Clave-107-2-V-2-00-2012

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniera

Departamento de Matemtica

Matemtica Intermedia 1

Segundo Examen Parcial

Auxiliar: Josue Fernando Tojes Pacheco

Fecha: 26 de Octubre de 2012

2 Semestre

Horario: 14:50-16:30

Revisado por Inga. Glenda Garca

CLAVE: II PARCIAL MATEMTICA INTERMEDIA 1

CLAVE: II PARCIAL MATEMTICA INTERMEDIA 1

Tema 1

Determine si las integrales convergen o divergen

i)

ii)

Tema 2

Una compuerta en un canal de irrigacin tiene la forma de un trapecio de 3 pies de

ancho en el fondo, 5 pies de ancho en la parte superior y 2 pies de alto. Est colocada

verticalmente en el canal y el agua llega hasta su parte superior. Encuentre la fuerza

hidrosttica sobre la compuerta. (Densidad de peso del agua 62.5 lb/pie3).

Tema 3

Plantee las integrales para calcular el centroide de la regin limitada por las curvas.

;

Tema 4

a) Encuentre las coordenadas polares con r 0; 0, del punto (2,-2) dado en

coordenadas rectangulares.

b) Nombre y trace la grfica de la ecuacin r=- , para . Identifique cuatro

puntos en la grfica.

Universidad de San Carlos Escuela de Ciencias

Facultad de Ingeniera Departamento de Matemtica

Matemtica Intermedia 1 Segundo Parcial

c) Nombre y trace la grfica, indicando para que valores de pasa por el polo y como

se grafic:

d) Trace solo un ptalo , indicando para que intervalo de .

Tema 5

Una superficie se genera al hacer girar la curva

alrededor del eje X

a) Plantee la integral del rea de la superficie.

b) Encuentre las ecuaciones paramtricas de la curva.

c) Plantee la integral del rea de la superficie utilizando las ecuaciones paramtricas.

Tema 6

a) Derivando el movimiento de una partcula cuya posicin es (x,y), cuando t vara en el

intervalo dado:

b) Plantee la integral para calcular la longitud de la curva en el intervalo dado.

Tema 7

i) Grafique las siguientes curvas dadas en el mismo sistema de coordenadas polares,

identificndolas

a)

b)

ii) Plantear la integral del rea dentro de la curva (b) y fuerza de la curva (a)

Resolucin

Tema 1

i)

Se coloca el limite

Se sustituye

u=

du=

Por lo que la integral que de la siguiente forma:

Sustituyendo el lmite es el siguiente

Se vala el resultado de la integral con respecto a sus limites

Esto es igual:

Por lo que esta integral Converge en

ii)

Se coloca la constante para sustituyen el lmite superior

Se integra por partes:

u= dv:

du=

v:

La integral queda de la siguiente forma:

El limite entonces es

La integral resultante de la integracin por partes es la siguiente:

Esta se sustituye por:

U:

du: 2x dx

Por lo que la integral sustituida es:

Al sustituir el limite ya integrado queda de la siguiente forma:

Se vala el resultado de la integral con respecto a sus limites

Por lo que la integral diverge:

Tema 2

5 pies

dy

2 pies

3 pies

Dada la figura y tomando como punto de origen el crculo rojo.

Se obtiene la ecuacin de la recta.

(5/2,2)

(3/2,0)

Esta recta se obtiene de uno de los lados del trapecio, dado en la figura de la parte

superior.

Se obtiene la pendiente de dicha recta:

Luego tomando como referencia el punto (3/2,0) se obtiene la ecuacin de la recta:

Se simplifica la ecuacin:

Despejando para x:

Se deduce la simetra del trapecio por lo que el diferencial de rea de multiplica por 2.

Por lo que sustituyendo x:

Simplificando:

Luego de obtener el diferencial de rea, se obtiene una altura expresada en trminos

de Y. El 2 es debido a la altura del estanque y Y debido a la altura donde se encuentra

el diferencial.

De acuerdo a la ecuacin de fuerza hidrosttica:

Los limites son debido a la altura de estanque y los dems valores se obtiene

anteriormente:

Desarrollando la integral

Por lo que la Fuerza hidrosttica es de :

Tema 3

La grfica anterior muestra las ecuaciones y su intercepto siendo la lnea morada la

funcin y la curva azul la funcin .

Utilizando la grfica se observa que el intercepto es en 1 y en 0 por lo que estos

valores son los utilizados para ser limites de nuestra integral

Dadas las ecuaciones de Centroide

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Se obtiene el rea entre curvas, siendo esta la resta de la funcin superior menos la

inferior.

Se integra de manera simple

Se evala el resultado de la integral y se obtiene el rea:

Sustituyendo en las ecuaciones de Centroide el valor del rea las ecuaciones son:

Tema 4

a) Dada la componente rectangular. (2,-2)

Dada la grfica anterior se obtiene

Luego se obtiene r

Dado que deben de ser mayores a 0

La coordenada rectangular que cumple con las condiciones es:

b) Dada la funcin r=- , para .

0.5 1.0 1.5 2.0

2.0

1.5

1.0

0.5

Se tabulan los datos con la siguiente tabla:

0

0

Dicha grfica recibe el nombre de Espirla de Arquimides.

C) Se debe de graficar la siguiente funcin

Indicando en qu puntos pasa por el polo.

6 4 2 2

1

1

2

3

4

La grfica se realice por medio de simetra con el eje polar debido a que

graficando los puntos positivos por medio de simetra se grfica lo dems.

0

-1 1 3

d)

Para realizar el ptalo es conveniente encontrar los puntos donde la grfica intercepta

el polo.

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

Puntos donde el sea haga 0 son:

Ya que la funcin queda de la forma siguiente

Dados estos Valores se puede encontrar los puntos donde la funcin se hace 0, por lo

que son los puntos de inicio para evaluar el intervalo y obtener cualquiera de los 3

ptalos.

Tema 5

a) Se requiere la superficie de un rea proveniente de la revolucin de una funcin la

cual es:

alrededor del eje x

Esta al revolucionar con respecto al eje x forma un paraboloide.

Dada la ecuacin:

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Se obtiene

Sustituye:

b) Se plantean ecuaciones paramtricas

Se supone

Por consiguiente:

Ecuacin Paramtrica:

c) rea con ecuaciones paramtricas:

Dada la ecuacin

Sustituyendo la ecuacin del rea superficial utilizando ecuaciones paramtrica es:

Tema 6

Se tiene dos ecuaciones paramtricas y se quiere observar el movimiento de una

partcula

Las funciones son las siguientes:

Se realiza una tabla de valores para obtener los valores en (x,y) para as graficar el

movimiento.

Por lo cual se genera la tabla:

t

0

x 0 1 2 1 0

y 0 -2 0 2 0

Con el valor de x y y se traza la grfica

La tendencia es esta debido a que el intervalo viene de

b) Se desea plantear la integral para encontrar la longitud de la curva.

Dadas las ecuaciones de X y Y anteriores se procede a derivarlas

Dadas las derivadas y con la siguiente ecuacin se obtiene la longitud de curva

Sustituyendo con las ecuaciones que se posee:

1,2

1,-2

2,0 0,0

Tema 7

a)

b)

La realizacin de estas grficas es por medio de la tabulacin de puntos y luego

colocarlas en un plano. Y as determinar qu tipo de grficas son.

En este caso podemos determinar si es una elipse si sabemos que dada esta

condicin se puede modificar cada una de las funciones para presentar est en forma

de ecuacin de elipse siendo el caso de la grfica b.

La ecuacin por tanto indica que:

ed= 2

e=2/3

d=3

Por ende la grfica b es una elipse

Caso contrario de la grfica a) que es una parbola.

ed=2

e=1

d=2

a)

2 1 2

b)

1 2 -6 -2

b) Para determinar el rea se deben de encontrar los puntos de intercepcin por lo que

se igualan ambas ecuaciones

Despejando para el angulo:

15 10 5 5 10

8

6

4

2

2

Debido a que el otro intercepto esta a una distancia de se le suma para obtener el

otro punto.

Dada la ecuacin de rea entre ecuaciones polares:

Por lo que introducidas las funciones el rea que plantea la integral es: