CÁLCULO DIFERENCIAL. -...

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CÁLCULO DIFERENCIAL. 0.1. La DIFERENCIAL y la DERIVADA. 0.1.1. Función diferenciable en un punto. ksauydgjc 0.1.2. Incremento de la función. kSUYBN 0.1.3. Función diferenciable. Ksujhgkygbn 0.1.4. La derivada. kuydgk 0.1.5. Preguntas de autocontrol. 1. ¿A qué se le llama incremento de la variable y de la función? 2. ¿Puede el incremento de la función ser positiva, negativa y cero? Exhibir un ejemplo de donde x 6=0 y f =0; x> 0 y f< 0; 3. ¿A qué es igual el incremento de la función si x =0? 4. Enunciar la denición de función continua en un punto en el lenguaje ε, δ. 5. Enunciar la denición de función continua en un punto en el lenguaje de incrementos. 6. Enunciar la denición de función diferenciable en un punto. 7. ¿Toda función continua en un punto es diferenciable en dicho punto? v

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CÁLCULODIFERENCIAL.

0.1. La DIFERENCIAL y la DERIVADA.

0.1.1. Función diferenciable en un punto.

ksauydgjc

0.1.2. Incremento de la función.

kSUYBN

0.1.3. Función diferenciable.

Ksujhgkygbn

0.1.4. La derivada.

kuydgk

0.1.5. Preguntas de autocontrol.

1. ¿A qué se le llama incremento de la variable y de la función?

2. ¿Puede el incremento de la función ser positiva, negativa y cero? Exhibirun ejemplo de donde ∆x 6= 0 y ∆f = 0; ∆x > 0 y ∆f < 0;

3. ¿A qué es igual el incremento de la función si ∆x = 0?

4. Enunciar la definición de función continua en un punto en el lenguaje ε, δ.

5. Enunciar la definición de función continua en un punto en el lenguaje deincrementos.

6. Enunciar la definición de función diferenciable en un punto.

7. ¿Toda función continua en un punto es diferenciable en dicho punto?

v

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vi ÍNDICE GENERAL

8. ¿Toda función diferenciable en un punto es continua en dicho punto?

9. ¿En qué consiste la condición necesaria y suficiente para que una funciónsea diferenciable en un punto?

10. ¿Qué es la derivada?

11. ¿Cómo se calcula la derivada?

12. ¿Qué es la diferencial?

13. ¿Con qué igualdad se relacionan la derivada y la diferencial?

14. ¿A qué es igual de la diferencial variable independiente?

15. Explicar el sentido de la afirmación: “La diferencial es la parte principallineal del incremento de la función”

16. ¿Qué es la derivada lateral?

17. ¿Cómo se define la derivada infinita?

0.1.6. Ejercicios y Problemas.

1. Para la función x2 hallar el incremento ∆f , si son dados los valores de xy ∆x:

a) x = 1, ∆x = 0,1 b) x = 1, ∆x = −0,02 c) x = −2, ∆x = 0,3

52.50-2.5-5

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

·Hallar el incremento ∆f , al transitar de x a x + ∆x de las siguientesfunciones:

2. 2x2 − x− 3

52.50-2.5-5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

3. x3

210-1-2

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

x

y

x

y

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0.1. LA DIFERENCIAL Y LA DERIVADA. vii

4. 2x2 − 3x

52.50-2.5-5

62.5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

5.√x

53.752.51.250

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

6. cos 2x

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

x

y

x

y

·Usando la definición de continuidad en el lenguaje de incrementos, de-mostrar la continuidad de las siguientes funciones:

7. x2 − 3x+ 1, (∀x ∈ ]−∞,+∞[)

52.50-2.5-5

40

30

20

10

0

x

y

x

y

8. x3, (∀x ∈ ]−∞,+∞[)

210-1-2

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

x

y

x

y

9. 1x , (∀x 6= 0) 1x

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

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viii ÍNDICE GENERAL

10.√x, (∀x > 0)

53.752.51.250

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

11. cosx, (∀x ∈ ]−∞,+∞[)

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

·Demostrar que la función f es diferenciable en x y hallar su derivada ysu diferencial, dadas por:

12. x2 − 4

52.50-2.5-5

20

15

10

5

0

x

y

x

y

13. 2x2 + x

52.50-2.5-5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

14. 3− 5x− x2

52.50-2.5-50

-12.5

-25

-37.5

xy

xy

15. 2x3

210-1-2

15

10

5

0

-5

-10

-15

x

y

x

y

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0.1. LA DIFERENCIAL Y LA DERIVADA. ix

16. x− x3

52.50-2.5-5

100

50

0

-50

-100

x

y

x

y

·Utilizando la definición de derivada en el “lenguaje de límites” hallar laderivada de las siguientes funciones:

17. 3x+ 5

52.50-2.5-5

20

15

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

18. x2 − 2x+ 8

52.50-2.5-5

40

35

30

25

20

15

10

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

19. x3 − x

52.50-2.5-5

100

50

0

-50

-100

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

20. x4

52.50-2.5-5

625

500

375

250

125

0

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

21. 1x (x 6= 0)

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

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x ÍNDICE GENERAL

22.√x, (∀x > 0)

53.752.51.250

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

23. 1x2+2

52.50-2.5-5

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

x

y

x

y

esbozar la gráfica de la función derivada.

24. Utilizando la fórmula de la derivada de la función potencia hallar la deriva-da de las siguientes funciones:

a) x10, b) 1x3 , c) 5

√x, d) 9

√x5,

e) 13√x2, f) 1

x3√x, g) 1

5qx2 3√x√x, h) 1

3√x· 1

x5√x2.

a) 10.50-0.5-1

8

6

4

2

0

x

y

x

y

b)

2.51.250-1.25-2.5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

c) 53.752.51.250

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

d) 53.752.51.250

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

e) 2.51.250-1.25-2.5

50

37.5

25

12.5

x

y

x

y

f) 0.50.40.30.20.1

4000

3000

2000

1000

0

x

y

x

y

g) 0.010.00750.0050.0025

100

75

50

25

0

x

y

x

y

h) 10.80.60.40.2

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

esbozar las gráficas de las funciones derivadas.

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0.1. LA DIFERENCIAL Y LA DERIVADA. xi

25. Hallar las diferenciales de las funciones:

a) x8, si x = 1,∆x = 0,1;b) 1

x , si x = 2, dx = −0,1;c)√x3, si x = 42,25, h = 2

13 ..

2.51.250-1.25-2.5

1500

1250

1000

750

500

250

0

x

y

x

y

1.51.2510.750.50.250-0.25

10

0

-10

-20

x

y

x

y

53.752.51.250

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

26. Demostrar que la función f , dada por: f (x) =

x, si x < 0;0, si 0 ≤ x ≤ 1;x− 1, si x > 1.

es

continua en toda la recta real, pero no es diferenciable en 0 y en 1.

27. Mostrar un ejemplo de función que esté definida y sea continua en toda larecta numérica, pero no sea diferenciable en los puntos dados:

a) x = 2; b) x = 0, x = −1; c) x = −3, x = 0, x = 3.

28. *Demostrar que la función f definida por

f (x) =

½x3, si x ∈ Q;−x3, si x ∈ (R−Q) .

es discontinua en todos los puntos de R excepto en el punto x = 0, en elque f no sólo es continua, sino también es diferenciable.

29. *Demostrar que la función f definida por

f (x) =

0, si x = 0;1n , si

1n+1 < x ≤ 1

n ;− 1

n , si − 1n < x ≤ − 1

n+1 .

es diferenciable en el punto x = 0.

30. Dada la función f definida por

f (x) =

½x3, si x ≤ 1;mx+ b, si x > 1.

es discontinua en todos los puntos de R excepto en el punto x = 0, en elque f no sólo es continua, sino también es diferenciable. ¿Cuáles deberíanser los coeficientes m y b para que la función sea continua y diferenciableen todo R?

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xii ÍNDICE GENERAL

0.2. PRIMERASAPLICACIONES de la DERIVA-DA y la DIFERENCIAL.

0.2.1. Problema del trazado de la recta tangente a la grá-fica de una función.

Este fue uno de los problemas que históricamente dieron origen al Cálculo.Este problema consiste en definir y entender el concepto de recta tangente a unacurva plana arbitraria, aunque en el contexto en el que se viene desarrollandoeste texto se restrinja al concepto de recta tangente a una curva dada por lagráfica de una función.......

0.2.2. Interpretación geométrica de la derivada y la difer-encial.

lWKUDLKDJ

0.2.3. Aplicaciones geométricas de la derivada.

Ecuación de la recta tangente.Ecuación de la recta normal.Ángulo entre 2 gráficas de funciones.

0.2.4. Aplicaciones de la derivada a problemas físicos.

Velocidad promedio y velocidad instantánea.

0.2.5. Preguntas de autocontrol.

1. ¿A qué se le llama recta tangente de una curva, generada por la gráficade una función en un punto dado?

2. ¿Es siempre posible trazar la recta tangente a la gráfica de una función?

3. Formular la condición necesaria y suficiente para la existencia de la rectatangente no vertical a la gráfica de una función f en el punto x = x0.

4. ¿Cómo se calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de unafunción f en el punto x = x0?

5. En qué consiste la interpretación geométrica de la derivada.

6. En qué consiste la interpretación geométrica de la diferencial.

7. ¿En qué casos se dice que la gráfica de una función f en el punto x0 tienerecta tangente vertical?

8. ¿A qué se le llama recta normal a una curva?

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0.2. PRIMERAS APLICACIONES DE LA DERIVADAY LADIFERENCIAL.xiii

9. Escribir la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráficade una función f en el punto x = x0.

10. ¿Cómo se define el ángulo entre 2 curvas dadas por las gráficas de sendasfunciones f en un punto x = x0?

11. ¿Cómo se calcula el ángulo entre 2 curvas?

12. ¿Cómo se define la magnitud de la velocidad instantánea de un movimientorectilíneo?

13. ¿En qué consiste la interpretación mecánica de la derivada y la diferencial?

14. Mostrar ejemplos de conceptos físicos susceptibles de ser definidos medi-ante la derivada.

0.2.6. Ejercicios y Problemas.

1. Escribir la ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de la fun-ción x3 en x = 2.

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

2. Escribir la ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de la fun-ción 1

x en x = −12 .

1.510.50-0.5-1-1.5

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

3. Escribir la ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de laparábola x2 + 2x− 1 en el punto de intersección con la parábola 2x2.

4. ¿En qué punto la recta tangente a la parábola x2 : a) es paralela a la recta4x− 5; b) perpendicular a la recta 2x− 6y + 5 = 0; c) forma con la recta3x− y + 1 = 0 un ángulo de 45◦?

5. Sobre la parábola se toman 2 puntos con abscisas x1 = 1 y x2 = 3. Porestos 2 puntos se traza una recta secante. ¿En qué punto de la parábolala recta tangente a ella resulta ser paralela a la recta secante trazada?

6. Plantear la ecuación de la normal, perpendicular a la recta que une elorigen de coordenadas con el vértice de la parábola x2 + 4x.

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xiv ÍNDICE GENERAL

7. Por el foco¡0, 14

¢de la parábola x2 se traza una cuerda perpendicular

al eje de la parábola. Por los puntos de intersección de dicha cuerda conla parábola se trazan las rectas tangentes. Demostrar que tales rectastangentes se intersectan perpendicularmente.

8. Demostrar que el segmento de recta tangente a la hipérbola 1x restringido

a los ejes coordenados queda dividido por el punto de tangencia en 2 partesiguales.

9. ¿Bajo qué ángulos intersecta la parábola a la recta 3x− y − 2 = 0?10. ¿Bajo qué ángulos se intersectan las parábolas x2 y

√x?

11. ¿Bajo qué ángulo se intersecta la hipérbola 1x con la parábola

√x?

12. El cable de un puente colgante toma la forma de una parábola, y quedasujeto a soportes verticales a una distancia de 200 m.. El punto más bajodel cable se encuentra a 40 m. de los puntos de soporte. Hallar el tamañodel ángulo entre el cable y la torre de soporte vertical.

13. Un punto con movimiento rectilíneo según la ley s (t) = t3 (m.). Hallar suvelocidad instantánea en t = 1.

14. Hallar la velocidad angular instantánea de un cuerpo de revolución, si altiempo t el ángulo de giro es igual a ϕ = 2t3 − 3t (rad.)

15. Una rueda gira en tal forma que el ángulo de giro es proporcional alcuadrado del tiempo. La primera vuelta completa de la rueda se realizó en8 seg.. Determinar la velocidad angular a los 32 seg. de haberse iniciadoel movimiento.

16. Una rueda gira en tal forma que la magnitud del ángulo de giro es propor-cional al cubo del tiempo. Las primeras dos vueltas completas de la ruedase realizan en 4 seg.. Hallar la velocidad angular a los 16 seg. de haberseiniciado el movimiento.

17. Se cuenta con una barra delgada no homogénea AB de longitud 20 cm. ysupóngase que para cualquier punto C de la barra a una distancia l cm.de A la masa del segmento de barra AC queda definida por la fórmulam = 3l2+5l (kg.). Hallar la densidad lineal de la barra en: i) el punto quedista de A en una distancia igual a l = 5 cm.; ii) el mismo punto A; iii) elotro extremo B.

18. La cantida de corriente eléctrica que pasa a través de un conductor decorriente a partir del tiempo t = 0 queda dado por la fórmula Q = 2t2 +3t+ 1 (Cl). Determinar la intensidad de la corriente al final de los 5 seg.

19. Si se deposita un cristal de una sustancia en una solución saturada de lamisma, entonces el cristal empieza a crecer. Denotando por m (t) = “lamasa de tal sustancia al tiempo t” definir los siguientes conceptos: a) la

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xv

velocidad promedio del cambio de la masa del cristal durante el segmentode tiempo [t, t+ h]; b) la velocidad instantánea del cambio de la masa delcristal al tiempo t.

0.3. DERIVACIÓN de las OPERACIONES.

0.3.1. Derivación de combinaciones lineales de funciones.

kuydykufuy

0.3.2. Derivación del producto.

kuwyguy

0.3.3. Derivación del cociente.

uwydguydg

0.3.4. Preguntas de autocontrol.

1. Formular el Teorema de la derivación de la suma.

2. ¿Cómo se calcula la derivada de la suma?

3. ¿Cómo se calcula la diferencial de la suma?

4. ¿Cómo se calcula la derivada y la diferencial de una combinación lineal deun número finito de funciones diferenciables?

5. ¿El conjunto de funciones diferenciables sobre un segmento resulta ser unespacio lineal?

6. ¿Puede resultar ser diferenciable la suma de 2 funciones no diferenciables?

7. ¿Puede resultar ser diferenciable la suma de una función diferenciable conuna no diferenciables?

8. Formular el Teorema de la derivación del producto.

9. ¿Cómo se calcula la derivada del producto de 2 funciones? y¿para 3 fun-ciones?

10. ¿Cómo se calcula la diferencial del producto de 2 funciones?

11. ¿Es verdadera la igualdad (f (x0) + g (x0))0 = f 0 (x0) + g0 (x0)?

12. Representando al producto escalar ϕ · ψ como el área del triángulo delados iguales a ϕ y ψ, dar una interpretación geométrica de la regla paracalcular la diferencial del producto de 2 funciones.

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xvi ÍNDICE GENERAL

13. ¿Puede resultar ser diferenciable el producto de 2 funciones no diferencia-bles?

14. Formular el Teorema de la derivación del cociente.

15. ¿Cómo se calcula la derivada del cociente de 2 funciones?

16. ¿Cómo se calcula la diferencial del cociente de 2 funciones?

17. Mostrar que el conjunto de funciones diferenciables sobre un segmentodado forman un anillo.

0.3.5. Ejercicios y Problemas.

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1.a) 11x3 + 3x2 − x− 0,7; b) 12x

4 15x

3 − 2,7x+ 1;c) −9x−3 + 5x−2 + 1

3x−1; d) x

14 − 8x− 3

4 ;

e) x32 − 2x 2

3 + 3x13 ; f) 6x−

13 − 3x− 2

3 + 1

52.50-2.5-5

1000

500

0

-500

-1000

x

y

x

y

52.50-2.5-5

7500

5000

2500

0

-2500

-5000

-7500

x

y

x

y

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

53.752.51.250

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-35

x

y

x

y

53.752.51.250

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

5037.52512.5

30

20

10

0

x

y

x

y

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

2.

a) 5√x+ 3x 3

√x− 4√x; b) −6√x+ 3

x ; c) 6x4−7x3+x2−2x+1

x5 ;

d) 2x − 4

x2 +5x3 − 6

7x4 ; e) 3x26x+7x ; f) 2 4

√x+ 1

3√x− 5

x3 + 2x√x

53.752.51.250

35

30

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

5037.52512.5

40

20

0

-20

-40

x

y

x

y

52.50-2.5-5

25

0

-25

-50

x

y

x

y

52.50-2.5-5

37.5

25

12.5

0

-12.5

-25

-37.5

-50

x

y

x

y

52.50-2.5-5

450

437.5

425

412.5

400

x

y

x

y

5037.52512.5

40

20

0

-20

-40

x

y

x

y

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xvii

3.a) (3x− 2) (7x+ 4) ; b)

¡x2 + 3x+ 2

¢ ¡x3 − 3¢ ;

c) (√x+ 1)

¡3x + 5x

3¢; d) 1

4√x3(3x− 4) 5x+17 .

52.50-2.5-5

500

375

250

125

0

x

y

x

y

52.50-2.5-5

5000

3750

2500

1250

0

-1250 x

y

x

y

2.521.510.5

200

150

100

50

0

x

y

x

y

53.752.51.25

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

4.a) x

x+1 ; b) 3x−52x+7 ; c) x2+x+2x2−7 ; d) 1−x

3

1−x5 .

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

5.a)

3√x−2

3√x+2

b)√x−2x4√x+1

c) 8−3√x3+2x

1+6x√x−3x2 d) 2

(1+x2)(1+x4)

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

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xviii ÍNDICE GENERAL

6. Mostrar que si S representa el área del círculo y r su radio, entoncesla S0 (r) representará a la longitud de su circunferencia. Dar una inter-pretación geométrica de este resultado.

x2 + y2 = 1

0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8

0.8

0.6

0.4

0.20

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

x

y

x

y

7. Mostrar que si V representa el volumen del cílindro circular recto, h sualtura y r el radio de su base, entonces con r constante la V 0 (h) será elárea de la base del cilindro y bajo h constante V 0 (r) será el área de lasuperficie lateral del cilindro.

8. Dada la función f con f (x) = 5x2 − 16√x+ 7, hallar:

a)f 0 (1) b)f 0 (4) c)f 0¡14

¢.

53.752.51.250

80

60

40

20

0

x

y

x

y

y esboza la gráfica de la función derivada.

9. Dada la función f definida como f (x) = 5 3√x2−x, hallar f 0 (1)−f 0 (−1).

52.50-2.5-5

17.5

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

10. Dada la función f a través de f (x) = x3 + 3x2 − 9, hallar las raíces de laderivada. Y esboza la gráfica de la función derivada.

52.50-2.5-5

150

100

50

0

-50x

y

x

y

11. Dada la función f mediante f (x) = 60x +

64x3 + 5, hallar las raíces de la

derivada.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xix

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

12. Demostrar que la función y dada por y (x) = 3 + 5x satisface la ecuación

diferencial (donde por ecuación diferencial se sobrentiende a toda ecuaciónque relaciona a la variable, a la función incógnita y a su derivada en elmismo valor de la variable): xy0+ y = 3.

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

13. Demostrar que la función y dada por y (x) = x3

3 −2x2 satisface la ecuacióndiferencial: xy0− 2x2 = 3y.

14. Hallar las diferenciales de las funciones dadas por:

a)2x2 − 8x+ 5 b)(1 + 3√x)2 c)x2 5

√x+ 3

x d)x2−3x−455√x7

52.50-2.5-5

75

50

25

0

x

y

x

y

53.752.51.250

6.25

5

3.75

2.5

1.25

x

y

x

y

53.752.51.25

40

20

0

-20

-40

x

y

x

y

21.751.51.2510.750.50.250

-5

-10

-15

-20

-25

-30

x

y

x

y

15. Hallar el valor de la diferencial de la función f en el punto dado y con elvalor del incremento de la variable dada por:½

a) x3 + 33√x− 1; x = 8, dx = −0,1

b) xx3+3x2−5 ; x = −1, dx = 0,02

32.521.510.5

10

7.5

5

2.5

0

yy

0-1.25-2.5-3.75-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

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xx ÍNDICE GENERAL

16. ¿En qué puntos de la gráfica de la función 2+x−x3 su recta tangente es:i) paralela a la recta 11x+ y + 1 = 0, ii) perpendicular −x?

17. Plantear las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de lafunción (x− 1) · (x− 2) · (x− 3) en los puntos de intersección con el ejede las abscisas.

53.752.51.250-1.25-2.5

12.5

0

-12.5

-25

x

y

x

y

18. Plantear la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x+9x+5 ,

de manera que la recta tangente pase por el origen de coordenadas.

2.51.250-1.25-2.5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

19. ¿Para qué valores de a la parábola ax−x24 intersecta al eje de las abscisas

en el origen de coordenadas bajo el ángulo de π4 ?

52.50-2.5-5 0

-1.25

-2.5

-3.75

-5

-6.25

-7.5

x

y

x

y 52.50-2.5-50

-2.5

-5

-7.5

-10

-12.5

xy xy

52.50-2.5-5

12.5

0

-12.5

-25

x

y

x

y

20. Demostrar que las gráficas de las funciones x2 y 2− x3 se intersectan conun ángulo de π

4 .

21. i) Sobre la gráfica de la función x (x− 4)3 determinar los puntos en loscuales la recta tangente a la gráfica es paralela al eje de las abscisas. i)Demostrar que sobre la gráfica de la función x3+x2+x+1 no hay puntosen los cuales la recta tangente a la gráfica sea paralela al eje de las abscisas.

52.50-2.5-5

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

x

y

x

y

0.50-0.5-1-1.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxi

22. Plantear la ecuación de la recta tangente a la parábola x2 − 4x + 1, quepase por el punto M de coordenadas: i) (0, 0) ii) (2,−4).

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

23. La recta tangente trazada a la parábola x2 + px + 1 en alguno de suspuntos pasa por los puntos (0,5, 0) y (0,−3). Hallar el punto de tangenciay el parámetro p.

24. Determinar el área del triángulo formado por los ejes coordenados (enel primer cuadrante) y la recta tangente a la curva dada por la ecuaciónxy = 1 en el punto x = 3. ii) Demostrar que la recta tangente a la hiperbo-la xy = a2 forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante.¿A qué es igual dicha área?

25. Un cuerpo se mueve rectilineamente según la ley x = t3

3 − 2t2+3t. Deter-minar su velocidad en t = 1,5 seg.

43210

5

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

-10

x

y

x

y

26. Un cuerpo se mueve rectilineamente según la ley x = t4−4t3+2t2−12t4 ¿en

qué instante del tiempo su velocidad es cero?

53.752.51.250

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

27. La cantidad de corriente eléctrica que fluye, a través de la sección transver-sal de un conductor de la corriente, a partir del tiempo inicial t = 0 estádada por la fórmula Q = t3 − 9t2 + 15t + 1 (cal). ¿En qué instantes laintensidad de la corriente en el conductor es 0?

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xxii ÍNDICE GENERAL

210-1-2

7.5

5

2.5

0

-2.5x

y

x

y

0.3.6. Derivación de la composición.

uayxvuxyvUXV

0.3.7. Preguntas de autocontrol.

1. ¿Cómo se define la composición de funciones?

2. Enunciar el Teorema sobre la difernciabilidad de la composición de fun-ciones.

3. ¿Cómo se calcula la derivada de la composición de funciones?

4. ¿Qué significa la frase “invariancia de la forma de la diferencial”?

5. ¿Poseé la propiedad de “invariancia” la fórmula dy = f 0 (x)∆x?6. Para las funciones y = x3, x = t2 calcular:

y0tdt, y0xx0tdt, y0xdx, y0x∆x.

si t = 2, ∆t = 0,1.

0.3.8. Ejercicios y Problemas.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1.

a)¡3x3 − 4x− 1¢5 b)

√x2 + 4 c)

³a23 − x

23

´ 32

d) 1037(2x2+1)3

1.510.50-0.5-1-1.5

1000

0

-1000

-2000

-3000

x

y

x

y

52.50-2.5-5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

x

y

x

y

21.510.50

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

52.50-2.5-5

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

x

y

x

y

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxiii

2.

a) 1√1+ 3√x

b)x(x2+1)

5

√1−x2 c) 3

qx(1+x2)

(1−x2)2

d)qx+ 3

px+ 4√x e)

3

q(x2 + 1) (x− 2)− 1

3

53.752.51.250

1

0.9

0.8

0.7

x

y

x

y

0.750.50.250-0.25-0.5-0.75

25

12.5

0

-12.5

-25

x

y

x

y

53.752.51.250

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

53.752.51.250

2.5

2

1.5

1

0.5

x

y

x

y

3.53.2532.752.52.252

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

y esbozar para cada caso la gráfica de la función derivada.

3. Plantear la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: (x+ 1) 3√3− x

en el punto x = −1.20-2-4

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

4. Plantear la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: (x+ 4)32

en los puntos de intersección con los ejes coordenados.

420-2-4

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

5. ¿Con qué ángulo se intersecta con el eje vertical la gráfica de la funciónx√3+x

?

420-2

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

-10

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

6. En el punto (1, 8) se traza la recta tangente a la curva dada por y =r³5− x

23

´3. Hallar la longitud del segmento entre los ejes coordenados.

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xxiv ÍNDICE GENERAL

53.752.51.250

10

8

6

4

x

y

x

y

7. Hallar el área del triángulo formado por las bisectrices de los ejes coorde-nados y la recta tangente a a la curva dada por y =

p(x2 − 5) en el punto

(3, 2).

52.50-2.5-5

4

3

2

1

0

x

y

x

y

8. En un punto arbitrario de la curva dada por y =√2x− x2 se le traza

su recta tangente. Demostrar que la longitud del segmento del punto detangencia al punto de intersección con el eje vertical es igual a la ordenadadel punto de intersección.

21.510.50

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

9. Del punto O a lo largo de 2 rectas que forman entre sí un ángulo de 60◦

se mueven 2 objetos. El primero se mueve uniformemente con velocidadde 5 km/hr, mientras que el segundo se mueve según la ley d = 2t2 + t(supóngase que d se mide en km. y t en hrs.). Con qué velocidad dichosobjetos se separan en el momento t, en el que el primer objeto se encuentraa la distancia de 10 km del punto O.

52.50-2.5-5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

10. Una viga pesada de longitud 13 m se hace descender a tierra de maneraque el extremo inferior es jalado por una vagoneta y el superior se sostienemediante una soga que se enreda en un molinete, a una velocidad de 2m/min. Con qué velocidad retrocede la vagoneta en el momento cuandola viga se encuentra a 5 m de la pared.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxv

0.3.9. Derivación de las funciones elementales.

kUYUHJSi

Derivación de las funciones trigonométricas.

lSFBSLCHBJasfb

Derivación de la función inversa.

kauyhfb

Derivación de las funciones trigonométricas inversa.

lzsikfujhdskj

Derivada de las función exponencial y logarítmicas.

lzisufhiufkuy

Derivación de las funciones hiperbólicas.

lzidufbkliujhb

La tabla de derivadas.

lsjdfbdskfjbuj

Uso de derivadas en fórmulas aproximadas.

alidufshdsfkjb

Derivación logarítmica.

uyegfeiuygfwiu

0.3.10. Preguntas de autocontrol.

1. En la deducción de la fórmula (sinx)0 = cosx ¿dónde fue usada la con-tinuidad de la función cos?

2. ¿Qué límite excepcional se usa en la deducción de la fórmula (sinx)0 =cosx?

3. ¿Para qué valores de x es válida la fórmula: (tanx)0 = 1cos2 x? y ¿Para

cuáles lo es: (cotx)0 = − 1sin2 x

?

4. Enunciar el Teorema sobre la derivación de la función inversa.

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xxvi ÍNDICE GENERAL

5. ¿Cuál es la regla mediante la cuál se calcula la derivada de la funcióninversa?

6. Dar una interpretación geométrica de este procedimiento.

7. ¿En qué consiste el “truco” básico para calcular el límite en la deducciónde la fórmula: (ex)0 = ex?

8. ¿Qué ángulo forma con el eje vertical la gráfica de la función exponencialex?

9. ¿En qué consiste el método de derivación logarítmica?

10. ¿Cómo se usa la derivada en los cálculos numéricos más básicos?

0.3.11. Ejercicios y Problemas.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1.a)x2 + ex + sinx b) 132

x − lnx c)3 arcsinx− arc cosx5

52.50-2.5-5

150

125

100

75

50

25

x

y

x

y

53.752.51.250

35

30

25

20

15

10

5

x

y

x

y

10.50-0.5-1

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

y esbozar las gráficas de la funciones derivada.

2.a)ex tanx b)3x sinxc)arctanx1+x2 d) sinx+cosxsinx−cosx

10.50-0.5-1

5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25 x

y

x

y

2.51.250-1.25-2.5

10

5

0

-5

-10

-15

-20

x

y

x

y

52.50-2.5-5

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

x

y

x

y

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

y esbozar las gráficas de la funciones derivada.

3.a)sin 3x b)cos x2 c)ln2 x d)arcsin 3xe)e5x−1 f)

√tanx g)21−x h)arc cos2 x

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxvii

52.50-2.5-5

0.5

0

-0.5

x

y

x

y

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

-0.75

x

y

x

y

32.521.510.5

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

0.250.1250-0.125-0.25

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

10.50-0.5-1

100

75

50

25

0

x

y

x

y

1.2510.750.50.250

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

52.50-2.5-5

62.5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

53.752.51.250

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

y esbozar las gráficas de la funciones derivada.

4. sin¡x2 − 5x+ 1¢+ tan 5

x

108.757.56.2553.75

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

5.3√sin2 x+ 1

cos2 x

52.50-2.5-5

50

37.5

25

12.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

6. 3√2ex + 2x + 1

52.50-2.5-5

6.25

5

3.75

2.5

1.25

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

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xxviii ÍNDICE GENERAL

7. arctan lnx+ ln (arctanx)

53.752.51.25

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

8. ln cos2 x2

52.50-2.5-5

0

-10

-20

-30

-40

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

9. ln3pcosx+

√2

52.50-2.5-5

0.25

0.125

0

-0.125

-0.25

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

10. ln (x− 1) 3

q(x+ 1)

2(x− 2)

54.543.532.52

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

-10

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

11. ln sin (xπ)

1.2510.750.50.25

5

2.5

0

-2.5

-5

-7.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxix

12. sin³π√x´

53.752.51.250

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

13. ln5 tan 3x

420-2-4

5e+7

2.5e+7

0

-2.5e+7

-5e+7

-7.5e+7

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

14. ln tan2¡x2 +

π4

¢

52.50-2.5-5

40

20

0

-20

-40

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

15. ln³arc cos 1√

x

´54321

0

-2.5

-5

-7.5

-10

-12.5

-15

-17.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

16. ln tan x2 + cosx+

13 cos

3 x

20-2-4

25

12.5

0

-12.5

-25

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

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xxx ÍNDICE GENERAL

17. ln 3

qsin2 x2(1+x)5

y esbozar la gráfica de la función derivada.

18. sin 2x sin2 x

52.50-2.5-5

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

19. 2tan1x

10.80.60.40.2

100

75

50

25

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

20. ln tan e2 sin x

4

420-2-4

30

20

10

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

21. 5

qarcsin x3

3

1.2510.750.50.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

22. sin3 arctan 5√1− 2x

0-1.25-2.5-3.75-5

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

x

y

x

y

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxxi

y esbozar la gráfica de la función derivada.

23. earc cos√x5−4

1.3751.3631.351.3381.325

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

24. 12 ln tan

x2 − cos x

2 sin2 x

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

20-2-4

15

10

5

0

-5

-10

-15

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

25. sinx2 cos2 x − 1

2 ln tanx2

20-2-4

75

50

25

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

26. − sinx (1 + ln cosx)

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

27. 12 tan

2 (sinx) + ln cos (sinx)

52.50-2.5-5

0.5

0.375

0.25

0.125

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

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xxxii ÍNDICE GENERAL

28. arcsin 1−x2

1+x2

52.50-2.5-5

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

29. arctan 2x4

1−x8

52.50-2.5-5

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

30. arc cos 5x+1x2+2

52.50-2.5-5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

31. arctan x√1+x2

52.50-2.5-5

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

-0.75

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

32. arctanq

1−x1+x

10.50-0.5-1

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxxiii

33. x arcsinx√1−x2 + ln

√1− x2

10.50-0.5-1

6.25e+7

5e+7

3.75e+7

2.5e+7

1.25e+7

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

34. x (arcsinx)2 + 2√1− x2 arcsinx− 2x

10.50-0.5-1

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

35. e12 tan

2 x

10.50-0.5-1

10

5

0

-5

-10

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

36. x arctan cos e−1x

53.752.51.25

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada.

37. log2 tan2x2

38. log3 cot5x

x2

39. Hallar la derivada de la función logx2 2 + 2x2 , cuya gráfica está dada por:

2.51.250-1.25-2.5

250

125

0

-125

-250

x

y

x

y

y esbozar la gráfica de la función derivada. ¿Cómo sonlas derivadas laterales en x = −1 y en x = 1?

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xxxiv ÍNDICE GENERAL

Solution:³logx2 2 + 2

x2´0=¡ln 2lnx2

¢0+³2x

2´0=

lnx2(ln 2)0−ln 2(lnx2)0ln2 x2

+h2x

2 ¡x2¢0i(ln 2) = − 2

xln 2ln2 x2

+ 2x2

2x (ln 2) y el esbozo de la gráfica de la

función derivada − 2x

ln 2ln2 x2

+ 2x2

2x (ln 2) será:

2.51.250-1.25-2.5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

Falta responder a la última pregunta: ¿Cómo son las derivadas lateralesen x = −1 y en x = 1?

40. Hallar la derivada de la función indicada en el punto dado:

a) 4 arcsin x4 −√16− x2, en x = 2;

420-2-40

-1.25

-2.5

-3.75

xy

xy

b) 2√3 arctan x√

3+ ln√x2 + 3, en x = 3;2

√3 arctan x√

3+ ln√x2 + 3

52.50-2.5-5

4

2

0

-2x

y

x

y

c) 15 ln tan x2 +

cosxsin4 x

¡8 cos4 x− 25 cos2 x+ 15¢, en x = π

2 .

32.521.510.5

500

250

0

-250

-500

x

y

x

y

41. Demostrar que la función f dada por f (x) = xe1−Cx es solución de laecuación diferencial: f 0 = f

x lnfx .

42. Demostrar que la función y dada por y (x) = 2x arctanCx es solución dela ecuación diferencial: xy0 = y sin y

x + y.

43. Demostrar que la función f dada por f (x) = Ce−x + 12 (cosx+ sinx) es

solución de la ecuación diferencial: f 0 + f = cosx.

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxxv

44. Plantear la ecuación de la recta tangente a la curva γ, generada por lagráfica de la función f , la cual a su vez está definida por f (x) = e1−x

2

enlos puntos de intersección con la recta y = 1.

2.51.250-1.25-2.5

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

45. a) ¿Bajo qué ángulo la función sinusoidal y = 1√3sin 3x intersecta al eje

horizontal x en el origen de coordenadas?

52.50-2.5-5

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

b) ¿En qué puntos del segmento£0, π2

¤la recta tangente a la gráfica de la

función 12 sin

¡4x− π

3

¢forma un ángulo de 60◦?

52.50-2.5-5

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

46. Plantear la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ln (2e− x)en el punto x = e.

52.50-2.5-5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5 x

y

x

y

47. Sobre la gráfica de la función x − ln (1 + x) hallar el punto en el cual larecta tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta que pasa porlos puntos: (2, 3) y (−1, 4).

53.752.51.250

30

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

48. Plantear la ecuación de la recta tangente a la curva, dada por la gráficade la función arctan x

2 en los puntos de intersección con la recta x−2 = 0.

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xxxvi ÍNDICE GENERAL

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

49. Plantear la ecuación de la recta tangente a la curva, dada por la gráfica dela función earctan(2x−3) en los puntos de intersección con la recta y = e

π4 .

52.50-2.5-5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

x

y

x

y

50. Plantear la ecuación de aquella recta normal a la curva, dada por la grá-fica de la función ln (2x− 1) que resulte perpendicular a la recta y =x.ln (2x− 1)

543210

-5

-10

-15

-20

-25

-30

xy

xy

51. El cómo depende la distancia recorrida d del tiempo t en un movimientorectilíneo queda dada por la ecuación d = 1

5 t5+ 2

π sinπ4 t (el tiempo medido

en seg. y la posición en metros) Determinar la velocidad del movimientoal final del 2o. seg.

52.50-2.5-5

500

250

0

-250

-500

x

y

x

y

52. Un objeto de masa 8 gr. se mueve linealmente según la ley s = −1 +ln (t+ 1) + (t+ 1)

3 (el desplazamiento s en metros y el tiempo t en seg.)Calcular la energía cinética (mv2

2 ) luego de 1 seg. de iniciado el movimiento.

53.752.51.250

200

150

100

50

0

x

y

x

y

53. Hallar la derivada de las siguientes funciones y de paso f 0 (1):

a)sinh3 4x+ cosh3√x b)tanh5 (2e

√x)

c)sinh¡ln¡x+√x2 + 1

¢¢d)coth2 x

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0.3. DERIVACIÓN DE LAS OPERACIONES. xxxvii

·En las siguientes funciones obtener la derivada, con previa simplificaciónadecuada:

54. a)(cotx)x b)¡x2 + 3

¢√x55. a)(cosx)arctanx b)

¡√tanx

¢x+156. (x+ 1)

1sin x

57. xx

ln2 x

58. (x− 1) 3

q(x+ 1)

2(x− 2)− 1

5

59. Hallar la diferencial de la función f , en el punto x indicado y para la ∆xseñalada:

a) f (x) = 2√x, x = 3,∆x = −0,01;

b) f (x) = cosx, x = π6 ,∆x =

π36 ;

c) f (x) = tanx, x = π3 ,∆x =

π180 .

60. Usando el concepto de diferencial hallar el valor aproximado de las fun-ciones:

a) f (x) = (x− 3)2 (x− 2)3 (x− 4), en x = 4,001;

b) f (x) = 7√3x2 + 2x− 4, en x = 4,001;

c) f (x) = x ln (x− 2), en x = 3,001;

d) f (x) = x5 − 2x4 + 3x3 − 4x2 + 6, en x = 0,998;

e) f (x) = 3

q1−x1+x , en x = 0,1;

f ) f (x) = e1−x2

, en x = 1,05.

61. Sustituyendo el incremento de la función por su diferencial calcular enforma aproximada:

a) 3√27,0081; b)sin 29◦; c)cos 151◦; d)tan 44◦;

e) 4√17; f)arcsin 0,5011 g)arctan 1,002; h)e0,2

i)ln 0,9 j) 3p5 · 0,984 + 2 · 0,983 + 2 · 0,982 − 1; k)

q2,023+12,024−15 .

62. Deducir la siguiente fórmula aproximada, para |h| pequeños en relación ax > 0: √

x+ h ≈√x+

h

2√x

y con su ayuda determinar los valores aproximados de√5√10√30√620

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xxxviii ÍNDICE GENERAL

63. Deducir la siguiente fórmula aproximada, para |h| pequeños en relación ax > 0:

3√x+ h ≈ 3

√x+

h

23√x2

y con su ayuda determinar los valores aproximados de 3√10, 3√20, 3√150.

64. Hallar con una precisión de 0,01 la raíz de la ecuación x3 + x2 − 5 = 0,perteneciente al segmento [1, 2].

65. Hallar con una precisión de 0,001 la raíz de la ecuación x4 − 4x− 9 = 0,perteneciente al segmento [2, 3].