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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS A PARTIR DE SEÑALES DE ACELERACIONES MEDIDAS EN ESTRUCTURAS CIVILES

Damaris Sarahí Arias-Lara 1, Jaime De-la-Colina Martínez2

RESUMEN

Se presenta un análisis comparativo de métodos para estimar desplazamientos a partir de acelerogramas de

diferentes excitaciones (armónica, vehicular, peatonal o sísmica). Los resultados destacan dos grupos de

métodos: un grupo útil para señales con desplazamiento finales cero y otro útil para movimientos más generales.

Excepto para señales con relación ruido/señal significativa y desplazamientos pequeños, es posible obtener

desplazamientos exactos. Los resultados indican que la selección del método depende de: la amplitud de los

desplazamientos, de la información de la señal requerida (valor máximo o toda la historia de desplazamientos),

y de la magnitud desplazamiento esperado al final del registro.

ABSTRACT

A comparative analysis of methods to estimate displacements from measured acceleration records of different

types of excitation (harmonic, vehicular, pedestrian, or seismic) is presented. Results identify two groups of

methods: one applies to signals with zero end displacements and the other applies to more general movements.

Except for cases with significant noise/signal ratio and small displacements, it is possible to obtain exact

displacements. Results indicate that the selection of the method depends on: displacement amplitudes, type of

information required (either the peak displacement or the whole displacement history), and magnitude of the

displacements at the record end.

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de los desplazamientos en estructuras civiles es importante debido a sus aplicaciones en la

identificación de propiedades dinámicas (Duan y Achintya, 1994), así como en el monitoreo de daño estructural

(Beck y Jennings, 1980), entre otras. La identificación de las propiedades dinámicas también permite que los

modelos numéricos de las estructuras sean calibrados y así éstos puedan ser más realistas. Usualmente, los

desplazamientos se obtienen a partir de registros de aceleración porque de esta manera no se requiere una

estructura fija de referencia/soporte, como en el caso de los transformadores diferenciales de variación lineal

(LVDTs) o los sistemas láser. Actualmente los sistemas de posicionamiento global (GPS) también pueden ser

usados para medir desplazamientos pero su frecuencia de muestro es baja (1-20 Hz) y su precisión es menor a

1 cm aproximadamente. Estudios recientes (D. Murià Vila et al., 2013; Emore et al., 2007) han reportado en

algunos casos pérdida de la señal del GPS durante algunas porciones del registro.

Los registros de aceleraciones deben ser procesados (ajuste de línea base, filtrado y doble integración) para

obtener historias de desplazamiento. Sin este procesamiento, los desplazamientos calculados de la doble

integración de los registros de aceleración resultan comúnmente irreales (Boore y Bommer, 2005; Chiu, 1997).

Esto sucede porque los registros de aceleración usualmente contienen errores que provocan distorsiones en la

línea base y son amplificados durante la integración.

1 Alumna, Facultad de Ingeniería. Universidad Autónoma del Estado de México, Ciudad Universitaria –

Cerro de Coatepec, Toluca, Estado de México. México. Teléfono: 215 4512 ext 1215; [email protected] 2 Profesor, Facultad de Ingeniería. Universidad Autónoma del Estado de México, Ciudad Universitaria –

Cerro de Coatepec, Toluca, Estado de México. México. Teléfono: 215 4512 ext 1215;

[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

XXCongreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016

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Los errores presentes en los registros de aceleración pueden ser de baja o alta frecuencia. De acuerdo a Chiu,

1997, los errores de baja frecuencia afectan la línea base de los registros y son generados por el ruido

instrumental, ruido ambiental, valores iniciales y/o errores de manipulación.

Para reducir estos errores, varios algoritmos han sido propuestos para el procesamiento de las señales de

aceleración y estimación de los desplazamientos. El proceso propuesto por Trifunac y Lee (1973) ha sido

considerado como un trabajo base a partir del cual se han generado algoritmos más recientes e.g., (Converse y

Brady, 1992 y Chiu, 1997). Estas rutinas de procesamiento se basan principalmente en el ajuste de línea base

mediante la aplicación de filtros pasa alta. Como lo señalan Wang et al. (2011), una desventaja del uso de estos

filtros, es que no sólo remueven los errores de línea base, sino que también eliminan el contenido de baja

frecuencia de la señal incluyendo los desplazamientos permanentes. Por esa razón el uso de filtros pasa alta no

es un procedimientos recomendado para registros que poseen desplazamientos permanentes o seudo-estáticos.

Para evitar el ruido de baja frecuencia después del filtrado pasa alta, Converse y Brady (1992), así como Boore,

2005, sugieren la adición de segmentos de ceros (pads) al inicio y final del registro de aceleraciones.

Para señales con desplazamientos seudo-estáticos o con desplazamientos permanentes es preferible utilizar otras

metodologías. Estas metodologías alternas, se basan en el ajuste de línea base de la aceleración o velocidad,

mediante funciones lineales, polinomiales o funciones bilineales continúas (Boore, 2001; Chao et al., 2009;

Darragh et al., 2004; Graizer, 1979; Iwan et al., 1985; Wang et al., 2011; Wu y Wu, 2007; Zhu, 2003).

En este trabajo se estudian las metodologías propuestas por Trifunac y Lee (1990), Converse y Brady (1992),

Chiu (1997), Boore et al. (2002), Darragh et al. (2004), Park et al. (2005) y Wang et al. (2011). Cada

metodología es evaluada con distintos tipos de excitación para conocer su capacidad para estimar

desplazamientos. Es importante destacar que el método de Converse y Brady, 1992 fue adoptado por la US

Geodetic Survey (USGS) para el procesamiento de acelerogramas de movimientos fuertes (strong-motion) y

para la estimación de desplazamientos. Por su parte, el Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER)

adoptó el método propuesto por Darragh et al. (2004).

Estos métodos se analizan porque constituyen enfoques apreciablemente diferentes entre ellos. Los demás

métodos existentes pueden considerarse como variaciones de los considerados en este estudio o como partes de

métodos más generales. Por ejemplo, el método de Wang et al. incluye ideas presentadas por Iwan et al. (1985),

Boore (2001), Wu y Wu (2007), Chao et al. (2009), entre otros.

Los métodos seleccionados se pueden asumir inicialmente como propuestas de aplicación general para el

cálculo de desplazamientos de cualquier tipo de movimiento, ya que emplean técnicas (filtrado, ajuste de línea

base e integración) que no necesariamente son propias de un tipo particular de movimiento (e.g., sismos). Por

su parte, el método de Arraigada y Partl (2006) no se puede considerar de aplicación general ya que incluye

procedimientos propios de señales típicas de puentes vehiculares.

El principal objetivo de este trabajo es identificar el o los métodos que conduzcan a las mejores estimaciones

de los desplazamientos para los diferentes tipos de excitación. Otro objetivo es mostrar los errores que se pueden

generar en los desplazamientos cuando estos métodos son aplicados a señales de aceleración provenientes de

diferentes fuentes (sísmicas, debidas a tráfico vehicular y peatonal en puentes, vibración armónica, etc.). Cabe

señalar que en todos los casos, las bandas de frecuencia aquí estudiadas corresponden a frecuencias de interés

estructural.

METODOLOGÍAS ESTUDIADAS

En esta sección se describen brevemente los métodos para el cálculo de desplazamientos que se emplean en

este trabajo.

TRIFUNAC Y LEE (1990)

Este método fue desarrollado en 1973 para el procesamiento de señales sísmicas, y fue modificado en 1979,

1984 y en 1990 para incorporar los avances en las técnicas de procesamiento digital de señales de la época.

El esquema utilizado en este trabajo incluye únicamente la parte II de la versión de 1990. En ella se describen

los pasos usados para el procesamiento de acelerogramas digitales, el cual se basa principalmente en el ajuste

de línea base mediante el filtrado pasa alta de las señales de aceleración, velocidad y desplazamiento.

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CONVERSE Y BRADY (1992)

Para el ajuste por línea base de los registros, el método aplica a la señal de aceleraciones dos procedimientos:

un ajuste lineal por mínimos cuadrados y un filtrado pasa alta. Previo al filtrado, el método sugiere la adición

de segmentos de ceros (pads) al inicio y al final del registro de aceleraciones.

CHIU (1997)

Este método fue desarrollado para estimar desplazamientos de origen sísmico y, de acuerdo con Chiu es capaz

de ajustar los principales errores de línea base de los registros de aceleración.

El algoritmo consiste principalmente en tres pasos: ajuste por mínimos cuadrados de la aceleración, filtrado

pasa alta de la aceleración y sustracción del valor inicial de la velocidad. El último paso se puede realizar de

tres maneras. Aquí se seleccionó el ajuste de mínimos cuadrados en la velocidad porque se asumió inicialmente

que a partir de este enfoque podrían ser obtenidos desplazamientos cosísmicos o permanentes.

De acuerdo a Chiu, este método reduce los pasos necesarios para el ajuste de los errores por línea base,

reduciendo de esta manera los efectos debidos a la manipulación de los datos.

BOORE ET AL. (2002)

El propósito de esta metodología fue estimar los desplazamientos permanentes o residuales a partir de registros

sísmicos de aceleración basándose en su ajuste de línea base. Para ello, primero se realiza un ajuste cuadrático

por mínimos cuadrados en la velocidad. Luego, la función de ajuste es diferenciada y sustraída del registro de

aceleración. Finalmente, se aplica un filtro pasa alta a las aceleraciones.

DARRAGH ET AL. (2004)

El objetivo de esta metodología fue corregir los errores de línea base presentes en los registros preservando los

desplazamientos estáticos permanentes, también conocidos como desplazamientos cosísmicos.

Para ello realiza un ajuste en las velocidades usando una de las siguientes tres formas funcionales: ajuste lineal,

ajuste cuadrático o ajuste bilineal seccional continuo.

Posteriormente, el método deriva la función del mejor ajuste y la remueve del registro original de aceleración.

Esta metodología no hace uso de un filtrado pasa alta, lo cual permite preservar los desplazamientos cosísmicos.

PARK ET AL. (2005)

A pesar de que esta metodología fue desarrollada para puentes vehiculares, sus procedimientos son generales y

pueden ser aplicados a otros tipos de excitación. Su propósito fue corregir los errores de línea base presentes en

los registros debido a las condiciones iniciales, tales como la velocidad inicial.

La propuesta de Park et al. consta de dos enfoques. El primero ajusta la línea base con la media del registro de

aceleración y de velocidad. Este enfoque se puede considerar como un método básico de ajuste de señales. El

segundo enfoque hace uso de un filtrado pasa alta asumiendo la velocidad inicial como cero. Ya que esta

segunda opción está contenida dentro otras metodologías (Boore et al., 2002; Chiu, 1997; Converse y Brady,

1992; Trifunac y Lee, 1990), en este trabajo se aborda únicamente el primer enfoque.

De acuerdo a Park et al. (2005), su propuesta puede ser aplicada efectivamente para el monitoreo de

desplazamientos en puentes.

WANG ET AL. (2011)

La finalidad de su investigación fue estimar los desplazamientos permanentes (cosísmicos) a partir de registros

de aceleración de origen sísmico. Se basa en el ajuste de línea base del registro de velocidades por medio de

una función continua, la cual debe ser estimada por medio de un proceso iterativo de modo que la historia de

los desplazamientos corregidos se ajuste mejor a una función escalón.

De acuerdo con Wang et al. (2011), el desplazamiento cosísmico obtenido con esta metodología difiere en un

10%-20% respecto a las mediciones directas de GPS.


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CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS MÉTODOS

En la Tabla 1 se resumen las principales técnicas empleadas por cada método. Para facilidad en la presentación,

se usa un identificador de dos letras para cada método.

Una característica fundamental de los métodos es la forma en la que ajustan la línea base. Se puede observar

(ver tabla 1) que los métodos TL, CB, CH y BO usan un filtro pasa alta, mientras que los métodos DA, PA y

WA utilizan otras técnicas. Además del filtrado, el método BO utiliza un ajuste por mínimos cuadrados en la

velocidad. El método DA utiliza un ajuste de mínimos cuadrados y no aplica filtros. El método PA, únicamente

sustrae la media del registro de aceleración y de velocidad. Por su parte el método WA ajusta la línea base en

velocidades de modo que el desplazamiento resultante se ajuste mejor a una función escalón.

Otro aspecto interesante de los métodos es que algunos de ellos (TL, CB, CH y PA) forzan a que el

desplazamiento final obtenido sea cercano a cero. Obviamente estos métodos no podrán estimar

desplazamientos permanentes (e.g., desplazamientos cosísmicos).

Tabla 1. Principales características de los métodos

Método Método

ID Ajuste de línea base Filtros

Forza el desplazamiento

final a cero

Número de pasos

principales * Iterativo

Trifunac y Lee

TL Con filtro pasa alta Pasa alta y pasa baja

Si

6 No

Converse y Brady

CB Con filtro pasa alta y ajuste por mínimos

cuadrados

Pasa alta y pasa baja

Si 4 No

Chiu CH Con filtro pasa alta y ajuste por mínimos

cuadrados Pasa alta Si 3 No

Boore et al. BO

Removiendo del registro de aceleraciones la

derivada del ajuste por mínimos cuadrados en la velocidad, y con filtro

pasa alta

Pasa alta No 3** No

Darragh et al. DA

Removiendo del registro de aceleración la

derivada de la función del mejor ajuste

Pasa baja No 2** Si

Park et al. PA Removiendo la media del registro del registro

completo Ninguno Si 2 No

Wang et al. WA Con una función seccional bilineal

continua Ninguno No 6 Si

* La doble integración para obtener desplazamientos no es considerado como un paso adicional

** El ajuste en el registro de velocidades, la derivada de la función de ajuste y su sustracción del registro de

aceleración, es considerado aquí como un único paso.

Finalmente, es importante observar que algunos métodos (DA y WA) requieren un proceso iterativo para el

cálculo del registro completo de desplazamientos, por lo cual su tiempo de proceso es considerablemente mayor

al de los otros. El tiempo requerido por cada método para el cálculo de los desplazamientos fue menor a 2

minutos, excepto para el método WA que requirió entre 2 y 20 horas en Matlab®, dependiendo de la longitud

del registro de aceleración.

SELECCIÓN DE FRECUENCIAS DE CORTE EN FILTROS

Para la selección de las frecuencias de corte para el filtrado pasa alta se tomaron en cuenta las recomendaciones

de Boore y Bommer (2005), particularmente la relación señal-ruido en el dominio de las frecuencias con ayuda

del espectro de Fourier. La frecuencia de corte se seleccionó usando una relación señal-ruido de 2, de acuerdo

a Boore y Bommer (2005). En este estudio, el pre-evento de la señal (vibración ambiental) se consideró ruido.

En la figura 1 se ilustra la selección de la frecuencia para una relación señal-ruido = 2.0.

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Las frecuencias de corte seleccionadas para los métodos que incluyen un filtro pasa alta para el ajuste de línea

base se resumen en la tabla 2.

Boore y Bommer (2005) también recomiendan una inspección visual de los registros para descartar los casos

en donde los desplazamientos estimados, basados en la relación señal-ruido seleccionada, resulten irreales.

Aplicando dicha inspección, la tabla 2 resume las frecuencias de corte seleccionadas que conducen a los mejores

ajustes entre los desplazamientos estimados y medidos, para los métodos que utilizan filtros pasa alta para el

ajuste de línea base. Esta inspección fue posible en estos casos porque se conocían los desplazamientos medidos;

sin embargo, en aquellos casos donde estos desplazamientos son desconocidos, la selección de las frecuencias

de corte basadas en la relación señal-ruido igual a 2, así como el juicio del analista deben usarse.

Debido a las diferencias entre las metodologías empleadas, las frecuencias de corte que conducen a los mejores

ajustes resultan diferentes.

También es importante identificar el nivel de ruido dentro de las señales porque los resultados de los métodos

dependen de la relación señal-ruido. En la tabla 3 se muestra la información del nivel de ruido en el dominio

del tiempo para cada señal. Se observa que la máxima amplitud del ruido corresponde al puente peatonal con

3.20% de la amplitud de la señal.

Figura 1. Amplitudes de Fourier de las señales de aceleración y ruido.

Tabla 2. Frecuencias de corte (Hz) usadas en el filtro pasa alta

Método Señales cuasi-

armónicas Mesa vibradora Puente peatonal

Puente vehicular

Sismo Tohoku

Trifunac y Lee 0.07 0.12 0.14 0.06 0.07

Converse y Brady

0.1 0.20 0.20 0.07 0.07

Chiu 0.2 0.20 0.20 0.20 0.07

Boore et al. 0.15 Ninguna Ninguna Ninguna Ninguna

Tabla 3. Información del ruido en las señales

Tipo de prueba Máxima

aceleración de la señal (cm/s2)

Máxima aceleración del ruido (cm/s2)

Aceleración media del ruido

(cm/s2)

Máximo ruido/máxima

señal (%)

Señal cuasi-armónica 302.0 0.11 0.02 0.04

Mesa vibradora 533.1 5.34 1.21 1.00

Puente peatonal 46.2 1.48 0.21 3.20

Puente vehicular 27.1 0.77 0.10 2.84

Sismo Tohoku estación AKTH10

10.7 0.05 0.01 0.47


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METODOLOGÍA

Para valorar la bondad de los métodos descritos en la sección anterior fue necesario obtener registros de

aceleración y desplazamiento medidos en el mismo punto y en la misma dirección (señales correspondientes).

Los registros de aceleraciones medidas se utilizan como datos de entrada para la estimación de los

desplazamientos con las metodologías descritas. Posteriormente los registros de desplazamiento estimados se

comparan con los correspondientes valores medidos.

Para todos los métodos, el procedimiento de doble integración se realizó usando la regla de Simpson de 1/3 y

la interpolación con spline cúbico. La interpolación fue incorporada para generar estimaciones convenientes de

valores intermedios (valores centrales) requeridos por la regla de Simpson de 1/3 (Gilat y Subramaniam, 2014).

CASOS DE ESTUDIO

Para el cálculo de desplazamientos, los datos de entrada (aceleración) empleados se obtuvieron en cuatro tipos

de pruebas dinámicas y de un registro sísmico del sismo Tohoku, Japón del 2011. Los desplazamientos medidos

obtenidos de estaciones GPS proporcionaron la información de los desplazamientos correspondientes para este

sismo.

Pruebas con vibración cuasi-armónica

Se realizaron once experimentos con vibración cuasi armónica en un péndulo de pruebas (De-la-Colina y

Valdés, 2010), en las cuales se varió la frecuencia de excitación desde 0.5 hasta 5.5 Hz, en incrementos de 0.5

Hz. En este artículo, y por razones de brevedad, sólo se reporta la prueba para 3.0 Hz, la cual es típica de las

otras pruebas. En Álvarez Espinosa (2016) se reporta mayor información de las otras pruebas.

El arreglo de instrumentos de medición consistió en tres acelerómetros y dos LVDTs (ver figura 2). Para estas

pruebas, las lecturas de los LVDTs se corroboraron con las lecturas de los extensómetros de hilo (extensómetros

Celesco®). Para obtener las lecturas de aceleraciones y desplazamientos en el mismo punto, los registros se

interpolaron linealmente (interpolación geométrica).

Figura 2. Arreglo de instrumentación para las pruebas cuasi-armónicas

Pruebas en puente vehicular

El puente seleccionado (ver figura 3) para estas pruebas se ubica en Toluca (en el centro de México). Cada claro

de la estructura consiste en 14 trabes pre-esforzadas AASHTO (tipo IV) simplemente apoyadas. Se seleccionó

un claro de 30 m de longitud y la excitación correspondió al paso de un camión de aproximadamente 35 t (para

esta investigación, el peso preciso del camión no es relevante).

Para registrar amplitudes significativas, se instrumentó la viga más cercana al centro de uno de sus carriles y la

instrumentación fue colocada al centro del claro de la viga correspondiente.

El acelerómetro se fijó al puente con la ayuda de ángulos de acero y el LVDT se apoyó en una estructura de

soporte fija al suelo. La punta del LVDT se apoyó directamente contra la trabe pre-esforzada.

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Figura 3. Puente vehicular.

Pruebas en puente peatonal

El puente empleado para estas pruebas se muestra en la figura 4. Consiste de armaduras de acero con losa

compuesta. El claro libre entre apoyos es de 20 m.

Figura 4. Puente peatonal.

En la figura 5 se observa el arreglo de la instrumentación al centro del claro del puente. La carga consistió de

grupos de personas caminando a través del puente.

Figura 5. Arreglo de la instrumentación empleado en el puente peatonal.


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Pruebas en la mesa vibradora

Estas pruebas se llevaron a cabo en la mesa vibradora del Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional

Autónoma de México (UNAM). La vibración de la mesa fue inducida por la reproducción de un sismo sintético

con tres niveles de aceleración máxima. En la figura 6 se muestra el registro de aceleración correspondiente al

movimiento de intensidad intermedia que aquí se reporta. Sus principales características son: duración del

registro = 15 s., aceleración máxima = 533cm/s2 e intensidad de Arias = 456 cm/s. El espectro de Fourier revela

que las frecuencias principales del registro se encuentran entre 3 y 11 Hz. Para estas pruebas, la mesa vibradora

se accionó únicamente en una sola dirección, y el desplazamiento al final de los registros fue igual a cero.

Figura 6. Registro de aceleración sintético de la mesa vibradora.

En la figura 7 se observa el arreglo de la instrumentación empleado para esta prueba. El LVDT se soportó a un

punto fijo fuera de la mesa vibradora con la ayuda de un ángulo de acero, mientras que el acelerómetro se fijó

a la mesa vibradora, justo debajo del LVDT.

Figura 7. Arreglo de instrumentación empleado en la mesa vibradora

Sismo de Tohoku, Japón (11 de Marzo del 2011).

Los registros de aceleración del sismo de Tohoku, Japón del 11 de marzo del 2011 se obtuvieron de la base de

datos de Center for Enginnering Strong Motion Data (http://www.strongmotioncenter.org). En este trabajo se

presentan los resultados de la estación Oodate (AKTH10) (dirección E-W). En la figura 8 se muestra el registro

de aceleración E-W que se utiliza en este artículo. Sus principales características son: duración del registro =

300 s., máxima aceleración = 10.73 cm/s2 e intensidad de Arias = 2.3 cm/s. El espectro de Fourier indica que

las frecuencias principales se encuentran distribuidas entre 2 y 11 Hz.

Los desplazamientos que se usaron para comparar con los calculados corresponden a mediciones con GPS a 1

Hz proporcionados por la Geospatial Information Authority of Japan (GSI) vía Nippon GPS Data Services

http://www.strongmotioncenter.org/

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Company (NGDS) y descargados de (http://www.gps-solutions.com). A diferencia del caso de las pruebas en

la mesa vibradora, los desplazamientos cosísmicos de este sismo fueron diferentes de cero.

Figura 8. Registro de aceleraciones del sismo de Tohoku en la estación Oodate, dirección E-W.

INSTRUMENTACIÓN UTILIZADA

Con excepción de las pruebas de la mesa vibradora, las señales de aceleración fueron adquiridas con

acelerómetros uniaxiales FBA (acelerómetros de balance de fuerza) modelo ES-U2 (Episensor®) de

Kinemetrics®. Sus principales características son: rango dinámico 140 dB+, ancho de banda = DC a 200 Hz,

linealidad < 1,000 µg/g2, histéresis < 0.1% de la escala total, sensibilidad cruzada < 1.0% (incluyendo el

desalineamiento). Para estas pruebas se empleó una frecuencia de muestreo de 200 Hz.

Para las pruebas en la mesa vibradora, se utilizaron acelerómetros SETRA® modelo-141. Sus principales

características son: ancho de banda = 260 Hz, no linealidad ± 1.0% de la escala total, histéresis < 0.1 % de la

escala total, sensibilidad cruzada 1.2%, nivel de ruido < 0.01% del rango nominal. Para este caso la frecuencia

de muestreo inicial fue de 250 Hz y posteriormente estos registros se convirtieron a 200 Hz usando interpolación

con spline cúbico.

Para medir los desplazamientos, en todas las pruebas se emplearon transformadores diferenciales de variación

lineal (LVDTs). Los LVDTs usados corresponden al modelo TR100 de la marca Novotechnik® (con linealidad

de ± 0.075% y repetibilidad de ± 0.002 mm). Se conectaron a un nodo y la información fue transferida a una

computadora de manera inalámbrica. Para este caso se empleó inicialmente una frecuencia de muestreo de 256

Hz y posteriormente los registros también fueron convertidos a 200 Hz.

COMPARACIÓN DE LOS REGISTROS

Además de la comparación de las señales de los desplazamientos, para determinar la bondad de los métodos se

utilizan los siguientes tres parámetros: el coeficiente de correlación cruzada (CCC), la raíz cuadrada del error

cuadrático medio (root square mean error, RSME) y el valor del máximo desplazamiento obtenido. En todos

los casos el desplazamiento medido se consideró como el real.

El coeficiente de correlación cruzada (CCC) (Bendat y Piersol, 2010) mide la similitud entre dos señales {x(t)}

y {y(t)}. El coeficiente de correlación se define como:

𝜌𝑥𝑦 =𝐶𝑥𝑦

𝜎𝑥𝜎𝑦=

1

𝑁 − 1∑ (

𝑥𝑡 − �̅�

𝜎𝑥)

𝑁

𝑡=1

(𝑦𝑡 − �̅�

𝜎𝑦) (1)

donde:

𝜌𝑥𝑦 = coeficiente de correlación cruzada

http://www.gps-solutions.com/


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𝐶𝑥𝑦(𝜏) = covarianza entre 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡)

𝜎𝑥 = desviación estándar de 𝑥

𝜎𝑦 = desviación estándar de 𝑦

𝑥𝑡 = señal de los desplazamientos medidos

�̅� = media de los desplazamientos medidos

𝑦𝑡 = señal de los desplazamientos calculados

�̅� = media de los desplazamientos calculados

Como se sabe, 𝜌𝑥𝑦 varía entre -1 y 1, y valores cercanos a cero indican señales no correlacionadas.

El RSME es la raíz cuadrada del error cuadrático medio (MSE) aplicado a dos señales {x(t)} y {y(t)} (Wei,

1990), pero ofrece la ventaja de que el error así calculado está en las mismas unidades de la señal, y se calcula

como:

𝑅𝑆𝑀𝐸 = √1

𝑁 ∑(𝑥(𝑡) − y(𝑡))2

𝑁

𝑡=1

(2)

Estos parámetros son útiles para comparar los desplazamientos calculados con los medidos, pero no son

elementos definitivos para identificar el mejor método para una prueba. Por ejemplo, para algún método puede

obtenerse una alta correlación (cercano a 1.0), pero al mismo tiempo, su error puede ser alto. Asimismo, los

valores máximos calculados pueden coincidir con los medidos, pero puede diferir el resto de la señal haciendo

el CCC bajo y/o el RSME grande. También es posible tener valores altos de CCC y valores bajos de RSME

indicando una correlación casi perfecta de una porción grande de la señal, pero los valores máximos pueden

resultar significativamente diferentes en relación a los medidos.

Es también posible que del conjunto de métodos, aquel con mayor CCC no sea el que resulte con menor RSME.

Por lo anterior, para discernir los mejores métodos para cierto tipo de pruebas, debe incluirse cierto juicio para

ponderar los parámetros descritos anteriormente.

Otro aspecto para seleccionar un método depende de la información que se desee obtener del desplazamiento

calculado (valores máximos o toda la historia de la señal). Por ejemplo, una estimación del desplazamiento

máximo puede ser suficiente para el diseño de una estructura; pero para algún algoritmo de identificación puede

ser necesario que una buena parte de la historia de los desplazamientos calculados sea similar a los medidos.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En las figuras 9-13 se muestran las historias de desplazamientos medidos y calculados. En cada figura se

presentan los desplazamientos que resultan de aplicar las metodologías descritas anteriormente a todas las

pruebas. Para comparar cuantitativamente los desplazamientos calculados contra los medidos también se

presenta un resumen de los valores del CCC y del RSME para cada caso (ver tabla 4). Los CCC más altos de

cada prueba (columna) se identifican con negritas.

En la figura 9 se muestran los resultados para las pruebas de vibración cuasi-armónicas Se observa que los

métodos de Trifunac y Lee, Converse y Brady así como el de Chiu conducen a las mejores estimaciones de los

desplazamientos. Es claro que los demás métodos no estiman los desplazamientos de manera aceptable para

esta prueba. Lo anterior también se puede apreciar con los valores de CCC y del RSME. Estos tres métodos

conducen a valores de CCC prácticamente iguales a 1.0 y del RSME entre 0.037 (CB) y 0.047 (TL). Los demás

métodos conducen a valores de CCC entre 0.14 y 0.81 y RSME entre 0.7 y 5.23.

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Figura 9. Comparación entre los desplazamientos medidos (gris) y estimados (negro) para las pruebas de vibración cuasi-amónica (tiempo en segundos).

Es interesante señalar que los tres métodos que conducen a los mejores resultados usan filtros pasa alta para el

ajuste de línea base (ver tabla 1). De los métodos restantes, el método de Boore et al. genera buenos resultados

y utiliza un filtro pasa alta como un procedimiento adicional para el ajuste de línea base.

La casi perfecta correlación observada en los primeros tres métodos se debe principalmente a que el filtrado

que se usa para el ajuste de línea base conduce a desplazamientos prácticamente iguales a cero al final del

registro. Por ello, para este tipo de señales con desplazamiento final igual a cero, estos métodos conducen a

buenos resultados.

Como se comentó antes, las frecuencias de corte para cada uno de los métodos se seleccionaron con ayuda de

un análisis señal-ruido (signal-to-noise ratio).

Pruebas adicionales, revelaron que la frecuencia de excitación no resultó ser un factor que afecte

significativamente la similitud entre los desplazamientos medidos y los calculados.


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Tabla 4. Valores del error cuadrático medio (RSME) y del coeficiente de correlación cruzada (CCC) para cada caso

Método Parámetro Señal cuasi-

armónica Mesa

vibradora Puente

peatonal Puente

vehicular Sismo de Tohoku

Trifunac y Lee

RSME 0.047 0.056 0.009 0.061 40.293

CCC 1.00 0.98 0.48 0.64 0.09

Chiu RSME 0.045 0.070 0.018 0.077 40.393

CCC 1.00 0.96 -0.16 0.74 -0.11

Converse y Brady

RSME 0.037 0.041 0.004 0.030 38.861

CCC 1.00 0.96 0.54 0.96 0.06

Boore et al. RSME 0.695 0.814 0.073 0.045 11.835

CCC 0.81 0.46 -0.07 0.85 0.92

Darragh et al. RSME 2.933 2.151 0.122 0.045 49.854

CCC 0.18 0.25 0.17 0.92 0.76

Wang et al. RSME 1.843 0.339 0.048 0.090 8.872

CCC 0.47 0.75 -0.24 0.82 0.99

Park et al. RSME 5.233 1.611 0.096 0.096 33.290

CCC 0.14 0.24 0.31 0.88 0.82

A diferencia de la señal anterior, una señal con un contenido amplio de frecuencias ocurre, por ejemplo, en el

caso de un registro sísmico. En la figura 10 se presentan los desplazamientos estimados para el caso de un sismo

sintético reproducido en una mesa vibradora. En este caso la señal al final del registro también es cero.

Nuevamente se observa que para este caso, los tres métodos identificados en el caso anterior, también conducen

a las mejores estimaciones de los desplazamientos. Así, se corrobora que el contenido de frecuencias no es un

factor que afecte significativamente el resultado de estos métodos. De los demás métodos, el de Wang genera

buenos resultados con CCC = 0.75 y RSME = 0.339.

En los casos presentados anteriormente, se puede observar que la relación entre los valores máximos de

aceleraciones y desplazamientos medidos, oscila entre 200 y 650 1/s2, aproximadamente (ver tabla 5). Cuando

este cociente es más grande, como el caso del puente peatonal, en donde la relación es de 1,155, resulta difícil

estimar los desplazamientos.

Tabla 5. Cociente máxima aceleración/ máximo desplazamiento

Caso de estudio

Máxima aceleración,

A (gals)

Máximo desplazamiento,

D (cm)

A/D (1/s2)

Señal cuasi-

armónica 302.0 1.38 218.8

Mesa vibradora

533.1 0.84 634.6

Puente peatonal

46.2 0.04 1,155.5

Puente vehicular

27.1 0.34 79.7

Sismo de Tohoku

10.7 97.95 0.1

13


Figura 10. Comparación entre los desplazamientos medidos (gris) y estimados (negro) para las

pruebas de la mesa vibradora (tiempo en segundos).

En la figura 11 se presentan los desplazamientos estimados para el caso del puente peatonal, en el que al igual

que para la mesa vibradora, su contenido de frecuencias es amplio. Para esta prueba, en donde los

desplazamientos son pequeños, ninguno de los métodos conduce a resultados aceptables. Esto se puede

comprobar al observar los valores del CCC que se reportan en la tabla 4, donde los mejores valores de CCC

corresponden a los métodos de Converse y Brady (0.54), Trifunac y Lee (0.48) así como a Park et al. (0.31).

En la tabla 6, la cual presenta los valores máximos medidos y calculados así como su error porcentual, se

observa que el máximo desplazamiento para el puente peatonal es de casi 0.4 mm, el cual es muy pequeño

cuando se compara con los máximos desplazamientos de las otras pruebas. Este resultado sugiere que los

métodos no proveen estimaciones confiables en los casos en donde un análisis estructural previo sugiera

desplazamientos pequeños (menores a 0.5 mm, de acuerdo a la tabla 6). Esto se corrobora en la misma tabla

observando la magnitud de los errores que se obtienen en la estimación del máximo desplazamiento para cada

uno de los métodos. Para este puente con desplazamientos pequeños el error en el desplazamiento máximo

oscila desde 35.9% (TL) hasta 259% (PA.). Es interesante observar que el método de Park et al. conduce a uno

de los mejores tres valores de CCC, pero su estimación del máximo desplazamiento no es aceptable.


14


pruebas del puente peatonal (tiempo en segundos).

Tabla 6. Comparación de los valores máximos de desplazamiento (cm)

Método Desplazamiento Señal cuasi-armónica Mesa

vibradora Puente

peatonal Puente vehicular

Sismo de Tohoku

Máx Medido 1.38 0.84 0.039 0.34 97.95

Trifunac y Lee Máx. Calculado 1.24 0.74 0.025 0.28 2.03

Error % 10.1 11.9 35.9 17.6 97.9

Chiu Máx. Calculado 1.16 0.75 0.059 0.34 5.75 Error % 15.9 10.7 51.3 0.0 94.1

Converse y Brady Máx. Calculado 1.35 0.74 0.022 0.29 5.74

Error % 2.2 11.9 43.6 14.7 94.1

Boore et al. Máx. Calculado 2.02 2.1 0.095 0.32 93.82

Error % 46.4 150.0 143.6 5.9 4.2

Darragh et al. Máx. Calculado 5.98 3.87 0.217 0.3 141.77

Error % 333.3 360.7 456.4 11.8 44.7

Wang et al. Máx. Calculado 3.65 1.01 0.081 0.3 106.21

Error % 164.5 20.2 107.7 11.8 8.4

Park et al. Máx. Calculado 9.28 3.42 0.14 0.44 65.93

Error % 572.5 307.1 259.0 29.4 32.7

15


Para analizar un poco más el efecto de la magnitud de los desplazamientos, se presentan los resultados de un

puente vehicular. Como se observa en la tabla 5, los órdenes de magnitud de las aceleraciones de este caso son

similares a los del puente peatonal; sin embargo, las magnitudes de los desplazamientos en el caso del puente

vehicular son aproximadamente 10 veces mayores a los del puente peatonal. En el caso del puente vehicular la

relación A/D en la tabla 5 resulta de 79.7.

En la figura 12 se presentan los desplazamientos estimados para el puente vehicular. Cuando se comparan las

formas de las señales obtenidas, se observa que la mayoría de los métodos conducen a buenos resultados.

Excepto por el método de TL y el CH, los demás métodos conducen a valores de CCC mayores de 0.8. Los

métodos que llevan a los mejores valores de CCC son el método de Converse y Brady (0.96) así como el de

Darragh et al. (0.92).


pruebas del puente vehicular (tiempo en segundos).

Es interesante, sin embargo, observar que aun cuando el método de Boore et al. conduce a un valor de CCC =

0.85 (menor al de Darragh et al.) su valor correspondiente RSME = 0.045, es igual al obtenido por Darragh et

al. En la tabla 6, se observa que para el puente vehicular, el error entre los máximos desplazamientos medidos

y estimados para el caso del método de Boore et al. es de sólo 5.9% mientras que el de Darragh et al. es de

11.8%.

En este sentido, es importante destacar que si sólo se desea estimar los valores máximos de la señal calculada,

los resultados indican que el método de Boore et al. sería mejor que el de Darragh et al. Se debe tener presente,


16

que los parámetros CCC y RSME toman en cuenta las similitudes/diferencias de la señal completa. Para estas

pruebas el método de Chiu conduce a la estimación exacta del máximo desplazamiento.

Se destaca nuevamente que en las cuatro pruebas presentadas, los desplazamientos al final de los registros son

prácticamente cero. En la figura 13 se presentan los desplazamientos en la dirección E-W del sismo de Tohoku,

Japón 2011, correspondientes a la estación Oodate (AKTH10). Como lo corroboran las estaciones de GPS, en

este caso, los desplazamientos al final del movimiento resultan de aproximadamente 1.0 m.

Es interesante observar que los tres métodos que habían mostrado mejores aproximaciones en las pruebas

anteriores (TL, CH y el CB), son los que llevan a las estimaciones más alejadas de los desplazamientos para el

sismo de Tohoku. Para este caso con desplazamientos permanentes diferentes de cero, los mejores métodos

resultaron ser los de Boore et al. y Wang et al., con valores de CCC de 0.92 y 0.99, respectivamente. También

hay que destacar que estos dos métodos conducen a buenas estimaciones de los desplazamientos máximos con

errores de sólo 4.2% y 8.4%, respectivamente. De manera similar, ambos métodos pueden ser preferidos para

estimar desplazamientos en estructuras donde se pueden anticipar desplazamientos diferentes de cero debido al

comportamiento no lineal.

Figura 13. Comparación entre los desplazamientos medidos (gris) y estimados (negro) para el sismo de Tohoku, estación Oodate E-W (tiempo en segundos).

Como una discusión final de estos resultados, se presenta un breve análisis en el dominio de la frecuencia. Las

figuras 14 y 15 muestran el espectro de Fourier de los desplazamientos medidos y calculados para las señales

de la mesa vibradora y el sismo de Tohoku. En estas figuras sólo se presentan los espectros de Fourier de los

métodos que estiman de mejor manera los desplazamientos. Para la señal de la mesa vibradora (ver figura 14),

17


se puede observar que las frecuencias de los desplazamientos estimados y medidos son prácticamente las

mismas, excepto para la banda inicial de frecuencias donde los filtros modifican la señal. Para esta señal, los

métodos conducen a los siguientes valores de CCC entre las señales medidas y estimadas: TL = 0.99, CH =

0.98 y CB = 0.98.

Figura 14. Comparación entre los espectros de Fourier de los desplazamientos medidos (gris) y

estimados (negro) para las pruebas de la mesa vibradora.

En el caso de las señal del sismo de Tohoku, el espectro de Fourier de los métodos que no utilizan filtros (BO,

DA, PA y WA), se observan en la figura 15. En esta figura, se puede notar que, excepto para los métodos de

Darragh et al. y el de Park et al., el espectro para los desplazamientos calculados y medidos son prácticamente

los mismos para toda la banda de frecuencias.

Las diferencias observadas en las frecuencias bajas se deben al procedimiento de ajuste de línea base. Estos

métodos conducen a los siguientes valores de CCC: BO = 0.997, DA = 0.998, PA = 0.637 y WA = 1.00.

Figura 15. Comparación entre los espectros de Fourier de los desplazamientos medidos (gris) y estimados (negro) para el sismo de Tohoku, estación Oodate (E-W).

Finalmente, la tabla 7 resume el comportamiento observado de los métodos considerados en este estudio. Esta

tabla puede ser útil para seleccionar un método para estimar desplazamientos.


18

Tabla 7. Resumen de las ventajas de cada método

Aspecto evaluado Método

TL CB CH BO DA PA WA

Buena estimación a lo largo de todo el registro con desplazamiento final igual a cero

Buena estimación a lo largo de todo el registro con desplazamiento final diferente de cero

Alto coeficiente de correlación (> 0.85) con respecto a los desplazamientos medidos*

Buena estimación de los desplazamientos máximos (error < 11%)*

Valores bajos de la raíz cuadrada del error cuadrático medio*

Cálculo rápido

Fácil de implementar en un programa de computación

Invariante con la longitud del registro

No utiliza filtros (Independiente de las frecuencias de corte)

* En los casos en los que se aplica el método (ver Tablas 4 y 6).

CONCLUSIONES

En este trabajo se estudian siete métodos para el cálculo de desplazamientos a partir de aceleraciones. Cada

método es evaluado con cinco tipos de pruebas. Las conclusiones del estudio son las siguientes:

Los métodos que utilizan filtros pasa alta para el ajuste de línea base conducen a desplazamientos casi igual a

cero al final del registro. Los métodos de Trifunac y Lee, Converse y Brady y el de Chiu utilizan este tipo de

ajuste de línea base. Por lo tanto son útiles en casos donde los desplazamientos al final del registro son cercanos

a cero. Esta observación aplica para registros con un amplio contenido de frecuencias.

Para registros en donde se esperan desplazamientos permanentes diferentes de cero (como en el caso de las

estructuras con comportamiento no lineal), es deseable realizar otro tipo de ajuste de línea base. Los métodos

de Boore et al. y el de Wang et al. se recomiendan para este segundo tipo de registros. Ya que el método de

Wang et al. requiere de un proceso iterativo, el método de Boore et al. pudiera representar una mejor opción.

Además, el método de Boore et al. para el caso estudiado en este trabajo también conduce a las mejores

estimaciones de los desplazamientos máximos.

En el caso de registros de desplazamientos muy pequeños (0.5 mm), los métodos estudiados no conducen a

buenas estimaciones. Para estas pruebas las mejores estimaciones (en términos de CCC, RSME y del

desplazamiento máximo) fueron obtenidas por los métodos de Converse y Brady y el de Trifunac y Lee. Es

conveniente llevar a cabo un análisis estructural dinámico simple previo para determinar la magnitud de los

desplazamientos esperados y seleccionar el método más apropiado para estimar desplazamientos.

El método para calcular los desplazamientos a partir dde registros de aceleración debe elegirse con base en los

siguientes puntos: 1) si se requiere el registro completo o sólo sus valores máximos; 2) la magnitud del

desplazamiento al final del registro; 3) la amplitud de los desplazamientos (en comparación con la magnitud de

las aceleraciones y el ruido).

Los resultados indican que la frecuencia de excitación no afecta significativamente los resultados.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen todo el apoyo proporcionado por Roberto Duran, responsable del laboratorio de la mesa

vibradora (Instituto de Ingeniería, UNAM), durante las pruebas en la mesa vibradora.

REFERENCIAS

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CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS A PARTIR DE SEÑALES DE ... · De acuerdo a Chiu, este método reduce...

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