Cálculo Multivariado

Contenido

1. Funciones deRn aR 2

1Funciones de R

n a R

1: Funciones, límites y continuidad

Una función de varias variablesR2 aR tiene la forma:

f(x, y) = z

dondex, y ∈ D ⊆ R2.

y

x

z

y

x

z

x

y

f(x, y) = x2 + y2

3

y

x

z

y

x

z

x

y

f(x, y) = sin(x+ sin y)

y

x

z

y

x

z

x

y

f(x, y) = x2 − y2

y

x

z

y

x

z

x

y

f(x, y) = −8y/(x2 + y2 + 1)

Definición:seaf una función de dos variables con dominioD. Decimos queL es límite def(x, y) cuando(x, y)se apróxima a(a, b), quedando escrito como lım

(x,y)→(a,b)f(x, y) = L, si para todoǫ > 0, existeδ > 0, tal que si

|(x, y)− (a, b)| < δ, entonces|f(x, y)− L| < ǫ.

Ejercicio:Mostrar que lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2no existe. Si nos aproximamos al(0, 0) por el ejex, es deciry = 0,

entonces tenemosx2 − y2

x2 + y2=

x2

x2= 1. Por el contrario si nos aproximamos al(0, 0) por el ejey, es decirx = 0,

entonces tenemosx2 − y2

x2 + y2=

−y2

y2= −1. Lo que significa que el lım

(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2no existe.

Ejercicio:Mostrar que lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2no existe. En este caso si nos acercamos por los ejesx o y al (0, 0) en

ambos casos0

y2= 0 y

0

x2= 0, pero si nos acercamos por la rectax = y

xy

x2 + y2=

x2

x2 + x2=

1

2, por lo tanto el

límite tampoco existe.

4

Ejercicio: Mostrar que lım(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4no existe. En este caso, para cualquier líneay = mx, tenemos

x(mx)2

x2 + (mx)4=

m2x3

x2 + (mx)4=

m2x

1 +m4x2que tiende a0 si (x, y) → (0, 0). Pero si nos acercamos por la pa-

rábolax = y2, tenemosxy2

x2 + y4=

y4

x4 + y4=

1

2, esto quiere decir que el límite tampoco existe.

Definición: seaf una función de dos variables con dominioD. Decimos quef(x, y) es continua en(a, b) silım

(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b). f es continua enD, si es continua en todos los puntos deD.

2: Derivadas

Para funciones de varias variables existen diferentes derivadas:

1. Derivadas parciales.

2. Derivadas direccionales.

3. Derivada.

Derivadas ParcialesLa derivada, al igual que en cálculo de una variable, es un límite. La derivada existe en un puntoa ∈ D en el

dominio de la función si el límite existe. En el caso de varias variables, primero se considera el caso, de aproximarsepor los ejesx y y, entonces decimos que existen las derivadas parciales, respecto ax o ay. Sif(x, y) es la función, la

derivada respecto ax, tomando ay como constante, se denota comofx(x, y) o fx o∂f

∂x. Análogamente la derivada

parcial respecto ay, existe si el limite al aproximarse al punto considerado por el ejey. Denotamos a la parcial

respecto ay comofy(x, y) o fy o∂f

∂y.

Por otra parte si nos aproximaos al punto en cuestión por una línea rectay = ax o equivalentemente por ladirección del vectoru, entonces decimos que existe la derivada direccional defu(x, y). Por su puesto las derivadasparciales son las derivadas direccionales pori, j o k.

Finalmente la derivada (a secas) de una función de varias variables existe, si existe el límite cuándo nos aproxi-mamos por cualquier lugar. Generalmente se denota porDf(x, y).

Hecho : sif(x) : R → R, entoncesL(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0), es decirL(x) es una línea que aproxima af(x) cerca dex0.

En el casoR2 → R, L(x, y) la derivada de una funciónf(x, y) : R2 → R es la matriz

(

∂f

∂x,∂f

∂y

)

.

En el casoR3 → R, L(x, y) la derivada de una funciónf(x, y, z) : R3 → R es la matriz

(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

.

En general para funciones deRn → R, L(x1, .., xn) la derivada de una funciónf(x) : Rn → R es la matriz(

∂f

∂x1,∂f

∂x2, ...,

∂f

∂xn

)

.

El vector

(

∂f

∂x1,∂f

∂x2, ...,

∂f

∂xn

)

también es llamado el gradiente def y denotado como∇f .

Para el caso generalf : Rn → Rm la derivada se convierte en la matriz Jacobiana.

J(f) =

∂y1

∂x1· · ·

∂y1

∂xn

.... . .

...∂ym

∂x1· · ·

∂ym

∂xn

5

Ejercicio:Seaf(x, y) = xexy, entoncesfx = xyexy + exy.

Notación:fxx =∂2f

∂x2, fxy =

∂2f

∂y∂x, fyx =

∂2f

∂x∂y.

Teorema de Clairaut: Sif está definida en el discoD y (a, b) ∈ D. Si las funcionesfxy, fyx son continuas en

D, entoncesfxy(a, b) = fyx(a, b).

Regla de la cadena en una variable:

Sabemos que(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) odf

dx=

df

dy

dy

dxdondey = g(x).

Regla de la cadena en dos variable: Seaz = f(x, y), y x = g(t), y = h(t), todas diferneciables, entonces

dz

dt=

∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt

Ejercicio:SeaS(w, h) = 0,1091w0,425h0,725 la función que relaciona la superficie (pies cuadrados) del cuerpode una persona en función de su pesow (el libras) y la alturah (en pulgadas). Encuentre la tasa a la cualS cambia sidw

dt= 10lb/año y

dh

dt= 2,3pul/año,w = 100lb, y h = 60pul.

ComodS

dt=

∂S

∂w

dw

dt+

∂S

∂h

dh

dt

= (0,1091)(0,425)w−0,575h0,725 dw

dt+ (0,1091)(0,725)w0,425h−0,275 dh

dt= (0,1091)(0,425)(100)−0,575(60)0,725(10) + (0,1091)(0,725)(100)0,425(60)−0,275(2,3)= 1,057

Regla de la cadena en dos variable: Seaz = f(x, y), y x = g(s, t), y = h(s, t), todas diferneciables, entonces

dz

ds=

∂f

∂x

∂x

∂s+

∂f

∂y

∂y

∂s

dz

dt=

∂f

∂x

∂x

∂t+

∂f

∂y

∂y

∂t

Derivadas Direccionales

Si f(x, y, z) es diferenciable, la derivada direccional def en dirección del vector unitariou = (a, b, c)es:

Duf(x, y) = ∇(f) · u

Duf(x, y) = fxa+ fyb+ fzc

Regla de la cadena en dos variable: Supongamos quef es diferenciable. El valor valor máximo deDu ocurrecuandou tiene la misma dirección que∇f , y el valor es|∇f |.

Ejercicio:Seaφ(x, y, z) = c una superficie, entonces∇φ es un vector perpendicular a la superficie.

6

Máximos y mínimos

1. Una funciónf(x, y) tiene un máximo local, sif(x, y) ≤ f(a, b) en una vecindad de(a, b).

2. Una funciónf(x, y) tiene un mínimo local, sif(x, y) ≥ f(a, b) en una vecindad de(a, b).

Si f tiene un máximo o mínimo local, entoncesfx(x, y) = 0. y fy(x, y) = 0

Supóngase que las segundas derivadas parciales def son continuas en una vecindad de(a, b), yfx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.

D =

∣

∣

∣

∣

fxx fxyfyx fyy

∣

∣

∣

∣

Entonces:

1. SiD > 0, y fxx > 0, f(a, b) es unmínimo local.

2. SiD > 0, y fxx < 0, f(a, b) es unmáximo local.

3. SiD < 0, y fxx > 0, f(a, b) es unpunto silla.

Multiplicadores de Lagrange

Para encontrar los máximos o mínimos def(x, y, z) sujeto a la restriccióng(x, y, z) = k:1. Encontrar los valoresx, y, z y λ tales que:∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0) y g(x, y, z) = k

2. Evaluar los puntos de paso anterior, el valor más grande es el máximo, el valor más pequeño es elmínimo.