Ahora nos vamos a meter en temas más profundos… Despeja tu mente…. Líbrate de prejuicios… No desesperes; opón tesón ante la perplejidad… Y si, a pesar de todo, no entiendes nada… no te aflijas pues, a fin de cuentas, todo esto no es más que teoría que muy probablemente nunca llevarás a la práctica… ya que,para eso, es necesario poseer un barco en condiciones para una navegacion oceánica…

Empieza pues con la…

clic1

NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA: De las coordenadas geográficas

De las coordenadas azimutales

De las coordenadas horarias

De la variación de las coordenadas horarias de un astro a lo largo de un día

De la Eclíptica

Del Zodiaco

De las coordenadas Uranográficas Ecuatoriales

De las coordenadas horarias del sol

De las coordenadas horarias de las estrellas

Del triángulo de posición astronómica

De las fórmulas que determinan el triángulo de posición astronómica

La derrota ortodrómica

Funciones trigonométricas fundamentales, triángulo de derrota ortodrómica, correcciones a los horarios en Greenwich de los astros

RECTA DE ALTURA

Del Polo de iluminación y del círculo de alturas iguales

De la recta de altura

Del modo de situarse con una recta de altura a partir de una situación de estima

Del modo de situarse con dos rectas de altura simultáneas

Del modo de situarse con dos rectas de altura no simultáneas

De la altura meridiana

De las estrellas

De cómo se hace una recta de altura

Más de cómo situarse con dos rectas de altura2

Siguiente

1ª PARTE

2ª PARTE

3ª PARTE

4ª PARTE

De cómo calcular la altura estimada de un astro

De las utilidades de una sola recta de altura

De las fórmulas

Del cálculo de la latitud con una recta de altura meridiana

Del cálculo de la latitud por una observación de la P

Método para calcular la longitud a partir del hl y del hG

De la medida del tiempo

Cálculo del intervalo navegado hasta el momento de una efeméride astronómica estando el buque en movimi

ento

Cálculo del intervalo hasta el momento del paso del sol por el meridiano superior

DE LAS CORRECCIONES

De las correcciones a las horas del orto y ocaso

Cálculo de la corrección total por una observación de la P

Cálculo de la corrección total por la observación del azimut del sol

en el momento del orto u ocaso

Cálculo de la corrección total con la fórmula del azimut verdadero

Cálculo de la corrección de la altura instrumental de un astro

Paso de la altura del sol limbo superior a la altura del sol limbo inferior

Siguiente

4ª PARTE

5ª PARTE

6ª PARTE

7ª PARTE

Pues, caballeros, ya tenemos situado al sol o estrella que nos interesa con sus coordenadas horarias, es decir; la declinación, el horario y nuestra latitud que “estimamos” es la correcta después de una singladura. Latitud de estima, coordenadas horarias, junto con las coordenadas azimutales nos permitirán construir un triángulo de posición astronómica… … El triángulo de posición astronómica es una forma gráfica de explicar cómo están interrelaccionados estos dos tipos de coordenadas, de tal manera que conociéndo algunos de sus elementos podamos deducir matemáticamente los que faltan, bien sea la altura, el azimut, el horario o la declinación.

El fin último del triángulo de posición astronómica es deducir las fórmulas de trigonometría esférica que nos permiten situar un astro en relación con sus coordenadas horarias o azimutales, es decir: nos permitirán averiguar la altura, declinación, horario o azimut que tendría el sol o un astro en nuestra situación de estima. Esto es muy importante porque es el fundamento de la recta de altura, que es la “herramienta” que se utiliza para situarse uno en la Mar cuando no se está a la vista de la costa. La recta de altura la veremos más adelante. Ahora vamos a ver el triángulo de posición astronómica y vamos a deducir las formulas de trigonometría esférica que nos interesan.

Clic35Índice

Pn

E

W

EW

Z

Azimut = Rumbo para ir al punto astral

Azim

u

t

Horizonte

Ecuador

Altura

declin

ació

n

horario

N

hLatitu

d

Imaginemos el planeta… el plano del ecuador y el polo Norte…

ClicClic

…Un observador que está en una determinada latitud, su meridiano superior, es decir, el que pasa por los polos y por su posición, y su horizonte …

ClicClic

…El polo de iluminación de una estrella…

ClicClicClic

sus coordenadas Azimutales: altura y Azimut…

Clic

…Y sus coordenadas horarias: declinación y horario.

ClicClic

s

36Índice

Pn

E

W

EW

Azim

u

tHorizonte

Ecuador

Altura

declin

ació

n

horario

N

Latitu

d

Pues bien, el triángulo de posición astronómica es el comprendido entre estos tres puntos: polo, observador y estrella.

Clic

h

Z

Clic

Podemos deducir el valor de cada uno de esos tres lados, (a, b, c) del triángulo de posición astronómica: a

b

c

ClicClic

Vemos que el lado “a” es la codeclinación , también llamada distancia polar; es la distancia del astro al polo, es decir; es el arco del ángulo complementario de la declinación. Recordemos que dos ángulos son complementarios cuando su suma vale 90º.

Declinación + a = 90º ⇒ a = 90 - declinación

Clic

El lado “c” es la colatitud; es la distancia del observador al polo, es decir; es el arco del ángulo complementario de la latitud:

Latitud + c = 90º ⇒ c = 90 - latitud

90 - d

Clic

d

Clic

90 - l

l

ClicClic

El lado “b” es la distancia Zenital; es la distancia de la estrella al Zenit, es decir; el arco del ángulo complementario de la altura:

Altura + b = 90º ⇒ b = 90 - altura

90-a

a

Clic37 Índice

Pn

E

W

Ecuador

declin

ació

n

horario

Latitu

d

h

a

b

c

90 - d

d

Pn

E

W

Azim

u

tHorizont

e

Altura

N

h

Z

a

b

c

l

90-a

a

S

El triángulo de posición tiene tres ángulos:

ClicClic38Índice

Pn

E

W

Ecuador

declin

ació

n

horario

Latitu

d

p

Pn

E

W

Azim

u

t

Horizonte

Altura

N

Z

l

a

S

El triángulo de posición tiene tres ángulos:

“P” o ángulo en el polo,se mide sobre el ecuador: es el horario oriental u occidental. No puede ser mayor de 180º

Clic

“Z” o ángulo cenital, se mide sobre el horizonte: es igual al azimut contado desde el punto cardinal correspondiente al polo elevado (es decir; el polo de la latitud)

Pn

“A” o “ángulo de posición” también llamado “paraláctico”, que no se considera casi nunca…

Clic

A

Clic39Índice

Conocido el triángulo de posición, se pueden deducir las fórmulas que nos permitan hallar los valores de la altura, la declinación, el horario y el azimut…

CÁLCULO DE LA FÓRMULA DE LA ALTURASabemos la fórmula del coseno que dice lo siguiente:“El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”De tal manera que para hallar el valor del lado 90 – altura del triángulo de posición astronómica, quedaría de la siguiente manera

co s( ) co s( ) • co s( ) ( ) • ( ) • co sh9 0 9 0 9 0 9 0 9 0- = - - + - -a l d sen l sen d

También deberíamos saber que “La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario” (haz clic para ver). Ya hemos dicho que un ángulo es complementario de otro cuando sus suma vale 90º. Ejemplo:

Cos90-latitud = senlatitud

Si sustituimos los valores de la fórmula por las funciones trigonométricas opuestas de los ángulos complementarios tenemos que:

sen a sen l sen d l d= +• co s • co s • co sh

Pn

E

W

Azim

u

t

Horizonte

Ecuador

Altura

declin

ació

n

horario

N

Latitu

d

90 - l

h

90-a

Z

90 - dClicClicClic

90 - l

Latitud

90º

ClicClicClic

El coseno de este ángulo es igual…

…al seno de este, que es su complementario

40Índice

CÁLCULO DE LA FÓRMULA DECLINACIÓN

Si queremos hallar la declinación del astro:

co s( ) co s( ) • co s( ) ( ) • co s( ) • co s9 0 9 0 9 0 9 0 9 0- = - - + - -d l a sen l a A z

Con ángulos complementarios:

sen d sen l sen a l a A z= +• co s • co s • co s

CÁLCULO DE LA FÓRMULA DEL AZIMUT

También se puede emplear la fórmula de la cotangente:

“La cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de este por el coseno del ángulo comprendido más el seno de este ángulo por la cotangente del ángulo opuesto”

co t ( ) • ( ) co s( ) co sh • co tg d sen l l sen h g A z9 0 9 0 9 0- - = - +

Con ángulos complementarios:

tg d l sen l sen h g A z• co s • co sh • co t= +

Despejando cotgAz:

co t• co s • co sh

g A ztg d l sen l

sen h=

-

Clic

41Índice

Sena

= senl

send cosl

cosd cosh·· ·+

CÁLCULO DE LA FÓRMULA DEL HORARIO

Partiendo de la fórmula de la altura:

Sena

= senl

send

cosl

cosd cosh·· ·+

Despejamos cosh

-

Clic

Otra fórmula del horario, conociendo el azimut

ClicClic

Y otras fórmulas de uso común

42Índice

Volver correcciones de horarios en greenwich

Esta es la hoja del Almanaque Náutico del 30 de marzo del 2002. En él vemos:

h G ☉ y su declinación correspondientes a cada hora en punto. Lógicamente en una hora el horario varía 15º y en las 24 h del día lo hace en 360º.

También vemos que los datos de la declinación y horario tienen en cuenta las diferencias de declinación y de horario al cabo del día debidas al movimiento de traslación de la tierra alrededor del sol, de forma que la declinación no es constante a lo largo del día, ni el horario varía de 15 en 15 grados exactos

Clic

También tenemos el h G♈ , tabulado de hora en hora

ClicClic

Y los horarios en Grennwich y las declinaciones de Venus, Marte, Júpiter y Saturno

Clic

Cuando se habla de horarios hay quien los expresa así

h G☉ = horario del sol en Greenwich

O así:

hG☉ = horario en Greenwich del sol…

Es lo mismo: el orden en que se escriba no influye en el significado pues SIEMPRE los horarios están medidos desde el meridiano de Greenwich, o desde el meridiano del lugar:

h G = hG h G = hG☉ ☉ ☆ ☆

h l = hl h l = hl☉ ☉ ☆ ☆

43 Índice

DERROTA ORTODRÓMICA

CLICÍndice

0º 10º10º20º20º

30º30º40º

40º

50º 50º60º60º

70º

80º 80º70º

B

A

Rumbo

orto

dróm

ico

Adelantaré que en una carta mercatoriana (las de uso común) la derrota ortodrómica se representa con una curva, y que en una carta gnomónica se representa por una recta.

A

B

Como ya sabemos un círculo máximo es aquel cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Cualquier otro círculo menor que une a esos dos puntos y cuyo plano no pase por el centro de la esfera implica una distancia mayor. Meridianos y ecuador son círculos máximos. Los paralelos no lo son.

La derrota ortodrómica (de orthos = recto, y de dromos = carretera) exige que se cambie constantemente de rumbo pues el ángulo que hace este con los meridianos va cambiando constantemente a su vez., salvo que se esté navegando a lo largo de un meridiano o del ecuador.Veamos este ejemplo: El barco quiere ir desde A hasta B, Al seguir el círculo máximo que pasa por ambos puntos se ve que el barco parte con Rumbo de componente S para acabar con un Rumbo de componente N

clicclicclicclicclicclic

Todos sabemos que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, pues bien; sobre una esfera la distancia más corta entre dos puntos es el arco de círculo máximo que pasa por esos dos puntos…

Biografía

Biografía

Índice

Vamos a ver un poco de trigonometría: las Funciones Trigonométricas Elementales. Para ello imaginamos un círculo, sus cuadrantes, su centro “O” y un

vector que, partiendo de “O”, corta el perímetro del círculo en el punto “P” Este vector es el Rádio (“R”) del círculo, al cual le vamos a dar el valor de la

unidad. Este vector tiene un ángulo ά con uno de los lados de un cuadrante (escogemos uno al azar; por ejemplo el lado OQ)

CLIC

O ά

CLIC

Pues bien: El seno de ά es el vector PQ

R = 1 Q

P

CLIC

1

PQ PQ PQsen PQ

OP R

CLIC

El coseno de ά es el vector OQ

CLIC

Sen

o

Coseno

1

OQ OQ OQCos OQ

OP R

CLIC

La tangente de ά es el vector ST

CLIC

Tan

gen

te

CLIC

1

PQ ST ST STTg ST

OQ OT R

La Secante de ά es el vector OS

S

T

CLIC

Secante

1

OP OS OS OSSec OS

OQ OT R

CLIC

La Cosecante de ά es el vector OS’

CLIC

La Cotangente de ά es el vector S’T’

T’ S’Cotangente

CLIC

' ' ' ' ' '' '

' 1

OQ S T S T S TCotg S T

PQ OT R

CLIC

Cosecante

' ' 'sec '

' 1

OP OS OS OSCo OS

PQ OT R

CLIC

Índice

Hay que saber que:

La función opuesta del seno es el coseno. La función opuesta del coseno es el seno. La función opuesta de la tangente es la

cotangente.

Ejemplo:

sen 30º = cos 60º ; cos 30º = sen 60º ; tg 30º = ctg 60º

Se da el nombre de derrota ortodrómica entre dos puntos de la superficie terrestre a la que sigue un barco navegando sobre el menor arco del

círculo máximo que pasa por ellos.

Un círculo máximo es aquel cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Los meridianos son círculos máximos y el ecuador también. Los paralelos

no lo son.

La distancia más corta entre dos puntos situados en una superficie esférica está determinada por el círculo máximo que pasa por dichos puntos ya

que al tener el mayor radio implica tener el arco de menor curvatura y, por tanto, se aproxima más a la línea recta. Cualquier arco de círculo que una

esos dos puntos y cuyo plano correspondiente no pase por el centro de la esfera, tiene una longitud mayor que la del arco del círculo máximo.

La diferencia entre la distancia loxodrómica y ortodrómica se llama GANANCIA y esta es nula cuando se navega siguiendo un meridiano o el

ecuador. Esta “ganancia” llega a ser importante en largas travesías oceánicas, sobre todo en altas latitudes, cuando los puntos de salida y llegada

corresponden al mismo paralelo o hay poca diferencia de latitud. Esto ocurre porque en la derrota loxodrómica el ángulo con que se cortan los

meridianos al seguir el rumbo es constante, mientras que en la ortodrómica ese rumbo varía. Para seguir una derrota ortodrómica es necesario

cambiar constantemente el rumbo salvo en el caso de que se navegue sobre un meridiano o el ecuador. El ángulo que forma la derrota ortodrómica

con el meridiano en el punto de partida recibe el nombre de RUMBO INICIAL. Al no ser posible cambiar constantemente el rumbo, la navegación se

efectúa siguiendo una serie de pequeñas loxodrómicas.

Y existe una propiedad de las funciones trigonométricas que se utiliza en la resolución de las ecuaciones de trigonometría

esférica que es la siguiente:

La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario.

Dos ángulos son complementarios cuando su suma vale 90º

CLICÍndice

A

B

P

P’

QQ’

Ri

Rf

LA LB

lA

lB

∆L = LA + LB

TRIÁNGULO DE DERROTA ORTODRÓMICA

Es un triángulo esférico que tiene unos datos conocidos a partir de los puntos A – B, de salida y llegada.

El Lado AP lo podemos conocer si conocemos la latitud del punto de salida A

Igual para el lado BP

Las incógnitas son el lado AB, y los ángulos que forma

con sus lados contiguos, es decir; DISTANCIA

ORTODRÓMICA (Do), RUMBO INICIAL (Ri) y

RUMBO FINAL (Rf).

También conocemos el ángulo L, que es la

suma de LA (W) y LB (E), al incluir, en

este caso, el meridiano de Longitud cero.

90 - lA

90 - lB

EW

CLICCLICCLICCLICCLICCLIC

L

0º

CLICCLICCLIC

Distancia Ortodrómica

Índice

Transformamos en funciones trigonométricas opuestas de los ángulos complementarios:

Los triángulos esféricos se resuelven por tres fórmulas:

Senos ( que no veremos), Cosenos y Cotangentes ( que sí veremos).

FÓRMULA DEL COSENO

“El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos por el coseno del

ángulo comprendido entre ellos”

co s co s( ) • co s( ' ) ( ) • ( ' ) • co sD o l l sen l sen l L= - - + - -9 0 9 0 9 0 9 0

Sabemos que:

“La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario.”

sen D o sen l sen l l l L= +• ' co s • co s '• co s

FÓRMULA DE LA COTANGENTE

“La cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de este por el coseno del ángulo comprendido más el seno de este ángulo por la cotangente del ángulo opuesto”

co t ( ' ) • ( ) co s( ) • co s • co tg l sen l l L sen L g R i9 0 9 0 9 0- - = - +

Lo que transformado en ángulos complementarios queda:

tg l l sen l L sen L ctg R i'• co s • co s •= +

Despejando Ri:

co t'• co s • co s

g R itg l l sen l L

sen L=

-

CLIC

Índice

CÁLCULO DEL RUMBO INICIAL (Ri) Y DE LA DISTANCIA ORTODRÓMICA (Do)

Partimos de una situación de salida: l y L

Y de una situación de llegada: l’ y L’

Siempre se restan los datos de la situación de salida de los datos de la situación de llegada. Es decir: l’ – l y L’ – LSe

establecen los signos de la siguiente manera: N (+) ; S (-) ; E (+) ; W (-)

CÁLCULO DEL Ri

SNl -

+'> -< +

9 09 0L

co t'• co s • co s

g R itg l l sen l L

sen L=

-

Si cotgRi = + Ri = N

Si cotgRi = - Ri = Shacia el E ó W según sea ∆L hacia el E ó W

CLIC

Índice

CÁLCULO DE LA Do

co s • ' co s • co s '• co sD o sen l sen l l l L= +

A B

A = (+) si l y l’ tienen = signo

A = (-) si l y l’ tienen # signo

B = (+) si ∆L < 90º

B = (-) si ∆L > 90º

Si cosDo = (+) entonces Do < 90º

Si cosDo = (-) entonces Do > 90º

CLIC

Índice

EJEMPLO DE PROBLEMA DE DERROTA ORTODRÓMICA

Calcular Rumbo inicial y distancia ortodrómica:

En situación de salida l y L Situación de llegada l’ y L’

l’ = 20 – 00,0 N L’ = 120 – 00.0 E

l = 44 – 02,1 N L = 64 – 11,3 E

l’ - l = 20,035º (-) L’ - L = 55,81º (+)

Calculamos Ri aplicando la fórmula:

Lo primero que hacemos es restar las latitudes y las Longitudes:

l’ – l y L’ –L

para conocer ∆L y la dirección del rumbo.

Es más cómodo utilizar grados y décimas de grado.

'• cos • cosc

tgl l senl LtgRi

sen L

20• cos 44,035 44,035• cos55,81 0,2616 0,3906

55,81 0,877212,90

tg senctgRi

sen

El inverso de cotg es la tg:

tg R ic tg R i

= =-

= -1 1

1 2 9 00 0 7 7

,, Operando con la calculadora: 1/ctg INV tgx

0,077 4, 40 40 , 4Ri INV tg S E Calculamos Ri : con calculadora es: - 0,077 INV tg

SNl -

+' > -< +

9 09 0L

Si cotgRi = + Ri = N

Si cotgRi = - Ri = Shacia el E ó W según sea ∆L hacia el E ó W

CLICÍndice

Calculamos Do aplicando la fórmula:

Teniendo en cuenta que:

A = (+) si l y l’ tienen = signo

A = (-) si l y l’ tienen # signo

B = (+) si ∆L < 90º

B = (-) si ∆ L > 90º

co s , • co s , • co s • co s , ,D o sen sen= + =4 4 0 3 5 2 0 4 4 0 3 5 2 0 5 5 8 1 0 6 1 7

co s • ' co s • co s '• co sD o sen l sen l l l L= +

A B

l, l’ = signo → A = + ∆L < 90º → B = +

D o IN V D o= =co s , º5 1 9 0

51,90º • 60 ' 3114 ' ,15

A es positivo y B es positivo, independientemente del signo + de la ecuación.

Ejemplos:

56 (-) + 65 (+) = 9 (+)

56 (-) + 65 (-) = 121 (-)

56 (+) + 65 (-) = 9 (-)

CLICÍndice

Volver hoja almanaque

Este es un fragmento de una hoja de las tablas perpetuas de las

”correcciones a los minutos y segundos” del almanaque

Náutico. En las tablas de las efemérides astronómicas anuales

del Almanaque Náutico, los horarios en Greenwich del sol,

planetas, Aries y luna, vienen tabulados de hora en hora. Sin

embargo los cálculos de estos horarios se pueden hacer en

cualquier momento, basta con añadir al valor del horario del sol

en Greenwich a la hora en punto correspondiente de la hoja de

las tablas de las efemérides astronómicas anuales del

almanaque , la corrección por minutos y segundos de las tablas

perpetuas. Ejemplo:Un día, siendo hcG = 09h 06m 14s tomamos una altura del sol para hacer una recta de altura, pero para ello necesitamos conocer

el horario del sol en Greenwich en ese preciso instante ya que, al sumar o restar nuestra Longitud, obtendremos el horario del sol

en nuestro meridiano (horario del sol en el lugar, h l).☉ Lo que hacemos es mirar el hcG en las tablas de efemérides anuales de ese

día a TU = 09h00m…

ClicClicClic

…Vemos que tiene un valor de 313º 52,0’

Clic

Nos falta saber qué horario le corresponde a 06m14s, para ello vamos a las tablas perpetuas de

correcciones y miramos la que le corresponde al sol…

Clic

…para un intervalo de 6 minutos y 00 segundos: le corresponde un horario de 01º:30,0’…

ClicClic

… para un intervalo de 6 minutos y 14 segundos le

corresponde un horario de 01º:33,5’

Clic

Siendo el h☉G, a hcG = 09h 06m 14s,

h☉G = 313º 52,0’

Cxsegundos = 001º 33,5’ (sumo)

hcorr☉G = 315º 25,5’Clic44Índice

COOK, John. Biogr. Pirata inglés, en la isla de los Galápagos en junio de 1684. En 1680 mandaba un grupo de ☨

filibusteros, en d mar del Sur, de los que habían pasado de las Antillas; entre aquéllos los habia tan célebres en la historia

de la piratería como Dampier, Davis y Wafer. Después de atacar Arica a las órdenes de Shays, las perdidas que tuvieron

hicieron arribar a los piratas a la isla de Juan Fernández, donde se suscitaron querellas ante la escasez del botín a repartir,

separándose Cook con unos 70 hombres entre los cuales estaba el famoso Dampier. Atravesaron el istmo de Panamá y en

el mar de las Antillas apresaron un barco español de 19 cañones al que llamaron el Desquite; con él, después de piratear,

se dirigieron a Virginia para reclutar gente, embarcando también allí el famoso piloto Cowley. Salieron de Chesapeake en

agosto de 1683, dirigiéndose hacia la costa de Guinea. Desembarcó Cook en las islas de Cabo Verde, y en Sierra Leona se

apoderó por sorpresa de un bien provisto navío danés de 36 cañones, al que transbordó, dejando en tierra a la antigua

tripulación e incendiando a su propio buque; bautizó a su nuevo barco con el nombre de Bache/or's Delight. Hicieron

rumbo al Cabo de Hornos avistando la isla que el piloto Cowley llamó Peppy's Island y poco después la Sibble Dwardz. Al

doblar el cabo de Hornos un violento temporal les arrojó más al sur de los 63° de latitud; consiguieron después navegar

hacia el norte encontrando un barco inglés, mandado por Eaton, también dispuesto a la piratería. Navegaron ambos en

conserva. En las islas de los Galápagos hizo acopio, en almacenes que construyó, de la harina robada a los españoles,

que había de ser la base de los víveres de los piratas para el futuro. Estas islas y las de Juan Fernández eran el refugio de

los que operaban por el mar del Sur, por tener agua y abundancia de tortugas.

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