1. Como es conocido, la viga es una pieza lineal horizontal que, apoyada en uno o más puntos soporta las cargas que sobre ella actúan gracias a su capacidad de resistir flexiones. Al contrario que el puente arco que trabaja a compresión, el puente viga trabaja a flexión, que aunque no sea el único esfuerzo que aparece sí que es el más importante. La flexión es tanto mayor cuanto mayor es la carga y la luz entre los apoyos, y crece con respecto del cuadrado de esta última. Dado que la capacidad resistente de la viga es función de su módulo de elasticidad y del momento de inercia de la sección, además de buscar materiales de alta resistencia se precisan secciones de máxima inercia y mínimo peso. La forma natural de aumentar inercia y reducir peso respecto de una losa maciza, es en primer lugar la utilización de losas aligeradas interiormente. De ahí se pasa a utilizar vigas con sección en doble T, con más inercia y menos peso. Para seguir con el proceso de aligeramiento del alma se puede recurrir a las vigas celosía y trianguladas. Estas últimas coexisten con las vigas cajón como las tipologías más usuales para grandes puentes viga. La solución en puente viga es la más sencilla para salvar un río, basta con tender el tronco de un árbol (la madera tiene resistencia a tracción) sobre su cauce para poder cruzarlo. Es por ello por lo que las soluciones en puente arco y puente viga han coexistido tradicionalmente a lo largo de toda la historia y lo siguen haciendo en la actualidad. Las vigas cajón precisan de una tecnología más refinada que las de celosía, que ya se construían en el Renacimiento. Andrea Palladio (1508-1580) materializó varios puentes de vigas de madera trianguladas sobre los que ya existían precedentes durante la edad media en el norte de Europa y en los códices de Leonardo. Los puentes de vigas trianguladas tuvieron su mayor desarrollo durante el siglo XIX en EEUU y Europa. En un principio fueron de madera pero pronto pasaron a ser metálicos. Como grandes hitos de los puentes de vigas trianguladas cabe mencionar los de Firth of Forth, Escocia, (1890), de 521m de luz y el puente Québec (1917), de 548 m de luz. Después de estos récords históricos de luz, el protagonismo pasaría a los puentes atirantados.

Puente de Bassano (Palladio, 1569), Viaducto Longdon-Upon-Tern, Gales (1796) y Firth of Forth, Escocia (1890) Aunque durante el s. XIX y principios del XX la tipología predominante era la de puente de vigas trianguladas, a partir de la segunda guerra mundial estos han perdido su preponderancia a favor de los de viga de alma llena. Las vigas cajón de alma llena son en la actualidad la solución de puente viga tanto en hormigón pretensado, como en puentes metálicos y mixtos. El primer puente viga metálico que se construyó fue de alma llena y es contemporáneo de los primeros arcos metálicos. Se trata del Longdon-Upon-Tern, Gales (1796), de 56 m de luz, obra de Thomas Telford. El otro gran hito de la construcción de puentes de alma llena son los puentes de Conway (1849) y Britannia (1850), ambos en Gales y con unas luces de 125 y 142 m respectivamente. Ambos puentes son obra de Robert Stephenson, hijo de George Stephenson el inventor de la locomotora de vapor.

cálculo II

etsiccpc práctica 6. transformada de laplace curso 2009/10, fecha de entrega 16/03/10

El puente Britannia está resuelto con una viga cajón metálica de alma llena, a través del interior de la cual circula un ferrocarril y supuso una gran innovación debido tanto a la tipología de la sección, una viga cajón de hierro forjado de paredes delgadas, como al procedimiento de construcción. Lamentablemente tras el incendio que se produjo en el Britannia en 1970 se añadieron unas muletas en arco a la estructura original, que traicionan la idea original de puente viga.

Vistas generales y sección cajón del puente Britannia (1850) Se quiere evaluar la deformada de uno de los vanos centrales del puente Britannia por acción de una carga única en centro luz. Para ello se va a asumir que se puede modelizar como una viga de sección constante biempotrada en sus extremos. La ecuación de la deformada ( )xy de una viga biempotrada de longitud L sometida a una carga constante en centro luz de P unidades viene dada por el problema diferencial de cuarto orden

−=

2Lx

EIPyiv δ

( ) ( ) ( ) 000 =′==′= )(LyLyyy

donde E es el módulo de la elasticidad del material, I es el momento de inercia de la sección, ambos constantes, y δ es la función delta de Dirac.

Se pide resolver la ecuación diferencial anterior para las condiciones de contorno dadas.

(junio 2006)

2. Dada la función periódica senoidal semirectificada de la figura, se pide:

a) Dar la expresión de f(t) en términos de la función escalón unitario de Heaviside b) Calcular la transformada de Laplace de la función obtenida en a)

c) Resolver la ecuación diferencial ( )tfy =′ , haciendo ( )dttfy ∫=

d) Resolver la ecuación diferencial anterior transformando ambos miembros, despejando y obteniendo la transformada inversa. Comprobar que el resultado es el mismo al obtenido en c)

( junio 2008)

x

P

y

L

t

f(t)

π/ω 2π/ω 3π/ω

1

3.- En la página 26 del tercer apéndice del Zill (D. Zill, M. Cullen, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, Thompson Learning. Méjico D.F., 2002) aparece la siguiente tabla de transformadas de Laplace. Se pide demostrar los puntos 9, 24, 28, 34, y 39.

(segundo parcial 2007)

4.- Resolver mediante el método de la Transformada de Laplace el problema diferencial

( )223 −=+′−′′ xyyy δ

El cálculo de las transformadas inversas se llevará a cabo por:

a) Descomposición en fracciones simples b) Producto de convolución

Comprobar que ambas expresiones son iguales

(junio 2009)

5.- Sea la función ( )tf , extensión impar de la función xcos definida en el intervalo π<< t0 , se pide:

a) Dar la expresión de f(t) en términos de la función escalón unitario de Heaviside b) Calcular la transformada de Laplace de la función obtenida en a) c) Obtener la transformada de Laplace de f(t) como función periódica y comprobar que el

resultado es idéntico al obtenido en b)

(segundo parcial 2009)

t

f(t) 1

π 2π 3π

( )tf ( )sF

1 s1

nt

( )1

1+

+Γns

n ate

as −1

ktsen 22 ks

k+

ktcos 22 ks

s+

ktsenh 22 ks

k−

ktcosh 22 ks

s−

( )atu − s

e as−

( )at −δ ase−

( )atf

asF

a1

( )tfeat ( )asF − ( ) ( )atuatf −− ( )sFe as−

( )tf ′ ( ) ( )0fssF −

( )∫t

df

0 ττ ( )

ssF

( )ttf ( )sF ′− ( )ttf ( )∫

∞

sdF σσ

( ) ( )Ttftf += ( ) dtetfe

T stTs ∫ −

−−

0 11

( ) ( )∫ −=t

dtgfgf

0 * τττ

( ) ( )sGsF

cálculo II

etsiccpc cálculo II tabla de transformadas de laplace