Càlcul infinitesimal per al batxilleraten el que las modernas tecnologías actuales permiten, por...
277
CÀLCUL INFINITESIMAL 2n Batxillerat Amb tots els problemes PAU 1998-2019 Gerard Romo Garrido
Transcript of Càlcul infinitesimal per al batxilleraten el que las modernas tecnologías actuales permiten, por...
CÀLCUL INFINITESIMAL
2n Batxillerat
Amb tots els problemes PAU 1998-2019
Gerard Romo Garrido
Toomates Cool·lección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados
mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras.
Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un
hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales
pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una
bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet,
pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a
aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.
Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más
injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el
conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf".
El conocimiento no es una mercancía.
El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos
materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.
Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos
se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar
su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a
Actualmente, Toomates Cool·lección consta de los siguientes libros:
GA Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23 portada
PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7
AG Àlgebra (Llibre de text) CAT pdf 1 2 3 4
PA Álgebra (Problem-solving) (en preparación)
pdf doc
AR Teoría de números (Problem-solving) pdf doc
GN Geometria analítica (Llibre de text) CAT pdf doc
TR Trigonometria (Llibre de text) CAT pdf doc
PT Trigonometría (Problem-solving) pdf doc
CO Nombres complexos (Llibre de text) CAT pdf doc
PC Números complejos (Problem-solving) pdf doc
DE Desigualdades pdf doc
AL Àlgebra Lineal 2n batxillerat CAT pdf doc
GL Geometria Lineal 2n batxillerat CAT pdf doc
CI Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat CAT pdf 1 2
PL Programació Lineal 2n batxillerat CAT pdf doc
PT Compendium PAU TEC 1998-2019 CAT pdf
PS Compendium PAU CCSS 1998-2019 CAT
PM Problemas de Matemáticas pdf doc
Versión de este documento: 18/01/2020
www.toomates.net
Índex
1 Límits i indeterminacions. →
1.1 Elements notables d’una funció.
1.2 Concepte de límit.
1.3 Indeterminació / amb funcions racionals.
1.4 Indeterminació / amb ordre de creixement.
1.5 Indeterminació 0/0 amb funcions racionals..
1.6 Indeterminació 0/0 amb arrels quadrades.
1.7 Indeterminació 0/k amb funcions racionals.
1.8 Indeterminació 0∞.
2 Funcions racionals sense derivació. →
2.1 Taula de l’estudi d’una funció racional.
2.2 Exercicis resolts d’estudi de funcions racionals.
2.3 Problemes PAU CCSS amb funcions racionals sense derivació.
3 Continuïtat. →
3.1 Definició.
3.2 Continuïtat de funcions definides a trossos.
3.3 Problemes PAU CCSS amb continuïtat de funcions definides a trossos.
3.4 Continuïtat de funcions definides a trossos amb paràmetres.
3.5 Teorema de Bolzano i aplicacions. Teorema de Weirestrass.
4 Derivada d’una funció en un punt. →
4.1 Taxa de variació mitjana.
4.2 Concepte de derivada d’una funció en un punt.
4.3 Creixement, decreixement i extrems relatius.
4.4 Propietats de les funcions derivables.
4.5 Derivabilitat amb funcions definides a trossos.
4.6 Curvatura.
5 Funcions polinòmiques amb derivació. →
5.1 Primera derivada de funcions polinòmiques.
5.2 Estudi de funcions polinòmiques mitjançant derivació.
5.3 Problemes PAU TEC amb funcions polinòmiques.
5.4 Problemes PAU CCSS amb funcions polinòmiques.
6 Funcions racionals amb derivació. → 6.1 Derivada del producte, potència i quocient de funcions.
6.2 Estudi de funcions racionals (sense segona derivada).
6.3 Estudi de funcions racionals (amb segona derivada).
6.4 Problemes PAU TEC amb funcions racionals i derivació.
6.5 Problemes PAU CCSS amb funcions racionals i derivació.
7 Tècniques de derivació. →
7.1 Taula de derivades de funcions elementals.
7.2 Àlgebra de derivades.
7.3 Regla de la cadena.
7.4 Pràctica amb derivades.
7.5 Derivació de polinomis i funcions racionals amb la Regla de la Cadena.
7.6 Derivació de funcions radicals.
8 Recta tangent.→
8.1 Concepte de recta tangent.
8.2 Determinació de la recta tangent.
8.3 Determinació del punt de tangència.
8.4 Recta normal a la gràfica d’una funció.
9 Funcions exponencials i logarítmiques. →
9.1 Extrems relatius de funcions exponencials i logaritmes.
9.2 Problemes PAU TEC amb funcions exponencials i logarítmiques.
9.3 Problemes PAU CCSS amb funcions exponencials i logarítmiques.
10 Funcions trigonomètriques. → 10.1 Pràctica derivant funcions trigonomètriques.
10.2 Recta tangent amb funcions trigonomètriques.
11 Problemes d’optimització. →
11.1 Resolució de problemes d’optimització.
11.2 Problemes PAU TEC d’optimització.
11.3 Problemes PAU CCSS d’optimització.
12 Regles de L’Hôpital. →
12.1 Regla de L’Hôpital fonamental.
12.2 Altres indeterminacions que es poden resoldre amb L’Hôpital.
13 Integral indefinida, definida i àrea. →
13.1 Integral indefinida.
13.2 Integral definida.
13.3 Teorema fonamental del càlcul. Regla de Barrow.
13.4 Determinació d’àrees amb funcions polinòmiques.
14 Tècniques d’integració. →
14.1 Integrals immediates.
14.2 Integració per substitució.
14.3 Integració per parts.
14.4 Integració de funcions racionals.
14.5 Substitucions trigonomètriques.
14.6 Determinació d’àrees amb funcions en general.
15 Llistes d’exercicis de repàs general. →
Les 21 funcions fonamentals. →
Solucions. →
Links d’interès. →
1 Límits i indeterminacions.
1.1 Elements notables d’una funció.
1.1.1 Definició. Funció.
Una funció entre dos conjunts és una relació que assigna a cada element del primer un
sol element del segon. Aquest últim element rep el nom d’imatge de l’element del
primer. S’acostuma a designar la funció amb una lletra, per exemple f , i si un element
del primer conjunt és x, la seva imatge es designa per )(xf .
El primer conjunt s’anomena domini de la funció. Quan una funció entre nombres ve
donada per una regla i no s’explicita quin és el domini, s’entén que és el conjunt més
gran en el qual la regla es pot aplicar.
El subconjunt del segon conjunt format per totes les imatges del domini rep el nom
d’imatge o recorregut de la funció.
La gràfica de la funció serà el conjunt de punts del pla del tipus )(, xfx
1.1.2 Domini de definició.
Les funcions IRIRf : no estan definides necessàriament per a tots els valors de x.
Direm que f no està definida per a px quan no existeix )( pf . En cas contrari
direm que la funció està definida per a px . El domini de definició d’una funció és el
conjunt de punts )( fDom per als quals la funció està definida.
1.1.3 Proposició. Punts de no definició de les funcions fonamentals.
Trobarem punts de no definició, és a dir, punts fora del domini, als següents casos:
a) Funcions racionals: On s’anul·la el denominador:
)(
)()(
xg
xhxf i 0)( xg
Recorda: No està definida encara que també s’anul·li el numerador. No existeix 0/0.
b) Arrel quadrada: Per a valors d’x negatius.
xxf )( i 0x
i en general qualsevol arrel d’índex parell: n xxf )( per a 0x
c) Logarítmiques: Per a valors d’x negatius o zero.
)(log)( xxf a i 0x
Recorda: Existeix 00 però no existeix )0log(
d) Tangent: Per a 2
x .
)tan()( xxf i ,...2
5,
2
3,
2
x
1.1.3 Punt de tall amb l’eix Y.
És el possible punt de tall de la gràfica de la funció amb l’eix d’ordenades (el vertical).
Per trobar-lo hem d’avaluar la funció: )0(f .
1.1.4 Punts de tall amb l’eix X.
Són els possibles punts de tall de la gràfica de la funció amb l’eix d’abscisses
(l’horitzontal)
Per trobar-los hem de resoldre l’equació 0)( xf .
1.1.5 Simetria respecte de l’eix d’ordenades.
Això vol dir que per a qualsevol x del domini de la funció )(xf la imatge de x i del seu
oposat x ha de ser la mateixa:
)()( xfxf
Aquestes funcions es diuen funcions parelles.
1.1.6 Simetria respecte de l’origen de coordenades.
Això vol dir que per a qualsevol x del domini de la funció )(xf la imatge de x i del seu
oposat –x han de ser oposades:
)()( xfxf
Aquestes funcions es diuen funcions senars.
1.2 Concepte de límit.
1.2.1 Definició tècnica. Límit d’una funció en un punt.
Límit finit en un punt.
Sigui :)(xf . Direm que el límit d’una funció quan x s’apropa a a és b si
bxfxabxfax
)(0|0,0)(lim
Intuïtivament, f(x) s’acosta a b en la mesura que x s’acosta a a.
En altres mots, es pot fer f(x) tant prop de b com es vulgui sobre un interval prou petit al
voltant de a.
Límits infinits en un punt.
MxfaxMxfax
)(0|0,0)(lim
MxfaxMxfax
)(0|0,0)(lim
En altres mots, es pot fer f(x) tant a proa de com es vulgui, sobre un interval proa
petit al voltant de a.
Límit d’una funció a l’infinit.
bxfMxMbxfx
)(|0,0)(lim
És a dir, es pot fer f(x) tant a prop de l com es vulgui, a partir d’un valor M prou gran.
Límit infinit d’una funció a l’infinit.
NxfMxMNxfx
)(|0,0)(lim
)(lim xfx
si per a valors molt grans de x, els termes corresponents de f(x) es fan
més grans que qualsevol nombre prefixat.
NxfMxMNxfx
)(|0,0)(lim
)(lim xfx
si per a valors molts grans de x, els termes corresponents de f(x) es fan
més grans en negatiu que qualsevol nombre prefixat.
De la mateixa manera es defineixen
)(lim xfx
i
)(lim xfx
1.2.2 Àlgebra de límits.
Si 1)(lim lxfax
i 2)(lim lxgax
llavors
a) 21)()(lim llxgxfax
b) 21)()(lim llxgxfax
c) 0)(
)(lim 2
2
1
lsil
l
xg
xf
ax
d) 1)(lim lkxfkax
e) realnombreunéslsilxfllxg
ax
22
11
)()(lim
1.2.3 Les indeterminacions.
Al 99.9% dels casos: )()(lim afxfax
, és a dir, per determinar un límit només cal
avaluar la funció en aquest punt.
Però al 0.1% dels casos.... no podem fer-lo d’aquesta manera, són les anomenades
indeterminacions:
1) 2) 0 3) 0
0 4)
5) 1 6) 0 7) 00
1.2.4 Observació. Truco per calcular aproximadament un límit.
En general, el valor de )(lim xfax
, en ax serà aproximadament el valor de la funció
per a un valor 'ax molt pròxim, per exemple, a una centèsima:
)01.0()(lim
afxfax
Exemple:
Ens demanen calcular x
x
x
sinlim
0.
Ens trobem davant d’una indeterminació 0/0 i suposem que no coneixem cap tècnica per
resoldre-la (Hopital). Podem prendre un punt molt pròxim a 0 i avaluar:
101.0
)01.0sin(sinlim
0
x
x
x (Recorda que has de tenir la calculadora en Radians)
1.3 Indeterminació / amb funcions racionals.
1.3.1 Esquema principal.
Donada una funció racional )(
)()(
xq
xpxf , amb p(x) i q(x) polinomis,
1. Si )()( pgradqgrad , llavors 0)(lim
xfx
Exemple: 733
4452)(
25
23
xx
xxxxf , 0)(lim
xf
x
2. Si )()( pgradqgrad , llavors kxfx
)(lim ,
on k és el quocient entre el coeficient del monomi de grau màxim del numerador
i el coeficient del monomi de grau màxim del denominador.
Exemple: 33
124)(
2
2
x
xxxf ,
3
4)(lim
xf
x
Tant en el cas 1 com en el 2, parlarem d’asímptotes horitzontals.
3. Si )()( qgradpgrad , llavors
)(lim xfx
En particular, si 1)()( qgradpgrad , tindrem una asímptota obliqua:
quan x creix, els valors de la funció tendeixen als valors d’una recta baxy ,
1.3.2 Determinació d’una asímptota obliqua.
Recordem que si )(
)()(
xq
xpxf , amb p(x) i q(x) polinomis, i 1)()( qgradpgrad ,
llavors
)(lim xfx
en la forma baxy .
Determinació mitjançant límits:
x
xfa
x
)(lim
, i axxfb
x
)(lim
Determina l'asímptota obliqua de la funció: 2
12)(
2
x
xxf
22
12lim
)(lim
2
2
xx
x
x
xfa
xx
42
14lim2
2
12lim)(lim
2
x
xx
x
xxaxfb
xxx
Per tant, la funció f(x) té com a asímptota obliqua la recta 42 xy
Determinar l’asímptota obliqua de la funció 32
1)(
2
x
xxf
5.02
1
32
1lim
)32(
1lim
)(lim
2
22
xx
x
xx
x
x
xfa
xxx
75.04
3
2
23
32
12
3
lim2
1
32
1lim)(lim
*2
x
x
xx
xaxxfb
xxx
32
12
3
32
2
3
2
21
32
322
11
32
322
1
32
1
2
1
32
1*
22222
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x
Per tant, l’asímptota obliqua és 75.05.04
3
2
1 xxy
Determinació mitjançant una divisió de polinomis.
Una forma alternativa de trobar-la és fent la divisió del numerador entre el
denominador.
Determineu l’asímptota obliqua de la funció 3
22)(
2
x
xxxf
x2 -2x +2 x -3
x2 -3x x +1
/ x +2
x -3
/ 5
Per tant , l’asímptota obliqua de la funció és 1 xy
Determineu l’asímptota obliqua de la funció 1
573)(
2
x
xxxf
3x2 +7x -5 x + 1
3x2 +3x 3x + 4
4x -5
4x 4
-9
La funció té l’asímptota obliqua y = 3x + 4
1.4 Indeterminació / amb ordre de creixement.
Direm que l’infinit )(xf quan ax és d’ordre superior a l’infinit )(xg quan
ax si
)(
)(lim
xg
xf
ax
i escriurem )()( xgxf quan ax
Direm que l’infinit )(xf quan ax és d’ordre inferior a l’infinit )(xg quan ax
si
0)(
)(lim xg
xf
ax
i escriurem )()( xgxf quan ax
Direm que l’infinit )(xf quan ax i l’infinit )(xg quan ax són del mateix
ordre si
0)(
)(lim
kxg
xf
ax
i escriurem )()( xgxf quan ax
Infinits d’ordre k.
Direm que l’infinit )(xf quan ax és d’ordre k si és equivalent al polinomi kxxg )(
És molt fàcil comprovar que qualsevol polinomi de grau k és d’ordre k.
Exemple: 53)( xxf i xxg )( són infinits del mateix ordre quan x perquè
35
3lim)/53(
lim53
lim)(
)(lim
xx
xx
x
x
xg
xf
xxxx
Comparació d’infinits exponencial, potencial, radical i logarítmic.
Quan x , Tota funció exponencial xa amb base 1a és d’ordre superior a
qualsevol funció potencial x n amb 0n , i tota funció potencial és d’ordre superior a
tota funció logarítmica xblog amb 1b . Aquesta comparativa també inclou les
funcions radicals n xxf )( , només cal escriure el radical en forma d’exponent
fraccionari: nn xxxf /1)( :
xxxa bmnx log
1.5 Indeterminació 0/0 amb funcions racionals.
Una funció racional és una funció donada com a quocient de dos polinomis:
)(
)()(
xQ
xPxf , on P(x) i Q(x) són polinomis.
Si per a ax tenim que 0)(0)( aQiaP ens trobem en un cas d’indeterminació del
tipus 0
0.
Per a resoldre aquesta indeterminació, factoritzem numerador i denominador,
simplifiquem i calculem el límit de la expressió simplificada:
axsiaxxQ
axxP
xQ
xPxf
)/()(
)/()(
)(
)()(
El resultat pot ser una discontinuïtat evitable:
kxfxfxx
)(lim)(lim
o una asímptota vertical (vegeu apartat 1.7)
)(lim xfax
Exercicis:
a) xx
xxx
x 4
4lim
2
23
0
b)
xx
x
x 3
9lim
2
2
3
1.6 Indeterminació 0/0 amb arrels quadrades.
Per resoldre una indeterminació 0
0 amb arrels quadrades hem de multiplicar pel
conjugat.
Calcula: xx
x
x 2
35lim
2
2
2
Observem que ens trobem davant d'una indeterminació 0/0:
0
0
222
352
2
35lim
2
2
2
2
2
xx
x
x
Multipliquem i dividim pel conjugat:
3
1
12
4
35
2
352
22
352
4
352
35
352
35
352
3535
2
35
22
222
2
22
22
22
22
2
22
22
2
2
xxx
x
xxx
xx
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
x
Per tant 3
1
2
35lim
2
2
2
xx
x
x
Exercicis.
1.
a) 1
1lim
2
1
x
x
x b)
xx
xx
x
20
22lim c)
22
2lim
2
x
x
x
d) x
x
x
82
53lim
2 e)
22
11lim
2
x
x
x
2.
a) 2
2lim
2
x
x
x b)
3
3lim
3
x
x
x c)
x
x
x
22lim
0
d)
xx
x
x 2lim
0
e) 5
411lim
5
x
x
x f)
x
x
x
2
4lim
2
2 g)
x
x
x
2
16lim
2
4
1.7 Indeterminació 0/k amb funcions racionals.
En general, si a una funció racional )(
)()(
xQ
xPxf , i ax es compleix que
0)( kaP i 0)( aQ , llavors
)(lim xfax
.
Cal diferenciar els quatre possibles casos:
Per determinar a quin cas correspon, avaluarem la funció en dos punts propers a ax ,
un per la dreta i un altre per l’esquerra.
A)
)(lim xfax
)(lim xfax
B)
)(lim xfax
)(lim xfax
C)
)(lim xfax
)(lim xfax
D)
)(lim xfax
)(lim xfax
1.8 Indeterminació 0∞.
1.8.1 Mètode de la fórmula.
Si 1)(lim
xfx
i
)(lim xgx
, es verifica que
)()1)((lim)()(lim
xgxfxg
x
xexf
Calcula:
13
2
2
5
3lim
x
x x
x
15
3)(
2
2
x
x
xxf
x
xxg 13)(
Tenim, doncs, una indeterminació 1∞. Apliquem la fórmula:
5
2
5
53
5
53
5
5
5
31
5
31)(
222
22
2
2
2
2
2
2
xxx
xx
x
x
x
x
x
xxf
05
2613
5
2131)(
22
x
x
xx
xxxf
15
3lim 0
13
2
2
e
x
xx
x
1.8.2 Mètode de les plantilles.
Es tracta d’adaptar les expressions a una de les dues plantilles següents:
(A) k
u
ue
u
k
1lim (B) kv
vevk
/1
01lim
Calcula 2
12
52
32lim
x
x
x x
x
Estem davant d’una indeterminació 1 , que resoldrem reescrivint l’expressió de la
forma A:
52
81
52
8
52
52
52
852
52
32
xxx
x
x
x
x
x
52
152
52
52
52
81
52
81
52
32
xxx
x
xxx
x
42/82/182
1
52
152
2
1
52
152
2
1
2
2
2
52
81
52
81
52
32
eeex
xx
x
xx
x
xx
x
x
xxx
x
ja que 2
1
102
1
2
1
52
12
22
x
xx
x
x
x
x
Calcula x
xx
sin/1
031lim
Estem davant d’una indeterminació 1 , que resoldrem reescrivint l’expressió de la
forma B:
xxxxxxx
/1/313131
313sin//1)sin/1(/1
sin/1/1sin/1
31313131 eexxxxxxxxxxx
xxxx
ja que 1sin
0
x
x
x
2 Funcions racionals sense derivació.
Una funció racional és una funció donada com a quocient de dos polinomis:
)(
)()(
xQ
xPxf , on P(x) i Q(x) són polinomis.
2.1 Taula de l’estudi d’una funció racional.
a) Domini de definició.
Una funció racional està definida sempre que no s’anul·li el denominador.
0)(|)( xQxfDom
b) Indeterminacions 0/0.
Si per a ax tenim que 0)(0)( aQiaP ens trobem en un cas
d’indeterminació del tipus 0
0. Vegeu apartat 1.5.
c) Punt de tall amb l’eix Y.
Avaluem la funció per a )0(0 fx
d) Punts de tall amb l’eix X.
Una funció racional )(
)()(
xQ
xPxf té un zero (punt de tall amb l’eix X) en
ax si 0)(0)( aQiaP , és a dir, s’anul·la el numerador però no el
denominador en a.
La funció es perfectament contínua en aquest punt.
e) Asímptotes verticals.
Una funció racional )(
)()(
xQ
xPxf té una asímptota vertical en ax si
0)(0)( aQiaP , és a dir, s’anul·la el denominador però no el numerador.
També poden aparèixer asímptotes verticals a algunes de les indeterminacions
0/0.
En particular, la funció no està definida en x = a, i per tant té una discontinuïtat
en aquest punt.
Vegeu apartat 1.5.
f) Comportament d’una funció racional en l’infinit.
Podem trobar infinits, asímptotes horitzontals i asímptotes obliqües. Vegeu
apartat 1.3.
Nota importat:
La gràfica de la funció mai pot creuar una asímptota vertical. Però pot creuar tantes
vegades com vulgui una asímptota obliqua o una asímptota horitzontal.
g) Gràfica.
2.4 Exercicis resolts d’estudi de funcions racionals.
a) Punts de tall amb l’eix X.
b) Punt de tall amb l’eix Y.
c) Asímptotes verticals.
d) Comportament de la funció en l’infinit.
e) Gràfica (esquemàtica) de la funció amb la informació dels apartats anteriors.
1. 54
3)(
2
xx
xxf
2. 54
86)(
2
2
xx
xxxf
3. 1
)3()(
2
x
xxf
4. 6
652)(
2
23
xx
xxxxf
5. 3 2
3 2
7 20 96( )
9 14 24
x x xf x
x x x
6. 2
3 2
11 28( )
6 30
x xf x
x x x
7. 3 2
2
3 25 21( )
3 10
x x xf x
x x
2.3 Problemes PAU CCSS amb funcions racionals sense derivació.
1. Sabem que la funció 1
)(
cx
baxxf passa pel punt (2, –5) i que les rectes x = 1 i
y = 2 en són les asímptotes vertical i horitzontal, respectivament. Calculeu a, b i c.
Solució PAU CAT CCSS SET 2018 3.6
2. Una empresa ven un producte a un preu de p euros. El nombre d’unitats venudes
depèn del preu que fixem segons la funció
p
ppV
1030)(
a) Demostreu que, en augmentar els preus, les vendes disminueixen.
b) És possible que l’empresa vengui 20 unitats del producte? Si el preu augmenta
indefinidament, què passarà amb les vendes?
Solució PAU CAT CCSS SET 2016 1.2
3. S’ha observat que el nombre d’entrades que es venen al cinema d’un poble està lligat
al sou mitjà x de la població, expressat en milers d’euros, segons la funció
1
50)(
2
x
xxN .
a) Determineu el sou mitjà de la població que correspon a la màxima venda d’entrades i
justifiqueu la resposta.
b) Si suposem que els sous de la població creixen indefinidament, com incidiria aquest
fet en la venda d’entrades del cinema?
Solució PAU CAT CCSS SET 2015 5.4
4. Donada la funció següent:
1)(
2
2
x
xxf
a) Determineu-ne el domini i els valors de x per als quals el signe de la funció f és
negatiu.
b) Determineu les asímptotes horitzontals i verticals de la funció f.
Solució PAU CAT CCSS SET 2010 2.6
5. Trobeu les equacions de les asímptotes verticals i obliqües de la funció
182
5)(
2
23
x
xxxg
PAU CAT CCSS SET 1998 2.4
3 Continuïtat.
3.1 Concepte de continuïtat d’una funció en un punt.
3.1.1 Definició. Continuïtat d’una funció (Interpretació visual).
Una funció té una discontinuïtat en un punt quan la seva gràfica està trencada. Si la
gràfica fos una mànega d'aigua, en aquest punt tindria una fuita. Les discontinuïtats
poden ser de tres tipus: evitables, de salt i asímptotes verticals.
Discontinuïtat evitable Discontinuïtat de salt
Si una funció no té discontinuïtats, direm que és contínua.
3.1.2 Definició. Continuïtat d’una funció (Definició formal).
Direm que una funció )(xfy és contínua en el punt “a” si existeixen i són iguals els
següents valors:
a) )(lim xfax
b) )(lim xfax
c) )(af
Els valors )(lim xfax
i )(lim xfax
s'anomenen límits laterals.
3.1.3 Alguns tipus de discontinuïtats notables.
1. Discontinuïtat de salt: )(lim)(lim xfxfaxax
Exemple:
32
3)(
xsi
xsixxf té una discontinuïtat de salt en x = 3.
2. Discontinuïtat evitable: )()(lim)(lim afxfxfaxax
Exemple:
53
52)(
xsi
xsixf té una discontinuïtat d’aquest tipus a x = 5
També les trobem en algunes indeterminacions 0/0.
Exemple: 2
2)(
2
x
xxxf té una discontinuïtat d’aquest tipus a x = 2
3. Asímptotes verticals:
)(lim xfax
o bé
)(lim xfax
Normalment trobem aquest tipus de discontinuïtat en funcions racionals, quan el
denominador val zero per a x=a i el numerador no.
Exemple: 3
1)(
xxf té una discontinuïtat d’aquest tipus a x = 3
3.1.4 Continuïtat de les funcions fonamentals.
1. La funció constant kxf )( és contínua en ),(
2. La funció potencial nxxf )( , amb n>0 és contínua en ),(
3. Les funcions irracionals n xxf )( són contínues en el seu domini.
,0)(n xDom si n és parell
),()( n xDom si n és senar
4. La funció exponencial xaxf )( , 0a , 1a és contínua en ),(
5. La funció logarítmica xxf alog)( , 0a , 1a són contínues al seu domini de
definició: ),0(
6. Les funcions trigonomètriques )sin()( xxf i )cos()( xxf són contínues en
),( .
La funció )tan()( xxf és contínua en tot el seu domini
kxDom2
),(,...2
5,
2
3,
2),())(tan(
7. Les funcions trigonomètriques inverses )arcsin()( xxf i )arccos()( xxf són
contínues en el seu domini [ -1 , 1 ].
3.1.5 Continuïtat amb les operacions amb funcions.
Si les funcions )(xf i )(xg són contínues en ax , llavors també són contínues en
ax les següents funcions:
1. La funció suma: )()( xgxf
2. La funció diferència: )()( xgxf
3. La funció producte: )()( xgxf
4. La funció quocient: )(
)(
xg
xf quan 0)( ag
5. Si )(xg és contínua en ax i )(xf és contínua en )(ag , llavors la funció composta
))(()( xgfxgf també és contínua en ax
Una conseqüència dels resultats anteriors és que qualsevol funció polinòmica és
contínua en tota la recta ),( .
3.2 Continuïtat de funcions definides a trossos.
3.2.1 Mètode per determinar la continuïtat de funcions definides a trossos.
Objectiu : Estudiar la continuïtat d’una funció definida a trossos al voltant del seu punt
frontera ax :
axsi)(
axsi)()(
xh
xgxf
i suposem que )(xg i )(xh són funcions contínues en ax .
Procediment:
Hem d’estudiar tres valors :
)(lim xfAax
)(lim xfBax
)(afC
i comprovar que CBA .
El valor C no ofereix dificultat. Només cal veure quina de les dues funcions )(xg
o )(xh determina la funció en ax .
Anem a estudiar A:
A l’esquerra del punt a, tenim que )()( xgxf , i per tant
)(lim)(lim xgxfAaxax
Si a més a més, la funció )(xg és contínua en ax , es complirà, per definició de
continuïtat, que:
)()(lim)(lim agxgxgaxax
Per tant
)()(lim)(lim agxgxfAaxax
.
El valor B s’obté de la mateixa manera:
Si )(xh és contínua en ax , tenim que
)()(lim)(lim ahxhxfBaxax
Així doncs, si )(xh i )(xg són dues funcions contínues en ax , la determinació dels
límits laterals es redueix a l’avaluació de les funcions al punt frontera:
f és contínua en ax )()( ahag
3.2.2 Exercicis i problemes de continuïtat de funcions definides a trossos.
1. La funció f(x) està definida de la següent manera:
15
121
23
)(
xsix
xsi
xsix
xf
a) Dibuixeu la gràfica de la funció.
b) Determina els punts de tall de la funció amb els eixos.
c) Estudieu la continuïtat de la funció.
2. La funció f(x) està definida de la següent manera:
023
022)(
2 xsixx
xsixxf
a) Dibuixeu la gràfica de la funció.
b) Determina els punts de tall de la funció amb els eixos.
c) Estudieu la continuïtat de la funció.
PAU TEC 2006 3.4
3. Representa gràficament i estudia la continuïtat i les següents funcions:
0
0)(
xsie
xxxf
x
4. Representa gràficament i estudia la continuïtat de la següent funció
122
11)(
2
xx
xxxf
5. Representa gràficament i estudia la continuïtat de la següent funció:
95
934
312
)(
xx
x
xx
xf
3.3 Problemes PAU CCSS amb continuïtat de funcions definides a trossos.
1. Considereu la funció
2
21
132
)(
2 xsix
xsibax
xsix
xf
Trobeu el valor de a i b perquè la funció sigui contínua per a tots els nombres reals.
Solució PAU CAT CCSS SET 2018 3.1
2. Considereu la funció següent :
01
02)(
2
xsie
xsibxxxf
x
a) Determineu el valor de b perquè la funció f sigui contínua en el punt x = 0.
Justifiqueu si f pot ser discontínua en algun altre punt.
a) b) Justifiqueu si, per a valors positius de x, la funció f és creixent o decreixent.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 1.2
3. Considereu la funció següent:
43
421
23
)(
xsi
xsix
xsi
xf
a) Feu-ne la representació gràfica.
b) Digueu en quins punts és discontínua i quin tipus de discontinuïtat té.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2009 3.1
4. Un hivernacle està destinat al cultiu de tomàquets. Se sap que les tomaqueres només
produeixen fruits si la temperatura dins l’hivernacle està entre 15 °C i 40 °C. En la
gràfica següent es mostra la producció de tomàquets en kilograms, segons la
temperatura que es manté a l’hivernacle.
a) Si la temperatura està entre 15 ºC i 29 ºC, digueu quina variació experimenta la
producció en augmentar la temperatura 1 °C. Calculeu aquesta variació quan la
temperatura està entre 30 °C i 39 °C.
b) Definiu una funció a trossos que expressi la producció segons la temperatura.
c) Trobeu les temperatures per a les quals s’obté el 75 % de la producció màxima.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2008 5.6
5. Considerem la funció definida a trossos següent:
xsibx
xsix
xsiax
xf
13
125
24
)( 2
a) Calculeu els valors de a i de b per tal que f(x) sigui contínua per a tot x.
b) Feu un gràfic de la funció obtinguda en l’apartat anterior.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2007 2.2
6. Considereu la funció :
023
022)(
2 xsixx
xsixxf
b) Dibuixeu la gràfica.
c) Estudieu-ne la continuïtat.
d) Determineu els extrems relatius. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2006 3.4
7. Considereu la funció:
023
02)(
2
3
xsixx
xsixxxf
a) Estudieu-ne la continuïtat.
e) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció.
f) Feu un gràfic aproximat de la funció.
g) Trobeu els extrems relatius i absoluts en l’interval [-2,2].
Solució PAU CAT CCSS SET 2006 4.5
8. Sigui
1)(
1)(
2
1
xsiax
xsiexf
x
Per a quins valors del paràmetre a la funció és contínua?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2004 3.3
9. Considereu la funció
0
3
1
04
)(
2
xx
xx
xf .
a) Feu-ne una representació gràfica aproximada. Justifiqueu per a quins valors de x la
funció és discontínua.
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt d’abscissa x=4.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2011 4.4
3.4 Continuïtat de funcions definides a trossos amb paràmetres.
La funció f(x) està definida de la següent manera:
23
21)(
2
xax
xaxxxf
Determina el valor del paràmetre a per al qual aquesta funció és contínua.
Per a valors 2x aquesta funció és contínua, perquè és polinòmica (de grau 2 a
l’esquerra de 2 i de grau 1 a la dreta del 2)
Per a 2x , hem d’aplicar la definició de continuïtat:
)2()(lim)(lim22
fxfxfxx
1241221lim)(lim 22
22
aaaxxxf
xx
aaxxfxx
)2(33lim)(lim22
124122)2( 2 aaf
Per tant, la condició de continuïtat en 2x equival a l’equació
aa 23124
aaaaaaaa 112614612423124
Donada la funció
21
2123)(
2
2
xxbxa
xxxxf
Determineu els valors d’a i b de forma que la funció sigui contínua i la seva gràfica
passi pel punt )1,3( .
)(xf contínua en 2x
9124
1241221)2(
912223123)(lim
1241221)(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ba
bababxaxf
xxxf
bababxaxxf
x
xx
xx
La gràfica passa pel punt )1,3( 113911331)3( 2 babaf
El sistema
1139
9124
ba
ba té una única solució que és 12,4 ba .
3.4.2 Exercicis.
1. Troba el valor de k perquè la funció següent sigui contínua:
a)
062
0)(
2 xsikxx
xkxxf
b)
1)ln(
1)(
xsikx
xxxf
c)
232
22)(
xsix
xkxxf
2. Determina els valors dels paràmetres a i b perquè la funció sigui contínua:
a)
xsibx
xsix
xax
xf
12
111
12
)( 2 b)
xsix
xsibax
xx
xf
14
12
21
)( 2
3. Determina els valors dels paràmetres a i b perquè la funció sigui contínua:
a)
1
102
04sin
)(
2 xabxx
xbabx
xx
xf x b)
11
10333
0cos
)(
2 xabxx
xbax
xax
xf x
4. Determina els valors a i b perquè la següent funció sigui contínua:
274
2132
113
)(
2
xx
xbax
xx
xf
5. Determina el valor de h perquè la funció següent sigui contínua:
352
313)(
2 xhxx
xxhxf
6. Determina el valor del paràmetre a perquè la funció següent sigui contínua:
12
11
12
)( 2
xx
x
xax
xx
x
xf
3.5 Teorema de Bolzano i aplicacions. Teorema de Weirestrass.
Teorema. Teorema de Bolzano.
Si una funció és contínua en un interval tancat ba, i 0)()( bfaf (vol dir que les
dues imatges tenen signe distint), existeix un punt c de l’interval obert ),( ba en el qual
la funció s’anul·la. Simbòlicament:
Si ba,en contínua f i suposant que
)(af i )(bf tenen signes diferents,
llavors existeix un ba,c tal que
0)( cf
La propietat és totalment intuïtiva: Si la funció és contínua i la seva gràfica ha d’unir els
punts )(, afa i )(, bfb , que són en costats diferents de l’eix d’abscisses, sense
aixecar el llapis del paper, a la força ha de tallar l’eix d’abscisses entre a i b.
Bernardo Bolzano (1781-1848), sacerdot catòlic que va fer
aportacions importants a les Matemàtiques en la primera meitat del
segle XIX. Va ser un dels primers en reconèixer que moltes de les
propietats sobre funcions contínues que semblaven òbvies exigien
una demostració. Les seves demostracions referents a la continuïtat
van ser publicades al 1850 en la seva obra pòstuma "Paradoxes de
l'infinit". Un dels seus resultats més coneguts porta el seu nom: "el
Teorema de Bolzano":
Observacions:
1. És indispensable la continuïtat en l’interval tancat. Si la funció és discontínua, la tesi
del teorema de Bolzano no es verifica necessàriament.
Un exemple pot ser x
xf1
)( , amb 1)1( f i 1)1( f , però no existeix cap c tal
que 0)( cf .
2. El teorema de Bolzano es pot usar per buscar les arrels o zeros d’una funció per
aproximacions successives. Si tenim una funció contínua en un interval tancat en els
extrems del qual té signe diferent, segons el teorema té un zero. Si subdividim aquest
interval en n parts (per exemple, en dues), o bé un dels nous extrems és un zero o la
funció canvia de signe en algun dels subintervals. Podem repetir l’operació tantes
vegades com vulguem segons l’error que ens puguem permetre en els nostres càlculs
(aquests mètodes són ideals per als ordinadors).
Problemes PAU on apareix el Teorema de Bolzano.
1. Considereu la funció x
xxxf
1
452)(
3
.
a) Calculeu-ne el domini i estudieu-ne la continuïtat. Té cap asímptota vertical?
b) Observeu que 3
2)2( f , f(0) = 4 i f(2) = –10. Raoneu si, a partir d’aquesta
informació, podem deduir que l’interval (–2, 0) conté un zero de la funció. Podem
deduir-ho per a l’interval (0, 2)? Trobeu un interval determinat per dos enters
consecutius que contingui, com a mínim, un zero d’aquesta funció.
PAU CAT TEC JUNY 2019 1.4 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 533)
2. Sigui la funció 2)( xxxf
a) Comproveu que la funció f (x) compleix l’enunciat del teorema de Bolzano a
l’interval [0, 2] i que, per tant, l’equació f (x) = 0 té alguna solució a l’interval (0, 2).
Comproveu que x = 1 és una solució de l’equació f (x) = 0 i raoneu, tenint en compte el
signe de f '(x), que la solució és única.
b) A partir del resultat final de l’apartat anterior, trobeu l’àrea limitada per la gràfica de
la funció f (x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 1.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 1.5
3. a) Donada la funció f(x) = x3 – 3x, calculeu els punts de tall amb els eixos i els
extrems relatius (si en té), i feu un esbós de la gràfica de la funció.
b) Basant-se en el gràfic anterior, i sense cap més càlcul, raoneu que la funció g(x) = x3
– 3x – 10 talla l'eix de les x en un sol punt.
c) Indiqueu, raonadament, un interval de longitud 1 en el qual es troba la solució real de
l'equació x3 –3x –10 = 0.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 5.5
Corol·lari. Teorema dels valors intermedis (Darboux).
Si )(xf és contínua en ba, , aleshores pren tots els valors intermedis entre )(af i
)(bf . Simbòlicament:
kcfbacbfafk )(|,)(),(
Demostració.
És una conseqüència immediata del teorema de Bolzano.
Corol·lari.
Si )(xf i )(xg són funcions contínues en ba, i )()( agaf i )()( bgbf , aleshores
existeix un nombre ),( bac tal que )()( cgcf .
Definició. Màxims i mínims de funcions.
Una funció )(xf té un màxim en el punt c si les imatges de tots els altres punts del
domini són menors o no són superiors. Simbòlicament:
)()(Dom(f) cen màximun té cfxfxf
De la mateixa manera definiríem el que és un mínim d’una funció. Els màxims i els
mínims s’anomenen extrems.
Teorema. Teorema de Weierstrass.
Si )(xf és una funció contínua en un interval tancat ba, , la funció té un màxim i un
mínim absoluts en aquest interval. És a dir, existeixen baMm ,, per als quals es
compleix que
)()()(, Mfxfmfbax
Demostració.
Òbviament, si hem d’unir )(, afa i )(, bfb amb una corda contínua tindrem un punt
més alt i un punt més baix.
Teorema. Teorema de Bolzano generalitzat.
La imatge contínua d’un interval tancat també ho és. Més concretament, si f és contínua
en l’interval ba, , f té un màxim en c, Mcf )( , i un mínim en d, mdf )( , la
imatge de ba, per f és Mm, i la funció és injectiva si i solament si és estrictament
monòtona.
4 Derivada d’una funció en un punt.
4.1 Taxa de variació mitjana (TVM).
Donada una funció )(xf , un punt x i un increment h, definim la taxa de variació
mitjana de la funció en el punt x, en relació a l’increment h com
h
xfhxfhxfTVM
)()(),,(
Per trigonometria, la TVM és la tangent de l’angle :
)tan(TVM o )arctan(TVM
4.2 Concepte de derivada d’una funció en un punt.
4.2.1 Definició. Derivada d’una funció en un punt.
Diem que la funció )(xf és derivable en el punt ax si existeix el límit
h
afhafhafTVMaf
hh
)()(lim),,(lim)('
00
A aquest límit, si existeix, li direm derivada de la funció en a.
4.2.2 Exemple. Derivada de la funció arrel quadrada.
Sigui xxf )( i volem determinar la seva derivada mitjançant la definició anterior.
)1(lim)()(
lim)('00
h
aha
h
afhafaf
hh
Ens trobem davant d’una indeterminació 0/0 amb arrels quadrades. Per resoldre-la,
multipliquem numerador i denominador pel conjugat:
aaaahaahah
h
ahah
aha
ahah
aha
ahah
ahaaha
hhh
hh
2
111limlimlim
limlim)1(
000
22
00
Per tant, si x
xfxxf2
1)(')(
4.2.3 Exemples. Derivada de funcions potencials mitjançant la definició.
1. kxf )(
0)('00lim0
limlim)()(
lim)('0000
xfhh
kk
h
xfhxfxf
hhhh
2. xkxf )(
kxfkkh
hk
h
kxhkxk
h
kxhxk
h
xfhxfxf
hh
hhh
)('limlim
lim)(
lim)()(
lim)('
00
000
3. 2)( xxf
xxfxhxh
xfhxfxf
hxh
hxh
h
hxh
h
xfhxf
hxhxhxhxxfhxf
hxhxhxhxf
hh2)('22lim
)()(lim)('
2)2(2)()(
22)()(
2)()(
00
2
2222
222
4. 3)( xxf
2222
00
2222322
32233223
32233
3)('333lim)()(
lim)('
33)33(33)()(
3333)()(
33)()(
xxfxhxhxh
xfhxfxf
hxhxh
hxhxh
h
hxhxh
h
xfhxf
hxhxhxhxhxhxxfhxf
hxhxhxhxhxf
hh
Apunts d’història del Càlcul Diferencial.
La invenció del càlcul infinitesimal, que compren el càlcul diferencial i el càlcul integral
s'atribueix a Leibniz juntament amb Isaac Newton.
Leibniz Newton
Leibniz començà a treballar en el càlcul l’any 1674. Les seves contribucions
matemàtiques més importants foren publicades entre 1682 i 1692. Generalment
aparegueren a Acta Eruditorum, revista que jugà un paper clau en la seva reputació com
a matemàtic i contribuí a la seva rellevància com a diplomàtic, historiador, teòleg i
filòsof.
Si bé trobem implícita la noció matemàtica de funció en la trigonometria i en les taules
de logaritmes, existents en el temps de Leibniz, aquest fou el primer, entre 1692 i 1694,
que les emprà explícitament per a denotar alguns conceptes geomètrics derivats del de
corba, com per exemple els d’abscissa, d’ordenada, de tangent, de corda i de
perpendicular o normal. Posteriorment, en el segle XVIII, el concepte de funció es
deslligaria d’associacions geomètriques. Leibniz s’avançà també a la consideració de
sistemes d’equacions lineals i al seu tractament pel mètode que després serà conegut
com a eliminació gaussiana.
D’acord amb els quaderns de Leibniz, el dia 11 de novembre de 1675 tingué lloc per
primera vegada l’ús del càlcul integral per a l’obtenció de l’àrea limitada per la corda
definida per una funció, . En relació amb aquest fet, Leibniz introduí diverses notacions
que encara són emprades en l’actualitat: el signe d’integració, , representat mitjançant
una S allargada (la inicial llatina de summa), i el signe de diferencial, d (la inicial llatina
de differentia). A més, Leibniz fou el primer a utilitzar el terme analysis situs, que en el
segle XVIII serà emprat per Euler, en el seu famós treball de 1736 en què resol el
problema dels ponts de Königsberg, i a finals del XIX per Poincaré, en un no menys
famós treball de 1895 al qual donava títol i que fou iniciador de la branca matemàtica
coneguda avui amb el nom de topologia.
Font: Arrels germàniques de la matemàtica contemporània: amb una antologia de... Per Bayer, Pilar,
Guàrdia, Jordi , Travesa, Artur, Secció de Ciències i Tecnologia.
4.3 Creixement, decreixement i extrems relatius.
4.3.1 Definició. Creixement i decreixement d’una funció.
Direm que )(xf és creixent en px si existeix un entorn ),( apap tal que
)()(, 2121 xfxfapapxx
Direm que )(xf és estrictament creixent en px si existeix un entorn ),( apap
tal que
)()(, 2121 xfxfapapxx
Si una funció és creixent, direm que és monòtona.
Anàlogament es defineix decreixent i estrictament decreixent en px .
4.3.2 Proposició.
Si )(xf és derivable
)(xf creixent en px 0)(' pf
)(xf decreixent en px 0)(' pf
Demostració.
Suposem que )(xf és derivable i creixent en px .
Si )()(0 pfhpfphph per definició de funció creixent, i per tant
0)()(
lim)('0)()(
0
h
pfhpfpf
h
pfhpf
h
perquè el límit d’una funció que pren valors positius és positiu o nul.
Un raonament similar serveix per a demostrar el cas de funció decreixent.
4.3.3 Definició. Màxims i mínims relatius.
Direm que )(xf té un màxim relatiu en px si existeix un entorn ),( apap tal
que si )()(, pfxfapapx .
Anàlogament es defineix un mínim relatiu.
Proposició. Condició necessària per ser extrem relatiu.
Si )(xf és derivable en px i hi té un mínim o un màxim relatiu, llavors 0)(' pf .
Demostració. Suposem que la funció té un màxim en px .
Si 0h , per definició de màxim 0)()()()( pfhpfpfhpf .
Per tant 0)()(
lim)('0)()(
0
h
pfhpfpf
h
pfhpf
h
Si 0h , de nou 0)()()()( pfhpfpfhpf .
Per tant 0)()(
lim)('0)()(
0
h
pfhpfpf
h
pfhpf
h
Si la funció és derivable en px llavors 0)(')(')(')(' pfpfpfpf .
Un raonament similar demostra el resultat quan f té un mínim relatiu en px .
Observació. Derivada igual a zero no implica extrem relatiu.
0)(' af no implica necessàriament que sigui un extrem relatiu. Per exemple, la
funció 3)( xxf compleix 23)(' xxf , i la seva primera derivada s’anul·la en 0x ,
però no és cap extrem relatiu, aquesta funció és sempre creixent:
Per garantir que es tracta realment d’un extrem relatiu, hem d’analitzar el signe de la
derivada en les proximitats del punt, a la dreta i a l’esquerra.
4.3.4 Criteri de la primera derivada per a determinar màxims i mínims relatius.
Una funció presenta un extrem relatiu en ax si, en aquest punt, la funció canvia de
creixent a decreixent (màxim relatiu) o de decreixent a creixent (mínim relatiu).
Observació: En 4.6.3 veurem un criteri alternatiu mitjançant la segona derivada.
4.3.5 Observació. Diferència entre )(xf i )(' xf .
Entre )(xf i )(' xf només canvia una tilde, però representen conceptes totalment diferents:
)(xf
Sense tilde ens informa de la altura de la
gràfica al punt x respecte de l’eix X
)(' xf
Amb tilde ens informa de la inclinació de
la gràfica al punt x
0)( xf
Indica que la gràfica de la funció està per
sobre de l’eix X
0)(' xf
Indica que la gràfica de la funció és
creixent
0)( xf
Indica que la gràfica de la funció està per
sota de l’eix X
0)(' xf
Indica que la gràfica de la funció és
decreixent:
0)( xf
Indica que la gràfica de la funció està just a
l’eix X
0)(' xf
Indica que la gràfica de la funció és
horitzontal:
4.3.6 Problemes PAU amb el concepte de derivada.
1. La gràfica corresponent a la derivada d’una funció f(x) és la següent:
a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínims relatius
de f(x).
b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x).
Solució CAT TEC JUNY 2011 4.3
2. En la figura següent es representen dues funcions. L’una és la derivada de l’altra.
Decidiu si la funció f(x) és la derivada de la funció g(x) o és a l’inrevés, estudiant què
passa en els punts x = a , x = b i x = c.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 4.5
3. Teniu una funció f(x) definida per a )2,2(x , sabeu que el gràfic de f '(x) és de la
forma
(on f'(–1) = 0, f'(0) = –1, f'(1) = 1) i que f(0) = 2.
Dibuixeu un gràfic aproximat de f(x) indicant en quins punts hi ha extrems relatius. Solució PAU CAT TEC JUNY 2001 5.2
4. Considereu una funció tal que la seva representació gràfica a l’interval (-3,3) és la
següent:
a) Determineu les abscisses dels punts extrems (màxims i mínims) relatius.
b) Estudieu el creixement i decreixement de la funció a l’interval (-3,3)
c) Feu un esbós de la gràfica de la derivada d’aquesta funció.
d) Sabent que la funció és de la forma cbxaxxf 24)( , trobeu de quina funció es
tracta. Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 2.5
5. La gràfica següent correspon a una funció f:[2 , 6] →R derivable i amb derivada
contínua. Feu un esbós de la gràfica de f’:(2 , 6) →R i justifiqueu-ne el perquè.
Solució PAU CAT TEC SET 2004 5.2
6. El dibuix representa les gràfiques de les tres funcions A(x), B(x) i C(x) i de les seves
derivades P(x), Q(x) i R(x), no necessàriament en el mateix ordre.
Associeu cada funció A(x), B(x) i C(x) amb la seva respectiva funció derivada P(x),
Q(x) o R(x). Raoneu la resposta. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2004 4.3
7. Observeu la gràfica següent de la funció f(x) i digueu quin valor tenen
(aproximadament)
a) f (0) b) x si f(x) = 0 c) f’(0) d) f’(–2)
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2004 3.4
4.4 Propietats de les funcions derivables.
4.4.1 Teorema. Derivabilitat implica continuïtat.
Si una funció )(xf és derivable en un punt, és contínua en aquest mateix punt.
Demostració.
Sigui )(xf una funció derivable en ax .
00)('lim)()(
lim)()(
lim)()(lim
afax
ax
afxfax
ax
afxfafxf
axaxaxax
i per tant )()(lim afxfax
.
4.4.2 Teorema. Teorema de Rolle.
Si f és contínua en ba, , derivable en ba, i )()( bfaf , llavors existeix un bac ,
tal que 0)(' cf .
Demostració.
Si )(xf és constant, la seva derivada és nul·la en tot l’interval ),( ba i el teorema queda
demostrat.
Si )(xf no és constant, en ser contínua, segons el teorema de Weierstrass, tindrà
màxim i mínim i els dos no podran tenir com a imatge el valor )()( bfaf .
Sigui bac , l’extrem tal que )()( afcf . Segons la proposició 4.3.4, 0)(' cf ,
com volíem demostrar.
4.4.3 Teorema. Teorema dels increments finits, o de Lagrange.
Si )(xf és contínua en ba, i derivable en ba, , llavors existeix un bac , tal que
))((')()( abcfafbf
Geomètricament aquest teorema vol dir que existeix un punt de l’interval ba, en el
qual la tangent a la gràfica és paral·lela a la secant per )(, afa i )(, bfb .
Demostració.
Considerem la funció abxfafbfxxg )()()()(
que en ser combinació lineal de dues funcions contínues en ba, i derivables en ba,
també ho és, i a més a més )()( bgag com és fàcil de comprovar.
Pel teorema de Rolle, existirà un bac , tal que 0)(' cg , on
)(')()()()(' xfabafbfxg
és a dir:
)(')()(
)(')()()(0)(')()()()('
cfab
afbf
cfabafbfcfabafbfcg
4.4.4 Corol·lari.
Si )(xf és contínua en ba, i derivable en ba,
a) Si babaxxf ,en creixent és f,0)(' .
b) Si babaxxf ,en decreixent és f,0)(' .
c) Si babaxxf ,en constant és f,0)(' .
Demostració.
a) Siguin baxx ,21 . La funció )(xf serà contínua en 21, xx i derivable en
21, xx , per tant, aplicant el teorema de Lagrange (4.4.2), existirà un 21, xxc tal que
))((')()( 1212 xxcfxfxf
i com que 0)(' cf per hipòtesi, tenim que )()(0)()( 1212 xfxfxfxf .
Les demostracions de (b) i (c) són anàlogues.
4.4.5 Corol·lari.
Si )(xf és contínua en ba, i derivable en ba,
a) Si babaxxf ,en creixent nt estrictame és f,0)(' .
b) Si babaxxf ,en decreixentnt estrictame és f,0)(' .
Demostració.
És el mateix raonament que hem fet servir a la demostració anterior.
4.5 Derivabilitat amb funcions definides a trossos.
4.5.1 Definició. Derivades laterals.
Definim la derivada lateral per la dreta d’una funció )(xf en ax com
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
De la mateixa forma definim la derivada lateral per l’esquerra de la funció )(xf en
ax
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
4.5.2. Proposició.
Perquè existeixi la derivada d’una funció contínua en un punt, les seves derivades
laterals han d’existir i han de ser iguals. El seu valor serà el valor de la derivada en
aquest punt:
)(')(')(' afafaf
4.5.3 Derivabilitat de funcions definides “a trossos”.
Si una funció f(x) està definida “a trossos” per dos funcions h(x) i g(x) derivables en
ax
axsixg
axsixhxf
)(
)()(
Llavors
)(')()(
lim
)(')()(
lim)()(
lim)('
0
0
0
agh
afhaf
ahh
afhaf
h
afhafaf
h
h
h
per tant:
f(x) serà derivable en x = a si )()( agah i )(')(' agah
Es a dir, la funció és contínua en x = a i les derivades laterals coincideixen.
Demostra que la funció xxf )( no és derivable en 0x .
Recordem que
0
0)(
xx
xxxxf , és a dir, tècnicament és una funció definida a
trossos.
)2()0()0(
lim
)1()0()0(
lim)0()0(
lim)0('
0
0
0
h
fhf
h
fhf
h
fhff
h
h
h
(1) 11limlim0
lim0
lim)0()0(
lim00000
hhhhh h
h
h
h
h
hh
h
fhf
(2) 11limlim0
lim0
lim)0()0(
lim00000
hhhhh h
h
h
h
h
hh
h
fhf
Així doncs, els límits laterals d’aquesta funció al voltant del 0 no coincideixen. Això
queda reflectit a la seva gràfica amb un punt “que punxa”. A la dreta del 0x té
pendent 1 (45º) i a l’esquerra del 0x té pendent –1 (-45º). La inclinació canvia de
forma brusca al voltant de 0x .
55017
53)(
2
2
xsixx
xsixxxf
És contínua i derivable en x = 5
Segon exemple:
5253
53)(
2
xsix
xsixxxf
És contínua però no és derivable en x = 5
Visualment, en x = a la gràfica de la funció és suau si és derivable i punxa si no ho és.
Donada la funció
21611
21
10
)( 3
xsix
xsibxax
xsi
xf
a) Trobeu a i b per als què la funció sigui contínua en tot x real.
b) Estudieu la derivabilitat d’aquesta funció.
a) Fora dels punts frontera 1x i 2x , la funció són polinomis, i per tant
perfectament contínua.
Continuïtat en 1x :
0
1)1(
00)(lim
)(lim
11
1
3
1
ba
f
xf
babxaxxf
xx
xx
Continuïtat en 2x :
34628
6)2(
28)(lim
61611)(lim
2
3
2
22
baba
f
babxaxxf
xxf
xx
xx
1,134
0
ba
ba
ba
b) Fora dels punts frontera 1x i 2x , la funció són polinomis, i per tant
perfectament derivable.
Derivabilitat en 1x
0200)1('
213)1('
1
1
3
x
x
f
xfLa funció no és derivable en 1x
Derivabilitat en 2x
11111113)2('
1111)2('
2
2
2
x
x
xf
fLa funció sí és derivable en 2x
4.5.6 Extrems relatius amb funcions definides a trossos.
Estudia la continuïtat i determina els extrems relatius de la funció
1104
133)(
2
23
xxx
xxxxxf
La funció té un extrem relatiu a x=2, i també té un extrem relatiu al punt frontera x=1.
Observem que no té cap extrem relatiu al punt x=-1 tot i què en aquest punt s’anul·la la
derivada.
4.5.7 Exercicis PAU TEC sobre continuïtat i derivació amb funcions definides a
trossos.
1. Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció següent sigui contínua i
derivable en x = 2.
25
232)(
3
2
xsixbx
xsixaxxf
Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.1
2. Considereu la funció
0
0)(
2
xsiea
xsibxxxf
xb
on a i b són nombres reals.
a) Quina condició han de complir a i b per tal que f sigui contínua a tot ?
b) Trobeu els valors de a i b per als quals f sigui contínua però no derivable a tot .
c) Per a a = 1 i b = 1, calculeu 1
1)( dxxf
Solució PAU CAT TEC SET 2005 3.6
3. Considereu la funció f(x) de la figura definida a l’interval 2,0 .
a) Calculeu la funció derivada )(' xf a l’interval (0,2).
b) Hi ha algun punt de (0,2) en el qual )(' xf no existeixi?
c) Calculeu 2
0)( dxxf .
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 4.4
4. Considereu la funció definida per
012
0)(
xsix
xsiexf
xa
on a és un nombre real.
a) Calculeu )(lim0
xfx
i comproveu que f(x) és contínua en x = 0.
b) Per a quin valor del paràmetre a la funció f(x) és derivable en x = 0 ? Solució PAU CAT TEC SET 2001 4.3
5. D’una funció )(xfy sabem
a) El seu domini de definició és tot .
b) La seva funció derivada és
11
12)('
xsi
xsixf
c) f(x) és contínua en tot punt i )1(f = 2.
Determineu el valor de )1(f i dibuixeu la gràfica de la funció f(x).
Solució PAU CAT TEC SET 2000 6.1
6. La gràfica d’una funció és la que hi ha en el dibuix següent. Quina és la gràfica de la
funció derivada? En quins punts és discontínua la derivada ?
PAU CAT TEC SET 1999 2.1
7. La funció derivada )(' xf de certa funció contínua :f és una funció a trossos
formada per les semirectes del dibuix.
a) Digueu si f(x) és derivable en tots els punts de i per què.
b) Estudieu el creixement i el decreixement de f(x).
c) Trobeu si f(x) té algun extrem relatiu i, si és així, per a quin valor de x i de quin tipus.
d) Sabent que f(0)=1, calculeu el valor de f(1).
Justifiqueu totes les respostes.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007
8. Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció següent sigui contínua i
derivable en x= 2
25
232)(
3
2
xsibxx
xsixaxxf
Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.2
4.5.8 Exercicis PAU CCSS sobre continuïtat i derivació amb funcions definides a
trossos.
1. Considereu la funció següent:
01
02)(
2
xsie
xsibxxxf
x
a) Determineu el valor de b perquè la funció f sigui contínua en el punt x= 0. Justifiqueu
si f pot ser discontínua en algun altre punt.
b) Justifiqueu si, per a valors positius de x, la funció f és creixent o decreixent.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 1.2
2. Considereu la funció:
023
022)(
2 xsixx
xsixxf
a) Dibuixeu la gràfica.
b) Estudieu-ne la continuïtat.
c) Determineu els extrems relatius.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2006 3.4
4.6 Curvatura.
4.6.1 Definició visual.
Una funció és còncava en un punt ax si la gràfica de la funció al voltant d’aquest
punt està doblegada cap avall.
Una funció és convexa en un punt ax si la gràfica de la funció al voltant d’aquest
punt està doblegada cap amunt.
Equivalentment, una funció és convexa quan la recta que uneix dos dels seus punts
passa sempre per sobre de la gràfica.
Equivalentment, una funció és convexa quan la recta tangent associada a qualsevol punt
passa per sota de la seva gràfica.
Definició formal.
Una funció és convexa en un punt ax si la segona derivada de la funció en aquest
punt és positiva: 0)('' af
Una funció és còncava en un punt ax si la segona derivada de la funció en aquest
punt és negativa: 0)('' af
Una funció presenta un punt d’inflexió en ax si, en aquest punt, la funció canvia la
seva curvatura, és a dir, passa de ser còncava a convexa, o viceversa.
4.6.2 Determinació dels punts d’inflexió.
Si una funció presenta un punt d’inflexió en ax , es compleix que 0)('' af . Per
garantir que es tracta realment d’un punt d’inflexió, analitzarem el sentit de la
concavitat en les proximitats del punt.
Atenció! Segona derivada igual a zero no implica necessàriament punt d’inflexió. Per
exemple, la funció 4)( xxf compleix 212)('' xxf , i la seva segona derivada
s’anul·la en 0x , però no és un punt d’inflexió, aquesta funció és sempre convexa:
Criteri de la tercera derivada.
Una funció té un punt d’inflexió en ax si la segona derivada s’anul·la i la tercera
derivada és diferent de zero en aquest punt.
0)('''0)('' afiaf la funció té un punt d’inflexió en ax
Com determinem la curvatura d’una funció.
1. Calculem la seva segona derivada )('' xf
2. Resolem l’equació 0)('' xf
3. Fem un estudi per intervals:
Marquem els punts x trobats al punt anterior en una recta.
Atenció! També hem d’afegir els punts de discontinuïtat de la funció!
Agafem valors auxiliars a cada interval i els avaluem amb la segona derivada.
Si la segona derivada és positiva, la funció serà convexa a tot l’interval
Si la segona derivada és negativa, la funció serà còncava a tot l’interval
Els punts d’inflexió seran els punts on canvia la curvatura.
4. Calculem els valors Y dels punts d’inflexió per poder representar-los a la gràfica.
4.6.3 Criteri de la segona derivada per determinar màxims i mínims relatius.
Una funció és còncava al voltant d’un màxim relatiu i convexa al voltant d’un mínim
relatiu, per tant:
Si 0)(' pf i 0)('' pf llavors la funció té un mínim relatiu en px .
Si 0)(' pf i 0)('' pf llavors la funció té un màxim relatiu en px .
Controvèrsia entre què és còncava i què es convexa.
No hi ha un criteri universal sobre la denominació “funció còncava” i “funció convexa”.
La Gran Enciclopèdia Catalana les defineix de la forma convencional, és a dir, bé:
còncava = corbada cap a vall , convexa = corbada cap a dalt
Però podem trobar alguns llibres de text de 2n de batxillerat les defineixen mal:
Editorial Barcanova Editorial Santillana
5 Funcions polinòmiques amb derivació.
5.1 Primera derivada de funcions polinòmiques.
1)(')( n
n
n
n xanxfxaxf
1
2
1
1
01
1
1 ...)1()('...)( axanxnaxfaxaxaxaxf n
n
n
n
n
n
n
n
1. Determina l’angle de la funció per al valor de x indicat:
a) 4)( 2 xxxf , 9.1x
b) 45)( 2 xxxf , 5.3x
c) 334)( 23 xxxxf , 7.2x
d) 32)( 23 xxxf , 5.1x
2. Determina el valor de x donat el valor f’(x) per a aquest valor.
a) 32)( 2 xxxf , 6.2)(' xf
b) 25)( xxxf , 6.1)(' xf
c) 3452)( 23 xxxxf ,
5.1)(' xf , ( 0x )
d) 132)( 23 xxxxf ,
7.2)(' xf , ( 0x )
3. Determina l’extrem relatiu P=(x,y) de la següent funció
a) 252)( 2 xxxf
b) 4)( 2 xxxf
c) 15)( 23 xxxxf
d) 35)( 23 xxxxf
5.2 Estudi de funcions polinòmiques mitjançant derivació.
5.2.1 Exemples resolts.
Estudi de la funció 23)( 3 xxxf
a) Domini de la funció: Tot IR, perquè és polinòmica.
b) Punt de tall amb l’eix Y: 2)0( f
c) Punts de tall amb l’eix X: 1,20230)( 3 xxxxxf (Per Ruffini)
d) Creixement, decreixement i extrems relatius.
1,10)('
33)(' 2
xxxf
xxf
Fem un estudi per intervals:
)1,( 1x )1,1( 1x ),1(
Agafem, per
exemple, 2x
09)2(' f
Agafem, per
exemple, 0x
03)0(' f
Agafem, per
exemple, 2x
09)2(' f
Creixent Decreixent Creixent
De la taula anterior deduïm que la funció té un màxim relatiu en 1x , 4)1( fy
i un mínim relatiu en )0,1( , 0)1( fy
e) Gràfica.
Estudi i representació de la funció 35 53)( xxxf
Solució:
a) )( fDom , una funció polinòmica no dóna problemes de domini.
b) Signe i zeros de la funció:
3
5,
3
5,005353)( 2335 xxxxxxxxf
c) Creixement i decreixement:
1,1,00)('1515)(' 24 xxxxfxxxf
creixent f0)('1, xf decreixent f0)('1,1 xf
creixent f0)(',1 xf
La funció té un mínim en (1,-2) i un màxim en (-1,2).
d) Concavitat-convexitat:
xxxf 3060)('' 3 2
1,
2
1,00)('' xxxxf
còncava f0)(''2
1,
xf convexa f0)(''0,
2
1
xf
convexa f0)(''2
1,0
xf còncava f0)('',
2
1
xf
La funció té punts d’inflexió a 0,0 ,
24
7,
2
1 i
24
7,
2
1
e) Gràfica
5.2.2 Exercici.
Estudi de les següents funcions (Punts de tall amb els eixos, monotonia, extrems
relatius, curvatura i punts d’inflexió):
1. xxxxf 240848)( 23
2. 78)( 24 xxxf
3. xxxf 4)( 3
4. 924228)( 234 xxxxxf
5. 33)( xxxf
6. 424)( xxxf
7. 34 2)( xxxf
8. 36)( xxxf
5.3 Problemes PAU TEC amb funcions polinòmiques.
1. Donada la funció cbxaxxxf 23)(
a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b i c perquè f(x) tingui un
extrem relatiu en el punt d’abscissa 1x .
b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d’inflexió de la funció f(x)
en el punt d’abscissa 0x .
c) Determineu la relació entre els paràmetres a, b i c sabent que la gràfica de f(x) talla
l’eix OX en el punt d’abscissa 2x .
d) Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c perquè es compleixin les tres propietats
anteriors alhora. Solució PAU CAT TEC SET 2011 2.3
2. Sigui cbxaxxP 2)( un polinomi qualsevol de segon grau.
a) Trobeu la relació existent entre els paràmetres a, b i c sabent que es compleix que
0)1( P i 0)2( P
b) Quan es compleix la condició anterior, indiqueu quins valors pot tenir )2/3('P
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 4.3
3. Busqueu els extrems relatius i els punts de tall amb els eixos, i feu una representació
aproximada de la corba d’equació y=x4–x
2. A continuació, calculeu l’àrea del
recinte tancat per aquesta corba i l’eix d’abscisses. Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.3
4. Trobeu els màxims i mínims relatius de la funció f(x)= 6x5 –15x
4 +10x
3
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 4.3
5. Considereu la funció polinòmica de tercer grau, f(x)= ax3
+bx2
+cx +d , (a≠0).
a) Trobeu els valors de a, b, c i d per als quals f(x) talla l’eix OX en els punts x = 0 i x =
1 i presenta un mínim relatiu en el punt x = 0.
b) Feu un esbós de la gràfica de la funció que heu trobat, i cabeu de calcular els
elements necessaris per dibuixar-la. Solució PAU CAT TEC SET 2004 5.5
6. Sabent que la funció y = (x + a)(x2
– 4), on a és un nombre real, té un màxim i un
mínim relatius, i que el màxim relatiu s'assoleix en el punt 3
1x , trobeu l'abscissa del
mínim relatiu. Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 2.2
7. a) Trobeu els extrems relatius de la funció polinòmica 362
3)( 23 xxxxf
i calculeu els valors de f(x) en aquests punts. A partir d'aquestes dades, feu un dibuix
aproximat de la seva gràfica.
b) Demostreu que l'equació 0362
3 23 xxx té, exactament, tres solucions reals.
PAU CAT TEC 2000 2.1
5.4 Problemes PAU CCSS amb funcions polinòmiques.
1. Una botiga obre al públic des de les 10 hores fins a les 21 hores. Sabem que els
ingressos per vendes, en funció de l’hora del dia, venen donats per la funció:
I(t) = –5(m – t)2 + n,
per a 10 ≤ t ≤ 21.
a) Trobeu el valor de m sabent que els ingressos màxims es produeixen a les 18 hores.
b) Trobeu el valor de n sabent que a les 21 hores hi ha uns ingressos de 500 €.
PAU CAT CCSS JUNY 2019 1.6 (Solució: "Compendium CCSS", Pàg. 429)
2. Considereu una funció f(x) que té com a primera derivada 42)(' 2 bxxxf , en
què b és un paràmetre real.
a) Determineu el valor de b perquè f(x) tingui un extrem relatiu en x = –1 i raoneu si es
tracta d’un màxim o d’un mínim.
b) Si sabem que la gràfica de la funció f(x) passa pel punt (0, 3), trobeu l’equació de la
recta tangent a f(x) en aquest punt.
PAU CAT CCSS SET 2019 5.5 (Solució: "Compendium CCSS", Pàg. 437)
3. Una companyia de mòbils va presentar fa un any un telèfon intel·ligent al preu de 750
€. Recentment, un estudi de mercat ha arribat a la conclusió que, amb aquest preu,
compren el telèfon 2.000 clients al mes, i que la relació entre aquestes dues variables és
lineal, de manera que per cada 10 € que s’incrementa el preu del mòbil, el compren 100
clients menys, i a l’inrevés: per cada 10 € de descompte sobre el preu inicial de 750 €, el
compren 100 clients més.
a) Deduïu que la funció que determina els ingressos mensuals de la companyia segons
el preu del mòbil és I(p) = –10p2 + 9.500p.
b) Trobeu quin ha de ser el preu del mòbil per a obtenir ingressos, el preu del mòbil que
dona els ingressos mensuals més elevats i el valor d’aquests ingressos màxims.
Solució PAU CAT CCSS SET 2018 1.5
4. Sigui y = f(x) una paràbola que té el vèrtex en el punt V = (0, −4) i talla l’eix de les
abscisses en els punts (−2, 0) i (2, 0).
a) Determineu-ne l’equació.
b) Sigui una funció g tal que g '(x) = f(x). Estudieu el creixement de la funció g,
determineu-ne les abscisses dels extrems relatius i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2018 5.3
5. Un gimnàs cobra una quota de 42 euros mensuals i té 2.000 usuaris. Un estudi de
mercat afirma que per cada euro que s’apuja (o s’abaixa) la quota es perden (o es
guanyen) 20 usuaris.
a) Expresseu el nombre d’usuaris del gimnàs en funció de la quota, tenint en compte
que la relació entre les dues variables és lineal. Per a quin valor de la quota el gimnàs es
quedaria sense usuaris?
b) Determineu en quin preu cal fixar la quota per a obtenir un benefici mensual màxim.
Quin seria aquest benefici i quants usuaris tindria el gimnàs en aquest cas?
Solució PAU CAT CCSS SET 2017 2.2
6. El vèrtex d’una paràbola és el punt (1, 2).
a) Si la paràbola talla l’eix de les abscisses pel punt
0,
2
1, quin serà l’altre punt de
tall de la paràbola amb l’eix de les abscisses?
b) Trobeu l’equació de la paràbola.
Solució PAU CAT CCSS SET 2017 2.6
7. D’una funció y = f(x) sabem que la seva derivada és f ’(x) = x3 – 4x.
a) Determineu els intervals de creixement i de decreixement de la funció y = f(x).
b) Determineu les abscisses dels seus extrems relatius i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2017 1.1
8. Des d’una barca es dispara una bengala de salvament marítim que s’apaga al cap de 4
minuts. En aquest interval de temps, es comprova que la intensitat lumínica de la
bengala en funció del temps, mesurada en percentatges del 0 % al 100 %, queda
perfectament descrita per l’expressió L(t) = 25 · t · (4 – t), en què el temps t varia entre
0 i 4 minuts.
a) Calculeu per a quin valor de t el percentatge d’intensitat lumínica serà màxim.
b) Si des de la costa la bengala només és visible quan la seva intensitat lumínica és
superior al 75 %, quin és l’interval de temps en què serà visible des de la costa i, per
tant, serà més factible el salvament?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2017 1.2
9. Determineu els valors de a, b i c que fan que la funció f(x) = x3 +ax
2 +b +c passi pel
punt (0, 4) i tingui extrems relatius en els punts d’abscissa x = 1 i x = 3. Classifiqueu
aquests extrems.
Solució PAU CAT CCSS SET 2016 5.3
10. La fotografia matemàtica següent sembla indicar que les branques de les ulleres
formen una paràbola. Tanmateix, no totes les corbes en forma de «U» són paràboles.
Hem marcat sobre uns eixos de coordenades alguns dels punts: (0, 2,5), (1, 0), (3, –1) i
(5, 0).
Justifiqueu si la gràfica correspon a una paràbola o no.
Solució PAU CAT CCSS SET 2016 1.3
11. Un hotel cobra 45 € per habitació i nit. Per aquest preu, té ocupades 165 habitacions
cada nit. S’ha fet un estudi a partir del qual s’ha deduït que, per cada euro que s’apugi el
preu de l’habitació, se n’ocuparà una menys cada nit.
a) Si x és la quantitat que s’apuja el preu de l’habitació per sobre dels 45 € inicials,
determineu la funció que dóna els ingressos diaris de l’hotel segons el valor de x.
Indiqueu també els ingressos màxims que pot obtenir l’hotel.
b) Indiqueu entre quins preus obtindrà ingressos l’hotel. Solució PAU CAT CCSS SET 2016 5.2
12. Una fàbrica de mobles de cuina ven 1.000 unitats mensuals d’un model d’armari a
200 € per unitat. Per tal de reduir-ne l’estoc, fa una oferta als compradors i estima que,
per cada euro de reducció del preu, les vendes mensuals del producte s’incrementaran
en 100 unitats.
a) Quantes unitats caldrà vendre per a obtenir el màxim d’ingressos mensuals?
b) A quant pujaran aquests ingressos?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2016 3.1
13. Un arbre té un volum de 30 m3 i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 € per
metre cúbic. Cada any l’arbre augmenta el volum en 5 m3. Alhora, la qualitat de la fusta
de l’arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més
barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d’ingressos per la venda de la fusta
de l’arbre? Quins seran aquests ingressos?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2016 2.1
14. Una cadena de televisió decideix emetre un nou programa en la franja horària de les
17.00h a les 21.00h. El percentatge d’audiència P de la primera emissió en funció del
temps t, mesurat en hores, és definit per la funció
21173690760495
1)( 23 tttttP .
Els directius de la cadena acorden que el programa se seguirà emetent si en algun
moment s’aconsegueix un percentatge d’audiència superior al 20%.
a) Expliqueu raonadament en quins intervals de temps l’audiència del programa va
augmentar i en quins intervals va disminuir.
b) En vista dels resultats, se seguirà emetent el programa? Justifiqueu la resposta.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2014 3.3
15. Els dos darrers anys, el valor de les accions en borsa d’una empresa ha baixat un
20% anual.
a) Aquest any, en canvi, les accions han pujat un 30 %. Quin és el percentatge global de
pèrdua en aquests tres anys?
b) Quin hauria de ser el percentatge de guanys d’aquest tercer any si el balanç global
dels tres anys acaba sent equilibrat, és a dir, sense pèrdues ni guanys?
Solució PAU CAT CCSS SET 2013 1.3
16. Una empresa agrícola ha recollit un total de 40 tones de fruita que produeixen un
benefici de 0,80 €/kg. Cada setmana que passa es produeix una pèrdua de 400 kg de
fruita, però el benefici augmenta en un cèntim per cada kilogram.
a) Quin benefici s’obté si es ven la fruita al cap de nou setmanes? Quin percentatge de
fruita s’ha hagut de llençar?
b) Quina setmana de venda serà la que obté un benefici màxim?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 3.4
17. Donades les funcions xkxxxf )3(5)( 23 i kxxxg 2)( .
a) Determineu les abscisses dels punts de tall de les dues corbes.
b) Determineu k perquè la paràbola donada per la funció g tingui el vèrtex en el punt
d’abscissa x= 2, i determineu-ne l’ordenada. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 3.2
18. Els beneficis d’una companyia de transport de viatgers són donats per la funció
cbxaxxB 2)( , on x és el preu que la companyia cobra per cada viatge. Sabem que
si cobren 40 € per viatge, els beneficis són 19.000 €. A més, si augmentem el preu un 25
%, el benefici que s’obté és el màxim, 20.000 €. Tenint en compte aquestes dades,
determineu els valor de a, b i c.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 4.4
19. En un hort hi ha plantades 50 pomeres. Cada arbre produeix 800 pomes. Per cada
arbre addicional que hi plantem, la producció de cada arbre es redueix en 10 pomes.
Quants arbres més ens cal plantar per a obtenir la producció més alta possible? Quina és
aquesta producció? Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 4.3
20. Un equip científic ha estudiat l’evolució de la població d’una petita illa de la
Polinèsia. Com a conclusió, ha determinat que, per tal d’obtenir una bona estimació de
la població, cal fer servir l’expressió 2
3
618400)( tttP , on t indica els anys
transcorreguts des del principi de l’estudi.
a) Determineu la població de l’illa quan va començar l’estudi, i al cap d’un any. Quina
ha estat la taxa de creixement en aquest període?
b) Al cap de quants anys després del començament de l’experiment va deixar de créixer
la població de l’illa? Quin va ser el nombre màxim d’habitants?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 4.1
21. Sigui f una funció polinòmica de grau 3, amb un màxim a (0, 0) i un mínim a
(2, –4).
a) Feu una gràfica aproximada de f.
b) Determineu la fórmula de la funció.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2012 3.5
22. Un estudi de laboratori sobre la propagació d’una espècie de mosques mostra que,
passades t setmanes, el nombre d’individus és N(t) centenars de mosques, en què
9)2()( 2 ttN
a) Quantes mosques formen la població al cap d’una setmana? Quantes setmanes han de
transcórrer fins a la desaparició total de les mosques?
b) Quina és la població màxima d’individus? Quantes setmanes han hagut de passar per
a obtenir aquesta població màxima?
Solució PAU CAT CCSS SET 2011 2.1
23. Una empresa que fabrica bicicletes ven la totalitat de la producció. Anomenarem x
el nombre de bicicletes que fabrica mensualment. Els costos mensuals de producció, en
euros, segueixen la funció C(x)= 180x +12000. La venda de les bicicletes li reporta uns
ingressos que segueixen la funció 2
2
1500)( xxxI . Els beneficis de l’empresa són,
lògicament, la diferència entre ingressos i costos.
a) En quin interval cal situar la producció per a no perdre diners?
b) Quantes bicicletes ha de produir mensualment l’empresa per a obtenir el benefici
màxim? En aquest cas, quant guanya per cada bicicleta?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2011 1.5
24. Considereu la funció f(x)= x3 –ax
2 +9x +b.
a) Determineu a i b, sabent que la gràfica de f passa pel punt (2, 2) i té un extrem en
1x .
b) Per a a=6 i b= 0, determineu els possibles màxims i mínims de f i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT CCSS SET 2010 2.2
25. Un fons d’inversions posa en marxa un producte financer que aporta un benefici de
R(x) euros en fer una inversió de x centenars d’euros, segons la funció
R(x)= –0,01x2
+4x +20.
a) Calculeu quina inversió produeix més beneficis.
b) Calculeu el tant per cent de benefici que s’obtindrà amb una inversió de 1000€, i el
que s’obtindrà amb una de 10000€. Solució PAU CAT CCSS SET 2010 2.3
26. En una explotació ramadera es declara una epidèmia, i els veterinaris preveuen que
la propagació d’aquesta seguirà la funció f(x) = –2x2 +48x +162, en què x representa el
nombre de setmanes que han transcorregut des del moment de la declaració de
l’epidèmia, i f(x) indica el nombre d’animals afectats.
a) Quants animals hi ha afectats en el moment de declarar-se l’epidèmia? Quantes
setmanes durarà l’epidèmia fins al moment en què ja no quedi cap animal afectat?
b) Indiqueu quin serà el nombre màxim d’animals afectats, i en quina setmana es
produirà. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 4.6
27. El preu de cost d’una unitat d’un cert producte és de 120€. Si es ven a 150€ la
unitat, el compren 500 clients. Per cada 10€ d’augment en el preu, les vendes
disminueixen en 20 clients.
a) Trobeu una fórmula mitjançant la qual obtinguem els beneficis.
b) Calculeu a quin preu p per unitat hem de vendre el producte per a obtenir un benefici
màxim.
c) En el cas anterior, trobeu el nombre d’unitats que es venen i calculeu el benefici
màxim. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2009 4.6
28. Una fàbrica de televisors ven cada aparell a 300€. Les despeses derivades de
fabricar x televisors són D(x) = 200x+x2, en què 0≤x≤80.
a) Suposant que es venen tots els televisors que es fabriquen, trobeu la funció dels
beneficis que s’obtenen després de fabricar i vendre x televisors.
b) Determineu el nombre d’aparells que convé fabricar per a obtenir el benefici màxim,
i també quin és aquest benefici màxim.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2008 5.4
29. La gràfica següent representa una funció polinòmica de segon grau (paràbola).
a) Trobeu el vèrtex de la paràbola i les interseccions amb els eixos.
b) Determineu l’equació de la paràbola.
Solució PAU CAT CCSS SET 2008 4.4
30. La funció f(x) = ax3
+bx2
+cx té un màxim en el punt (1, 4) i passa pel punt (3, 0).
Trobeu a, b i c.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2007 1.4
31. Si el preu de l’entrada d’un cinema és de 6€, hi van 320 persones. El propietari sap
per experiència que per cada augment de 0,25€ en el preu de l’entrada hi van 10
espectadors menys. Trobeu:
a) la funció que determina el nombre d’espectadors en funció del preu de l’entrada;
b) la funció que determina els ingressos del cinema en funció del preu de l’entrada;
c) el preu de l’entrada per tal que els ingressos del propietari siguin màxims;
d) el nombre d’espectadors que aniran al cinema quan el preu sigui el que correspon als
ingressos màxims i aquests ingressos màxims.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2006 1.5
32. El benefici B(x) (expressat en milers d’euros) que obté una empresa per la venda de
x unitats d’un determinat producte és representat per la funció:
B(x) = –x2+ 300x–16100 per a 50≤x≤250.
a) Si ha venut 110 unitats, quin benefici ha obtingut?
b) Quantes unitats pot haver venut si el benefici obtingut ha estat de 3.900 milers
d’euros?
c) Quantes unitats ha de vendre per tal que el benefici sigui màxim? Quin és aquest
benefici màxim?
d) Quina quantitat d’unitats ha de vendre per no tenir pèrdues?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2006 3.5
33. Si una joguina es ven a 130€, la compren 1000 persones. Per cada euro que
augmenta aquest preu, disminueix en 50, respectivament, el nombre de compradors.
a) Feu un gràfic del nombre de joguines que es venen en funció del preu de venda i
doneu la fórmula que l’expressa.
b) El preu de cost d’una joguina és de 80 €. Calculeu el preu p, que dóna un benefici
total màxim.
c) Trobeu el nombre de joguines que es venen si el preu és p i calculeu-ne el benefici
màxim.
Solució PAU CAT CCSS SET 2005 3.5
34. Trobeu els valors de b i c per tal que la funció f(x) = x2 + bx + c tingui un extrem
relatiu en el punt (–1, –4). Quin tipus d’extrem és?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2004 4.4
35. Com a resultat del test efectuat amb un nou model d’automòbil per determinar-ne el
consum de benzina, s’ha observat que, per a velocitats compreses entre 25 i 175 km/h,
el consum C(x) de gasolina, expressat en litres consumits en 100 km, fets a la velocitat
constant de x km/h, es pot aproximar per la funció
C(x) = 7,5 –0,05x +0,00025x2
a) Determineu el consum a les velocitats de 50 km/h i de 150 km/h.
b) A quina velocitat s’obté el mínim consum? Quin és aquest consum mínim?
c) Feu un estudi del creixement i decreixement de la funció C(x) a l’interval [25,175].
Determineu les velocitats que corresponen a consum màxim, així com aquest consum.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 2.5
36. La funció f (x) = –5ax
2 +700x +1440 té un extrem relatiu per x = 10. Calculeu el
valor de a. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.2
37. El preu de cost d'una joguina és de 80 €. Venuda a 130 € la compren 1000 persones.
Per cada € que augmenta o disminueix aquest preu, el nombre de compradors
disminueix o augmenta, respectivament, en 60.
a) A quin preu s'ha de vendre la joguina per obtenir un benefici màxim?
b) Calculeu també el benefici màxim i el nombre de compradors corresponent.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 3.5
38. Calculeu a i b sabent que la funció f(x) = ax2 + bx – 7 té un extrem local en el punt
(2, 1). És un màxim o un mínim? Solució PAU CAT CCSS SET 2001 4.2
39. Una fàbrica de vídeos decideix introduir al mercat un nou model. El departament de
màrqueting de l'empresa estima que la relació entre la demanda x del producte,
mesurada en unitats, i el preu de venda p de cada unitat, mesurat en milers de ptes., ve
donada per l'expressió
12100
xp
Els costos de producció estimats responen a la fórmula
C(x) = 1250 + 10x
Determineu:
a) la demanda x en funció de p;
b) els costos C(p) en funció del preu;
c) els ingressos I(p) que rep el fabricant per la venda d'aparells, en funció del preu;
d) el benefici B(p) del fabricant per la venda dels aparells, en funció del preu;
e) el preu pel qual el benefici és màxim, el benefici màxim i el nombre d'unitats venudes
corresponent. Solució PAU CAT CCSS SET 2001 4.5
40. En una indústria es produeixen recanvis de peces d'automòbil. S'ha fet un estudi de
costos d'un dels recanvis fabricats i ha resultat que el cost diari de producció de x peces
(en ptes.) ve donat per la funció C(x) = 3200 + 20x + 2x2.
a) Quantes peces d'aquest recanvi s'han de produir diàriament perquè el cost unitari (el
cost de cada peça) sigui el mínim possible?
b) Quin és el cost diari de fabricar aquest nombre de peces?
c) Quin és, en aquest cas, el preu de cost de cada peça?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.5
41. Considereu la funció 32)1( xxy . Digueu quin és el seu domini de definició.
Calculeu els seus intervals de creixement i decreixement, així com els màxims i mínims
(si en té). Calculeu també els punts en què la gràfica talla els eixos. Feu després un
esbós d'aquesta gràfica.
PAU CAT CCSS SET 2000 2.6
42. Una entitat financera llança al mercat un pla d'inversió, la rendibilitat R(x) del qual,
en milers de pessetes, ve donada en funció de la quantitat x que s'inverteixi, per mitjà de
l'expressió següent:
R(x) = –0.001x2 + 0.5x + 2.5
a) Deduïu raonadament quina quantitat de diners li convé invertir a un client en aquest
pla per obtenir rendibilitat màxima.
b) Quina rendibilitat obtindria en aquest cas?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 3.1
43. Una empresa que fabrica un determinat producte ha observat experimentalment que
la venda de x milers d'unitats diàries d'aquest producte li produeix uns ingressos en
milions de pessetes donats per la funció següent:
5227
28
108
235
54
11)( 2 xxxxI
Així mateix el cost de fabricació de x milers d'unitats diàries del producte el dóna
(també en milions de pessetes) la funció
5214
3)( xxxC
Determineu quants milers d'unitats hauria de fabricar d'aquest producte per obtenir un
benefici màxim.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 6.5
44. Trobeu els nombres a i b de manera que la funció f(x)=ax
2 +bx tingui un màxim en
el punt (3, 9).
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 3.3
45. En una fàbrica determinada, el cost de producció expressat en pessetes de x unitats
d'un producte s'ajusta aproximadament a la funció
0,16000)( 3 xaperxxC
a) Feu un esquema senzill de la gràfica d'aquesta funció (només per a x≥0).
b) Trobeu la funció que representa el cost per unitat fabricada. Trobeu el cost mínim per
unitat fabricada.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 6.5
6 Funcions racionals amb derivació.
6.1 Derivada del producte, potència i quocient de funcions.
Derivada del producte de funcions:
)(')()()(')(')()()( xhxgxhxgxfxhxgxf
Derivada d’una potència d’una funció:
)(')()(')()( 1 xgxgnxfxgxf nn
Derivada del quocient de funcions:
2)(
)(')()()(')('
)(
)()(
xh
xhxgxhxgxf
xh
xgxf
1. Exercici. Calcula )(' xf
a) 12
34)(
x
xxf
b)5
82)(
x
xxf
c) 17
1)(
xxf
d) 5
5)(
x
xxf
e) 2
23
)(x
xxxf
f) 33
1)(
x
xxf
g) 21
)(x
xxf
h) 4
)(2
3
x
xxf
i) 4
)(2
2
x
xxf
6.2 Estudi de funcions racionals (sense segona derivada).
Representa les següents funcions racionals (sense fer servir la segona derivada):
1.
14
)12()(
2
2
x
xxf
2.
x
xxf
3)(
4
3.
1)(
2
x
xxf
4.
22 1
4)(
x
xxf
5.
22 1
12)(
xx
xxf
6.
1
)2()(
2
x
xxf
7.
1
33)(
2
2
x
xxxf
8.
3
23
2
44)(
x
xxxxf
9.
)1()2()(
2
3
xx
xxf
6.3 Estudi de funcions racionals (amb segona derivada).
6.3.1 Quadre resum general.
a) Domini de definició.
Una funció racional està definida sempre que no s’anul·li el denominador.
0)(|)( xQxfDom
b) Indeterminacions 0/0.
Si per a ax tenim que 0)(0)( aQiaP ens trobem en un cas d’indeterminació
del tipus 0
0. Vegeu apartat 1.5.
c) Punt de tall amb l’eix Y.
Avaluem la funció per a )0(0 fx
d) Punts de tall amb l’eix X.
Una funció racional )(
)()(
xQ
xPxf té un zero (punt de tall amb l’eix X) en ax si
0)(0)( aQiaP , és a dir, s’anul·la el numerador però no el denominador en a.
La funció es perfectament contínua en aquest punt.
e) Asímptotes verticals.
Una funció racional )(
)()(
xQ
xPxf té una asímptota vertical en ax si
0)(0)( aQiaP , és a dir, s’anul·la el denominador però no el numerador.
També poden aparèixer asímptotes verticals a algunes de les indeterminacions 0/0.
En particular, la funció no està definida en x = a, i per tant té una discontinuïtat en
aquest punt. Vegeu apartat 1.5.
f) Comportament d’una funció racional en l’infinit.
Podem trobar infinits, asímptotes horitzontals i asímptotes obliqües. Vegeu apartat 1.3.
g) Monotonia: Creixement, decreixement, extrems relatius.
Hem de fer un estudi de la primera derivada.
h) Curvatura: Concavitat, convexitat i punts d’inflexió.
Hem de fer un estudi de la segona derivada.
g) Gràfica.
6.3.2 Asímptotes de les funcions racionals.
)(
)()(
xden
xnumxf
Asímptota
vertical
0)(0)( xnumixden
(després de factoritzar)
Asímptota
horitzontal
)()( xdengrauxnumgrau
Asímptota
obliqua
1)()( xdengrauxnumgrau
6.3.3 Exercici autocorrectiu de derivació de funcions racionals.
Calcula la primera i segona derivada de les següents funcions i resol les equacions
corresponents. Comprova que els resultats obtinguts són correctes.
)(
)(')()()(')('
)(
)()(
2 xq
xqxpxqxpxf
xq
xpxf
)('))(()('))(()( 1 xpxpnxfxpxf nn
)(xf 0)( xf 0)(' xf 0)('' xf
3
1)(
x
xxf
-1 -3/2 -2
1
2)(
2
x
xxf 0 0
3)(
2
x
xxf 0 0, 6
3
2 1)(
x
xxf
-1, 1 3,3 6,6
4)(
2
2
x
xxf 0 0
3
2,
3
2
1
1)(
2
2
x
xxf 1, -1 0
3
1,
3
1
4)(
2
x
xxf 0 0
1)(
2
x
xxf 0 1, -1 3,3,0
3
)3()(
2
x
xxf 3 -9, 3
2
3)2()(
x
xxf
2 2, -4 2
22 )1(
4)(
x
xxf
0 0
22
3
)1(
32)(
x
xxxf
2
3,
2
3,0
2
333,
2
333 3,3,0
6.3.4 Exercicis resolts d’estudi de funcions racionals.
1. Estudi de la funció
6)(
2
3
xx
xxf
a) Punt de tall amb l’eix Y.
b) (Possibles) punts de tall amb l’eix X.
c) (Possibles) asímptotes verticals.
d) Comportament de la funció en l’infinit.
e) Creixement, decreixement, màxims i mínims.
f) Representació gràfica de la funció, amb la informació dels apartats anteriors.
a) (0,0)
b) (0,0)
c) x =-2 i x = 3
d) Asímptota obliqua y = x + 1
e) (indicacions)
5.358x
-3.3589
0
0)6(
)182()('
22
22
x
x
xx
xxxxf
Estudiant el signe de la derivada comprovem que la funció té un mínim en x = 3.3589-
i un màxim en x =5.358 . El punt x = 0 no és un extrem relatiu.
4.38553f(-3.3589)
8.86553f(5.358)
f)
2. Estudi de la funció 4
)(2
x
xxf
a) Domini: }4{
b) Punt de tall amb l’eix Y: (0,0)
c) Punt de tall amb l’eix X: (0,0)
d) Asímptotes verticals : x = -4
e) La gràfica de la funció té una asímptota obliqua: 4 xy
f) Monotonia.
22
2
2
22
2
22
2
4
)8(
4
8
4
82
4
)4(2
4
14
2
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
x
xx
8
00
)4(
)8()('
2 x
x
x
xxxf
8, 4,8 0,4 ,0
creixent
055.0)10('
f
f
decreixent
03)6('
f
f
decreixent
03)2('
f
f
creixent
036.0)2('
f
f
Deduïm que la funció té un màxim relatiu a x = -8 , 16)8( fy
i un mínim relatiu a x = 0 , 0)0( fy
g) Curvatura.
333
22
4
22
4
22
2
2
2
2
4
32
4
162
4
81682
4
84)4(2
4
)4(284)4(2
4
8
)4(24
)4(2828
xxx
xxxx
x
xxxx
x
xxxxx
x
xx
xx
xxxx
solució téno 0)4(
32)('
3
xxf
4, ,4
baix a cap corbada
04)6(''
f
f
dalt a cap corbada
032)3('
f
f
La funció no presenta punts d’inflexió perquè canvia la seva curvatura a l’asímptota
vertical.
h) Gràfica.
3. Estudi de la funció 1
1)(
2
2
x
xxxf
a) Punts de tall amb l’eix X. No en té.
b) Punt de tall amb l’eix Y: 1
c) Asímptotes verticals: No en té
d) Comportament de la funció en l’infinit : La funció tendeix a una asímptota
horitzontal y=1
e) Monotonia:
22
2
)1(
1)('
x
xxf
1
10)('
x
xxf
1, decreixent 1,1 creixent ,1 decreixent
Per tant, la funció té un mínim en P =
2
1,1 i un màxim en P =
2
3,1
f) Curvatura:
32
2
1
)3(2)(''
x
xxxf
732.13
732.13
0
0)(''
x
x
x
xf
3, corbada cap a baix 0,3 corbada cap amunt
3,0 corbada cap a baix ,3 corbada cap amunt
g) Gràfica:
4. Estudi de la funció 1
)(2
3
x
xxf
a) Punt de tall amb l’eix Y: 010
0)0(
2
3
f
b) Punts de tall amb l’eix X: 0001
)( 3
2
3
xxx
xxf
c) Asímptotes verticals: 1,1012 xxx
d) Comportament a l’infinit: xyobliquaAsímptota2
3
DenGrau
NumGrau
e) Monotonia:
73.13,73.13,0
01
3
1
2)1(3
1
)2()1(3)('
22
22
22
222
22
322
xxx
x
xx
x
xxx
x
xxxxxf
Estudi per intervals:
09/4)2(' f f creixent
73.13 x màxim relatiu
008.1)5.1(' f f decreixent
1x asímptota vertical
022.1)5.0(' f f decreixent
0x No n’hi ha extrem relatiu
022.1)5.0(' f f decreixent
1x asímptota vertical
008.1)5.1(' f f decreixent
73.13 x mínim relatiu
09/4)2(' f f creixent
La funció té un màxim relatiu a:
60.22/33)3(73.13 fyx
i un mínim relatiu a:
60.22/33)3(73.13 fyx
f) Gràfica de la funció:
6.3.5 Estudi de funcions racionals.
Estudi complet de les següents funcions:
a) Punts de tall amb l’eix X.
b) Punt de tall amb l’eix Y.
c) Asímptotes verticals.
d) Comportament de la funció en l’infinit.
e) Monotonia: Creixement, decreixement, màxims i mínims.
f) Curvatura: Concavitat, convexitat i punts d’inflexió.
g) Representació gràfica de la funció.
1. 1
)2()(
2
x
xxf
2. 3
107)(
2
x
xxxf
3. 6
1)(
2
xxxf
4. 32
2)(
2
xx
xxf
Indicació per a la curvatura: l’equació 0836 23 xxx només té una
solució real 634.6x
5. 2
4)(
34
x
xxxf
Indicació per a la curvatura: l’equació 0164 23 xx només té una solució
real 679.1x
6. 2
3
)1()(
x
xxf
7. 3
)(2
2
x
xxf
8. 30
1055)(
2
2
xx
xxxf
6.4 Problemes PAU TEC amb funcions racionals i derivació.
1. La funció 12522
40)(
2
xxxf mostra aproximadament la venda diària, en milers
d’unitats, d’un perfum de moda en funció de x, en què x és el dia del mes de febrer.
a) Quantes unitats de perfum es van vendre, aproximadament, el dia 5 de febrer? Quin
és l’increment de vendes entre el dia 7 i el dia 9 de febrer?
b) Quin dia del mes de febrer es van vendre més perfums i quantes unitats se’n van
vendre?
PAU CAT CCSS JUNY 2019 1.4 (Solució: "Compendium CCSS", Pàg. 427)
2. Es preveu un canvi important en la població d’una determinada zona per qüestions
mediambientals. El nombre d’habitants de la zona, en milions, vindrà donat per la
funció 2
2
)2(
28)(
t
ttP , en què t mesura el temps en anys des del moment actual (t = 0).
a) Digueu quin és el nombre d’habitants de la zona actualment i quin serà aquest
nombre a molt llarg termini.
b) En quin moment s’arribarà al nombre mínim d’habitants? Quants habitants hi
haurà en aquell moment? Quin és el nombre màxim d’habitants que s’assoleix en
aquesta zona?
PAU CAT CCSS SET 2019 5.3 (Solució: "Compendium CCSS", Pàg. 435)
3. Considereu la funció ax
xxf
2
)( , en què a és un paràmetre real.
a) Trobeu per a quins valors del paràmetre a la recta tangent a la funció f en x = 1 és
paral·lela a la recta y + 3x + 5 = 0.
b) Per al valor del paràmetre a = 1, trobeu els intervals de creixement i decreixement i
els punts on s’assoleixen els màxims i mínims relatius de la funció f.
Solució PAU CAT TEC SET 2018 1.2
4. Sigui la funció kx
xf
2
1)( , en què k és un paràmetre real diferent de 0. Per als
diferents valors del paràmetre k:
a) Calculeu el domini i les asímptotes de la funció.
b) Calculeu els punts amb un màxim o un mínim relatiu. Solució PAU CAT TEC JUNY 2017 1.3
5. Una fàbrica produeix diàriament x tones d’un producte A i (40 – 5x)/(10 – x) tones
d’un producte B. La quantitat màxima de producte A que es pot produir és 8 tones. El
preu de venda del producte A és 100€ per tona i el del producte B és 250€ per tona.
a) Construïu la funció de la variable x que ens proporciona els ingressos diaris, suposant
que es ven tota la producció.
b) Calculeu quantes tones de cada producte s’han de produir diàriament per a obtenir el
màxim d’ingressos, i comproveu que és realment un màxim relatiu.
Solució PAU CAT TEC SET 2012 4.4
6. Sigui bx
axxf
2
)( , en què a≠0.
a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b.
b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f (x) tingui la recta
y = 2x − 4 com a asímptota obliqua a +∞. Solució PAU CAT TEC SET 2012 4.2
7. Trobeu les asímptotes de la funció
54
253)(
2
3
xx
xxxf
Solució PAU CAT TEC SET 2010 2.1
8. Determineu el valor dels paràmetres a, b i c perquè la gràfica de la funció
cbxx
axf
2)( sigui la següent:
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 5.3
9. Considereu la funció de variable real 1
2)(
2
3
x
xxf
a) Trobeu-ne el domini.
b) Calculeu l’equació de les seves asímptotes, si en té.
c) Estudieu-ne els intervals de creixement i decreixement, Així com les abscisses dels
seus extrems relatius, si en té, i classifiqueu-los. Solució PAU CAT TEC SET 2009 1.5
10. Trobeu el domini i les asímptotes de la funció definida per 1
14)(
2
x
xxxf
Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 1.4
11. Considereu la funció 2
61)(
xx
axf on a és un paràmetre.
a) Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt
d’abscissa x = 3.
b) Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxim o d’un mínim? Raoneu la resposta. Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.3
12. a) Determineu el valor del paràmetre a que fa que la funció
3)(
x
axxf
Presenti un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3.
b) Per a aquest valor del paràmetre a, calculeu els intervals de creixement i
decreixement, i les asímptotes de la funció.
c) A partir de les dades que heu obtingut, feu una gràfica aproximada d’aquesta funció.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 5.5
13. Se sap que la derivada d'una funció f(x) és:
1
6)(
2
x
xxxf
Calculeu les abscisses dels punts on la funció f(x) té els seus extrems relatius,
especificant per a cada un dels valors que obtingueu si es tracta d'un màxim o d'un
mínim relatiu. Solució PAU CAT TEC SET 2002 1.2
14. Determineu el valor que ha de tenir k perquè la funció
2
532)(
2
x
xkxxf
tingui límit quan x tendeix a 2 (és a dir, existeixi )(lim2
xfx
) i calculeu el valor que tindrà
aquest límit. Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 3.2
15. Sigui 1
2)(
x
xmxf , on m és un paràmetre.
a) Determineu per a cada valor del paràmetre m el valor del límit )(lim1
xfx
(si existeix).
b) Per a quins valors de m la derivada f'(x) de la funció f(x) és positiva per a tot x?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 2.3
16. Considereu la funció 12
2)(
2
2
x
xxxf
a) Determineu les seves asímptotes.
b) Calculeu els intervals on creix i on decreix, i els extrems relatius.
c) D'acord amb els resultats que heu obtingut, dibuixeu aproximadament la seva gràfica.
d) Fixant-vos en la gràfica anterior, expliqueu quina seria la gràfica de la funció
3)()( xfxg (feu-ne un esquema). En quins punts té màxims la funció g(x)?
Solució PAU CAT TEC 2001 2.6
17. Considereu la funció ax
xxf
2
)( , on a és un paràmetre.
a) Calculeu a sabent que la recta y = x+2 és una asímptota obliqua d'aquesta funció.
b) Prenent el valor de a obtingut en l'altre apartat, calculeu el domini, les interseccions
de la gràfica amb els eixos, els intervals de creixement I decreixement i els extrems
relatius de la funció f. Feu una gràfica aproximada d'aquesta funció a partir de les dades
que heu obtingut.
PAU CAT TEC JUNY 2000 3.5 (Problema)
18. Considereu la funció 28
1)(
xxxf
a) Trobeu el domini de f(x) i les asímptotes.
b) Determineu el signe de la funció en el seu domini (determinar el signe de f(x) vol dir
establir per a quins valors de x es compleix f(x) ≥0 i per a quins f(x) ≤0).
c) Trobeu-ne els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius.
d) Feu un esquema de la gràfica de la funció.
Solució PAU CAT TEC JUNY 1999 2.5
19. Considereu la funció 1
)(2
x
xxxfy
a) Feu un estudi de les seves asímptotes.
b) Calculeu els punts en què aquesta funció té extrem relatiu i digueu per a quins
intervals del domini la funció és creixent.
c) Feu un esbós de la gràfica de la funció a partir de les dades obtingudes en els apartats
anteriors.
Solució PAU CAT TEC JUNY 1999 6.5
6.5 Problemes PAU CCSS amb funcions racionals i derivació.
1. La despesa mensual en tabac d’un fumador ve determinada pel seu salari mitjançant
la funció 4
400)(
2
x
xxf , en què x representa el salari en milers d’euros i f(x) la despesa
mensual en tabac en euros.
a) Determineu el salari per al qual la despesa en tabac és màxima. A quant ascendeix
aquesta despesa?
b) Per a quins salaris la despesa mensual és inferior a 60 €?
Solució PAU CAT CCSS SET 2018 3.4
2. El nombre d’individus, en milions, d’una població ve determinat per la funció
2
2
)1(
5)(
t
ttP , en què t mesura el nombre d’anys transcorreguts.
a) Quina és la població inicial i la població després de 9 anys? A partir de quin moment
la població serà inferior a un milió d’individus?
b) Amb el pas dels anys, cap a quin valor tendirà el nombre d’individus de la població?
Solució PAU CAT TEC SET 2018 1.6
3. Sigui la funció 4
3)(
2
2
x
xxxf .
a) Indiqueu-ne justificadament el domini i determineu els punts en què la gràfica de f
talla l’eix de les abscisses.
b) Estudieu-ne el creixement i feu un esbós aproximat de la gràfica de la funció.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2018 5.1
4. Considereu la funció 1
)(2
x
xxf .
a) Determineu-ne, si en té, les asímptotes horitzontals i verticals.
b) Justifiqueu que és decreixent en tot el domini de f.
Solució PAU CAT CCSS SET 2014 5.6
5. La demanda d’energia elèctrica d’una ciutat, comptada a partir de la mitjanit i fins a
les vuit del matí, és donada per la funció 6
126)(
2
tttf , on t s’expressa en hores (h)
i f(t), en milions de kilowatts hora (kW h).
a) A quina hora el consum coincideix amb el de la mitjanit, i quin és aquest consum?
b) A quina hora es donarà el mínim consum? Justifiqueu que, efectivament, es tracta
d’un mínim.
Solució PAU CAT CCSS SET 2013 1.6
6. Sobre la funció cbxx
axf
2)( disposem de les dades següents:
- les seves asímptotes verticals són x=-3 i x=1;
- la seva gràfica passa pel punt (0, -4).
a) Determineu la fórmula de la funció i feu un dibuix aproximat de la gràfica
corresponent.
b) En el cas a=1, b=-2 i c=-1, determineu i classifiqueu, si existeixen, els extrems
relatius de la funció.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2012 3.1
7. Considereu la funció següent 1
2)(
2
ax
xxf :
a) Determineu el valor de a que fa que la funció f tingui un extrem en el punt x=1, i
indiqueu si es tracta d’un màxim o d’un mínim.
b) Per a a=3, indiqueu les asímptotes horitzontals i verticals de la funció f.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2011 1.3
8. Considereu la funció següent:
2
13)(
x
xxf
a) Determineu-ne les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha.
b) Si f′(x) > 0 en tot el domini de la funció f, calculeu els límits laterals quan x tendeix a
–2 i feu un esbós de la gràfica de la funció f.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 1.1
9. En una empresa artesana que pot produir fins a 25 cadires setmanals, la funció de
costos en relació amb el nombre q de cadires produïdes és
204100
)(3
qC
Si q és el nombre de cadires produïdes, el cost mitjà de cada cadira s’expressa
mitjançant la funció q
qCqQ
)()(
a) Calculeu el cost mitjà de cada cadira, si l’empresa produeix 5 cadires. I si en produeix
20?
b) Determineu quantes cadires cal produir perquè el cost mitjà sigui mínim, justifiqueu
que es tracta efectivament d’un mínim i calculeu aquest cost mitjà.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 1.4
10. La taxa d’inflació interanual d’un país determinat durant l’any 2008 expressada en
punts percentuals, i (t), es pot aproximar mitjançant la funció
121,340
910)(
2
ttt
ti
en què t és el temps en mesos des del començament de l’any i t=1 és el mes de gener.
a) Trobeu en quins mesos la taxa d’inflació interanual és de 3 punts percentuals.
b) Trobeu en quins mesos la taxa d’inflació és decreixent i en quins mesos és creixent.
c) Trobeu en quin mes la taxa assoleix el valor mínim i calculeu aquest valor.
d) Feu un esbós de la gràfica d’aquesta funció.
e) Trobeu en quin mes la taxa assoleix el valor màxim i calculeu aquest valor.
Solució PAU CAT CCSS SET 2009 1.6
11. Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una espècie protegida
determinada, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els propers
anys mitjançant la funció
1
50050)(
t
ttf
en què t és el nombre d’anys transcorreguts.
a) Calculeu la població actual i la prevista per d’aquí a nou anys.
b) Determineu els períodes en què la població augmentarà i els períodes en què
disminuirà.
c) Esbrineu si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun
valor i, si escau, determineu-lo.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2009 4.3
12. L’evolució de la població d’un estat, en milions d’habitants, es pot aproximar
mitjançant la funció
404
20)(
2
t
ttP
en què t és el temps en anys.
a) Calculeu la població actual (per a t = 0).
b) Determineu el límit de P(t) quan t tendeix a infinit.
c) Determineu al cap de quants anys la població serà màxima i el nombre d’habitants
que la funció prediu per a aquest màxim.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2009 3.3
13. Considereu la funció real de variable real 4
5)(
2
x
xxxf .
a) Determineu-ne els intervals de creixement i decreixement.
b) Trobeu-ne els extrems relatius.
Solució PAU CAT CCSS SET 2008 4.1
14. Els beneficis mensuals d’un artesà expressats en euros, quan fabrica i ven x
objectes, s’ajusten a la funció B(x) = –0,5x2+50x– 800, en què 6020 x .
a) Trobeu el benefici que obté en fabricar i vendre 20 objectes i en fabricar i vendre 60
objectes.
b) Trobeu el nombre d’objectes que ha de fabricar i vendre per a obtenir el benefici
màxim, així com aquest benefici màxim.
c) Feu un esbós del gràfic de la funció B(x).
d) El benefici mitjà per x objectes és x
xBxM
)()( . Digueu quants objectes ha de
fabricar i vendre perquè el benefici mitjà sigui màxim, i quin és aquest benefici.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2007 2.5
15. En els sis primers mesos, des que va obrir, una llibreria ha anat anotant el nombre de
compradors de cada mes. Aquest nombre N(x) es pot ajustar per la funció
x
xxN
6001000)(
,
essent x el número del mes comptat des que van obrir.
a) Quants compradors van tenir el segon mes? En quin mes, comptat a partir de
l’obertura, van tenir 900 compradors?
b) Suposem que aquesta fórmula serveix per predir el nombre de compradors en el
futur. Podem assegurar que aquest nombre sempre anirà en augment?
Solució PAU CAT CCSS SET 2006 4.1
16. La funció 5
10090)(
x
xxf indica el nombre de minuts que s’aconsella de caminar
diàriament en funció del nombre x de setmanes que han passat des que es va començar
un programa de manteniment.
a) Segons aquest programa de manteniment, a partir de quina setmana s’ha de caminar
més d’una hora?
b) Feu un gràfic aproximat de la funció i expliqueu el seu creixement. Quant de temps
aproximadament hauria de dedicar diàriament a caminar una persona que fa molt de
temps que segueix el programa?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2005 4.4
17. Sigui la funció 1
1)(
2
2
x
xxf .
a) Trobeu les equacions de les asímptotes de f(x).
b) Estudieu el signe de la funció.
c) Estudieu el creixement i decreixement de la funció i indiqueu quins són els seus
màxims i mínims.
d) Feu un esbós de la gràfica de f(x).
Solució PAU CAT CCSS SET 2004 5.5
18. Considereu la funció x
xxf
1
3)(
a) Determineu les seves asímptotes verticals i horitzontals (si en té) i els intervals de
creixement i decreixement. Feu després un esquema senzill de la seva gràfica.
b) Determineu els punts de la gràfica de la funció on la tangent és paral·lela a la recta
d'equació y = x.
Solució PAU CAT CCSS SET 2000 6.5
19. Representeu gràficament la funció
45
1)(
2
xxxf
de manera raonada (domini de definició, asímptotes, intervals de creixement i
decreixement, màxims i mínims...).
PAU CAT CCSS SET 1999 5.5
20. Considereu la funció
1
44)(
2
2
x
xxxf
Trobeu el domini de definició, els punts de tall amb els eixos, les possibles asímptotes,
els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims. Feu
després un esquema senzill de la gràfica d'aquesta funció.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 1.6
21. Digueu raonadament quin és l'interval de creixement de la funció
12
x
xy
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 6.2
22. Considereu la funció
18)(
2
2
x
xxxf
Busqueu-ne el domini de definició, els límits quan x i quan x , les
asímptotes, els punts de tall amb els eixos, els intervals de creixement i decreixement, i
els màxims i mínims locals. Feu després un dibuix aproximat de la seva gràfica.
PAU CAT CCSS SET 1998 5.5
7 Tècniques de derivació.
7.1 Taula de derivades de les funcions fonamentals.
1. cxf )( 0)(' xf
2. xxf )( 1)(' xf
3. nxxf )( 1)(' nxnxf
4. xxf )( x
xf2
1)('
5. 0,)( aaxf x )ln()(' aaxf x
6. xexf )( xexf )('
7. )(log)( xxf a xa
ex
xf a
1
)ln(
1log
1)('
8. )ln()( xxf x
xf1
)('
9. )sin()( xxf )cos()(' xxf
10. )cos()( xxf )sin()(' xxf
11. )tan()( xxf )(tan1)(' 2 xxf
12. )arcsin()( xxf 21
1)('
xxf
13. )arccos()( xxf 21
1)('
xxf
14. )arctan()( xxf 21
1)('
xxf
7.2 Àlgebra de derivades.
Si )(xf i )(xg són derivables en x, llavors també ho és també la suma, resta, producte i
divisió (si el denominador no s’anul·la) de ambdues funcions, i es verifica:
a) )(')('))(( xgxfxgf
b) )(')('))(( xgxfxgf
c) )(')()()('))(( xgxfxgxfxgf
d) 0)()(
)(')()()(')(
2
xgsi
xg
xgxfxgxfx
g
f
De l'apartat (c) deduïm que )('))(( xfkxfk . Efectivament:
)(')(')(0)(')(')()'( xfkxfkxfxfkxfkxfk
7.3 Regla de la cadena.
Sigui g una funció derivable en ax i sigui f una funció derivable en )(agbx .
Llavors la funció composta ))(())(( xgfxgf és derivable en ax i es compleix
)('))((')(' agagfagf
En general direm que la derivada de la funció composta és )('))((')(' xgxgfxgf
7.4 Derivada de la funció inversa.
Siguin A i B són dos intervals oberts de IR, i sigui BAf : una funció bijectiva amb
inversa contínua.
Si es compleix 0)(' xf per a tot Ax , llavors 1f és derivable per a tot By .
A més a més, anomenant )(xfy , es verifica:
)('
1)()'( 1
xfyf
7.4 Pràctica amb derivades.
Derivació d’una funció amb divisió i regla de la cadena.
Determina la derivada de la funció 2
2
1
12)(
xx
xxf
22
2
12
12
11
x
xx
xx
Derivem el denominador:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
1
21
11
1
11
11
11
1111
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xxxxx
I ara derivem la funció completa:
*
1
1
211214
1
122
2
2
222
2
2
xx
x
xxxxx
xx
x
2
2
2
422
2
2222
2
22
2
222
2
2222
1
14
1
)14()1(4
1
)21)(12()1(4
1
2112
1
114
1
211214
x
x
x
xxx
x
xxxx
x
xx
x
xxx
x
xxxx
23
22
2
222
2
22
2
2
)1(
14
1)1(
14
)1(
1
14
*xx
x
xxx
x
xx
x
x
7.4.1 Exercicis de derivació.
1. 63)( 24 xxxf
2. 236)( xxxf
3.
5
1)(
23
xxxf
4. xxxxf 246)( 2
5
2
7
5.
xxxxf
13)( 3
6. 23
3)1()(
x
xxf
7. 52)(3 2 xxxf
8. 23 2141)( xxxf
9. )23)(12()( xxxxf
10. 3612)( 2 xxxxf
11. 2
3
1)(
t
ttf
12.
3
)4()(
2
s
ssf
13.
2
1)(
2
3
xx
xxf
14. 22 32)( xxf
15.
x
xxf
1
1)(
16. 2
2
1
12)(
xx
xxf
17. 3 2 1)( xxxf
18. 331)( xxf
19. xxf 2sin)(
20. xxxf 3cossin2)(
21.
x
xxf
cos1
sin)(
22. xxxf 3cos2sin)(
23. ttttf cossin)(
24. tttf cossin)( 3
25. xxf cosln)(
26. xxf tanln)(
27. xxf 2sinln)(
28.
x
xxf
sec
1tan)(
29.
x
xxf
sin1
sin1ln)(
30. )sin(ln)( xxf
31. )sin(cos)( xxf
32.
x
xxf
1
1ln)(
33. xxxf sinlog)( 2
3
34. 2
2
1
1ln)(
x
xxf
35. )ln()( 2 xxxf
36. )52ln()( 3 xxxf
37. xxxf ln)(
38. xxf 3ln)(
39. 21ln)( xxxf
40. )ln(ln)( xxf
41. 54)( xexf
42. 2
)( xaxf
43. xxxf 22
7)(
44. )1()( 2xexf x
45.
1
1)(
x
x
e
exf
46. xexf sin)(
47. xexf x sin)( cos
48. )ln(sin)( xexf x
49. xxxf )(
50. xxexf )(
Font: http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf
7.5 Derivació de polinomis i funcions racionals amb la Regla de la
Cadena.
Davant d’un polinomi, la temptació de desfactoritzar-lo és forta, però no és el
bon camí. Ans al contrari, hem d’intentar sempre factoritzar els polinomis,
principalment traient factor comú.
54 )3()1()( xxxf
Apliquem la fórmula de la derivada del producte i la regla de la cadena:
4453
445
334
)3(5)1()3()1(4)(')3(5)1()3(5)3(
)1(4)1()1(4)1(
xxxxxf
xxx
xxx
i traiem factor comú:
79)3()1(55124)3()1(
)1(5)3(4)3()1()('
2323
43
xxxxxxx
xxxxxf
Només després de treure factor comú podem resoldre l’equació 0)(' xf :
9
7079
30)3(
10)1(
079)3()1(0)(' 2
3
23
xx
xx
xx
xxxxf
Les solucions són 1x , 3x i 9
7x .
1
1)(
2
2
x
xxf
Apliquem la fórmula de la derivada de la divisió de funcions:
22
22
2
2
)1(
2)1()1(2)('
21
21
x
xxxxxf
xx
xx
Ara no caiem en la temptació de desfactoritzar el numerador, i en comptes de fer les
multiplicacions traiem factor comú:
222222
22
22
22
)1(
4
)1(
22
)1(
112
)1(
2)1()1(2)('
x
x
x
x
x
xxx
x
xxxxxf
0040)1(
40)('
22
xx
x
xxf
Per calcular la segona derivada, en comptes de desfactoritzar el denominador apliquem
la Regla de la Cadena:
42
222
2222 )1(
)1(4)4()1(4)(''
142121
44
x
xxxxxf
xxxxx
x
I ara, en comptes de treure parèntesis al numerador, en traiem factor comú:
)13)(1(441)1(4
)4()1()1(4)1(4)4()1(4
22222
222222
xxxxx
xxxxxxx
Perquè d’aquesta manera podem simplificar numerador i denominador tatxant el factor
repetit:
32
2
42
22
)1(
)13(4
)1(
)13)(1(4)(''
x
x
x
xxxf
I, ara sí, podem resoldre còmodament l’equació 0)('' xf :
0130)13(40)1(
)13(40)('' 22
32
2
xx
x
xxf , que no té solució.
7.6 Derivació de funcions radicals.
La fórmula de la derivada de l’arrel quadrada es pot deduir escrivint l’arrel quadrada en
forma potencial:
xxxxxxf
xxfxxf
2
1)2/1()2/1()2/1()2/1()('
)()(
2/1
2/112/1
2/1
En general, per derivar una arrel d’índex superior a 2: n xxf )(
escriurem la funció en forma potencial i aplicarem la fórmula de la derivada de la
potència: 1/1/1 )/1()(')( nnn xnxfxxxf
Exemples:
1.
3 23 23/2
3/213/1
3/13
3
1)3/1()3/1()3/1()3/1()('
)()(
xxxxxxf
xxfxxf
2.
333/1
3/113/2
3/23 2
3
2)3/2()3/2()3/2()3/2()('
)()(
xxxxxxf
xxfxxf
Què has de saber:
Les regles d’escriptura de les potències:
m nmn
n
n
xx
xx
/
1
i la fórmula de la derivada de la potència: 1)(')( nn xnxfxxf
Exercici: Determineu els màxims i mínims relatius de la funció 33 1)( xxxf
7.7 Exercicis de continuïtat i derivació de funcions definides a trossos i regla de la
cadena.
1.Estudieu la continuïtat i derivabilitat de la funció
1
1)2()(
2
3
xsix
xsixxf
2. a) Estudieu la continuïtat i derivabilitat de la funció
2)2(
22)(
3
xsixx
xsixxf
b) Determineu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f al punt )1,3(
3. Determineu el valor de k per al què sigui contínua la següent funció. És derivable?
3104
33)(
2 xsixx
xsikxxf
4. Determineu el valor de k per al què sigui contínua la següent funció. És derivable?
01
0)(
xsixe
xsikxf
x
8 Recta tangent.
8.1 Concepte de recta tangent.
8.1.1 Funcions tangents en un punt.
Direm que les gràfiques de dues funcions )(xf i )(xg són tangent en un punt px si
a) )()( pgpf
b) )(')(' pgpf
és a dir, si passen pel mateix punt i a més a més tenen el mateix pendent en aquest punt.
8.1.2 Recta tangent a la gràfica d’una funció.
És un cas particular de l’anterior, quan )(xg és una recta : baxxg )(
En aquest cas la funció queda totalment determinada per les condicions a) i b)
Per la condició b): )(')(')(' pfpgaaxg
Per la condició a): papfbpfbpapg )()()(
Per tant, per cada punt de la gràfica x = p on f és derivable existeix una única recta
tangent bxay on
(1) )(' pfa (Propietat fonamental de la recta tangent)
(2) papfb )(
8.1.3 Pendent d’una recta.
Donada qualsevol recta en el pla de la forma baxy , el valor a s’anomena pendent
de la recta.
Per trigonometria sabem que el pendent d’una recta és la tangent de l’angle que forma
aquesta recta amb l’eix d’abscisses.
)tan(a
El valor b es pot deduir si sabem que la recta passa per un punt ),( 0 oyx , ja que en
aquest cas
0axyb o
8.1.4 Segona definició. Recta tangent a la funció en un punt.
Definim la recta tangent a la funció f en el punt d’abscissa x com aquella recta que
passa per ))(,( xfxP i té com a pendent el valor de la derivada de la funció en aquest
punt:
)(' xfa
el valor b es pot determinar fàcilment amb la fórmula axxfb )(
8.2 Determinació de la recta tangent.
8.2.1 Exemples.
Troba la recta tangent a la funció 3
)(2x
xf en el punt x = 1
Tenim (fent p = 1)
3
1)1(,
3)(
2
fx
xf
3
2)1(',
3
2)(' fa
xxf
3
1
3
21
3
1)1('1)1(
ffb
La recta tangent és doncs 3
1
3
2 xy
Determina la recta tangent a la funció xxf ln)( en el punt x = 2
xxx
xfxxf2
1
2
11)('ln)(
La recta tangent és de la forma y = ax + b, on
25.04
1)2(' fa
153426.0)2('2)2( ffb
La recta tangent és doncs 153426.025.0 xy
8.2.2 Exercicis.
1. Donada la funció ,13)( 2 xxxf troba l’equació de la recta tangent en els punts
d’abscissa x = -1, x = -3, i x = 1
2. Calcula l’equació de la recta tangent a la gràfica de 1
)(2
2
x
xxf en el punt
d’abscissa x = 1 i en el punt d’abscissa x = -0.5
3. Esbrina l’equació de la recta tangent a la corba d’equació xxxf ln)( en el punt
d’abscissa x=1, x=0.5 i x=0.25
4. Determineu el polinomi cxbxaxxP 23)( de forma que es verifiquin les
condicions següents:
a) El polinomi té extrems relatius als punts 3
1x , 1x .
b) La recta tangent a la gràfica de )(xP al punt )0(,0 P és 3 xy
8.2.3 Problemes PAU de recta tangent amb funcions polinòmiques.
1. Sigui f(x) = x3 + ax
2 + bx + c. Sabem que la gràfica d’aquesta funció és tangent a la
recta r: y = x + 3 en el punt d’abscissa x = –1, i que en el punt d’abscissa x = 1 la recta
tangent és paral·lela a la recta r.
Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 3.6
2. Donades la recta y = ax + 1 i la paràbola y = 3x – x
2,
a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè siguin tangents.
b) Calculeu els punts de tangència. Solució PAU CAT TEC SET 2012 4.6
3. Considereu la funció bxaxxf 2)( ba, . Trobeu els valors de a i b que fan
que la recta 12 xy sigui tangent a la gràfica de f quan x = 1.
Solució PAU CAT TEC SET 2008 4.1
4. Calculeu els valors del paràmetre a, 0a , que fan que les tangents a la corba
d’equació 15122 34 axaxaxy en els punts d’inflexió siguin perpendiculars.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 2.3
5. Considereu la funció 7)( 234 cxbxaxxxf
a) Calculeu c sabent que la seva recta tangent en el punt d’abscissa x = 0 és horitzontal.
b) Per al valor de c trobat a l’apartat anterior, calculeu a i b sabent que aquesta funció té
un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = -2 i que talla l’eix OX quan x = 1.
c) Per als valors obtinguts als altres apartats, calculeu els intervals on la funció creix i
decreix, els seus extrems relatius i feu una representació gràfica aproximada.
Solució PAU CAT TEC 2006 1.6
6. Sigui la paràbola y= 2x2 +x +1 i sigui A el punt de la paràbola d’abscissa 0.
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la paràbola en el punt A.
b) En quin punt de la paràbola la recta tangent és perpendicular a la recta que heu trobat
en l’apartat anterior?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 4.4
7. Considereu la funció f(x) = x3 –3x
2 +2x +2.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa x=3.
b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f(x) que sigui paral·lela a la que heu
trobat? Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l’equació.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.1
8. Calculeu les equacions de les dues rectes del pla que passen pel punt P = (1, –1) i que
són tangents a la corba d’equació y = (x– 1)2.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 2.1
9. Calculeu els valors de a tals que les tangents a la gràfica de la funció
3 + 2x+ ax = f(x) 23 en els punts d'abscisses x = 1 i x = –1 siguin perpendiculars entre si.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 1.1
10. Sigui bxaxxxf 53)( 23 . Trobeu els valors de a i b de manera que la gràfica
de f(x) tingui la tangent horitzontal per a x=1 i, a més, la corba passi pel punt (-1,-8) .
Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 6.2
8.2.4 Problemes PAU TEC.
1. Sabem que una funció f(x) està definida per a tots els nombres reals i que és derivable
dues vegades. Sabem també que té un punt d’inflexió en el punt d’abscissa x = 2, que
l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en aquest punt és
249+–124x=y i que -4f(-3) .
a) Calculeu f ''(2), f '(2) i f (2).
b) Calculeu 2
3)(' dxxf .
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 5.4
2. Sigui la funció 1)( xexxf .
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa
x = 1.
b) Determineu en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals és
decreixent. Solució PAU CAT TEC JUNY 2016 3.3
3. Siguin les funcions 4
)(be
xfax
i 43)( xxg .
a) Determineu el domini i el recorregut de la funció g.
Calculeu per a quins valors de a i de b les gràfiques de les dues funcions són tangents
(és a dir, tenen la mateixa recta tangent) en el punt d’abscissa x = 0.
Solució PAU CAT TEC SET 2014 5.2
4. La funció f(x) és derivable i passa per l’origen de coordenades. La gràfica de la
funció derivada és la que veieu aquí dibuixada, essent f’(x) creixent als intervals
(–∞, –3] i [2, + ∞).
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d’abscissa
x = 0.
b) Indiqueu les abscisses dels extrems relatius de la funció f(x) i classifiqueu aquests
extrems.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 4.6
5. Considereu la funció definida per 1
1)(
2
x
xxf . Calculeu quant val el pendent de la
recta tangent a la seva gràfica pel punt d’abscissa x = 0. Trobeu si hi ha altres punts en
els quals el pendent de la tangent sigui igual al que s’ha obtingut.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 3.1
6. Donada la funció xe
xxf
1)(
, determineu l'equació de la recta tangent a la seva
gràfica en el punt on s'anul·la la segona derivada.
Solució PAU CAT TEC SET 2000 6.2
8.2.5 Problemes PAU CCSS.
1. La gràfica de la funció x
baxxf8
)( passa pel punt (–2, –6) i la recta tangent en
aquest punt és paral·lela a l’eix de les abscisses.
a) Calculeu el valor de a.
b) Calculeu el valor de b.
PAU CAT CCSS JUNY 2019 1.3 (Solució: "Compendium CCSS", Pàg. 427)
2. Considereu la funció 21
1)(
xxf
.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquells punts en què la recta
tangent és horitzontal.
b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció f(x) en què el pendent de
la recta tangent és màxim.
PAU CAT TEC SET 2019 5.4 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 546)
3. A continuació es mostra la gràfica d’una funció f que presenta un mínim relatiu en el
punt d’abscissa x = −1 i un màxim relatiu en el punt d’abscissa x = 1.
a) Sabent que f '(0) = 1, determineu l’equació de la recta tangent a f que passa per
l’origen de coordenades.
b) Feu un esbós de la gràfica de la funció f' amb les dades de què disposeu.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2018 5.6
4. Considerem una funció f(x) tal que la seva primera derivada és f ′(x) = x2 + bx – 3, en
què b és un paràmetre real.
a) Determineu el valor de b perquè f(x) tingui un extrem relatiu en x = –3 i raoneu si es
tracta d’un màxim o d’un mínim.
b) Per a b = –8, trobeu l’equació de la recta tangent a f(x) en el punt (0, 2).
Solució PAU CAT CCSS SET 2017 2.3
5. Considereu la funció 21
1)(
xxf
.
a) Estudieu-ne el creixement i, si en té, determineu-ne i classifiqueu-ne els extrems
relatius.
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt d’abscissa x = 1.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2016 3.2
6. La gràfica de la derivada f′ de la funció f és una paràbola que talla l’eix d’abscisses
en els punts (5,0) i (1,0), i té el vèrtex en el punt (3, –4).
a) Expliqueu raonadament en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals
és decreixent. Indiqueu-ne els extrems relatius i classifiqueu-los.
b) Sabem que f(3) = 2. Determineu l’equació de la recta tangent a la funció f en el punt
(3,2). PAU CAT CCSS JUNY 2014 3.2
7. Determineu els valors dels paràmetres a, b i c que fan que les corbes d’equació
baxxxf 3)( i 2)( 23 cxxxg tinguin la mateixa recta tangent en el punt
(1, 1).
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 4.6
8. Considerem les funcions 3)()( axxf i cbxxxg 2)( .
a) Determineu els valors dels paràmetres que fan que les dues corbes tinguin la mateixa
tangent en el punt (2, 1).
b) En el cas a= 1, feu una gràfica aproximada de la funció f.
Solució PAU CAT CCSS SET 2012 4.1
9. Considereu la funció –xex=f(x) .
a) Indiqueu-ne els extrems relatius, si n’hi ha, i classifiqueu-los.
b) Escriviu l’equació de la recta tangent a la corba en el punt d’abscissa 0.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 4.3
10. Calculeu els paràmetres a, b i c de la funció f(x) =ax
2 +bx +c, sabent que la recta
0=2–y–5x és tangent a la corba f(x) en el punt d’abscissa x= 0 i que el valor mínim
absolut que pren la funció és –49/12. Solució PAU CAT CCSS SET 2009 1.3
11. Considereu la funció 12
)(2
x
xxf .
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la corba y=f(x) en el punt d’abscissa x=2.
b) Determineu els intervals de creixement i decreixement, així com els extrems, si n’hi
ha. Solució PAU CAT CCSS SET 2007 3.1
12. La corba y=f(x) de la figura té per domini el conjunt de tots els nombres reals.
a) Determineu els punts on la funció val 0. Determineu els valors de x pels quals la
funció és positiva.
b) Digueu en quins punts s’anul·la la derivada i en quins punts f’(x)<0.
c) Trobeu l’equació de la recta tangent en el punt d’abscissa x=2.
d) Determineu la recta tangent en el punt d’abscissa x= –1.
e) Determineu a sabent que f(x)=a(x+1)(x–2)2.
Solució PAU CAT CCSS SET 2007 3.5
13. Considereu la funció real de variable real x
mxxf
2)( , on m és un paràmetre
real.
a) Calculeu el valor que ha de tenir m perquè la tangent a la gràfica de f(x) en el punt
d’abscissa x= –3 sigui paral·lela a la recta x –3y +1 = 0. Calculeu també l’equació
d’aquesta tangent.
Ara fixeu el valor de m=1.
b) Determineu el domini de la funció i els intervals on és creixent o decreixent.
c) Determineu-ne les asímptotes.
d) Dibuixeu un esbós de la gràfica resultant. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2007 1.5
14. Considereu la funció 21
1)(
xxf
.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la corba que representa f(x), en el punt
d’abscissa x = 2.
b) Quina és la funció que dóna el pendent de la recta tangent en cadascun dels punts de
la corba?
c) Calculeu el punt de la corba que representa f(x) en el qual el pendent de la recta
tangent és màxim. Trobeu el valor d’aquest pendent màxim.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2005 1.5
15. Considereu la funció 25001530
)( 23
xx
xf .
a) Calculeu l’equació de la recta tangent en el punt d’abscissa x = 0.
b) En quin punt de la corba és mínim el pendent de la recta tangent? Quin és el valor del
pendent mínim? Solució PAU CAT CCSS JUNY 2004 1.5
16. Esbrineu si les gràfiques de la funció f (x) = x
2 –2x +2 i de la recta y = 2x –2 són
tangents en algun punt. En cas que ho siguin, determineu aquest punt. Hi ha algun altre
punt d’intersecció entre la recta i la gràfica de la funció? Solució PAU CAT CCSS SET 2003 3.3
17. Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = 3x
2 +5x +1 en el
punt d'abscissa x = 2. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 2.1
18. Considereu la funció y = ln x (on ln indica el logaritme en base e).
a) Determineu el seu domini de definició. Poseu en evidència que aquesta funció és
creixent en tot el seu domini.
b) Feu un esquema senzill de la seva gràfica tot indicant els límits de la funció quan
x i quan 0x .
c) Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica d'aquesta funció en el punt
d'abscissa x = 1.
d) Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt d'abscissa
a x i determineu a per tal que aquesta recta sigui paral·lela a y = 2x.
PAU CAT CCSS SET 1999 2.6
19. Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció y = ex en el punt en
què aquesta gràfica talla l'eix de les y.
PAU CAT CCSS SET 1999 5.2
20. Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x)=e
3x en el punt
(0, 1).
PAU CAT CCSS SET 1998 5.3
8.3 Determinació del punt de tangència.
De vegades ens donen la recta tangent i necessitem obtenir el punt de tangència. En
aquests casos la propietat fonamental de la recta tangent:
)(' xfa
esdevé una equació que hem de resoldre.
Donada la paràbola 22)( xxf
a) Determineu la recta tangent a la seva gràfica al punt 2x .
b) Determineu la recta tangent a la seva gràfica que sigui paral·lela a la recta d’equació
42 yx .
a)
62)4(22)2(
4)2('2)('2)( 2
afb
faxxfxxf
La recta buscada és 64 xy
b)
31)2(11)1(
2)1('1222)('
afb
faxxxfa
La recta buscada és 32 xy
a) Determineu els punts de la gràfica de la funció 1234)( 3 xxf
en els què la recta tangent és paral·lela a la recta xy .
b) Determineu la recta tangent per a 2x .
a)
3 2
3/213/1
3/13
)23(
43)23(
3
4)23(
3
14)('
1)23(41234)(
xxxxf
xxxf
3/10
22364)23(4)23(41
)23(
4 233 2
3 2 x
xxxx
x
b) 1)2(' fa
912418412234)2( 33 f
62192)2( afb , la recta tangent és 6 xy
8.3.1 Problemes.
1. Trobeu els punts de la funció xxxxf 23)( en què la recta tangent és paral·lela a
la recta 52 xy .
2. Trobeu l’equació de les rectes tangents a la funció 23 3)( xxxf que són
paral·leles a la recta 039 yx .
3. Trobeu l’equació de la recta tangent a la funció 34)( 2 xxxf en els punts en
què la paràbola talla l’eix horitzontal.
4. Trobeu els valors d’x on les rectes tangents a les funcions 3)( 2 xxxf i 23)( xxxg són paral·leles. Doneu les seves equacions.
8.3.2 Problemes PAU TEC.
1. Considereu la funció polinòmica f(x) = x3 – ax
2 + bx + c.
a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c, sabent que la funció té un extrem relatiu
en el punt d’abscissa x = 1 i que la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt
d’abscissa x = 0 és la recta y = x + 3.
b) Per als valors a = 2, b = 1 i c = 3, calculeu les abscisses dels extrems relatius de la
funció i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT TEC SET 2018 3.1
2. Sigui la funció f(x) = x
3 – x
2.
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica i que és paraŀlela a la recta d’equació
x + 3y = 0.
b) Calculeu, si n’hi ha, els punts de la gràfica en què la funció presenta un màxim o
mínim relatiu o un punt d’inflexió.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 1.3
3. Donades la recta y=3x + b i la paràbola y = x
2,
a) Calculeu l’abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paral·lela a la
recta donada.
b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2012 3.2
4. Sigui 132)( 23 xxxxf . Donades les rectes 2:1 xyr i 27:2 xyr :
a) Expliqueu, raonadament, si alguna de les dues rectes pot ser tangent a la corba
)(xfy en algun punt.
b) En cas que alguna d’elles ho sigui, trobeu el punt de tangència.
Solució PAU CAT TEC SET 2009 1.3
5. Digueu per a quin valor de x la recta tangent a la corba )1ln( 2 xy és paral·lela a la
recta xy . Escriviu l’equació d’aquesta tangent.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.3
6. En quin punt la recta tangent a la funció xexxf )( és paral·lela a l’eix d’abscisses?
Escriviu l’equació de la recta tangent en aquest punt.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.1
7. La corba d’equació 13 2 xy i la recta y = 4x + b són tangents.
a) Determineu el punt de tangència.
b) Determineu b. Solució (Curs 2004-2005. Setembre)
8. Calculeu el punt de la corba y = 2 +x –x2 en què la tangent és paral·lela a la recta
y=x.
Solució PAU CAT TEC SET 2003 3.2
9. Determineu els punts de la gràfica de f(x) = x4 + 5x on la recta tangent és paral·lela a
la bisectriu del primer quadrant. Calculeu l'equació d'aquestes rectes tangents.
Solució : (-1,-4), y = x-3. PAU CAT TEC JUNY 2000 3.2
10. a) Calculeu els punts del gràfic de la corba 12 23 xxxy on la recta tangent
té pendent 3
1 .
b) Determineu la recta tangent en aquests punts. Solució PAU CAT TEC JUNY 2005
11. Esbrineu si les gràfiques de la funció 22)( 2 xxxf i de la recta y = 2x – 2 són
tangents en algun punt. En cas que ho siguin, determineu aquest punt. Hi ha
algun altre punt d’intersecció entre la recta i la gràfica de la funció?
PAU CAT TEC SET 2003
12. En quin punt de la corba xxf ln)( la recta tangent és paral·lela a la corda AB
determinada pels punts A=(1,0) i B=(e,1) ? Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 3.4
8.3.3 Problemes PAU CCSS.
1. Considereu la funció f(x) = –x2 + bx + c, amb b i c nombres reals.
a) Trobeu b i c de manera que la gràfica de la funció passi pel punt (–1, 0) i tingui un
extrem local en el punt d’abscissa x = 3. Raoneu de quin tipus d’extrem relatiu es tracta.
b) Per al cas b = 3 i c = 2, trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica que és
paraŀlela a la recta y = 5x – 2. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2017 1.6
2. Considereu la funció 3
1)(
2
x
xxf .
a) Determineu els punts en què la funció f talla cadascun dels eixos. Determineu també
els intervals on la funció f és positiva.
b) Determineu els punts en què la recta tangent a la gràfica de f és horitzontal.
Solució PAU CAT CCSS SET 2016 1.5
3. Considereu la funció 2
22)(
2
xx
xxf .
a) Escriviu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt de tall amb l’eix de
les ordenades.
b) Determineu els punts de la corba en què la recta tangent és horitzontal. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2016 2.3
4. Considerem la funció x
xf12
)( .
a) Indiqueu-ne el domini i estudieu-ne el creixement.
b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la gràfica de f que són paral·leles a la
recta y+3x=2. Solució PAU CAT CCSS SET 2012 4.2
5. Sabem que la funció 3
13)( 23 bxxaxxf passa pel punt (1, 0), i que la recta
tangent a la gràfica de la funció en aquest punt és paral·lela a la recta 12x –2y=3.
a) Determineu els valors dels paràmetres a i b.
b) Per a a=1 i b=9, determineu, si n’hi ha, les abscisses dels extrems possibles (màxims
o mínims) de la funció, i classifiqueu-los. Solució PAU CAT CCSS SET 2011 2.6
6. Donada la funció següent: 1
4)(
2
x
xxf
a) Determineu-ne les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha.
b) Trobeu els punts de la corba en què la recta tangent és paral·lela a la recta
43 xy
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 4.2
7. Considereu la funció següent:
2
2 23)(
x
xxxf
a) En quin punt de la corba la recta tangent a la gràfica de f és paral·lela a la recta
x+y=5?
b) Calculeu les asímptotes horitzontals i verticals de la funció, si n’hi ha, i feu un esbós
de la gràfica de la funció f.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 5.4
8. Considereu la funció x
xxf
23)(
.
a) Trobeu els punts de la gràfica en els quals la recta tangent és paral·lela a la recta
3x+ 4y+ 5 = 0.
b) Calculeu les equacions d’aquestes rectes tangents. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2006 1.1
9. La corba d’equació y = 3x
2 – 1 i la recta y = 4x + b són tangents.
a) Determineu el punt de tangència.
b) Determineu b. Solució PAU CAT CCSS SET 2005 3.3
10. a) Calculeu els punts del gràfic de la corba y = x
3 – 2x
2 + x + 1 on la recta tangent té
pendent 3
1 .
b) Determineu la recta tangent en aquests punts. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2005 4.3
11. Calculeu en quin punt (si és que n'hi ha algun) la recta tangent a la gràfica de la
funció f(x) = e2x
forma un angle de 45° amb l'eix de les x.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.2
11. Calculeu l'abscissa del punt en què la tangent a la gràfica de la funció f(x) = 2 ln x és
paral·lela a la recta 16x – 2y = 7.
PAU CAT CCSS SET 2000 2.4
8.3.4 Exercicis en anglès.
Solve Tangent Lines Problems in Calculus.
a) Find all points on the graph of y = x 3 - 3x where the tangent line is parallel to the x
axis (or horizontal tangent line).
b) Find a and b so that the graph of y = ax3 + bx is tangent to the line y = -3x + 4 at x =
1.
c) Find conditions on a and b so that the graph of y = ae x + bx has NO tangent line
parallel to the x axis (horizontal tangent).
d) Find all points on the graph of y = x 3 - 3x where the tangent line is parallel to the
line whose equation is given by y = 9x + 4.
e) Find a and b so that the graph of y = ax2 + bx is tangent to the line y = -2 at x = 1.
f) Find conditions on a, b and c so that the graph of y = ax 3
+ bx 2
+ cx has ONE tangent
line parallel to the x axis (horizontal tangent).
Font: http://www.analyzemath.com/calculus/Problems/tangent_lines.html
8.4 Recta normal a la gràfica d’una funció.
De forma similar a com vam definir la recta tangent, també podem definir la recta
normal:
Donada una funció f(x) i un punt P=(p, f(p)) de la seva gràfica, existeix una única recta
y=ax+b que compleix alhora les dues propietats següents:
a) És perpendicular a la gràfica de la funció f en x = p.
b) Passa per P.
Determinació de la recta normal:
La recta és perpendicular a la gràfica de la funció en ))(,( pfpP , per tant,
)('
1
pfa
La recta passa pel punt P, per tant bappf )( , i d’aquí aïllem b.
Trobar la recta tangent a la funció 2)( xxf en el punt x=1
Tenim (fent p=1)
1)1()( 2 fxxf
2
1
)1('
12)1('2)('
fafxxf
2
3
2
11
)1('
1)1(
ffb
La recta tangent és doncs 2
3
2
1
xy
Exercicis:
1. Determina les rectes normals a la funció xxf )( en els punts A d’abscissa x=1, B
d’abscissa x=2 i C d’abscissa x=0.5
2. Determina les rectes normals a la funció xexf )( en els punts A d’abscissa x=-0.5,
B d’abscissa x=0 i C d’abscissa x=-1.5
3. Determina les rectes normals a la funció x
xf1
)( en els punts A d’abscissa x=-0.5, B
d’abscissa x=1 i C d’abscissa x=1.5
9 Funcions exponencials i logarítmiques.
9.1 Extrems relatius de funcions exponencials i logaritmes.
Donada la funció
xe
xxf
2
)(
a) Determineu el seu domini.
b) Estudi de la monotonia (creixement, decreixement, màxims i mínims relatius).
c) Estudi de la curvatura (convexitat, concavitat i punts d’inflexió).
d) Estudieu el comportament d’aquesta funció en l’infinit.
e) Representeu gràficament aquesta funció.
a) Domini: IR . (el denominador no s’anul·la mai).
b)
xx
xx
x
x
xx
x
ee
xx
e
xx
e
xxe
e
exxexf
e
xxf
2
222)(')(
2
22
22
0,20)(' xxxf
)0,( )2,0( ),2(
)(' xf 03)1(' ef 0/1)1(' ef 0/3)3(' 3 ef
)(xf decreixent creixent Decreixent
La funció té un màxim relatiu al punt )0,0( i un mínim relatiu al punt 54.0,24
,22
e
c)
xx
x
x
x
x
x
xx
ee
xxxxxx
e
xxe
e
xxxe
e
exxexxf
)1(2222)2(
)42)2()1(2)2()1(2)(''
2
2
2
22
414.322
586.0220420
420)('' 2
2
2
xxxe
xxexf
x
x
)22,( )22,22( ),22(
)('' xf 02)0('' f 0/1)1('' ef 0/2)4('' 4 ef
)(xf convexa còncava convexa
La funció té punts d’inflexió a )191.0,586.0( i )384.0,414.3(
d) La funció és una exponencial contra una potencial, guanya l’exponencial, per tant
xxxxx
xxx
ex
e
xxf
e
xxf
1limlim)(lim
0lim)(lim
22
2
e)
1. Determina els extrems relatius de les següents funcions:
a) 2
)(x
exf
x
b) 3
)(x
exf
x
c) xe
xxf
3
)(
d) x
xxf
)ln()(
e) 2
)ln()(
x
xxf
f) 3
)ln()(
x
xxf
2. Determina les coordenades dels extrems relatius (màxims M i mínims m) i dels
possibles punts d’inflexió I de les següents funcions:
a) xe
xxf )(
b) xe
xxf
2
)(
c) x
xxf
ln)(
d) x
xxf
ln)(
2
e) x
exf
x
)(
9.2 Exercicis de derivació amb exponencials i logaritmes.
1. Estudieu la monotonia i la curvatura de la funció )1ln()( 2 xxf .
2. Determineu el punt de la gràfica de la funció
1ln)(
2
x
xxf en el què la recta
tangent és paral·lela a l’eix OX.
3. Estudieu la monotonia de la funció 2)1(
)(x
x
e
exf
.
4. Estudieu la monotonia de la funció 221
4)(
x
xxf
.
5. Estudieu la monotonia i la curvatura de la funció 2ln)( xxxf .
6. Estudieu la monotonia i la curvatura de la funció xe
xxf
1)(
2 .
7. Estudieu la monotonia de la funció x
exexf
x)( .
(Retalls de problemes de la selectivitat de Madrid)
9.2 Problemes PAU TEC amb funcions exponencials i logarítmiques.
1. Sigui la funció bxxeaxf 2
)( , amb 0a 0 i 0b .
a) Calculeu els valors de a i de b que fan que la funció tingui un extrem relatiu en el
punt (1, e).
b) Per al cas a = 3 i b = 5, calculeu l’asímptota horitzontal de la funció f quan x tendeix
a +∞. Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 5.3
2. Sigui la funció f(x) = ex – x – 2.
a) Demostreu que la funció f té una arrel (un zero) en l’interval [0, 2].
b) Comproveu que la funció és monòtona en l’interval [0, 2] i calculeu les coordenades
dels punts mínim absolut i màxim absolut de la funció en aquest interval.
Solució PAU CAT TEC SET 2015 5.3
3. Sigui xaexxf 2)( quan 0a .
a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt
d’abscissa 2x .
b) Quan 2a , classifiqueu-ne els extrems relatius. Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 1.6
4. Donades les funcions 2
)(xx ee
xf
i 2
)(xx ee
xg
:
a) Comproveu que 1)()(22 xfxg
b) Comproveu també que )()(' xgxf i )()(' xfxg
c) Comproveu que )()()()()( xgyfxgxfyxf
d) Calculeu )(
)(lim
xg
xf
x dividint per xe el numerador i el denominador; amb un
procediment similar (però no igual), trobeu )(
)(lim
xg
xf
x
Solució PAU CAT TEC SET 2008 4.5
5. Donada la funció xxexf 22
)( .
a) Trobeu el seu domini i les possibles interseccions amb els eixos.
b) Trobeu els intervals on creix i decreix i els extrems relatius.
c) Trobeu les possibles asímptotes.
d) Feu la representació gràfica aproximada de la funció. Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 3.5
6. Sigui :)(xf la funció definida per )()( baxexf x , on a i b són nombres
reals.
a) Calculeu els valors de a i b per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt
3,3 e .
b) Per als valors de a i b obtinguts, digueu quin tipus d’extrem té la funció en el punt
esmentat. Solució PAU CAT TEC SET 2006 4.1
7. El consum d’un cotxe depèn de la seva velocitat v (expressada en km/h) segons la
funció v
evf
v012,03)( (en litres/km). Quina és la velocitat més econòmica?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 4.3
9.3 Problemes PAU CCSS amb funcions exponencials i logarítmiques.
1. Durant la darrera epidèmia d’Ebola es va considerar que, sense cap intervenció, el
virus es propagava augmentant en un 3 % diari el nombre d’afectats. Suposeu que en
una població, avui, hi ha 25 persones infectades.
a) Escriviu la fórmula de la funció que dóna el nombre de persones infectades en passar
els dies. Quantes persones estaran infectades al cap de 20 dies?
b) A partir d’una data determinada, en aquesta població s’apliquen unes mesures
sanitàries que permeten que el nombre de persones infectades disminueixi segons la
funció g(x) = 1.000 · (0,95)x. Si considerem controlada l’epidèmia quan el nombre
d’afectats és igual o inferior a 10 persones, quants dies hauran de passar després
d’aplicar les mesures sanitàries per a poder declarar controlada l’epidèmia?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2016 3.4
2. La funció derivada d’una funció f és f′(x) = e–2x
· (x – x2).
a) Estudieu el creixement i el decreixement de la funció f.
b) Si la funció f té extrems relatius, indiqueu-ne les abscisses i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2016 2.5
3. La funció derivada d’una funció f és )()(' 2xxexf x .
a) Estudieu el creixement i el decreixement de la funció f.
b) Si la funció f té extrems relatius, indiqueu-ne les abscisses i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT CCSS SET 2014 5.3
4. S’han corregit unes quantes proves de selectivitat i s’han puntuat amb notes entre 0 i
10. El nombre de persones que han obtingut una determinada qualificació x és definit
per la funció .)92(250)( 2 xxN
a) Quantes persones han tret un 10 en aquesta prova? Quantes persones han tret un 6?
b) Quina és la nota que han tret més persones? Quantes persones han tret aquesta nota?
Solució PAU CAT CCSS SET 2014 5.2
5. Sigui la funció xexxf )( .
a) Si la funció f té extrems relatius, determineu-los i classifiqueu-los.
b) Calculeu la recta tangent a la gràfica de f en el punt d’abscissa x=0.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2014 3.6
6. Donada una funció f, sabem que xxexf x 32)(' 2 .
a)Estudieu el creixement i el decreixement de la funció f.
b) Si la funció f té extrems relatius, indiqueu-ne les abscisses i classifiqueu-los.
Solució PAU CAT CCSS SET 2013 1.1
7. Segons uns estudis de laboratori, l’evolució de la població en un cultiu de bacteris al
llarg del temps segueix la funció 10)1(30)( tetf , on t són els dies que han
transcorregut des de l’inici de l’experiment, i f(t) és la població, en milions de bacteris.
a) Quina població hi ha en el moment de començar l’experiment? Justifiqueu si en algun
moment hi arribarà a haver 40 milions de bacteris.
b) Hi haurà algun moment en què la població sigui màxima? Justifiqueu la resposta.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2013 3.5
8. Considereu la funció xexxf 3)( .
a) Indiqueu-ne el domini, i demostreu que f és estrictament creixent en tot el domini.
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt d’abscissa x=0.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2011 1.6
9. Considereu la funció )ln()( xxxf .
a) Indiqueu-ne el domini. Determineu l’asímptota vertical de la funció f.
b) Determineu els intervals en què la funció f és creixent i els intervals en què és
decreixent, i classifiqueu-ne els extrems possibles.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2011 4.1
10. Un bosc té una massa forestal de 40000m3 de fusta. Es calcula que la pluja àcida i
els incendis provoquen una disminució del 6% anual de l’esmentada massa forestal, que
es pot expressar en termes de la funció txF 94,040000)( , en què F(t) és la massa
forestal que queda passats t anys.
a) Justifiqueu que la funció F és estrictament decreixent.
b) D’aquí a quants anys la massa forestal s’haurà reduït a la meitat?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2011 4.6
11. Donada la funció f(x) =x2·e
x:
a) Justifiqueu si hi ha cap valor de x que compleixi f(x )<0. Hi ha cap valor de x que
compleixi f(x)=0?
b) Indiqueu si la funció f és creixent o decreixent en el punt x= –1. Estudieu el
creixement de la funció f per als valors que compleixen x> 0.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 5.5
12. Determineu els intervals de creixement i decreixement, així com els màxims i
mínims, de la funció f(x) =x2e
–x.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2008 2.2
13. Calculeu a i b de manera que f(x) = a ln(x) + bx2 + x tingui extrems relatius en els
punts d’abscisses x = 1 i x = 2, i digueu, en cada cas, si es tracta d’un màxim o d’un
mínim.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2005 1.3
14. Fa quatre anys es va repoblar un llac amb una nova espècie de peixos. Llavors es
van introduir 100 exemplars d'aquesta nova espècie. Actualment s'estima que hi ha
25.000 exemplars. S'estima que el nombre N de peixos ve donat en funció del temps t
per la funció N = AeBt
, on A i B són dues constants. El temps t es considera expressat
en anys des del moment de la repoblació. Quant temps haurem d'esperar perquè hi hagi
200.000 exemplars?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 1.6
10 Les funcions trigonomètriques.
10.1 Pràctica derivant funcions trigonomètriques.
Dues coses molt importants que has de tenir clares al treballar amb funcions
trigonomètriques:
Recorda que les fórmules de les derivades de les funcions trigonomètriques:
)cos()(')sin()( xxfxxf
)sin()(')cos()( xxfxxf
)(tan1)(')tan()( 2 xxfxxf
Només funcionen si la unitat de mesura angular són els radians. Per tant,
comprova sempre que la calculadora està en “Mode Rad” R quan treballis amb
aquestes derivades.
Recorda que les funcions trigonomètriques són periòdiques, i per tant les equacions de
la forma
ax )sin( ax )cos( ax )tan(
tenen, en general, infinites solucions.
La calculadora científica només et donarà una d’elles, la que està més pròxima al 0:
)arcsin()sin( axax
)arccos()cos( axax
)arctan()tan( axax
Per exemple, la calculadora científica dóna com a solució de l’equació
0)sin( x
el valor
0)0arcsin( x
però també són solucions tots els valors
,...4,3,2,,...,4,3,2,.0
10.2 Exercicis.
1. Calcula la derivada de x
xxf
sin1
cos)(
2. Donada la funció xxf 3cos)( , resol l’equació 0)(' xf
10.3 Problemes PAU CCSS.
1. Considereu la funció f(x) = 2002x2 +ax +b +sin x, amb a, b reals. Calculeu els valors
dels paràmetres a, b perquè f passi pel punt (0, 3) i tingui un extrem relatiu en aquest
punt. Expliqueu raonadament quin tipus d'extrem té f en aquest punt.
Solució PAU CAT CCSS SET 2002 1.5
10.4 Recta tangent amb funcions trigonomètriques.
Determinació de la recta tangent amb funcions trigonomètriques.
1. Calcula la recta tangent y=ax+b a la funció f en el punt x donat.
a) f(x) = sin(x) x = 0.9
b) f(x) = sin(x) x = 2.8
c) f(x) = cos(x) x = -0.7
d) f(x) = tan(x) x = 0.8
e) f(x) = tan(x) x = -0.5
2. Calcula el punt de tangència P=(x,y) coneixent la recta tangent g(x)=ax+b a la funció
f en aquest punt
a) f(x) = sin(x) y = 0.6216x + 0.2239
b) f(x) = cos(x) y = -0.8415x + 1.3818
10.5 Exercicis.
1. Calculeu la primera i segona derivada de la funció x
xxf
cos2
sin)(
2. Determineu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció 2)(sin1
1)(
xxf
al punt
4,
4
f .
11 Problemes d’optimització.
11.1 Fases de la resolució.
Un problema de la física, economia,
geometria... que hem d’optimitzar, és
a dir, trobar el punt mínim o màxim.
Una equació que relaciona les
variables x i y entre elles.
De vegades hem d’aplicar
coneixements de geometria de
cursos anteriors.
Una funció ),( yxf per a la què
hem de trobar el punt màxim o
mínim.
Però (ai!) és multivariable, i no
sabem treballar amb funcions
multivariables.
Una funció )(xf per a la
què hem de trobar el màxim
o mínin, amb una única
variable x.
Hem de resoldre l’equació
0)(' xf
I després comprovar que realment
es tracta d’un extrem adequat.
Hem de comprovar que la solució
(x,y) proposada té sentit dintre del
context inicial del problema.
En primer lloc hem de llegir detingudament
l’enunciat, fer un dibuix esquemàtic de la
situació i posar-hi lletres: x,y.
Sense lletres no podem fer matemàtiques!
11.2 Exemples resolts.
1. Determineu, entre tots els rectangles de diagonal 4 m., aquell que té superfície
màxima.
Funció: yxyxÀrea ),( (màxim)
Equació: 2222 10010 xyyx (Teorema de Pitàgores)
22
2
2
22
2
22
100)2(
1002
1100
1
100100
1001001)('100)(
x
xx
xx
x
x
xx
x
xxxxAxxxA
071.7501002
1002100100
100100
1000100
100)('
22222
22
2
2
22
2
22
xxxxxx
xxx
xx
x
xxxA
L’única solució acceptable és la positiva. Comprovem que es tracta d’un màxim:
071.7x
02
7)6(' f
0
3
14)8('
f
f creixent Màxim
relatiu f decreixent
2 4 6 8 10
10
20
30
40
50
50501002
y , la figura solució és un quadrat.
2. Trobeu el punt de la recta 532 yx més pròxim a l’origen (0,0).
La funció ),( yxf que hem d’optimitzar (en aquest cas trobar el mínim) és la distància
22),( yxyxf
L’equació que lliga ambdues variables és l’equació de la recta:
3
25253532
xyxyyx
Per tant la funció a optimitzar és
2
2
3
25)(
xxxf
Derivem aquesta funció aplicant la regla de la cadena:
9
)25(42
3
252
1)('
2
2
xx
xx
xf
9
)25(42
9
)2)(25(22)('
9
25
3
25)(
2
2
2
2 xx
xxxg
xx
xxxg
13
100
9
)25(420
9
)25(42
3
252
10)('
2
2
xx
xx
xx
x
xf
Podem garantir que es tracta efectivament d’un mínim avaluant la derivada a l’esquerra
i a la dreta del punt 77.013
10x
decreixentf 0174.0)6.0('
creixentf 0032.0)8.0('
La solució és, doncs, 13/10x , 13
15
3
)13/10(25
y , és a dir, el punt
)15.1,77.0(P
3. Una cartolina rectangular de perímetre 36 cm i dimensions x , y gira al voltant d’un
costat fixe de longitud y desenvolupant un cilindre C. Per a quins valors de x i y
obtenim un cilindre de volum màxim?
Perímetre : xyyxyx 18183622
Volum : )18(22 xxyrhAb
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
x
xx
xxxV
123336236)18(2
).18(2)1().18(2)18(
118
2
)18()(
222
2
2
12012
0030)12(3)('
xx
xxxxxV
La solució x = 0 no té sentit.
Per a x = 12 observem que és un màxim relatiu pel criteri de la segona derivada:
)6(6)212(3)12(3
3)12(3)1(3)12(3)12(3
112
33
xxxx
xxxxxx
x
x
)6(6)('' xxV
036)126(6)12('' V
També podríem haver garantit el màxim en x = 12 avaluant la primera deriva de la
funció just abans i després d’aquest punt:
02.11)9.11('
04.11)1.12('
V
V
Les dimensions de la cartolina són x = 12 , y = 18 – 12 = 6
Font: http://catedu.es/matematicas_mundo/PAU/Analisis_CNS.pdf
4. Considereu un prisma recte de base rectangular, amb dos dels costats d’aquest
rectangle de longitud doble que els altres dos, tal i com s’indicava a la figura. Trobeu les
dimensions que ha de tenir aquest prisma per tal que la seva àrea total sigui 12 metres
quadrats i que amb aquestes condicions tingui un volum màxim.
aceptable no 1
10)('
1413
1266
3
2)('
263
226
3
2
3
2622
3
26263632622
12)22(2
222
322
2
2222
2
xxV
xxxxV
xxxxx
xxhxxV
x
xhxxhxhxxhxhx
xhxhxS
màximun és 8)1(''
824)(''
V
xxxV
Per tant la solució és x = 1 m , mh3
4
13
126 2
5. Determineu el punt Q de la gràfica 2xy més a prop del punt )3,6(P
Sigui ),( yxQ el punt que volem trobar.
Volem trobar el mínim de la funció distància entre dos punts, que és el mòdul del vector
)3,6( yxPQPQ
22 )3()6(),( yxPQPQd
El punt pertany a la paràbola 2xy , i per tant 222 )3()6()( xxxd
Derivem:
222
3
222
3
222
3
2
222
)3()6(
652
)3()6(2
12104
)3()6(2
124122
2)3(2)6(2)3()6(2
1)('
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xxxxx
xd
06520)3()6(
6520)(' 3
222
3
xx
xx
xxxd
Resolem per Ruffini per obtenir l’única solució real possible 2x .
A l’esquerra de 2x la derivada és negativa, i a la dreta de 2x la derivada és
positiva, per tant es tracta efectivament d’un mínim.
La solució és, doncs, )4,2(42,2 2 Qyx
6. Entre tots els cilindres d’un metre de diagonal, determineu l’alçària h i el radi r del
que té volum màxim.
Dintre del cilindre podem observar un triangle rectangle de hipotenusa 1, base 2r i altura
h, en el qual podem aplicar Pitàgores:
22
2222222
4
14141)2(1 r
hrhhrhr
322
2
41
44
1hhhhh
hhrhAV base
hhhhhV 3
1
3
131031031
4' 2222
3
3
33
3
3
1
3
1
3
1h
Podem garantir que el valor h és un màxim tenint veient que 'V és una paràbola amb les
branques cap a a vall o aplicant el criteri de la segona derivada.
6
6
66
6
6
1
6
1
6
1
6
1
4
3/2
4
3/11
4
1 22
r
hr
Solució: 6
6r ,
3
3h
7. Determina l’angle d’un sector circular que hem d’eliminar d’un cercle de radi 1
pera construir un con de volum màxim.
Volum del con:
hrhAV b 2
3
1
3
1
On r és el radi del cercle de la base del con i h és l’altura del con.
Al con tenim un triangle rectangle que relaciona el radi r de la base, l’altura h i la
generatriu lateral que és 1.
22222 11 hrhr
A més a més, sabem la relació entre el radi r i la longitud 1 del cercle de la base del con:
rl 2
Però, per construcció, la longitud 1 del cercle de la base del con és la longitud del sector
circular, que és proporcional a l’angle del sector (és un cercle de radi 1):
2360
360 l
Així doncs, ja tenim les equacions que relacionen V amb l’angle .
Escrivim el volum V en funció de l’altura h:
3
1
031
0313
10)('
313
1)('
3
11
3
1)(
3
1
2
2
2
322
h
h
hhV
hhV
hhhhhVhrV
L’única solució vàlida és la positiva: 3
1h
Per tant:
3
2
3
2
3
11
3
111
2
22
r
hr
Prenem només la solució positiva: 3
2r
3
222 rl
I per últim:
66.0612º 3
21360
3
2360360
3603
2360
360
360
3
2
2360
360
3
22
50 100 150 200 250 300 350
0.1
0.2
0.3
0.4
Gràfica del Volum V en funció de l’angle
El volum és màxim per a l’angle 66.0612º 3
21360
8. Un mirall pla que tenia forma rectangular de costats 300 x 165 cm s’ha trencat per
una cantonada, amb un tros petit en forma de triangle rectangle de catets 90 cm i 50 cm.
Trobeu les dimensions del mirall rectangular d’àrea màxima que es pot retallar del tros
que queda, de forma que els costats del nou mirall siguin paral·lels als costats del mirall
inicial.
Definim un sistema d’eixos de coordenades tal i com s’indica al següent esquema, on el
punt P=(x,y) és la cantonada inferior esquerra del rectangle gris:
Per tant, l’àrea que volem maximalitzar és )165)(300( yxA
La relació entre les dues variables x, y la trobem tenint en compte que el punt P=(x,y)
ha d’estar a la recta que passa pels punts A=(90,0) y B=(0,50). Determinem la recta
baxy que passa pels punts A=(90,0) y B=(0,50):
9
5
90
505090900
50050
aaba
bba
La recta és 509
5
xy
I per tant es queda la funció:
345003
155
9
5
)9/5115)(300(
)509/5165)(300(
))509/5(165)(300()(
2
xx
xx
xx
xxxA
5.462
930
3
155
9
10)('
xxxA
A(x) és una paràbola amb les branques cap avall, i per tant garantim que el punt anterior
és un màxim.
24.1667 6
14550
2
93
9
5
y
Per tant, les dimensions del nou mirall són:
5.2532/93300300 x
140.83 6/145165165 y
9. Un cocodril vol capturar una zebra que està 20m més endavant però a l’altra banda
d’un riu de 6 metres d’ample. El cocodril viatja a diferent velocitat a l’aigua i a terra:
Per l’aigua a 1/5 metres per segon i per terra a 1/4 de metres per segon. Calcula el temps
mínim que necessitarà per atrapar la zebra.
La part del trajecte que recorre per l’aigua es dedueix per Pitàgores: 226 x . Si
avança 1/5 metres per segon, cada metre necessita 5 segons, per tant el temps total
nedant serà 2265 x .
La part restant la recorre per terra i és 20x . Si avança a una velocitat de 1/4 metres
per segon, cada metre necessita 4 segons, i per tant el temps serà )20(4 x
La funció temps que hem de minimitzar és la suma dels dos temps parcials:
)20(465)( 22 xxxT
8
649
576576957616251657625
)36(162536453645
436
504
36
5042
362
15)('
222222
222
222
222
x
xxxxxx
xxxxxx
x
x
x
xx
xxT
Hem de comprovar que es tracta d’un mínim:
0-0.0956)5.7('T decreixent
00.08484)5.8('T creixent.
La funció té un mínim a 8x
2 4 6 8 10 12 14
100
102
104
106
11.3 Problemes PAU TEC d’optimització.
1. Les pàgines d’un llibre han de tenir cada una 600 cm2 de superfície, amb uns marges
al voltant del text de 2 cm a la part inferior, 3 cm a la part superior i 2 cm a cada costat.
Calculeu les dimensions de la pàgina que permeten la superfície impresa més gran
possible.
PAU CAT TEC JUNY 2019 1.1 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 528)
2. Considereu un con de 120 cm3 de volum que té una altura h, un radi de la base x i una
aresta a, com el de la figura següent:
a) Comproveu que 22 1360h
ha
.
b) Calculeu l’altura del con que té l’aresta de longitud mínima.
Nota: Recordeu que el volum del con és un terç del volum del cilindre recte que té la
mateixa base i la mateixa altura que el con.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2017 1.6
3. Volem fer un envàs de gelat amb forma de prisma regular de base quadrada i amb una
capacitat de 80 cm3. Per a elaborar-ne la tapa i la superfície lateral, farem servir un
material determinat que costa 1 €/cm2, però per a la base haurem d’utilitzar un material
que és un 50 % més car.
a) Si x és la mesura, en cm, del costat de la base, comproveu que la funció que
determina el preu de l’envàs és x
xxp320
5,2)( 2 .
b) Calculeu les mides que ha de tenir l’envàs perquè el preu sigui el mínim possible. Solució PAU CAT TEC SET 2016 1.3
4. Considereu el tetràedre que té per vèrtexs els punts A = (x, 0, 1), B = (0, x, 1), C = (3,
0, 0) i D = (0, x, 0), amb 0 < x < 3.
a) Comproveu que el volum del tetràedre és donat per l’expressió xxxV 36
1)( 2 .
b) Determineu el valor de x que fa que el volum sigui màxim i calculeu aquest volum
màxim.
Nota: Podeu calcular el volum del tetràedre de vèrtexs A, B, C i D amb l’expressió.
ADACAB ,,det6
1
Solució PAU CAT TEC JUNY 2016 3.5
5. Siguin x i y les mesures dels costats d’un rectangle inscrit en una circumferència de
diàmetre 2.
a) Comproveu que la superfície del rectangle, en funció de x, és donada per l’expressió
424)( xxxS .
b) Calculeu els valors de les mesures x i y per als quals la superfície del rectangle és
màxima i calculeu el valor d’aquesta superfície màxima. Solució PAU CAT TEC SET 2015 5.5
6. La portalada d’una catedral està formada, en la part superior, per un arc de mitja
circumferència que recolza sobre dues columnes, com iŀlustra la figura adjunta, en què x
és el diàmetre de la circumferència, és a dir, la distància entre columnes, i y és l’alçària
de cada columna.
a) Comproveu que la funció xyx
yxf 8
),(2
determina l’àrea d’aquesta portalada.
b) Si el perímetre de la portalada fa 20 m, determineu les mides x i y de la portalada que
en maximitzen l’àrea. Solució PAU CAT TEC JUNY 2015 2.6
7. Un nedador és al mar en un punt N, situat a 3 km d’una platja recta, i just al davant
d’un punt S, situat a la platja arran de l’aigua; i vol anar a un punt A, situat també arran
de l’aigua i a 6 km del punt S, de manera que el triangle NSA és rectangle en el vèrtex
S. El nedador neda a una velocitat constant de 3 km/h i camina a una velocitat constant
de 5 km/h.
a) Si P és un punt entre el punt S i el punt A que està a una distància x de S, demostreu
que el temps, en hores, que necessita el nedador per a nedar del punt N al punt P i
caminar des del punt P fins al punt A és determinat per l’expressió
5
6
3
9)(
2 xxxt
.
b) Calculeu el valor de x que determina el temps mínim que cal per a anar del punt N al
punt A, passant per P. Quin és el valor d’aquest temps mínim?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2014 3.3
8. Volem construir una tenda en forma de piràmide regular de base quadrada. Disposem
de 300 m2 de tela per a la fabricació de les quatre cares de la tenda (se suposa que en
l’elaboració de les cares no es perd gens de tela). Designem x la longitud d’un costat de
la base de la tenda.
a) Sabent que el volum d’una piràmide és igual a un terç del producte de l’àrea de la
base per l’altura, comproveu que, en aquest cas,
6
)109()(
44 xxxV
b) Determineu el valor de x perquè el volum sigui el més gran possible (no cal que
comproveu que el valor obtingut correspon realment a un màxim).
Solució PAU CAT TEC SET 2013 1.6
9. Un triangle rectangle situat en el primer quadrant té el vèrtex A en l’origen de
coordenades, el vèrtex B = (x, 0) en el semieix positiu d’abscisses i el vèrtex C pertany
a la recta x + 2y = 8. L’angle recte és el que correspon al vèrtex B.
a) Comproveu que l’àrea del triangle es pot expressar de la manera següent:
42)(
2xxxA .
b) Trobeu els vèrtexs B i C perquè l’àrea del triangle sigui màxima i comproveu que es
tracta realment d’un màxim.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 5.6
10. Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòsceles de manera que
l’amplària superior del canal sigui el doble de l’amplària inferior i que els costats no
paraŀlels siguin de 8 metres.
A la dreta teniu un esquema de la secció del canal.
a) Trobeu el valor del segment L de la gràfica en funció de la variable x (amplària
inferior del canal).
b) Sabem que l’àrea d’un trapezi és igual a l’altura multiplicada per la semisuma de les
bases. Comproveu que, en aquest cas, l’àrea de la secció és donada per
4
2563)(
2xxxA
c) Calculeu el valor de x perquè l’àrea de la secció del canal sigui màxima (no cal que
comproveu que és realment un màxim).
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 4.4
11. En una semiesfera de radi R inscrivim un con situant el vèrtex al centre de la
semiesfera, tal com es veu en el dibuix.
a) Sabent que el volum d’un con és igual a l’àrea de la base multiplicada per l’altura i
dividida per 3, comproveu que, en aquest cas, podem expressar el volum com
22
3hR
hV
b) Trobeu les dimensions d’aquest con (el radi de la base i l’altura) perquè el seu volum
sigui màxim i comproveu que es tracta realment d’un màxim.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 3.5
12. Un triangle equilàter de vèrtexs A, B i C té els costats de 8 cm. Situem un punt P
sobre una de les altures del triangle, a una distància x de la base corresponent.
a) Calculeu l’altura del triangle de vèrtexs A, B i C.
b) Indiqueu la distància del punt P a cadascun dels vèrtexs (en funció de x).
c) Determineu el valor de x perquè la suma dels quadrats de les distàncies del punt P a
cadascun dels tres vèrtexs sigui mínima. Solució PAU CAT TEC JUNY 2012 3.5
13. Dins d’un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del
rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtexs del rectangle és a la
hipotenusa del triangle.
a) Feu un esbós de la situació descrita.
b) Si x és la longitud del costat del rectangle que està situat en el catet petit i y és l’altre
costat del rectangle, comproveu que es compleix que 1234 yx .
c) Determineu les dimensions del rectangle perquè l’àrea sigui màxima.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 4.6
14. Un segment de longitud fixada m recolza sobre els eixos de coordenades. Calculeu
el valor de l’angle que forma el segment amb l’eix OX perquè el triangle
rectangle determinat pel segment amb els eixos i del qual m és la hipotenusa
tingui àrea màxima. Comproveu que es tracta realment d’un màxim.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 1.3
15. Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum V fixat.
Anomeneu x el costat de la base del prisma i y la seva altura.
a) Trobeu l’expressió del volum i de l’àrea total del prisma en funció de les
variables x i y.
b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub.
Solució PAU CAT TEC SET 2010 2.3
16. De tots els triangles rectangles d’hipotenusa 10 cm, trobeu la longitud dels catets
del triangle que té el perímetre màxim. Comproveu que la solució trobada
correspongui realment al perímetre màxim. Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.6
17. Un magatzem té forma de prisma recte de base quadrada i un volum de 768 m
3. Se
sap que la pèrdua de calor a través de les parets laterals val 100 unitats per m2, mentre
que a través del sostre és de 300 unitats per m2. La pèrdua pel sòl és molt petita i es pot
considerar nul·la. Calculeu les dimensions del magatzem perquè la pèrdua de calor total
sigui mínima. Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 2.5
18. Considereu la recta d’equació 2
1
2
2:
zyxr .
a) Expresseu el quadrat de la distància d’un punt qualsevol (x,y,z) de la recta al punt
P= (1, 2, 5) com una funció de la coordenada x.
b) Trobeu quin valor de x fa mínima aquesta funció, deduïu quin punt Q de la recta és el
més proper a P i calculeu la distància del punt a la recta.
c) Escriviu l’equació de la recta que passa per P i Q i comproveu que és perpendicular a
r.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.5
19. Considereu la funció 23 xy i un punt de la seva gràfica, M, situat en el primer
quadrant (x ≥ 0, y ≥ 0). Si pel punt M tracem paral·leles als eixos de coordenades, la
seva intersecció amb OX i OY determina dos punts, A i B, respectivament.
a) Feu un gràfic dels elements del problema.
b) Trobeu les coordenades del punt M que fa que el rectangle OAMB tingui l’àrea
màxima.
Solució PAU CAT TEC SET 2005 3.5
20. La recta tangent a la paràbola y = 3 – x
2 en un punt M situat dins del primer
quadrant (x > 0, y > 0), talla l’eix OX en el punt A i l’eix OY en el punt B.
a) Feu un gràfic dels elements del problema.
b) Trobeu les coordenades del punt M que fan que el triangle OAB tingui l’àrea
mínima.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 1.5
21. Donats la funció xxf )( i el punt A(2, 0) situat sobre l’eix de les abscisses:
a) Trobeu la funció que expressa la distància del punt A a un punt qualsevol de la
gràfica de la funció.
b) Trobeu les coordenades del punt de la gràfica de f(x) més proper a A.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 1.6
22. Volem unir el punt M situat en un costat d’un carrer de 3 m d’amplada amb el punt
N situat a l’altre costat i 9 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a
un punt P situat a l’altre costat del carrer i un altre des de P fins a N seguint el mateix
costat del carrer, segons l’esquema següent:
El cost de la instal·lació del cable MP és de 12 € per metre i del cable PN de 6 € per
metre.
Quin punt P haurem d’escollir de manera que la connexió de M amb N sigui tan
econòmica com sigui possible? Quin serà aquest cost mínim?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 2.5
23. Determineu quin és el punt de la gràfica de xy (és a dir, de la forma xx, ),
que és més a prop del punt P = (4, 0).
Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 5.1
24. Un camp té forma de trapezi rectangle, de bases 240 m i 400 m, i el costat
perpendicular a les bases també de 400 m. Es vol partir tal com indica la figura per fer
dos camps rectangulars C1 i C2. Anomenem x i y els catets d’un dels triangles
rectangles que es formen.
a) Comproveu que xy2
5 .
b) Utilitzant la igualtat anterior, escriviu la suma de les àrees dels dos camps en funció
de x.
c) El camp C1 es vol sembrar amb blat de moro i el camp C2 amb blat. Amb el blat de
moro s’obté un benefici de 0,12 € per m2 i amb el blat un benefici de 0,10 € per m
2.
Determineu les mides de cada un dels camps per obtenir el benefici màxim.
Solució PAU CAT TEC SET 2003 3.5
25. S’ha de construir un gran dipòsit cilíndric de 81 m
3 de volum. La superfície lateral
ha de ser construïda amb un material que costa 30€ el m2 i les dues bases amb un
material que costa 45€ el m2.
a) Determineu la relació que hi haurà entre el radi r de les bases circulars i l'altura h del
cilindre, i doneu el cost C(r) del material necessari per construir aquest dipòsit en funció
de r.
b) Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè el cost del material
necessari per construir-lo sigui el mínim possible?
c) Quin serà, en aquest cas, el cost del material? Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 3.5
26. Suposem que el Sol es troba a l'origen d'un sistema de coordenades i que un cometa
segueix una trajectòria donada per la paràbola 21 xy , tal com es veu a la figura
següent:
a) Quin és el punt en què el cometa es troba més proper al Sol?
b) Quant val en aquest cas la distància del Sol al cometa?
c) Hi ha algun punt en què el cometa es trobi a la màxima distància del Sol?
d) Hi ha algun punt en què la distància entre el Sol i el cometa sigui un màxim local o
relatiu?
Nota: Teniu present que la distància entre dos punts és màxima o mínima quan el
quadrat de la distància és màxim o mínim. Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 1.5
27. La riba d'un tram de riu descriu la corba 2
4
1xy , per a x entre –3 i 3, i en el
punt A = (0, 4) hi ha un poble, tal com es pot veure en l'esquema següent:
a) Expresseu la distància des d'un punt qualsevol d'aquesta vora del riu fins al
poble, en funció de l'abscissa x.
b) Quin és el punt de la vora d'aquest tram de riu que és més lluny del poble?
c) Hi ha algun punt de la vora del riu a una distància del poble inferior a 2? Solució PAU CAT TEC SET 2001 4.5
28. El costat desigual d'un triangle isòsceles mesura 12 m, i l'altura sobre aquest costat
és de 5 m.
a) Donat un punt arbitrari sobre aquesta altura, obtingueu una expressió de la suma de
les distàncies d'aquest punt a cada un dels vèrtexs del triangle.
b) Determineu els punts sobre l'altura que compleixen que la suma de les distàncies als
tres vèrtexs del triangle sigui màxima i els punts per als quals sigui mínima.
Solució PAU CAT TEC SET 2000 2.5
29. Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB = 60 m i AC = 45
m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part
ombrejada de la figura següent:
Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5.000 pessetes per cada metre quadrat no
edificable i 25.000 pessetes per cada metre quadrat edificable.
a) Determineu la relació que hi ha entre l'amplada x i la profunditat y del rectangle que
determina la part edificable.
b) Determineu l'expressió que dóna el valor del terreny en funció de l'amplada x del
rectangle edificable.
c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor
màxim per a aquest terreny?
d) Quin és aquest valor màxim?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 1.5
30. Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d'una habitació. Per fer-ho,
agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre
separats per una distància de 140 centímetres, de manera que els angles entre la corda i
el sostre són de 40º i 60º a cada un dels extrems.
a) Quina serà la longitud total de la corda?
b) A quina distància del sostre quedarà el llum?
PAU CAT TEC SET 1999 5.5
31. Considereu els rectangles del pla, els vèrtexs A, B, C i D dels quals compleixen les
condicions següents: a) A és l’origen de coordenades; b) B és a sobre del semieix de les
y>0; c) C és a sobre del semieix de les x>0; d) D és a sobre de la recta d’equació
2x+y=1, tal com es veu en la figura següent:
D’entre tots aquests rectangles, trobeu l’àrea del que la té màxima.
PAU CAT TEC SET 1998 5.2
32. Una via de tren passa a 2 km del poble A i a 3 km del poble B, de manera que el
tram de via comprès entre ambdós pobles és de 5 km, tal com s’indica en la figura.
Volem construir una nova estació ferroviària i una carretera formada per dos trams
rectes que uneix A amb B passant per l’estació. En quin punt del tram de via hem de
col·locar l’estació si volem que el recorregut de A a B passant per la nova carretera
sigui mínim? Quina serà la longitud total de la nova carretera?
Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 3.6
33. Trobeu els costats d’un rectangle d’àrea màxima inscrit a l’el·lipse d’equació
1416
22
yx
,
tal com s’indica en la figura següent:
PAU CAT TEC JUNY 1998 6.1
11.4 Problemes PAU CCSS d’optimització.
1. Disposem de 48 cm
2 de material per a fabricar una capsa de base quadrada, sense
tapa. Calculeu les dimensions de la capsa de volum més gran que podem construir en
aquestes condicions. Quin serà el volum de la capsa?
Solució PAU CAT CCSS SET 2012 4.5
2. Un triangle té els vèrtexs O(0, 0), A(6, 0) i B(0, 3).
a) Dibuixeu-lo i escriviu l’equació de la recta que conté el segment AB.
b) Considerem un punt P situat sobre el segment AB , i dibuixem el rectangle que té per
diagonal OP i dos costats sobre els eixos de coordenades. Determineu les coordenades
de P que fan màxima l’àrea del rectangle.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2012 3.4
3. Determineu dos nombres enters positius que sumin 25, de manera que el doble del
quadrat del primer sumat amb el triple del quadrat del segon doni el mínim valor
possible.
Solució PAU CAT CCSS SET 2011 2.4
4. Volem construir el marc d’una finestra rectangular de 100 dm2 de superfície. El cost
de cada decímetre de marc horitzontal és de 6€, mentre que el de cada decímetre de
marc vertical és de 24€. Calculeu les dimensions de la finestra perquè el marc ens surti
tan barat com sigui possible.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2010 5.2
5. Es vol construir una piscina que tingui per base un rectangle i dos semicercles adjunts
tal com s’indica a la figura següent:
Sabent que el perímetre de la piscina ha de ser de 30 m, calculeu les seves dimensions
per tal que la superfície sigui màxima.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2004 1.6
6. Disposem de material per poder impermeabilitzar 200 m2 de superfície. Volem fer
una bassa de base rectangular en què la llargada mesuri el triple que l’amplada i amb la
profunditat adequada per gastar tot el material. Interessa que el volum d’aigua que
càpiga a la bassa sigui màxim.
a) Escriviu la relació que hi ha entre l’altura i el costat petit de la base de la bassa.
b) Escriviu la funció que dóna la capacitat de la bassa en funció del costat petit de la
base.
c) Calculeu les dimensions de la bassa perquè la capacitat sigui màxima. (Els resultats
s’han de precisar fins als centímetres.)
d) Determineu-ne el volum.
Solució PAU CAT CCSS SET 2003 3.5
7. Amb un llistó de fusta de 300 cm de llarg volem fabricar el marc d’un quadre.
a) Determineu la relació que hi ha entre la base i l’alçada del marc.
b) Determineu la funció que expressa la superfície del quadre en termes de la base del
marc.
c) Feu un gràfic d’aquesta funció on es posin de manifest els seus intervals de
creixement i decreixement i els extrems relatius.
d) Trobeu les dimensions del marc que fan màxima la superfície del quadre. Trobeu el
valor de la superfície.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.6
12 Regles de L’Hôpital.
Sota el nom de regles de L’Hôpital s’engloben una sèrie de resultats que, mitjançant
derivació, permeten el tractament d’una classe àmplia de límits. Donarem l’enunciat
bàsic de L’Hôpital i comentarem les extensions sobre exemples.
12.1 Regla de L’Hôpital fonamental.
12.1.1 Teorema. Teorema de L’Hôpital.
Siguin )(xf i )(xg dues funcions }{,:, ahahagf tals que:
a) )(xf i )(xg són derivables
b) )(' xg no s’anul·la
c) 0)(lim
xfax
, 0)(lim
xgax
Llavors si Lxg
xfL
xg
xf
axax
)(
)(lim
)('
)('lim
Demostració.
Demostrarem que, si )(xf i )(xg són contínues en ba, i derivables en ),( ba . Si
0)()( agaf , baxxg ,0)(' i Lxg
xf
ax
)('
)('lim , llavors L
xg
xf
ax
)(
)(lim .
Considerem la funció
)()()()()( xgbfxfbgxh
que compleix les hipòtesis del teorema de Rolle i, per tant, existeix ),( bac tal que
0)(')()(')()(' cgbfcfbgch
Ho podem posar
)('
)('
)(
)(
cg
cf
bg
bf
perquè 0)(' cg per hipòtesi, i 0)( bg perquè pel teorema de Lagrange
0))((')()()( abdgagbgbg per a algun ),( bad .
Quan ab , ac perquè bca , i
Lcg
cf
bg
bf
acab
)('
)('lim
)(
)(lim
Observacions:
a) Adoneu-vos que és un resultat aplicable, en les hipòtesis adequades, al cas
d’indeterminació 0
0, però la podem utilitzar en qualsevol tipus d’indeterminació: fem
transformacions en el límit fins que aconseguim una indeterminació 0
0.
b) El teorema també es pot aplicar al cas d’indeterminació
.
c) El teorema de L’Hôpital és vàlid si a és un nombre real, o .
d) Noteu que l’enunciat diu “ " i no "" . És a dir pot ser que )(
)(lim
xg
xf
ax existeixi i en
canvi no el podem trobar per aquest procediment perquè no existeix )('
)('lim
xg
xf
ax.
Calcula els següents límits aplicant Hopital: a) x
x
x
sinlim
0 b)
x
x
x ln
1lim
2
1
a) x
x
x
sinlim
0
1)(')(
cos)('sin)(
xgxxg
xxfxxf
i clarament aquestes funcions compleixen les condicions del teorema de L’Hôpital.
Per tant 10coscoslim1
coslim
sinlim
000
x
x
x
x
xxx
b) x
x
x ln
1lim
2
1
xxgxxg
xxfxxf
1)('ln)(
2)('1)( 2
2122lim/1
2lim
ln
1lim 22
11
2
1
x
x
x
x
x
xxx
12.2 Altres indeterminacions que es poden resoldre amb L’Hôpital.
Totes les altres indeterminacions es poden reduir a les del tipus 0
0 i
, a les quals es
pot aplicar el teorema de L’Hôpital. Ho veurem amb exemples.
12.2.1 Indeterminació
1
1
ln
1lim
1 xxx
És un cas d’indeterminació .
Reduïm a denominador comú:
xx
xx
xx
x
xx
x
xx ln)1(
ln1
ln)1(
ln
ln)1(
1
1
1
ln
1
que queda una indeterminació 0
0 i podem aplicar el teorema de L’Hôpital:
xxxxgxxxg
xxfxxxf
1)1(ln)('ln)1()(
11)('ln1)(
1ln
1
1ln
11
)('
)('
xxx
x
x
xx
x
xg
xf
Continua la indeterminació 0
0, i tornem a aplicar el teorema de L’Hôpital:
2ln11
ln1)('1ln)(
1)('1)(
xx
xxxgxxxxg
xfxxf
2
1
21ln
1
2ln
1
)('
)(' 1
x
xxg
xf
12.2.2 Indeterminació 0
22lim xe x
x
És un cas d’indeterminació 0 .
xx
x
x e
xxe
2
222 limlim
que és una indeterminació
. Apliquem L’Hôpital dues vegades:
02
1limlim
2
2limlim
2222
2
xxxxxxxx ee
x
e
x
e
x
12.3 Quatre exercicis de Hôpital resolts.
Calcula els següents límits:
1. 2
sin
0lim
x
ee xx
x
PAU ANDALUCÍA JUNY 2010
2.
1
2
ln
1lim
21 xxx
PAU ANDALUCÍA JUNY 2009
3. 2
2
1 )1(
)(lnlim
x
xx
x
PAU ANDALUCÍA JUNY 2009
4. x
xex /1
0lim
PAU ANDALUCÍA JUNY 2008
1.
0
0lim
2
sin
0
x
ee xx
x és indeterminació. Apliquem la Regla de L’Hôpital:
xeexfeexf xxxx cos)(')( sinsin
xxgxxg 2)(')( 2
0
0
2
coslim
sin
0
x
xee xx
x. Apliquem de nou la Regla De L’Hôpital:
0)01(1sincos)('cos)(0
sin2sinsin x
xxxxx xexeexfxeexf
22)('2)(0
x
xgxxg
Per tant el límit és 02
0
2.
1
2
ln
1lim
21 xxx indeterminació.
Fem la resta passant a comú denominador per obtenir la fracció equivalent:
xx
xx
xx ln)1(
ln2)1(
1
2
ln
12
2
2
02
2)('ln2)1()(1
2
x
xxxfxxxf
0ln21
)('ln)1()(12
2
x
xxx
xxgxxxg
Continuem tenint una indeterminació 0/0, tornem a aplicar la Regla de Hôpital:
4222
2)('2
2)(1
2
x
xxf
xxxf
42022ln21
)('ln21
)(1
2
22
x
xx
xxgxx
x
xxg
Per tant, el límit és 14
4
Observació: També podríem haver simplificat abans:
xxx
x
x
xxx
x
x
xxx
x
xx
ln21
22
ln21
22
ln21
22
22
2
22
2
2
3.
0
0
)1(
)(lnlim
2
2
1
x
xx
x és una indeterminació, i apliquem la Regla de Hôpital:
0ln2)(ln1)(')(ln)(1
22
x
xxxfxxxf
0)1(2)(')1()(1
2
x
xxgxxg
De nou ens trobem davant d’una indeterminació 0/0, i tornem a aplicar Hôpital :
21
22ln22ln2)('ln2)(ln1)(
12
x
x
x
xx
xxfxxxf
22)(')1(2)(1
x
xgxxg
Per tant el límit és 12
2
4.
El comportament de la funció és diferent per l’esquerra i per la dreta, els hem d’estudiar
per separat:
00000lim 0/1/1
0
eeex x
x , no és una indeterminació.
x
eex
x
x
x
x /1limlim
/1
0
/1
0 és una indeterminació i apliquem Hôpital:
0/1
2
/1
2
2
/1
2
/1
1
1
)('
)('
1)('
1)(
1)(')(
xx
xxx
e
x
ex
xg
xf
xxg
xxg
ex
xfexf
El límit és, doncs, .
13 Integral indefinida, definida i àrea.
13.1 Integral indefinida.
13.1.1 Primitiva d’una funció. Integral indefinida. Antiderivació.
La integració d’una funció és el pas invers de la derivació.
Anomenem funció primitiva de )(xf una altra funció )(xF que compleix que
)()(' xfxF .
Observació important: La primitiva d’una funció no és única:
Si )(xF és una funció primitiva de )(xf , qualsevol funció de la forma CxF )( , amb
C també és una funció primitiva de )(xf .
Per expressar la integració d’una funció s’utilitza un símbol ∫, anteposat a la funció, i el
símbol dx (denominat diferencial de x) després de la funció, és a dir, la integral
indefinida d’una funció s’expressa
CxFdxxf )()(
essent F(x) una primitiva de f(x) i c una constant, és a dir, un nombre qualsevol.
La integral indefinida d’una funció )(xf és el conjunt de totes les seves primitives, i es
representa per dxxf )( . Es llegeix “la integral indefinida de f(x) diferencial de x”.
)()(')()( xfxgdxxfxg
Per tant, si )(xF és una primitiva de )(xf , llavors
CxFdxxf )()(
13.1.2 Integració de monomis.
Cxkdxk
)1(1
1
nsiCn
xdxx
nn
13.1.3 Integral d’una suma.
La integral d’una suma és la suma d’integrals
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13.1.4 Integral d’un producte per una constant.
La integral del producte d’una funció per una constant és la constant per la integral de la
funció.
dxxfkdxxfk )()(
13.1.5 Integració de polinomis.
De les propietats anteriors podem deduir la fórmula de la integral d’un polinomi:
Cxaxa
n
xa
n
xadxxfaxaxaxaxf
n
n
n
nn
n
n
n
01
1
101
1
12
...1
)(...)(
13.1.6 Integració de radicals.
La fórmula
)1(1
1
nsiCn
xdxx
nn és vàlida per a exponents fraccionaris, i és
molt útil per a integrar arrels.
Per exemple:
Cx
Cx
Cx
Cx
dxxdxx
3
2
3
2
2/312/1
32/32/312/12/1
Cx
Cx
Cx
Cx
dxxdxx
4
3
4
3
3/413/1
3 43/43/413/13/13
13.1.3 Problemes PAU TEC d’antiderivació amb funcions polinòmiques.
1. De les funcions f (x), f ′(x), g (x) i g′(x), en coneixem els valors següents:
a) De la funció f(x) sabem també que el pendent de la recta tangent a un punt d’abscissa
x és 4x3 – 9x
2 – 2x + 1. Trobeu f (x).
b) Calculeu (g º f )′(1). Solució PAU CAT TEC SET 2017 2.4
2. Sabem que una funció f té per derivada la funció f '(x) = (3x – 2)2(x – 2).
a) Calculeu els valors de x en què la funció f té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un
punt d’inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta.
b) Determineu la funció f sabent que s’anuŀla en el punt d’abscissa x = 2.
Solució PAU CAT TEC SET 5.4
3. La funció derivada F’(x) d’una funció contínua IRIRF : que passa per l’origen és
una funció a trossos formada per les semirectes del dibuix.
Escriviu l’expressió de la funció F(x) com una funció a trossos.
Solució PAU CAT TEC SET 2007 3.4
13.2 Integral definida.
13.2.1 Definició. Integral definida.
La integral definida neix de la necessitat de calcular l’àrea tancada per una funció i l’eix
X en cert interval. Aquesta àrea es pot aproximar sumant certs rectangles, la base dels
quals sigui constant, i l’altura dels quals sigui el valor de la funció en certs punts
escollits convenientment. El límit d’aquest càlcul quan la base d’aquests rectangles
tendeix a 0 és igual a la integral definida d’aquesta funció en aquest interval, és a dir,
l’àrea que s’estava buscant.
La integral definida d’una funció f(x) entre els extrems a i b es defineix com el límit de
la suma dels rectangles de la imatge, quan la seva base tendeix a 0:
n
i
iii
b
a xxxxxfdxxf
ii 0
10
))((lim)(1
Nota: La definició de integral definida com a suma d’àrees de rectangles de base més i
més petita justifica l’origen del símbol integral és una S allargada, indicant que es tracta
d’un sumatori, mentre que l’origen del símbol diferencial, dx, prové del fet que es tracta
de diferències de x (prenent la inicial de "diferència" juntament amb la x, resulta
precisament dx).
Molt important: Aquesta definició d’integral com a límit d’un sumatori no es farà
servir mai en el nostre context. Nosaltres utilitzarem sempre la fórmula de Barrow, que
lliga integral definida i antiderivada.
13.2.2 Teorema fonamental del càlcul. Regla de Barrow.
Teorema. Teorema del valor mitjà per a la integral.
Si )(xf és integrable en ba, , existeix un Mm, tal que
b
aabdxxf )()(
sent m i M l’ínfim i el suprem de la funció en l’interval ba, .
Demostració.
Clarament baxMxfm ,)( per tant
b
a
b
a
b
adxMdxxfdxm )(
és a dir,
)()()( abMdxxfabmb
a
dividint per )( ab
Mdxxfab
mb
a
)(
1
Prenent
b
adxxf
ab)(
1 tenim que Mm , és a dir, Mm, , i clarament es
comprova que b
aabdxxf )()( .
Aquest teorema ens diu que l’àrea determinada per la funció és entre les àrees dels
rectangles de base ab i altura m i M.
Corol·lari.
Si )(xf és contínua en ba, , existeix un bac , tal que
b
aabcfdxxf )()()(
Demostració.
La imatge per f de l’interval ba, és Mm, i, per tant, existeix un bac , tal que
)(cf perquè Mm, .
És a dir,
b
acfdxxf
ab)()(
1 amb bac ,
Corol·lari.
Si )(xf és integrable en ba, , la funció x
adttfxF )()( és contínua en ba, .
Demostració.
Hem de veure que
0)()(lim0
xFhxFh
hx
hh
x
a
hx
ahhdttfdttfdttfxFhxF )(lim)()(lim)()(lim
000
Aplicant el Teorema del valor mitjà
0lim)(lim)(lim000
hx
h hhhhxhxdttf
Teorema fonamental del càlcul.
Si f és contínua en ba, , la funció dttfxFx
a )()( és una primitiva de f en ba, ,
és a dir, baxxfxF ,)()('
Demostració.
Per la demostració de derivada tenim que:
h
dttfdttf
h
xFhxFxF
x
a
hx
a
hh
)()(lim
)()(lim)('
00
Observem que hem hagut de canviar a la lletra t dintre de les integrals perquè la lletra x
ja l’estem utilitzant.
Per la propietat ---- de la integral definida:
dttfdttfdttfdttfdttfdttfhx
x
x
a
hx
x
x
a
x
a
hx
a
)()()()()()(
Per tant, h
dttfxF
hx
x
h
)(lim)(
0
Aplicant ara el teorema del valor mitjà, resulta que existeix un hxxc , tal que
hcfxhxcfdttfhx
x)())(()(
I per tant
)(lim)(
lim)(00
cfh
hcfxF
hh amb hxxc ,
Si 0h i hxxc , llavors )()( xfcf (recordem que per hipòtesi f és contínua)
d’on deduïm que )()( xfxF .
Corol·lari. Regla de Barrow.
Si f és contínua en ba, i G és una primitiva de f en ba, , llavors
)()()( aGbGdxxfb
a
Demostració.
Sabem que dues primitives d’una mateixa funció difereixen en una constant.
Acabem de veure que dttfxFx
a )()( és una primitiva de f, i per tant
kxGxF )()( per a certa constant k.
En particular, per a ax , 0)()()( dttfaFkaGa
a i per tant )(aGk , és a
dir, )()()( aGxGxF .
Prenem ara bx , )()()( aGbGbF , és a dir, )()()( aGbGdttfb
a , tal i com
volíem veure.
Exemple:
8
5
338
5
32
3
5
3
8
3
xdxx 129, ja que una primitiva de x
2 és
3
3x.
Problemes PAU amb integrals definides.
1. De la funció polinòmica P(x) = x3 + ax
2 + bx + 2 sabem que
- té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = –3;
- la integral definida en l’interval [0, 1] val 4
5 .
Calculeu el valor dels paràmetres a i b.
Solució PAU CAT TEC SET 2013 1.2
2. Sigui a
dxxaaf/1
0
22 )()( per a>0,
a) Comproveu que aa
af 33
1)( .
b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè la funció f (a) tingui un mínim relatiu.
Solució PAU CAT TEC SET 2011 2.6
3. Considereu la funció y=f(x) definida per a x[0,5] que apareix dibuixada a la figura
adjunta.
a) Quina és l’expressió de la seva funció derivada quan existeix?
b) Calculeu 3
0)( dxxf .
Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 3.2
4. El polinomi p(x) = x2 + ax + b s'anul·la per a x=2 i compleix
2
04)( dxxp . Calculeu
raonadament a i b.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 1.5
13.3 Determinació d’àrees amb funcions polinòmiques.
13.3.1 Àrea entre dues funcions (Indicant els extrems d’integració)
Des d’un punt purament teòric, tota la relació entre integració i àrea es redueix al
següent teorema:
Si )(xf i )(xg són dues funcions integrables en un interval ba, , llavors l’àrea
determinada entre les dues funcions és igual a la integral del valor absolut de la seva
diferència:
Àrea entre )(xf i )(xg = b
adxxgxf )()(
Però aquesta fórmula no ens serveix perquè no disposem d’una fórmula que ens doni
directament la integral d’una funció amb valor absolut. Per tant, a la pràctica, hem de
considerar per separat els següents cinc casos:
CAS 1. Àrea determinada per la gràfica d’una funció positiva i l’eix d’abscisses.
Si una funció )(xf és sempre positiva en un interval ba, , llavors l’àrea que
determina la seva gràfica i l’eix d’abscisses és igual al valor de la integral definida:
b
adxxfÀrea )(
Calcular l’àrea de la funció 345)( 23 xxxxf a l’interval 1,3
Aquesta funció és sempre positiva en aquest interval, per tant l’àrea coincidirà amb la
integral definida:
Cxxxx
Cxxxx
dxxxxxF 323
5
43
24
3
5
4345)( 2
3423423
67.223
68
4
63
12
83)3()1()(
1
3
FFdxxfÀrea
12
831312
3
15
4
1)1( 2
34
F
4
63)3(3)3(2
3
)3(5
4
)3()3( 2
34
F
CAS 2. Àrea determinada per la gràfica d’una funció negativa i l’eix d’abscisses.
La integral d’una funció negativa és un nombre negatiu, per tant si una funció )(xf és
sempre negativa en un interval ba, , llavors la integral serà negativa, per tant, li
traiem el signe, o dit d’una altra manera, determinem el seu valor absolut:
Si 0)(xf b
adxxfÀrea )(
Calcular l’àrea de la funció 13)( 2 xxxf a l’interval 2,1
Observem que aquesta funció es estrictament negativa en aquest interval, per tant
calculem la seva integral definida, que ja sabem que donarà un valor negatiu, i prenem
el seu valor absolut (és a dir, eliminem el signe):
Cxxx
dxxxxF 2
3
313)(
232
3
4)2(
F ,
6
1)1(
F
6
7
6
7
6
1
3
4)1()2()(
2
1
FFdxxfÀrea
CAS 3. Àrea determinada per la gràfica d’una funció que canvia de signe i l’eix
d’abscisses.
Si una funció )(xf és negativa, llavors la seva integral també serà negativa, per tant si
una funció canvia de signe dintre de l’interval ba, haurem de calcular les integrals
per separat i sumar sempre els valors positius, és a dir, en valor absolut.
Calcular l’àrea determinada per la gràfica de la funció 652)( 23 xxxxf i l’eix
d’abscisses a l’interval 2,1
La gràfica d’aquesta funció és positiva entre –1 i 1 i és negativa entre 1 i 2, per tant hem
de calcular les integrals per separat.
*)1()2()1()1()()(2
1
1
1 FFFFdxxfdxxfÀrea
Cxxxx
dxxxxxF 62
53
2
4652)(
23423
12
91)1(
F
12
37)1( F
3
2)2( F
42.1812
221
12
29
2
32
12
37
3
2
12
91
12
37*
CAS 4. Àrea entre dues gràfiques que no es creuen.
Si )()( xgxf en tot l’interval ba , , llavors l’àrea determinada entre ambdues
gràfiques és igual a la integral de la diferència de les funcions (la superior menys la
inferior):
b
adxxgxfÀrea )()(
Calcular l’àrea entre les funcions 34)( 2 xxxf i 22)( 3 xxxg a l’interval
1,1
Observem que en aquest interval )()( xgxf , i per tant
*)()(1
1 dxxgxfÀrea
52)22(34)()( 2332 xxxxxxxxgxf
Cxxxx
Cxxxx
dxxxxxF
534
52
2
3452)( 2
3423423
33.93
28
12
47
12
65)1()1(*
FF
CAS 5. Àrea entre dues gràfiques que es creuen.
Si )(xf i )(xg es creuen dintre de l’interval ba , , és a dir, )()( xgxf canvia de
signe, hem d’integrar per separat i sumar les integrals eliminant el signe, és a dir,
calculem el valor absolut dels resultats.
Calcular l’àrea determinada entre les gràfiques de les funcions
10112)( 23 xxxxf i xxxg 2)( a l’interval 2,2
Observem que les dues gràfiques es creuen al punt x=-1, per tant hem d’integrar per
separat:
*)1()2()2()1()()()()(2
1
1
2
FFFFdxxgxfdxxgxfÀrea
1011)()( 23 xxxxgxf
Cxxxx
dxxgxfxF 10534
)()()( 234
3
4)2( F ,
12
59)1( F ,
3
100)2(
F
83.416
251
4
153
12
43
4
153
12
43
12
59
3
100
3
4
12
59*
83.416
251
4
153
12
43)()()()(
2
1
1
2
dxxgxfdxxgxfÀrea
Determinació de l’àrea amb una funció polinomial (Exemple resolt)
a) Determina la integral indefinida de 13)( 2 xxxf
b) Determina l’àrea entre la funció anterior, l’eix X i les rectes x = 0 i x = 2.
Solució:
a)
Cxxx
dxdxxdxxdxxxxF 2
3
31313)(
2322
b) Determinem els punts de tall de la funció amb l’eix X:
x
xxxxf 013)( 2
La funció, tal i com es pot veure a la gràfica superior, a l’interval (0,2) talla l’eix X al
punt 2x , i observem que 44.0)2.0( f i 1)2( f , és a dir, passa de positiu a
negatiu, per tant
1.696731.51503-0.181695
)382.0()2()0()382.0()()(2
382.0
382.0
0
FFFFdxxfdxxfA
13.3.2 Àrea entre dues funcions (sense indicar els extrems d’integració)
Si no ens donen els extrems d’integració a i b, hem de suposar que les dues gràfiques
delimiten una superfície tancada entre totes dues. Els extrems d’integració seran, doncs,
dos dels seus punts d’intersecció, que haurem de calcular.
Determineu l’àrea entre les gràfiques de xxxxf 103)( 23 i xxxg 2)( 2
En primer lloc determinem els seus punts d’intersecció :
2,2,00)4(30123
0210321032
103
223
223223
2
23
xxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxx
En segon lloc, representem aproximadament les dues gràfiques :
Veiem que les dues gràfiques es creuen, i per tant hem de determinar l’àrea amb dues
integrals:
xxxxxxxxgxf 123)2(103)()( 3223
*)0()2()2()0()()()()(2
0
0
2 FFFFdxxgxfdxxgxf
2424
3 64
3
2
12
4
3123)()()( x
xxxdxxxdxxgxfxF
0064
03)0( 2
4
F
12264
23)2( 2
4
F
12)2(64
)2(3)2( 2
4
F
2412121212012)12(0*
Problemes PAU amb àrea entre dues funcions.
1. Considereu les funcions f(x) = x2 i
xxg
1)( , i la recta x = e.
a) Feu un esbós de la regió delimitada per les seves gràfiques i l’eix de les abscisses.
Calculeu les coordenades del punt de tall de y = f(x) amb y = g(x).
b) Calculeu l’àrea de la regió descrita en l’apartat anterior.
PAU CAT TEC JUNY 2019 1.6 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 536)
2. Considereu les rectes y = x i y = 2x, i la paràbola y = x2.
a) Calculeu els punts d’intersecció entre les gràfiques de les diferents funcions i feu un
esbós de la regió delimitada per les gràfiques.
b) Calculeu l’àrea de la regió de l’apartat anterior.
PAU CAT TEC SET 2019 5.1 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 541)
3. Siguin les funcions f(x) = x2 – 1 i g(x) = 3 – x
2.
a) Feu un esbós de les gràfiques de les paràboles y = f(x) i y = g(x) en un mateix sistema
d’eixos cartesians i trobeu els punts de tall amb l’eix de les abscisses, els vèrtexs i els
punts de tall entre les dues gràfiques.
b) Calculeu l’àrea de la regió del semiplà y ≥ 0 compresa entre les gràfiques de f(x) i
g(x).
Solució PAU CAT TEC SET 2018 3.6
4. Responeu a les qüestions següents:
a) Determineu l’equació de la recta tangent a la corba y=x3 en el punt d’abscissa x=2.
b) Calculeu l’àrea de la regió plana finita limitada per la corba y=x3 i la recta y=3x – 2.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2015 2.3
5. Calculeu l’àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de
les funcions y = x2, y = 4x
2 i y = 9.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2014 3.4
6. Calculeu l’àrea del recinte limitat per les corbes d’equació f(x) = x2 −x +2 i
g(x) = 5 −3x. Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 4.1
7. Considereu les corbes y = 4x–x2 i y = x
2–6.
a) Trobeu-ne els punts d’intersecció.
b) Representeu les dues corbes en una mateixa gràfica, on es vegi clarament el recinte
que limiten entre elles.
c) Trobeu l’àrea d’aquest recinte limitat per les dues corbes.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 3.2
8. Busqueu els extrems relatius i els punts de tall amb els eixos, i feu una representació
aproximada de la corba d’equació y=x4–x
2. A continuació, calculeu l’àrea del recinte
tancat per aquesta corba i l’eix d’abscisses.
Solució PAU CAT TEC 2007 1.3
9. Considereu la paràbola d’equació y = x2 +2x –3.
a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d’abscissa x=
–1 i x= 1.
b) Calculant el mínim de la funció y = x2 +2x –3, trobeu el vèrtex de la paràbola.
c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eixos i feu una representació gràfica
de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat.
d) Calculeu l’àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents.
Solució PAU CAT TEC SET 2006 4.5
10. Considereu la funció f(x) = 4x – x2.
a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts d’abscisses x =
0 i x = 4.
b) Feu un gràfic dels elements del problema.
c) Calculeu l’àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat a
l’apartat a).
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 1.6
11. Determineu l’àrea finita de la regió del pla compresa entre les dues paràboles
y = –x2 +4x +1 i y = x
2 –6x +9.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 2.3
12. Considereu la corba d'equació f(x) = x3 – x.
a) Calculeu els punts en què la gràfica de f(x) talla l'eix d'abscisses i expliqueu
raonadament on f(x) és positiva i on és negativa.
b) Trobeu l'àrea del recinte limitat per la part positiva de la gràfica de f(x) i el semieix
negatiu d'abscisses. Solució PAU CAT CCSS SET 2002 1.1
13. Sabeu que la gràfica de la funció f(x) passa pel punt (1, –4) i que la seva funció
derivada és f'(x) = 2x – 2.
a) Determineu l'expressió de f(x).
b) Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de f(x) i l'eix d'abscisses
OX.
Solució PAU CAT TEC SET 2001 4.4
14. Calculeu per integració la superfície del recinte delimitat per les corbes y = x2 i la
recta d'equació y – x – 6 = 0 representat en el dibuix següent:
Solució PAU CAT TEC SET 2000 2.2
15. Calculeu l'àrea que té l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions
72 xy i y =6/x representat en el dibuix següent:
Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 1.2
16. Calculeu l'àrea de l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions
y = 8x i y = x4.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 3.2
17. Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció y = –x4 +x i l'eix de les
x que està representada en el dibuix següent:
PAU CAT CCSS SET 1999 2.3
18. Calculeu l'àrea determinada per les corbes d'equacions y = x4 – 2x
2 i y = 2x
2
representada en el dibuix següent:
Solució PAU CAT TEC JUNY 1999 1.2
19. a) Dibuixeu la gràfica de la funció y = –x2 +5x –6.
b) Calculeu l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció anterior i l'eix de les x.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 1.4
20. a) Escriviu l'equació de la recta tangent a la paràbola y=x2 en el punt d'abscissa
x=-1.
b) Calculeu l'àrea de la regió que limiten la tangent i la corba anteriors per a x entre 0 i
1.
PAU CAT CCSS SET 1998 2.6
21. Considereu la funció xxxxf 86)( 23 la gràfica de la qual és aproximadament
la del dibuix següent:
Calculeu l’àrea de la regió ombrejada.
Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 3.3
13.3.3 Exercicis de càlcul d’àrees.
1. Determineu l’àrea del recinte tancat per les corbes 833 xxy , xy 3 , i les
rectes verticals 3x , 0x .
2. Determineu l’àrea del recinte tancat per les corbes xy , 2xy , 4
2xy .
3. Trobeu l’àrea de la regió limitada per les corbes 32 23 xxy i xxy 2 entre
2x i 2x
4. Calcula l’àrea ombrejada de la figura següent. Les funcions representades són:
2
2)(
2
x
xf i xxxg 2)( 2
5. Determina l’àrea de la regió tancada per les corbes 3xy i xxy 2
13.3.4 Problemes PAU amb àrees de funcions polinòmiques parametritzades.
1. Siguin les paràboles 22)( kxxf i 22 9)( kxxg .
a) Calculeu les abscisses, en funció de k, dels punts d’intersecció entre les dues
paràboles.
b) Calculeu el valor del paràmetre k perquè l’àrea compresa entre les paràboles sigui de
576 unitats quadrades. Solució PAU CAT TEC JUNY 2016 3.6
2. La corba y = x2 i la recta y = k, amb k > 0, determinen una regió plana.
a) Calculeu el valor de l’àrea d’aquesta regió en funció del paràmetre k.
b) Trobeu el valor de k perquè l’àrea limitada sigui 26 u .
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 4.2
3. Definim les funcions )1()( 2xaxf i a
xxg
1)(
2 , en què a>0.
a) Comproveu que l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és:
a
a
3
14 2
b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 1.3
4. En la figura es mostra la corba y = x(4 – x) i una recta r que passa per l’origen i talla
la corba en un punt P d’abscissa k, amb 0 < k < 4.
a) Trobeu l’àrea ombrejada, delimitada per la corba i la recta, en funció de k.
b) Trobeu per a quin valor de k l’àrea de la regió ombrejada és la meitat de l’àrea
del recinte limitat per la corba i l’eix OX. Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 5.6
5. Considereu la funció 3
)()(
a
xaxxf
, amb a>0.
a) Trobeu els punts de tall de la funció f(x) amb l’eix OX.
b) Comproveu que l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x) i l’eix
d’abscisses no depèn del valor del paràmetre a. Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 4.3
6. Donades les funcions 4)( 2 axxxf i bx
xg 2
)(2
:
a) Calculeu a i b de manera que les gràfiques de f(x) i de g(x) siguin tangents en el punt
d’abscissa x= 3, és a dir, que tinguin la mateixa recta tangent en aquest punt.
b) Trobeu l’equació de la recta tangent esmentada en l’apartat anterior.
c) Pel valor de a obtingut en el primer apartat, calculeu el valor de l’àrea de la regió
limitada per l’eix d’abscisses OX i la funció f(x). Solució PAU CAT TEC SET 2007 3.6
7. Considereu la funció f(x) = x3 + mx
2 + 1, m ≥ 0.
a) Calculeu el valor de m per tal que l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció,
l’eix OX i les rectes x = 0 i x = 2 sigui de 10 unitats quadrades.
b) Per a m = 1, indiqueu el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de la funció
forma un angle de 45° amb el semieix positiu de OX.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 1.5
8. Considerem la regió S del pla limitada per la paràbola y = 3x2 i la recta y = 3
representada en l'esquema següent:
Siguin A i B els punts d'intersecció de la recta i la paràbola, i T el triangle que té per
vèrtexs A, B i l'origen de coordenades (0, 0). Calculeu l'àrea de la regió que resulta quan
es treu el triangle T a la regió S.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 5.3
9. Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació
y=ax+2a i la paràbola y=ax2 valgui 18.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 1.1
10. Considereu la paràbola y = x2 i la recta y = mx, amb m real positiu.
a) Calculeu l'àrea de la regió tancada delimitada per les gràfiques de la paràbola i la
recta en funció de m .
b) Quin valor té m si l'àrea de l'apartat a) és 288?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 3.1
11. Donada la funció f(x) = x2 + a, amb a > 0, calculeu el valor de a que faci que l'àrea
determinada per la gràfica de la funció, l'eix d'abscisses i les rectes x = 0 i x = 3 valgui
27.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 1.4
12. Trobeu el valor del coeficient k de manera que l'àrea limitada per la funció
f(x) = –x2 + k i l'eix d'abscisses sigui igual a 36 u
2.
PAU CAT TEC SET 1999 5.3
14 Tècniques d’integració.
14.1 Integrals immediates.
La pròpia definició d’integral com a inversa de la derivada ens permet construir una
primera taula de integrals:
Cxkdxk
)1(1
1
pCp
xdxx
pp
Cxdxx
ln1
Cxdxx cossin
Cxdxx sincos
Cxdxx tan)tan1( 2
Cxdxx
tancos
12
Cxdxx
cotsin
12
Cxdxx
arctan1
12
Cxdxx
arcsin1
1
2
Cxdx
xarccos
1
1
2
Cedxe xx
Ca
adxa
xx
ln
Exercici Resolt. Determinació d’intervals d’integració.
Determina el valor de k de forma que l’àrea entre la funció xxf )( , la recta vertical
kx i els eixos de coordenades sigui igual a 75.2
Veiem que la funció està sempre per sobre de l’eix X, per tant l’àrea coincideix amb el
valor de la integral definida:
3
2
3
02
3
2
3
2
2/3)(
)0()()(
2/32/32/3
2/32/32/1
00
kk
Cx
Cx
dxxdxxxF
FkFdxxdxxfÀreakk
Hem de resoldre l’equació
23.34578.1128.1122
2.753
2.753
2
3/22/32/3
2/3
kkk
k
Determina el valor de p positiu per al qual la gràfica de 2)( xxf , la seva recta
tangent pel punt d’abscissa px i l’eix d’abscisses determinen un recinte d’àrea igual
a 12/27 .
En primer lloc trobem la recta tangent a la funció pel punt px :
ppfa 2)(' , 22 2)( pppppapfb , 22 ppxbaxy
Aquesta recta tangent talla l’eix X al punt 22
022
2 p
p
pxppx , és a dir, al punt
mig del segment.
L’àrea que volem calcular la podem interpretar com la diferència entre l’àrea gran de la
gràfica (Àrea A) i l’àrea del triangle de la dreta que determina la recta tangent (Àrea B).
3)(
33
0
3)0()(
32
333
0
2
1
xdxxxF
ppFpFdxxA
p
L’àrea B és l’àrea d’un triangle que té base 2/p i altura 2)( ppf , per tant no cal fer
cap integral, apliquem la fórmula de l’àrea del triangle:
42
2/ 32 pppB
Finalment, 32712
27
1212
34
43
333333
ppppppp
BAÀrea
(suposem )0p
Calcula l’àrea determinada per les gràfiques de xxf sin)( i 2)( xxg .
(Observació: L’equació 2sin xx només té com a solució 0x i 0.8767x )
8767.0
0
2 )0()8767.0(sin FFdxxxA on dxxxxF 2sin)(
Cx
xdxxdxxdxxxxF 3cossinsin)(
322
13
0)0cos()0(
0.8643- 3
8767.0)8767.0cos()8767.0(
3
3
F
F
1357.0(-1)-0.8643- )0()8767.0(sin8767.0
0
2 FFdxxxA
14.2 Integració per substitució.
14.2.1 Fórmula del canvi de variable.
Pretenem calcular una integral de la forma
dxxgxgf )('))((
Fem el canvi de variable )(xgu ens queda
duufdxuufdxxgxgf )(')()('))((
1. dxxxcossin2 2. dxx
xln 3. dxxtan 4. dxxx 12
1. dxxxcossin2
Fem xuxu cos'sin , i per tant
Cx
Cu
duudxxx 3
sin
3cossin
3322
2. dxx
xln
xuxu
1'ln
Cx
Cu
duudxuudxx
xdxx
x 2
ln
2'
1ln
ln 22
3. dxxtan
xxx
xx sin
cos
1
cos
sintan
xuxu sin'cos
CxCuduu
dxuu
dxx coslnln1
'1
tan
4. dxxx 12
xuxu 2'12
C
xC
uduudxxxdxxx
3
1
3
2
2
1
2
121
2
11
32322
14.2.3 Exercicis d’integració immediata i quasiimmediata.
1. dxx5
2. dxxx
3.
dx
xx
x 4
3
4. dxx
x
2
5.
dx
xxx2
412
6. dxx4
1
7. dxe x5
8. dxx5cos
9. dxaxsin
10. dxx
xln
11. dxx3sin
12
12. dxx7cos
12
13. dx
x 73
1
14. dxx 1
1
15. dxx 25
1
16. dxx2tan
17. dxxxcossin 2
18. dxxxsincos3
19. dxxx 12
20.
dxx
x
32 2
Calculeu l’àrea entre la corba 41
)(x
xxf
i les rectes 0x ,
2
1x , i l’eix OX.
Comprovem que l’equació 01
)(4
x
xxf només té com a solució 0x , i per tant
podem calcula aquest àrea com a una única integral:
)0()2/1(1
2/1
0 4FFdx
x
xA
dx
x
xxF
41)(
Fem un canvi de variable xuxu 2'2
CxCuduu
dxxx
dxx
xxF )arctan(
2
1)arctan(
2
1
1
1
2
12
1
1
2
1
1)( 2
244
00arctan2
1)0(
0.122489)2/1(arctan2
1)2/1(
2
2
F
F
Per tant
122489001224890)0()2/1(1
2/1
0 4.-.FFdx
x
xA
14.2.4 Problemes PAU.
1. Considereu la funció x
xxf
)ln()( .
a) Calculeu el domini de la funció f, els punts de tall de la gràfica de f amb els eixos de
coordenades, i els intervals de creixement i decreixement de f.
b) Calculeu l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció f, les rectes
x = 1 i x = e, i l’eix de les abscisses.
PAU CAT TEC SET 2019 5.6 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 550)
2. Sigui la funció x
xxf
2cos
sin)( .
a) Calculeu una primitiva de la funció f (x).
b) Calculeu l’àrea limitada per la funció f (x) i l’eix de les abscisses entre les abscisses
0x i 4
x .
Solució PAU CAT TEC SET 2017 2.6
3. Sigui la funció f(x) = sin (x).
a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a la funció f en els punts d’abscissa x = 0 i x
= π, respectivament. Trobeu les coordenades del punt en què es tallen les dues rectes.
b) Calculeu l’àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció f i les rectes tangents
de l’apartat anterior (en cas de no haver resolt l’apartat anterior, suposeu que les rectes
són y = x i y = –x + π, respectivament).
Solució PAU CAT TEC SET 2016 1.4
4. Donada la funció 1)( xxf i la recta horitzontal y = k, amb k > 0,
a) Feu un esbós del recinte limitat per les gràfiques de la funció i la recta, i els eixos de
coordenades.
b) Trobeu el valor de k sabent que l’àrea d’aquest recinte és igual a 14/3.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 3.3
5. Per a x ≥ 1, considereu la funció 1)( xxf .
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa igual a
10.
b) Calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x), la recta d’equació x = 5 i
l’eix OX. Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 5.4
6. Se sap que certa funció derivable F(x) verifica les condicions següents:
4
1)('
xxF i F(1) = 3
a) Trobeu F(x).
b) Calculeu l’àrea compresa entre F(x) i l’eix OX des de x=0 fins a x=1.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 2.1
7. Donada la funció 45
)(2
x
xxf
a) Calculeu la integral dxxf )( .
b) Trobeu la primitiva F de f que compleixi F(1) = 1. Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 4.2
8. Calculeu el valor de la integral següent:
dxx
xx
3
0 1
11
Solució PAU CAT TEC SET 2004 5.1
9. Donada la funció f(x) = cos x – cos3x:
a) Trobeu la seva integral indefinida.
b) Quina és la primitiva de f(x) que passa pel punt
0,
2
?
Indicació: recordeu que sin2 x + cos
2 x = 1.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.2
10. Calculeu l’àrea del recinte tancat que delimiten la gràfica de la funció xy 2 i la
recta y = x.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 4.2
11. Donada xxexxf 2
)12()( , determineu la funció g(x) tal que g’(x) =f(x) (és a dir,
una primitiva de f(x)) i que el seu gràfic passa pel punt (0, 2).
Solució PAU CAT TEC SET 2003 3.1
12. Calculeu
e
dxx
x
1
3 )(ln2
Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 2.2
13. Calculeu la primitiva de la funció 1)( 2 xxxf que s'anul·la en el punt
d'abscissa x = 2.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 3.1
14. Calculeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les corbes y = e2x
i y = e–2x
i la recta
y = 5 representada en l'esquema següent:
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 2.1
15. Trobeu l'expressió general de totes les primitives de 3 25)( xxf . Quina és la que
passa pel punt (8,0)?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 2.2
16. a) Quin és l'angle x en radians (0 < x < π/2) tal que sin(x) = cos(x)?
b) Considereu les funcions f(x) = sin(x) i g(x) = cos(x). Calculeu la superfície del
recinte delimitat superiorment per les gràfiques d'aquestes funcions, inferiorment per
l'eix d'abscisses i lateralment per les rectes verticals x = 0 i x = π/3 representat en
l'esquema següent:
Solució PAU CAT TEC JUNY 2001 2.1
17. Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció f(x) = xex per a x ≥ 0,
l'eix d'abscisses i la recta vertical x = 1. Solució PAU CAT TEC JUNY 2001 5.4
18. Determineu la funció f(x) tal que f '(x) = x
2 + sin x i f (0) = 2
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 5.2
19. Trobeu la primitiva de la funció f(x) = e
–x/2 que compleix la condició que la seva
gràfica passa pel punt (0, 3).
Solució PAU CAT CCSS SET 2000 6.3
20. Sigui 3 21)( xxf . Calculeu l'àrea de la regió que limita la gràfica de f(x) i l'eix
d'abscisses i que està representada en el dibuix següent:
Solució PAU CAT TEC JUNY 1999 6.2
14.3 Integració per parts.
14.3.1 Fórmula de la integració per parts.
Ampliem a continuació el nostre repertori usant la regla de derivació del producte:
Si )(xf i )(xg són funcions de x, tenim
)(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf
i integrant:
dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()('')()(
La integració és l’operació oposada a la derivació, i la integral d’una suma és suma
d’integrals, per tant arribem a la següent igualtat:
dxxgxfdxxgxfxgxf )(')()()(')()(
d’on aïllant l’últim membre obtenim la fórmula de la integració per parts:
dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(
Aquest mètode servirà sempre que la integral del segon membre sigui més senzilla que
la del primer membre que volem calcular.
Exercicis.
1. dxxx sin
2. dxex x
3. dxex x
2
4. dxxx ln3
5. dxx ln
Calcular la integral dxx)sin(ln
Apliquem el mètode d’integració per parts:
xxgxg
xxxfxxf
dxxxxdxxx
xxxdxx
)(1)('
1)cos(ln)(')sin(ln)(
)cos(ln)sin(ln1
)cos(ln)sin(ln)sin(ln
Ara hem d’integrar dxx)cos(ln , amb el mètode d’integració per parts:
xxgxg
xxxfxxf
dxxxxdxxx
xxxdxx
)(1)('
1)sin(ln)(')cos(ln)(
)sin(ln)cos(ln1
)sin(ln)cos(ln)cos(ln
Per tant ens queda la següent igualtat:
dxxxxxx
dxxxxxxdxx
)sin(ln)cos(ln)sin(ln
)sin(ln)cos(ln)sin(ln)sin(ln
És a dir,
Cxxxx
dxx
xxxxdxx
xxxxdxxdxx
2
)cos(ln)sin(ln)sin(ln
)cos(ln)sin(ln)sin(ln2
)cos(ln)sin(ln)sin(ln)sin(ln
Problema PAU.
1. La gràfica de la funció f (x) = x · sin(x) és la següent:
a) Trobeu-ne una primitiva.
b) Aplicant el resultat de l’apartat anterior, calculeu l’àrea del recinte limitat per la
gràfica de la funció f (x) i l’eix d’abscisses des de x = 0 fins a x = π.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 1.5
1. Representa gràficament la funció xexxf )2()( en l’interval 3,2 . Calcula l’àrea
sota aquesta corba en aquest interval.
L’equació 0)2()( xexxf només té com a solució 2x , per tant podem
determinar aquest àrea amb una única integral:
3
2)2()3()2( FFdxexA x on dxexxF x)2()(
Apliquem el mètode de la integració per parts:
xx exgexg
xfxxf
)()('
1)('2)(
7.38906- )22()2(
0)23()3(
)2(1)2()2()(
222
3333
eeeF
eeeeF
eexdxeexdxexxF xxxxx
38906.7)2()3()2( 23
2 eFFdxexA x
2. Calcula l’àrea que determina la gràfica de 2ln)( xxxf en l’interval e,1 .
Resolem l’equació
10ln0ln
00ln)(
02
2
exxx
xxxxf
Veiem que la funció no canvia de signe dintre de l’interval e,1 i per tant l’àrea queda
determinada per una única integral:
e
FeFdxxxA1
2)1()(ln , on dxxxxF
2ln)(
Aquesta integral indefinida es resol amb el mètode d’integració per parts:
2)()('
1ln2)(')(ln)(
(*)ln2
)(ln2
1ln2
2)(lnln
2
2
22
2222
xxgxxg
xxxfxxf
dxxxx
xdxx
xx
xxdxxx
La integral dxxx ln l’hem de resoldre novament per parts:
2)()('
1)('ln)(
42
ln
22
ln
2
1
2lnln
2
22222
xxgxxg
xxfxxf
Cxxx
dxxxx
dxx
x
xxdxxx
Agrupem ara els elements:
Cxxx
Cxxxx
x
2
1ln)(ln
242
ln
2)(ln(*) 2
22222
4
1
2
1
2
1
2
11ln)1(ln
2
1)1(
42
111
22
1ln)(ln
2)(
22
2
222
2
F
eeee
eeF
i per últim
5973.14
1
4
1
4)1()(ln
22
1
2
eeFeFdxxxA
e
3. Determina l’àrea que determina la funció xexf x sin)( entre 0 i .
Resolem l’equació kxxxexf x 0sin0sin)( . La funció no creua l’eix
X entre 0 i , per tant només necessitem calcular una única integral:
)0()(sin0
FFdxxeA x
on dxxexF x sin)( .
Aquesta integral la resolem amb el mètode d’integració per parts:
xxgxxg
exfexf
dxxexedxxexedxxe
xx
xxxxx
cos)(sin)('
)(')(
(*)coscos)cos()cos(sin
Novament per integració per parts:
xxgxxg
exfexf
dxxexedxxexedxxe
xx
xxxxx
sin)(cos)('
)(')(
sinsinsinsincos
Per tant queda:
dxxexexedxxexexedxxe xxxxxxx sinsincossinsin)cos(sin
Passem la segona integral a l’esquerra:
xexedxxedxxe xxxx sincossinsin
xxexexedxxe xxxx sincossincossin2
2
sincossincossin
xxexexedxxe
xxxx
22
01
2
sincos)(
eee
F
2
1
2
1
2
0sin0cos)0(
00
eeF
5216.02
1
2
1
22
1
2)0()(sin
0
eee
FFdxxeA x
14.4 Integració de funcions racionals.
Volem calcular integrals de funcions racionals:
dxxq
xp )(
)( on )(xp i )(xq són polinomis.
14.4.1 Observació prèvia.
Considerarem només els casos en què el numerador és de grau inferior al denominador,
perquè si no ho fos, en efectuar una divisió entera dels polinomis, donaria lloc a la suma
d’un polinomi amb una fracció el numerador de la qual és de grau inferior al
denominador:
))(())(( xqgrauxpgrau Fem la divisió de polinomis:
)(xp )(xq
)(xR )(xQ
)()()()( xRxqxQxp amb ))(())(( xqgrauxRgrau
i per tant: )(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()()(
)(
)(
xq
xRxQ
xq
xR
xq
xqxQ
xq
xRxqxQ
xq
xp
Exemple:
124
162122
23
xx
xxx
16212 23 xxx 124 2 xx 37)124)(23(16212 223 xxxxxxx
37 x 23 x
124
3723
124
37
124
)124)(23(
124
37)124)(23(
124
16212
2
22
2
2
2
2
23
xx
xx
xx
x
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xxx
14.4.2 Integració de funcions racionals simples dxbxa
1
Es resolen mitjançant integració per substitució:
aubxau '
Cbxaa
Cua
duua
dxuua
dxbxa
a
abxa
ln1
ln111
'1111
14.4.3 Integració amb factors lineals. Exemples resolts.
1. 12x
dx
El denominador es pot escriure com a producte de dos factors lineals:
)1)(1(12 xxx
Per tant escrivim la fracció com a suma de fraccions simples :
1
2/1
1
2/1
1
1
per tant
2/1
2/1
1
0
)1)(1(
)(
)1)(1()1)(1(
)1)(1(
)1()1(
)1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
11)1)(1(
1
1
1
2
2
xxx
B
A
AB
BA
xx
ABxBA
xx
ABBxAx
xx
BBxAAx
xx
xBxA
xx
xB
xx
xA
x
B
x
A
xxx
*1
1
2
1
1
1
2
1
1
2/1
1
2/1
12
dx
xdx
xdx
xdx
xx
dx
Integrem per separat:
Cxduu
dxx
1ln1
1u'1xuFent
1
1
Cxduu
dxx
1ln1
1u'1xuFent
1
1
Cxx
Cxx
2
1ln1ln1ln
2
11ln
2
1*
2.
dx
xx
x3
3
)1(
1
Escrivim 3
3
)1(
1
xx
xcom a suma de fraccions simples:
3
23
3
23
322
2
3
3
322
2
3
3
323
3
)1(
)1()1()1(
)1(
)1()1()1(
1)1(1
)1(
)1()1(
)1(
)1(
)1(
1)1(1
)1(
)1()1(
)1(
)1(
)1(
111)1(
1
xx
DxxCxxBxxA
xx
DxxCxxBxxA
xx
Dx
xxx
xCx
xxx
xBx
xx
xA
xx
Dx
xxx
xCx
xxx
xBx
xx
xA
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
DxxCxxBxxAx )1()1()1(1 233
Donant valors a la x:
1
2
224802480-1 xaPer
42C2B192D2C2BA92 xaPer
-1A-A10 xaPer
D21 xaPer
C
B
CBDCBA
Cxx
xx
Cxx
xx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxxxxx
dxxx
x
xxxxxx
x
2
2
32
32
323
3
323
3
)1(
2
)1(
11ln2ln
)1(
12
)1(
11ln2ln)1(
1
12
1
1
1
12
1)1(
1
2
1
1
1
21
1
2
1
1
1
21
)1(
1
1
2
1
1
1
21
)1(
1
14.4.4 Integració amb factors no lineals.
Calcula la següent integral indefinida: dx
xx
x
222
222 xx no factoritza perquè 0222 xx no té solució real.
Ara bé, 1111222222 xxxxx per tant
dx
x
xdx
xx
x
1)1(22 22
Fent
1
1'1
ux
uxu
*1
1
11
1222
du
udu
u
udu
u
u
Per a la primera integral:
Cxx
Cxx
CxCuCpdpp
upupFent
duu
u
22ln2
1
112ln2
1
1)1(ln2
11ln
2
11ln
2
1
1
1
2
1
2'
1
2
2
22
2
2
Per a la segona integral:
CxCuduu
)1arctan()arctan(
1
12
Per tant
Cxxx )1arctan(22ln2
1* 2
Problemes PAU amb integració de funcions racionals.
1. Sigui 12
8)(
2
x
xxf . Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica d’aquesta funció,
l’eix OX i les rectes x = 0 i x = 2.
Solució PAU CAT TEC SET 2010 2.5
2. La gràfica de la funció x
xxf
3)( , des de x=1 fins a x=4, és la següent:
a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d’abscissa x= 1
i x= 3.
b) Dibuixeu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangents que
heu calculat.
c) Trobeu els vèrtexs d’aquest recinte.
d) Calculeu la superfície del recinte damunt dit.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 4.5
3. Sigui la funció 2
4)(
x
b
xaxf .
a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta 2x + 3y= 14 és tangent a la gràfica de
la funció f(x) en el punt d’abscissa x= 3.
Per a la resta d’apartats, considereu que a= –3 i que b= 4.
b) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f(x). Trobeu i
classifiqueu els extrems relatius que té la funció.
c) Calculeu els punts de tall de la funció f(x) amb l’eix OX.
d) Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x), l’eix OX i les rectes
x= 1 i x= 3.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 3.5 (Problema)
4. El gràfic de la funció 12
1)(
xxf , quan x>0, és com segueix:
a) Trobeu una primitiva de la funció f.
b) Calculeu l’àrea de la regió ombrejada.
Solució PAU CAT TEC SET 2006 4.2
5. Donada la funció 4
164)(
xxxf
a) Estudieu-ne la continuïtat.
b) Estudieu-ne els intervals de creixement i decreixement i els màxims i mínims locals.
c) Calculeu l'àrea limitada per la gràfica de la funció, l'eix OX i les rectes verticals x = 0
i x = 2. Solució PAU CAT TEC JUNY 1999 1.5
6. Trobeu el valor de k per tal que
k
k kx
dx2
13
PAU CAT TEC SET 1998 5.1
7. Trobeu l'àrea de la figura compresa entre la hipèrbola xy=1, les rectes x=1 i x=4 i
l'eix X, que està representada en el dibuix següent:
Solució: 3863.1)1ln()4ln( PAU CAT CCSS JUNY 1998 3.2
8. Calculeu la primitiva de la funció 1
2)(
2
x
xxf tal que la seva gràfica passi pel punt
de coordenades (1, 1).
Solució: )2ln(1,1ln)( 2 CCxxF
PAU CAT CCSS JUNY 1998 6.4
14.5 Substitucions trigonomètriques.
Fórmula de la superfície d’un cercle.
Podem calcular la superfície d’un cercle amb les eines del càlcul integral.
La circumferència de radi r queda determinada mitjançant l’equació 222 ryx
Per tant: 22 xry
Agafem la part superior de la circumferència (després multiplicarem per dos el resultat
obtingut): 22 xry .
Ens reduïm al cas radi 1r . *1 2 r
rdxxÀrea
Ja hem calculat abans (vegeu ....) la seva integral indefinida:
Cxx
xdxx
2
1)arcsin(
2
11
22
Per tant
24
2
22
1
22
1
2
11)1arcsin(
2
1
2
11)1arcsin(
2
1
2
1)arcsin(
2
1*
22
1
1
2
xxx
I per tant la superfície del cercle de radi 1 és .
14.5 Determinació d’àrees amb funcions en general.
1. Considerem la funció xxf 5)( i la funció x
xg4
)(
a) Fes un esbós de les dues gràfiques, indicant els seus punts de tall.
b) Determina l’àrea de la regió que delimiten.
2. Considera les funcions definides per 22)( xxf i xxg )(
a) Fes un esbós de les dues gràfiques, indicant els seus punts de tall.
b) Calcula l’àrea del recinte que delimiten.
3. Donada la funció IRf ),0(: definida per xxf ln)( , on ln és la funció
logaritme neperià, es demana:
a) Comproveu que la recta d’equació 21 exey és la recta normal a la gràfica de f
en el punt d’abscissa ex .
b) Calculeu l’àrea de la regió limitada per la gràfica f, l’eix d’abscisses i la recta normal
de l’apartat a.
4. Considerem la funció IRIRf : donada per 4)( 2 xxf .
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f al punt d’abscissa 1x .
b) Feu un esbós del recinte limitat per la gràfica de f, l’eix d’ordenades i la recta
d’equació 32 xy . Calcula la seva àrea.
5. Trobeu el valor de 0a sabent que l’àrea del recinte limitat entre la paràbola
xaxy 2 i la recta 0 xy val 36 unitats quadrades.
6. Considerem la funció IRIRf : definida per xxxf 2)(
a) Fes un esbós de la seva gràfica.
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f, l’eix d’abscisses i la recta
d’equació 3x .
7. Siguin IRIRgf :, les funcions definides per 32)( 2 xxxf i 12
1)( 2 xxg .
a) Fes un esbós de les gràfiques de f i g, i troba el seu punt de tall.
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per les dues gràfiques i l’eix d’ordenades.
8. Sigui IRIRf : la funció definida per 1)( xxxf .
a) Fes un esbós de la gràfica de f.
b) Comprova que la recta d’equació xy és la recta tangent a la gràfica de f al punt
d’abscissa 0x .
c) Calcula l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f i la tangent anterior.
9. Considera la corba d’equació xxy 33 .
a) Troba l’equació de la recta tangent a la corba al punt d’abscissa 1x .
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per la corba donada i la recta 2y .
10. La corba 2
2
1xy divideix el rectangle de vèrtexs )0,0(A , )0,2(B , )1,2(C i
)1,0(D en dos recintes.
a) Dibuixa aquests dos recintes.
b) Troba l’àrea de cadascun d’ells.
11. Considera les funcions IRIRgf :, definides per xxf )( i 26)( xxg .
a) Dibuixa un esbós del recinte limitat per les seves gràfiques.
b) Calcula l’àrea d’aquest recinte.
12. Sigui IRf ),0(: la funció definida per )ln(1)( xxf , on ln és la funció
logaritme neperià.
a) Comprova que la recta d’equació xe
y1
1 és la recta tangent a la gràfica de f al
punt d’abscissa ex .
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f, l’eix d’abscisses i la recta tangent
de l’apartat a.
13. Considerem les funcions IRf ,0: i IRIRg : definides per
xxf 3)( i 2
3
1)( xxg
a) Fes un esbós de les seves gràfiques.
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per les dues gràfiques anteriors.
14. Siguin les funcions IRIRgf :, definides per 1)( 2 xxf i 1)( xxg
Calcula l’àrea del recinte limitat per les seves gràfiques.
15. Les dues gràfiques del dibuix corresponen a la funció IRf ),0(: definida per
)ln(22
)( xx
xf i a la de la seva derivada IRf ),0(:' .
a) Indica, raonant la resposta, quina és la gràfica de f i quina és la de 'f .
b) Calcula l’àrea de la regió ombrejada.
16. Siguin IRIRf : i IRIRg : les funcions definides per
xxxf 2)( i 2)( xg
a) Determina els punts de tall de les gràfiques de f i g. Fes un esbós d’ambdues.
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per ambdues gràfiques.
17. Calcula un nombre positiu a, menor que 4, per al qual el recinte limitat per la
paràbola d’equació 2xy i les dues rectes d’equacions 4y i ay tingui un àrea de
3/28 unitats quadrades.
18. Sigui IRIRf : la funció donada per xexf 2)( .
a) Justifica que la recta d’equació exy 2 és la recta tangent a la gràfica de f al punt
d’abscissa 2
1x .
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f, l’eix d’ordenades i la recta
tangent de l’apartat anterior.
19. Siguin IRIRf : i IRIRg : les funcions definides per 1)( 2 xxf i
22)( xxg
a) Fes un esbós de les gràfiques de f i g.
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per ambdues.
20. Donades les funcions IRf ,0: i IRg ,0: definides per
xxf )( i 3)( xxg
Calcula l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de f i g.
21. Sigui IRg ),0(: la funció donada per xxg ln)( (ln denota logaritme
neperià)
a) Justifica que la recta d’equació xe
y1
és la recta tangent a la gràfica de g al punt
d’abscissa ex .
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per la gràfica de g, l’eix d’abscisses i la recta tangent
de l’apartat anterior.
22. Siguin IRIRgf :, les funcions definides mitjançant xxxf 4)( 3 i
63)( xxg
a) Determina els punts de tall de les gràfiques de f i g.
b) Calcula l’àrea del recinte limitat per aquestes gràfiques.
23. Siguin IRIRgf :, les funcions donades per 2)( xxf i axg )( (amb 0a ).
Sabem que l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions f i g és 3/4 .
Calcula el valor de la constant a.
24. Sigui IRIRf : la funció definida per
26
2)(
xx
xxxxf
a) Fes un esbós de la gràfica de f.
b) Calcula l’àrea compresa entre la gràfica de f i l’eix d’abscisses.
25. Calcula e
dxxx1
2 )ln(
26. Sigui IRIRg : la funció definida per xxxxg 23
4
1)(
a) Fes un esbós de la gràfica de g.
b) Determina l’equació de la recta tangent a la gràfica de g al punt d’abscissa 2x
c) Calcula l’àrea del recinte limitat per la gràfica de g i l’eix d’abscisses.
15 Llistes de repàs general.
15.1 Exercicis de repàs general.
1. a) Determina la recta tangent a la funció xxf 3)( al punt d’abscissa 1x .
b) Determina la recta tangent a la funció anterior al punt d’ordenada 1y
2. Donada la funció )3ln()( 2 xxxf
a) Calcula la seva derivada.
b) Determina els punts de la gràfica de f en els què la recta tangent és paral·lela a la
recta 012 yx
3. Donada la funció 1
)(2
2
x
xxf
a) Determina les seves asímptotes.
b) Estudia el creixement, decreixement i determina els seus extrems relatius.
c) Estudia la curvatura i determina els seus punts d’inflexió.
4. Volem anar d’A a B passant per un punt C del riu. Determineu el punt C que fa
mínima la distància d’aquest viatge.
15.2 Llista de repàs d’integració i àrea.
1. Calcula l’àrea que determina la gràfica de la funció 107)( 2 xxxf entre els
punts 1x i 4x .
2. El polinomi baxxxp 2)( s’anul·la per a 2x i compleix
2
0 3
46)( dxxp .
Calculeu raonadament a i b.
3. (Opció A)
Donada la funció 24
)(x
xxf
,
a) Representa la seva gràfica (no cal fer un estudi complet)
b) Determina dxxf )(
c) Determina l’àrea entre la funció i la primera bisectriu xy . (Es demanen valors
exactes, no es poden presentar resultats decimals)
3. (Opció B)
Donada la funció 2)1(
)(x
x
e
exf
a) Determineu un punt de la seva gràfica en el què la recta tangent sigui paral·lela a
l’eix d’abscisses. Determineu aquesta recta tangent.
b) Determina dxxf )(
c) Determineu l’àrea delimitada per la gràfica d’aquesta funció, l’eix d’abscisses i les
rectes 0x i 5lnx .
4. Determina l’interval k,0 (k positiu) per al què l’àrea compresa entre la funció
xxxf 63)( 2 i l’eix d’abscisses en aquest interval sigui igual a 58 u2.
Les 21 funcions fonamentals Família Funció Funció inversa
Constant
axf )( 1 No en té
Identitat
xxf )( 2 xxf )(1
2
Polinòmiques
de grau 1
Proporcionalitat directa
axxf )( 3 x
axf
1)(1
3
Lineal general
baxxf )( 4 a
bxxf
)(1 4
Valor absolut (lineal a trossos)
xxf )( 5 (Només localment)
Part entera (Constant a trossos)
xxf )( 21 No en té
Polinòmiques de grau
>1
Quadràtica 2)( xxf 7
Arrel quadrada
xxf )(1 9
Cúbica 3)( xxf 8
Arrel cúbica 31 )( xxf ---
Racionals
Proporcionalitat inversa
xxf
1)( 6 x
xf1
)( 6
Exponencial general
xaxf )( 10 Logaritme general
)(log)(1 xxf a 12
Exponencials i
logarítmiques
Exponencial de base e xexf )( 11
Logaritme natural
)ln()(1 xxf 13
Exponencial de base 10 xxf 10)( ---
Logaritme en base 10
)log()(1 xxf 14
Sinus
)sin()( xxf 15 Arcsinus
)arcsin()(1 xxf 18
Trigonomètriques
Cosinus
)cos()( xxf 16 Arccosinus
)arccos()(1 xxf 19
Tangent
)tan()( xxf 17 Arctangent
)arctan()(1 xxf 20
1. Funció constant.
axf )(
Domini: ),(
Imatge: a
Període: No en té.
Intersecció X: No en té (si 0a ) o ),( si 0a
Intersecció Y: a
Creixement: No en té (horitzontal)
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: ay
Simetria: Respecte de l’eix Y.
Funció parell/senar: Funció parell.
Derivada: 0)(' xf
Funció inversa: No en té
Amb calculadora científica: ---
2. Funció identitat.
xxf )(
Domini: ),(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: creixent
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té
Simetria: Respecte de l’eix Y.
Funció parell/senar: Funció parell.
Derivada: 1)(' xf (tipus 1)
Funció inversa: xxf )(1
Amb calculadora científica: ---
3. Funció de proporcionalitat directa.
axxf )(
Domini: ),(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: creixent si a>0, decreixent si a<0
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: Funció senar.
Derivada: axf )(' (tipus 1)
Funció inversa: xa
xf1
)(1 (tipus 3)
Amb calculadora científica: ---
4. Funció lineal.
baxxf )(
Domini: ),(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: a
b
Intersecció Y: b
Creixement: creixent si a>0, decreixent si a<0
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: axf )(' (tipus 1)
Funció inversa: a
bxxf
)(1 (tipus 2)
Amb calculadora científica: ---
5. Funció valor absolut.
xxf )(
Domini: ),(
Imatge: ,0
Període: No en té.
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: creixent si x>0, decreixent si x<0
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té
Simetria: Respecte de l’eix Y
Funció parell/senar: Funció parell
Derivada:
01
01)('
x
xxf
Funció inversa: Només localment.
Amb calculadora científica: ---
6. Funció de proporcionalitat inversa.
xxf
1)(
Domini: ),0()0,(
Imatge: ),0()0,(
Període: No en té.
Intersecció X: No en té
Intersecció Y: No en té
Creixement: Decreixent
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: L’eix Y.
Asímptotes horitzontals: L’eix X
Simetria: Respecte de l’eix Y i també respecte de l’eix X
Funció parell/senar: Funció senar
Derivada: 2
1)('
xxf
Funció inversa: x
xf1
)(1 (ella mateixa)
Amb calculadora científica:
7. Funció quadràtica. 2)( xxf
Domini: ),(
Imatge: ,0
Període: No en té.
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: )0,( decreixent, ),0( creixent
Mínims i màxims: Mínim en x = 0
Asímptotes verticals: No en té
Asímptotes horitzontals: No en té
Simetria: Respecte de l’eix Y
Funció parell/senar: Funció parell
Derivada: xxf 2)('
Funció inversa: 0)(1 xsixxf (localment)
Amb calculadora científica:
8. Funció cúbica.
3)( xxf
Domini: ),(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: No en té
Asímptotes horitzontals: No en té
Simetria: Simetria central respecte a l’origen.
Funció parell/senar: Funció senar
Derivada: 23)(' xxf
Funció inversa: 31 )( xxf
Amb calculadora científica:
9. Funció arrel quadrada.
xxf )(
Domini: ),0[
Imatge: ),0[
Període: No en té.
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: x
xf2
1)('
Funció inversa: 21 )( xxf
Amb calculadora científica:
10. Funció exponencial general.
)1,0()( aaaxf x
Domini: ),(
Imatge: ),0(
Període: No en té.
Intersecció X: No en té.
Intersecció Y: 1
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: Eix de les X
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: )ln()(' aaxf x
Funció inversa: )(log)(1 xxf a
Amb calculadora científica:
11. Funció exponencial de base e.
xexf )(
Domini: ),(
Imatge: ),0(
Període: No en té.
Intersecció X: No en té.
Intersecció Y: 1
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: Eix de les X
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: xexf )('
Funció inversa: )ln()(1 xxf
Amb calculadora científica:
12. Funció logaritme de base a.
)1,0()(log)( aaxxf a
Domini: ),0(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: 1
Intersecció Y: No en té
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: L’eix Y
Asímptotes horitzontals: Eix de les X
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: xa
ex
xf a
1
)ln(
1log
1)('
Funció inversa: xaxf )(1
Amb calculadora científica: Mitjançant la fórmula )log(/)log()(log abba
13. Funció logaritme natural.
)ln()( xxf
Domini: ),0(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: 1
Intersecció Y: No en té
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: L’eix Y.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: x
xf1
)(' ( tipus 6 )
Funció inversa: xexf )(1 ( tipus 11 )
Amb calculadora científica:
14. Funció logaritme de base 10.
)log()( xxf
Domini: ),0(
Imatge: ),(
Període: No en té.
Intersecció X: 1
Intersecció Y: No en té
Creixement: Creixent.
Mínims i màxims: No en té.
Asímptotes verticals: L’eix Y.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: x
ex
xf1
)10ln(
1log
1)('
Funció inversa: xxf 10)(1 ( tipus 11 )
Amb calculadora científica:
15. Funció sinus.
)sin()( xxf
Domini: ),(
Imatge: 1,1
Període: 2
Intersecció X: n
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent en
2,
2
, decreixent en
2
3,
2
(periòdicament)
Mínims i màxims: Màxim en
1,
2
, mínim en
1,
2
3 i múltiples.
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: Respecte a l’origen
Funció parell/senar: Funció senar
Derivada: )cos()(' xxf ( tipus 16 )
Funció inversa: )arcsin()(1 xxf (localment) ( tipus 18 )
Amb calculadora científica:
16. Funció cosinus.
)cos()( xxf
Domini: ),(
Imatge: 1,1
Període: 2
Intersecció X:
n2
Intersecció Y: 1
Creixement: Decreixent en ,0 , creixent en 2, (periòdicament)
Mínims i màxims: Màxim en 1,2 , mínim en 1, i múltiples.
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: Respecte a l’eix Y
Funció parell/senar: Funció parell
Derivada: )sin()(' xxf ( tipus 15 )
Funció inversa: )arccos()(1 xxf (localment) ( tipus 19 )
Amb calculadora científica:
17. Funció tangent.
)tan()( xxf
Domini: Totes les
nx 2
Imatge: ),(
Període: 2
Intersecció X: n
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals:
n2
.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: Respecte a l’origen
Funció parell/senar: Funció senar
Derivada: )(tan1)(' 2 xxf
Funció inversa: )arctan()(1 xxf (localment) ( tipus 20 )
Amb calculadora científica:
18. Funció arcsinus.
)(arcsin)( xxf
Domini: 1,1
Imatge:
2,
2
Període: ---
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent
Mínims i màxims: Màxim en
2,1
, mínim en
2,1
Asímptotes verticals: N No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: Respecte a l’origen
Funció parell/senar: Funció senar
Derivada: 21
1)('
xxf
Funció inversa: )sin()(1 xxf ( tipus 15 )
Amb calculadora científica:
19. Funció Arccosinus.
)(arccos)( xxf
Domini: 1,1
Imatge: ,0
Període: ---
Intersecció X: 1
Intersecció Y: 2
Creixement: Decreixent
Mínims i màxims: Màxim en ,1 , mínim en 0,1
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: No en té.
Funció parell/senar: ---
Derivada: 21
1)('
xxf
Funció inversa: )cos()(1 xxf ( tipus 16 )
Amb calculadora científica:
20. Funció Arctangent.
)(atan)( xxf
Domini: ),(
Imatge:
2,
2
Període: No en té
Intersecció X: 0
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: 2
y i
2
y
Simetria: Simètrica respecte a l’origen
Funció parell/senar: Funció senar.
Derivada: 21
1)('
xxf
Funció inversa: )tan()(1 xxf ( tipus 17 )
Amb calculadora científica:
21. Funció part entera.
xxf )(
Domini: ),(
Imatge: Els nombres enters
Període: No en té
Intersecció X: 1,0
Intersecció Y: 0
Creixement: Creixent a salts.
Mínims i màxims: No en té
Asímptotes verticals: No en té.
Asímptotes horitzontals: No en té.
Simetria: ---
Funció parell/senar: ---
Derivada: 0)(' xf si x no és un nombre enter.
Funció inversa: No en té.
Amb calculadora científica: ---
Encara que aquesta funció s’anomena “part entera”, no és “eliminar els decimals”:
És el valor enter més petit menor o igual que x. Observa que si x és negatiu
31.2)1.2( f , 2)1.2( f
Solucions. 1.5 a) 1/4 b) 2
1.6 1. a) 4 b) 2
2 c) 4 d)
3
2 e) 2
2. a) 22
1 b) 32 c)
4
2 d) 0 e) 1/8 f) 28 g) -32
2.4
1. a) x = -3 b) 6.05
3
5040
30)0(
2
fy c) x = -1 , x = 5
d) Grau Numerador = 1, Grau Denominador = 2, per tant 0)(lim
xfx
2. a) 2 i 4 b) 1.6 c) –5 i 1 d) tendeix a una asímptota horitzontal y = 1
e)
3. a) 3 b) 9 c) –1
d) Tendeix a l’asímptota obliqua y = 6 x – 7
e)
4. a) )3)(2(
)3)(2)(1()(
xx
xxxxf b) 1, -2 , 3 c) –1
d) 2, -3 e) tendeix a l’asímptota obliqua 3 xy
f)
5. ( 4)( 3)( 8)
( )( 1)( 4)( 6)
x x xf x
x x x
6. ( 4)( 7)
( )( 2)( 3)( 5)
x xf x
x x x
7. ( 1)( 3)( 7)
( )( 2)( 5)
x x xf x
x x
-8 -6 -4 -2 2 4 6
-100
100
200
-1 1 2 3 4
-15
-10
-5
3,2,2
1. a)
b) Punt de tall amb l’eix Y: (0,1) , Punts de tall amb l’eix X: (-3,0) i (5,0)
c) Per a qualsevol 2x la funció és el polinomi x+3, i per tant contínua.
De la mateixa manera, si 12 x o si 1x
Si :2x
1)2( f
1)(lim2
xfx
1)(lim2
xfx
Els límits laterals coincideixen amb el valor de la funció en aquest punt per tant la funció és
contínua en aquest punt.
Si :1x
1)1( f
1)(lim1
xfx
451)(lim1
xfx
Els límits laterals són diferents per tant la funció la funció té una discontinuïtat en x=1.
2.
b)
Punt de tall amb l’eix Y: (0,2)
Punts de tall amb l’eix X: (-1,0), (1,0) i (2,0)
c)
Per a qualsevol 0x la funció és el polinomi 2x+2, i per tant contínua.
De la mateixa manera, si 0x , es tracta d’una funció polinomial 232 xx , perfectament
contínua.
Si :0x
2)0( f
220222lim)(lim22
xxfxx
2203023lim)(lim 22
22
xxxf
xx
Els límits laterals coincideixen amb el valor de la funció en aquest punt per tant la funció també
és contínua en aquest punt.
3.
Per a qualsevol 0x la funció és el polinomi x , i per tant contínua.
De la mateixa manera, si 0x , la funció és l’exponencial, contínua.
Si :0x
0)0( f
0)(lim0
xfx
1)(lim 0
0
exf
x
Els límits laterals no coincideixen en aquest punt per tant la funció té una discontinuïtat de salt.
4.
Per a qualsevol 1x la funció és 12 x , una composició de funcions contínues, i per tant
contínua.
Si 1x , la funció és polinòmica, i per tant contínua.
Per a 1x apliquem la definició de continuïtat:
0)1( f
0111lim)(lim 22
11
xxf
xx
021222lim)(lim11
xxfxx
Aquests tres valors coincideixen, i per tant en aquest punt la funció també és contínua.
5.
Observem que la funció té una discontinuïtat de salt en x=3
3.4.2 1. a) k=6 b) k=1 c) 2
1k
2.
3. a) a=4, b=1 b) a=3, b=2
4. a=13/6, b=19/9
5. h=2
5.1.1
1. a) α = -70.346 b) α = 63.435° c) α = 69.882° d) α = -36.87°
2. a) x = -2.3 b) x = 1.7 c) x = 2.103 d) x = 2.198
3. a) ( 1.25 , 1.125 ) b) ( 0.5 , 3.75 ) c) ( -1 , 4 ), ( 1.667 , -5.481 )
d) ( -1.667 , -3.481 ), ( 1 , 6 )
5.2.2 1. xxxxf 240848)( 23
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: (0,0)
Punt de tall amb l’eix Y: (0,0)
Màxims i mínims relatius:
Màxim relatiu: 208,2
Mínim relatiu: 100,5
Monotonia:
Creixent: ,52,
Decreixent: 5,2
Punts d’inflexió: )154,2/7(
Curvatura:
Convexa: )( ,2/7
Còncava: )( 2/7,
2. 78)( 24 xxxf
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: )0,7(),0,7(),0,1(),0,1(
Punt de tall amb l’eix Y: (0,-7)
Màxims i mínims relatius:
Màxims relatius: 9,2,9,2
Mínim relatiu: 7,0
Punts d’inflexió:
9
17,
3
2 ,
9
17,
3
2
3. xxxf 4)( 3
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: (-2,0) , (0,0) , (2,0)
Punt de tall amb l’eix Y: (0,0)
Màxims i mínims relatius:
Màxim relatiu: 9/316,3/32
Mínim relatiu: 9/316,3/32
Monotonia:
Creixent: ,3/323/32,
Decreixent: 3/32,3/32
Punt d’inflexió: (0,0)
Curvatura:
Convexa: )( ,0
Còncava: )( 0,
4. 924228)( 234 xxxxxf
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: (-3,0) , (-1,0)
Punt de tall amb l’eix Y: (0,9)
Màxims i mínims relatius:
Màxim relatiu: 1,2
Mínim relatiu: 0,1,0,3
Punts d’inflexió:
9
4,
3
36,
9
4,
3
36
5. 33)( xxxf
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: 0,3 , )0,0( , 0,3
Punt de tall amb l’eix Y: (0,0)
Màxims i mínims relatius:
Màxim relatiu: 2,1
Mínim relatiu: 2,1
Monotonia:
Creixent: 1,1
Decreixent: ,11,
Punts d’inflexió: (0,0)
Curvatura:
Convexa: )( 0,
Còncava: )( ,0
6. 424)( xxxf
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: 0,2 , )2,0(
Punt de tall amb l’eix Y: (0,0)
Màxims i mínims relatius:
Màxims relatius: 4,2 i 4,2
Mínim relatiu: 0,0
Monotonia:
Creixent: 2,02,
Decreixent: ,20,2
Punts d’inflexió: 9/20,3/6 , 9/20,3/6
Curvatura:
Convexa: )( 3/6,3/6
Còncava: )( ,66,
7. 34 2)( xxxf
Punts de tall amb els eixos:
Punts de tall amb l’eix X: 0,0 , )0,2(
Punt de tall amb l’eix Y: (0,0)
Màxims i mínims relatius:
Màxims relatius: No n’hi ha.
Mínim relatiu: 16/27,2/3
Monotonia:
Creixent: ,2/3
Decreixent: 2/3,
Punts d’inflexió: 0,0 , 1,1
Curvatura:
Convexa: )( ,10,
Còncava: )( 1,0
8.
Punt de tall amb l’eix Y: )0,0(000)0( 36 f
Punts de tall amb l’eix X:
)0,1(1
)0,0(00)1(00)( 3336 xxxxxxf
Monotonia.
794.02/1
00)12(336)('
3
3225
x
xxxxxxf
Creixent
Decreixent
Decreixent
),794.0(
)794.0,0(
)0,(
La funció té un mínim relatiu al punt 4/1,2/13
Curvatura.
585.05/1
00)15(6630)(''
3
34
x
xxxxxxf
Convexa
Còncava
Convexa
),585.0(
)585.0,0(
)0,(
La funció té punts d’inflexió a )0,0( i 25/4,5/13
Gràfica.
6.1
1.
a) 2
12
10)('
xxf
b) 2
5
2)('
xxf
c) 2)17(
7)('
xxf
d) 2)5(
10)('
xxf
e) 1) x(si 1)(' xf
f) 3
1
3
1)('
2
xxf
g) 22
2
)1(
1)('
x
xxf
h) 22
22
)4(
)12()('
x
xxxf
i) 22 )4(
8)('
x
xxf
6.2
1. Asímptota horitzontal y = 1
22 )14(
)12)(12(4)('
x
xxxf
5.0
5.00)('
x
xxf
2. 2
2 )1)(1)(1(3)('
x
xxxxf
1
10)('
x
xxf
3.
22
2
)1(
1)('
x
xxf
1
10)('
x
xxf
4.
32
2
)1(
314)('
x
xxf
3
1
3
1
0)('
x
x
xf
5.
32 )1(
1)6()('
xx
xxxf
1
00)('
x
xxf
6.
Asímptota obliqua: y = x + 3
2)1(
)2()('
x
xxxf
2
00)('
x
xxf
7.
22
2
)1(
1)('
x
xxf
1
10)('
x
xxf
32
2
)1(
)3(2)(''
x
xxxf
3
3
0
0)('
x
x
x
xf
8.
2
1
2
0)(
x
x
x
xf (Per Ruffini) 4
2
2
128)('
x
xxxf
2915.1
2915.90)('
x
xxf
9.
23
2
)1()2(
)56()('
xx
xxxf
5/6
00)('
x
xxf
6.3.4
1.
Punts de tall amb l’eix X: x = 2
Asímptotes verticals: x = -1
4
20)('
)1(
82)('
2
2
x
xxf
x
xxxf
3)1(
18)(''
xxf
2.
Punts de tall amb l’eix X: x = 5, x = 2
Asímptotes verticals : x = -3
325.3
325.90)('
)3(
316)('
2
2
x
xxf
x
xxxf
0)('')3(
80)(''
3
xf
xxf no té solucions reals.
3. Punts de tall amb l’eix X: no té.
Asímptotes verticals: x = -3 i x = 2
2
10)('
)6(
12)('
22
xxf
xx
xxf
0)('')6(
)733(2)(''
32
2
xf
xx
xxxf no té solucions reals.
4.
Punts de tall amb l’eix X : x = 2
Asímptotes verticals: x = -1 i x = 3
236.0
236.40)('
)32(
14)('
22
2
x
xxf
xx
xxxf
634.60)('')32(
)836(2)(''
32
23
xxf
xx
xxxxf (veieu la indicació)
5.
Punts de tall amb l’eix X : x = 0, x = 4
Asímptotes verticals: x = -2
828.2
828.2
0
0)(')2(
)8(3)('
2
22
x
x
x
xfx
xxxf
679.1
00)(''
)2(
)164(6)(''
3
23
x
xxf
x
xxxxf (veieu la indicació)
6.
a) Domini de definició. }1{
b) Punt(s) de tall amb l’eix X. )0,0(P
c) Punt de tall amb l’eix Y. )0,0(P
d) Asímptotes verticals. En x = 1
e) Comportament en l’infinit: Asímptotes horitzontals i obliqües.
Asímptota obliqua : 2 xy
f) Creixement i decreixement. Màxims i mínims.
3
2
3
2
4
2
4
322
2
3
2
23
)1(
3
)1(
2)1(3
)1(
2)1(3)1(
)1(
)1(2)1(3
)1(
)1(2)1(
3
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxx
x
x
xx
xx
303
000)3(0
)1(
)3()('
2
2
3
2
xx
xxxx
x
xxxf
)0,( )1,0( )3,1( ),3(
05.0)1(' f 02)5.0(' f 04)2(' f 059.0)4(' f
f creixent f creixent f decreixent f creixent
Per tant la funció té un mínim relatiu en x = 3 , 75.6)3( fy
i observem que aquesta funció no té extrem relatiu en x = 0, tot i que 0)0(' f
g) Concavitat i convexitat. Punts d’inflexió.
3
2
)1(
)3()('
x
xxxf
444
22
46
2
6
223
3
2
23
2232
)1(
6
)1(
23
)1(
3233
)1(
)3()1)(2(3
)1(
)3()1)(2()1(3
)1(
)1(3)3()1)(2(3
)1(
)3(
)1(3)1(
)2(3633)3(
x
x
x
x
x
xxxxx
x
xxxxx
x
xxxxxx
x
xxxxxx
x
xx
xx
xxxxxxxx
00)1(
6)(''
4
x
x
xxf
)0,( )1,0( ),1(
0375.0)1('' f
048)5.0('' f 012)2('' f
f corbada cap avall f corbada cap amunt f corbada cap amunt
Per tant la funció té un punt d’inflexió en x = 0, 0)0( fy
Representació gràfica de la funció.
7.
a) 0
b) 0
c) No en té
d) La funció tendeix a una asímptota horitzontal y=1
e) 00)(')3(
6)('
22
xxf
x
xxf
0, decreixent, ,0 creixent, Per tant, la funció té un mínim en P = 0,0
f)
1
10)(''
3
)1(18)(''
32
2
x
xxf
x
xxf
1, corbada cap a baix, 1,1 corbada cap a dalt, ,1 corbada cap a dalt
g)
8.
a) Domini de definició. }5,6{
b) Punt(s) de tall amb l’eix X. x = -2 , x = 1
c) Punt de tall amb l’eix Y. )3/1,0(P
d) Asímptotes verticals. En x = -6 i x = 5
e) Comportament en l’infinit: Asímptotes horitzontals i obliqües.
Asímptota horitzontal y = 5
f) Creixement i decreixement. Màxims i mínims.
2/10)12(1400
30
)12(140)('
30
)12(140
30
140280
30
101515101502951510
30
12105530510
30
1055
1230
5101055
22
2222
22
2323
22
22
2
2
2
2
xxxx
xxf
xx
x
xx
x
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
xx
xx
xxx
xxx
)6,( )5.0,6( )5,5.0( ),5(
064.12)7(' f 021.1)3(' f 015.0)0(' f 011.3)7(' f
f creixent f creixent f decreixent f decreixent
Per tant la funció té un mínim relatiu en x = -0.5 , 37.0)3( fy
g) Concavitat i convexitat. Punts d’inflexió.
0)('')30(
)3133(280)(''
32
2
xf
xx
xxxf no té solucions reals
)6,( )5,6( ),5(
04.25)7('' f
032.0)5.0('' f 04.25)6('' f
f corbada cap a dalt f corbada cap a baix f corbada cap a dalt
f) Representació gràfica de la funció.
7.4
1. xxxf 64)(' 3
2. xxxf 218)(' 2
3. 5
23)('
2 xxxf
4. 21021)( 23
25
xxxf
5.23 2
1
3
1
2
3)('
xxxxf
6.25
2
)1()1(3)('
2
x
xxxf
7.xx
xf11
3
2)('
3
8. 310314)(' xxxxf
9. 192)(' 2 xxxf
10. 12266)(' 2 xxxf
11.22
22
)1(
)3()('
t
tttf
12. 2)3(
)4)(2()('
s
sssf
13.
22
234
2
1262)('
xx
xxxxxf
14. 328)(' 2 xxxf
15. 21)1(
1)('
xxxf
16.
23
22
2
1
41)('
xx
xxf
17.
3 22 13
12)('
xx
xxf
18.
2
3
11)('
xxf
19. xxf 2sin)('
20. xxxf 3sin3cos2)('
21. x
xfcos1
1)('
22. xxxxxf 3sin2sin33cos2cos2)('
23. tttf cos)('
24. ttttf 222 sincos3sin)('
25. xxf tan)('
26.x
xf2sin
2)('
27. xxf cot2)('
28. xxxf cossin)('
29. x
xfcos
1)('
30. x
xxf
)cos(ln)('
31. )cos(cossin)(' xxxf
32. 21
2)('
xxf
33. 3lnsin
cos2)('
2 xx
xxxf
34. 41
4)('
x
xxf
35. xx
xxf
2
12)('
36. 52
23)('
3
2
xx
xxf
37. 1ln)(' xxf
38. x
xxf
2ln3)('
39. 21
1)('
xxf
40. xx
xfln
1)('
41. 54
4)('
x
exf
42. axaxf x ln2)('2
43. 7ln7)1(2)(' 22 xxxxf
44. )21()(' 2xxexf x
45.
21
2)('
x
x
e
exf
46. xexf x cos)(' sin
47. xxexf x 2cos sincos)('
48. ))ln(sin(cot)(' xxexf x
49. )ln1()(' xxxf x
50. xx xxexf
x
)ln1()('
7.3
1. És contínua, però no és derivable en
x=1.
2. És contínua, però no és derivable en
2x b) 03 yx
3. És contínua per a 8k , però no és
derivable.
4. És contínua per a 1k , però no és
derivable.
7.6
2
10
3
1
)1(3
1)('
3 23 2
x
xxxf
)2/1,( ),2/1(
)(' xf + -
)(xf Creixent Decreixent
La funció té un màxim al punt
3 4,2
1
8.2.2
1. y = x y = -3x – 8 y =
5x
2. y = 0.5 x y = -0.64x – 0.12
3. y = x - 1 y = 0.31x - 0.5
y = -0.386x - 0.25
4. 32)( 23 xxxxP
8.3.1 1. )1,1(1 A ,
27
13,
3
12A
2. 279 xy , 59 xy
3. 2211 xyx ,
6232 xyx
4.
1
211
xy
xyx ,
27
1
3
9
26
3
3
12
xy
xy
x
8.3.4
a) Lines that are parallel to the x axis have slope
= 0. The slope of a tangent line to the graph of y
= x3 - 3x is given by the first derivative y ': y ' =
3x2 - 3
We now find all values of x for which y ' = 0:
3x2 - 3 = 0
Solve the above equation for x to obtain the
solutions: x = -1 and x = 1
The above values of x are the x coordinates of
the points where the tangent lines are parallel to
the x axis. Find the y coordinates of these points
using y = x3 - 3x
for x = -1 , y = 2 , for x = 1 , y
= -2
The points at which the tangent lines are parallel
to the x axis are: (-1,2) and (1,-2). See the graph
of y = x3 - 3x below with the tangent lines.
b) We need to determine two algebraic
equations in order to find a and b. Since the
point of tangency is on the graph of y = ax3 + bx
and y = -3x + 4, at x = 1 we have
a(1)3 + b(1) = -3(1) + 4
Simplify to write an equation in a and b: a +
b = 1
The slope of the tangent line is -3 which is also
equal to the first derivative y ' of
y = ax3 + bx at x = 1 y ' = 3ax
2 +
x = -3 at x = 1.
The above gives a second equation in a and b
3a + b = -3
Solve the system of equations a + b = 1 and 3a +
b = -3 to find a and b
a = -2 and b = 3.
See graphs of y = ax3 + bx, with a = -2 and b =
3, and y = -3x + 4 below.
c) The slope of a tangent line is given by the
first derivative y ' of y = aex + bx. Find y '
y ' = aex + b
To find the x coordinate of a point at which the
tangent line to the graph of y is horizontal, solve
y ' = 0 for x (slope of a horizontal line = 0) aex
+ b = 0
Rewrite the above equation as follows ex =
-b/a
The above equation has solutions for -a/b >0.
Hence, the graph of y = ae x + bx has NO
horizontal tangent line if -a/b <= 0
d) (2,2) and (-2,-2)
e) a = 2 and b = - 4
f) 4b2 - 12 ac = 0
8.4 1. y = -2x + 3, y = -2.83x +
7.07 y = -1.414x + 1.414
2. y = -1.65x - 0.22 y = -x + 1
y = - 4.48x - 6.50
3. y = 0.25x+1.875 y = x
y = 2.25x-2.71
8.5 1. 2cos)2(
1cos2)('
xxf ,
3)cos2(
)cos1(sin2)(''
x
xxxf
2. ))(sin1(
cossin2)('
2x
xxxf
,
9
6
9
4 xy
9.1 a) 2
)2()('
x
xexf
x 2x
b) 4
)3()('
x
xexf
x 3x
d) xe
xxxf
)3()('
2
3x (x=0 no és un extrem)
e) 2
)ln(1)('
x
xxf
719.2 ex
f) 3
)ln(21)('
x
xxf
64872.1 ex
g) 4
)ln(31)('
x
xxf
3956.13 ex
9.1.2 1.
a) M = ( 2 , 0.271 ) I = ( 1 , 0.368 )
b) M = ( 2 , 0.541 ) m = ( 0 , 0 ) I1 = ( 0.586 , 0.191 ) I2 = ( 3.414 , 0.384 )
c) m = ( 2.718 , 2.718 ) I = ( 7.3891 , 3.6945 ) (no apareix a la gràfica)
d) m = ( 1.649 , 5.437 )
e) m = ( 0.5 , 2.332 )
9.2 1. 001
2)('
2
x
x
xxf
)0,( ),0(
)(' xf - +
)(xf decreixent creixent
La funció té un mínim al punt (0,0)
1,101
)1(2)(''
2
2
xx
x
xxf
)1,( )1,1( ),1(
)('' xf - + -
)(xf Còncava Convexa còncava
Els punts )2ln,1( i )2ln,1( són punts d’inflexió.
2. 20)1(
2)('
x
xx
xxf , )4ln()2( f , el punt és 4ln,4
3. 00)1(
)1()('
3
x
e
eexf
x
xx
)0,( ),0(
)(' xf + -
)(xf creixent decreixent
La funció té un màxim relatiu al punt
4
1,0
4. 3
10
)1(
)13(4)('
32
2
x
x
xxf
3
1,
3
1,
3
1
,
3
1
)(' xf + - +
)(xf creixent decreixent Creixent
La funció té un màxim al punt
4
33,
3
1 i un mínim al punt
4
33,
3
1.
5. 22 ,10ln2)(ln)(' exxxxxf
2,0 e 1,2e ,1
)(' xf + - +
)(xf creixent decreixent Creixent
La funció presenta un màxim al punt 22 4, ee i un mínim al punt )0,1(
102ln2
)('' exxx
xxf
1,0 e ,1e
)('' xf - +
)(xf Còncava convexa
La funció presenta un punt d’inflexió a 11, ee
6. 1012
)('2
xe
xxxf
x, però 0)(' xf sempre, per tant la funció es sempre
decreixent, i no té ni màxims ni mínims relatius.
3,1034
)(''2
xxe
xxxf
x
1, 3,1 ,3
)('' xf + - +
)(xf Convexa Còncava convexa
7. 10)1(
)('2
xx
xexf
x
1,0 e ,1
)(' xf + -
)(xf creixent Decreixent
La funció té un màxim relatiu a 1x .
10.2 1.
xx
x
x
x
xxAplicant
x
xxx
x
xxx
x
xxxxxf
x
xxf
sin1
1
sin1
)1(sin
sin1
1sin*
1cossin
*sin1
)cos(sinsin
sin1
cossinsin
sin1
))(cos(cos)sin1)(sin()('
sin1
cos)(
22
22
2
22
2
22
2
2. Apliquem la regla de la cadena:
xxxxxfxxf sincos3)sin(cos3)('cos)( 223
Apliquem la propietat 000 BoABA
...,00sin
,...2
3,
20cos0cos
0sincos3
2
2
xx
xxxxx
10.4
1) a) y = 0.622x + 0.224 b) y = -0.942x + 2.973 c) y = 0.644x + 1.216
d) y = 2.06x -0.618 e) y = 1.298x + 0.103
2) a) P = ( 0.9 , 0.783 ) b) P = ( 1 , 0.54 )
13.3.3 1. 81/4 2. 5/2 3. 12 4. 32/27 5. 1.0833
14.2.3
1. Cx
6
6
2. Cxxx
3
2
2
2
3. Cxxx 2
10
16
4. Cxx 2
5
2
5. Cxxx
281
6. Cx 4 3
3
4
7. Ce x 5
5
1
8. Cx
5
5sin
9. Ca
ax
cos
10. Cx 2ln2
1
11. Cx
3
3cot
12. Cx
7
7tan
13. Cx 73ln3
1
14. Cx 1ln
5. Cx 25ln2
1
16. Cx 2cosln2
1
17. Cx
3
sin 3
18. Cx
4
cos 4
19. Cx 32 1
3
1
20. Cx 322
1 2
14.3.1
1.
xxgxxg
xfxxf
cos)(sin)('
1)(')(
Cxxx
dxxxxdxxxxdxxx
sincos
coscos)cos(1)cos(sin
2. dxex x
xx exgexg
xfxxf
)()('
1)(')(
Cexedxexedxex xxxxx 1
3. dxex x
2
xx exgexg
xxfxxf
)()('
2)(')( 2
*22 222 dxexexdxexexdxex xxxxx
i apliquem l’exercici anterior:
CxxeCexeexCexeex xxxxxxx 22222* 222
4. dxxx ln3
4/)()('
/1)('ln)(
43 xxgxxg
xxfxxf
Cxx
Cx
xx
Cx
xx
dxx
xx
dxx
xx
xdxxx
4
1ln
416ln
444
1ln
4
4ln
4
1
4ln
4ln
44444
34443
5. dxx ln
xxgxg
xxfxxf
)(1)('
/1)('ln)(
CxxCxxxdxxxdxxx
xxdxx 1lnln1ln1
lnln
14.5
1.
a)
b) 4ln42
15A
2.
a)
b) 3
7A
3.
a)
b) e
A2
11
4.
a) 32 xy
b)
3
1A
5.
5a
6.
a)
b) 3
8A
7.
a)
b) 3
4A
8.
a)
b) 1A .
9.
a) 2y
b)
c) 4
27A
10.
a)
b) 3
221 A ,
3
2262
A
11.
a)
b) 3
44A
12.
a)
b)
eeA
1
13.
a)
b)
3A
14.
2
9A
15.
a) f és “a” i 'f és “b”.
b) 92.33
83ln6 A
16.
a) 1x , 1x
b)
3
7A
17.
1a
18.
4
2
eA
19.
a)
b)
3
32A
20.
12
1A
21.
12
eA
22.
a) Els punts de tall són 2,1,3x
b)
4
131A
23.
1a
24.
3
32A
25. 9
12 3 e
26.
a)
b) 0y
c) 3
1A
15.1 1. a) 296.0296.3 xy b) 1099.1 xy
2. a) xx
xxf
3
32)('
2
b) )18ln,3(P (la solució x = -2 està fora del domini de la funció)
3. a) Asímptota horitzontal 1y . b) x = 0
c) 577.03
1x
4. La funció a minimitzar és
22 )12(6425)( xxxf
Derivem i igualem a zero la derivada:
2222 )12(64
12
25)12(64
)12(2)1(
252
2)('
x
x
x
x
x
x
x
xxf
62.413/60
2036006003903600600169208*
360060016924)12(25
20824)12(64
*)12(25)12(64)12(64
25
)12(
)12(64
25
12)12(64
25
)12(64
25
12
)12(64
12
250
)12(64
12
25
222
23422
23422
2222
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2222
x
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Descartem la solució 20x perquè no té sentit en el context en el què estem.
relatiu mínimun és 60/13x0049.0)5('
0082.0)4('
creixentf
decreixentf
15.2 1.
5
20107)( 2
x
xxxxf per tant la funció canvia de signe entre els
intervals d’integració i hem de calcular l’àrea per separat:
3/16)4(
6/41)1(
3/26)2(
102
7
3107)(
6
31
3
10
6
11
3
26
3
16
6
41
3
26)2()4()1()2()()(
23
2
4
2
2
1
F
F
F
xxx
dxxxxF
FFFFdxxfdxxfA
2. babap 24022)2(0 2
0)0(
223
822
23
2)2(
23)(
223
8)0()2()(
3
46
23
23
2
2
0
F
baba
F
bxxax
dxbaxxxF
baFFdxxp
Resolem el sistema
14)5(24
5)24(223
8
3
4624
223
8
3
46
240
b
aaaabba
ba
3. Opció A.
a)
b) Per canvi de variable:
xuxu
Cx
Cuduu
dxxx
dxx
x
2'4
2
)4ln()ln(
1
2
1)2(
4
1
2
1
42
2
22
c) Determinem els punts de tall:
3411
4
1
0
4 2
2
2xx
x
x
xx
x
2
)4ln(
2
0
2
)04ln(0
2
3
2
3
2
)34ln(3
22
)4ln(
44)(
6137.10.806922
)4ln(
2
32)0(32
42
2
22
22
3
0 2
F
F
xxdxxdx
x
xdxx
x
xxF
FFdxxx
xÀrea
3 Opció B.
2)1(
)(x
x
e
exf
xxx
xx
x
xx
x
xxxx
x
xxxxx
eee
ee
e
ee
e
eeee
e
eeeeexf
)1(2)1(
)1(
1
)1(
2)1()1(
)1(
)1(2)1()('
2
344
2
010)1(
1)('
3
xe
e
eexf x
x
xx
b)
4. La gràfica de la funció és la següent
Hem de tenir en compte que la funció canvia de signe: Entre 0 i 2 és negativa i la seva àrea és
0030)0(
4128232)2(
32
6
3
363)(
404)0()2(63
23
23
2323
2
2
0
2
1
F
F
xxxx
dxxxxF
FFdxxxA
Per tant, falten 54458 u2 més a la dreta del 2x , on la funció és positiva. El nostre
problema es redueix, doncs, a resoldre l’equació:
4)2(
3)(
43)4(3)2()(6354
23
2323
2
2
2
F
kkkF
kkkkFkFdxxxAk
505035443 2323 kkkkk
Per tant, l’interval buscat és 5,0
Sèrie “Matemàtiques curriculars”
Àlgebra Lineal 2n Batxillerat:
http://www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.pdf
Geometria Lineal 2n Batxillerat:
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.pdf
Càlcul infinitesimal 2n Batxillerat:
http://www.toomates.net/biblioteca/Calcul.pdf
Programació Lineal 2n Batxillerat:
http://www.toomates.net/biblioteca/ProgramacioLineal.pdf
Compendium PAU TEC: Totes les Proves de la Selectivitat de Catalunya 1998-2019
http://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdf
Compendium PAU CCSS: Totes les Proves de la Selectivitat de Catalunya 1998-2019
http://www.toomates.net/biblioteca/Pauccss.pdf
Àlgebra 1r Batxillerat:
http://www.toomates.net/biblioteca/Algebra1bat.pdf
Àlgebra 4t ESO:
http://www.toomates.net/biblioteca/Algebra4eso.pdf
Links d'interès
Recull de Proves PAU Extremadura 2000-2017:
http://www.vicentegonzalezvalle.es/documentos/Examenes_selectividad_A4.pdf
