles negativos.

2. Como consecuencia del punto anterior, la potencia normalizada de la componentede tensión continua también es cero.

3. La varianza σ σσ σ 2 es igual a la potencia media normalizada de la señal deruido. Y aquí parece haber una contradicción, ya que anteriormente se había dicho que lapotencia media de ruido es infinita. Lo que ocurre es que esto último es una abstracción como




consecuencia de considerar infinito al ancho de banda de ruido (por una cuestión depracticidad matemática y de análisis) aunque ya se dijo que no es así. La potencia de ruidoviene dada por la varianza de la fdp Gaussiana. Entonces, a mayor varianza, mayorpotencia de ruido y por lo tanto mayor “dispersión” estadística, es decir, más anchaes la curva gaussiana. Siendo más estrictos, σ

2 representa a la potencia media normalizadade la componente AC, pero, como en este caso la componente DC es cero, finalmente σ

2 representa a la potencia media normalizada total de la señal de ruido.

4. La desviación estándar σσσσ, representa el valor rms o valor eficaz de la señalde ruido. Siendo estrictos una vez más, σ es en realidad el valor rms de la componente AC,pero como la componente DC es cero, finalmente la desviación estándar representa al valorrms total del ruido.

La función delta en la expresión (34) indica que n(t) es totalmente incorrelado con suversión desplazada, para cualquier valor de τ ≠ 0. Esto significa que una muestra en un tiempocualquiera t no se “parece” en nada con otra muestra cualquiera. Se dice que el ruido de estetipo es Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA). Además, al ser la distribución gaussiana y lasmuestras incorreladas, se dice que las muestras de ruido son independientes. Por lo tanto,este tipo de ruido, en un canal de comunicación, afecta en forma independiente a cada símbolo

transmitido. El término aditivo significa que el ruido simplemente se superpone a la señal y nohay ningún tipo de mecanismo multiplicativo o de otra naturaleza.

Ya que el RBGA es el más común en los sistemas de comunicaciones, es el quecomúnmente se utiliza para modelar los sistemas de comunicaciones y para analizar y diseñarlos receptores para que tengan un desempeño óptimo. Normalmente hablaremos de ruidoblanco gaussiano aditivo de media cero.

Transmisión de señales a través de sistemas lineales

Una señal aplicada a la entrada de un sistema, puede ser descripta tanto en el dominiodel tiempo, como x(t), o en el dominio de la frecuencia, como X(f), (a través de su

transformada de Fourier). El análisis en el dominio del tiempo produce, ante una señal deentrada x(t), una señal de salida y(t), siendo en tal caso h(t) la respuesta impulsiva de la red.Si el análisis se hace en el dominio de la frecuencia entonces definimos la función detransferencia H(f) de la red, que determina la señal de salida Y(f) en función de la frecuencia.Esta explicación se ve resumida en la Figura 5.

Figura 5. Sistema lineal.

Recordemos que un sistema es lineal si se cumple que:

)()( entradalaasistemadelrespuesta)()(

)( entradalaasistemadelrespuesta)(

)( entradalaasistemadelrespuesta)(

2121

22

11

t bx t ax t by t ay

t x t y

t x t y

+=+

=

=

Red LinealEntrada Salida

x(t)X(f) h(t)

H(f)y(t)Y(f)




Un sistema lineal invariante en el tiempo es caracterizado por su respuesta impulsivah(t), la cual es la respuesta del sistema cuando la entrada es una función impulso unitario δ (t):

)()( cuando )()( t t x t y t h δ == (35)

La respuesta de la red cuando la entrada es una señal arbitraria x(t) se hallaresolviendo la convolución entre x(t) y h(t):

∫ ∞

∞−−=∗= τ τ τ d t h x t ht x t y )()()()()( (36)

El sistema es asumido como causal, lo cual significa que no hay salida antes del tiempot = 0 cuando la señal es aplicada. Por lo tanto, la expresión anterior queda:

∫ ∞

−=0

)()()( τ τ τ d t h x t y (37)

Aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros de (36) se obtiene la señalY(f) en el dominio de la frecuencia. De ese modo, la convolución en el dominio del tiempo setransforma en una multiplicación en el dominio de la frecuencia:

)()()( f H f X f Y = (38)

o

)(

)()(

f X

f Y f H = (39)

siempre y cuando X(f) ≠ 0 para todo f . Aquí, H(f) es la transformada de Fourier de h(t) y se llama función de transferencia en frecuencia o respuesta en frecuencia de la red. En

general, H(f) es una expresión compleja y puede escribirse como:

)()()( f j ef H f H θ = (40)

donde H(f)es la respuesta de magnitud. La respuesta de fase, θ (f) es:

)(Re

)(Imtan)( 1

f H

f H f −=θ (41)

donde Re e Im indican la parte real e imaginaria, respectivamente, de H(f).

Procesos aleatorios y sistemas lineales. Si un proceso aleatorio es aplicado a laentrada de un sistema lineal e invariante en el tiempo entonces la salida será también unproceso aleatorio. La densidad espectral de potencia de la entrada, G X (f), y de la salida, GY (f),están relacionadas como sigue:

2)()()( f H f Gf G X Y = (42)

Más adelante veremos la detección de señales en presencia del ruido blanco Gaussiano.Para ello aplicaremos una propiedad fundamental de los procesos Gaussianos aplicados asistemas lineales invariantes en el tiempo: puede demostrarse que si un proceso Gaussiano

X(t) es aplicado a un filtro lineal invariante en el tiempo, entonces el proceso a la salida, Y(t),es también Gaussiano.

Transmisión sin distorsión. Veamos ahora cuál es el requerimiento de una red ofunción de transferencia para que la transmisión a través de la misma sea sin distorsión. La




señal que sale de una línea de transmisión ideal debe ser igual a la señal de entrada, salvo unfactor de escala y un retardo. Es decir, una línea de transmisión ideal, sin distorsión, deberelacionar las señales de entrada y de salida de la siguiente manera:

)()( 0t t Kx t y −= (43)

siendo K y t 0 constantes. Aplicando transformada de Fourier queda:

02)()( ft j ef KX f Y π −= (44)

o bien

02)( ft j Kef H π −= (45)

Por lo tanto, para que un sistema de transmisión no tenga distorsión su respuesta enmagnitud debe ser constante con la frecuencia, mientras que su respuesta en fase debe serlineal con la frecuencia. No es suficiente que el sistema amplifique o atenúe todas lascomponentes en frecuencia por igual. Además de eso, todas las componentes en frecuencia

deben arribar con igual retardo para que se sumen correctamente. El retardo t 0 estárelacionado con la fase θ 0 de la siguiente manera:

]egundoradianes/s[2

]radianes[]segundos[0

f t

π

θ = (46)

Dilema del ancho de banda

Muchos teoremas importantes de las comunicaciones y de la teoría de la información sebasan en la suposición o existencia de canales con un ancho de banda limitado(estrictamente). Sin embargo, considerar un ancho de banda así implica considerar una señal

de duración infinita, lo cual es impracticable. Por otra parte, considerar que el ancho de bandase extiende de forma infinita también es irrazonable. Realmente, no hay una definiciónuniversal para el ancho de banda.

Figura 6. Ancho de banda de una señal digital. (a) Mitad de potencia. (b) Rectánguloequivalente. (c) Ancho entre ceros. (d) 99% de la potencia. (e) DEP limitada a 35 y50 dB.




Todos los criterios de ancho de banda tienen en común la intención de especificar unamedida del ancho B, para una densidad espectral de potencia definida para todas lasfrecuencias tales que f <∞ . En la Figura 6 se ilustran algunas de las definiciones máscomunes.

a) Ancho de banda de mitad de potencia. Es el intervalo de frecuencias en los puntosdonde G(f) cae a la mitad del valor máximo. Esto equivale a una caída de 3 dB.

b) Rectángulo equivalente (también llamado ancho de banda de ruido equivalente). Esun ancho de banda definido como BN = P x /G x (f c ), donde P x es la potencia total de laseñal sobre todo el espectro de frecuencias y G x (f c ) es el valor de la densidadespectral de potencia en el centro de la banda. Nótese que si P x se expresa en wattsy G x (f c ) en watts/hertz entonces BN resulta en hertz, como debe ser.

c) Ancho de banda entre ceros. Es quizás la clasificación más popular para el ancho debanda en sistemas digitales. Es el lóbulo principal del espectro, allí donde sedistribuye la mayor cantidad de potencia.

d) Ancho de banda de 99%. Es el ancho de banda limitado por las frecuencias que

determinan una potencia del 99% del total.

e) Densidad Espectral de Potencia limitada. Establece un ancho de banda tal que, fuerade él, G x (f) debe caer por debajo de un cierto nivel con respecto del nivel que hayen el centro de banda. Valores típicos son 35 dB y 50 dB.

Resumen

Hemos clasificado las señales según sean determinísticas o aleatorias. Por otra partetambién las clasificamos según sean señales de energía o señales de potencia, y hablamos dedensidades espectrales de energía y densidades espectrales de potencia, respectivamente. Lasseñales que manejaremos en el resto del curso serán de alguno de estos dos últimos tipos y

sus espectros serán de energía o de potencia.

Las señales aleatorias, muy comunes en sistemas de comunicaciones, quedanrepresentadas por sus parámetros estadísticos, como ser la media o la varianza. Cuando lasseñales aleatorias son ergódicas entonces los parámetros estadísticos pueden calcularse apartir de los valores temporales de la señal. Por ejemplo, el valor medio estadístico coincidecon el valor medio temporal. Así, vimos cómo se relacionan los parámetros estadísticos convariables temporales como potencia media, tensión media, tensión eficaz, entre otros. Esta esla manera de describir las características eléctricas de una señal aleatoria. La función deautocorrelación y la densidad espectral de potencia en estas señales quedan vinculadas através de la transformada de Fourier. El ruido blanco gaussiano es uno de estos tipos deseñales ergódicas y tiene una fdp precisamente de forma gaussiana, un espectro de potencia

en forma práctica de extensión infinita en frecuencia y una función de autocorrelación que esuna delta ubicada en τ = 0.

Finalmente vimos algunas características de las funciones de transferencias lineales ycómo deben ser éstas para que no se distorsione la señal a transmitir. También se habló de loslímites prácticos que tienen los espectros de potencia dado que no es posible que se extiendaninfinitamente con la frecuencia y cuáles son los criterios para establecer esos límites.

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