Introducción a la Geoestadística

¿Qué es Geoestadística?Problemas en

la industria

minera

Teoría de las

probabilidades

George Matheron

Teoría formal de la

Geoestadística

David Krige

Método de estimación:

Kriging

Es una metodología que aplica algoritmos matemáticos para analizar y predecir valores de una

variable que están distribuidos espacialmente.

Kriging

La Geoestadística es la aplicación de la Teoría de las Variables Regionalizadas a la

estimación de procesos o fenómenos geológicos en el espacio (Matheron 1962).

Estos valores, implícitamente están correlacionados y el estudio del tal correlación es

denominado“análisis estructural” o “modelamiento variográfico”.

Después que el estudio del análisis estructural está hecho, se pueden llevar a cabo predicciones

de ubicaciones no muestreadas, utilizando el método de “kriging”.

Variable Regionalizada

Donde en el caso más general x es un punto en el espacio tridimensional, es decir

Se nombra como variable regionalizada z(x) a la variable distribuida en el espacio de

manera tal que presenta una estructura espacial de correlación.

Una definición más rigurosa matemáticamente equivalente consistiría en decir que una

variable regionalizada es una variable aleatoria definida en un punto del espacio x .

Donde en el caso más general x es un punto en el espacio tridimensional, es decir

X = x1, x2, x3.

Función Aleatoria

Variable Aleatoria

Es similar a a la variable algebraica, que representa un valor único, la diferencia que la variable

Aleatoria representa una distribución de posibles valores y el valor puede ser cualquiera de esa

Distribución, de acuerdo a una ley probabilística (modelo).

Modelo Matemático de la Geoestadística

La incerteza de un valor no muestreado z, es modelada a través de la distribución de probabilidad

de una variable aleatoria (VA) Z. La distribución de probabilidad de Z es usualmente dependiente

de la ubicación; cuya notación es Z(u) siendo u el vector de ubicación.

La función aleatoria (FA) es un set de VA definidas sobre algún campo de interés.

El uso de FA implica que las variables están dentro de un subset del yacimiento o área (A) que es

considerado estacionario. La idea de aplicar este concepto está basado en la creencia de que la

ubicación de u en A y la variable Z pertenecen a la misma población estadística.

El objetivo final de un modelo de FA es hacer predicciones acerca de ubicaciones u donde el valor

Utiliza una interpretación probabilística de la variable regionalizada, a través del modelo de

Las funciones aleatorias.

Función aleatoria: Z(x)

Donde x (punto en el espacio) depende del azar (valor aleatorio)

Un experimento de la función aleatoria se obtiene una función ordinaria z(x) (no aleatoria),

Llamada “Realización” de Z(x).

El objetivo final de un modelo de FA es hacer predicciones acerca de ubicaciones u donde el valor

verdadero de z(u) es desconocido

Por lo tanto, la hipótesis constitutiva de la geoestadística, consiste en afirmar que la variable

Regionalizada (valor) en estudio es la realización de una cierta función aleatoria.

En la práctica se cuenta solamente con una realización de la función y está acotada a un dominio,En la práctica se cuenta solamente con una realización de la función y está acotada a un dominio,

Por lo que para facilitar la inferencia:

Es necesario introducir hipótesis suplementarias a Z(u): conocida como hipótesis de

Estacionariedad (hipótesis intrínsica) ; dice que la variación espacial de las realizaciones Z(u)

deben ser homogéneas (la distribución espacial no varía por traslación en el espacio) y

Ergocidad (Los sistemas ergódicos tienen el interés de que en ellos el promedio temporal de

ciertas magnitudes pueden obtenerse como promedios sobre el espacio de estados lo cual

simplifica las predicciones sobre los mismos); donde las esperanzas matemáticas pueden

aproximarse mediante el promedio espacial.

Definición de Estacionariedad

Una variable aleatoria es estacionaria si:

1 El promedio local de la variable aleatoria no depende de la ubicación

2 La varianza local de la variable aleatoria no depende de la ubicación

3 Para todos los vectores “h” la varianza de las diferencias [V(x) – V(x+h)] no depende de la

ubicación.ubicación.

Esperanza : Conocida como m(u) y representa la media alrededor de la distribución de los

valores de las distintas realizaciones y depende de punto u considerado.

E [Z(u)] = m(u).

Varianza : Es una medida de dispersión de la variable aleatoria Z(u) en torno al valor esperado.

VAR [Z(u)] = E {[Z(u) – m(u)]2}

Covarianza : Es una medida de dispersión conjunta de dos variables aleatorias.

COV [Z(u1),Z(u2)] = E [Z(u1)*Z(u2)] – m(u1)*m(u2)

Para interpretar la distribución espacial, se utilizan los siguientes parámetros:

COV [Z(u1),Z(u2)] = E [Z(u1)*Z(u2)] – m(u1)*m(u2)

Variograma : Es una herramienta que analiza el comportamiento espacial de una variable en un

Dominio definido, que determina la dispersión entre dos valores a distintas

distancias.

ɣ (u1,u2) = VAR[Z(u1) – Z(u2)] /2

La relación depende sobre la decisión del modelo que la media y varianza son constantes e

Independientes de la ubicación.

Relación entre Variograma y Covarianza para una función Aleatoria Estacionaria:

ɣ(h) = C(0) - C(h) o C(h) = C(0) - ɣ(h)

Sill o Meseta : Es la varianza ponderada

De los datos en el cálculo del variogramaDe los datos en el cálculo del variograma

Y corresponde a una correlación lineal

Cero.

Range o Alcance : Es la distancia a la cual

La correlación cero es alcanzada.

Nugget o Efecto Pepita : Es el valor del

Variograma a una distancia un poco más

Grande que el tamaño de la muestra, que

Caracteriza la variabilidad a pequeña

escala