CLAVE-101-1-M-2-00-2018

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO: Matemática Básica 1

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Primer examen Parcial

NOMBRE DEL AUXILIAR Edgar Hurtarte

FECHA: 14 de agosto 2018

SEMESTRE: Segundo semestre

HORARIO DE EXAMEN: 9:00-11:40

CLAVE CLAVE-101-1-M-2-00-2018

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Primer Examen Parcial

Temario C

Tema 1: (30 puntos)

a. Resuelva la siguiente ecuación √2𝑥 + 15 − 2 = √6𝑥 + 1

b. Resuelva la siguiente ecuación 𝑥 − 𝑥2/3 − 4 √𝑥3

+ 4 = 0

c. Resuelva la desigualdad 3𝑥

𝑥2−4− 1 ≥ 0

Tema 2: (20 puntos) Un circulo se inscribe en un rombo cuyas características son: lados

Iguales a 4 centímetros y con un par de ángulos agudos internos opuestos

Igual a 60°. Encuentre el área fuera del círculo, pero dentro del rombo

Tema 3: (20 puntos)

Un tren de alta velocidad hace un viaje de 400 millas sin escala entre dos

ciudades importantes en 10 horas, durante las cuales pasa tanto por el

campo como por ciudades pequeñas. El tren corre a 100 mi /h en el campo,

pero los reglamentos de seguridad exigen que cuando pase por ciudades

intermedias más pequeñas su velocidad sea de 25mi/h

a. ¿Cuantas Horas pasan viajando por las ciudades más pequeñas?

b. ¿Cuánta distancia recorre en el campo?

Tema 4: (15 puntos)

En la figura adjunta, el segmento 𝐵𝐸 es diámetro del

círculo, el ángulo ∅𝐵𝐴𝐶 = 36° el arco 𝐴𝐸 = 94°

Calcule 𝐵𝐶, ∅𝐵𝐹𝐶, 𝐴𝐵 , ∅𝐴𝐷𝐶

Tema 5: (15 puntos)

Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un triángulo isósceles

sobrepuesto, cuya es 2/3 de la base. Si el perímetro de la ventana es

de 12 m y el área es de 9 metro cuadrados, encuentre las dimensiones

de la ventana.

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SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: 30 puntos

a.√2𝑥 + 15 − 2 = √6𝑥 + 1

No Explicación Operación

1 Primero se elevan ambos lados de la ecuación al cuadrado para poder eliminar los radicales y se procede a simplificar.

(√2𝑥 + 15 − 2)2 = (√6𝑥 + 1)2

(2𝑥 + 15) − 4√2𝑥 + 15 + 4 = 6𝑥 + 1

−4𝑥 + 18 = 4√2𝑥 + 15

2 Se procede a realizar el mismo procedimiento de elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para poder eliminar el radical. Y se procede a simplificar hasta obtener una ecuación cuadrática.

(−4𝑥 + 18)2 = (4√2𝑥 + 15)2

16𝑥2 − 144𝑥 + 324 = (16(2𝑥 + 15))

16𝑥2 − 176𝑥 + 244 = 0

3 Se procede a utilizar la fórmula para poder resolver ecuaciones cuadráticas, la cual corresponde a la siguiente

𝑥1 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

4 A continuación se asignan los valores de a, b, c.

𝑎 = 16; 𝑏 = 176; 𝐶 = 244

5 Se proceden a obtener las posibles soluciones 𝑥1𝑦2 =

−176 ±√1762−4(244 𝑥)

2∗16= 9.37 𝑦1.62

b. 𝑥 − 𝑥2/3 − 4 √𝑥3

+ 4 = 0

No Explicación Operación

1 Primero se procede a realizar una sustitución de X en valores de U para obtener una ecuación cubica. Y se sobre escribe.

𝑥 − 𝑥2/3 − 4 √𝑥3

+ 4 = 0

𝑢3 = 𝑥, 𝑢2 = 𝑥2/3, 𝑢 = 𝑥1/3

𝑢3 − 𝑢2 − 4𝑢 + 4 = 0

2 Luego de sobre escribir la ecuación en términos de U se procede a encontrar las posibles soluciones para la ecuación.

𝑢3 − 𝑢2 − 4𝑢 + 4 = 0

𝑈1 = −2

𝑈2 = 2

𝑈3 = 1

3 Luego de encontrar los valores de U, los mismos se tienen que sustituir para encontrar los valores de X

𝑢3 = 𝑥

23 = 𝑥

𝑥 = 8

𝑥 = −8,1

4 Se procede a verificar cual puede ser una posible solución de la expresión

Al momento de valuar (-8,1, 8) en la ecuación la única posible solución llega a ser 1

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c. 3𝑥

𝑥2−4− 1 ≥ 0

No Explicación Operación

1 Primero hay que expandir toda la ecuación es decir encontrar una expresión para luego tener los límites de la desigualdad como se ve.

3𝑥

𝑥2 − 4− 1 ≫

3𝑥 − 𝑥2 + 4

𝑥2 − 4

≫−(𝑥 + 1)(𝑥 − 4)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

2 Ya con los limites encontrados procedemos a encontrar donde se encuentra la solución a nuestra expresión, mediante la construcción de una tabla y su evaluación

(…-2) (-2,-1) (-1,2) (2,4) (4,…)

(x+1) - - + + +

(x-4) - - - - +

(x+2) - + + + +

(x-2) - - - + +

3 Luego de evaluar en cada uno de los limites, se procede a escoger los que pueden contener la posible solución

(-∞,.2) U (4, ∞)

4 Se toma en cuenta ese límite debido a que luego de operar los signos de cada columna se toman los que quedan con signo positivo, así como se ve en la el cuadro de al lado, Se toman las columnas positivas

(…-2)

(x+1) -

(x-4) -

(x+2) -

(x-2) -

Al multiplicar

ambos signos

(que están en

azul) da “+”

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4

R

2

β= 60° X

Tema 2: 20 puntos

Tema 2: (20 puntos) Un circulo se inscribe en un rombo cuyas características son: lados

Iguales a 4 centímetros y con un par de ángulos agudos internos opuestos

Igual a 60°. Encuentre el área fuera del círculo, pero dentro del rombo

1. Primero se debe de dividir la figura en dos partes, para poder tener un semicírculo

adentro de un triángulo, como se ve en la figura, luego tomando en cuenta que nos dan

la medida de los lados del triángulo y se procede a dividir la figura de la siguiente manera

2. Luego de haber hecho la división del triángulo se procede a tomar el triángulo azul para

poder encontrar la base del triángulo entonces se utiliza la función seno para poder

encontrar la base del triangulo

𝑠𝑒𝑛(30°) =𝐵𝑎𝑠𝑒

4

Y se procede a encontrar el ángulo β, sabiendo que la sumatoria de los ángulos internos de un

triángulo es 180° y como ya se tiene un ángulo de 90° y uno e 30° se procede a hacer lo

siguiente

𝛽 = 180 − (90 + 30) = 60

Al momento de realizar el despeje se llega a que la base es igual a 2, entonces con ese valor se

trata de encontrar el radio del círculo, utilizando el triángulo que se forma debajo del triángulo

amarillo y con ayuda de la función coseno se procede a calcular el radio del círculo.

𝐶𝑜𝑠(𝑥°) =𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜

2

4 4

α= 60°

α= 30°

β= 60°

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Para encontrar el ángulo x se procede a utilizar el mismo principio que para el ángulo β y nos

da como resultado

𝑥 = 180 − (90 + 60) = 30

Entonces ya se procede a calcular el radio del círculo.

𝐶𝑜𝑠(30°) =𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜

2

El radio da como resultado √3

Luego de encontrar el radio se procede a calcular la altura del triángulo utilizando Pitágoras y

utilizando el triángulo azul del cálculo de la base

42 = ℎ2+22

Entonces la altura es igual a 2√3

Entonces para poder encontrar el área sombreada que es el área adentro del rombo y afuera

del circulo (que es como lo pide el problema) se utiliza la siguiente ecuación. Y se multiplica

por 2 el triángulo para tomar ambas partes

𝐴𝑠 = 𝐴𝑜 − 𝐴∆

𝐴𝑠 = 𝜋𝑟2 −1

2𝑏ℎ

𝐴𝑠 = 𝜋√32

− (1

2(4)(2√3)) ∗ 2

𝐴𝑠 = 4.43

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Tema 3: 20 puntos

Un tren de alta velocidad hace un viaje de 400 millas sin escala entre dos

ciudades importantes en 10 horas, durante las cuales pasa tanto por el

campo como por ciudades pequeñas. El tren corre a 100 mi /h en el campo,

pero los reglamentos de seguridad exigen que cuando pase por ciudades

intermedias más pequeñas su velocidad sea de 25mi/h

a. ¿Cuantas Horas pasan viajando por las ciudades más pequeñas?

b. ¿Cuánta distancia recorre en el campo?

Primero se extraen los datos importantes del problema.

Dt= distancia total=== 400 millas

Tt= Tiempo total=== 10 horas

Vel campo = 100 mi/h

Vel Ciu peq = 25mi/h

Luego de haber extraído los datos se tiene que utilizar la fórmula de

𝑉 =𝐷

𝑇

Donde se sabe que la velocidad es igual a la división entre la distancia y el tiempo

recorrido y como el problema divide en dos la ruta, ciudad pequeña y campo se procede

a aplicar la formula, pero en función del tiempo total recorrido, entonces se sabe que

Distancia de campo + Distancia de ciudades pequeñas = Distancia total

Entonces

X + (400-x) = 400

al momento de dejar la fórmula de la velocidad en función del tiempo se obtiene que

𝑥

100+

(400 − 𝑥)

25= 10

Se procede a operar de la siguiente manera la ecuación

25𝑥 + 100(400 − 𝑥)

2500= 10

25𝑥 + 40000 − 100𝑥 = 25000

75𝑥 = 15000

𝑥 = 200

B) Entonces se sabe que la distancia que recorren ambos es igual a 200 millas debido a

que al momento de encontrar la otra distancia 400-200 = 200

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36°

36°

36°

54

54

A) Por ultimo cuando se trata de encontrar las horas que pasan viajando por las ciudades

pequeñas solo se sustituyen valores en la ecuación de la distancia que se utilizó

anteriormente.

𝑇 =𝐷

𝑉=

200

25= 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Tema 4: 15 puntos

En la figura adjunta, el segmento 𝐵𝐸 es diámetro del

círculo, el ángulo ∅𝐵𝐴𝐶 = 36° el arco 𝐴𝐸 = 94

Calcule 𝐵𝐶, ∅𝐵𝐹𝐶, 𝐴𝐵 , ∅𝐴𝐷𝐶

Se sabe que AE es la mitad del arco BE entonces AB es equivalente al mismo es

decir 94

Luego para poder encontrar BC se toma el triángulo ABF

Entonces luego se procede a encontrar el ángulo pendiente de que corresponde a ABF

el cual es (180-(36+90)) = 54°entonces ese ángulo se suma con los 36°asi como se ve a

continuación

Entonces 54+36= 90° empleando la formula s= Rαπ se puede encontrar BC

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2B/3

Tema 5: 15 puntos

Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un triángulo isósceles

sobrepuesto, cuya es 2/3 de la base. Si el perímetro de la ventana es

de 12 m y el área es de 9 metro cuadrados, encuentre las dimensiones

de la ventana.

Primero se procede a hacer un breve dibujo de la venta, como se ve en la siguiente

representación

Triangulo verde: h= (2/3b)

Rectángulo azul: b y h

Pt = 12m

At= 9m2

Luego se procede a realizar una ecuación donde se represente al perímetro de la

ventana en función de las dos figuras y su área, así como se ve a continuación

12 = 2ℎ𝑖𝑝 + 2ℎ + 𝑏

Entonces como no se conoce la hipotenusa del triángulo, se procede a calcularla

utilizando el siguiente método

Entonces utilizando Pitágoras se encuentra la hipotenusa

𝐶2 = (𝑏/2)2 + (2𝑏/3)2

𝐶 = √25

36𝐵2

𝐶 =5

6𝐵

B/2

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Luego de ello se procede a sustituir en la ecuación mencionada primero.

12 = 2 (5

6𝐵) + 2ℎ + 𝐵

𝐵 =36 − 6ℎ

8

Luego para encontrar los siguientes valores se procede a utilizar una ecuación en función

del área de la ventana.

9 =1

3𝐵2 + 𝐵ℎ

Luego se sustituye la ecuación de B en la ecuación anterior.

9 =1

3(36 − 6ℎ

8)2 + (

36 − 6ℎ

8)(ℎ)

Entonces al momento de despejar la ecuación en función de H se obtiene que el valor

de h =2

Luego se procede a calcular las dimensiones de la ventana

𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 =36 − 6(2)

8= 3𝑚

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 +2

3(3) = 4𝑚

R// la ventana tiene una altura de 4m y un ancho de 3m