Clustering

UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA“La Universidad Católica de Loja”

INTELIGENCIA ARTIFICIAL AVANZADA

CLUSTERING

CLASIFICACIÓN: ANÁLISIS DE CLUSTERS (CLUSTERING)

INTRODUCCION

El Análisis de Clusters (o Análisis de conglomerados) es una técnica de Análisis Exploratorio de Datos para resolver problemas de clasificación. Su objeto consiste en ordenar objetos (personas, cosas, animales, plantas, variables, etc, …) en grupos (conglomerados o clusters) deacuerdo a carcteristicas que asemejan a los diferentes objetos

ETAPAS DE UN ANÁLISIS CLUSTER

1) Elección de las variables2) Elección de la medida de asociación3) Elección de la técnica Cluster4) Validación de los resultados

Elección de variables

Variables:♦ Variables cualitativas

Ordinales (ej: nivel de estudios)Nominales (ej: nacionalidad)

♦ Variables cuantitativasVariables discretas (ej: número de hermanos)Variables continuas (ej: peso)

ANÁLISIS CLUSTER POR VARIABLES O POR INDIVIDUOS

Un paso importante en cualquier agrupación consiste en seleccionar una medida de distancia , lo que determinará la forma en la similitud de los dos elementos que se calcula. Esto influirá en la forma de los clusters, ya que algunos elementos pueden estar cerca o lejos el uno del uno otro en función de una distancia.

1.Distancia Euclidea

Elección de una medida de asociación

21

),(

yxyxyxd

21

1

2

n

iii yx

2. Distancia de Minkowsky (q >=1)

q=2distancia euclideaq=1distancia ciudad

3. Distancia Valor Absoluto

qq

iiM yxyxd

1

),(

n

iiiABS yxyxd

1

),(

q=1 Minkowsky

4. Distancia Mahalanobis:

Datos provienen de una o varias poblaciones con matrices de varianzas-covarianzas

21

1 )(),(

yxyxyxdMH

EJEMPLO

Supongamos que se han medido n=4 variables continuas y que dos casos x,y vienen representados por los vectores x=(2.1,3.1,3.4,1.9)` e y=(1.2,2.0,1.7,3.6)`

Distancia euclidea:x-y=(0.9,1.1,1.7,-1.7)`

7.1

7.1

1.1

9.0

)7.1,7.1,1.1,9.0(),(2 yxdE

79.2),(

8.7

89.289.221.181.0

yxdE

21

1

2

n

iii yx

Distancia Minkowsky para q=1 y q=3Con q=1:

Con q=3:

Distancia del Valor absoluto:

4,57,17,11,19,0),( yxdM

32,24,5),( yxd ABS

28,289,11

89,117,17,11,19,0),(

3

33333

yxd M

MÉTODOS DE ANÁLISIS CLUSTER

Se dividen en dos grandes grupos1.Métodos jerárquicos: son aquellos que para formar un

clúster nuevo une o separa alguno ya existente para dar origen a otros dos de forma que se maximice una similaridad o se minimice una distancia. Dentro de estos a su vez se clasifican en:

1. Asociativos o aglomerativos: se parte de tantos grupos como individuos y se van agrupando hasta llegar a tener todos los individuos en un solo grupo.

2. Disociativos: se parte de un solo grupo que contenga a todos los individuos y se va separando hasta llegar a formar grupos individuales.

2.Métodos no jerárquicos: se clasifican los individuos en k grupos, estudiando todas las particiones de individuos en esos k grupos y eligiendo la mejor partición.

MÉTODOS JERÁRQUICOS

Sucesión de particiones donde cada partición se obtiene uniendo o dividiendo clusters

Ejemplo:

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

4

3

2

1

0

P

P

P

P

P

Metodos aglomerativos: los nuevos clusters se crean uniendo clusters Ventaja

Rapidez Son los mas habituales

Metodos divisivos: los nuevos clusters se crean dividiendo clusters(lentos) Ventaja

Parten de la información global que hay en los datos El proceso de división no tienen porque seguir hasta

que cada elemento forme un cluster


Dendrograma: son diagramas bidimensional es utilizados para representar clasificaciones jerárquicas

Muestra como ha sido el proceso de unión o división de los clusters

divisivo

Aglomerativo


Algoritmo básico de clasificación (ABC)

1. Cada caso formara un clusterP0=1….m

2. Supongamos que los casos mas cercanos son i,j:Entonces la union de estos formara un nuevo cluster (iUj=i,j) y se actualizara la matriz

u`(k,i,j)=u(k,i) =u(k,j)3. Una vez obtenida la particion P1=1,..

i,j,..n, se repiten los pasos 2 y 3 del algoritmo hasta que todos los casos formen un unico cluster

EJEMPLO: supongamos que tenemos la siguiente matriz definida sobre Ω=1,2,3,4,5 calculemos cual es la jerarquia indexada que nos da el algoritmo ABC

0......................................

1,0.......0...........................

35,0...35,0......0.................

35,0...35,0...15,0.....0........

35,0....35,0....2,0....2,0....0

U

4,15,4,1 uu

35,0

)5,1(

u

5,43

2

1

0...........................

35,0......0.................

35,0...15,0.....0........

35,0....2,0....2,0....0

U


5,4,25,4,3,2 uu

35,0

)5,4,3(

u

5,43,2

1

0.................

35,0.....0........

35,0....2,0....0

U

5,4

3,2,1

0.........

35,0.....0

U

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

4

3

2

1

0

P

P

P

P

P


Dendrograma


Algoritmo de clasificación (AC)

1. Cada caso formara un clusterP0=1….m

2. Supongamos que los casos mas cercanos son i,j:Entonces la union de estos formara un unico cluster (iUj=i,j) y se definira la disyancia desde un caso cualquiera l al nuevo cluster(i,j)

d`(l,i,j)= f(d(l,i),d(l,j), l <>i,j

3. Una vez obtenida la particion P1=1,..i,j,..n, se repiten los pasos 2 y 3 del algoritmo hasta que todos los casos formen un unico cluster

Método del mínimo

La distancia entre dos clústeres mínima de las distancias entre los casos de cada clúster

Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente matriz de distancias D definida sobre Ω=1,..5 calcular cual es la jerarquía indexada de método del mínimo.

0........................

7...0...................

8...2...0.............

8...4...4...0........

7...4....3....1....0

D

PASOS1. caso forma un clúster2. Los casos i, j más cercanos

Formamos el clúster 1,2Definimos la distancias de un caso al nuevo clúster

5,4,3,2,10 P

1)2,1(),(min , dlkdlk

)2,3(),1,3(min2,1,3 ddd

3

4,3min

5

4

3

2,1

0...................

7....0.............

8...2....0.......

7....4....3....0

Matriz de distancias

Método del mínimo

3. Volver a los pasos 2 y 3 buscar casos con distancias mínimas d(3,4)=2 nuevo cluster3,4 rehacer distancia

4. Volver a los pasos 2 y 3 buscar casos con distancias mínimas 3=d(1,2,3,4) nuevo cluster1,2,3,4 rehacer matriz

)4,2,1(),3,2,1(min4,3,2,1 ddd

3

4,3min

5

4,3

2,1

0.............

7.....0......

7....3....0

5

4,3,2,1

0......

7....0

Método del mínimo

Jerarquía aglomerada indexada

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

5,4,3,2,1

4

3

2

1

0

P

P

P

P

P

Método del mínimo

Método del Máximo

Este método es conocido como Complete Linkage o “vecino más lejano”, .

La distancia entre dos clúster se define como el máximo de las distancias entre los casos de los clúster.

),(),,(),,( jkdikdmáxjikd

,),(),( jiji CjCijidmáxCCd

EJEMPLOInicialmente la partición es: 1, 2,3,

4,5 y los casos más próximos son 1 y 2

La nueva matriz de distancia es:Los casos 3 y 4 forman la siguiente matriz

Método del Máximo

Cálculo para sacar el máximo

Por lo tanto se unen 1,2 con 3,4 DENDROGRAMA

Método del Máximo

Método de Ward

Se calculan las distancias como medida de similitud entre los objetos.

El objetivo del método se basa en que al unir dos clúster el aumento de la heterogeneidad total sea lo menor posible.

El proceso termina cuando todos los casos forman un único clúster.

Mide heterogeneidad

Suma distancias

Vector de medias

EJEMPLOHay 6 casos con dos variables

Cada caso forma un clústerP0=1,2,3,4,5,6

Perdida mínima de heterogeneidad

P1=1,2,3,4,5,6

Método de Ward

Luego la pérdida mínima se obtiene uniendo 1 y 3

Por lo tanto:

Se calcula el centro de 1,3

P2=1,3,2,4,5,6

La siguiente perdida mínima de heterogeneidad al unir 1,3 y 2 es:

P3=1,2,3,4,5,6

Método de Ward

Siguiendo el proceso de aglomeración para la partición P4 hay 3 posibilidades:

Calculando cada uno de los centros y la pérdida mínima queda:

Método de Ward

Quedando como perdida mínima de heterogeneidad uniendo los clúster 4 y 5,6 con un valor de 2,21.

P4=1,2,3,4,5,6

Método de Ward

Single-linkeage

JerárquicoAglomerativoSi hay un error en algún paso no se puede

volver atrás …

Single-linkeage

Dado un conjunto de N (5) elementos a ser agrupado y una matriz de distancia (o similitud) de N x N:

d 1 2 3 4 5

1 0 5 6 10 13

2 5 0 1 5 8

3 6 1 0 4 7

4 10 5 4 0 3

5 13 8 7 3 0

Single-linkeageComenzar por asignar cada item a un cluster.Tenemos 5 clustersSean las distancias entre los clusters las mismas

que entre los elementos de cada cluster

d 1 2 3 4 5

1 0 5 6 10 13

2 5 0 1 5 8

3 6 1 0 4 7

4 10 5 4 0 3

5 13 8 7 3 0

Single-linkeage

Encontrar el par más cercano de clusters y unirlo en un único cluster.

Tenemos 4 clusters

d 1 2 3 4 5

1 0 5 6 10 13

2 5 0 1 5 8

3 6 1 0 4 7

4 10 5 4 0 3

5 13 8 7 3 0

Single-linkeage

Calcular las distancias entre el nuevo cluster y los viejos clusters old clusters

d 1 2-3 4 5

1 0 5,5 10 13

2-3 5,5 0 4,5 8,5

4 10 4,5 0 3

5 13 8,5 3 0

d 1 2 3 4 5

1 0 5 6 10 13

2 5 0 1 5 8

3 6 1 0 4 7

4 10 5 4 0 3

5 13 8 7 3 0

Single-linkeage

Repetir los pasos 2y 3 hasta que todos los elementos se encuentren en el mismo cluster de tamaño N

Single-linkeage

http://www.elet.polimi.it/upload/matteucc/Clustering/tutorial_html/AppletH.html

Simple K-Medias

Particional Distancia euclídea Necesita el valor de k (#clusters) Búsqueda de prototipos

Simple K-Medias

• Ubicar k (2) puntos en el espacio representado por los objetos a ser agrupados. Estos k puntos son los centroides iniciales de cada grupo

Simple K-Medias

• Asignar cada objeto al grupo que esté más cercano a su centroide

Simple K-Medias

• Recalcular la posición de los k centroides

• Repetir pasos 2 y 3 hasta que los prototipos ya no varíen

K-means

De esta manera se minimiza la distancia intracluster según la metrica dada

GRACIAS!!

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