1

Corrado Gini

Corrado Gini (Motta di Livenza, 23 de mayo de 1884 - Roma, 13 de marzo de 1965) fue un estadstico, demgrafo y socilogo italiano que desarrollo el coeficiente de Gini, una medida de la desigualdad en los ingresos en una sociedad. Gini fue tambin un influyente terico fascista e idelogo que escribi Las bases cientficas del fascismo en 1927.

Coeficiente de Gini

El coeficiente de Gini es una medida de la desigualdad ideada por el estadstico italiano Corrado Gini. Normalmente se utiliza para medir la desigualdad en los ingresos, dentro de un pas, pero puede utilizarse para medir cualquier forma de distribucin desigual. El coeficiente de Gini es un nmero entre 0 y 1, en donde 0 se corresponde con la perfecta igualdad (todos tienen los mismos ingresos) y donde el valor 1 se corresponde con la perfecta desigualdad (una persona tiene todos los ingresos y los dems ninguno).

El ndice de Gini es el coeficiente de Gini expresado en porcentaje y es igual al coeficiente de Gini multiplicado por 100.

Aunque el coeficiente de Gini se utiliza sobre todo para medir la desigualdad en los ingresos, tambin puede utilizarse para medir la desigualdad en la riqueza. Este uso requiere que nadie disponga de una riqueza neta negativa.

2

Definicin

Diagrama que muestra el rea a comprendida entre la curva de Lorenz y la

bisectriz del cuadrado, dicha rea es proporcional al coeficiente de Gini.

El coeficiente de Gini se calcula como una proporcin de las reas en el diagrama de la curva de Lorenz. Si el rea entre la lnea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz es a, y el rea por debajo de la curva de Lorenz es b, entonces el coeficiente de Gini es a/(a+b).

Esta proporcin se expresa como porcentaje o como equivalente numrico de ese porcentaje, que es siempre un nmero entre 0 y 1. El coeficiente de Gini se calcula a menudo con la Frmula de Brown, que es ms prctica:

Donde:

G: Coeficiente de Gini X: Proporcin acumulada de la variable poblacin Y: Proporcin acumulada de la variable ingresos

De forma resumida, la Curva de Lorenz es una grfica de concentracin acumulada de la distribucin de la riqueza superpuesta a la curva de la distribucin de frecuencias de los individuos que la poseen, y su expresin en porcentajes es el ndice de Gini.

3

Propiedades

Todas las curvas de Lorenz pasan por los puntos (0,0) y (1,1). Si dos curvas de Lorenz no se cortan fuera de esos dos puntos, es posible comparar la desigualdad que representan sin necesidad de calcular el ndice de Gini. En el caso general, un mayor ndice de Gini significa una mayor desigualdad.

Para determinar el rea entre la curva de Lorenz y la lnea de perfecta equidad, lo ideal es calcular una integral definida, pero a veces no se conoce la definicin explcita de la curva de Lorenz, por lo que es interesante utilizar otras frmulas con un nmero finito de sumandos.

Las propiedades del ndice de Gini son comparables con las del cuadrado del coeficiente de variacin.1

Empricamente, la renta de muchos pases se aproxima a una distribucin Gamma (con parmetro k < 5), lo cual lleva a los ndices de Gini observados entre 0,50 y 0,25. Los pases con ndices superior a 0,50 tienen una distribucin an ms desigual que la distribucin exponencial.

l idelogo y estadstico italiano Corrado Gini (1884-1965), autor de Las bases cientficas del fascismo (1927), desarroll en 1912 un mtodo para medir la desigualdad de una distribucin en su obra Variabilit e mutabilit. En ella introdujo el valor de 0 para expresar la igualdad total y el valor de 1 para la mxima desigualdad. Este mtodo se aplica en el estudio de la distribucin de desigualdad en Ciencias de la Salud, ingeniera, ecologa, qumica, transporte, etc. Pero quiz donde tiene su uso ms caracterstico es en el estudio de la desigualdad de los ingresos que se realiza en Economa. Sobre el Coeficiente de Gini y sus ventajas como medida de desigualdad frente a otros indicadores, hablamos hoy en los Conceptos de Economa. El Coeficiente de Gini se basa en la Curva de Lorenz, que es una representacin grfica de una funcin de distribucin acumulada, y se define matemticamente como la proporcin acumulada de los ingresos totales (eje y), que obtienen las proporciones acumuladas de la poblacin (eje x). La lnea diagonal representa la igualdad perfecta de los ingresos: todos reciben la misma renta (el 20% de la poblacin recibe el 20% de los ingresos; el 40% de la poblacin el 40% de los ingresos, etc). En la situacin de mxima igualdad o

4

equidad distributiva, el Coeficiente de Gini es igual a cero (el rea A desaparece): a medida que aumenta la desigualdad, el Coeficiente de Gini se acerca al valor de 1. Este coeficiente puede ser considerado como la proporcin entre la zona que se encuentra entre la lnea de la igualdad y la curva de Lorenz (marcada con A en el diagrama) sobre el rea total bajo la lnea de igualdad. Es decir, G = A / ( A + B) . Tambin es igual a A*2, dado que A + B = 0,5.

El Coeficiente de Gini se calcula como el cociente entre el rea

comprendida entre la diagonal de perfecta igualdad y la Curva de Lorenz (rea A en el grfico, sobre el rea A+B). A medida que mejora la equidad el rea A disminuye y la Curva de Lorenz (linea roja) se acerca a la diagonal de 45% (linea verde). Si la Curva de Lorenz se aleja de la diagonal, aumenta la desigualdad a la misma velocidad que aumenta el rea A. Si la desigualdad es total, el rea B desaparece y queda slo el rea A, lo que indica que una sola familia se queda con el total de los ingresos (linea azul). En el ejemplo de la grfica el primer quintil (20% de la poblacin) se queda con el 4% del ingreso; el 40% de la poblacin, con el 12% (aumenta un 8% en relacin al primero), el 60% con el 22% del ingreso y el 80% de la poblacin con el 42% del ingreso acumulado. En este caso el Coeficiente de Gini es 0,48.

Segn el Informe de Desarrollo Humano del ao 2009, el Coeficiente de Gini para Namibia es 0,707 (situacin de mxima desigualdad), mientras que el de Dinamarca es de 0,247 (situacin de mximo reparto igualitario. De acuerdo a este informe, el Coeficiente de Gini de Brasil es 0,571; Chile 0,557; Mxico 0,546; Argentina 0,542; Venezuela 0,471; China 0,447, Estados Unidos 0,445; Rusia 0,391; Portugal 0,385; Italia 0,36; Francia 0,327; Espaa 0,325; Alemania 0,283; Suecia 0,25; Japn 0,249. De acuerdo a la grfica, las zonas que tienen colores verdes (Canad, Europa y Australia) tienen un reparto ms igualitario mientras que a medida que los colores se intensifican: azul, lila, naranja o rojo (situacin de Amrica Latina y frica), la distribucin se hace ms desigual.

El Coeficiente de Gini mide los trminos distributivos globales sin separar a lo que corresponde a poblacin urbana y poblacin rural. Este dato es muy valioso a considerar porque no se puede comparar un pas como China que tiene un 60% de la poblacin rural, con un pas como EEUU que tiene menos de 10% de poblacin rural. En

5

este sentido cuando se hace la comparacin sin tomar en cuenta la otra variable podemos confundir los resultados.

Curva de Lorenz

Curva de Lorenz.

La curva de Lorenz es una representacin grfica utilizada frecuentemente para plasmar la distribucin relativa de una variable en un dominio determinado. El dominio puede ser el conjunto de hogares o personas de una regin o pas, por ejemplo. La variable cuya distribucin se estudia puede ser el ingreso de los hogares o las personas. Utilizando como

6

ejemplo estas variables, la curva se trazara considerando en el eje horizontal el porcentaje acumulado de personas u hogares del dominio en cuestin y en el eje vertical el porcentaje acumulado del ingreso. Su autora es de Max O. Lorenz en 1905.

Cada punto de la curva se lee como porcentaje acumulativo de los hogares o las personas. La curva parte del origen (0,0) y termina en el punto (100,100). Si el ingreso estuviera distribuido de manera perfectamente equitativa, la curva coincidira con la lnea de 45 grados que pasa por el origen (por ejemplo el 30% de los hogares o de la poblacin percibe el 30% del ingreso). Si existiera desigualdad perfecta, o sea, si un hogar o persona poseyera todo el ingreso, la curva coincidira con el eje horizontal hasta el punto (100,0) donde saltara el punto (100,100). En general la curva se encuentra en una situacin intermedia entre estos dos extremos.

Curva de Lorenz y desigualdad

Si una curva de Lorenz se encuentra siempre por encima de otra (y, por lo tanto, est ms cerca de la lnea de 45 grados que la otra), entonces podemos decir, sin ambigedad, que la primera exhibe menor desigualdad que la segunda. Esta comparacin grfica entre distribuciones de distintos dominios geogrficos o temporales es el principal empleo de las curvas de Lorenz. El indicador grfico de bienestar ms usado es la Curva de Lorenz Generalizada (CLG), que es una derivacin de la curva de Lorenz habitual. La CLG slo se diferencia de la de Lorenz en que en la escala vertical no se representan las cantidades relativas acumuladas sino las cantidades acumuladas (no relativas) divididas por el nmero N de elementos de la poblacin. La lgica pretendida es representar qu cantidad absoluta corresponde a cada porcentaje de individuos. Para clarificar este aspecto, supngase que la curva de Lorenz normal de una poblacin nos dice que el 50% de los menos ricos poseen el 25% de la riqueza total. Se puede comprender que es muy diferente la situacin de bienestar de este 50% de la poblacin segn si la riqueza total es muy pequea o muy grande. Es obvio que es peor poseer el 50% de una cantidad pequea que poseer el 25% de una cantidad mucho mayor. El dividir las cantidades acumuladas por el total de elementos N es necesario para poder comparar riquezas entre poblaciones distintas que tengan un nmero diferente de elementos: no es lo mismo una riqueza total de 1.000.000 en un conjunto de 10 personas que esa misma riqueza total en un conjunto formado por 1.000 personas.

7

Ecuacin de la curva de Lorenz

Si se conoce la distribucin de la renta como densidad de probabilidad para cada valor de renta, la curva de Lorenz puede encontrarse

analticamente en funcin de sta. La proporcin de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por:

(1)

Mientras que la proporcin de renta acumulada por las personas con rentas iguales o inferiores a r viene dada por:

(2)

Donde es la renta media. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntas las ecuaciones paramtricas de la curva en funcin del parmetro r.

Propiedades

La curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relacin:

(3)

En el punto inicial la pendiente ser nula (aun en el caso el lmite anterior sigue siendo vlido, pero en el resto de puntos ser estrictamente positiva.

Adems la curva de Lorenz es convexa ya que su derivada segunda siempre es positiva:

(4)

Ejemplo 1

En esta seccin calculamos la curva de Lorenz y el ndice de Gini para una distribucin de renta exponencial. Aunque sta no parece una distribucin

8

adecuada para la renta nacional de ningn pas, la sencillez de las expresiones obtenidas permite entender de modo sencillo la aplicacin de las ecuaciones (1) a (4). Para un pas con una renta nacional media con una distribucin exponencial la densidad de probabilidad de la distribucin ser:

Esta expresin permite calcular la proporcin de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas fcilmente:

Despejando de la primera ecuacin y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz explcitamente:

El ndice de Gini se puede calcular simplemente como:

Este es el valor exacto. Cuando para calcular este valor en lugar de una distribucin continua se usa un clculo aproximado por decilas en cambio resulta slo .

9

Ejemplo 2

ndice de Gini para diferentes curvas de Lorenz asociadas a distribuciones

gamma . El valor de n corresponde a cada distribucin, mientras que el

factor est relacionado con la renta media y no influye en el ndice de

Gini.

Una aproximacin ms verosimil para la renta nacional es usar en lugar de una simple distribucin exponencial, una distribucin gamma:

Donde el parmetro est relacionado con la renta media mediante . Despus de una cierta cantidad de lgebra trivial pero engorrosa

puede encontrarse que la proporcin de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas vienen dadas por:

Donde:

10

En este caso no es posible despejar explcitamente de la primera ecuacin. Aunque puede calcularse el ndice de Gini mediante la expresin (para entero):

En este caso el coeficiente de Gini tampoco depende de la renta media. Dado que el ndice de Gini de la mayor parte de pases est entre 0,50 y 0,25 la distribucin gamma anterior puede usarse de manera aproximada para reproducir la distribucin real de la renta.

Max O. Lorenz

Max Otto Lorenz ( 19 de septiembre de 1876 en Burlington (Iowa) - 1 de julio de 1959 en Sunnyvale, CA) fue un economista estadounidense que desarroll el concepto conocido como curva de Lorenz en 1905, para describir las desigualdades en las rentas. Public este concepto mientras era doctorando en la Universidad de Wisconsin-Madison. Su tesis doctoral, publicada en 1906, llamada 'Teora econmica de las tarifas ferroviarias', no haca referencia alguna al que es, quizs, su concepto ms famoso.

Su carrera fue muy prolfica, tanto en publicaciones como en carrera docente, siendo consultado y empleado en diversas ocasiones por la Oficina del Censo de los Estados Unidos (equivalente a los diversos INE de Espaa e Hispanoamrica) y otras instituciones estadounidenses de informacin estadstica.

Fue padre de tres hijos con su esposa Nellie: Fred, Roger, and Julian Lorenz.

El trmino curva de Lorenz parece haber sido usado por primera vez en 1912 en el libro de texto The Elements of Statistical Method.