Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1

8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1

http://slidepdf.com/reader/full/coffa-j-alberto-la-tradicion-semantica-de-kant-a-carnap-vol-1 1/328

/

C

e



_

-

~ 0

i _



36

siqnos

i liotec de

L

T

R D IC IÓN SE fv Á ~ IT I C

v o l .

L a tra d ic ió n s emá n tíca

de Kan t a C arn ap

J ALBERTO COFFA

OllS~OEditor ial

ib li o t e ca d e S ig i lO S

Milagros Alfonso / Gustavo L eyva

Aralia L ópez / L uz Maria Uhthoff

Silvio Pinto/Luis Felipe Segura/ Alejandro Tortolero

e fe

d e l D epa r t am en to

Dr Luis Felipe Segura Martinez

Secre tar io

Mtro Javier Melgoza Valclivia

U N I V E R S I D A D

l ~ ~

U T 6 N O I M

M E T R O P O l I T A N A l

U i j > l I z I p a~ pa C a sa a b i e r t a al l i e l 1 1 j : I J

D h i l l o o de C l e rd a s S O O aJ e ¡

H u m a n i d ad e s

D e p a n a m e n lo d a I l l o s o fi a

Rector

Dr José Lema Labaclie

I

i

I

I

I

I

I

1

1

c

S e c r e ta r i o G ene ra l

Dr Ricardo SolísRosales

R ecto r

G ene ra l

Dr Luis Míer

Terán Casanueva

l

. : j

U \

n l ve r s ld a d u t ó n am a etropol i tana



D

/

PRINfED IN MEX O

MPRESOEN MÉ \:ICO

4

n t r a ta do ló g ic o f i l o s ó f ic o

L a ló g i c a e n t r a n s i c i ó n

ISBN de la obra completa; 970·31·0175·X

ISBN volumen 1: 970·31·0176·9

Derechos reservadosconforme al aley

7

95

ISBNvolumen2: 970·31·0394 4

S o b re la d e n ota c ió n

Unidad Iztapalapa

S ig n i f i c a d o

o n t o l o g í a

UniversidadAntónoma Metropolitana

©2005

a s e m á nt ic a d e F re ge lo a p r r e n a r i tm é t i c a

Primera edición en español marzo de 2 5

e o m e t r í a in tu ic ió n p u ra e l a

p r r

«:11991

Primera ediciónen inglésCambridge UniversityPress

47

o l z a n o

e l n a c im ie nt o d e la s e m án t i c a

K a n t e l a n á l i s is y la i n tu ic ió n p u ra

2

Teresa Santiago

JuanAntonio Sánchez

Lu is Felipe Segura

L A T R AD IC iÓ N S E M ÁN T IC A

Dionisio Piña

3

n t r o d u c c i ó n

JorgeIssa G

Cuauhtemoc Lara

7

P r e f a c io a la e d ic ió n e n e s p a ñ o l

P r e fa c io d e l e d i to r

A g r a d e c i m i e n t o s

CON T E N I DO

vol

45

Traducción de:

Max Fernández de Castro



T r ad ic iá n S e m án ti ca D e K a n t a a r na p

es ellibro póstumo

de Alberto Coffa La traducción que aquí presentamos

consti tuye un humilde homenaje a su autor poi parte de nuestra

institución y de quienes participamos en la traducción Sibien Coffa

dejó prácticamente concluido libro éste es impreciso en cuanto

a citas y bibliografía además de adolecer de ciertas fallas estilisticas

que su autor no tuvo ya tiempo de corregir A pesar de ello cual-

quier lector atento podrá comprobar laviva

y

profunda visión que

Coffa tenia de una tradición depensamiento en filosofía que suele

presentarse ante nosotros de manera fragmentaria

y

en la que lo

histórico es con frecuencia desatendido Hemos decidido conser-

var en general las características del texto original en lo que se

refiere al modo de citar versión citada etcétera

f mUIlQmmmUlImllum=mUlumm::nmumllllurmumnmm::unlmuuumuumq¡:-: umrm: m . ¡:m;r. mmmUU ~m~ mn U UU mWU mU • ¡m m: u11 ;

PREF IO A LA EDI ION EN ESP NOL

j ¡~



\

)

¡

I

)

)

)

)

n la,ví.sperade la n,~vidad~e 1984~lberto Cof~adeclaró que un_buen

penúltimo borrador de sulibro,podríaestarterminadopara

fin

deano.Un

díadespués de navidadcayóenfermo y enlas primerashoras de lamañanade 30

de diciembre,murió. Latrascripciónque había.dejado,estaba,de hecho casicom

pleta:La trascripciónhabíasido terminada;los argumentos

y

tesisestaban puestos

en sulugar;todo, con excepcióndela introducción y elúltimocapítulo,se encon

traba completamente escrito y lasextensasnotasde éstos habían sido bosqueja

das.Algunaspartes de la trascripciónhabían sido yacuidadosamente armadas, y

gran parte de la forma deseada del resto, estaba clara.En muchos lugares, de

principio a

fin,

se muestra e ingenio seco deAlberto -uno puede casiverdetrás

de la prosa su sonrisa retorcida,su frentesobreel puño, elbreveparpadeo de sus

ojos.Conla ayudade muchaspersonas,la trascripciónfuerevisadapara su publi

cación.Usandolas notas queAlberto dejó, completé laintroducción ye capítulo

final.Repeticiones,digresionesy errores menores han sido eliminados,los argu

mentos se delinearon con mayorclaridad,se corrigió lagramáticay se suavizó el

estilo-. Espero no haber alterado eltexto niun ápice.El resultadono eslo que él

hubierahecho,sinotal vez,algoque hubiera encontradoaceptable.Él se hubiera

interesado en escribiruna conclusión,discutiralgunasde lasimplicacionesde sus

estudiosparala filosofíacontemporánea.Yo,nohe intentadoescribirtalconclusión.

Alberto empezó a escribireste libro en la primavera y elverano de 1981

mientras eramiembro delCentro de Filosofíadela Cienciaen laUniversidad de

Pittsburg. Estaba especialmenteagradecido con

l

Centro por el tiempo que le

dieron parainiciaresteproyecto,y con suscolegasdelDepartamento de Historia

y Filosofíadela Cienciade l Universidadde Indiana,por el tiempoyelagradabley

solidarioambienteque le permitió continuarcon su trabajo.Durante la escritura

de este libro, tuvo enriquecedorasdiscusiones con variaspersonas; muchas de

ellasle proporcionaron información sobre valiosas fuentes y materiales,le pro

porcionaron también apoyointelectualyespiritual.No puedo haceruna listacom

pletade toda la gente que a élle hubiera gustado agradecer,pero ciertamenteen

¡ ~~.~~= = = = = = .,===~= ===~~ == === == =,,,~~,,,=,,,,,=,,==,,,,,,,_~~,,,m== .

¡PREF IO DE L ED ITOR



L

as referencias de material no publicado fueron tomadas de cuatro fuentes:

los Archivos de Filosofía de la Ciencia en el S iglo Veinte, las bibliotecas de la

Universidad de Pittsburg, los Archivos de Bertrand Russell, Universidad MacMaster;

l

Arch ivo Cír culo de Viena, Universidad de Ámsterdam; microfilme de los

Wittgenstein Papper, distribuido por la biblioteca de la Universidad Cornell, Mi

agradecimiento especial alcurador Gemid Heverly y a S tephen Wagner, ayudante

de investigación de los Archivos de Filosofía de laC iencia, biblioteca de laUniver-

sidad de Pittsburg, y a

]

Kox, secretaria ejecutiva de la Fundación Círculo de

Viena, Universidad deÁmsterdam, por su ayuda en lalocalización de los artículos

en los Archivos de FilosofIa de l Ciencia y en l Archivo del Círculo de Viena,

respectivamente, y por cotejar la precisión de las referencias enlos archivos; gra-

cias t ambién a Nicholas Griffin por averiguar detalles para mi en los Archivos

Bertrand Russell.

Algunos pasajes de los artículos delos Archivos de Filosofía de la Ciencia en

el Siglo Veinte de R~dolf Carnap, F rank P .Ramsey y Hans Reichenbach, son

citados con elpermiso de la Universidad de Pittsburg. La cita de la carta de Kurt

Gi:idel es incluida con

l

permiso del I nst ituto de Estudios Avanzados, Princeton,

N ] Las citas de las cartas de Moritz Schlick son incluidas con el permiso de la

Fundación Círculo de Viena:

Las citas de los art ículos de los Archivos de Bertrand Russell son incluidos

con la autorización del Comité de Permisos de Derechos de Au tor de los Archi-

vos de Bertrand Russell .

Los pasajes de los artículos en

el

Archivo del Círculo de Viena que son

autoría de Moritz Schlick son citados con el permiso de la Fundación Círculo de

Viena. La c it a de la carta no publicada de Rudolf Carnap es incluida con el gentil

permiso de la señora Harma Carnap Thost, La cita de la carta de Albert Einstein

esincluida con el permiso de l Universidad Heb rea de Jérusalén. Los pasajes de

la carta de Hans Reicheubach son citados con el permiso de Maria Reichenbach.

Las citas de los trabajo s póstumos o no publi cados de Wittgenstein fue

gracias al amable permiso de G i\lAnscombe y G.H. van Wright.

I ==~ .= = W==. = = _ __ ~ = = ==

= =~= ~ =

GR DECIMIENTOS

esa lis ta estarían aquellos con los que conversaba larga y regularmente sobre los

temas de fi losofía que son centrales en este l ibro: Tomas M. Sirnpson, Eduardo

García Belsunce, Héctor Castañeda, Simon Blackburn, y los estudiantes de Alber-

to Franck Peccioni y Tom Oberdarn, No hay duda que éltambién hubiera querido

dar un reconocido agradecimiento al invaluable y constante es timulo y apoyo de

Adolf Grünbaurn, su maestro yamigo. Hay muchos otros cuya ayuda e influencia

debería ser agradecida, me disculpo por no incluir sus nombres y les agradezco la

ayuda que le prest aron a Alberto.

Mis agradecimientos persona les van primero para Gordon Steinhoff, quien

asumió laheroica tarea de averiguar las fuentes de las referencias en eltexto escri-

to a máquina, cotejando las mismas y

l

precisión de su traducción, completando

las citas y referencias y compilando la bibliografIa. También agradezco muy en.

especial la asistencia de Michacl Friedrnan, quien

l y ó

en dos diferentes etapas de

mi trabajo la trascripción y me hizo numerosas e importantes sugerencias para

corregirla y editarla. Agradezco, además a Nicholas Griff in ya un árbitro anónimo

sus sugerencias editoriales. A Eduardo García Belsunce y Tom Oberdarn e lauxi-

l io.con suexperiencia cuando fuenecesario. Finalmente, agradezco aJohn Winnie

por sus comentarios

y

ayuda en la t rascripción y p or la motivación y

l

apoyo que

me animaron durante el largo proceso deque llevó a esta publicación.



)

)

)

)

)

)

)

)

\

)

1

13

Traducción d e LuisFelipeSegura(UAM-I).

E

tema principal de esta obra

constituye una década en la

vida filosófica de lo que, en un sentido amplio, podría l la

marse iena Entre 1925 y 1935, -en los alrededores de Viena, el

paso tradicionalmente cansino del espíritu experimentó de pronto

una aceleración cuando algunas de las voces más ilustradas de la

época empezaron a hablar entre

si

Probablemente Wittgenstein,

Tarski, Carnap, Schlick, Popper o Reichenbach no eran más sabios

que algunos de sus contemporáneos, pero las circunstancias hicie

ron factible una interacción entre ellos a lo largo deuna década y el

resultado de ese diálogo merece nuestra atención.

Cuando empecé a escribir este l ibro me propuse explicar en

el Prefacio que el tema del mismo era~a historia de la epistemo

logía desde Kant, tal y como Carnap la hubiera escrito de haber

sido Hegel: Con el tiempo he llegado a pensar que aunque quizá el

Espíritu no sea malicioso, con seguridad síes olvidadizo. En Viena

pudo dar pasos decisivos en lo que se refiere al problema de

prior i

pero tal movimiento no sólo fue hacia adelante, sino tam

bién hacia los lados e inclusive en regresión acerca de ciertos asuntos

cruciales, La mayor parte de sus actitudes erróneas podría haber

sido evitada si hubiera tenido presentes algunos de los logros del

siglo

XIX.

Pero esto tal vez podría perdonársele tomando en cuen

ta que, en realidad, las mejores de sus intuiciones se debieron a la

menos notable de sus voces.

Tres corrientes principales de pensamiento pueden distinguirse

dentro del ámbito de laepistemología durante elsigloXIX, el Posi-

F..::I:t===-~~=--====-~=:t: ~==IU,....:-=,=,.,,,n.. == =-=:: ::== =ll ::===:= ::===

INTRODU ION



1

intuición pura corno un obstáculo para el desarrollo de la ciencia.

En el primer volumen de esta obra sedescriben las etapas a través

de las cuales se fue reconociendo que la intuición pura debía ser

excluida de las ciencias a pr i or i y,en consecuencia, que la explica

ción kantiana de las matemáticas y lageometría debía ser reempla

zada por alguna otra.

Nuestra historia comienza con las ideas de Kant acerca del

análisis y algunas de sus razones para concluir que es necesario

apelar a la intuición pura en relación con el

apr i or i

(capitulo 1).

Pasamos luego al examen de los episodios más sobresalientes

que socavaron talconvicción. El proyecto reduccionista de Bolzano

(capítulo 2), complementado por los proyectos logicistas de Frege

y Rus sell (capítulos 4

y

6)pusieron en tela de juicio las concepcio

nes kantianas en elcampo de la aritmética. A Helmholtz (capítulo

3), Poincaré

y

Hilbert (capítulo 8) se deben las contribuciones de

cisivas que hicieron posibles desarrollos análogos en el campo de

la geometría. A finales del siglo

XIX

resultaba ya evidente qu.e el

conocimiento

a p r i or i

no podía ser lo que Kant había creído. A

principios del xx, las teorías especial

y

general de la relatividad

plan~earon lo que parecía ser una desafío adicional a la concepción

kantiana, esta

z

desde elcampo de la física (capítulo 10).

l

Los semánticos no estaban interesados primordialmente en

mostrar que Kant no había resuelto elproblema, sino en resolver-

L

ellos mismos. La suposición básica

y

común a todos los repre

sentantes de este movimiento era que la epistemología se encon

traba enun estado donde imperaba eldesorden y que éste sedebía

ante todo a una incuria semántica. Suprim era f i loJo f ia no era la me

tafisica sino la semántica. En particular, creían que la clave del

priori reside en un reconocimiento de la naturaleza

y

lafunción de

los conceptos, las proposiciones

y

los sentidos. Aunque, en reali

dad, de sus escritos no se desprende ninguna doctrina defendible

acerca del

aPr i or i

(capítulo 7), una labor paciente de precisión de

ideas semánticas llevada a cabo en los escritos de Bolzano, Frege,

F:Iusserl,Russell

y

elprimer Wittgenstein (capitulas 2, 4, 5, 6 Y8)

sienta las bases para una teoría alrespecto. Este es eltrasfondo de

la formulación, a principios de la década de 1930, de la primera

15

NTRODUCCiÓN

.

}:

t ivismo, el Kantismo y lo que aquí propongo llamar la Tradición \

Semántica. Lo que distingue a los adeptos de estas corrientes es la

actitud que cada una de ellas t iene hacia el

priori

Los positivistas

niegan su existencia, mientras que los kanti añosIo explican en tér

minos del giro copernicano. A su vez, quienes forman parte de la

tradición semántica creen en el

a

priori pero no en elpoder consti

tutivo de lamente. Sospechan, igualmente, que elorigen de toda la

confusión idealista reside en una serie de equívocos relativos a pro

blemas de significado m e a n i n g ] Los semánticos resultan fácilmente

identificables: dedican una buena parte desu atención alos concep

tos, las proposiciones, los sentidos de las palabras -al contenido y a

la estructura de lo que decimos, en oposición a los representantes

de las otras orientaciones, que no ven las razones para invertir tan

to tiempo en trivialidades semánticas.

Sería difícil encontrar un problema epistemológico de mayor

importancia que el del carácter del conocimiento

a

priori Una de

las ideas básicas detrás de, prácticamente, toda epistemología, des

de Platón, esla de que existen dos tipos radicalmente diferentes de

pretensiones epistemológicas: la concerniente a lo a p r i o r i y las de

más. En la filosofía prekantiana, muchos habían dado tácitamente

por supuesto que lanoción de analiticidad era la clave para la de lo

priori

Kant vio que era necesario dar una explicación diferente,

puesto que no todo juicio prior i es analítico, por lo que presentó

una nueva teoría basada en una de las ideas filosóficas más nota

bles que jamás se hayan producido: el giro copernicano. Además

de esto, Kant colocó en elcentro de su explicación sobre el

apr i or i

científico laidea de una intuición pura. Los positivistas no podían

aceptar las consecuencias de tal concepción y no hallaron otra for

ma de resolver eldilema que negando laexistencia del

priori

aun

en elcaso de la lógica.

Al debatirse entre la Escila de afirmar que 2 2

4 es una

verdad empírica y el Caribdis de explicarla en términos de opera

ciones de laintuición pura, los semánticos optaron por un viraje y

trataron de encontrar una mejor ruta. Que hay un conocimiento

priori - inclusive uno de tipo sintét ico estaba fuera de toda duda.

Pero la mayoría de los semánticos consideraban el recurso a la

INTRODUCCiÓN

4



}

,-

>

-

\

i

7

;

comienza a tener la apariencia de un dominio fáctico insensible a la

investigación científica. Quienes asociaban su nombre almovimien

to vienés eran, ante todo, empiristas y compartían elhorror tradi

cional de éstos al significado. Desprovistos del significado encon

traron difícil evitar elidealismo capítulos 9 y 10). Carnap estuvo

más cerca que cualquier otro de hacer inteligible el r ealismo, pero

su aversión a todo lo que tuviera que ver con lametafísica leimpi

dió llevar a buen término la incorporación del significado al

empirismo capítulos 12 y 17). Al final, el positivismo lógico se

quedó sin significado. La consecuencia natural fue el debate, aprin

cipios de la década de 1930, acerca de los fundamentos del cono

cimiento , que, enrealidad, no era en absoluto un debate acerca de

los fundamentos, sino acerca del vínculo entre lo que sabemos y el

mundo capítulo 19).

Nuestro panorama de los desarrollos vieneses en el segundo

volumen del libro parecería desequilibrado si no tenemos presente

tanto lasverdades como las falsedades que sus protagonistas apren

dieron de las tres grandes tradiciones decimonónicas y que, en su

conjunto, dieron forma a sus perspectivas. Para ser justo, este estu

dio tendría que haber incluido, además de laParte I, otras dos sec

ciones introductorias, una dedicada al kantismo y otra alpositivis

mo. La finitud de mi vida, mi mente y la paciencia de mis lectores

fueron factores a considerar. Pero estaba también el hecho de que

el kantismo y el positivismo del siglo XIX son mucho más cono

cidos que su menos célebre rival. y por último, -¿por qué no

adrnitirlo?- elnivel de comprensión profunda de la confusión es

mucho, mucho mayor entre los semánticos que entre sus más re

putados y más respetados colegas de las otras corrientes.

INTRODUCCiÓN

~

I

~

:

1

:

.:.,.

:

: .

,

~I

r

I

I

alternativa real a la concepción kantiana del riori capitulo s 13,

14, 15 Y17). Su idea de que el significado es el responsable del

priori constituye la contribución más importante de ese periodo a

la filosofía.

El positivismo lógico comenzó como una rama del neokan

tismo que se distinguía de otras derivaciones de éste por tomar a la

ciencia como modelo epistemológico capitulo s 9, 10 Y 11). Du

rante la década de 1920, los primeros miembros y asociados de ese

grupo fueron alejándose poco a poco de sus orígenes kantianos.

Schlick y Reichenbach en elcurso de sus esfuerzos por interpretar

las lecciones de la reciente teoría de la relatividad capitulo 10);

Carnap buscando desarrollar sus ideas epistemológicas como una

teoría de la constitución en general capitulo s 11y 12).Como resul

tado de la alta estima que se profesa a la ciencia en esta corriente

surge, como segunda gran contribución del grupo de Viena, un

enfoque trascendental a la epistemología, una nueva fi losofí de

cienci

capitulas 10,17 Y18).

El giro copernicano que había inspirado el análisis kantiano

del priori había conducido también a una teoría de la experiencia

ya una comprensión de los lazos que existen entre elconocimien

to y la realidad que desemboca demanera natural en elidealismo. En ,.

el siglo XIX eran muchos los que querían evitar elidealismo, pero •

pocos los que sabían cómo hacerlo, excepto rehusándose a reflexio

nar sobre las consecuencias de sus convicciones. Los semánticos ~

sospechaban que si concedían las suposiciones tácitas de Kant

respecto de la semántica, ciertas ideas kantianas a propósito del

papel de la [del proceso de] constitución en elconocimiento sólo

podían interpretarse como algo que conduce al idealismo. Creían,

de nueva cuenta, que la clavede una actitud razonable se encontra- .

ba en una semántica no ambigua.

Aunque tradicionalmente los empiristas han coqueteado con

el significado, a final de cuentas han conservado también su hosti

lidad hacia el mismo. Cuando el significado se convierte en algo

más que un tema alque se alude oblicuamente, cuando se convier

te en un sujeto explicito de investigación, parece presentarse, de

igualmodo, como una alternativa a lasconsideraciones empiricistas;

INTRODUCCiÓN

6



L T R D IC iÓ N S E M ÁN T IC

V O L

.

.~

:

:.



)

)

)

)

.

)

)

)

)

.)

•Traducción deJorge Issa G. UAM-I .

B

ara bien y para mal, casi todos los desarrollos filosóficos

de importancia apartir de 1800han sido respuestas a Kant.

Esto es especialmente cierto en el tema del conocimiento

apr i o r i

El problema central de la

Cri tica

había sido lo

a prior i

y Kant lo

había tratado desde las perspectivas complementarias del juicio y

la experiencia. Su r e v o lu c i ón c op e rn ic ana le dio una teoría de la expe

riencia y una visión no platónica de lo

aprior i

Mas cuando estaba

adelantada laredacción de la

Cri tica

Kant descubrió lanoción del

juicio sintético

priori

yvio en éluna forma particularmente atrac

tiva de formular su proyecto como consistiendo en explicar cómo

son posibles los juicios de esa clase.

La dimensión constitutiva de las teorías kantianas de la expe

riencia y de lo

Prior i tendrá un lugar prominente en desarrollos

posteriores. Como veremos, uno de los puntos de inflexión en

nuestro relato involucrará un giro coperríicano, si bien en relación

con un tema dist into del que ocupó a Kant. Más aún, las primeras

etapas del positivismo lógico sepodrían ver como un desarrollo de

este aspecto de laidea original de Kant llevado hasta elagotamien

to. En este capítulo, no obstante, nos concentraremos exclusiva-

Fue fatal que Kant [...] creyera haber despachado la esfera lógica pura

en el sentido más estricto con la observación de que está sometida al

principio de contradicción. No sólo no vio nunca cuán poco poseen las

leyes lógicas el carácter de proposiciones analltlcas. en el sentido por

él mismo definido sino que tampoco vio cuán escasa ganancia se

obtiene de esclarecer la función del pensamiento analftico señalando un

principio evidente de las proposiciones anallticas.

HUSSERL

INVeSTIGACIONESLÓGICAS VOL.

2 PARTE 2

1

F====~~== ~---

=. -= . ==---._., ====~

/ / > 1 <

KANT EL ANALISIS LA INTUICION PURA

.

~

r.

·

i



Kant estaba muy orgulloso de su distinción entre juicios analíticos

y sintéticos: Reconocía que los filósofos que lo .antecedieron ha

bían comprendido la importancia de la separación entre los juicios

a p r io r i

y

a pos t e ri or i.

Pero cuando Eberhard cuestionó su originali

dad respecto a la analiticidad, Kant replicó, en un gesto de ironía,

que, todo lo nuevo en ciencia; a la larga se [ descubre que ya se

sabía desde siempre ] (Allison, Tb e Kan t -Eb e rh a r d Controversy , p.

154). De haber leído a Borges, lo habría parafraseado: Las gran

des ideas crean sus ancestros (véase Borges, N a t b ani e l H aw t bo r ne :

Obras complétas , p 678).

En realidad.ipocos motivos tenía Kant pata sentirse orgullo

e

so. Su tratamiento de la distinción analítico-sintético es original en

algunos-aspectos, como veremos; pero, a

fin

de cuentas, es una de

las partes menos distinguidasde su filosofía, En ella convergen

algunas confusiones de-larga data y surgen otras que son originales

suyas, encontrándose éstas últimas destinadas a ejercer una influen

cia amplia:y perjudicial en-todo el siglo XIX.

\ La visión del significado que dominó desde elsurgimiento del

r cion lismo

y el empirismo -consideraba que los significados se

encontraban asociados de manera inextricable con la experiencia.

No está mal pensar que, para conocer el significado del dolor, el

amor, la rivalidad; elheroísmo, etcétera, se deban tener ciertas ex

periencias y que, mientras más cuidadosamente uno analice tales

experiencias, mejor comprenderá el dolor, el amor, entre otras. A

partir-de alli no hay que dar más que un pequeño paso para con

luir

que el significado de dolor , amor , etcétera, está constituido

~

~:

nális is conceptu l

nen un ancestro más honorable dentro del campo de lalógica tra

dicional en la categoría de los conceptos o, más en general , de las

representaciones. Para averiguar qué pensaba sobre los significa-

dos un filósofo pos cartesiano, debemos echar un vistazo a los l i

bros de lógica que escribió-o citó, yaque esalli donde se tratan las

nociones de concepto y juicio. Los significados son aquello en lo

que los conceptos se convierten cuando se casan con la palabra.

ANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓNPURA

·1 · . . · . · · · .

:

~

i ~

: ;;

~

.

_

mente en elaspecto más superficial del tratamiento que Kant da a

lo apr ior i , incluyendo los juicios sintéticos apr iori Porque, en efecto,

la poca profundidad con que Kant trató este tema fue lo que lo

condujo a las doctrinas que, a su vez, dieron lugar a la tradición

semántica.

Uno delos puntos centrales en que están de acuerdo los miem

bros de la tradición semántica es laidea de que la fuente principal

de error de la teoría kantiana del conocimiento (en especial de lo

priorz ) es su confusa doctrina del significado y que la clave para

elaborar una doctrina correcta de lo apr ior i reside en comprender

la semántica. Nuestro propósito en este primer capítulo consiste

en examinar los aspectos relevantes de la epistemología kantiana y

su trasfondo semántico. Nuestro primer problema será dejar al

descubierto los puntos de vista semánticos de Kant.

En cierto sentido, desde luego, no tenía ninguno: efectiva

mente, parte de la historia que nos proponemos contar es cómo

nació lasemántica. En otro sentido, sílos tenía, por supuesto, pues

no le quedaba más remedio que tener opiniones, así fueran tácitas

y no bien reconocidas, acerca de lo que implica transmitir informa

ción, cuándo podemos hacerlo en forma exitosa y cuándo nos ve

mos empujados al fracaso. Los filósofos han considerado frecuen

temente que estos temas no merecen mucha atención. La tradición

analítica que se extiende de Bolzano a Carnap coloca al significa

do en elcorazón dela filosofía; o,más bien, descubre que ha estado

,all i todo el tiempo, sin ser reconocido, y que elhecho de no haber

pensado con más seriedad en éleslaraíz dela redt lc t ioad absurda»: del

racionalismo que se halla presente en la filosofia de Kant y en su

descendencia idealista. La pregunta es:¿dónde hay que buscar l,ase

mántica tácita de quienes no abordaron eltema en forma explícita?

En uno delos muchos aforismos que Quine dedicó a latradi

ción semántica, observaba que los significados son aquello en lo

que las esencias se convierten (...] cuando se casan con lapalabra .

Si esto fuera cierto, aquellos que quisieran saber qué pensó Kant

acerca de los signif icados tendrían que consultar lo que escribió

sobre las esencias. (Como no escribió casi nada en torno a ese

tema, aquí terminaría lapesquisa.) En realidad, los significados tie-

KANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓN PURA



I

· · · · · · ·

~,

~

.

.• .

,

· ¡¡

t · ·

en algunos puntos importantes. Por ejemplo, enla época de su Disser tat ion de 1770

había trazado una claradistinción entre dos facultades de representación (lasensibi

lidad y el entendimiento) y pronto har ía una separación igualmente nítida de las

representaciones que tales facultades generan. Más aún, asumiría, por razones jamás

reveladas, que las representaciones singulares (entre los seres humanos) son privile

g io de la sensibi lidad, en tanto que las generales surgen únicamente del entendi

miento. Wolff había.dicho que las representaciones eran ya sea de cosas singulares

o individuales, o bien de universales (Ligie , plxxi);ydado queél,aligual que Lambert

y Meier, identificaba representación con concepto, admitía por consiguiente con

ceptos individuales. (Sobre la identificación de representación con concepto, véase

G.

F

Meier, Al/S{ g a u s d e r Ver/IT lI1ft lehre,sec 249; C. Wolff, Ver1 l1111 f ti geedanken VO l /

d enKr i j i en de s t n e tl s ch l iche1 /Ve rs t andes, sec,4;]. R. Lambert,Nmes Urgano1 l ,sec,6 .) Kant

rechazó enfáticamente t l identificación: Un concepto singula rno esunconcepto en

absoluto ( Conceptus singularis ist gar kein Conceptus , Pbi tosopbisd» Et li }lklop iidi e ,

p. 18). Una vez que confinó toda representación individual aldominio de la sensibi

l idad y toda represen~ción general al del entendimiento, l lamó intuiciones a las

primeras y reservó 1 \ palabro concepto paralas últimas. De esta guisa,Kant conclu

yó que la idea de un concepto indiv idua l esuna

amt r ad ia io in

arfiecli.L.W Beck ha

sostenido que laintroducción de las.dos clases de representaciones y de las capaci

dades representacionales correspondientes eselrasgo más prominente y original de

laestrategia que llevó a Kant a formular su filosofía crítica (Beck, Kant s Strategy ).

,t

.

j

Uno de los muchos modos en que los filósofos han tratado de

entender el significado se podría llamar teoría química de la repre

sentación , para emplear una analogía que a veces se encuentra en

los escritos de Locke, Lambert y aun deKant. De acuerdo con esta

teoría, las representaciones, al igual que los compuestos químicos,

habitualmente son complejos de elementos o constituyentes que,

a su vez, pueden ser complejos. Por lo general, cuando se nos da

una representación, no somos conscientes de ello. El análisis es el

proceso a través del cual identificamos los constituyentes de una

representación compleja. Es un proceso que debe concluir, (aca

so) después de una cantidad finita de etapas, con la identificación

de los constituyentes simples. Más a ú n , lamejor manera de saber

qué es una representación consiste en identificar sus constituyen

tes (de preferencia sus constituyentes simples últimos) y el modo

I

KANT, .EL ANÁLlS S

y

LA INTUICiÓN PURA

IVéase

C.

Knüfer,

G17/11d:(jige er G e s ch i c hl e d e s B e g r i ff i ' V o rs l el l ll n g' V 0 1 l

Wo f f

bis

Ko1 l i

Lavisión deKant acerca delarepresentación difiere delasde sus predecesores

precisamente por aquellos fenómenos psíquicos que son objeto de

nuestro análisis. Sepodría pensar que lo mismo vale para todas las

expresiones: tendrán algún significado sólo eh la medida -y justo

en el grado- e h que s e relacionen con procesos mentales huma

nos. Sepodría pensar, por ejemplo, que las expresiones numéricas

derivan su significado de los procesos mentales en que se ven

, involucradas: los números naturales, al intervenir en procesos de

conteo; los objetos geométricos, en actos de medición; etcétera.

Desde esta perspectiva, lanoción semántica básica es la de

re ~

pre sen ta c ione s[Vors t e l lU1~C11]

onstruidas como modificaciones de la

mente que pertenecen al sentido interno (Kant,

Crit ica ,

A 98-

99), como estados mentales destina:dos a representar algo. Una

larga tradición canonizada en la L o giq ue d e P o n R o ya l ha declarado

que las ideas o representaciones constituyen el tema más impor

tante de

la

lógica yaque sólo a través de lamediación de las ideas

que hay en nosotros podemos tener conocimiento de lo que se

halla afuera de nosotros (Arnauld y Nicole,

/ogique

O IJ

l 'a rt d e

pmse r ,

p. 63). En palabras de Leibniz, elalma humana percibe lo

que pasa al margen de ella gracias a lo que pasa dentro de ella

(Clarke,

T be Leibniz -Clarke Correspondence,

p.

83 ;

de hecho, la natu

raleza de lamónada es represen tar (Leibniz, The Moríadology

[1714 ] Ph i lo soph i ca lPape rs an d Let ters ,

pp. 648-649).

La palabra

' Vo rs t e l lU1~ '

seconvirt ió por vez primera en un tér

mino técnico en la filosofía de Wo1f; correspondía aproximada

mente a lo que antes se l lamaba idea y se buscaba que abarcara

procesos tanto intelectuales como psíquicos. Según Meier, autor

del texto delógica que Kant siguió en muchos de sus cursos sobre

el tema, las representaciones eran dibujos o imágenes

(Gema lde .,

ode rJ3 i ld e r )

de las cosas que nos representamos

(11I iru s vor.rte / len)

(Meier, AtlsZt lg us d e r V e r n u ni tl e b re , seco 24). En su acepción ¡J

prekantiana, en \ \101f,Lambert y Meier, por ejemplo, representa

ción y concepto e g r i J I J funcionaban como sinónimos. El Kant

precrítico respetó este uso en gran medida.

KANT, EL ANÁLISIS Y L A INTUICiÓN PURA

4



.. _. -- . ._-----~ ---- -----_ ._._

_ _

2 Otros pasajes que vale lapena revisar seencuentran en Kant, L o g i k B J o l lJ b e r g,

p..41; Log ik

Philippi,

p. 410; Y VorJes l/ ¡gell

i ibe r

d ieMe tap f? ys i k , pp. 135-137. En esta

última, por ejemplo, encontramos lo siguiente: Si Dios alumbrara directamente

nuestra alma de modo (luepudiéramos cobrarconciencia detodas nuestras repre

sentaciones, entonces veríamos clara distintamente todoslos cuel posdel mun

do tal cua l s i los tuviéramos justo ante nuestros ojos

p.

136).

Cuando logro que un concepto sehaga dist into, elmero análisis

no incrementa en lo más mínimo el contenido de

cognición

Cuando separamos al concepto de virtud en sus constituyentes,

hacemos que se torne dis tinto a través del análisis. Al volverlo

dis tinto de esta manera, sin embargo, no añadimos nada alcon

cepto: sencillamente lo clarificamos. Logik p. 35)

ya que no vemos un conglomerado discontinuo de estrellas, sino,

antes bien, un haz continúo deluz. Cuando lamiramos a través del

telescopio, empero, nuestra representación es (más) distinta

(Log ik ,

p. 35; también

L o g ik P b li tz ,

p. 511). Haciéndose eco de uno de los

ejemplos que da Leibniz en sus

Nosueaex essais

(lb.2, cap. 2, seco1

y lb. 4, cap. 6, seco7), Kant ilustró la naturaleza de una representa

ción clara pero no distinta: :Azuly amarillo hacen verde, pero no

siempre nos percatamos de lapresencia de estas partes del verde

(Wienc rLog ik , p . 841).2

M u t a t ís m u ta n d i s , se supone que ocurre otro tanto con las re

presentaciones conceptuales. Podriamos, por ejemplo, contar con

un concepto claro de lavirtud y, asimismo, reconocer algunos de

los rasgos que la constituyen sin tener total claridad acerca de cuá

les son todos o siquiera lamayor parte de ellos.El proceso a través

del cual logramos distinción en esta materia es justamente lo que

Kant llamó análisis: Analizar un concepto [es]volverse conscien

tede lamultiplicidad que siempre pienso en él (Crí t im, B 11/ A7).

Es un elemento esencial de la doctrina kantiana del análisis el

señalamiento de que nuestra intelección del concepto analizado

cambia (en realidad mejora) durante el proceso, mientras que el

concepto no:

27

NT EL NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR

en que se unieron o combinaron para formar larepresentación en

cuestión. Conocer un concepto plenamente, por ejemplo, es defi

nirlo; y la definición

(Erk laerun,i)

no esmás nimenos que elanálisis

exhaustivo y completo. .

La doctr ina de las ideas elaborada por Descartes había pro

movido las nociones de claridad y distinción al estatus decelebri

dades filosóficas. Bajo la influencia del nuevo racionalismo, pron

to se l legó a considerar a estas dos nociones heterológicas como

las más altas virtudes en la ética de los conceptos y figuraron de

manera prominente en los capitulas de lamayoría delos textos de

lógica. En la tradición filosófica alemana tomaron una forma más

precisa.

Aun cuando las representaciones se hallan destinadas básica

mente a representar otras cosas, en ocasiones podemos dirigir ha

cia ellas la flecha de la referencia (Kant, Crítz i:a ,A 108). Cuando lo

hacemos, cuando cobramos conciencia de la representación, en

tonces, según Kant, es c la r a (k la r , e.i., Log ik , P: 33). La virtud más

importante de la

d i s t imión (De t t t l ie h k e i t )

depende por completo de

nuestra relación mental con lo que Kant llamó la multiplicidad

dada en la representación. Considérense, para empezar, las repre

sentaciones intuitivas. Sinos representamos intuitivamente una casa

a la distancia

ej

al verla), quizá no nos percatemos consciente

mente de las ventanas, las puertas y demás partes de ella .No obs

tante afirmaba Kant, es seguro que las vimos, de alguna manera,

puesto que sabemos que el objeto intuido es una casa ; por lo

tanto, necesariamente debemos tener una representación de las

dist intas partes de esta casa . En efecto, si no hubiésemos visto

sus partes, tampoco habríamos visto la casa. Sólo que no estamos

conscientes de esta presentación de la multiplicidad de sus partes

(Log ik ,

p. 34; también

L o g i k P i i li t iJ

pp. 510-511;

Rejle>. ÍoJ lenu r L o g ik ,

. refl. 1676, p. 78;

H)i' ienerLogik ,

p. 841; Borges, :Argumentum

Ornithologicum , en Ob r a s t 'Omp l e ta s ,p. 787). El venerable Wolf

había elogiado el gran uso de lentes de aumento para obtener

nociones distintas

(Log ie ,

pp. 27-28). Siguiendo esta indicación,

Kant notó que cuando nos fijamos en la Vía Láctea con el

ojo

desnudo tenemos una representación clara pero no distinta de ella,

K NT EL NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR

/

)



)

)

)

)

-)

J

l ~ \ ·

~r,

~

.)

¡

;

~

5Leibniz también habíaadvertidola existenciadeuna dificultaden estacues

tión: Al parecerno cabe en lascapacidadeshumanas analizarconceptos hasta e

punto de arribara conceptos primitivoso a otros queesténcompuestos de éstos.

Empero,elanálisisde lasverdadescaemásdentrodelospodereshumanos O p I I S C U e s

e t frag¡l /en ts inéd i tsde Le ib l /i i , p. 514).El problema de los indefinibles -tal como

Russelllo denominó- apareceráen formaprominente en capítulosposteriores.

de distinción Logik , pp. 34-35; Log ik Ph i li p pi , p. 342). La distinción

total, por consiguiente, se logra cuando se reduce un concepto

complejo a aquellos constituyentes suyos que no son distintos.Esta

peculiaridad quizá provenga de una mera excentricidad

terminológica. Resulta más difícil aún entender la insistencia de

Kant en que la claridad única virtud lógica de los conceptos sim

ples no es un tema para los lógicos,

ni

siquiera para los filósofos,

pues sólo le concierne alpsicólogo (véase,

e . i . , C r ít ic a ,

B

414

nota;

Al1 thropologie , p. 137; Ul1tersuchtmgiiber l1atür l iche¡¡Theologie , pp.

284,

286,290).5 No sería ésta laúltimavezqueun filósofo remitiera ala

psicología aquellas partes de la epistemología que amenacen con

hacer que se embarranque su filosofía.

Las citas anteriores proporcionan bastantes pruebas del com

promiso contraído por Kant con la doctrina química del concepto.

Pero dejan ver también otro aspecto importante de su concepción

del análisis,un aspecto que sus sucesores idealistas eliminaron y en

el que haría hincapié una tradición filosófica diferente durante el

sigloXIX.

A

menos que estemos dispuestos a considerar las expli

caciones kantianas del análisisconceptual como intentos comple

tamente fallidos de expresar su significado, no hay manera de

evitar la conclusión de que estaba adoptando tácitamente una dis-

,tinción entre los actos mentales en que se hallan involucrados los

conceptos ylos conceptos mismos. Sinuestra comprensión delcon

cepto de

virtud

puede ser mala en un momento y buena en otro,

estos dos diferentes actos o estados de intelección deben, de algu

na forma, tocar o involucrar almismo concepto. Por

tanto, en

algún sentido de haber, debe haber un concepto de virtud que sea

objeto de los episodios mentales

y

a la vez distinto de ellos. Tal

concepto no tiene que ser extrasubjetivo; pero almenos debe ser

9ANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓNPURA

~

3

Cuando se trata de conceptos no dados,es decir,construidos,

el

análisises

una trivialidad,puesen esecaso,para empezar,nosotroshemosdecididocuálesson

los constituyentesde concepto. Sinembargo,silos conceptos están da dos , lejosde

ser una trivialidad,e análisisconstituyela esenciamisma de la genuinaactividad

filosófica.

4 Véase, por ejemplo,Waismann, J17imerÚlgik, p. 841: Al [mal siempre se

llegaa la parte conceptos, que son simples y que sólo pueden ser claros para

nosotros . Véase también Kant,

Ú lg ik P h i/ip p i,

p. 342.

So pena de redundar en falta de distinción, el análisis debe

concluir después de una cantidad finitade pasos; en consecuencia,

uno debe encontrar conceptos simples,indefinibles e inanalizables

al final del proceso. Sospechosamente, Kant tenía poco que decir

acerca de estos indefinibles que obviamente son de importancia

crucial, si bien observó, demanera explícita que, además de ser

indefinibles e inanalizables, estas características también carecen

Todosnuestrosconceptos,enlamedidaenqueestándadosyasea

aprio ri o a posterio ri , se puedendefinirúnicamentepormediodel

análisisdisectivo Zergliedert/ll~ . En efecto,cuandoestádado,sólo

puedolograrqueel conceptose tornedistintohaciendoque sean

claraslas características Merkmale que contiene.Eso es lo que

haceel análisis.Si talanálisises completo[...y],además,lascarac

terísticasno sonmuchas,entoncesesprecisoyconstituye,así,una

definición.

p .

914;véasetambién L lg ik P h il ip p i, p.

455 3

En cuanto a la definición, él había dicho en la

r fYienerLogik

que es el capítulo más importante dela lógica p. 912) Yprocedió

a explicarlo: .

[...a travésdel análisis]aprendoa distinguirmejor o conmayor

claridadde conciencialo queya estabacontenidoen el concepto

dado.Asícomonadase añadeaun mapacuandosimplementese

le ha iluminado,la mera elucidaciónde determinado concepto

pormediodelanálisisde suscaracterísticas no leadicionanadaal

concepto en lomásmínimo. Log ik , p.64)

KANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓNPURA

31

NT NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR

K NT NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR

0



Para Kant, elvinculo entre laanaliticidad de los juicios y el análisis

conceptual era inmediato. Para empezar, en un juicio, están en

relación dos conceptos

Phi /osophiJcheEmryk/opádie ,

P: 19),Yen los

juicios categóricos el vinculo es la relación sujeto-predicado, Los

u icios n l í ti cos

En la Lo g ik Ph i /i p pi se explica como sigue la distinción entre

materia y forma -esa raíz de tanta confusión filosófica-e Cuando

observo un gusano a través del microscopio, la forma del gusano

cambia pero

objeto sigue siendo

el

mismo [...] Toda la filosofía

seocupa sólo de laforma, puesto que, alconsiderar un objeto por

partes, nos percatamos con mayor claridad de la materia que con

tiene (p. 341). Esto parecería implicar que, en el análisis, los con

ceptos de los que nos ocupamos antes y después del análisis son

los mismos, pero es diferente elmodo del conocimiento que tene

mos de ellos (pese a que también sepodría pensar que este pasaje

y otros semejantes confunden un concepto y sus objetos).

Aun cuando los puntos de vista de Kant sobre la naturaleza

del significado oculto y el conocimiento tácito invocaban una dis

tinción entre acto y contenido en las representaciones, también es

cierto que con frecuencia élparecía desestimar tal distinción y que,

ante la demanda de especificidad, prefería inclinarse hacia ellado

puramente subjetivo de ladicotomía, De haber sido más sensible a

esa distinción y a su abrumadora importancia, Kant habría notado

que el vinculo entre los conceptos y el análisis era mucho más

débil delo que había pensado. Veremos que, alhacer extensivas las

ideas de análisis y síntesis de los conceptos a los juicios, el énfasis

de Kant en el elemento subjetivo de la representación, que apare

jaba la desatención a su contraparte objetiva, se combinó con la

imagen química de los conceptos para producir una confusión

peculiarmente kantiana, ..

modo, sino de diferente manera; lo que me representaba confusa

mente antes de ladefinición, ahora me lo represento con claridad,

L o g ik B / o m be r g ,

p 265

¿Es totalmente idéntico elconcepto que aparece en ladefinición a

lo definido [por medio del análisis]? [...] debemos tener presente:

material iter ,

es decir,

quoad o l je c tmn ,

estos conceptos siempre son

completamente idénticos; sólo con respecto a la forrnano lo son;

en realidad, no deber ían ser del todo idénticos ; con respecto a la

materia, siempre pienso el mismo objeto, sólo que no del mismo

j

intersubjetiva, pues la misma representación conceptual se halla

involucrada en diferentes instancias o actos psíquicos de represen

tación en una sola o en diversas personas. Seguramente, al igual

que sus maestros y seguidores, Kant no se atuvo a esta distinción

de manera consistente; empero, sin ella sería muy difícil dar senti

do a lo que dijo sobre elanálisisde los conceptos y acerca del cono

cimiento analítico. En cuanto alprimero, por ejemplo, normalmente

afirmaba: Por medio de la dist inción analí tica reconocemos en

algo nada más que lo que originalmente habíamos pensado, y no es

que reconozcamos mejor, es decir, con más distinción y claridad y

mayor conciencia, lo que yasabíamos

Lo g ik B l om b e rg ,

p. 131;véa

se también

Cri t ica ,

A 5-6/B 9). Tampoco sería posible dotar de

sentido a las incontables referencias al descubrimiento del conoci

miento táci to a través del análisis. De hecho, uno de los pocos

temas persistentes que atraviesan toda la filosofía de Kant, desde

la juvenil

Unte r suchu l1gübe r l1a tü r l id J en

Tbeolog ie (1764) hasta los es

critos críticos, fue que la filosofía se distinguía de las demás cien

cias en que

el

método que le espropio consiste en

el

análisis d~ los

conceptos, en traer a la luz o a lasuperficie el conocimiento que se

hallaba oculto más que en construir nuevo conocimiento. Como

sucedía en el modelo socrático, la tarea del filósofo es ayudar a la

gente a que cobre conciencia de lo que ya sabía desde elprincipio:

Con que sólo tuviésemos conocimiento de lo que sabernos ]

nos asombrarían los tesoros que contiene nuestro conocimiento

Wie118rLogik , p

843).

En alguna ocasión Kant llegó a plantear explícitamente lo que

ahora llamamos el problema del análisis , la cuestión de laidenti

dad del

ana ysanduJJJ

y el

analysans ,

y su reveladora respuesta consti

tuye una prueba de la inseguridad con que captaba la situación:



)

I )

)

\

1

i

} l

f

. ;-

T ; :

nición, puesto que no revelan ninguna falla seria en la visión de

Kant. Lo que sí nos interesa es elasunto (de crucial importancia)

del vínculo entre el análisis conceptual y los juicios analiticos. Se

gún Kant, estos juicios se derivan por disección del [concepto]

sujeto (P r o le g om e l1 at oA t r y Fu tu re M etapi?Ysics ,p. 17); simplemente

dividen el [concepto sujeto] en aquellos conceptos constituyentes

que se han pensado en él desde el principio

(Cr í t i t Cl ,

B 11). Un

ejemplo' paradigmático de juicio analitico es Todo

que concuer

de con el concepto (a b de cuerpo también concordará con b

el de extensión (Logik , p.

11 1 .

En el caso del juicio anali tico no

salimos del concepto dado y tratamos de obtener algo de él (Cr í -

tic a, A lS4/B 193).

Superficialmente, podría parecer que Kant no estaba diciendo

mucho más que tantos otros antes de élque también se ocuparon

de la cuestión del análisis conceptual. Eberhard, por ejemplo, pen

saba que la noción de juicio analítico claramente se encuentra en

los escritos de Leibniz. Tal evaluación pierde de vista por completo

elelemento de novedad que Kant había incorporado a la doctrina

química del concepto. La diferencia en este punto entre laposición

de Kant y las de sus predecesores se pone de manifiesto cuando

examinamos la respuesta que dan a la pregunta ¿cómo determina

mos elmodo en que está constituido un concepto?, ¿qué criterios

determinan si un concepto B está en el concepto A?

Cuando Kant comenzó a pensar en esta cuestión, había dos

respuestas corrientes, una de ellas surgida de una larga yvenerable

tradición, la otra formulada por Leibniz antes que nadie. La co

rrespondencia Leibniz-Arnauld plantea claramente el conflicto entre

ambos puntos de vista. Con su mezcla característica de genio

y

locura, Leibniz había concebido un proyecto en elcuallos constitu

yentes simples de los conceptos estarían representados por núme

ros primos y su composición por la multiplicación correspondiente.

Del teorema numérico chino (además de ciertas suposiciones acerca

de la naturaleza de laverdad), infir ió que, si contábamos con este

lenguaje perfecto , todo lo que tuviese que ver con laverdad po

dría resolverse recurriendo al algoritmo de la división. Por ejem

plo -explicaba-:

.¡

~

~

33

ANT, EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓNPURA

6La advertencia 'pensado en' es esencial para Kant, pues, al igual que Leibniz,

Kripke y Putnam, consideraba que e modo de constituirse los conceptos dados no

depende delo que sabemos sino decuálesson los hechos queestán enjuego. Leibniz,

por ejemplo, había escri to que lapalabra 'oro' no significa únicamente lo que sabe

de la persona que la pronunc ia -por ejemplo , que es algo amarillo y muy

pesado-, s ino también loque esa persona ignora y que podría saber otra persona, es

.: decir, que se tr ata de un cuerpo que tiene una constitución interna de la que proce

den sucolor

y

su peso

y

de lacual surgen otras propiedades que éladmite que yahan

sido identificadas por losexpertos (No1 l v ea l l x essa i s ,lb. 3, cap. II, sec. 24; véase tam

bién lb. 4, cap. 6 secs. 8-11) .Kant se hizo eco de esta opinión en la

Crít ica,

A 727-

728/B

755-756.

Estos pasajes atípicos no reflejan, en mi opinión, una anticipación

pasmosa de lateoría causal de las clases naturales , s ino una consecuencia más de la

1:onfusión entre concepto y objeto -una confusión cuya presencia en otros escritos

de estos filósofos sepuede establecer sin sombra de duda-. En cualquier caso, sise

pueden revelar los const ituyentes de un concepto A como resultado de una investi

gación empírica, entonces no podemos definir la analiticidad sin recur ri r a lo que

está pensado en el concepto, pues

l\

esB' podría ser pos t edod aun cuando B esté

contenido en

el

concepto A. Para que

A

es B' sea analí tico, no basta con que

1 3

~ea

parte de A; también debemos estar conscientes (sibien, de preferencia, oscuramen

te) de que B es parte de

A.

juicios categóricos son la materia de todos los-demás (Ref lexionen

z u r L o g ik ,

refl, 3046, p. 631). De este modo, todos los juicios tienen

como materia ya sea conceptos o bien otros juicios (refl. 3046).

Un juicio categórico es analítico =afirmó Kant- cuando elconcep

to predicado es pensado de manera implicita- o está contenido en

el concepto sujeto; todos los demás juicios categóricos son sintéti

cos (e.i., Logic , p. 117; P r o le g om e n a t o a l } Fu tm c Me t a p i? Y s ic s ,p.

14 .6

Así, pues, un juicio analítico esla expresión del resultado del análi

sis conceptual.

En vista de cuáles son las fuentes de esta idea del análisis con

ceptual, apenas sorprende que la definición de Kant se aplique a

juicios de la forma sujeto-predicado. (En ellos, el 'sujeto' es cons

truido a la manera tradicional prefregeana, de modo que el sujeto

de 'Todos los A son B' es 'Todos los o

N.

No nos conciernen

aquí los problemas comunes surgidos de la estrechez de esta defi-

KANT, El. ANÁLISISY LA INTUICiÓNPU RA

2

35ANT EL ANÁLISIS y LA INTUICiÓN PURA

KANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓNPURA

34



fundamentos de juicios de muy diversa clase: los que son priori

pero no analíticos. . ,

. Seria difíci l exagerar la importancia que Kant le atr ibuyo a

este descubrimiento. La introducción de la

Cri t ica

anuncia una nue

va ciencia (sec. 3) orientada a responder esta pregunta antes ina~

vertida: ¿cómo podemos tener conocimiento a p r io r i de propos1-

ciones en las que elconcepto predicado no esparte del concepto

sujeto? Yace aquí oculto un cierto misterio; si a alguno de los

antiguos se le hubiese ocurrido siquiera plantear esta pregunta,. ello

por

sí

mismo [...] habría bastado para oponerse a t~dos l.ossiste

mas de larazón pura

Crí t ica

A 10).Empero, la existen i de tan

notables juicios -pensaba Kant- había sido pasada enteramente

por alto. El hecho de que los juicios matem~ticos n~ fuesen an~lí

ticos, por ejemplo, hasta ahora ha pasado inadvertido para qUie

nes se empeñan en el análisis de la razón humana y, de hecho, se

opone directamente a todas sus conjeturas

Crf t i~a

B 14)..

Aunque gran parte de la Cri t ica debe haber Sido esctita,. ~,al

menos concebida, en la época en que se formó esta nueva V1SlOn

del análisis conceptual, Kant prefirió exponer las consecuencias de

esta visión alprincipio de la

Cri t ica

y de los

Pro l egómenos .

Cuando

Eberhard cuestionó originalidad deKant enrelación con eltema

del análisis y la síntesis, Kant sepuso furioso y dejó ver sus senti

mientos en 1:1ncelebrado estallido polémico. en 1791, en el bo-

. rrador de una respuesta a una pregunta formulada por laAcade

mia en torno a qué progresos había hecho la filosofía alemana

desde Leibniz y Wolff , Kant observó que el primer paso de la

nueva filosofía critica había consistido en trazar la distinción analí

tico-sintética. Y añadía: De haberse sabido esto con claridad en la

época de Leibniz o Wolff, no sólo se noshabría comu~~ado sino

también enfatizado su importancia en los tratados de lógica y me

tafísica

Preisschri f t überd i e For t s cbr i tt e de r Me t ap f ¿y s ik

[1804]; véase

también

Cr i t i c a

B 19). ..

Aun así, queda pendiente una pregunta importante. ¿Por qué

Kant no pensó que su distinción era una consecuencia absoluta

mente trivial de lanoción de análisis conceptual? La respuesta que

Este procedimiento nos permite resolver toda cuestión con

cerniente al valor de verdad de las proposiciones afirmativas uni

versales, a condición de que asumamos -con Leibniz- que en los

casos verdaderos el concepto del sujeto, tomado de modo abso

luto e indefinido y considerado en general en sí mismo, siempre

contiene el concepto del predicado

Log i ca lP aper s

p. 22).

Como respuesta a la sorprendente aseveración de Leibniz de

que en toda proposición verdadera, sea necesaria o contingente, el

predicado se halla contenido en el sujeto, Arnauld defendía la vi-

sión histórica de la cuestión: para que elpredicado B esté enA, no

sólo se requiere que sea verdadero sino asimismo necesario que

odo A es B .

En algún momento dela década de 1770, Kant llegó a lacon

clusión de que la analiticidad ni es la verdad (como pensaba Leibniz)

ni la necesidad (como creía Arnauld), sino algo más fuerte que

ambas: que sehalla contenido en un concepto esmenos que

que sepuede decir con verdad de él eincluso que lo que esnecesa

riamente cierto acerca de sus objetos; en otras palabras, la

anali ticidad es una cosa y la apr i ondad otra. Fue entonces cuando

vio que existen verdades priorique no se fundan en el análisis

conceptual, que hay +como él eligió denominarlas- juicios sintéti

cos ap r i o r i . Después de advertir esto, su concepción de la filosofía

se transformó de manera radical. Antes pensaba que elmétodo de

la filosofía era el análisis y que el análisis sólo podía dar base a

aftrmaciones analíticas. Ahora decidía que

la

filosofia también se

dedica acaso inclusive de modo predominante) a examinar los

\

Si suponemos que el número que s imboliza

hombre es el 6 y

que eldel mono es 10, resulta evidente que elconcepto de mono

no contiene

concepto de hombre ni a lainversa. [...] Por consi

guiente , cuando se inquie re si el concepto de hombre sabio se

halla contenido en elconcepto de hombre jus to [...] sólo tenemos

que averiguar sielnúmero que simboliza alhombre justo sepuede

dividir exactamente entre elnúmero que simboliza alhombre sa

bio. Log i ca l a p e r s p. 22)

37



La única razón para esta afirmación (lue he podido hallar en los escri tos

de Kant aparece en Lose Blá tt er zu den For ts chri tt en der Metaphysik ,

a lis

g e sam n e l te S ch r i ft 8 / l,

vol. 23, p.340. La observación de Kant, desde luego, constitu

ye una absoluta trivial idad si con analí tico se refiere a no ampliat ivo ; en cuyo

caso, empero, aún nos deber ía un argumento a favor del ase rto de que a lgunos

juicios necesarios son, en ese sentido, no analíticos.

En otra parte lo dice de manera más concisa: Es evidente

que a part ir de meros conceptos sólo conocimiento analí tico [...]

puede obtenerse

(Crít ica,

A 47/B 64-65).7Luego nos ocuparemos

de examinar el inmenso daño que esta confusión provocó. Por

ahora, seguiremos el curso del razonamiento de Kant. Una vez

que se confunden los juicios sintéticos verdaderos de la deftnición

nominal kantiana con juicios que no se fundan en conocimiento

b

.

>

puramente conceptual, lapregunta o

vía

es: ¿en que se apoyan.

_: Kant había explicado que todos los juicios analiticos se basan

en un solo principio -que élen ocasiones denominó principio de

los juicios analíticos

(e. i . ,Crí t ica,

A 149-150/B 189)-, elprincipio de

identidad o contradicción. Presumiblemente, lo que éltenia en men

te era un principio que le permite a uno predicar de un concepto

dado aquellos otros conceptos que pensamos en élcomo sus cons

tituyentes. Aun cuando en esto no hubiese problemas, elpunto inte

resante es que Kant asumía que su distinción analítico-sintética ca

racterizaba, por decirlo así, clases naturales epistémicas, de modo

que se sentía justificado en concluir que tenia que haber otro princi

pio involucrado en la fundamentación de todos los juicios analíticos.

Lo llamó, desde luego, l principio supremo de todos los juicios

sintéticos (véase,

e . i . , O i ti c a ,

A 154/B 193;A 158/B 197). ,

yo debo irmás alládel concepto [sujeto] dado para considerar, en

relación con él, algo, por completo, distinto de lo que estaba pen

sado en él. Es ta relación [entre el concepto sujeto y el concepto

predicado], por consiguiente, nunca es una relación de identidad

ni de contradicción: y nunca se puede descubrir laverdad o false

dad de la relación en elj ui ci o c o ns id e ra d o e n

p or s í m is m o. ( Cr ít ic a, A

lS4/B 193-194; las cursivas son ITÚas)


yo propondría es ésta: al conjugarse esta dist inción con la com

prensión informal que Kant tenia de las cuestiones semánticas,

parecía implicar nada menos que elgiro copernicano. Una vez que

nos percatamos de que conocemos

a P r io r i

algunas afirmaciones

que no pueden estar fundadas en una pura comprensión de su

contenido, sepone de manifiesto que las cosas acerca de las cuales

tenemos tal conocimiento no pueden ser tan independientes de la

mente como se creía.

El núcleo del problema se halla en la suposición aparente

mente inocua que hizo Kant en el sentido de que la distinción

analitico-sintética esuna explicación correcta de otra distinción, la

que hay entre juicios clarificadores

(Erlaeutert tngsurtei le)

juicios

ampliadores

(Envei temngsurtei le).

Muy probablemente, Kant jamás

se dio cuenta de que estaba lidiando con dos dicotomías distintas.

De esta guisa, algunas de sus definiciones de los juiciosanalitico

y sintético nos dicen que elúltimo extiende mi conocimiento más

allá de lo que se encuentra contenido en el concepto [sujeto]

(Allison,

The Kan t -E b e r har d Con t roo e r sy ,

p. 141; véase también

Logi k ,

p. 111;

Cri t ica,

A 8;

Prol egomenaloA ) Fut t lr e Metap /~ ) s i c s ,

seco2a). Sin

embargo, es esencial notar que estamos hablando aquí de una se

gunda partición de la clase de todos los juicios (verdaderos-y de la

forma sujeto-predicado) en aquellos que podemos fundamentar o

identificar como verdaderos simplemente con base en el hecho de

que tenemos claridad acerca de los conceptos involucrados en l

juicio, y,por otro lado, aquellos juicios enlos que se apela a fuentes

extraconceptuales de conocimiento. Dicho gruesamente, mientras

que laprimera definición de Kant, la

nomina l ,

caracteriza a lo ana

lítico como verdadero en virtud de definiciones (análisis) y lógica,

la segunda lo define como verdadero en virtud del significado,

La idea de que su definición nominal coincide eón la segunda

versión de lo analít ico se basa en una suposición que aparente

mente a Kant le parecía tan evidente que no merecía ni la menor

argumentación:

l o s c o n ce p to s só lo p u e d en p r o po r ci o na r u n a b a se p a r a

conocim ien to

a t ra v és d e u n p r o c e so d e a n á li si s.

Así, afirmaba que en un

juicio sintético:


36

39

K NT EL NÁLISIS Y L INTUICIÓN PUR

K NT EL NÁLISIS Y L INTUICIÓN PUR

8



8

El principio de Kant podría considerarse como una respuesta alproblema

deLambert a l admit ir él que no sehadescubie rto del todo la f o ns p o s s i b i l i ta t i s d n o s

i d e o s c o m b i n o n d i ( O b e r d i e M e / h o d e d i e M e t a p f ? y .r í k , T h e o J o g i e lI J 1 d M o r o J t ic h t ig e r Z J I b e n / e is e n ,

p . 9; citado en Beck, E o r l Y G e r m a n P b i lo s o p b» , p. 407). Quizá también haya un

vínculo con Leibniz. En un borrador de surespuesta a Eberhard, Kant conjetura

ba que elprincipio leibniziano de razón suficiente era un esfuerzo para formular

el principio de los juicios s intéticos ( Vorarbeiten zur Schdft gegen Eberhard ,

K a 1 l t s g e s a f J1 m e l t e c h t i f t e l l , vol. 20, p. 376).

9 En el caso del conocimiento trascendental, que, hablando con propiedad,

no se expresa en juicios s intéticos, s ino en Gr l l l J f s é i t z e sintéticos, la síntesis de los

La doctrina kantiana de laintuición pura tuvo múltiples oríge

nes. Nosotros hemos identificado dos: el principio de los juicios

sintéticos y la tesis del conocimiento sintético a p r i o r i? He aquí el

No fue,por consiguiente, una mera sutilezaverbal, sinoun paso en el

avance del conocimiento, que la

Crítica

dieraa conocer por vezprime

ra la distinción entre losjuicios que dependen enteramente delprinci

pio de identidad o contradicción y aquellos que, con el marbete de

analíticos , requieren otro principio en oposición a los juicios sintéti

cos . En efecto, lanoción de síntesisclaramente indica que, aparte del

concepto dado, debe añadirse algo como sustrato que hace posible ir

más allá del concepto con mi predicado. De este modo, la investiga

ción se dirige a laposibilidad de una síntesisde representaciones con

respecto alconocimiento en general,lo cualpronto debe conducir al

reconocimiento de laintuición como condición indispensable para.el

conocimiento, a la intuición pura para el conocimiento a p r io r i.

Allison, T b e K a n t - E b e r h a r d Controoersy, p .

155 8

Kant no fue particularmente modesto apropósito de su descu

brimiento de este principio supremo de todos los juicios sintéti

cos , destinado a resolver la más importante de todas las pre

guntas de la lógica trascendental (en realidad, quizá, la única

pregunta de que se ocupa ): ¿cómo son posibles los juicios sinté

ticos

a p r io n ? C r ít im ,

A 154

lB

193). Como le escribió a Eberhard

con actitud de acre desafío:

En los juicios sintéticos-de-foj;ma-suj~tQ-predicacleduntamos

dos conceptos que no se relacionan como la parte con el todo.

Habiendo confinado de manera casual e inconsciente todo funda

mento semántico del conocimiento a la categoría de análisis con

ceptual

por tanto, a laanaliticidad nominal, Kant ni siquiera con

sideró la posibilidad de que los juicios sintéticos, construidos no

minalmente, pudieran tener también una base semántica. En los

juicios sintéticos -pensaba Kant- debo tener, además del concep

to de sujeto

[y

del de predicado], alguna otra cosa X en la cual

pueda apoyarse el entendimiento siha de reconocer que un predi

cado, no contenido en tal concepto, pese a ellole pertenece

C r i

t ic a ,

A 8). De esta forma, concluía que la síntesis de conceptos

disjuntos nunca podría deberse a un vínculo proporcionado por

los constituyentes conceptuales del juicio, sino que siempre debe

ría estar mediada por un tercer elemento, un X, como a veces lo

llamó

ú Cri t ic a ,

A 9

lB

13), que no se encuentra directamente

presente en eljuicio. TalX -pensaba Kant- no podría ser un con

cepto pues entonces tendríamos, además del concepto sujeto y el ..

concepto predicado, un tercer concepto, y a partir de meros con

ceptos sólo conocimiento analítico ... puede obtenerse . Puesto

que Kant no reconocía ningún ladrillo semántico aparte de los

conceptos y las intuiciones, se seguía que el fundamento de todo

conocimiento sintético, elpegamento que une a los conceptos en

un juicio sintético, siempre-debe involucrar a laintuición. Este es el

contenido del principio de los juicios sintéticos. Los juicios sintéti

cos sólo son posibles bajo lacondición de qué sehalle una intui

ción subyacente en el concepto de su sujeto (Allison, be ant

E b e r b ar d C o n t ro u e r sy ,

p. 152;véase también la carta a Reinhold,

ib id ,

p. 164). Por ejemplo, después de sostener que 7+5=12 no es ana

l ítico, Kant agregaba que, para fundar este juicio, tenemos que

salir de estos conceptos y acudir a laintuición que le corresponde

a uno de ellos, a los cinco dedos de nuestra mano, por ejemplo

Cri t ic a ,

B 15).En todos los juicios matemáticos, aunque elpredi

cado de hecho se adscribe necesariamente alconcepto, esto se hace

en virtud de una intuición queha de añadirse alconcepto

Crí t i t a ,

B 17).



)

)

Alternativamente, se podría aceptar el principio de los juicios s intéticos

como una consecuencia trivialde la seglllldadcfinición (no nominal) de analiticidad;

pero en ese caso , en e sentido apropiado de sintético e s egundo), Kant no nos

ha dado absolutamente ninguna razón para creer que existen los juicios sintéticos

a p r i o r i .

mento puramente conceptual a los juicios sintéticos en el sentido

nominal. Más tarde examinaremos las razones de esta equivoca

ción, pero por elmomento podemos echar un vistazo a la trayec

toria de la ~ontaña rusa crít ica: en

a l g o

deben fundarse los juicios

sintéticos, y no puede ser en conceptos; luego, tiene que ser en

intuiciones, tales como las intuiciones empíricas de la clase que le

gustaba a Hume. Sin embargo, ahora hemos descubierto que algu

nos juicios sintéticos son

p r i o r i así que no pueden fundarse en

una intuición empírica. Por consiguiente, debe haber un tipo de

intuición empírica muy especial; llamémosla simplemente intui

ción pura .

Yadijimos que en laraíz dela apelación kantianaa laintuición

pura habia una semántica defectuosa. Habiendo examinado los

motivos que podrían haberlo llevado a confundir los dos sentidos

de lo analítico que postuló, esposible diagnosticar con algo más de

precisión que elproblema emerge de una concepción psicologista

de la semántica. Considérese, por ejemplo, la cuestión acerca de si

tenemos que entender el concepto de

soltero

para dar sustento al

juicio de que todos los solteros son no-casados. Uno podría imagi

nar a Kant razonando del siguiente modo: Con seguridad es nece

sario entender el concepto de

soltero

para emprender su análisis;

~

ero los juicios analíticos no son nimás ni m~nos que elresultado

del análi.sis. Por consiguiente, debe ser r.elevante la comprensión

del concepto -y no únicamente de sus rasgos estructurales o de su

consti tución lógi€a- para dar una base a los juicios analít icos. O

quizás (también) habría argumentado así: Conocer o entender un

concepto es conocer su definición; luego,

el

conocimiento con-

ceptual es conocimiento en virtud de definiciones, Dado que el

rconocuniento analítico es exactamente conocimiento eh virtud de

41

ANT EL ANÁLLSIS LA INTUICiÓNPURA

conceptos correspondientes se funda en laposibilidad de laexperiencia Crí t i ca,A

783/B 811). El nexo cbúla intuición procede del hecho de que las intuiciones en

general [...] constituyen lcampo, todo lobjeto, de laexperiencia posible Crí t i -

c a,A 9 5).

Moore observó en P r i l l d p ia E t b i c a que, dado que

l

b i e n es indefinible

(inanalizable), todo lo que digamos sobre él debe ser s intético; y RusselJ había

expresado lamisma opinión acerca de las ideas indefinibles en general en su Cri t i cal

Expositio» Ib e Phi/o s o p ,?) L e ib l1iZ

(sec. 11).No sorprende que encuentren mon

tones de enunciados sintéticos a p r i o ri en matemáticas, lógica, éti~a y varias otras

materias.

razonamiento: Está claro, para empezar, que en elsentido nominal

de análisis hay muchisimos juicios sintéticos que muy pocas per

sonas considerarían seriamente como

p o s t e r i o r i Podrían citarse,

con Kant, ejemplos de la ari tmética y la geometría, pero existen

ejemplos más pedestres tales como si esto es rojo, entonces no es

azul , si esto mide un metro de longitud, entonces no mide dos

metros y si

a

esmás alto que

by b

es más alto que

c,

entonces

a

es

más alto que

C

En ninguno de estos juicios elsujeto contiene al (a

los) predicadojs).

y ,

no obstante, todos ellos son seguramente ne

cesarios y por ello, de acuerdo con Kant, a p r i o r i Además, aplican

do elcriterio de Kant, todo juicio con un concepto simple debe ser

sintético, y seguramente algunos de tales juicios son necesarios.

lo

Así, pues, echando mano de su definición nominal, Kant no tenia

ninguna dificultad para identificar juicios sintéticos

apriori.

De he

cho, las únicas consideraciones que es posible hallar en los escritos

de Kant y que pueden parecer argumentos a favor dela existencia

de los juicios sintéticos a P r i o r i invariablemente apelan a la versión

nominal de la distinción kantiana: sostienen, en forma bastante

creíble, que este o aquel concepto predicado evidentemente no

es un consti tuyente o no está pensado en este o aquel concepto

sujeto.

Hasta este punto, se le puede conceder a Kant todo lo que

quiere sin dificultades, Pero

el

siguiente paso en su razonamiento

es, en realidad, la confusión de

1 0

sintético en el sentido nominal

con lo ampliat ivo, pues asume que no sepuede dotar deun funda-

KANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓN PURA

0

43

ANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓN PURAKANT EL ANÁLISIS Y L A INTUICiÓN PURA

2



14

Leibniz había reconocido que sabemos que las proposiciones idénticas '

son proposiciones necesarias s in entender o analizar sus términos, pues yo sFque

decir, por lo tanto, que, si nuestra comprensión de so l te ro no es

distinta, los episodios mentales que se expresan con

*

y

* *

son

bastante diferentes

y

que uno delos propósitos del análisis es con

ducirnos del tipo de estados mentales asociados con

*

a los que

se asocian con

* * .

Pero seria igualmente obvio que, dejando a un

lado la psicología, los

con ten idos

de

*

y de

* * ,

de acuerdo con los

propios criterios de Kant, son idénticos, puesto que en cas.o con

trario no tendría sentido insistir -como hace Kant- en que en el

proceso del análisis sólo ha cambiado nuestra comprensión del

concepto, no lo que estábamos diciendo cuando lo usábamos.

r

Ahora estamos listos para determinar hasta qué punto se.ve

involucrado nuestro conocimiento conceptual de los constituyen

tes del concepto sujeto de

*

en la fundamentación del juicio como

analítico. ·Cuando se trata a

*

como una expresión de nuestro

juicio que seha producido enun estado de comprensión no distin

ta de

so l te ro ,

de hecho es razonable decir que nuestra más cabal

comprensión del concepto, el que entendamos el significado de

'soltero', resulta esencial para fundamentar * , o sea,para arribar a

la convicción de que * es verdadera. Ahora bien, trátese, :por el

contrario, a * como si expresara nuestro juicio en un estado de

distinción con respecto a so l te ro , o bien considérese una vez más el

contenido de * . ¿Hasta qué punto nuestra comprensión de los

conceptos involucrados desempeña algún papel en S

. fundamentación? O, para poner la pregunta en otros términos,

¿podríamos dar fundamento alcontenido de * -es decir, de * * -

sin entender todos los conceptos involucrados? La respuesta es

obvia cuando se trata de

* * :

¡por supuesto Todo lo que tenemos

que entender realmente para fundamentar * * es el significado de

los conceptos co t } t tnc ión y pred icac ión . Así, pues, mientras que la

fundamentación de *

ql

juicio subjetivo no distinto demanda en

elanálisis conceptual nuestra comprensión de todos los conceptos

involucrados, no sucede lo mismo con la fundamentación de lo

que dice

* . 1 4

12 En t iempos deKant e ra común t raza r l adistinción y nada común respetarla.

Wolff,por ejemplo, escribió en 8U P )chologiaElnpirica , (1738): Si serepresenta algún

objeto en lamente, se debe distinguir acto mental en elque se da esta representa

ción (sec.48). No obstante, Knüfer observa queWolff no tomó en serio tal distin

ción

(Gn / 1Jd~ ig e d e r Gesch i ch ted e sBeg r i f fi Vo r s t e ll J / /¡g VO I I W o lf b is

Kan t , p. 15).Aunque

no fuese e l primero en seña lar est a dis tinc ión, Bolzano se rí a e l primer f ilósofo

posmoderno en percatarse con claridad delas devastadoras consecuencias que aca

rrearía hecho de no respetarla (véaseel cap.2 de este volumen).

13. Kant no l lamó ana lí ti co a

* * ,

sino tautológico (Lgik, sec, 37, p . 111)Y

explíci tamente idéntico ; carece de consecuencias , a diferencia de los juicios

implícitamente idénticos tales como * . En ocasiones Kant excluía a los juicios

tautológicos de la categoría de los juicios analíticos

( Pre i ss ch r i ft i l b er d i eF o r t s chr i t te

d e rM e t ap f? y s i k ,

p. 322).

Empero, si nuestra representación de

soltero

no es dist inta,

entonces eljuicio que expresamos por medio de

*

será, en gene

ral, bastante diferente del que expresamos con

* * . 1 3

Podríamos

* * Todos los adultos varones no-casados son no-casados.

De acuerdo conla dist inción trazada en la sección anterior, a

esta oración le corresponden dos actos judicativos radicalmente

distintos. Que asociemos con * uno u otro de ellos depende de

cuán distinta sea nuestra representación de

so l te ro .

Sinuestra repre

sentación es enteramente distinta

s

si

n o - ca s a do y v a ró n y a d u lt o

cons

tituyen el análisis completo de so l te ro) , entonces, el juicio subjetivo

que expresamos con

*

podría hacerse también -inclusive de modo

más explícito- con:

* Todos los sol te ros son no-casados.

) definiciones (parciales), todo conocimiento puramente conceptual

~debe ser analítico. .

Estos atractivos pero falaces razonamientos pierden todo su

poder seductor una vez que se atiende a la distinción acto-conteni

do. Considérese un vez más la oración:

ANT EL ANÁLI~IS

y

LA INTUICIÓNPURA

KANT EL ANÁLISISY LA INTUICIÓN PURA



1

.

lt i

lñ

~

~

J

Solamente merced a un proceso complejo y laborioso que se

prolongó durante lamayor parte del siglo

XIX

fue posible recono

~er y neutralizar estas confusiones kantianas. En lo que resta de la

Parte 1 revisaremos las etapas centrales de este proceso. En los

términos más simples, sele puede caracterizar como la declinación

y caída de la intuición pura. Dejando de lado la cuestión de qué tan

profundos puedan haber sido sus desacuerdos en torno a cuestio

nes específicas, los miembros principales de la tradición antikantiana

cuyas opiniones examinaremos compartían la convicción de que el

sistema de Kant estaba construido en un pantano semántico. Tam

bién concordaban en que la única forma de evitar un destino se

mejante era colocar la teoría de los significados, esto es, la

teorí

de

los conceptos, juicios y proposiciones, en el primerísimo lugar de

su lista de preocupaciones filosóficas. La semántica nació en el

intento de evitar lateoría kantiana de lo

apr ior i. Nac ió

en los escri

tos de Bolzano.

A es A, no importa de qué

se trate

Ph i lo soph icalPape rs and Le t ter s

p. 187).

Presumiblemente habría d icho lo,mismo acerca de Todos los A y B son A .

Ya estamos en posición de ver de qué modo el descuido por

parte de Karit de ladimensión no psicológica dela semántica pudo

haberlo conducido a confundir lo analítico con lo puramente con

ceptual; porque, en efecto, élhabría acertado alpensar que es esen

cial para el análisis en el sentido psicológico) comprender todos

los conceptos y que los juicios analiticos son producto del análisis.

El desplazamiento de la psicología a la semántica es fatal para el

razonamiento de Kant. En realidad, el análisis de un concepto sí

requiere que se entienda el concepto, pero la fundamentación de

un juicio analítico

u

contenido sólo exige que se comprenda lo

que antes llamamos su estructura.

Otra manera de enunciar el problema de Kant consiste en

decir que confundió el conocimiento conceptual con el conoci

miento definicional , es decir, que confundió lo que sepuede fun

damentar con conceptos con laclase mucho más pequeña) de lo

que sepuede fundar en definiciones, Tal como Kant veíalas cosas,

el conocimiento analítico sólo es posible en presencia de la com

plejidad conceptual , pero debería haberle quedado claro que los

conceptos simples, aquellos en los que laintuición queda al mar

gen, son tan aptos como sus contrapartes complejas para servir

como fundamentos de un conocimiento

apriori.

Hemos detectado dos suposiciones táci tas detrás del trata

miento que Kant le da a lo analitico y a lo sintético. De acuerdo

con la primera de ellas, lo analít ico coincide con lo verdadero en

virtud de conceptos -o, como algunos dirían mucho tiempo des

pués, en virtud de significados-. Dada esta suposición, se vuelven

pertinentes consideraciones de tipo semántico para establecer sólo

aquellos juicios cuyo predicado es parte de su sujeto. Esto implica

gll~

el fundamento de los juici )s sintéticos no reside en la §~tnán

tita. La segunda

supósicióriúós

dice dónde sí reside. Dada lavi

sión de Kant acerca de la .naturaleza de la representación, sólo se

puede asumir que el fundamento del conocimiento sintético es la

intuición yen los casos interesantes, la intuición pura).



•Traducción deMaxFcrnández deCastro (UAM-I).Revisadopor Juan An

tonio SánchezG. (UAM-I).

a filosofía continental moderna había mantenido siempre

.1....vínculos cercanos con eldesarrollo científico. En Kant, la

relación se volvió tan cercana que la doctrina completa de lo

a

P r i o r i había sido motivada en gran medida por un dato que había

surgido delas ciencias -un rasgo supuestamente transparente de la

geometría, la aritmética y el cálculo que demandaba explicación

filosófica. Los sucesores de Kant en el siglo XIX fueron de dos

tipos: aquellos que querían revisar si lo que él dijo acerca de las

ciencias a p r i o r i era verdadero y aquellos a quienes no les importa

ba. Los últ imos abrazaban su giro copernicano por razones ~ me

tafísicas . Estos primeros, en general, dedicaron gran cantidad de

tiempo al análisis del conocimiento matemático. Como resultado,

sus colegas más ingenuos tendieron a mirarlos como matemáticos

de bajo nivel, tratando de hacerse una reputación en filosofía.

M a tb e m at io a s u nt n o n le g u n t u r es lo que Frege una vez supuso que la

mayoría de los filósofos dirían acerca de sus escritos. Estaba en

10

correcto. Lo mismo podría haber sido dicho de los escri tos más

importantes de la tradición semántica.

La tradición semántica puede ser definida por su problema,

su enemigo, su objetivo y su estrategia. Suproblema fue lo a p r i o r i

su enemigo, la i n t u i c ió n p u r a de Kant; su propósito, desarrollar una

Kant estaba equivocado cuando tomó la lógica como algo terminado.

BOLZANO,

GESAMTAUSGABE

SER. 2B, VOL. 2, PT. 2

Todas las verdades matemáticas pueden

y

deben ser probadas a partir

de nuevos conceptos.

BOLZANb,

GROSSENLEHRE

2

11I:n.n-.: : .,,,,m:uunmi, =,,,r ., ,mmm:E= .:l,nm mm : :: r . .:mJuml .:;=:n::u:=:~mnumuu'I:IU mmm,U:ml mummu:mmn: u:mumr,:uu¡r::¡,mUmJIfw.:.:m1Uml JImU U ,, uU1~

*

: BOLZANO EL NACIMIENTO DE LASEMANTICA

49

OLZANO

y

EL t -¡ACIMIENTODE LA SEMÁNTICA

BOLZANO

y

EL NACIMIENTODE LA SEMÁNTICA

8



No como consist iendo de partes muy pequeñas, s ino como des

critas por un movimiento continuo. Las lineas son descritas

y

por

lo tanto, generadas , no por laaposición de partes, s ino por elmo

vimiento continuo de los puntos [...] los ángulos por larotación de

loslados; porciones de tiempo por flujos continuos [...] los fluxiones

son, tan cercanos como queramos, como los incrementos de los

fluentes generados en tiempos iguales y tan pequeños como posi

bles, y para hablar exactamente [ s i c . ] , están en laprimera razón de

Sería, en general, injusto con Kant decir que las principales razo

nes que tuvo para pensar que las matemáticas envuelven intuición

pura, fueron las consideraciones semánticas examinadas en el ca

pitulo previo. De hecho, lamayoría de los matemáticos

y

filósofos

de ese tiempo habrian estado de acuerdo en que, dado elestado de

las matemáticas, difícilmente uno podría haber sacado cualquier

otra conclusión. La geometría proveía elmás brillante ejemplo de

la necesidad de apelar a construcciones en laintuición; pero aún el

cálculo, lamás poderosa rama delas matemáticas en elsiglo

XVIII,

parecía conformarse a ese patrón.

En la tradición matemática británica, de la cual Kant parece

haber aprendido lamayor parte delo que sabía sobre elcálculo, los

infinitesimales leibizianos fueron evitados; su papel fue jugado por

tazas decambio, El movimiento -por lo tanto, elespacio y eltiem

po- fueron colocados en elmismo corazón del cálculo. Una varia

ble fue llamada una cantidad fluyente y suvelocidad un fluxión .

Yo considero las cantidades matemáticas , escribió Newton:

a intuición

y

e l c á lc u lo

lativos a la naturaleza del conocimiento matemático. Los proble

mas resueltos por Bolzano, nisi quiera habían sido vistos por Kant.

sus soluciones fueron hechas posibles por, y fueron lafuente de,

un nuevo enfoque acerca del contenido y carácter del conocimien

to

priori I lustraré elpunto enfocándome en uno de los tópicos

matemáticos favoritos de Bolzano: el cálculo.

concepción de lo a p r io r i en la cualla intuición pura no jugara

nin-

gún papel; su estrategia, basar esa teoría en un desarrollo de la

semántica.

Siuna teoría es tan sólida como elproblema

que

resuelve, era

razonable empezar un examen crítico de la filosofía crítica allídon

de

ésta

había empezado con un análisis del carácter del conoci

miento a p r io r i del cual Kant había derivado su dato básico. La

rtracÍición semántica no fue desarrollada por gente con intereses

estrechos en los fundamentos de las matemáticas, sino por aque

llos que sospechaban que elentendimiento de Kant de la aritméti

ca, el cálculo y la geometría estaba basado en malentendidos irre

parables y que esos errores viciaban su representación general de

lo

a p r io r i

Los siguientes capítulos esbozan la historia de la tradi

ción semántica, un movimiento filosófico que, a diferencia del

posit ivismo, tomó en serio lo

a p r io r i

y,a diferencia del idealismo,

eligiómirar aún más de cerca que Kant sus ejemplos paradigmáticos

de lo

P/ i01i

Mientras los idealistas fueron eliminando cada traza de objeti

vidad de la semántica kantiana, en un rincón del imperio austro

húngaro, desconocido a los representantes de la filosofía alemana,

había un sacerdote checo de nombre Bernard Bolzano, compro

metido con el esfuerzo más ambicioso y exitoso en esas fechas,

para sacar a la semántica de laciénaga en el cual había naufragado

desde Descartes. Bolzano fue elprimero en reconocer que la fllo

sofía trascendental y su secuela idealista fueron una reducción al

absurdo de la semántica de la filosofía moderna. Asimismo, fue el

primero en ver que el prolegómeno propio a cualquier metafísica

futura era un estudio no de consideraciones trascendentales, sino

de lo que nosotros decimos

y

de sus leyes

y

que, consecuentemen

te, la

p r im a p h il o J o p h ia

no era la metafísica u la ontología sino la

semántica. El desarrollo de estas ideas en su monumental

W i. r . r e fl . r d l C Ú l e b r e y en una variedad de otros escritos hacen de

B ]Z;l110

l fundador de la tradición semántica.

La filosofía de Bolzano fue de las que tomó y dio vida a la

ciencia. Su aproximación a la

semántica

se desarrollo en un juego

dialéctico. junto con su decisión de resolver ciertos problemas re-

51

OLZ NO

EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC

OLZ NO

y

EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC ··



Al principio pocos matemáticos tomaron en serio las quejas de

Berkeley, reforzando lamáxima pragmatista atribuida a d'Alembert:

Allez en a uant et l a

fo i

v o us s uium Pero hacia el f inal del siglo -por la

época en la que Kant estaba defendiendo la inevitabil idad del

Nada es más fácil que diseñar expresiones o notaciones, para

fluxionese infinitesimales ...Esasexpresionesen verdad sonclaras

y distintas,y lamente no encuentradificultadenconcebirlascomo

continuando más alláde cualquiercota asignable.Pero sir rnov -

mas elveloy miramos debajo,si,dejandode ladolas expresiones,

nos ponemos a considerar atentamentelas cosasmismas supues

tamente expresadas o marcadaspor ellas,descubriremos mucho

vado, oscuridad y confusión; ¡ay ,si no me equivoco,imposibili

dadesdirectasy contradicciones. The Ana y s t, p.

69

Los fantasmas de las cantidades partidas de Leibniz clara

mente tenían tan poco sentido como los incrementos nacientes

de Newton. Berkeley sacó su muy conocida conclusión:

En lugar de cantidades fluyentes y sus fluxiones,ellos consideran

lascantidadesvariablesfinitascomo creciendoo decreciendo por

la

adición

continua o la subducción de cantidades infinitamente

pequeñas.En lugar de lasvelocidadescon las que los incremen

tos songenerados,ellosconsideranlosincrementoso decrementos

mismos [...] los cuales son consideradoscomo infinit m nt pe

queños. p . 67

placer que en Inglaterra, siguiendo a Newton, las funciones

(fluentes) eran cantidades que variaban con el tiempo, y de sus

derivadas (fluxiones) se dice que están tan cercanas como los in

crementos de las cantidades fluyentes, generadas en las últimas

partículas iguales de tiempo; y estar aproximadamente en laprime

ra proporción del naciente, o en el último de los incrementos

evanescentes

The .Analys t ,

p. 66. En cuanto a los matemáticos

extranjeros i e., Leibniz y sus seguidores):

La idea es apelar a un proceso cinemática infinito con un tér

mino final, más bien que a una sucesión infinita con un limite.

Consideraciones teóricas dudosas de este tipo fueron acom

pañadas por argumentos no menos dudosos en defensa de aseve

raciones cuyo único mérito fue que funcionaban. Por ejemplo, las

derivadas fueron calculadas en labase de trucos indefendibles, com

binando operaciones algebraicas (tales como división por un in

cremento) con suposiciones incompatibles con elálgebra (división

por cero). Aún así, el cálculo funcionaba. Éste no fue quebranta

do; ¿por qué repararlo? Aquellos que pensaron las matemáticas no

como un conocimiento, sino como una técnica científicamente útil,

y aquellos que no pensaron del todo acerca de tales cosas, no se

preocuparon mucho acerca de las cuestiones fundamentistas . La

primera queja estridente vino, de hecho, de un filósofo,

Berkeley fue el primero en rebelarse contra el caos en elfun

damento del cálculo. En 1734 publicó un trabajo que se proponía

mostrar que las especulaciones más arriesgadas de los teólogos se

comparaban favorablemente con los más sobrios enunciados de

los matemáticos en los fundamentos del cálculo. Notó con algún

Aquellas razones últimas con las cualeslas cantidades se anulan

no sonverdaderamentelasrazones de lascantidadesúltimas,sino

limiteshacia los cualeslas razones de las cantidades,decreciendo

sin limite, siempre convergen;y a los cualesellos se aproximan

cada vezmás que cualquierdiferenciadada, pero nunca van más

allá,n en efecto lo alcanzan,hasta que lascantidades son dismi

nuidas in infinitum. p .

39

Así, la derivada, limite de una sucesión infinita de razones,

fue concebida como elvalor de la razón en el instante de tiempo

justo antes de que elincremento seanulara (sea lo que fuere lo que

ello quiera decir). Los limites fueron también caracterizados como

dependientes de nociones temporales. Newton. explicó en

Principia:

los incrementos nacientes.rQuadrature cunes [1704],citado por

Kline, Mathemat icaJT bought f rom

.Anaent

lo

Mode rn

Times , p. 363

.



\

Para detal les sobre la naturaleza de lapropuesta de Lagrange véase

Theorie

desfo l le / io1lsal labt iq f fes.

Para su refutación por Cauchy véase Grabiner,

e OrigÍf l s

Ca f f c l y sR i go ro l ls Ca /m / lI s ,

p 36

2

Para apreciaciones contemporáneas de las contribuciones de Bolzano a es

tos campos consulté, por ejemplo, P.Dugac Des fonctions comme express ions

analytiques aux fonctions représentables analytiquement ; D.M.jonson, Prelude

to Dimensión Theory: Thc Geometrical Investigations of Bernard Bolzano ; R.

Van Rootselaar, Bolzano s Theo ry o f Real

Nurnbers ;

y Detlef Laugwitz,

Bermerkungen zu Rolzanos Gróssenlehrc . El últ imo compara l t rabajo de

Bolzano sobre infinites imales actuales con el propio desarrollo de Laugwitz del

análisis no-estándar de Robinson.

elcual cesan, por así decirlo, de ser cantidades , y larazón de dos

cantidades finitas no ofrece más una idea clara y precisa a lamen

te .cuando los términos de las razones sevuelven cero simultánea-

mente (veáse Grabiner,

T h e O r ig in s

Cat t cqy i R i goro t t s Cak ¡ ¡ / t ts ,

p.

44). Las crít icas de Lagrange a los fundamentos clásicos fueron

decisivas, y su proyecto para eliminar el infinito a través de una

reducción a la teoría de los números (álgebra), más que a través de

procesos constructivos, permaneció como un rasgo central de los

desarrollos tardíos decimonónicos. Pero su trabajo fundacional en

el cálculo, más que explicar, intentaba evitar las nociones básicas

del limite, continuidad, y similares, Se mostró pronto que su pro

puesta de fundamentación era insostenible.

: .. j El siguiente paso importante en este desarrollo fue dado por

Bolzano, El trabajo matemático de Bolzano abarca un asombroso

rango de temas, incluyendo la geometría, la topología, la teoría de

funciones, la teoría del infini to, y aún la noción de infini tesimal

actual. Aquí ilustraremos sólo su impulso filosófico con unas po

cas referencias al papel de Bolzano en el inicio del programa de

investigación que vino a ser conocido como la rigorización del

cálculo.

Es importante hacer una breve pausa para introducir una

materia que nos ocupará ampliamente en capítulos posteriores: el

sentido

propósito de proyectos fundacionalistas o reduccionistas

tales como la reducción de las matemáticas a laari tmética, o de la

a primera contribución importante en este tema fue la Théor i e

de s f onc ti on s ana y t i q tt e s (1797) de Lagrange. (El t itulo completo es

casi un manifiesto: Teoría de las funciones analíticas, alejada de

cualquier consideración de cantidades infinitamente pequeñas o

evanescentes, de limites o de fluxiones, y reducida al análisis

algebraico de cantidades finitas ). Alli explica que sus dos princi

pales propósitos son unificar elcálculo con elálgebra y,sobre todo,

desligar el cálculo de las consideraciones metafísicas que hacen

referencia a infinitesimales y fluxiones. El principal problema con

los fluxiones fueron sus nexos con el concepto ajeno de movi

miento y la oscuridad de lanoción asociada de un limite.

El principal escrúpulo de Lagrange acerca de la noción de

limite, es que, es demasiado vaga y demasiado geométrica; como

usualmente sepresentaba, consideraba cantidades en elestado en

Es bien sabido que las matemáticas superiores usan continuamen

te cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes. Sin

embargo, los geómetra s

aun los analistas antiguos, evitaron cui

dadosamente cualquier cosa que se aproximara al infinito. Yalgu

nos grandes analistas modernos, sostienen que los términos de la

expresión magnitud infinita se contradicen uno al otro. La Aca

demia espera, por lo tanto, que pueda ser explicado cómo es que

tantos teoremas verdaderos han s ido deducidos de una supos i

ción contradictoria,

que pueda delinearse un principio seguro,

claro- en una palabra, verdaderamente matemático -que pueda

apropiadamente sustituir a el infinito . (Grabiner, T b e O r i gi tl J

Cauc / ? y s R i go ro tl s Ca / cub« , pp. 41-42)

carácter espacio-temporal del cálculo -los mejores matemáticos

habían comenzado a preocuparse.

En 1784, tres años después de la publicación de la primera

Cri t i ca

de Kant, la Academia de Berlín, propuso una cuestión en

los fundamentos del cálculo como su problema matemático de

concurso. El problema fue, en efecto, explicar elpapel de lo infini

tamente pequeño y de lo infinitamente grande en el cálculo. El

plan explicado:

OLZANO y EL NACIMIENTO DE LA SEMÁNTICA

BOLZANO y EL NACIMIENTODE LA SEMÁNTICA



Es ampliamente reconocido que la primera contribución de

cisiva de Bolzano á la rigorización del cálculo, fue su

R ein a n a y t is c h er

Bew e is de s Lehrsat zes (1817). El problema examinado en su artículo

esuno que los kantianos habrían considerado como infantil: ¿cómo

saber que una función continua tomando valores arriba y abajo del

cero debe tomar el valor cero en algún punto intermedio? Lo que

es esencial no es, desde luego, el contenido especifico del teorema,

sino la perspectiva particular desde la cual Bolzano lo consideró.

La cuestión no fue ¿qué argumento debemos dar para convencer

nos a.nosotros mismos de que ésta aseveración es verdadera? Ésta

fu e-más bien ¿qué es exactamente lo que ésta afirmación

d ic e

Como

veremos, lacontribución duradera deBolzano a este problema fue

su intuición de l estructura de la secuencia de prueba requerida;

pero esta intuición fue, a su vez, dependiente de una clara y nueva

representación del contenido del teorema del valor intermedio. Para

alcanzar su concepción especifica de ese contenido, Bolzano pri

mero tuvo que explicar lo que significaban las nociones centrales

en el teorema, especialmente la noción de continuidad.

Bolzano empezó su artículo criticando una variedad de prue

bas clásicas del teorema y por implicación, una variedad de inter

pretaciones de su contenido. Algunas pruebas, explicó, dependen

de una verdad prestada de la geometria, a saber, que cada linea

continua con coordenadaspositivas y negativas debe intersectar el

eje de las

xs.

Pero esta proposición geométrica, es, sobre todo, un

caso particular del teorema bajo consideración y,más importante

aún, necesita deuna prueba en sí misma -una prueba que debe sin

duda derivarse del teorema más generaL Otra forma igualmente

. objetable de prueba introduce la noción de continuidad en térmi

nos de las nociones de tiempo y movimiento. Las últimas, sin em

bargo, son tan extrañas a las matemáticas generales como el con

cepto de espacio . Una prueba correcta debe empezar por dar una

definición propia de las nociones envueltas en el teorema y debe

probar la aseveración analiticamente , esto es, evitando la intui

ción y apelando solo a principios básicos relativos a los números

y

a las funciones.

VF\ .

aritmética a la lógica. Es ampliamente aceptado que el principio

que inspira tales esfuerzos reconstructivos es epistemológico, que

se trata básicamente una búsqueda de certeza. Éste es un serio

error. Es verdad, desde luego, que la mayoría de quienes estaban

comprometidos en esos proyectos creían en la posibilidad de al

canzar algo en lavecindad de una certeza cartesiana para aquellos

principios de lalógica o de la ~itmética en los cuales un conocí-

. miento

a Pr io r i

tenia que estar basado. Pero seria un grave error, ver

. ( l~~ 1\>-

~ ~ [en esta creencia, elobjetivo básico de laempresa. Un propósito no

r r; \ menos importante fue la clarif icación de lo que se decía.

I~ ck;J . l_

(~ ,J .VV\..

L 1 b ,. d alm .

hi

\ a pa a ra rlgor, usa a norrn ente por matemat1cos e 11S-

toriadores para describir el propósito y el log.ro de los mayores

proyectos fundacionistas del siglo XIX,es ambigua; es a lavez una

noción semántica y epistemológica. La búsqueda de rigor podría

ser,y frecuentemente fue, una búsqueda de certeza, de un

Grund

inamovible. Pero fue también labúsqueda de una clara explicación

de las nociones básicas de una disciplina (una reducción ideológi

ca? ; véase capítulo 11). La gente ignorante puede pensar que es .

infantil el preocuparse acerca de la diferencia entre para cada

épsilon, hay una delta que funciona para cada x y para cualquier

épsilon y para toda x, hay una delta ... , ya que cualquiera puede

verla. A dicha gente se le aconsejaria bien estudiar la historia del

cálculo y considerar las dificultades que emergieron de una falla en

distinguir entre convergeneia y convergencia uniforme. Los criti

cas modernos de los proyectos fundacionistas han estado ciegos a

sus dimensiones clasificatorias, algunas veces confundiendo una

búsqueda por el signif icado con una búsqueda por las esencias

( esencialismo ). La perspectiva epistemológi.ca en proyectos

t

r-l.J::~ -\:-\, . \ fundacionistas hace especialmente difícil elreconocimiento de sus

r-

\ t { . .

alcances básicos, ya que en pocos casos, si es que en alguno ocu-

rrió, hubo una reducción actual alcanzada o lograda que los

P ~ ; : :

¡ ; l x \ ~

reduccionistas consideraran como una base completamente s~tis

factoria de certeza. En lamayoría de los casos, sin embargo, h~bo

un claro avance en la dirección de reducir lo más oscuro a lo más

lclaro. El trabajo de Bolzano esun buen ejemplo de esto.

57

OLZ NOy EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC

BOLZ NOy EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC

6



)

~

4

Con la posible excepción de Cauchy todos los otros en esta lista fueron

directamente inspirados por el trabajo

tic Bolzano, Grattan-Guinness

ha argüido

(irnplausiblcmcnte)

yue

Cauchy

robe,las

ideas

deBolzanoen su

Bolzano,

Cauchy

and the Ncw .vnalysis of rhc E:ulyNinetecnth Century . Pero véasetambién la

respuestade Frcudcnthal cn Did Cauchy plagiarizeBolzano? y el análisisde

Grabiner en Tb e Orighls of CaIlC ~ I:rRig ll ro f ls Ca/ml s, especialmente

capítulo 3.

Desde muy pronto seatrevió a contradecirlo [aKant] directamen-

te en su teoría del tiempo y del espacio, pues no comprendía o

aceptaba que nuestros juicios sintéticos

a p r i or i

deben ser media

dos por laintuición y,en particular, élno creía que laintuición del

l

iempo estuviera en el fundamento de los juicios sintét icos de la

aritmética, o que en los teoremas de la geometría fuese permitido

descansar tanto en la mera apariencia visual, como en el esti lo

euclidiano. Fue por lomenos reluctante a aceptar esto, yaque muy

pronto encontró un modo de derivar de los conceptos muchas

verdades geométricas que fueron conocidas antes solamente con

base en la mera apariencia visual. ( Zur Lebensbeschreibung ,

. Gesa1J1tausgabe,

ser, 2 , vol . 12, pt. 1, p. 68)

que podría tener que ver con la geometría o con consideraciones

espacio-temporales . Todas las nociones dinámicas del cálculo

(continuidad, limite , etcéte ra) han sÍdo transformadas en estát icas.

La noción de que una función se aproxima a un valor se había

vuelto una metáfora engañosa, la cual realmente dice algo acerca

de ciertas des igualdades ari tméticas que no tienen ninguna conexión

con el tiempo. Como un resultado de la prueba de Bolzano, las

nociones centrales del cálculo tuvieron que ser a su modo arit-

metizadas . La ari tmetización -o r igor ización - del cálculo ser ía

completada en años posteriores por Cauchy, \ \7eierstrass , Cantor,

Dedekind.

Bolzano vió un claro proyecto filosófico detrás de éste. En un

esbozo de una autobiografía, alguna vez escribió (hablando de si

mismo en tercera persona):

3

Picrrc Dugac uno de loshistoriadoresmásimportantes de lahistoriade las

matemáticas de principiosdel siglo

XIX,

hajuzgado que entre los matemáticos

de principiosdelsigloXIX,Bolzanofueprobablemente lqueplanteó lascuestio

nes más profundas enlos fundamentos delanálisis ( Fondements de l analysc

p . 339). En otra parte refiriéndose específicamentea la Rc in analytischer Bcweis

dcs Lehrsatzes de Bolzano, Dugacdijoque laprueba deBolzano del teorema del

valorintermedio

muestra que él f ue el primero en tener

el

mérito inmenso de

entender la sucesión lógicade-teoremasque guíanal resultadobuscado, incluyen

do

l

teoremade la cota superior deun conjunto de números,el criteriode

Ct11fCfry

~el cual

Bolzano

establece en su memoria anticipando a Cauchy;la prueba de

Bolzano dela suficiencia de estacondición-una prueba incompleta, claro está

dauna idea,aunque seavagamente, delanecesidadde construir el conjunto de

losnúmeros reales( Des fonctions comme expressions analytiques aux fonctions

representables

analytiquement , p.

16),

Ésta es, en efecto, la primera presentación clara de la definí

ción épsilon --delta de la con tinuidad. Bolzano enton ces es tableció el .

(así l lamado) cri terio de a u c ¿ y para la convergencia, probando la

neces idad de ese cri terio argumentando su suficiencia con un pro.,

cedirniento obstaculizado por la falt a de una definición de número

real

la

cual emergería años más tarde). Probó entonces que un

conjunto acotado de números reales tiene una mínima cota supe

rior

de esto finalmente derivó

el

teorema del valor intermedio.

Desde el punto de vista filosófico, dejando de lado su signifi

cación especí ficamente matemát ica , e l rasgo más interesante de la

prueba de Bolzano es la cuidadosa eliminación de cualquier cosa

[la expresión

q u e u n a f U l lc ió tt f x v ar ía d e a c uer do a la /ry d e c o nt i nu i d a d

p a ra t od os l os v a/ or es d e x d en tr o o ji /e ra d e c ie rt os l ím it es

significa sólo

esto:

Ji x

N

a l g u no d e t a le s v a lo r es , l a . d if er c n ii a f - C + ¡ ¡ ;l . C p u e d e ser h ec ha

m ás p eq u e/ fa q u e C t la l ql lier c a n ti da d d a d a

C OI1

t al d e q u e

¡¡

p u e da ser t o m ad a

t a n p e q ueí ia c om o q u er a mo s] p p .

427-428)

La primera tarea, por lo tanto, fue purificar la noción de con

t inuidad de cualquier carácter dinámico espacio-temporal y vol

ver lo una noción ari tmética, analí tica . si se nos .dice que:

9

OLZ NO

y

EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTICOLZ NO

y

EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC



. \ Bolzano estuvo de acuerdo con los maestros deKant, en que todo

L conocimiento consiste en representaciones; y también estuvo de

( :}. acuerdo con Kant en que las representaciones son en última ins

j tancia reducibles a conceptos o intuiciones. Pero el caos que uno

encuentra en la l iteratura tanto antes como después de Kant res

pecto de

la

naturaleza de esas representaciones, es sustituido en

Bolzano por un enunciado claro, cuidadoso de lo que ellas son.

Para comenzar, hay las ambigüedades ocasionales de Kant

acerca de el~mentos subjetivos e intersubjetivos en la representa

ción, que son eliminadas por completo. Bolzano empezó por dis

t inguir dos sentidos de la palabra representación . En primer lu

gar, hay las únicas representaciones que los psicólogos (y los

idealistas) consideran, los estados mentales o determinaciones del

lma, como Kant las había llamado - tales como mi estado mental

cuando percibo un objeto físico. Ésas son llamadas representa

ciones subjetivas o representaciones en nosotros (Bolzano,

Gesamtatlsgabe,

ser. 2B,vol, 18, pt. 2,p. 64).En segundo lugar, hay el

mucho más importante contenido intersubjetiva de la representa

ción psicológica o, como Bolzano lo llamó, la representación en

sí misma o representación objetiva .

La clave de lo que las representaciones objetivas son, emerge

del hecho de que cada unidad gramatical significativa está asociada

con un gran número de representaciones subjetivas, pero con solo

un a

representación-objetiva, la cual posee ser, aún cuando el objeto

Lde la representación no 10 tenga. Por ejemplo, las representacio

nes subjetivas que ocurren en las mentes de mis lectores cuando

~ov :J L ::: . ~ \ t > . . . : 6 -- .

M¡Ao,--:~ ~·J L

I\l-~M: ~~ ~

0-,

I t \ . , ~ . t c . . : ~ -

a r aiz d el p ro blem a

Re in anajy tis cherB ene is desLehr sa tzes de Bolzano fue sólo una

de una variedad de contribuciones a este proyecto de excluir a

la

intuición de las matemáticas. Yaque Kant había argüido que todo

conocimiento sintético requiere de laintuición, elproyecto mate

mático de Bolzano plantea un reto implíci to al principio de los

juicios sintéticos y,por lo tanto, alcorazón dela semántica kantiana.

Bolzano decidió hacer ese reto completamente explícito.

5

En la ocasiónBolzano parecíaestarinspiradopor unapersistenciade obje

tivo:él fue

el

primero en descubriruna función continua queno es diferenciable

en ningunaparte (Weierstrassfue

el

primero en

pllb/ icar

un ejemplodé ,ste tipo),

Ésta pretende haber descubierto una diferenciadistinta

y

caracte

rísticaentre losdos tiposde conocimientohumano apr ior i ; elfilo

sófico

y

elmatemático,a saber,que el

canoamien to

ma t emá t ic o d eb e s e r

capaz de representar i e., c o ns tr ui r - adecuadamente todos sus

conceptos en una in tu ic iónpura , y por lo tanto demos trar todos sus

teoremas.El conoc imien to i losó ji t o , por otro lado,faltándoletoda in

tuición,debe ser satisfechoconmeros conceptosdiscursivos. La esen

cia delasmatemáticaspor lo tanto seriamás propiamente expre

sada a través de la siguienteexplicación:es u n a c ie n ci a d e r azó n p o r

me dio de l a c on st r uc t iá nd e con cep tos.. Conrespecto a

m

francamente

reconozco quehastaahora-como dehecho con tantasotras doc

trinasde la

filosofía

crítica- he sidoincapaz de aceptar la correc

ción de lasasercioneskantianasrespecto a

l a i n tu i ci ó n pu r a

y de la

cons t rucc iónde concep tosa través de ella .

Tambiéncreoque seguramen

te yace

alli

una contradiccióninterna en el c on ce p t od e una i n tu ici ón

pura (i. e. a p r ion ) ; y aún menos me puedo convencer de que es

necesario construir el concepto de número en el tiempo

y

que

consecuentemente laintuicióndel tiempo esunaparte esencialde

la aritmética. (pp.

106-107)

No hay, enverdad, ningún tema a lo largo del trabajo matemá

tico y filosófico de Bolzano más consistente que el compromiso

de sacar a la intuición pura del conocimiento apriori . En elcampo

de las matemáticas, esto tomó la forma de excluir persistentemente

ideas espaciotemporales de temas distintos de la geometría y cues

t ionar en todo momento elvalor de cualquier tipo de intuición en

matemáticas.

5

Ya en

Br y tr age z u

ei ner

begriindeterenDarste ¿lIng

de r

Mathemat ik

(1810), Bolzano había planteado

la

cuestión de la natu

raleza de lasmatemáticas y su relación con la filosofía. La filosofía

critica, explicó, ofrece una respuesta:

(

61

oLZANO Y EL { lACIMIENTODE LA SEMÁNTICA

BOLZANOy EL NACIMIENTODE LA SEMÁNTICA



)

,

J

: . < :

_J

,J

sentación. Aunque ambos son objetivos, sólo uno de ellos esreal y

sólo uno de ellos es eltema del discurso cuando lapalabra 'mesa'

es usada. En consecuencia un debe distinguir tres elementos

semánticamente relevantes asociados con una unidad gramatical:

@ la representación objetiva o el significado,@ el objeto de la re

presentación

i.e.,

laentidad referida por un nombre propio, sihu

biera alguna), y@el proceso psicológico que toma lugar cuando

percibimos o pensamos acerca del objeto de la representación

Thcory Science ,p. 62). Esas distinciones habían sido reconocidas

deun modo u otro por lamayoría de los principales filósofos ante

rieres a Bolzano. Lo que hace su contribución en esta materia tan

notable es que, élfue el primero en reconocer completamente las

enormes implicaciones destructivas de un reconocimiento aunque

seavago de esas distinciones. Como élalguna.vez lo puso, el pseudo

protón de la nueva filosofía idealista es que el concepto en sí

mismo no es claramente entendido, y es confundido algunas veces

=o~el pensamiento y algunas veces con la cosa que es su objeto

( TJber del'Begriff des Schónen [1843),p. 6).

Una de las más importantes consecuencias que Bolzano sacó

de esas distinciones, fue una reformulación radical de un principio

semántico implícito que había gozado de amplia aceptación desde

los días de Leibniz, la doctrina de que una análisis apropiado de

una representación subjetiva, debería, identificar en ésta tantas partes

como las que hay en elobjeto representado, Leibniz había sosteni

do, por ejemplo, que larepresentación

idée

de verde es indistinta,

porque aunque 110S parezca ser tan simple, es, de hecho, compleja:

la física establece que el verde emerge de la combinación del azul

y elamarillo, Así uno tiene razón alpensar que laidea de verde está

compuesta de esas otras dos ideas.. .por lo tanto, que hay percep

ciones de las cuales no somos conscientes

No i tv e a ux e s sq y s ,

p. 100).

Kant quedó tan impresionado con la idea de Leibniz, que usó el

mismo ejemplo en sus lecturas de lógica para explicar cómo las

representaciones pueden ser claras pero indistintas, y cómo la dis

tinción puede lograrse con la identificación de los constituyentes

l lYienerLogik,

p. 841). en una de sus reflexiones, Kant notó que

una representación debe ser isomórfica a lo que representa: [ la

(,Claramente, también Bolzano está delimitando aquí

el

problema más arduo

de la tradición a lacual él pertenece: el sentido en

el

cual

el

tema de la semántica

t iene alguna sustancia. Pronto 'veremos este problema crecer (capítulo 4, 5 Y6)Y

guiar finalmente a la peculiar actitud vienesa hacia laontología.

Ellas no deben estar eneldominiodelo ~l ..

Una

representación

objetiva no requiere un sujetopero subsiste,no en verdad como

algo

exis tente ,

sino como cierto

algo

aunque

ningún

ser pensante

pueda tenerla; además, no se multiplicacuando es pensada por

una, dos, es o más seres... Por esta razón, cualquierpalabra, ex

cepto que seaambigua,designasólouna representación objetiva.

p . 2

t>wo\_

. r J . . - ( ( . . ( ;

~ u. '- - . Las representaciones objetivas son la sustancia

triflj

o conte-

nido de las representaciones subjetivas. Su ser de ninguna manera

depende de la existencia de actos subjetivos, de la misma manera

quC'la ~iglli~catividad de expresiones de ninguna manera depende

de tIlle algu1en tenga los significados apropiados en la mente;

y

~ ll1

en

el

caso de los significados, hay sólo una para cada unidad

,lingüís,tica,exc~pt~ que la expresión dada sea ambigua. Las

=r=:

rsen.~~cl~~es ~bJ~~vas de Bolzano son clal'an:-e~te los significa-

dos o sentidos de sus sucesores en la tradición semántica.s La]

distinción e?,tre l'epl'esen.tac~ones subjetivas y objetivas equivale a

una separaclon entre el s1gnificado y los pl'Ocesos psicológicos.

~olzano además distingue entre una representación objetiva y

el objeto de esa representación. Por ejemplo, la representación '

objetiva ~sociada con la.palabra 'mesa'

C í. C

el significado de 'mesa')

no deberla ser confundido con las mesas, los objetos de esa repre-

ellos ven lapalabra 'nada; deberían ser casiiguales unas a las otras,

pero ellas son, sin embargo, muchas. Por otro lado, hay sólo una

representación objetiva designada por esta palabra (Bolzano,

Tbeo ry

Sc ience ,

p . 62).

. Mien~as la~/resenta~iones subjet ivas son reales, esto es,

tienen eX1stenc1a\~._:: lln el t iempo cuando están presentes en un

sujeto p. 61), las~sentaciones objetivas no lo son.

OLZ NO·


BOLZ NO




El análisis semántico puede remediar esta dificultad por hacer

que las representaciones objetivas y las subjetivas correspondan

unas con otras. La doctr ina de Bolzanoreorienta el análisis con

ceptual sobre un camino que eventualmente guiará a la

Begriff tschrif t

de Frege.

Finalmente, aunque elmás obvio propósito de las representa

ciones objetivas es representar sus objetos, Bolzano pensó que su

l

tarea más importante era reunir en proposiciones elcontenido sub-

J

jetivo y los juicios subjetivos. De nuevo, uno debe observar aquí

la

.distinción entre los dominios objetivo y subjetivo. Las proposicio-

nes subjetivas -los juicios de los tratados de lógica clásica- son

estados mentales constituidos por representaciones mentales. Su

contenido, las proposiciones en símismas (como Bolzano las lla

mó), tienen representaciones objetivas como sus constituyentes.

Me parece indiscutible, escribió, que todas las proposiciones,

aún las más simples, están compuestas de ciertas partes,

y

asirnis

mo parece claro que esas partes no solamente ocurren en la ex

presión verbal como sujeto y predicado .. . sino que ellas están

contenidas en la proposición misma

T he ory o f S cie nc e,

p. 65).

Los constituyentes de la proposición objet iva expresada por el

enunciado S son, de hecho, las representaciones objetivas asocia

das con las unidades gramaticales de S.Más aún, una proposición

Pensamos una determinada representación en símisma, i.e tene

mos una representación mental correspondiente, sólo s i pensa

mos todas las partes de las cuales consiste,

i.e.

si tenemos también

representaciones mentales de esas par tes. Pero no es necesario

que seamos siempre claramente conscientes de,

y

capaces de diso

ciar, lo que pensamos. Así , puede ocurr ir que pensemos una re

presentación compleja en sí misma,

y

seamos conscientes de que

la pensamos, s in ser conscientes del pensamiento de sus par tes

individuales o ser capaces de indicarlas. Theory S c im ce , p. 69)

yes porque este isomorfismo es, en su mayor parte, tácito o in

r

que el análisis semántico es esencial:

La misma confusióninspiró un famosoargumentoen la r í t i t l deKant a l

efecto de que elespacionopuede ser un conceptoporque el espacio es infinita

mente divisibley ningúnconcepto como talpuede serpensadocomo contenien

do un número infinito de representacionesdentro de símismo

B 4 0 \

B l

o zano

identificó estaclarainstanciade la falaciacuandonotó queKant estabasuponien-

do que ya que el espaciomismo consiste·deuna

infinidad

de partes, el concepto

de espacio debe tambiénconsistirde unainfinidaddepartes Theory S c i enc e ,p.

84).Un ejemplomuchomás importante esla fallaen distinguirentre la constitu

ción de representaciones y la de los objetosque ellasrepresentan.La resistencia

asombrosa de esta confusiónseráuno de los temasdominantes de la Parte Il.

Bolzano pensó que había un importante núcleo de verdad en

todo esto, pero que el objetivo perseguido fue entorpecido por el

p~e~do protón idealista, la confusión entre la

represent ión

objetiva y su objeto. Kant estaba suponiendo que las partes de

una representación son las mismas que las representaciones de las

partes de su objeto (Bolzano, W L, seco63). Esto es claramente

falso ya que, por .ejemplo, la representación de un simple objeto

pu~de ser compleJ,a.(como_en

el

cen tro

d e m a s a d e l s i st em a s o la r - 1

Hay

\ ~n isomorfismo tacito en la representación, Bolzano pensó, pero

lste se da entre larepresentación mental y su contraparte objetiva.

La representación está compuesta de sus conceptos componentes

del mismo modo en el cual la cosa representada está compues ta

de sus partes. Así como, por ejemplo, uno puede dec ir que las

notas de una pieza musical son una representación de la conexión

armónica de los tonos, no porque cada nota sea similar a cada

tono, sino porque las notas están conectadas unas con otras exac

tamente como los tonos mismos.

p.

78)

representación] es esa determinación del espíritu B es ti m m tt n g d e r

Seele que se refiere a otras cosas. Lo que yollamo referir (Beziehen)

ocurre cuando sus rasgos se conforman a aquellos de las cosas

externas ( Die Vernunftlehre , Reflexionen 1676,

Kan t s G e s am m el te .

Schr i f t en ,

vol. 16, pp. 76-77). Pero, agrega, una representación no

está en relación con lo que representa como lapintura a su tema.

(

OLZ NOy EL N~CIMIENTODE L SEMÁNTIC

BOLZ NO

y


4



Notemos de paso que laprueba deKle in de la independencia del postulado

de las paral elas en 1871 esmejor entendida a la luz del nuevo punto de v ista de

Bolzano, Sea P el postulado de las paralelas y E la conjunción de los restantes

axiomas euclidianos; entonces lo que Klein mostró esque E P no es necesario,

Hay dos modos básicos de construir lanecesidad lógica y los

atributos modales de las proposiciones relacionadas. De acuerdo

al primero, el que podríamos llamar el modo Leibiniziano, para

determinar siuna proposición p eslógicamente verdadera, fijamos

p y cambiamos el mundo, observando lo que le pasa al valor de

verdad de p. Para ver si 1)es lógicamente verdadero, por ejemplo,

examinamos diferentes mundos posibles para ver si éste hombre

carece deplumas en todos ellos. Encontrando que no, concluimos

que 1) no es lógicamente verdadero. .

De acuerdo alsegundo procedimiento, cuando queremos del

terminar sip es una verdad lógica, no cambiamos el mundo; cam-

biamos p en su lugar y miramos si los valores de verdad de las~

proposiciones resultantes-evaluadas en este mundo nuestro fijo- > r i ~

cambian también. En lugar de prever nuevas circunstancias, preve-

mos, en efecto, nuevas afirmaciones acerca de las circunstancias

dadas. Esta idea, vagamente relacionada a la introducción por

Aristóteles de lavariable en las consideraciones lógicas.fue prime=._t

amente desarrollada en los escritos de Bolzano.

de la confusión, digna sólo de ser eliminada de nuest ro pensa

miento. La mayoría de los f ilósofos han tomado la primera pos i

ción; el~arácter ridículo de las teorías de lamodalidad y lo

a r i o r i

que ellos .ofrecen pueden haber s ido combustible poderoso que

movió a muchos filósofos sanos a considerar el segundo. Bolzano

fue uno de los más prominentes proponentes decimonónicos del

punto de vis ta posi tivista , de que elsentimiento modal es enga

ñoso y debería ser eliminado. Y sin embargo, nadie en elsiglo XIX

seaproximó más que éla una apreciación de los hechos que guia

rían, alrededor de 1930, a una nueva

doctrin

de lanecesidad y de

los

a p riori

Para ver esto, debemos primero examinar la contribu

ción de Bolzano alproblema de la analiticidad,

son verdaderos, parecen diferir en un rasgo modal elusivo. Como

algunos lo dir ían, 1) es meramente verdadera, mientras que 2)

d eb e ser verdadera. Alternativamente, 1)es conocida solamente a

través de la observación, mientras que 2) es conocida

a p riori

Antes de padecer tratamiento f ilosóf ico, la mayoría de la gente

acordaría en que un sentimiento modal está asociado con 2) pero

nocon 1)y esto parece estar relacionado con la diferencia entre

los modos de acceso a laverdad de esos enunciados. Uno de los

problemas filosóficos perennes es si el sentimiento modal asocia

do con 2)es un indicador seguro de algún rasgo importante dela

afirmación correspondiente o si éste es nada más que elproducto

2 ) si todos los hombres son mortales y todos los griegos son

hombres, entonces todos los griegos son mortales

y

1) este hombre esun bípedo implume

Pocas materias dividen a los filósofos de manera más reveladora

que su actitud hacia el puente entre

que es y lo que debe ser,

entre elhecho y lamodalidad. La materia básica podría ser ilustra

da como sigue: aunque ambos

Modalidad, analiticidad y lo pr or

no esacerca de sus constituyentes sino acerca delos objetos de sus

representaciones constituyentes véase

In

secciones 48-52).

El esbozo precedente provee una ilustración del sentido en el

cual Bolzano es responsable del tipo de semántica teórico-pictóri

ca que se desarrollaría décadas más tarde en los escritos de Frege,

Russell y \X7ittgenstein. La semántica filosófica no fue inventada

por s misma, sin embargo, sino en razón de la epistemología. Fue

inventada de tal manera que el carácter del conocimiento, en parti

cular del conocimiento

a

pr or pudiera ser mejor entendido. Vea

mos cómo Bolzano lapreparó para ese uso.

OLZ NO

y

EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTICBOLZ NO

y




9 Nuestra a d m i s i b i li d a d g r a m a t i c a l interpreta la Gegells tih¡dlichkeit . Una proposi

c ión c uyo t érmi no s ingula r e s e l hombre x pe rmanec erá

gegmstiilldlich

cuando

su bstituimo s no mbres de ho mbr es po r x , pero perder á su GegC1/s tiil ldlichkeit si

e sc ri bi mos, por e je mplo, e l hombre 7 . El reque ri mi ento parec e s er i ns pi ra do por

a lgunas de l as mis ma s c onsi de ra ci ones que más t arde gui aron a R us se ll a s u t eorí a

d e t ip os y a W it tg en st ei n a s u d o ct ri na d e l a f o rm a d e s us o bj eto s.

10 Lo analitico de Bolzano

í

e st á c erra do c on res pe ct o a s us c o n s e c n e n a a s l ó g i -

c a s : este triángulo tiene ángulos que suman 180° esanalítico-ya que laadmisibilidad

gramatical Gegel/s fii l ldlichkeit) exige que este siempre esté por la representación

de un t ri ángulo, pero t odos l os t ri áng¡a~os t ie ne n á ngul os que s uman-180° no e s:

analítico véase

T h e o r y

oj

S c i e ¡ . . c c

I?P.195-202; véase también sección 59). Un siglo

d esp ué s d e q ue Bo lz an o d ef in ió allgell1cillgiilt ig ,s in e mb ar go , Gó de l :p ro bó u n

~

los constituyentes que deben ser considerados como variables.Qué

proposiciones seránasociadascon.aquellabajo consideraci.ón(corno

sus compañeros Bolzano ) depende enteramente de cuáles de

sus constituyentes sean considerados variables. sí Bolzano in-

\

trodujo la.no.ción de

v a l id e z g e ne r a l A I ¡ g e .m e i J l g ül t ig k e i t; :

una proposi-

{ } ción P es generalmente válida relativa al conjunto Xl..... xn.cuando

. están todos sus constituyentes; lasacotacionesde Bolzan9.(todas las

proposiciones obtenidas por reemplazar Xl.....xnPor representacio

nes arbitrariaspero gramaticalmente admisibles)? son verdaderas.

Bolzano consideró brevemente la posibilidad de dejar sola-

mente los constituyentes lógicos fijos,pero observó que el domi-

[

niOcompleto de conceptos pertenecien tes a lalógica no está a tal

punto circunscrito que ninguna controversia pudiera luego resul

tar (pp.

198-199)

y, por lo tanto, dejó el asunto de lado. En

la

medida en que la distinción pudiera ser trazada, propuso llamar

l ó g i ca m e n t e a n a l ít i ca s

a todas aquellasproposiciones que son univer-

salmente válidas relativas a todos sus conceptos no lógicos. Reser

el término analitico para la mucho menos prometedora no-

ción de proposición que es universalmente válida relativa a algu

nos u otros constituyentes (pp.

197-198).

Mientras que la noción de analiticidad de Bolzano no parece

capturar un concepto interesante, difícilmente podría decirse lo

mismo de suvalidez general.10 Mucho más importante que separar

en

el

sentido deBolzano. Pero ciertamente no mostró que en elsentido deLeibiniz)

h ay u n m un do c on ce bi bl e e n e l c ua l E

P s ea f al sa . C om o v er em os , F re ge - y

muc hos otros - no podía e nc ontrarle s enti do a l a a fi rmac ión de K le in, yargume n

tó que uno p o d í a proba r l a i ndepende nc ia del pos tula do de l ~s paral el as . Él

estaba probablemente pensando en términos del enfoque Leibinziano, no habien

do c apta do l a fue rz a de l a i ntuic ión de B ol za no,

Mientras el tratamiento de la modalidad en relación con los

mundos posibles no parece dejar lugar para la elecciónhumana, el

enfoque deBolzano es claramente relativo a una especificación de

Frecuentementetomamosciertasrepresentacionesenunapropo

sicióndada comovariablesy s~ ser claramenteconscientesde

ello,reemplazamosesaspartesvariablespor ciertasotras repre

sentacionesy observamoslosvaloresdeverdadque esas

ProP07

sicionestoman...Dadauna p~oposición,podríamosmeramente

inquirirsi esverdaderao falsa.Peroalgunasmuynotablespro

piedadesde lasproposicionespuedenserdescubiertassi,además,

consideramoslosvaloresde verdadde todasaquellasproposicio

nesquepuedensergeneradasapartirde ella,sitomamosalgunos

desus representaciories constituyentescomovariablesylos reem

plazamospor cualesquieraotras representaciones.p

194)

\ Russell alguna vez sostuvo que no tiene sentido decir de una

proposición verdadera que podría haber sido falsa

P r i n c i p I e s ,

p. 12).

Quizás incapaz de encontrar sentido en el discurso sobre mundos

diferentes, fue también incapaz de encontrarlo en laidea de dife

rentes valores de verdad para

esta

proposición. Habría estado de

acuerdo con eljuicio deBolzano deque cadaproposición dada es

verdadera o falsa y nunca cambia; o esverdadera para siempre, o

falsa para siempre, excepto que cambiemos alguna p a r t e de ella y

por lo tanto no consideremos más lamisma proposición sino al

guna otra

T h e o r y

S c i e n c e , p. 194).

De acuerdo con Bolzano, este cambio tácito de la proposi

ción es, dehecho, lo que estáimplicado enla mayoría delas aseve

raciones modales:

9

OLZANO E L NAqlMIENTO DE LA SEMÁNTICA

BOLZANO EL NACIMIENTO DE LA SEMÁNTICA



. ~

J ,

J

1

1\

No todo lo que puede ser predicado deun objeto, aún con nece

sidad,estáya en elconceptode eseobjeto.Por ejemplo,uno pue

de predicar de cada triangulorectilíneoque la suma de susángu

los

180...sin embargo,ninguno creeráqueesaspropiedades del

La intuición de Bolzano guió a un mejor entendimiento de la

noción de analiticidad; pero, lo que es más importante, guió tam

bién a la siguiente cuestión:

Si los recursos conceptuales que deben ser movilizados para

justificar los juicios analíticos son sólo un fragmento modesto de

aquellos disponibles para nosotros, ¿qué trabajo realizan los con

ceptos restantes? ¡Seguramente ellos deben hacer algún trabajo

Parece absurdo suponer que elmodesto resguardo de conceptos

que pertenecen a lalógica justifique algunas aseveraciones (lasana

líticas), pero que todos los restantes conceptos no tengan talentos

comparables. Sila conjunción y la implicación bastan para estable

cer la verdad de 'si esto es A y B, entonces es entonces los

conceptos de color, por ejemplo, deberían ser capaces de contri

buir a lajustificación de algunas otras afirmaciones. ¿Cuáles? Cual

quiera que sea larespuesta, podemos ver que las cuidadosas inves

tigaciones semánticas de Bolzano muestran que laposición de Kant

en esta materia esun punto medio prácticamente insostenible; pues

Kant insistió en la capacidad de los conceptos para establecer la

validez de ciertas afirmaciones, pero almismo tiempo no fue cons

ciente del vasto continente restante de recursos conceptuales. Las'

confusiones semánticas de Kant le impidieron advertir la fuerza

fundadora de los conceptos descriptivos. Lo que a su vez lo guió a

postular la intuición pura. Cuando las confusiones fueron expues

tas, se abrió otra vez la cuestión de siel conocimiento geométrico

y aritmético requieren algo más que

el

dominio de los conceptos

para su justificación.

Consideraciones como éstas.jugaron un papel en las visiones

posteriores de Bolzano sobre la naturaleza de los juicios sintéticos

priori Como hemos visto, él pronto concedió la existencia de

tales juicios (en el sentido nominal de sintéticos):

teoremaal efecto de quetodaslas fórmulas generalmenteválidas deun lengua

je de primer orden son demostrables en un sistema axiomáticoapropiado, tal

como eldiseñadopor Frege.Gódel no explicóloque élentendíapor a l g e l n e i l l g i i l t i g

(Tarskilo hizo,unos pocos años después, como veremos);pero él podría haber

usado la caracterizaciónde Bolzanorelativizadaa las nociones lógicasde sulen

guaje de primer orden.

Seria dificil exagerar laimportancia de esta intuición o lamag

nitud en la cual ésta socava las bases de la filosofía de Kant; para

Bolzano el decir, en efecto, que la pretensión de Kant de que las

verdades basadas únicamente en el conocimiento conceptual de

ben ser analít icas es casi lo opuesto de laverdad, ya que el rasgo

básico del conocimiento analítico, en

el

sentido nominal de Kant,

es que éste p s p o r l to lamayoría de los conceptos o representa

ciones. El punto de Bolzano es precisamente

el

indicado al final

del capítulo

1

Que él fuera el primero en hacerlo

y

el único en

verlo claramente durante uri buen número de décadas) fue una

consecuencia del hecho de que él fue

el

primero en distinguir me

ticulosamente entre el contenido de una representación concep

tual

y

sus decoraciones psicológicas.

Generalmente, me parece que ninguna

esas explicaciones

enfatizalo ¿uficientementeloque hace a esasproposiciones [ana

líticas]importantes. Yocreo que esta importancia radicaen elhe- ]

cho de quesu verdado falsedadno depende de la~representaci~-.

nes individualesde las cualesestá compuesta ... Esta es la razon

por la que doyla definición de arriba. p 201)

aquellas de sus nociones destinadas a tener un brillante futuro, sin:

embargo, esreconocer laintuición básica que subyace alenfoque de

Bolzano en materia de analitiddad. Esta intuición emerge más clara

mente cuando, después de ofrecer sus propias propuestas, Bolzano

(como es usual) torna a examinar las mayores alternativas disponi

bles en la literatura filosófica. Después de un detallado examen de

las debilidades de la noción kantiana de analiticidad concluye:

71

OLZ NO


OLZ NO


0



(3) todos los hombres son bípedos implumes

Aquellos deseosos de hacer sentido de la diferencia modal entre

1 y 2 dirán típicamente que la verdad de 1 consi st e en c ierta

correspondencia con los hechos ypuede ser determinada por ape

lac ión a esa correspondencia, pero estarán dispuestos a conceder

. sólo que la verdad de 2 puede consistir en esa correspondencia.

Ser ía una confusión apelar a esa correspondencia para jus tificar

2

- tan confuso como intentar determinar empíricamente si todos

los solteros son no casados. Fácilmente el modalista concederá

que la verdad de

L as b as es d e la v erd ad ló gic a

Esto dice, en efecto, que no solamente el contenido sino tam

bién la justificación de los juicios sintét icos a P r i or i es puramente

conceptual.

Esto no fue más que un chispazo de intuición, sin embargo, y

no estaba destinado a jugar un papel mayor en

el

sistema de Bolzano.

La explicación oficial de Bolzano de cómo un conocimiento apr ior i

está fundado fue muy diferente de la que vimos en la

TV iSsenscha f t s le hre .

¿Qué justifica alentendimiento para atribuir a un sujeto A un pre

dicado B que no está en elconcepto A? Nada digo sino que el

entendimiento t ime y c onoc e los dos conceptos A y Yo pienso

que debemos tener alguna forma de juzgar acerca de ciertos con

ceptos simplemente. porque los tenemos ...y qu esto es verdade

ro generalmente, también es verdadero en el caso en que esos

conceptos son simples. Pero en este caso, los juicios que hacemos

de ellos son ciertamente sintéticos [en el sentido nominal de Kant].

T h e o J I S c i e n ce , p 347

juicios relevantes. Pero en la Wissenscha f t s l e hre ,

finalmente

vino a

reconocer que sus in tuiciones semánticas podrían encontrar buen

uso en este prec iso punto:

11 Bolzano hizo la misma afirmación en AllgemeineMathesis (1810),

Ge sa1JJlo1 l gabe , seriedosA, vol.5, p.

31.

12El principiode Kant delosjuiciossintéticosfue tambiénpuesto en duda eri

Gros s e n / e h re , p.86.En elmismo tratado,Bolzanoofreció como explicaciónpara el

recurso de Kant a la intuición en matemáticaslas mismasconsideraciones que

Russellofreceríaaprincipiodenuestrosiglo;él sugirió,en efecto,quelaincompletud

dela teoríalógicadioa Kant a pensar que uno tenía que recurrir a una fuente

extraconceptual (p. 88).

¿Qué es, entonces, lo que justi fica la creencia en esos juicios

pr iOri? Las explicaciones más comunes de Bolzano fueron de tipo

empí rico, así inconsistentes con e l supuesto status a P r i or i de los

Kant plantea la cuestión, ¿qué justifica a nuestro entendimiento

asignar a un sujeto un predicado que de ningún modo está conte

nido en el concepto (o explicación) del primero? - pensó que

había descubierto que esta justificación podría sólo ser una intui

ción que ligamos con elconcepto del sujeto y que también contie

ne elpredicado. Así, para todos los conceptos de los cuales pode

mos construir juicios sintéticos, debe haber intuiciones correspon

dientes. Si esas intuiciones fueran siempre meramente empíricas,

los juicios los cuales ellas median deberían también siempre ser

empíricos. Yaque, sin embargo, hay juicios sintéticos

aPr ior i

-(que

tales cosas están s in duda contenidas en las matemáticas y enla

ciencia n tur l pura); debe también haber intuiciones

a pr i o ri -

no

importa cuán extraño esto pudiera sonar. Y una vez que uno ha

decidido que puede haber tales ,uno también se convencerá a s í

mismo fácilmente que para los propósitos de las matemáticas y la

ciencia natural pura, el tiempo y el espacio son esas intuiciones.

( B r yt r a ge ( ji e i n er b e g r ii n d e te rm da r s te / /t l1 / .g d e r Ma t h e m at ik , pp.

23 4-5 12

La solución de Kant, a la que subyacía el principio de los jui

cios s inté ticos, fue c laramente rechazada:

triángulo están contenidas como constituyentes de este concepto.

( Logis che Vorbegriffe , Gesam tausgabe , ser. 2A, vol . 5 ,p .

178 11

73

OLZANO

y

Ni,lCIMIENTODE LA SEMÁNTICA

BOLZANO

NACIMIENTODE

SEMÁNTICA

72



)

)

)

. : ;

u Para una indicaciónreveladorade cuánto el punto de vista de.Bolzanose

ha vuelto ahora fundamento común, véase

la

interpretación de Bochenski del

mismo pasajearistotélico en su

Po rm a ie Lo gik

clásica,p. 54. Bochenski comenta

gue el pensamiento expresado es completamente claro:Aristóteles... saca una.

distinción clara entre la validezde la inferencia

y

verdad de las premisas.Esos

El se sigue de necesidad [en la

caracterización

de Aristóteles]

puede dificilmente ser interpretada en algún otro modo que éste:

que la conclusión se vuelve verdadera

s ie m p re y c u an d o

las premisas

sean verdaderas. Ahora esobvio que no podemos decir deuna y la

misma clase de proposiciones que una de ellas sevuelve verdade

ra

s ie m p re y c u an d o

las otras sean verdaderas, excepto que tengamos

en mente algunas de sus partes como variables ... La formulación

deseada fue ésta: tan pronto como elintercambio de ciertas repre

sentacionés

hace las premisas verdaderas, la

conclusión

debe

[ s i c . ]

también volverse verdadera.

T h e o ry o f S c iC 1 lc e

p. 220)13

El fundamento de 2) , como el de 1) , deriva de abajo, de los

hechos.

La misma actitud es claramente desarrollada en la interpreta

ción de Bolzano de la celebrada dist inción de Aristóteles de un

silogismo como un discurso en el cual, habiéndose establecido

ciertas cosas, algunas otras se siguen de necesidad de su ser así

PriorA

l 1 a y t ú S ,

2 4 b 1 9 ).

He aquí elcomentario de Bolzano:

La única razón por la que estamos tan ciertos de que las reglas

barbara c e lar ent

etcétera, son válidas, es porque han sido confir

madas en miles de argumentos en las cuales las hemos aplicado.

Éstaes también laverdadera razón por la que estamos tan confia

dos, en matemáticas, de que factores en orden diferente dan e l

mismo producto, o de que la suma de los ángulos en un triángulo

es igual a dos ángulos rectos.

T h e o 1Yo f S c ie n c e

p. 354)

particular, los fundamentos para la verdad de 2) son, en esencia,

del mismo tipo que aquellos de 1) :

En su característica manera flemática, Bolzano notó el peso

gigantesco de la tradición en favor de este enfoque y entonces exa

minó los varios intentos de explicar la distinción forma-materia.

Concluyó, correctamente, que hay muy poco además de confusión

detrás de los modos tradicionales de sacar la distinción. Pata aque

l los que insist ieran en usar alguna noción de forma, ofreció una

definición honesta: La forma de la proposición p relativa a sus

constituyentes Xl Xn es, en efecto, la clase de proposiciones que

difieren depalo más en los constituyentes en cuestión (véase W L ,

sección 186). Pero Bo1zano fue claramente muy poco partidario de

aquellos lógicos y filósofos cegados por laluz crepuscular y eru

dita de las palabras forma

y

materia Theory Science p. 164).

Bolzano concluyó que la idea de forma en su construcción

tradicional no tenia valor, y no podía ver otro candidato para el

papel de un fundamento suprafactual de verdad lógica. Por 10 tan

to, él no vio ninguna razón para poner 2) en una categoría dife

rente de

1) ;

uno podía también llamarlas a ambas analíticas. En

es completamente reducible a la de sus instancias, en el sentido de

que no hay nada más en(3) que laconjunción de sus instancias tales

como

1

esas son simplemente factuales. Por lo tanto, en casos

como (3) , el modalista estará de acuerdo con Bolzano en que un

examen de un gran número de otras proposiciones es esencial para

determinar elvalor deverdad de (3),ya que (3) es,al final nada más

que la conjunción de esas proposiciones. Pero para elmodalista, el

fundamento de (2) -y de las aseveraciones necesarias en general

no emerge de abajo, de los hechos, s ino de arr iba. El modalista

puede acordar que hay un hecho que hace a (2) verdadero

y

que

innumerables otros hechos hacen lasacotaciones de Bolzano sobre

(2),verdaderos también. Pero esos hechos son, para el modalista,

irrelevantes para la justificación de (2);algo anterior a e indepen

diente de esos hechos determina y explica la verdad de (2) y al

mismo tiempo, su carácter modal peculiar. Tradicionalmente, la for

ma de la proposición fue citada como larazón de suverdad: (2) es

verdadera no en vir tud de los hechos - los cuales son, en verdad,

como (2) dice que son- s ino envirtud de su forma.

75OLZ NO y EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC

BOLZ NO y EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC



se estaba aproximando en este punto, para arreglar de nuevo esas

categorías, y formular las cuestiones correctas.

Décadas más tarde otros podrían ver en eltrabajo de Bolzano

una versión casi completa de una defensa exitosa de un punto de

vista necesitarista. Silos conceptos pueden proveer una justifica

ción para el conocimiento sintético y silos conceptos lógicos son

los únicos que se mantienen fijos en el caso del conocimiento ló

gicamente anali tico, ¿por qué no decir que tal conocimiento está

fundado en conocimientos lógicos? o, para ponerlo en términos

modernos, ¿por qué no decir que la verdad lógica es verdad en

virtud del significado de sus términos lógicos? ¿Por qué no decir

que la analiticidad de 2 está basada no en el hecho de que éste y

otros enunciados tienen ciertos valores de verdad, sino más bien

en el hecho de que algunas de las palabras consti tuyentes t ienen

ciertos, significados? Por poner 1 y 2 en lamisma categoría de

juicios anali ticos, Bolzano hizo más difici l ver q:ue en algunos

casos -tales como (2)- el entendimiento de lo que está siendo

dicho no sólo es necesario, sino también una just if icación sufi

ciente del conocimiento lógico.

La indecisión de Bolzano en esta materia epistemológica es

una más de una variedad deindicadores del hecho de que, aunque

fue muy grande su contribución, la tradición semántica aún tenia

.un largo camino por recorrer. Bolzano fue eminente cuando se

trató del contenido de un enunciado apr i or i , donde élarguyó, con

autoridad filosófica y técnica no superada, que las afirmaciones de

las que ampliamente sepensó que incluían intuición en su conteni

do, de hecho, no lo hacen. Pero fuemucho menos exitoso cuando

se trató de lajustificación de esas aseveraciones que son claramen

te a p ri or i . Alli sus opiniones fueron más conservadoras, y él tendió

a inferir de su rechazo justificado de la explicación apriorística clá

sicaque nada quedaba sino una forma depositivismo. Desde B r y t 1 a ge

z u e i n e r b e g r i in d e t e 1 e r l a r s t e ll u r lg d e r M a t h e m a t ik hasta la W i s s e r l s c h a f tl e h r e ,

siguió repitiendo que larazón por laque estamos tan confiados de

las leyes matemáticas tales como las de la conmutatividad de la

multiplicación es que han sido confirmadas en miles de argumen

tos en las cuales las hemos aplicado

T h e o r y

o

S c i e n c e ,

p. 354).

, El modalista quisiera considerar (4) como necesario, pero cier-

tamente no envirtud de su forma. Para él, l inferencia de esto no

s azul a partir de esto esrojo expresa un silogismo en elsentido

exacto de la

caracterización

de Aristóteles, y la forma seguramente

no juega ningún papel en lanecesidad implícita en esta inferencia.

La idea de que nuestra aceptación de (4) deberla conformarse a la

estrategia inductiva de revisar los valores de verdad de los antece

dentes y los consecuentes en sus instancias es demasiado ridícula

para ser tomada seriamente. Bolzano podría haber apelado en este

punto a su doctrina del fundamento conceptual del conocimiento

sintético

apr i or i .

Pero de ser

así

¿por qué no ser tan generoso en el

caso del conocimiento (lógicamente) analitico? Habiendo dividido

sus tipos naturales en los lugares e~uivocados, Bolzano no estaba

adecuadamente dispuesto para ~eguntar las cuestiones correctas.

Tomaría casi una centuria alearar otra vez elnivel al que Bolzano

textos contienen laprimera formulación his tórica de laidea de una lógica f o r m a l ,

universalmente válida e independiente del contenido Stoff) . Pero lanoc ión de

forma no estáni siquiera sugerida en esos pasajes, ni en l sentido de Bolzano ( el

que Bochenkski parece tener en mente) ni en ningún otro,

(4) si esto es rojo, entonces no es azul.

En general, la interpretación de Bolzano de enunciados de

inferencia válida tales como (2) es ésta: todo mundo siente que el

sentido de la aserción puede sólo ser que en cada caso donde una

sustitución de representaciones hace los antecedentes verdaderos,

el consecuente también expresará una verdad p. 253). Para él, el

único modo en que laidea deun vínculo necesario entre lapremisa

y la conclusión de una inferencia válida puede tener sentido, es

suponiendo que algunos de los constituyentes de

2

son tácita-

mente tomados como variables y que se nos pideexaminar ós

valores de verdad de todas lasinstancias apropiadas. La base de la

necesidad de 2 es la l lana verdad de las instancias apropiadas.

Esto, nos deja con una extraña categoría de enunciados analiticos

que incluyen no sólo

1

y

2 ,

sino también

l

BOLZANO y EL NACIMIENTO DE LA SEMÁNTICA

6



)

9

:~_

\

J

)

)

)

)

)

)

. Traducciónde

Max Fernán d ez

de Castro

(UAM -I).

Revisadopor Juan An

tonio

Sánchez

G. (UAM-I).

sde el principio del siglo

XIX,

la intuición pura de Kant

tuvo un tiempo dificil en

e l

análisis. La rigorización del

cálculo anuló laintuición de las nociones de función continuidad

límite infinitesimal y todas las demás que habían motivado la just~

queja de Berke1ey.La aritmetización del análisis arrinconó a la in

tuición pura del t iempo en la aritmética, de donde Frege pronto le

daría un golpe mortal . Sin embargo, la matemática no era sólo la

teoría de las magnitudes abstractas, números, funciones e

infinitesimales. Era también la ciencia del espacio, de la geometría,

y aquí los kant ianos podían descansar confiados en que laintuición

nunca seria destronada. O así pareció por un tiempo.

Durante el siglo

XVII,

lageometría fue el campo de batalla de

dos grandes guerras epistemológicas. La primera, el tema de este

RIEHL, PHIL KRIT VOL. 2

Así es enteramente Implauslble que fuera del rango de las matemáticas

puras hagamos alguna vez uso de esas hipótesis de espacios no

euclideanos.

Para Helmholtz, sin embargo, exlstía la opción: o necesidad del

pensamiento u origen ernplrlco , Peró es apropiado agregar a esas:

necesidad de Intuición y ésta como pura.

eOHEN, KANTS THEORIE DER ERFAHRUNG

por otro lado,

.una Intuición

es la cosa esencial .

KANT, LOGIK BUSOLT

En filosofía, una Intuición puede sólo ser un e jemplo: t .

n ma emátícas,

3

.l 'G ' ' ' I 1 ; t I l l l ~ , , , m n : ' ' ' I l I ' ' ' ' l o ' ' ' ~ ' ' ' ' l I u : : m , ' ' ' '' l 1 I u t m M : : , , , , , m ' ' ' ' l l ' : I '' ' ' ' ' ' L ' ' ' r . J , ' a: ' ¡ I . 'm l m l : m n m , m lI: l l m , : ¡ u l l l u :m :: m m l 1m l ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' J : .: · ' ' ' I ; , , , , , ,, m u , , . : . . ~ ,,,

I.EOMETRIA,

INTUICION

PURA y EL

A

PR R

I

14 Bolzano, desde luego, apl icó la estrategia del símbolo iricompleto a su

rigorización del cálculo;pero no parece haber reconocido

papel que estaidea

podía jugar enla semánticafilosófica.

15 E t .. . I ibl d b

s a aseveracion Imp ausi e no e ería ser confundida con la opinión

absurda de que los números

35

y

53 -Ios o j t o s

de esasrepresentaciones- tienen

los mismos constituyentes.

El esbozo de Bolzano de una semántica teórico-pictórica fue

solo eso, un esbozo. La idea central del análisis lógico, la concien

cia de que ellenguaje es una guia extraordinariamente engañosa al

contenido, estaba aún en el futuro. Para Bolzano el lenguaje fue

una pintura más bien confiable de la forma de las proposiciones

objetivas. Escribió como si, por mucho, los enunciados del alemán

fueran mapas isomórficos de las correspondientes proposiciones

objetivas. Así, la proposición objetiva expresada por este triangulo

.es grande consiste de las representaciones es t e ;t l iá n l l o , t i en e ygran-

d eza . El isomorfismo seobtiene aún en elcaso de nombres: de 35

y 53 se dice que expresan representaciones cuyos constituyentes.

son idénticos (presumiblemente, las representaciones 3 y 5, cual

quier cosa que ellaspuedan ser) y que difieren sólo en elmodo en

el cual esas partes están conectadas (Theory Sc i em» , p.

6 9 ) . 1 5

Fi

nalmente, aún a la noción de contenido no fue dado su papel

completo. Bolzano estaba aún ligado a una tradición de largo al

cance que piensa las relaciones deductivas como algo análogo a las

conexiones causales y busca sacar de entre los vínculos lógicamen

te válidos una dist inción posterior que intenta identif icar con el

fundamento propio de cier tas afirmaciones. Esas

y

otras mate

rias serían finalmente establecidas unas pocas décadas más tarde,

en los escritos de Frege. Antes de que tornemos a ellos;sin embar

go, debemos considerar qué lepasó a las opiniones de Kant sobre

geometría en ese periodo.

do de sus propios cabellos-todos ellos,enla medida en que son

EOMETRí INTUICiÓN PUR Y LO

PR OR

capítulo, serelaciona con elpapel de laintuición pura en elconoci

GEOMETRí INTUICiÓN PUR Y LO

PR OR

8



2 La respuesta es, desde luego: excepto alguien tan lis to como Gauss,

Frege está diciendo que las leyes de lageometría y de la arit

mética, a diferencia de las de la física, son necesarias. Pero mientras

las proposiciones geométricas son necesidades de la intuición, las

leyes dela aritmética son necesarias enun sentido mucho más pro

fundo: elpensamiento mismo sevuelve imposible si las negamos.

En la medida en que la lógica es la teoría pura de conceptos, la

. aritmética debe ser una parte de lalógica. Es tadoctrina no es des

de luego kantiana, pero elmarco ideológico ciertamente lo es.

¿Qué significa decir que las leyes geométricas son necesidades

de laintuición? Los escritos de Kant no contienen más que unas

pocas sugerencias confusas. Desde luego, no había razón para que

élestuviera altanto del buen funcionamiento de los detalles: ¿Quién

dudarla seriamente alrededor del año 1800 que la geometría fuera

necesaria o que su necesidad tuviera algo que ver con las construc

oiones geométricas?2 Pero la situación cambió un poco después de

la muerte de Kant, cuando lageometría no euclidiana hizo su pri

mera aparición pública. Aproximadamente en lasegunda mitad del

intuibles,permanecen aun sujetos a los axiomas de la geometría.

Sólo el pensamiento conceptual puede liberarse, en cierto modo

de éstos, cuando supone, digamos,un espacio de cuatro dimen

sioneso de curvaturapositiva.Estudiar tales concepciones no es

de ninguna manerainútil;pero deja el fundamento de laintuición

completamente detrás [...] Parapropósitos del pensamiento con

ceptual, siempre podemos asumirlo opuesto de algunou otro de

losaxiomasgeométricos,sin caeren contradicciones[...].Elhecho

de que esto es posible muestra que los axiomas de la geomeu Ía

son independientes unos de otros y de las.leyes primitivasde la

lógicay consecuentemente son sintéticos.¿Podemos decirlo mis

mo de lasproposiciones fundamentalesde la cienciadel número?

Aquí tenemos solamente que tratar de negar uno de ellos

la

confusión completa sobreviene.Aun pensarlo parece el?-tonces

imposible.

The Foundat ion s

.Aritbmetic,

pp.

20-21)

Las raíces de este aná lis is de la modalidad pueden ser detec tadas en los

escri tos prccrít icos de Kant. En la e J J e i s g n l ll d de 1763 por e jemplo, dijo que la

posibilidad está abolida no solamente siuna contradicción interna es encontrada,

como en la imposibil idad lógica, s ino también cuando ninguna mater ia o dato

existe para

pensamiento p. 69).

miento; la segunda, esbozada en el capítulo 7, dio por hecho que

ese papel es nulo y cuestiona la naturaleza de los conceptos

geométricos. Es interesante que en ambos casos la tradición se

mántica no hizo nada para contribuir a esos desarrollos. Como

veremos, una visión correcta de lageometría exigíauna síntesis de

las intuiciones kantianas y semánticas que ninguna de esas dos tra

diciones en conflicto estaba en condiciones de tomar. Mientras

tanto, nuestro tópico esla naturaleza y elpapel de laintuición pura

en el conocimiento geométrico.

Kant pensó que l presencia dela intuición pura en la geome

tría, semanifiesta en un tipo particular de necesidad que seliga a los

juicios geométricos, Examinemos elcarácter de esta modalidad.

Una de las distinciones centrales en la teoría Kantiana de la

modalidad, fue entre un tipo de necesidad derivada de laintuición

AnSt hauungsnothwendigkei t ) y otro derivado del pensamiento

Denknothwen digkei t ).La primera tiene su fuente enrasgos dela sen

sibilidad humana, laúltima en rasgos del entendimiento Quizá la.

mejor explicación corta de esta distinción ocurre en un pasaje de

los

Grttndlaget l

de Frege, en elcual está tratando de explicar por qué

piensa que la aritmética es parte de la lógica. Las proposiciones

empíricas escribe: -,

\

Son válidasde lo que e s fisicao psicológicamentereal;las verda

desdelageometría gobiernantodolo queesintuibleespacialmente,

searealo producto de nuestra fantasía.Lasmásaudacesvisiones

de delirio,lasmás extremasinvencionesde laleyendao de lapoe

sía,donde losanimaleshablany lasestrellasno semueven, donde

loshombres seconviertenen piedrasy losárbolesenhombres, en

lasque senos enseñacómo puedeuno salirsedeun pantano tiran-

81

GEOMETRíA INTUICiÓNPURA Y· LO PR OR

GEOMETRíA INTUICiÓNPURA LO PR ÓR



)

objetos q~e representa son puros más bien que empíricos (véase

Vorarbeiten zu Ausgleichung eines ausMissverstand beruhenden

mathematischen Streits ,

Kan t s g e s at nm e lt e S c h li J te n

vol. 23, p. 201).

En la Critica Kant dio un giro trascendental a la distinción entre

cualidades primarias y secundarias al argumentar que las cualida

des no pueden ser presentadas en ninguna intuición que no sea

empírica , pero las cantidades sí: podemos formar nosotros mis

mos la forma de un cono en laintuición, sin ayuda de la experien

cia, de acuerdo con elsimple concepto, pero elcolor de este cono

tiene que haberse dado previamente en alguna experiencia Clit i-

m,A715/B743). Esto parece presentar al cono geométrico como

un objeto de un t p diferente a los objetos dados en laintuición em

pírica, más que como la forma de objetos dados en la intuición

empírica. Aquí la diferencia entre forma y contenido (o materia)

parece corresponder a ladiferencia entre innato y adquirido, como

si las imágenes sin color de un cono pudieran ser formadas por

alguien que no tuviera experiencia previa y esta imagen seria una

intuición pura. \ {1hewellparece haber interpretado a Kant de esta

manera cuando pensó laintuición kantiana como un ver imagina

rio

History

S t ie l 1 ti f ic I d e a s

vol. I , p. 140; ci tado por ill

Log ic

bk. 2, cap. 5, seco 5); y al igual que lliehl, aunque de manera

desaprobatoria, cuando vio en laintuición pura un eco de las for

mas platónicas Phi/

Krit.;

vol. 2, p. 104). Consideremos también

una referencia t ípica a la

cons t rucdon

de un concepto geométrico

involucrado en el.proceso deuna prueba: lo construimos, diceKant,

representando sea elobjeto correspondiente a este concepto por

medio de la simple imaginación, enla intuición pura, sea, de acuer

do con ésta sobre elpapel, enla intuición empírica

Ctit ica

A713/

B741). La dualidad explícitamente obtenida nos anima a pensar en

laintuición pura como dada en un dominio que incluye a laimagi- -

nación

y en laintuición empírica corno perteneciente a un dominio

enteramente diferente.

Aunque esos y otros pasajes invitan a una interpretación

platónica, esta interpretación casi seguramente es ajena a las inten

ciones de Kant. Hay una segurida interpretación que, como lapri

mera, asocia laintuición pura con elser dado de los objetos (como

Kant pensó que la geometría eraun buen ejemplo de cuán poco se

puede hacer en ciencia con meros conceptos. Sise trata de probar

un teorema geométrico desde conceptos puros, son inútiles to

dos los esfuerzos. Nos vemos obligados a recurrir a la intuición,

como se hace siempre en geometría. Nos damospues un objeto en

laintuición [...] [en verdad] un objeto

a p r io r i

en la intuición, y fun

damos en élnuestra proposición sintética

C1itica

A47-48/B65).

Ahora bien, de forma precisa ~¿ó1110se otorga uno, un objeto a

prior i

en la intuición?, por otra parte ¿en la realidad el geómetra

necesita

hacer eso? Hay tres modos de leer las opiniones de Kant

respecto a la intuición pura, las que podríamos llamar platonista,

constructivista y estructuralista. Considerémoslas en secuencia.

Con frecuencia uno encuentra enlos enunciados deKant algo

que sugiere que laintuición pura dif iere de la empírica en que los

l m e ns aje m ixto d e K an t

siglo XIX, la gente se empezó a preguntarse primero acerca de la

necesidad exclusiva de la geometría euclidiana y luego acerca del

papel de lain tuición en cualquier geometría, euclidiana o no. Como

los neokantianos estuvieron forzados á plantear esta cuestión con

mayor amplitud, se fue revelando poco a poco que el si lencio del

maestro no fue un signo de sabiduría tácita.

De manera reveladora, los más inteligentes de entre los

neokantianos empujaron en silencio a laintuición pura a la esquina

de su doctrina de la geometría; loque ofrecieron como lateoría de

la geometría

verdaderamen te

kantiana se parecía sospechosamente a

una de las contribuciones de Helmholtz en ese campo. Hacia el

final del siglo

XIX,

los escritos neokantianos en este tema se ha-:

bían vuelto un testimonio involuntario del hecho de que lageome

tría requería de un fundamento por completo diferente del que

Kant había previsto. En conjunto con la rigorización del cálculo y

con lo que Frege pronto estaría haciendo en la aritmética, esos

episodios convergieron para establecer lo que Bolzano había ase

verado en 1810: que la intuición pura de Kant no juega ningún

papel en las matemáticas.

ron esta frase variasveces en contextos supuestamente explicatorios

EOMETRíA INTUICiÓNPURA Y LO PR OR

uno esperaría de cualquier tipo de intuición kantiana), pero toma

GEOMETRíA INTUICiÓNPURA Y LO PR OR

2



El únicomodo de tenerunaintuiciónde una líneaesdibujarlaen

el

pensa

miento

CJitica,

A162-163/B203);mas aun, dibujarlaen el pensamiento envuelve

la representaciónde un proceso en el tiempo -por lo tanto de un proceso psico

lógico véase

Critica,

Al 02).

5

Kernp Smithpiensa que en esospasajesKant debió haber referido a los es

quemasde conceptosmás bienquea lasimágenes

A C Olll ln e/l ta l) to K a u ts Critique

P I / re R e a s o n ,

pp.337-338).Peroya luelos CS luemaseun concepto representan

un método queasociacon cadainstanciadel concepto unaimagende éste,el pro

blemadiscutidoanteriormenteresultatambiénen

l

casodelesquema.En cualquier

caso,enA239f/B298f Kant explicóquelaintuiciónpurada sólolas formas de los

en los cuales uno puede casiver frunciendo elseña a los lectores,

retándolos a exhibir su estupidez alpreguntar lo que esto significa.

La verdad es que ni Kant ni sus seguidores tuvieron una idea muy

definida de lo que era

c o n stru c c ión .

La plausibilidad de cualquier tesis

kantiana que haga intervenir esta noción es inversamente propor

cional a la claridad con la cual está explicada. Es interesante que

cada vez que Kant hizo un esfuerzo para ilustrar lo que quería

decir por construcción en la intuición , hizo su aparición una

intuición empírica. Por ejemplo, Kant explicó que la construcción

de una figura sehace presente a los sentidos C?it ic a ,A240/B299).

Cuando probamos una proposición acerca de triángulos podemos

construir el concepto en elpapel, en la intuición empírica [...] La

simple figura que dibujamos es empírica, y sin embargo sirve para

expresar elconcepto, no obstante la universalidad de éste C?itZ tGl ,

A713-714/B741-742). Mas aun, no podemos pensar una linea sin

t ra za rla en elpensamiento, ni un círculo sin d e s c r i i r l o como tam

poco podemos representar tres dimensiones del espacio sin

C O I I S -

truirtres

lineas perpendiculares a partir del mismo punto?

Critica,

B154). Lo mismo es verdadero de la ari tmética: para producir la

síntesis requerida para laprueba de que 7 5

12, acudimos ala

intuición que corresponde a uno de [esos conceptos] , los 5 dedos

de nuestra mano, por ejemplo, o bien como hace Segner en su

Aritmética) cinco puntos C?it im, B154,5Bolzano comenta esas

observaciones en

U7L

sec., 305).

En una ocasión Kant se entusiasmótanto que dijo: los conceptos son

completamenteimposibles [...] siningúnobjetoes dadoparaellos Crítica, A139/

B1 7 8 ) .

Él no quiso decir esto; en su

N a ch tr a g e,

corrigió este enunciado,reempla

zando se vuelvenimposibles con no tienen,paranosotros, significado p. 28).

Laposición deKant fueque laconsistenciadeun concepto puede serestablecida

independientemente de su objetividad o validezobjetiva .El concepto de un

decaedro regular,por ejemplo,esperfectamente consistenteperole faltalavalidez

objetiva Uber

Kástners

Abhandlungen [1790],K a n t s

Ges a lJl lJlel te S ch l i ftm,

vol.

20,pp.414-415),yaqueningún objetopuede serpresentadoen laintuición quese

conforme a él nohay construcción delconcepto , p. 416).Frege tuvo exigen

cias algo más estrictas:parece haber pensado que el único modo de probar la

consistenciade un concepto fuepor laidentificaciónde una ejemplificación.Sies

así, nosotros no podríamos estar ciertos de la consistenciadel concepto de un

decaedro regularo,si a esasvamos,de lade un satélitede laluna.

Los conceptos matemáticos están ligados a laintuición por la

celebrada construcción del concepto. Kant y sus seguidores usa-

Siun conocimiento ha de poseer realidad objetiva,

i .e. ,

referirse a

un objeto y recibir de él s ignificación y sentido, debe ser pos ible

que elobjeto sedé de alguna manera. De otro modo los concep

tos son vados y aunque hayamos pensado por medio de e llos, a

través de este pensamiento nada ha s ido realmente conocido; no

hemos hecho, en realidad, más que jugar con representaciones.

Crítica,

A155/B194-195)

esos objetos como algo empírico. Esta interpretación se enfoca en

las observaciones de Kant acerca de la construcción de conceptos

matemáticos.

Pocos elementos de la filosofía crítica son mejor conocidos

que elintento de Kant dejuntar lo que había separado en su distin

ción entre sensibilidad y entendimiento. Desvinculadas como esas

dos facultades pueden estar, no puede haber conocimiento huma

no excepto que ellas unan sus fuerzas: los conceptos sin intuición

son vados y laintuición sin los conceptos es ciega :

EOMETRíA INTUICI~N PURA

LO PR OR

GEOMETRíA INTUICiÓN PURA Y LO PR OR



¡

Como vimos antes, Kant explicó que cuando probamos una

proposición acerca de triángulos, podemos construir ese concepto

en el papel , en la intuición empírica ; y agregó que la simple

figura que dibujamos es empírica y sin embargo sirve para expre

sar elconcepto, no obstante launiversalidad de éste

Cdt Ü a,

B741).

Uno podría haber pensado que lo que amenaza launiversalidad del

procedimiento no es el carácter

emp ír ico

de la figura involucrada

sino elhecho de que ésta esun objeto específico, s ingulary que es to

es todo lo que ha sido considerado. De cualquier manera, Kant

agregó: pues esa intuición apunta siempre alsimple acto de cons

truir el concepto, en el cual hay mucha~ determinaciones i.e. , la

magnitud de los lados y de los ángulos) que son completamente

indiferentes; se prescinde, por tanto, de esas diferencias que no

modifican el concepto triángulo Cr í tica , A714/B742). Nótese

que Kant quería abstraer no sólo esas determinaciones que fijan

parámetros que el concepto deja indeterminados (como aquellas

que Kant enumeró en el.pasaje precedente entre paréntesis), sino

también aquellas en las cuales el objeto empírico de nuestra intui

ción empírica falla para calificar como una instancia del concepto

construido

i.e. ,

la tridimencionalidad del triangulo construido, la

naturaleza sinuosa de. sus lineas, etcétera.). Determinaciones del

primer tipo construyen ejemplificaciones del concepto, mientras

del segundo resultan en objetos que son, en elmejor de los casos

(yen un sentido en gran necesidad de elucidación), meras aproxi

maciones de instancias de los conceptos dados.

Sí ,

p e r

impos ib i l e ,

nos fueran de alguna manera dadas todas las ejemplificaciones de

un concepto enla intuición, podríamos abstraer de su carácter par-

. ticular por considerar sólo lo que es verdadero de todas ellas y

alcanzar así elresultado pretendido. Pero ningún objeto alguna vez

dado a nosotros en

I t ingúl1

tipo de intuición es, digamos, un ejem

plo del concepto eleun triángulo.

¿Cómo decidimos qué determinaciones deben abstraerse, qué

rasgos de la figura construida son relevantes a laprueba? Kant no

fue, como es comprensible, muy demandado por esta cuestión. Su

respuesta completa, está encapsulada en elcelebre aforismo de que

el geómetra no debía adscribir a la figura sino lo que necesaria-

objetos

y

tlue aún los conceptos puros no tienen significado sinosotros no construi

mos objetos para ellos en laintuición empírica: el mat emático satisface esta deman

da por la const rucc ión de una f igura, la cual, aunque producida a p ri o ri es una

apariencia presente a los sentidos. En la misma ciencia

el

concepto de magnitud

busca su soporte y signiftcado sensible en lnúmero y éstea suvez en los dedos, en

las cuentas del ábaco, o en las barras y puntos los cuales pueden ser puestas ante los

ojos

Crí t ica,

A240/B299).

6 En D e m I l i d i sens ib i t is a t qn e i l l t e l i y j b i li s f o r m a e f p r i l l c ip i i s (1770), p 403, Kant

había escrito que lageometría piensa sus objetos no por medio deconceptos univer

sales s ino sujetándolos a los ojos por mccliode una intuición singular como pasa

con las cosas sensibles . También, la matemática del espacio

l a

geometría) está

basada en esta s íntesis sucesiva de la imaginación productiva en lageneración de

figuras

Cdtica,

A163/B204).

La interpretación estructural is ta dif iere de la platonista y

constructivista al tratar la intuición pura como algo completamente

distinto de la intuición, la cual es una representación singular. De

acuerdo con elKant estructuralista, lo que espuro y

a p r io r i

no es un

tipo de objeto sino un modo de conocimiento de objetos empíricos.

Todos los objetos de

la

intuición son empíricos yla intuición pura es

la mera forma de la intuición empírica Crí t ica, A239/B298). Se

sigue de ellos que laintuición pura no esun tipo de representación

singular sino un rasgo formal de tal representación, una le x m e nti

insit corno Kant alguna vez. lo dijo. En esta interpretación

estructuralista Kant explica que cuando construimos elconcepto de

un triángulo, por ejemplo, realmente no construimos una instancia

de ese concepto ni aun damos ningún objeto part icular a la intui

ción, sino que lo que construimos essólo laforma deun objeto. En

verdad, dada esta construcción la posibilidad de ese objeto podría

ser dudosa aun C r í tic a , A223/B271; véase también A239/B298).

Sin importar como se interprete la naturaleza de la intuición

pura, hay dos problemas relacionados, pero distinguibles, que en

frenta la explicación kantiana de la geometría: ¿cómo la intuición

pura apoya la necesidad de la geometría euclidiana y por qué debe

un argumento geométrico ser una cadena de inferencias guiadas

completamente por la intuición?

Crí t ic a,

A717).6

los neokantianos decidieron seguir este curso no-kantiano para

87

EOMETRí INTUICiÓNPUR Y LO

PR OR

mente se sigue de lo que él mismo, con arreglo a su concepto,

GEOMETRí INTUICiÓNPUR Y LO

PR OR



8

ili

permitía una excepción: que

l

mismacosadeberíaa lavez ser

y

no ser

-que idénticamente elmismoenunciadodeberíaser tanto verdadero como falso

es no sólo inconcebiblepara nosotros,sino quetampoco podemos imaginarque

pudiera ser concebible.No podemos proveerde suficientesignificadoa l propo

sición,sercapacesde representarnos la suposicióndeuna experienciadiferente en

esta materia.No podemos por lotanto aún aceptarla pregunta ni siquierade si la

incompatibilidad está en la estructura originalde nuestrasmentes, o sólo puesta

Pero aún este sentido fuerte de inconcebilidad es consistente

con la posibilidad y aun laverdad de afirmaciones inconcebibles;

pues aunque no podemos representarnos cuadrados redondos,

cosas todas negras y blancas, y así sucesivamente, podemos repre~

sentarnos circunstancias en la cuales podríamos representarlas.

No podemos representarnos a nosotros mismos que 2 2 hagan

5; ni dos líneas rectas encerrando el espacio, No podemos repre

sentarnos

un

cuadrado redondo;

ni un

cuerpo todo negro,

y

al

mismo tiempo todo blanco. Esas cosas son literalmente inconce

bibles para nosotros, para nuestras mentes y nuestra experiencia.

(Homi l ton s Pb i lo s opby ,

pp. 69-70)

La afirmación de que la geometría euclideana es una necesidad de

laintuición había sido disputada por los empiristas con las razones

familiares de lo que nosotros no podemos imaginar puede muy

bien existir.

ili

porejemplo, había distinguido.entre elsentido en

el

cuallas antípodas son inconcebibles yen el cualla cerradura del

espacio por dos lineas rectas es inconcebible. En elprimer caso

cualquiera puede seguramente, representar la circunstancia bajo

consideración aun si ésta parece increíble.En elsegundo caso, sin

embargo, no podernos representarnos a nosotros mismos tales

circunstancias:

l re to de He lmholt z

reconstruir aKant como sianticipara lasintuiciones deHelmholtz.

7

Bolzano concibióesta primeraposibilidadcuando sepregunto en BII),tr ag e

V i

eiuer begr ii1/deterenDarstellt l l / f, der Mathelllatik:

¿Cómo procedemos de la intuición

de un simpleobjeto alsentimientode que lo que observamos es tambiénválido

para todos los otros?¿A travésde lo que es único e individualo a travésdelo que

es generalen este objeto?Obviamente sóloa travésdelúltimo,estoes,por medio

del concepto y no por medio dela intuición (pp.243-244).

había puesto en ella (Crí tic a , Bxii). Sinembargo cuando esllevada

a su conclusión lógica, esta observación nos conduce a un incó

modo dilema; pues lo que necesariamente se sigue de lo que el

geómetra ha puesto en l figura o a) se sigue de su concepto de

esta figura, de manera independiente de cualesquiera rasgos de la

figura formal o de otro), o b) se sigue sólo cuando además del

concepto mismo examinamos algunosrasgos

relevante

de la figura.

En elprimer caso tenemos laposición queRussell sostuvo alrede

dor de 1900: l síntesis en el conocimiento lógico y matemático

puede ser producida de los conceptos solos, sin apelar a ningún

tipo de

intuición.

Es claro que esto está en conflicto con elprin

cipio de los juicios sintéticos y con elvínculo asociado entre mate

máticas e intuición. En elsegundo caso -probablemente la propia

selección deKant- nos quedamos con la cuestión original: ¿cuáles

de los varios rasgos exhibidos por la figura empíricamente cons

truida sea en lamente o en elpapel) son fundamentos permisibles

de inferencia? Parecería que por los propios criterios de Kant, la

única guía en esta decisión son los axiomas y teoremas de la geo

metría. Pero

antes

de que podamos usar laX intuitiva para dar un

fundamento a la síntesis expresada en los axiomas, debemos tener

esos mismos axiomas para determinar lo que l X es.Así,lapres

cripción deKant para identificar losrasgos a abstraer nos conduce

más allá del kantismo a la opinión de que no podemos sintetizar

los axiomas hasta que los tengamos. En la terminología kantiana,

los axiomas geométricos tendrían un papel regulativo no pertene~

ciente ni al dominio de la sensibilidad intuición) ni aldel entendi

miento construido para excluirla Razón). Pronto veremos como

c

89

EÓMETRíA INTUIClgN PURA y LO A PRIORI

GEOMETRíA INTUICiÓN PURA Y LO A PRIORI

8



fS \

: :;1

Para detalles de los intentos de Milide explicarlo

a pr io ri

de la Ley de

AsociaciónInseparable véase,H a m dt on : P hilosopl: J1cap. 14.

Esta no fue exitosa.Véase1Iilbert, Gm l /d l agm d e rG eom e t ri e , apartado5.

estaba pensando en sumar cosas como conejos o vacas,no cosas

como las soluciones deecuaciones de tercer grado o delos cónsu

les romanos. Como Frege loindica enlos

Gr tmd / agen

(1884, seccio

nes 7 y 8), las últimas no son tan fácilmente puestas a proximi

dad o involucradas en actos de percepción . Un mundo en el

cualcuando alguiensuma los primeros dos cónsules romanos a los

siguientes dos un quinto aparece, presumiblemente con su nom

bre propio distinto, su propio registro político, y así sucesivamen

te, no esun mundo sino el producto deuna mente confusa; pues

en ese mundo la decisión de sumar alteraría el pasado y con el

riesgo de una contradicción no podría h~ber una persona suman

do un grupo de objetos y otra no.

Los argumentos de

Mill

contra elcarácter apriori de lageome

tría no eran mejores. Por ejemplo, cita de manera aprobatoria la

observación deJames Fitzjames Stephen de que un mundo en el

cual cada objeto fuera redondo, con la sola excepción de unas vías

del tren rectas e inaccesibles, sería un mundo en el que cualquiera

creería que dos líneas rectas encierran un espacio

(Hami / t on s

Pbi/osopf?y ,

p. 72).9SiMili fueraelmás sabio de los positivistas, como

probablemente lo fue, los kantianos tendrían poco temor al reto

positivis ta a su doctrina.

El primer paso decisivo en el rechazo de la noción de una

necesidad de la intuición no vino del positivismo. A pesar de la

opinión generalizada, tampoco vino del descubrimiento de lageo

metría hiperbólica, ni siquiera del reconocimiento de su consisten

cia. Irónicamente, emergió de un intento de mostrar que las nue

vas geometrías no eran un reto a la de Euclides.

En 1868,Beltrarni publicó un articulo titulado Un intento de

interpretar la geometría no-euclidiana , en elcualintrodujo su ce

lebrado modelo seudoesférico. Sila interpretación ofrecida en ese

artículo hubiera sido exitosa, habría establecido la consistencia de

la geometría

hiperbólica. ?

A pesar de las apariencias, la doctrina.

í

por nuestra experiencia (Ha l l/ i ll o ll } Ph i / osop ?} ,p. 70). Por implicaciónestá di

ciendoque

pode/NOS

proveer de suficientesignificadoa las restantes proposiciones

estrictamenteinconcebiblespara describirlas circunstanciasen las cualeslascon

sidcraríarnoscomo concebiblesy aun como verdaderas.

Mill ilustró nuestra habilidad para representar lo inconcebible

con ejemplos de varias disciplinas

a priori.

En aritmética, nuestro

compromiso con laley deque 2

2

=

4 se anularía si cuando dos

pares de cosas son o puestas a proximidad o son contempladas

juntas, una quinta cosa fuerainmediatamente creada y traída a con

templación delamente comprometida en poner dos y dos juntas

p.

71).La producción de esta quinta cosa debe ser instantánea en

elmismo acto de ver, [así]que nunca deberíamos verlas cuatro

cosas por símismas como cuatro: la quinta cosa estaría insepara

blemente involucrada en el acto de percepción por elcual debería

mos indagar la suma de los dos pares p. 73). Claramente,

ill

Deberíamos probablemente ser igualmente capaces de concebir

un cuadrado redondo como un cuadrado duro, o un cuadrado

pesado, si no fuera que, en nuestra exper iencia uniforme, en el

instante en que una cosa empieza a ser redonda de ja de ser cua

drada [. ..] Así nuestra incapacidad para formar una concepción

s iempre resulta de nuestro estar obligados a formar otra contra

dictoria a esta [...] Nosotros no podemos concebir dos

y

dos como

cinco, porque una asociación inseparable nos obliga a concebirla

como cinco;

y

ésta no puede ser concebida como ambos, porque

4 y.5 como cuadrado y redondo, están así-relacionados en nuestra

experiencia, que cada uno es asociado con la cesación, o cancela

ción, de la otra]...] no deberíamos probablemente tener ninguna

dificultad en poner juntas las dos ideas supuestamente incompati

bles, si nuestra experiencia no hubiera asociado primero

inseparablemente una de ell as con la cont radictoria de la otra.

(Hami lto ¡ú P hilosop /y ,pp.69-70)

La i.nconcebilidad resulta sólo de que nuestra experiencia nos ha

enseñado a asociar o a disociar dos representaciones:

Lejos de representar alguna amenaza para la filosofía de Kant,

GEOMETRíA INTUICiÓNPURA Y LO

PRIORI

formulada no podría haber incomodado a las almas kantianas. Pues

GEOMETRIA INTUICiÓNPURA Y LO

PRIORI



eltrabajo de Beltrani fue consistente con ella y,posiblemente, aun

fundado en ella. Kant nunca habría dudado de la consistencia de

las geometrías no-euclidianas. Es seguro que hubiera dicho de la

geometría hiperbólica que esimposible pero no

lógicamente

imposi

ble (ya que su negación , la geometría euclidiana, no es lógica

mente necesaria sino sólo intuitivamente necesaria). Así, el hecho

de que hayauna interpretación de la geometría hiperbólica es poco

sorprendente y tampoco es sorprendente que su interpretación

tenga que ser dada en términos de nociones euclidianas intuibles.

Tampoco es sorprendente que donde esareducción a las intuicio

nes euclidianas, falla debamos abandonar el proyecto de dar una

interpretación de la teoría de Lobatchewski. Es difíci l encontrar

un conjunto más atractivo de buenas noticias para los kantianos en

una monografía de geometl:Ía.Tres años más tarde, Helmholtz vería

en elestudio de Beltrani una refutación de lanoción kantiana de

necesidad intuitiva de la geome.tría euclidiana. Con característica

audacia, Helmholtz reconoció el potencial de la representación

analítica de Beltrani. Fue, en cierto sentido, el primero en darse

cuenta de que lo que ahora esllamado elmodelo Beltrani-Klein es,

en verdad, un modelo de lageometría hiperbólica. Veamos a groso

modo este modelo.

Para facilitar el análisis métrico de la seudoesfera, Bel~aru in

trodujo una superficie auxiliar, elinterior de un círculo euclidiano.

Un mapeo isornórfico para la seudoesfera inducirá una métrica

hiperbólica en este círculo. La métrica intrínseca de la seudoesfera

está determinada por asociar con cualesquiera dos puntos P y

de éste la longitud euclidiana d P ,Q de la geodésica que los une

median~ la superficie seudoesférica, Esta función métrica pue

de ser ex p resada como una función f(X,Y) de los puntos X y

Y ,

que son las proyecciones deP respectivamente, sobre el círcu

lo auxiliar. Uno puede ahora decidir abandonar a Beltrami y mirar

d(X,Y) no como un artificio para calcular la distancia euclidiana

intrínseca entre P y

(a lo largo de la seudoesfera) , sino como

algo que la distancia entre X y Y Así construida, la función f

define una métrica en la superficie abierta dentro del círculo auxi-

una apropiada y verdaderainterpretación, desde la cualuno pue

de construir [losconceptos apropiados] sobreuna superficie

Tea}

por otro lado, aquellosque implicantres dimensionespueden ser

representados sólo analíticamente,desde el espacio en la que tal

representación podría materializarse,es diferente de aquella que

llamarnoscon ese nombre. ( Teoriafondarnentaledegli spazi di

curvatura constante [1868-1869],Opere matematiche, p. 427)

En su siguiente estudio sobre el tema insistiría que sus dos

modelos dirnensiónales dan

Yaquehastaahoralanoción deun espaciodiferente[deleuclidiano]

parece estar ausente o trasciende,almenos eldominio de lageo

metría ordinaria,es razonablesuponer que,aunque las considera

ciones analíticasen lascualeslasconstruccionesprecedentes des

cansan pueden ser extendidas del campo de dos variables al de

tres, los resultados o~tenidos en este último caso no pueden, sin

embargo, ser construidos con la geometríaordinaria. p .

397)

e

el fin último de Beltrani no fue tanto interpretar como

reducir

la

geometría hiperbólica a la geometría euclidiana y argumentar que

no había más sentido geométrico en la primera que el que podía

derivar de la última.

El propósito establecido de Beltrani fue encontrar un

substratso» real para la geometría de Lobatchewski, pero sólo para

su fragmento bidimensional

Oper e m atematicbe

p. 375). Beltrani

concluyó que elplano hiperbólico es, de hecho, laseudcesfera eucli

diana disfrazada, ya que la métrica euclidiana de la seudoesfera

euclidiana coincide (en cualquier parte localmente) con la del pla

no de Lobatchewski, Argumentó también que ninguna interpreta

ción análoga podría ser dada para el espacio hiperbólico

tridimensional. Sin embargo, yaque élpensó que laparte del espa

cio en la cual lainterpretación es construida debe tener una métri

ca no reducible a la forma euclidiana estándar cL,,2+df+dz

2;

9

GEOMETRIA, INTUICIÓ l PURA y LO PR OR

GEOMETRíA, INTUICiÓN PURA Y LO PR OR



·

:3

\

podrían tener algo parecido a nuestra percepción es casi incohe

rente, el punto filosófico de este ejemplo popular es virtualmente

nulo. La segunda historia sobrepasa esta dificultad por presentar un

mundo tridimensional, que llamaremos un universo espejo .

Imaginemos un espejo esférico en cuya superficie S todos los

acontecimientos en nuestro espacio euclidiano sean reflejados.

Ahora imaginemos un mundo tridimensional delimitado por S

y

un plano a través del punto focal del espejo esférico. En este mun

do, los objetos físicos secomportan exactamente delmodo en que

ellos parecen comportarse en el espejo. Así, para cada objeto en

nuestro espacio euclidiano, habrá un objeto correspondiente en el

universo espejo. Cuando un objeto O ennuestro espacio semueve

desde S alinfinito, elobjeto espejo correspondiente, 0*, se move

rá desde S h acia su punto focal; O no cambia de forma conforme

semueve, pero 0* lo hace estrechándose (por nuestros estándares

métricos) conforme se aleja de S.

¿Cómo determinamos que lageometría de nuestro espacio es

euclidiana? Podríamos dibujar un triángulo recto y medir sus tres

lados; observamos que las medidas son 3, 4,

5 unidades, respec

tivamente, confirmando así el teorema de Pitágoras que separa la

geometría euclidiana de sus rivales de curvatura constante. Pero

conforme hago esas medidas, un pequeño hombre, aparece y mo

viéndose igual que yo, pero cambiando su forma conforme se

mueve, mide los lados de un triángulo que nos parece muy poco

rectangular. Sin embargo, su cinta métrica también cambia su

longitud conforme semueve, también encuentra que ésta da 3,4,

Y

5unidades, respectivamente, como medidas de los lados del trián

gulo. Inconsciente del hecho de que su cinta métrica está cam

biando de tamaño conforme él se mueve, el pobre hombrecil lo

infiere -al mismo tiempo que nosotro s lo hacemos- que

s u

espacio

debe ser euclidiano. En general, siempre que un enunciado geomé

trico relativo a un objeto en nuestro universo euclidiano seaverda

dero (relativo a nuestra métrica estándar), elmismo enunciado será

verdadero del objeto correspondiente del espejo (relativo a los

estándares métricos en lmundo del espejo). Sesigue que, desde el

punto de vista del universo espejo, la superficie es también con-

Helmholtz usó este a~álisis de la representación para mostrar

que la geometría no-euclidiana es representable. Hizo preceder este

argumento con dos historias apasionantes diseñadas para desacredi

tar nuestra fe en la confiabilidad de la intuición La primera fue un

caso Flatland, en

el

cual dos seres bidimensionales viviendo sobre

una superficie curvada desarrollarían una geometría no-euclidiana

con base en sus percepciones. Ya que la idea de que tales seres

Por lamuy mal usada expresión representar o ser capaz de pen

sa r cómo pasa algo , entiendo que uno podría describir la se rie de

impresiones de los sentidos que uno tendría si tal cosa. pasara en

un caso particular. Yo no veocómo uno podría entender algo más

por es to sin abandonar el sentido completo de la expresión. ( On

the origin and significance of the axioms of geometry [1870],

Epis tem gica l W litÍ lzgs,p . 5

liarque eshiperbólico, yaque eslaimagen deuna métrica hiperbólica

bajo un isomorfismo. Por la nueva métrica estándar, las cuerdas

del circulo son lineas rectas infinitamente largas. Los ángulos son

correspondientemente rernetrizados. Aunque la superficie abierta

es un modelo de la geometría hiperbólica, Beltrami no pensó por

un momento que esta superficie abierta pudiera calificar como una

interpretación (en este sentido) de la geometría hiperbólica. Si

pudiera, entonces por sus propios argumentos, la geometría

hiperbólica tridimensional también seria interpretable. Sin duda, el

carácter arbitrario i .e ., no-euclidiano) de la métrica definida por

f fue la razón decisiva para descartar el espacio auxiliar como

una interpretación posible. Fue Helmholtz quien observó que las -

lineas rec tas en la superficie abierta de arriba son por mucho

parientes más cercanos de las lineas rectas estándar que aquellas

encontradas en el modelo preferido de Beltrami. Ésta fue la base

de su bien conocida prueba de que podemos, de forma intuitiva,

representar espacios no-euclidianos, mostrando así que la geome

tría euclidiana no es una necesidad de la intuición.

El primer paso en elargumento de Helmholtz fue eliminar la

ambigüedad de la noción kantiana de una representación intuitiva:

¿Podemos representarnos intuitivamente éste espacio? De

95

EOMETRí INTUICiÓN PUR LO

PR OR

vexa -y no cóncava, como podría pensarse alprincipio, pues todos

GEOMETRí INTUICiÓN PUR LO

PR OR



En particular, ya que el universo no es infinito por los

estándares euclidianos a los cualesnuestro viajero espacial está acos

tumbrado), sino que está acotado por la superficie de la esfera de

radio

R

al principio pensaría y vería ) que todos los objetos es

tán aproximadamente dentro de una distancia R. Sin embargo, tan

pronto como comenzara a moverse como debe, según Helmholtz,

siél debe ser capaz de tener una geometría), encontraría un

núme

ro de sorpresas que alterarían sumodo de pensar y por lo tanto -de

acuerdo con Helmholtz- su modo dever.

Este reto a la idea de

nsch uungsnot lvendigkei t

es quizá la más

notable de las críticas de Helmholtz a la filosofía de la geometría

vería continuamente las líneas de los rayos de luz o las lineas de

vista de sus ojos como las lineas rectas parecen a aquellos que

existen en el espacio plano y como ellas realmente son en la ima-

gen esférica [de Beltrami] del espacio seudoesférico. La imagen

visual de los objetos en el espacio seudoesférico le dada por lo

tanto la misma impresión que si él estuviera en el centro de la

imagen esférica de Beltrani, p 21

hecho, lo acabamos de hacer en términos generales y podríamos

ser tan especificas como senos exigiera, apelando a los detalles de

la construcción de Beltrami. Pero larepresentación dada hasta aquí

es, por así decirlo, externa. Podemos imaginar este mundo notable

en el cual los objetos sólidos cambian de tamaño en modos no

tables y aun notar la relatividad de esta descripción: no tenemos

más derecho a juzgar elcomportamiento de sus patrones métricos

por los nuestros que el que ellos tienen a juzgar los nuestros por

los suyos. Pero ¿podemos representarnos este mundo desde elin

terior, no como un observador imparcial euclidiano podría ha

cerlo, sino como lo haría un habitante de ese universo? Helmholtz

contestó con una historia de un viajero interespacial. El observa

dor euclidiano es enviado al centro del universo espejo y se nos

dice cómo ese universo leparece a él.Ya que las líneas rectas en ese

universo son tan rectas como sus viejas líneas euclidianas, él

los objetos deS ypor lo tanto Smisma) son sus propios objetos co

rrespondientes. A pesar de la diferencia notable entre los dos uni

versos, la misma geometría es válida en ambos; en verdad, ambas

son euclidianas. la simetría va más allá. Desde el punto de vista_

dela métrica del espejo, nosotros somos habitantes deun universo

espejo en el cual los objetos cambian de forma conforme semue

ven, estrechándose conforme se acercan a su punto focal. Si las

cosas parecen divertidas o no es por completo una materia de

perspectiva. Helmholtz hizo a la intuición en geometría lo que

Montesquieu había hecho un sigloy medio antes a laintuición en

filosofía política.

Habiendo mermado nuestra fe en laintuición, Helmholtz l i

bró elgolpe decisivo. Una vez más se dispuso a describir un uni

verso tridimensional que nos podemos representar de forma

intuitiva; pero esta vez lageometría deluniverso sería no-euclidiana.

Es aquí que Helmholtz apela a laesfera auxiliar de Beltrami. Usan

do los resultados de Beltrami, Helmholtz se dispuso a deducir

cómo los objetos de un mundo seudoesférico aparecerían a un

observador, cuyas experiencias espaciales y estimación visual se

hubieran desarrollado, iguales a las nuestras, en un espacio plano

p.21). El modelo seudoesférico de Beltrami como la Flat land de

Helmholtz, no fue útil porque era bidimensional . Helmholtz se

concentró más bien en 16que para Beltrami era una mera repre

sentación analítica, el circulo auxiliar o para el caso tridimensional,

la esfera auxiliar. En un paso filosófico audaz, Helmholtz tomó la .

función f como una métrica en elespacio encerrado por la esfera

auxil iar. De acuerdo con esta métrica, los axiomas y teoremas de

la geometría hiperbólica son verdaderos. Más aún, las rectas secan

tes euclidianas son también líneas rectas. Helmholtz modela con la

imaginación un universo esférico dotado con laf-métrica, o, en los

términos más concretos preferidos por Helmholtz, un universo en

elcuallos objetos sólidos preservan su f-longitud bajo trasposición

en la misma medida que los objetos sólidos de nuestro universo

preservan su longitud euclidiana para alguna métrica euclidiana)

bajo transposición.

forma de un objeto

Crítica,

A223/B271; véase también

A2391

9

EOMETRíA INTUICI ? NPURA y LO PR OR

de Kant. Él también planteó otras cuestiones acerca de lo que Íos

GEOMETRíA INTUICiÓN PURA Y LO

PR OR



I .

~

D

<. ~~

~.

.

~

l

~

t

ji¡~

v

Sobre el Origen y Significado de los Axiomas de la Geometría

de Helmholtz es un paradigma de un estudio seminal. Es una ex

plosión de nuevas, profundas y con frecuencia conflictivas ideas

acerca de la esencia de la geometría, Además de refutar la necesidad

intuitiva de la geometría (como dijimos en la sección precedente),

el artículo presenta a) la filosofía empirista oficial de la geomettia

de Helmholtz, la cual estaba destinada a tener una influencia ma

yor en las décadas posteriores; b) una refutación implícita pero

completamente clara de una parte crucial de a); c) una visión

apriorística de la geomettia, inconsistente con a);

y

d) la primera

formulación del convencionalismo geométrico -formulado pero

no en estr icto defendido como una posibilidad, a causa de su ob-

as fil os of ía s d e l a g e ometr ía d e e lmh o lt z

B298). Como vimos, aun a laluz de esa construcción, la posibili

dad de ese objeto podría aún ser dudosa

Crítica,

A224). El pro

blema de la aplicabilidad de la geometría pura al mundo es re

suelto como sigue: la síntesis constructiva a través de la cual el

concepto (de, digamos, un triángulo) es construida en la imagina

ción es precisamente lamisma que aquella que practicamos en la

aprehensión de un fenómeno para formarnos un concepto empí

rico

Crítica,

A224/B271).

Lo que dist inguió a los helmholtzianos neokantianos de sus

contrarios filosóficos fue su reacción a pasajes como éste: los

primeros consideraron éste como un problema, los últimos como

una solución. Los helrnholtzianos notaron el hecho obvio de que

tal pasaje quizá sugiere una idea interesante, pero es casi absurdo

como está. Hicieron entonces su mejor esfuerzo para asociar al

gún sentido claro y definido con tales palabras, relacionándolas

con lo que ellos u otros habían descubierto en los campos de la

psicología de la percepción o en geomettia. La respuesta filosófica

neokantiana a tales esfuerzos fue un eco constante del

dictum

profesoral de Cohen los cri ticas no han entendido a Kant

D ie

G egner habenKan t n i ch t v e rs tanden .

11 Este tercer punto incluye laobservación de que lageometría no determina

lamétrica, algo que aún Reichenbach no apreció completamente, pero que encon

tró un reconocimiento detallado en los escritos de Grünbaum Phi/osophicalProblo l l lS

S p ac e a n d T im o , cap. 3, sección B .

kantianos llamaron la aplicabilidad de la geomettia euclidiana.

En particular , se preguntó cómo podrían los kantianos explicar

por qué lamisma geometría que está supuestamente fundada en la

intuición pura también es fácil de aplicar a nuestro mundo empíri

co. Helmholtz notó tres dificultades. Primero, los kantianos deben

suponer que laintuición pura les da elconocimiento preciso de las

propiedades de, digamos, los triángulos o las lineas paralelas para

que pueda estar seguros de que lageometría euclidiana es verdade

ra -más bien que alguna muy pequeña desviación de ella. En se

gundo lugar, aun si nosotros estuviéramos provistos con tal ojo

mental muy preciso, ¿por qué deberíamos pensar que las leyes para

los triángulos geométricos de laintuición pura concuerdan con las

leyes geométricas que gobiernan los triángulos más bien no -pla

tónicos que nosotros encontramos en el mundo? En tercer lugar,

aun si las leyes de la geometría tanto en el dominio empírico y el

puramente geométrico son las mismas, no se sigue de allí que la

conducta métrica de los objetos ideales se parecen a esa entre sus

contrapartes reales (véase, Die Thatsachen in der Wahrnehmung

[1878], especialmente las pp. 397-398). El universo espejo de

Helmholtz estableció que dos dominios geométricos en los cuales

las mismas leyes geométricas son válidas pueden discordar radical

mente en juicios de congruencia.

Es inverosímil que algún neokantiano haya entendido alguna

vez el tercer punto de Helmholtz. ' En respuesta a los otros dos

apuntaron que las directrices de Helmholtz presuponían lo que

hemos llamado lainterpretación platónica de las palabras de Kant

y arguyendo que esto estaba en absoluto equivocado, ya que para

Kant no hay propiamente objetos geométricos. En su defensa, ellos

podrían haber apelado a esos pasajes en los cuales Kant dice que al

construir un concepto, construimos no un objeto sino sólo la

dl=g dx

dv

J }

EOMETRiA INTUICiÓNPURAY LO

PR OR

vio conflicto con a)y su aparente conflicto con c). El empirismo

oficial de Helmholtz se unió con el de Mill para inspirar un

GEOMETRiA INTUICiÓNPURA Y LO PR OR



intentaban justificar. Lie mostró que Helmholtz no había resuelto por completo el

problema o que , s i lo había resuelto, había descr ito muy mal las premisas de su

prueba; pues elaxioma de movil idad libre que podría ser pensado como fundado

en la exper ienc ia es uno que se ref ie re a movimientos f in itos , mient ras que e l

razonamiento de Helmholtz implica un llamado a.una versión del principio que lo

aplica a movimientos infinitesimales. Como muchos otros en laépoca, Helmholtz

parece haber pensado de los movimientos infinites imales como movimientos fi

nitos pero minúsculos. Así , élconcluyó que uno podría inferir de suvers ión finita

de movilidad libre la versión infinitesimal

que esverdadero de tudas los movi

mientos finitos debe también ser verdadero de los minúsculos). Lie, en contraste,

fue sensible a laidea (resultante del trabajo deBolzano) de que los . movimientos .

infinitesimales no eran movimientos y que las distancias infinitesimales no eran

dis tancias, y que el discurso referente a infinites imales tenía que ser construido

como, en efecto, incluyendo lo que Russell vino a llamar símbolos incompletos. El

razonamiento por entero falaz de Helmholtz puede ser vis to como un caso para

digmático de la falacia de la concretez desplazada de Whitehead, yel punto de

Lie como una apl icación i luminadora y notable de la doc tr ina de los símbolos

incompletos. Para una iluminadora explicación. de los hechos relevantes véase de

Torreti Phi l osop f ?yo f Geome tr yf r o » R i emann

lo

Poiucaré ,cap.

.3

parte 1

La hipótesis de que el espacio es infini to parecía just if icada

por la teoría física, pero ¿qué justifica elaxioma de movilidad libre?

Helmholtz lo tomó como un hecho observacional

(Epistemologit al

IV1itings,

p. 15), algo que tod~s nosotros hemos experimentado

desde la más temprana juventud en adelante p 4). Pero es claro

que la inferencia a partir de observaciones de lamovilidad libre es

refutada por elpropio ejemplo del universo espejo de Helmholtz.

Pues los habitantes de ambos universos verían desde su más

temprana juventud que sus varas de medir y otros objetos sólidos

satisfacían el axioma demovilidad libre y también verían que las

varas de medir en el otro universo

11

satisfacen el axioma. No

podrían ambos estar en lo correcto en su inferencia de la movil i

dad libre a part ir de la experiencia, sin embargo, -por el razona-

12El objet ivo original de Helmholtz en On the facts underlying geometry

fue mostrar que dada la tridimensionalidad y lainfinidad del espacio, la movilidad

libre implicaba que

el

espacio debe ser euclidiano. Se mostró que la movil idad

libre implica curvatura constante y la hipótes is de infinitud descartaba los espa

cios esféricos (de curvatura mayor que O . Entonces, en 1869, Beltrarni l lamó la

atención de Helmholtz sobre supropio AnAttempr to Interpret Non-Euclidean

Geometry , en elcual , como vimos, estudió espacios de curvatura

mgativa

cons

tante que sat isfacen tanto la movil idad libre como elpostulado del infinito. On

the origins and s ignif icancc of the axiorns of geometry de Helmholt z es en

esencia una meditación filosófica acerca de

el

descubrimiento de Beltrami.

Es digno de notar que labúsqueda de un conjunto interesante de condicio

nes sufi cientes para la forma mét ri ca de Rlemann pronto vino a ser conoc ido

como der l Imsprob l em . Lo que deber ía contar como un interesante conjunto de

condiciones nunca fue muy bien definido, pero se supone generalmente que te

nían que ser algo conocidas con mayor certeza que laforma riernanniana que ellas

empirismo creciente e influyente pero a un nivel geométrico estre

cho. Su doctrina apriorística fue ávidamente captada por los

neokantianos, a quienes les gustó tanto que se la atribuyeron a

Kant. Poincaré fue el primero en ver con claridad más allá de

Helmholtz, reconociendo no sólo las limitaciones del empirismo

geométrico sino, más importante, la consistencia y en verdad la

adecuación del convencionalismo de Helmholtz y de las doctrinas

apriorísticas.

La doctrina empirista oficial de Helmholtz descansaba en su

pretensión de que los hechos empíricos están en elfundamento de

la geometría. Lo más básico de esos hechos está descrito por el

axioma de movil idad libre, el cual dice que las configuraciones

geométricas pueden moverse sin cambiar en su forma o dimensio

nes

(EpistemologicaIWritings,

p.4).Helmholtz había argumentado en

De los Hechos Subyacentes a la Geometría (1868,

EpisteJlJological

Writings)

que de este axioma, más el hecho de que el espacio es

infinito, uno podía probar la hipótesis central de la geometría de

Riernannian, acerca de que lamétrica debe tener la forma.F

ésta deba ser pensada como necesaria p 270). Muchas de las más

101

EOMETRíA INTUICI~ NPURA

LO

PRIORI

miento de Hehnholtz, siuno de ellos está en lo correcto, también

GEOMETRíA INTUICIÓNPURA Y LO

PRIOF I

00



l

14En Uber die thatsáchlichen Grundlagen der Geometrie 1868), Helmholtz

había hecho la misma afirmación, agregando, Esta investigación es completa

mente . independiente de la cuest ión ulterior del origen de nuestro conocimiento

de las afirmaciones de contenido ·factual p 610). Esta materia fue eltema central

de On the Origin and S igni ficance of the Axiorns of Geometry .

interesantes filosofías de la ciencia desarrolladas en las pasadas

décadas han estado inspiradas por laidea opuesta: muchos princi

pios científicos fundamentales no son de ninguna manera pensa

dos por necesidad -en realidad, costó un gran esfuerzo desarrollar

los sistemas de conocimiento que los incorporan; pero sus nega

ciones también parecen imposibles- no necesitan ser pensados,

pero si son pensados alguna vez, deben ser pensados como nece

sarios. Esta doctrina, cualesquiera que sean sus méritos intrínse

cos, no es empirista nikantiana. Emerge directamente deideas que

florecieron, como veremos, en Viena alrededor de·1930.Pero sus

raíces están en el convencionalismo de finales del siglo

XIX

véase

capítulo 7) e, incluso más atrás, en los escritos seminales de

Hehnholtz.

Nadie antes de Helmholtz fue tan agudamente consciente tan

to

de la necesidad de permitir una variedad de sistemas de geome

tría

como

del papel pre empírico peculiar que tales sistemas juegan

en la organización de nuestro conocimiento. El pasaje inicial de

De los hechos subyacentes a lageometría de Helmholtz 1868)

establece un hecho notable respecto a los axiomas de lageometría:

para poner a prueba los axiomas debemos saber qué objetos son·

rígidos, qué superficies son planas y qué ángulos son rectos, pero

nosotros sólo decidimos si un cuerpo es rígido, su lado plano y

.sus ángulos rectos, por medio de las mismas proposiciones cuya

corrección factual se supone que debe mostrar el examen

Epis temologicaIWrit ings ,

p. 39).

14

Los enunciados que muestran este

rasgo extraordinario no sólo se encuentran en la geometría. Otro

ejemplo es elprimer axioma de Helmholtz dela teoría de la medi

da: si dos magnitudes son ambas similares a una tercera, son simi

lares entre

si p

94).De acuerdo con Helmholtz, este axioma no

13El hecho que es, en efecto, observado por los miembros de ambos univer

sos y de lo que quizá pretendía Helmholtz que contara como fundamento factual

de lageometría eslo que Grünbaum hallamado la hipótes is de la concordancia

de Riernann laafirmación de que objetos sól idos que coinciden enun tiempo y

lugar coincidirán en otros t iempos y lugares , independientemente de cómo han

sido transportados. Todos los espacios riemannianos -incluyendo los de curvatu

ra variable- sat isfacen esta condición geométricamente reinterpretada como la

vía de laindependencia de los juicios de congruencia). Este nuevo hecho dificil

mente puede ser considerado como un nuevo candidato para el fundamento em

pírico de lageometría, sin embargo, yaque lageometría infinitesimal de Weyl, por

ejemplo, permite espacios que violan la hipótes is de concordancia de Rlemann.

Para referencias véase mi Elective affinities: Weyl and Reichenbach .

lo está el otro. Por lo tanto, ninguno estaría en lo correcto y la

inferencia de Helmholtz del axioma estaría infundada.

.Al lado de este empirismo geométrico insostenible uno en

cuentra en los escritos de Helmholtz una diferente y mucho más

promisoria teoría de la geometría, pues las raíces del convenciona

lismo están claramente bajo la superficie de mucho de lo que

Helmholtz tiene que decir sobre la esencia de lageometría. Se po

dría decir que elpropósito del convencionalismo geométrico, tal y

como fue desarrollado por Poincaré y otros a finales del siglo XIX

fue realizar un acto compensatorio considerado en general como

imposible: garantizar a los kantianos el carácter

aPrior i

de muchos

principios científ icos lageometría en un lugar prominente) yal

mismo tiempo insistir en su carácter reemplazable y en la existen

cia de alternativas también necesarias a ellos. En

l

E xam en d e la

F i loso f íade S i l -

H í :

Hamilton,

Mill había expresado con peculiar clari

dad lo que era, sin duda, una opinión ampliamente compart ida

entre los empiristas y sus oponentes kantianos. Uno de estos últi

mos

s

había quejado de que

Mili

no distinguió entre la necesidad

de pensar algo y elpensamiento de esa cosa como necesaria. Mili

replicó reconociendo la distinción pero notó que el fundamento

para esto último es siempre un argumento para lo primero. Agre

ga, si rechaza la necesidad de pensar la cosa del todo, refuto que

podría considerara los axiomasde lageometda comoproposicio

103

GEOMETRiA I NTUIC iÓN PURA Y LO

PR OR

es una ley que teriga significación objetiva; sólo determina a qué

GEOMETRiA INTUICiÓN PURA

y

LO

PR OR

02



Cuando los alemanes empezaron a recuperarse del idealismo, la

primera cosa que seles ocurrió fue regresar a Kant

y

empezar de

nuevo tratando de acertar esta vez. El neokantismo es la etiqueta

para una variedad de movimientos que tuvieron poco más en co-

mún que una desconfianza hacia los poskantianos que los prece

dieron

y

lacreencia de que lo que Kant quiso (pero no logró) decir

era profundo y verdadero. En este sentido general del término,

Helmholtz inició uno de los más tempranos movimientos

neokantianos. En Uber das Sehen des Menschen (1855), llamó a

una reevaluación

y

reinterpretación de la filosofía trascendental a

laluz de la nueva investigación en psicología de lapercepción (pp.

76-77). El gran historiador de la filosofía griega Eduard Zeller se

uniría en algún momento aHelmholtz en suintento de ofrecer una

imagen del kantismo consistente con la ciencia

y

filosofía de la

e ll nd o l s f ug s

La interpretación que Helmholtz ofreció aquí como una posi

ble defensa para un kantiano eslamisma que había adoptado en la

observación citada antes de Sobre los hechos subyacentes a la

geometría (p. 39) respecto a cómo podemos decidir si los cuerpos

son rígidos. Examinaremos sus implicaciones brevemente, cuando

veamos la lectura de los neokantianos de esta observación fecunda.

nes

apr ior i

dadasa travésde laintuicióntrascendental,y esaspropo

sicionesno podrían serconfirmadasni refutadaspor ningunaexpe

riencia,porque uno debería primero tener que decidir en acuerdo

con ellassilos cuerposnaturalesdadosdeberíanser considerados

como rígidos Pero deberíamosagregarentoncesque bajo esta in

terpretación,los axiomasgeométricosciertamenteno seríanenun

ciadossintéticos en el sentido de Kant; pues entonces ellos sólo

afirmarianuna consecuenciaanalíticadelconcepto de configura

ción geométrica rígida necesariapara la medida, ya que uno po

dríaaceptar como rígido sóloaquellasconfiguracionesque satisfi

cieranlos axiomas.

r i f i e n

i tr

Erke l l l l tn is theor ie pp.

23-24

Desde luego,uno podría también entender el concepto de confi

guracionesespacialesgeométricas

rígidas

como un concepto tras

cendental, formado independientemente de experienciasrealesy

al cual éstas no necesitancorresponder, como de hecho nuestros

cuerpos naturalesno corresponden de manera enteramente pura

y sindistorsiones con losconceptos quenosotros hemos abstraí

do de ellosinductivamente.Siadoptáramos esteconcepto de rigi

dez entendido como un ideal,un kantiano estricto seguramente

relaciones físicas nos es permitido reconocer como similares (p.

94). El principio de causalidad también tiene un

s tatus

excepcio

nal porque es la presuposición para lavalidez de todas las otras

[leyes]; ... esla base de todo pensamiento y conducta. Hasta que lo

tenemos no podemos ni siquiera verificarlo: así sólo podemos creer

en él, conducirnos de acuerdo con él (Kónigsberger, Hermas» vo n

Helmhol t i vol

1,

p

248).

¿Cómo debemos interpretar tales enunciados? En sus más

lúcidos momentos, Helmholtz sugir ió que para responder a esta

pregunta debemos observar más de cerca cómo distinguir dentro

de nuestro conocimiento entre lo que tiene sentido objetivamen

te válido ylo que es sólo definición o consecuencia de definicio

nes, o depende de la forma de la descripción

On

the facts

underlying geometry ,

Epi s t emol og i ca lWr i t i ngs

p. 39). Así, a veces,

estaba inclinado a pensar en los axiomas geométricos como defi

niciones y aseveraba que el primer axioma de la aritmética , la

ley de que magnitudes iguales a una tercera deben ser iguales una a.

laotra, puede ser propiamente considerada como la definición de

igualdad. El axioma debe ser satisfecho en aquellos casos en los

cuales dos pares de magnitudes deben ser reconocidas como mu

tuamente idénticas

Einlei t tmg

p.27;ver también Numbering and

measuring ... ,

Epi s tem o lo g ica l

n~ i:iti1~s. 78). Quizá elenunciado más

intrigante

y

notable de esta posición aparece en Sobre el origen

y

significado de los axiomas de la geometría . Después de sugerir

que los axiomas geométricos tratan del comportamiento mecáni

co de cuerpos rígidos en movimiento, agregó:

acertada, que los escritos de Helmholtz contienen una explicación

5

EOMETRí INTUlqlóN PUR Y LO PRIORI

época. Como veremos, este movimiento continuaría en el siglo

GEOMETRí INTUICIÓN PUR LO PRIORI

04



Para su beneficio, Cohen parece haber sido elprimero en re

conocer con claridad que eluso analít ico de Kant es ambiguo.

Cohen arguyó que hay dos sentidos de analítico y de sintético en

Kant, en efecto, el primero y tercer sentidos identificados en el

capitulo (véase

Ka n ts T b e or i e d e r E r f a br tl 1 1g

cap. 11). Kant algunas

veces quiso decir por sintét ico predicado no pensado en el suje

to , y otras veces quiso decir teniendo una intuición como elfun

damento de la síntesis . En lugar de considerar esto como elresul

tado yla fuente devarias confusiones, sin embargo, Cohen tomó la

ambigüedad como otra prueba dela sutileza deKant. De acuerdo

con Cohen, laprimera definición es nominal, mientras la segunda

esreal. La distinción entre esos dos tipos de definiciones puede ser

ilustrada con un ejemplo debido al venerable Wolff, quien había

explicado en su l ó g i que una definición nominal de un reloj debe

r í a ser una máquina que muestra las horas , mientras que si yo

explico su estructura, doy una definición real (pp. 41-42). Apa

rentemente, una definición real da una explicación de las causas o

]

Pensó que uno podría concebir la noción de una configuración

geométrica espacial rígida como un concepto trascendental y,por

. lo tanto, consideró los axiomas de lageometria como enunciados

dados a través de laintuición trascendental . Pero en ese caso los

axiomas de la geometría resultarían enunciados analíticos. Pues

ellos aseverarían entonces sólo lo que se siguiera analíticamente

del concepto de configuración geométrica rígida necesaria para la

medida . Aquí Helmholtz se está apoyando en ladefinición nomi

nal usual de analí tico y s intético, la cual hemos dejado atrás hace

mucho. El concepto de una configuración geométrica en general,

por no hablar de una apropiada para lamedida, no tiene conexión

con elconcepto deverdad analí tica, sino que es, desde suorigen y

carácter, una noción sintética; pues presupone la intuición.

I ¡mts

Tbeo r i e d e r E i f ab rung ; p 232)

diferente a este respecto:

XX, y se pone de manifiesto en el trabajo de Planck, Schlick, y

muchos otros inclinados a agregar un giro realista científico a la

filosofía trascendental.

Lo que en general se conoce como neokantismo, sin embar

go, es un fragmento de este movimiento más grande que tuvo un

interés mucho más débil enla ciencia que elque tuvieron Helmholtz

o, el mismo Kant. El más importante exponente de este neo

kantismo filosófico fue Herrnann Cohen, fundador de la cele

bre escuela de Marburgo; de esta escuela emergieron Natorp,

Heirnsoeth, Ortega y Cassirer, Rickerty Winde1bahd guiaron a una

diferente rama del movimiento que estaba más preocupada por

una extensión del pensamiento kantiano a las ciencias culturales.

Fuera de la escuela de Marburgo, Alois Riehl intentó mostrar que

larepresentación kantiana del conocimiento fue consistente con el

comportamiento más bien irregular desde 1800 de las ciencias no

culturales. Unpunto en elcuallos neokantianos estrictos coinci-

dieron en que las crit icas deHelmholtz no habian dado en elblan

co. En cualquier lugar que habia una discrepancia genuina,

Helmholtz estaba equivocado, y en cualquier lugar que Helmholtz

hubiera hecho una observación interesante, la observación ya po

día ser encontrada en Kant, siuno sabia cómo leerlo. Al defender

a su héroe, los neokantianos fueron en buena medida ayudados

por la naturaleza dialéctica, y cambiante de las observaciones de

Kant respecto a laintuición pura (véase laprimera sección de este

capituló, los mensajes mixtos de Kant ).

La posición de Helmholtz puede ser aún más clara si conside

ramos de manera escueta las respuestas delos neokantianos alreto

deHelmholtz. Había los que pensaban que Helmholtz simplemente

no era un buen filósofo y aquellos que pensaban que su filosofía

era excelente, pero su conocimiento de Kant era malo. Examinare

mos un ejemplo de cada grupo.

Cohen objetó la caracterización de Helmholtz de rigidez como

una propiedad física que podemos reconocer en los objetos como

una materia de hecho empírico. Pero observó, también de forma

cepto geométrico particular C se siguen analíticamente de C, aun

que esos axiomas no estén fundados en un análisis de Más bien,

107

EOMETRí INTUICiÓN PUR Y LO

PR OR

fuentes de los rasgos adscritos en lanominal. La conclusión es que

la segunda definición de Kant de analítico no es equivalente a la

GEOMETRf INTUICiÓN PUR Y LO

PR OR

06



nosotros no tenemos acceso alconcepto C sólo mediante laadop

ción de esos axiomas. Como Sellars alguna vez lo dijo, ciertos con

ceptos presuponen leyes y son inconcebibles sin ellas; un axioma

geométrico puede no decirnos nada acerca de puntos, lineas, y así

sucesivamente, pero si, en lugar de ello algo acerca de los concep

tos de punto, linea, y así en adelante. De acuerdo con esta opinión,

nuestro conocimiento. de los axiomas geométricos seria muy pare

cido a lo que Kant consideraba como conocimiento trascendental,

pues no trataría con objetos de ningún tipo, sino con nuestro co

nocimiento de los objetos enparticular, con esa parte de nuestro

conocimiento que parece

a pri ori .

Así, no importa cuán obscuro y confuso sea,Helmholtz pare

cía estar apelando a una noción de analiticidad que no implicaba ir

al concepto para mirar sus constituyentes, sino ir fuera de él, para

buscar los vinculas analíticos con otros conceptos. Podríamos

llamar a esta opinión holística , ya que reconoce una relación in

tima entre un concepto y un contexto mayor, un contexto

proposicional, y toma este concepto siendo en algún sentido ante

rior al concepto. El contexto proposicional es anterior en elsenti

do en que define alconcepto, o mejor, laaceptación de las propo

.siciones que forman elcontexto esparte de loque está involucrado

en elreconocimiento de lo que es el concepto. Las consecuencias

analít icas del concepto son las consecuencias fregeanas de esas

aseveraciones que, como otros lo dirían (cap. 14), constituyen al

concepto.

A diferencia de Cohen, Riehl trató de leer las intuiciones de

Helmholtz en los escritos kantianos. En

Derpbi iosophiscbe Kri t idsmi«

Riehl presentó una versión dela concepción kantiana de lageome

tría que desarrolló un severo cuestionamiento alque debían some

terse las opiniones deKant como resultado de ciertos hechos acerca

de las geometrías que habían emergido en las décadas recientes.

Riehl reconoció que algunos de los elementos centrales de la teoría

de las matemáticas deKant eran insostenibles y se esforzó en ajus-

15

Riehl no lo hizo mejor. En

e r p h i l o so p h i s h e Kri t i i i smus

explicóque en los

juiciosanalíticos nosotros analizamosel contenido delconcepto dado y por ese

medio iluminamos o clarificamosnuestro entendimiento de él.Si,por otro lado,

diferentesconceptos sonpuestos en un juiciocomplejo,la unidadde representa

ción resultante es sintética;amplíanuestro conocimiento delconcepto sujeto.El

permanecer en unpunto en elconcepto dado en un caso,el

más alláde éstea

otro concepto, en el segundocaso,significala diferenciaentre analíticoy sintéti

co (vol.1, pp.318-319).Sindetenersemás,concluyó: Juicioscuyo fundamento

de conexión es un concepto son juiciosanalíticos;juicios cuyo fundamento de

unidad es laintuición son sintéticos.Los juiciosanalíticosson juiciospuramente

conceptuales;los juiciossintéticosson juiciosde intuición p.

320 ,

primera, sino que va más allá; ésta identifica la esencia de la

analiticidad.

Es claro que, Cohen sólo tuvo éxito en bautizar la dificultad,

pues ni siquiera notó que las extensiones de las dos definiciones

difieren. Tampoco se dio cuenta de la diferencia entre su sentido

nominal de analítico y su crucial

s egundo

sentido -verdadero en

virtud de los conceptos. Como todos los otros kantianos, asumió

como dogma que las afirmaciones de conocimiento que deben

ser derivadas de conceptos dados [...] son analíticas en el sentido

nominal K a n ts T b e o ri e d e r E r f a h rt m g p. 115 .1 5

No habiendo notado esta distinción crucial, es natural que

Cohen confundiera el sentido de analiticidad sugerido por la ob

servación: ci tada de Helmholtz con el sentido nominal de Kant y

que debiera tomar su inadecuación respecto a las intenciones de

Helmholtz como razón suficiente para concluir que laintuición es

necesaria en los propósitos requeridos. Pero es claro que ésta es .

una interpretación insostenible de las palabras de Helmholtz. De

acuerdo con el sentido nominal de Kant, nosotros identifica

mos las consecuencias analít icas de un concepto C mirando los

constituyentes de Sin embargo, como Cohen observó, nada de

esto está involucrado en 13;elación invocada por Helmholtz. Se

gún Helmholtz, los,axiomas geométricos que involucran un con-

los conceptos geométricos, tenemos que inversamente, los he

9

EOMETRíA, INTUI piÓNPURA y LO PR OR

tar la doctrina para acomodar esos recientes y embarazosos desa

GEOMETRíA,INTUICiÓN PURA Y LO PR OR

8



.

i

_

16

Véase también Riehl F i i br e n de e n k e r n n d F a r sc b e r cap. 9, en especial: pp.

228-229.

Desde sus premisas helmholtzianas, Riehl trató de derivar la

conclusión kantiana respecto a la subjetividad del conocimiento

geométrico: el sujeto no es ciertamente, corno Kant enseñó, el

único portador de las relaciones espacio-temporales de los fenó-

menos; éles enverdad elautor de su forma de pensamiento deter

minado p. 116). Y como en Kant, aunque esas formas están, en

algún sentido, por encima de nosotros, no tenemos realmente una

elección sobre lo que esas formas serán: esta forma de conoci

miento es por necesidad válida para la captación consciente de las

relaciones de intuición p. 116). En otras palabras, el espacio

euclidiano es en realidad necesario después de todo - no una nece

sidad de laintuición, sino una necesidad lógica , esto es, una ne

cesidad fundada sólo en los conceptos. Pero nótese qué lejos está

esto de las ideas deKant. Ahora la necesidad conceptual no está

fundada en nada parecido a un análisis de conceptos; no hay, en

verdad ningún discurso acerca ,del análisis en el sentido nominal.

Más bien, la necesidad conceptual emerge por una ruta no especi

ficada, que incluye de alguna manera la adopción de ciertos axio-

Nadie ha expresadomás claramenteque Helmholtz estaindepen

denciade lasconfiguracionesidealesde la geometríade susrepre

sentaciones corpóreas en la realidad, la dependencia de nuestro

conocimiento juiciorespecto de lasúltimas sobre lasprimeras,

como éllo hacecuando dicequesi cuerpo es rígido,su super

ficieplana susángulosrectos deben serdecididos por medio de

las mismas proposiciones (geométricas)cuya corrección factual

(empírica)ternaque serexhibida por la prueba. p . 1 77 16

chos deben ser verificados a través de ellos (p. 177). De acuerdo

cón RieW, esta doctrina delos conceptos geométricos como lógi

cos puede ser encontrada (aunque tácita y oblicuamente) en los

escritos de Kant y, explicitamente, en los de Helmholtz:

Éste es, dé hecho, elcaso

delos

axiomas de Euclides: respec

to a las propiedades fundamentales del espacio, lo que no puede

ser decidido nipor intuición nipor análisis está ya decidido lógica

mente p. 178). Los conceptos geométricos no son derivados de

la experiencia, de acuerdo con Riehl, ni probados por medio delos

hechos ; son conceptos aPr io r i porque son creados a través de la

facultad del pensamiento. En lugar de tener los hechos verificando

Es un prejuicio creer que lo que no puede ser derivado de las

matemáticas puras debe por esamisma razón, ser derivado de la

experienciapura. Por encimade lasmatemáticasy la experiencia

están los principios dominantes de la lógica

-y

cuando se prueba

que ciertas afirmacionesde conocimientono sonnimatemáticas

ni empíricas, se haprobado que tienenun origenlógico: p . 175)

rrollos no kantianos.

Por ejemplo, Riehl reconoció de manera abierta que para él

no tenia sentido la noción kantiana de una intuición pura en geo

metría (pt. 1, cap. 2, sec.2) . No vela cómo interpretar esa noción

excepto como un regreso a la idea de que las formas pueden sub

sistir independientemente de las entidades empíricas en las cuales

están incorporadas. Como un verdadero kantiano, Riehl consideró

tales objetos como fantasias metafísicas de la-filosofía ptekantiana.

Consecuentemente, no hay representación a p r io ri ni conceptual

ni intuitiva, que pueda ser construida como una entidad; en cam

bio, hay funciones aprior i de laconciencia que son impuestas como

condiciones de la experiencia (p. 86).La form~ no es más que un

punto final abstracto para un orden de sensaciones p . 104).

Sin embargo, Riehl pensó que Kant estaba en lo correcto acerca

de todo lo que importaba y que sus criticas consuetudinarios esta

ban equivocados. Si los axiomas de la geometría no pueden ser

fundados en el análisis o en la intuición, no se sigue que deban

estar fundados en los hechos. Hay otro fundamento posible para

elconocimiento que dehecho Kant habia reconocido pero no ex

plorado con suficiente profundidad:

4

I ~==· ~= · = = · .

= , , , , , , , , , , , , , ,, , m , , , , , , c . , : m m , , , , , . . . . . .

, , , , , , , , , , , .m ,, , , , , , , , , 0

S EM Á NT IC D E F RE G E y

LO

PR R

mas; esos son aceptados o reconocidos como verdaderos en al

gún sentido de esta expresión, quizá sólo demanera vaga asociada

GEOMETRíA,INTUICiÓNPURA Y LO

PRIORI

10



111

• Traducción MaxFernández de Castro UAM-I .RevisadoporJuan Anto

nio Sánchez.

Por medio del ejemplo presente... vemos cómo el pensamientopuro,

independientementedel contenidodado por los sentidos o aún por una

intuición

a p r io r i

puede llevar a cabo.juicios que derivansolamentedel

contenidoque surge de su propia constitución,lo cual a primeravista,

parece ser posiblesólo en la base de alguna intuición. Uno puede

compararesto con la condensación,a través de la cual es posible

transformarel aire que a la concienciade un niño aparececomo nada

en un fluido invisible en forma de gotas.

FREGE, EGRIFFSSCHRIFT

La creencia errónea de que un pensamiento un juicio, como es

usualmentellamado) es algo psicológicocomo una representación

conduce necesariamenteal Idealismoepistemológico.

FREGE, LÓGICA , N CHL SS

¿El sensualismode Locke, el Idealismode Berkeleyy tanto más que

estáligadocon esas filosoflasno habrlasido Imposiblesi ellos hubieran

distinguidoadecuadamenteentre el pensamientoen el sentido estrecho

[objetivo]y la representación;entre los constituyentes conceptos,obje-

tos, relaciones)y las representaciones?Aún si el pensamientohumano

no toma lugar sin representaciones,el contenidode un juicio es algo

objetivo, .el mismo para.todos ... Lo que estamosdiciendo para el

contenidocompletoes verdaderotambiénpara sus constituyentesque

podemos distinguirdentro de él.

FREGE, ESBOZODE UNA RÉPLICAA KERRY,N CHL SS

E N R IT ME TIC

con sus frases constituyentes); de-alguna-manera en.virtud de los

conceptos involucrados -o, como alguien lo diría más tarde, en

virtud de los significados que intervienen. Llevada a su conclusión

natural; esta linea de pensamiento conduciría a la opinión de que

aunque cada conjunto de axiomas geométricos es, en el sentido

apropiado, lógicamente verdadero, es también el caso que cada

conjunto de axiomas estan bueno como cualquierotro. Laversión

trascendental de lageometría deHelmholtz conduce, inevitable

mente, alprincipio de tolerancia en geometría.

1

e g r i f f s s h r i f t

113

SEMÁNTICA DE FREGE Y LO

PR OR

EN ARITMÉTICA

u

ntes de Frege, los m~jores textos de l~gi~apodrían haber

LA SEMÁNTICA DE FREGE Y LO A PRIORI EN ARITMÉTICA

112



Los signos empleados en consideraciones filosóficas no son nada

más que pa labras que fallan a representar a través de su propia

composición los conceptos parciales que constituyen laidea

corn-

pleta significada por la palabra; ni puede su conexión designar la

relación de pensamientos filosóficos. Esta es la razón por la cual

y

en otro lado agregó:

son vehículos sensibles del conocimiento, de tal manera que uno

puede estar confiado con el los de que ningún concepto ha sido

olvidado y de que cada simple comparación ha tomado lugar a

través de reglas simples, etcétera, como uno lo está de lo que ve

con sus propios ojos. La tarea es faci lit ada por el hecho de que

uno no debe pensar las cosas en su representación general , sino

sólo acerca de los signos conoc idos de forma individua l y con

conocimiento sensible. En el caso de la filosofia, por el contrario,

las palabras, los símbolos del conocimiento filosófico, sirven sólo

para recordarnos el concepto general que está siendo designado.

Uno debe siempre mantener susignificado ante los propios ojos y

el entendimiento puro mantenido en esfuerzo constante; y cuán

imperceptiblemente una característica de un concepto abstracto

senos escapa, pues no hay nada sensible para revelarnos su omi

sión. (Kant,

Un t er s u chungm übe rna t ür l ic h e The o log i e

pp. 291-292; véase

también

rítica

A715-18/B743-6)

De acuerdo con laconcepción temprana de Kant acerca del cono

cimiento matemático, la virtud distintiva del simbolismo matemá

tico es que éste representa isomórficamente los rasgos de su tema.

En aritmética, Kant había argumentado que los símbolos, con su

capacidad para crecer y disminuir y sus relaciones mutuas, ofrecen

un modelo de los rasgos correspondientes de los números. Él pen

só que el caso de la geometría era aún más sorprendente, porque

llí los símbolos en realidad separecen a lo simbolizado. Los sím

bolos matemáticos , argumentó:

Frege alteró de manera radical elcarácter de lalógica. Rechazó

la doctrina tradicional de esas cinco categorías

y

ofreció una nueva

explicación que guió eldesarrollo de lalógica en la siguiente centu

ria. Frege reemplazó lapartición entre sujeto

y

predicado con una

entre objeto

y

función. Argumentó que lacópula no esun elemen

to separado ligando sujeto

y

predicado sino sólo una parte o fun

ción del concepto desplegado en su carácter insaturado; que la ca

tegoría de calidad deriva de una confusión entre el contenido

proposicional no aseverado

y

su aseveración;

y

que la interpreta

ción propia de lacantidad requiere de una teoría de la cuantificación

que reconoce el carácter funcional del concepto cuantificado

y

la

existencia de conceptos de nivel superior.

Es ampliamente reconocido que esos descubrimientos seña

laron elnacimiento de lalógica moderna. Ellos no son, sin embar

go, más que subproductos de la empresa fundamental que inspiró

a Frege desde sus más tempranos escritos: una investigación del

carácter de lo que nosotros decimos cuando transmitimos infor

mación por medio dejuicios -no sólo de lo que nosotros decimos,

sino de lo que podríamos decir o juzgar. Desde sus primeros escri

tos la preocupación principal de Frege fue con el significado o

contenido, lo que é l l l mó lo lógico - esto es, con la semántica.

Cada proposición categórica tiene un sujeto, un predicado, una

cópula, una cualidad y una cantidad. Sujeto y predicado son llama

dos términos . Por ejemplo, en elhombre pío es feliz , elhombre

pío y feliz son términos de los cuales el hombre pío es el sujeto,

feliz es el predicado y es es la cópula. La cualidad de la propo

sición es afirmación o negación ...hi cantidad de una proposición

es su universalidad o particularidad. (Leibiniz,

Opusc t t le f e l jragments

i n éd it s d e L e ib n ii J

pp. 77-78)

empezado con un parrafo como el siguiente: .

tructura de los conceptos p. 13).Pero enlugar de sacar la conclu

sión fatalista de Kant, Frege intentó identificar lo que otros llama

115

LA SEMÁNTICA DE FREGE Y LO

PR OR

EN ARITMÉTICA

en cada acto depensar para este modo de conocimiento uno debe

tener la cosa misma ante los propios ojos, y se vuelve necesario

LA SEMÁNTICA DE FREGE Y LO A PRIORI .EN ARITMÉTICA

14



2 Véase la car ta de Russell del 15 de enero de 1904 a Meinong , en la cual

identificó su concepción de lalógica con la Gegells tal/ds theor ie de Meinong.

Esta distinción con frecuencia ignorada jugará un papel decisivo en lacarac

terización de dos t ipos de realismo (atribuidos a Helmholtz y a Planck-respectiva-

rían un lenguaje perfecto , un fragmento del alemán que expresa

ra de modo perspicuo el contenido de lo que decimos. La tarea

del lógico , explicó, es conducir una lucha continua ... en parte

contra ellenguaje y lagramática en tanto que éstos fallan a dar una

expresión clara a lo lógico ( Logik [1879-91] Nacb l a s s , p. 7).

Lo lógico -sería un serio error mal interpretar lo que Frege

quiso decir por esta expresión recurrente en susescritos tempranos.

Lo que Frege Russellllamaron lógico , lo que Husserl denominó

una investigación lógica , lo queMeinong llamó Gegemtands theor i i

lo que Wittgenstein nombró una observación lógico-f.tlosófica

son parientes cercanos; no deberían ser confundidos con lo que

ahora es llamado lógica, después de que el formalismo

la teoría

de conjuntos han venido a dominar elcampo. Su lógica fue nues

tra semántica, una doctrina del contenido, de su estructura

y

natu

raleza,

no sólo de su fragmento formal .

Por ejemplo, Frege explicó que el entendimiento de varios len

guajesrevelael hecho de quelos lenguajesnaturales contienen un gran

número de rasgos no-representacionales, elementos que no represen

tan nada lógico . Concluyó que una familiaridadcon varios lenguajes

es por completo

útil

porque diferencias entre lenguajes pueden re

ducir la dificultad en captar lo lógico ( Logik [1879-1891]Natb l a s s ,

p. 6;también en un esbozo posterior, Logik [1897]Nad11ass ,p. 154).

Cuando Frege definió como su objetivo aislar lo que es lógico

( Logik [1879-1891]

Nac-h lass ,

p.6)

Y

separar con precisión lo psico

lógico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo

( T h e F o u n d at i on s

Ar ithmetic , p. xxi i , estaba queriendo decir que su blanco, el elemento

objetivo o lógico en elpensamiento, no es lo que permanece en el

juiciocuando elcontenido esexcluidosino lo que permanece cuando

descartamos el elemento específicamente

pSÍC ológ ico .3

Véase también Kant, Critica, A715~18/B 743-6. Es interesante queBolzano

serefirió a esta misma afirmación en ¡ WL,vol . 4,p. 291, observando que lamate

mática ahora usa el método que Kant atribuyó a la filosofía, ya que evita entera

mente la intuición.

Así, en la juvenil opinión de Kant, el simbolismo de las mate

máticas fue lo qué élpodría haber llamado un

Ansc-ha tlungsschr i f t ,

un

sistema simbólico diseñado para desarrollar en

la

intuición sensi

ble un modelo confiable del dominio de discurso matemático. A

causa de la naturaleza constructiva de su tópico, las matemáticas se

prestan perfectamente a larepresentación isornórfica, La filosofía,

en contraste, trata con conceptos dados, no construidos

y

por lo

tanto no es capaz de este t ipo de tratamiento. En otras palabras,

hay un Anschauungmhr ij t , pero no hay un Begr i f f ischr i f t ; y aun si lo

hubiera, sería de interés para elmatemático y no para el filósofo.

El primero libro de Frege, su Begr i f f tschr i j t de 1879, puso el ).

marcha un programa que de inmediato seoponía a Kant. Su obje

t ivo fue diseñar un simbolismo que haría para la filosofía lo que

Kant pensó que podría ser sólo hecho para las matemáticas -un

simbolismo que retrata no las cosas sobre las que trata sino lo que

podemos decir acerca de ellas,que dauna representación no delas

cosas pensadas, sino del-pensamiento mismo, considerado con

objetividad. Directamente desde elprincipio , explicó en un re

porte retrospectivo, tuve en mente la

e xp re si ón d e u n c on te ni do . ..

pero elcontenido debe ser dado más precisamente que en un len

guaje natural ( Booles rechnende Logik , p. 13).

A diferencia de Bolzano, Frege reconoció desde el principio

que para lamayoría de los enunciados del lenguaje natural la co

nexión de las palabras corresponde sólo de forma parcial a l~ es-

representar lo general en abstracto, sin ser capaz dedisponer uno

mismo del artificio út l e importante de manejar sólo signos sirn-

o .

ples más bien que los conceptos generales de lacosa misma, (Kant,

U n t e r r t lc h t l 1 tg C / 1i b e r n a t i id i c h e T h e o l o g i e pp. 278-279)1

fórmulas] sólo cuando el contenido no esindicado sino construi

117

SEMÁNTICADE FREGE Y LO

PR OR

EN ARITMÉTICA

,

Frege dedicó esfuerzo considerable a separar sus propias con

LA SEMÁNTICADE FREGE Y LO A PRIORIEN ARITMÉTICA

16



do a part ir de sus consti tuyentes por medio de los mismos signos

lógicos que son usados en el cálculo p. 39).

El proyecto de Frege incluía identificar un fragmento del len

guaje alemán que satisface dos condiciones: a) cada enunciado ale

mán tiene una traducción en este fragmento, y b) laforma grama

tical de cada enunciado en este fragmento refleja isomórficamente

los constituyentes del contenido que expresa, así como su combi

nación en ese contenido. El hecho de que B e g r i J f s s t h r i j t introdujera

símbolos no disponibles en elalemán pre fregeano, esenciales para

la plausibilidad práctica del proyecto, fue un factor insignificante

en cuanto a semántica se refiere; pues tales símbolos podrían ser

por entero eliminados en principio, en favor de expresiones del

alemán estándar -precisamente aquellas en términos de las cuales

los significados de los símbolos deFrege fueron expresados. Dado

este lenguaje perfecto , lasrelaciones de derivabilidad

las condi

.ciones para validez se seguirían sin ninguna necesidad de apelar a

. trucos algebraicos extrínsecos a las proposiciones bajo considera-

ción, sino sólo por una análisis de los consti tuyentes de los enun

ciados involucrados y de sus relaciones estructurales, como serian

manifiestas de manera perspicua

(i .e.

sintáctica) en su reformulación

en ellenguaje prefecto. En efecto, laidea era producir un lenguaje

en elcual aun cuando lainferencia estuviera basada en elsignifica

do, uno no necesitaba pensar más en los significados (talcual Kant

había

di ho

que la naturaleza del simbolismo matemático hace in

necesario pensar acerca de

su

significado), ya que uno podría ahora

restringirse a los signos presentes a los sentidos y a sus correla

ciones simbólicas. Nada extraña que cincuenta años más tarde un

discípulo herét ico estuviera tentado a cortar el vínculo restante

con los significados y tomara ellenguaje perspicuo como elobjeto

completo de la lógica y de la filosofía científica.

¿Cómo debe uno identificar los detalles de este lenguaje per

fecto? La estrategia de Frege, y los resultados revolucionarios que

surgieron de ella, parecen haber sido inspirados por una concep

ción semántica que nunca hizo por completo completamente ex

plicita. En realidad, los elementos centrales de esa semántica fue-

mente) en el capítulo9. Nótese, por ejemplo,que en la B e g r i J f s s c h r i f t Frege ilustró

lo que entendió por contenido conceptual como lo que es común a os grie

gos derrotaron a los persas en Platea y Lo s persas fueron derrotados por los

griegos en Platea (van Heijenoort,

F r ol /1 F r e g e t o G M e ,

p. 12). El esfuerzo por

preservar algomás que la forma lógicaes transparente.

cepciones de lógica de aquella de los lógicos computacionales

tales como Jevons, Boole y Schroeder. Mientras estas personas, él

explicó, estaban comprometidas con el proyecto leibiniziano de

desarrollar un cale / t l srat iocinator , supropio objetivo fue mucho más

ambicioso, diseñar una

l i l lgua character i s t ica.

Los lógicos tradiciona

les estaban en principio concernidos con el problema de identifi

car algoritmos matemáticos con el objeto de resolver problema

lógicos tradicionales -qué se sigue de qué, qué esválido y así suce

sivamente. El fin de Frege fue más allá de lo que ahora se llama

lógica formal, semántica, significados

y

contenidos, donde encon

tró el fundamento último de lainferencia, lavalidez y mucho más..

Las críticas que Frege hizo a Boole son en particular revelado

ras.En eltrabajo deBoole, objetó: el contenido ha sido por com

pleto ignorado ( Booles rechnende Logik , p. 13).El objetivo de

Boole fue el de producir algoritmos para resolver problemas lógi

cos, pero su estrategia no podía satisfacer a nadie interesado en

mantener el más estrecho vínculo en las relaciones entre signos y

lasrelaciones entre las cosas mismas

p.

13).A diferencia de Boole,

yo no quiero representar una lógica abstracta en fórmulas, sino

expresar un contenido a través de signos escritos en una manera

precisa y perspicua

(übers icht l icherer)

( Ueber den Zweck der

Begriffsschrifts [1882-1883],

B e g r i J f s s c h r i j t

p. 97). La lógica sim

bólica de Boole no representa más que laparte formal del lengua

je, e incluso, sólo incompletamente ( Booles rechnende Logik ,

p. 14). El lenguaje de fórmulas de Boole presenta sólo una parte

de nuestro pensamiento; el todo no puede ser manejado por una

máquina ni reemplazado por una actividad sólo mecánica p. 39).

Es eltodo de nuestros pensamientos lo que importa para una

l ingua

cbaracterist ica. Podernos deri var uriareal utilidad [deun lenguajede

ción

en la cual todo 10 que vemos son ideas y fenómenos . Lo

que yoveo cuando alguien sostiene una rosa ante

mi

explicó, es

una repres enración

un

vol. p. 217) -por lo tan to,

11.9

SEMÁNTI DE FREGE Y LO

PR OR

EN RITMÉTI

ron en

esencia

tácitos; pues tan pronto como reconoció su presen

cia en el sistema (en apariencia en los tardíos años de la década de

L SEMÁNTI DE FREGE Y LO PRIORI EN RITMÉTI

18



5 Aquí hayunamuestra de la explicaciónproblemáticaque daBolzano de la

naturalezade la intuición: Tan pronto como dirigimosnuestra atención al cam

bio que es causado en nuestra mente por un cuerpo ~xterno,por ejemplo,una

rosa que es traída ante nuestros

sentidos,

el resultado

s i g l l i e n t e

e

inmedia to

de esta

atención es que la r e p r e s e n t i ó n de este cambioresulta el )nosotros. Ahora, esta

representacióntiene un oifeta a saber,

el

cambioque tienelugaren nuestra mente

enesemismomomento ynadamás L I?L vol. 1,p.326; véasetambién Grossen iebre

seco6).

6 La representaciónobjetivade un individuo es aparentemente elindividuo

mismo.En este periodo, Fregeno vioninguna diferenciaentre la representación

objetivade un lugar y el lugarmismo T h e Po u n d a ti o n s .Ar i tbmetic p. 37). Este es

un rasgo característicodelmonismo semántico (véasela secciónsobre dualismo

semántico).

presumiblemente, no .una rosa, pues las rosas, a diferencia de las

representaciones objet ivas, están en el espacio y en el t iempo y,a

diferencia de las representaciones subjetivas, persisten cuando la

mente humana se aniquila .

5

El objeto de la intuición parece ser

subjetivo y la contraparte objetiva sigue siendo un misterio. Esta

mos enuno delosmás obscuros rincones dela filosofía deBolzano.

Desde el comienzo mismo Frege arrojó estas dudas kantianas

de lado: las representaciones objetivas , explicó en los Grt tndlagen

pueden ser divididas en conceptos y objetos , no en conceptos e

intuiciones p . 37). Las representaciones objetivas importan no

por sí mismas sino por lo que podemos hacer con ellas l igándolas

unas con otras, pues cuando el vinculo es apropiado, el resultado

es algo afín a un juicio kantiano menos su componente psicológi

co, subjetivo; es el contenido de un juicio menos su dimensión

subjetiva. Esto es lo que Frege llamó c o nt en id o d e u n j u ic io p o si bl e

bcurte i lbarerInbal i en lo que sigue,

9P

Un tjp es elblanco delo que

Russell más tarde llamaría actitudes proposicionales: entender, asu

mir, aseverar, cuestionarse y así sucesivamente. Esto es importante

para Frege ya que esas cosas son lo que decimos saber. Así, un

4 El objetivo, escribió, es precisamentedefinirel concepto de número T he

Founda t i o s .Ar i tbmetic p.5).Esto debe ser hecho,arguyó, sin recurso a lascon

diciones psicológicas que preceden a la formación de este c;>ncepto.Ninguna

descripcióndeprocesosmentales puede nuncatomar el lugarde unagenuinades

cripción del concepto

p.

34).

La similaridad entre lasemántica temprana de Frege yla de Bolzano

es por completo notable. Como vimos, Frege enfatizó alprincipio

de sus Grund lag en la importancia de separar con exactitud lo psi

cológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo? p. xxii . Uno

debe ser especialmente cuidadoso, insistió, en distinguir entre las

representaciones objetivas ylas subjetivas; las primeras son las

mismas para todos pero las últimas no. Una palabra es enlo gene

ral acompañada por una representación subjetiva que sin embargo

no es su significado ; la palabra ... significa una representación

objetiva (p. 37). Concediendo una inmerecida rama de laurel al

pasado, Frege agregó, es porque Kant asoció ambos significados

con la palabra [ representación1 que su doctrina asumió tal com

plejidad idealista, subjetiva y su verdadera opinión

fue tan difícil

de descubrir Th e Fou n d a ti o n s

Ari thmet ic p. 37).

No puede haber duda, sin embargo, que el tratamiento que

Frege da a esas materias está aún más alejando del de Kant que del

de Bolzano. A diferencia de Kant, y de acuerdo con su objetivo

general de subjetivizarla semántica, Bolzano habla distinguido tres

elementos asociados con cada representación: a) la representación

subjetiva; su contraparte objetiva;

y

c)suobjeto. Pero habiendo

acordado con Kant en que las representaciones no son ni concep

tos ni intuiciones, tuvo dificultades en producir una contraparte

objetiva entre laintuición subjetiva (por ejemplo elver una rosa) y

su objeto (la rosa). Bolzano fue aún más dependiente de esa tradi-

La s c at e go r ía s s emán ti ca s bá si ca s

1880), se apresuró a eliminarlos.

\

)

)

escritos de Husserl, quién empezó su Hab i/i tationsschrij t dedicada al

concepto de número, explicando que asumiría:

121

A SEMÁNTIC DE Ii\REGEy LO

PR OR

EN RITMÉTIC

entendimiento del conocimiento humano depende de un entendi

miento propio de los

g P s :

una teoría del conocimiento presupone

L SEMÁNTIC DEFREGEY LO PRIORI EN RITMÉTIC

20



j

<

•~-------~--

[Apartar nuestra atención] es en particular efectivo.Atendemos

menos a unapropiedad, y ésta desaparece.Haciendo queuna ca

racterística después de otra desaparezca, alcanzamos conceptos

másy másabstractos ...La faltade atenciónes una facultadlógica

de lo más eficaz;presumiblemente esto explicael carácter distraí

do de los profesores. Supongamos que hay un gato negro y un

gato blancosentadosjuntos frentea nosotros. Dejamos de obser

var su color

y

se vuelven incoloros, pero aún est:in sentados uno

junto al otro. Dejamos de atender a su postura

y

ellos no están

más sentados (aunque tampoco han adoptado ninguna otra pos-

Las designaciones estándar de los conceptos como repre

sentaciones generales y nombres comunes están motivadas por

la creencia ampliamente sostenida de que la característica esencial

de un concepto es sucapacidad para referir a más deuna cosa. Fue

en general sostenido que una teoría del concepto debería explicar,

antes que nada, ese poder de referencia múltiple. La teoría

abstraccionista parece inspirada por lacuriosa idea de que uno puede

explicar la generalidad de la referencia en un concepto por involu

crar una multitud de cosas en la historia de cómo el concepto

emergió. Pero como Frege observó, la teoría no tiene modo de

distinguir entre un caso en el cual uno decide dejar de lado rasgos

de un objeto porque ellos difieren de los de otros y uno en el cual

una persona es simplemente olvidadiza

y

deja que los detalles de

una sola instancia se borren de la memoria. La crítica exacta y pe

netrante de este procedimiento (desarrollada en P h il os op hie d er

Ar i thmetik de Husserl) es digna de recordarse:

que los conceptos se originana travésde una comparación de las

representaciones especificasque caen bajo ellos.No consideran

do las características Merkma/e en que difieren,uno retiene fir-

memente aquellasque son comunes;y esas últimas son las que

entonces constituyen el conceptogeneral. B egr if f d e r Z abl, p.

99

De acuerdo con la teoría abstraccionista de los conceptos que era

todavía muy popular popular en tiempos de Frege, la mejor mane

ra de entender lo que los conceptos

so n

es ver su génesis. Es im

portante enfatizar que eljovel1 Frege eS1:ll:voI' aClll' rdocon este

punto, aún cuando no estuvo de acuerde CO l

la

éxplicációri abs

traccionista de cómo los seres humanos definen o construyen con

ceptos. Los abstraccionistas afirman que los conceptos emergen a

través de un proceso que nos lleva de ciertos datos a un concepto

vía un proceso de eliminación. Lo dado en el punto de partida de

este proceso parece consistir de intuiciones. Una formulación su

cinta de la teoría abstraccionista es encontrada en los tempranos

El co n ce p to r a íc e s d e l holism o e insaturac ión

una semántica

y

hasta que entendamos laúlt ima, no deberíamos

tratar con la primera.

Toda la semántica temprana de Frege se centraba alrededor

de estas tres nociones básicas: concepto, objeto

y r p

La distancia

entre Frege y Kant está acentuada por lafal ta de observaciones en

el más inquietante de los problemas kantianos, el carácter de los

objetos de conocimiento y su constitución a través de las catego

rías. Los objetos no son problemas para Frege -ellos son las mesas

y sillas de la experiencia cotidiana, los números y las clases del

conocimiento matemático, los valores de verdad de su lógica y así

sucesivamente. Su interés semántico está centrado casi por com

pleto en los otros dos tópicos, conceptos y

g p s

Más aún, lo que el

tiene que decir acerca de ellos tiene una extraña naturaleza cornple

mentaría, ya que su explicación de cada uno depende de la explica

ción del otro, así que uno está obligado a entenderlos en conjunto

o no entenderlos del todo. El razonamiento, dialéctico o circular,

de Frege en este tópico no se presta tan fácil a exposición didácti

ca. Empezamos por observar el modo en que pensó los concep

tos, contrastando sus opiniones con la representación más estándar

de la materia.

trategia. De un lado, la mayoría de los filósofos prefregeanos, in

cluyendo, a Bolzano, confiaron sin mayor reparo en la superficie

gramatical y en la forma sujeto-cópula-predicado. Por otro lado, la

23

SEMÁNTI DE FREGE Y LO PR OR EN RITMÉTI

tura) , pero cada uno está aún en su lugar .Dejamos de atender a su

posición; ellos dejan de tener lugar , pero aún permanecen dife

rentes. En este modo, quizá, obtenemos de cada uno de ellos un

L SEMÁNTI DE FREGE y LO PRIORI EN RITMÉTI22



( Funktion und Begriff [1891], K J e i m S c h r if t en p. 128)

2

} + )

Además de la

x ;

lo cual podríamos escribir como sigue

2 (x) +x

de esto podemos discernir que laesencia de la función está en lo

que es común a esas expresiones:

i.e.

en lo que está presente en

Se le ocurrió a Frege que si vemos este proceso hacia atrás,

obtenemos una imagen muy esclarecedora de la naturaleza de una

función. En lugar de pasar de la función a sus valores, vamos de

los valores (o, más bien, de esos nombres

par t ic ular e s

de los valores)

a la función (o,más bien, alnombre de la función):

2 2 +2,

Yasí en adelante.

2 1 +1,

Los valores que asigna a 1 ya 2 y así sucesivamente son:

2x + x;

doctrina holistica se volvió una herramienta semántica fructífera

sólo cuando fue unida con otra idea original de Frege: que elpaso

del juicio alconcepto es análogo a un paso similar tomado en ma

temáticas, ligando una función y sus valores.

El ~strumento de generalidad enmatemáticas eslavariable, y

su más frecuente contexto es elnombre de una función. Conside

re, por ejemplo, la función:

7

Véasetambién Ueber den ZweckderBegriffsschrift ,

B e g r i f f s s c h r i f t

p. 101,

Y

N a c b l a s s

p. 237

En susescritostempranos

B e g r i f f i s c h r i ft

yen otraspartes) Fregehablócomo

siel concepto no estuvieraallí hastaque nosotros lo creamos forjándolode un

modo u otro. Pero,desdeluego,es dificilvercómo podríamos encontrar un con

cepto en una

d P

si ésteno hubieraestado

allí

desde

el

principio.

Silos conceptos no pueden derivar de la:abstracción, ¿cómo

surgen? En opinión de Frege, elproceso de formación de concep

tos es dependiente del procedimiento del juicio. Frege notó que

los lógicos, desde Aristóteles hasta Boole, habían visto la lógica

como una teoría de lainferencia en la cual la construcción de con

ceptos es presupuesta como algo que ha sido ya completado ,

Contrastó esto con su propio enfoque: empiezo de juicios y de

sus contenidos, no de conceptos ... permito que la formación de

conceptos proceda sólo de los juicios ( Bolees rechnende Logik ,

p. 17);las representaciones de propiedades y relaciones vienen de,

forma simultanea con elprimer juicio en elcual son adscritas a las

cosas

p . 1 9 .7

La estrategia de Frege para tratar con elconcepto fue asumir

que nos son dados los

gp s

y sus objetos constituyentes; nosotros

generamos entonces conceptos al desenterrarlos de los

g p s

con

forme nosotros excluimos éste o ese objeto del

gp

dada.

En su esbozo básico, la doctrina de Frege de formación de

conceptos corresponde más bien a observaciones holíst icas en

contradas en Bolzano y otros escri tores previos. Pero nada en el

trabajo de Bolzano, o de nadie más, se compara con la riqueza de

detalles y resultados que emergieron cuando Frege adoptó esta es-

concepto general de gato. Por aplicación continuada de este pro

cedimiento, obtenemos de cada objeto un fantasma más y más

desangrado. (De lareseña que Frege hizo de PhilosophiederArithmetik

de Husserl [1894], traducción, pp. 84-85)

*

3>2

\

r

125

A SEMÁNTICADE F~EGE y LO

PR OR

EN ARITMÉTICA

La función (o sunombre) es vista por lo tanto como derivan

do de (ciertos nombres de) sus valores por eliminar de la últ ima

LA SEMÁNTICADE FREGE y LO A PRIORI EN ARITMÉTicA

24



substraemos la tierra , obtenemos el concepto más grande que

la luna . Si alternativamente, substraemos elobjeto la luna , ob

tenemos el concepto más grande que la tierra . Pero si substraemos

ambos a la vez, entonces nos queda un concepto relación.

p .

82)

La teoría holista del concepto de Frege fue revolucionaria.

Antes de Frege, las representaciones singulares y generales habían

sido consideradas dos especies del mismo tipo natural semántico.

N o estaba rechazando simplemente

la

vieja idea del concepto como

un nombre común , como un nombre de más de una cosa (aun

que en realidad estaba haciendo eso). Detrás del término repre-

la tierra es más grande que laluna

Cuando de una

r

que trata de los objetos a

y

b extraemos a

y

b,

obtenemos un residuo, un concepto relación que está, consecuen

temente, necesitado de complemento en dos modos. Sidel enun

ciado

: Dos años más tarde explicaría en Grundlagen:

,:\-

l.

podemos considerar 3 y 2 como un sujeto complejo. Como un

predicado tenemos entonces elconcepto de la relación de lo más

grande a lo más pequeño. En genera1, represento el caer de un

individuo bajo un concepto por F(x), donde x es el sujeto (argu

mento)

y

F() el predicado (función),

y

donde el espacio vado en

el paréntesis después de F·representa la instauración

p.

164).

:.Í

Dependiendo de lo que elijamos considerar como el sujeto

de

* ,

la aseveración será considerada como laatr ibución de dife

rentes conceptos a diferentes objetos. Si consideramos 3 como su

sujeto, por ejemplo, entonces (*)dice que 3 cae bajo elconcepto

ser m ás g ra nde qu e 2. Un concepto similar resulta si 2 es elegido

como el sujeto. Finalmente,

?Las observaciones de Fregesonobviamenteválidassólo cuando están refe

ridas a símbolos (como lo sugieren lasobservacionesentre paréntesis);pero se

pretende quesonválidas también para suscorrelatos semánticos.Una vezmás, el

patrón de pensamiento primariamente semánticode Frege parece ser dominado

por factores sintácticos. (Carnap podría haber señalado esos desarrollos como

una prueba del carácterconfuso del modo materialde hablar;véase capítulo

17).

una función de un tipo más general que lavariedad matemática, ya

que no toma números como valores. De acuerdo con Frege, éste

es el concepto

alto

o, como él prefirió escribirlo,

x es a l to

La idea

funcional y la holistica están ahora ligadas a través del hecho cÍe

que el concepto alto es la función que nosotros obtenemos cuando

extraemos de un p tal como * un objeto tal como Juan.

En 1882 Frege explicó a un corresponsal (talvez Marty), no

creo que la formación de conceptos pueda preceder al juicio ...

sino que pienso en un concepto como habiendo resultado por

descomposición de una gP (Letter to Marty

]

n882]). Continuó

explicando como la construcción toma lugar. Considere la p

x es alto,

podemos elim.inar a Juan (o a Juan )

y

nos queda

* Juan es alto,

( los nombres de) uno o más objetos. Frege sacó una importante

conclusión: la función no sólo correlaciona argumentos y valores

sino que también es insaturada , necesitada de complemento ,

y conceptos similares, predicativa .

Frege vio que el proceso regresivo de argumento (nombre) a

función (nombre) puede ser aplicado no solamente a expresiones

que designan números sino a todas las expresiones significativas,

incluyendo enunciados, y reconoció en esto la clave a la naturaleza

de larepresentación general. Por ejemplo, empezando con

cuantificación y su análisis de la aritmética. Como veremos, ellos

so n po r en te ro d ep end ien te s d e s u c on cep ci ón s em án ti ca d e l as

cosas, y el cuadro que ellos ofrecen del conocimiento matemático

127LA SEMÁNTICA DE FREGE LO

PR OR

EN ARITMÉTICA

sentaciones generales está laidea de que ambos tipos de represen

t aci one s e me rg en en pr in ci pi o d el mi smo pr oc es o, t al c om o f ue

p ro pu est o p or l as te orí as d e l a a bs tr ac ció n. De a cue rdo c on e sas

LA SEMÁNTI CA DE FREGE Y LO A PRI ORI EN ARI TM ÉTICA

26



10 P ara l a primera t eorí a de l a de nota ci ón de R us se ll , véa se e l c a p. 6. La nove

dad del e nfoque de F re ge pue de s er s ubra ya do not ando que vei nt e a ños des pués ,

en Pri napl es Russell alegaría que las proposiciones Si x es

J

hombre entoncesx es

m o r ta i pa r a c a da t o d o s lo sh o m b re sso n mo r ta le s son equivalentes pero no idénticas.

D e l a primera dic e que e s re al me nt e una c onjunc ión de una i nfinidad de proposi

c ione s -pres umible me nt e s us i ns ta nc ia s- mie nt ra s que l a últ ima e s una s impl e

proposi ci ón c uyo t érmi no s uj et o e s c ua lqui er c os a que t o d o s lo s h o mb re s denote.

2) Si J uan es un hombre, entonces Juan es mortal

como sigue: primero consideró lamateria en apariencia no relacio

nada con ésta de cómo los contenidos proposicionales complejos

.e m er gen de l os m ás s imp le s p or m ed io de o pe rac io ne s l óg ica s ta

les como negación e implicación material. Considérese, por ejem

plo, cómo

1) to do s los hom bres son mortales

.Tradicionalmente, enunciados cuantificados tales como todos los

A s s on Bs y a lg un os As so n B s h abí an si do p ens ado s co mo a fi r

maciones de laforma sujeto - predicado, sus sujetos siendo todos

l os A s y a lgu nos As , d e f or ma re sp ec tiv a. Co mo ve rem os, l os

Principles de Russell, escritos dos décadas después de e g r i J f s s c h r i f t

de F reg e, fu ero n a ún in sp ir ado s po r es ta v isi ón p ref reg ean a d e l a

cuantificación.

lO

Difícilmente podría uno proveer una evidencia

más notable del carácter revolucionario de las opiniones de Frege.

Frege analizó el contenido de

u ntif ic ción

es l a v ez u na m ejo ra en or me e n r el ac ión co n e sfu er zo s p rev io s y

u n pa so m ay or q ue s e a l ej a d e l a p os ic ió n ka nti an a co n r esp ect o a l

papel delos conceptos y dela intuición en elconocimiento aprior i

La mayoría de los colegas de Frege estaban recelosos de tanta suti

leza semántica. ¿Por qué debería uno preocuparse de la naturaleza

de los conceptos? Aquí nosotros podemos sólo rozar la superficie

d e un a r es pu est a r eco rda ndo b re vem en te d os de l os ma yor es a l

cances de Frege en su periodo temprano: su t orí de la

u ntif ic ción

y

ritmétic

es un concepto que, por su puta esencia, carece de la capacidad

para designar algo más que un objeto.

x es idéntico con Sir W alter Sco tt

teorías, hay un tipo primordial de representación singular dado),

l a c ual es l a m ás p od ero sa , de sea ble y c omp let a fo rma d e r epr e

se nt ac ión ; no sot ro s o bte nem os un a f or ma m en os e spe cíf ic a de

representación debilitando los rasgos de las representaciones pri

mordiales. Este carácter es de forma extraña transmitido aún a los

conceptos a priori E n la o pi ni ón d e F re ge , l as a sí l la ma das r epr e

sentaciones generales son tan diferentes de sus contrapartes sin

gulares que uno podia mejor considerarlas como cayendo bajo dos

categorías semánticas por completo distintas. La diferencia es re

v el ad a p or l a di fer en ci a e n l os p ro ced imi ent os q ue co ndu cen a s u

emergencia. Las representaciones singulares son nombres propios,

y se supone que son dados de manera independiente del juicio; las

representaciones generales emergen sólo después del juicio. Los tex

tos de lógica tradicional tratan conceptos, juicios y razonamientos

en ese orden; Frege estaba proponiendo que el orden de las dos

primeras seinvirtiera. Su nueva perspectiva no sólo mostraba cuán

equivocado es pensar de los conceptos como nombres generales,

ignorando su dimensión predicativa insaturada); también mostra

ba c uá n e qui voc ado e s p en sar a l os co nce pt os co mo r epr es en ta

ciones

generales;

pues

.

.

:

donde la variable x no es más que un artificio conveniente para

identificar

el

espacio dejado por elnombre eliminado. Como sabe

129

SEMÁNTICADE FF lEGEY LO

PR OR

EN ARITMÉTICA

está formada de

LA SEMÁNTICADE FREGEY LO A PRIORI EN ARITMÉTICA

28



.

-- 1~~

mos, (5) representa un concepto fregeano, uno que será verdadero

de un objeto

a

precisamente cuando

a

no es un nombre o es mor

tal . Ahora (1) puede ser interpretado como diciendo

a c er ca d e e se

concepto

que cada objeto simple en eluniverso esuna instancia de él.

Un enunciado cuantificado, tal como (1) debe por 10 tanto ser in

terpretado como involucrando un concepto de orden más alto ,

un concepto que se aplica no, como (5),a objetos, sino a concep- .

tos (de primer nivel), a (5) mismo. El cuantificador universal no es

más y no es menos que un concepto de segundo orden que se

aplica al concepto de primer nivel (5) precisamente cuando (5) es

verdadero de cada objeto singular -en otras palabras, precisamen

te cuando (1) esverdadero. A pesar de las apariencias y de la tradi

ción, (1) no dice nada acerca de todos los hombres o acerca de

t o do s l o s h om b re s

o acerca de ningún hombre part icular . Ni debe la

cuantificación ser construida a lamanera medieval-russelliana, como

una operación que transforma elasíllamado concepto sujeto (por

ejemplo, hombre en una expresión denotativa (por ejemplo, t odos l o s

hombre s .

Es un concepto de segundo nivel cuyo tópico es lo que

ahora llamamos el alcance del cuantificador. La cuadro fregeano

de la cuantificación esmuy fácil que se preste a la repetición. Una

vez que la cuantificación existencial es definida de su contraparte

universal y de lanegación de lamanera estándar, podemos develar

las ambigüedades ocultas en

el

lenguaje ordinario -como la que

hay entre convergencia simple y uniforme.

La

Begri f fm-hr i f t

de Frege no fue en realidad un nuevo lenguaje

sino un fragmento del alemán; todo 10 que puede ser dicho en la

escritura conceptual de Frege puede ser dicho también y sin ambi

güedad en alemán. Sin embargo ellen~aje alemán no contiene

expresiones que sean manejables y no ambiguas y que sirvan al

mismo propósito que elnuevo simbolismo de Frege. Es por esta

razón que su sistema notacional sevolvió (pragmáticamente) esen

cial. Dados tiempo y paciencia ilimitada, uno podía explicar en un

lenguaje natural las ambigüedades que de forma sencilla se

elimi

11 La caracterizaciónde Fregedel significadode las expresionesmoleculares

(en B egri.ffischrifty en otras partes)es laúnicarazón queyo conozco para adscribir

lela opinión de que el significado i e. el sentido) consiste en condiciones de

verdad. De hecho,la razón no esmuybuena,ya que obviamente esteproceso de

construcción se aplicasólo a expresionesmoleculares y pretende dar, en efecto,

los significa~osde los conectivoslógicos.No esmuyclaroque Fregereconociera

la suposición de unicidad implicadaal decir quejvq es

el

que es verdadero

,precisamente cuando

p

esverdadero o q esverdadero; pero esta suposicióntiene

un halo de semántica veritativo-funcional.No hay,sin embargo, ninguna razón

parapensar que Fregemantuvo una opinión similarpara el caso cruciiíide enun

ciadosatómicos.Nada enlos escritosde Fregeen geometría,por ejemplo,sugiere

que él habría dado una explicaciónveritativo-funcionaldel modo en el cuallas

expresionesatómicas en geometría significanlo que ellassignifican.

5 s ix es un hombre, entonces x esmortal

De acuerdo con Frege

r ¿ ¡ p

expresado por (2) está únicamen

te caracterizado cuando damos lo que ahora llamaríamos sus con

diciones de verdad, esto es, cuando decimos que esverdadero en

todas y solamente aquellas circunstancias que hacen (4) verdadero

o (3) falso. Una construcción similar introduce todos los otros

conectivos (la negación basta para definir todos los demás). En

este punto Frege había caracterizado el lenguaje de la lógica

proposicional. Enseguida considere lo que pasa cuando remove

mos el objeto Juan (¿la palabra Juan ?) de (2);Frege representó el

resultado como

4 Juan es mortal

y

3

Juan es un hombre

en el sentido de Newton), excluyendo todos los conceptos auxilia

res prestados de la geometría, tendría que emanar de la aritmética

elemental sola, en la cual elanálisis está fundado. Pero esta aritrné

3

SEMÁNTI DE FREGE Y LO

PR OR

EN RITMErI

naban en la notación de Frege; pero nada en los lenguajes natura

les no reconstruidos puede hacerlo tan bien.

Combinando sus intuiciones semánticas con elnuevo sistema

L sEMÁNTIc DE FREGE Y LO PRIORI EN RITMETI

3



Revisó las dos doctrinas básicas acerca de qué hablan estos

enunciados. De acuerdo con laprimera, * es acerca de un cierto

objeto, quizás las lunas de Júpiter, o la clase de esas lunas, o el

montón o conglomerado que ellas de algún modo constituyen.

* Júpiter tiene cuatro lunas.

Esto fue así porque después de media centuria de trabajo de

Cauchy, Dedekind, Cantor y el maestro de Husserl, \Veierstrass,

gran parte del proyecto de Bolzano para conceptuar elanálisis ha

bía sido llevado a cabo. Este logro esalgunas veces conocido como

aritmetización del cálculo, porque redujo toda la matemática

de los números a la ciencia de los números naturales y a una disci

plina vagamente lógica de clases. Este proyecto mostró que cual

quier fundamento que hayapara elanálisis debe ser encontrado en

la teoría de los números naturales. Uno podría concluir que cual

quier intuición presente en el análisis debe ser encontrada en la

aritmética de

alli

la importancia filosófica de la naturaleza de la

aritmética.

Cuando Frege regresó a examinar esta materia en G r u n d l a g e n

1884), planteó característicamente un nivel semántico, pre

epistemológico. Las preguntas que se hizo no tuvieron el halo

kantiano familiar: ¿Cómo la aritmética adquiere validez objetiva?

¿Cómo puede ser aplicada? ¿Cómo llegamos a conocer sus objetos

y su justificación? Sus cuestiones básicas fueron: ¿Qué dicen los

enunciados numéricos y de qué hablan? La cuestión del funda

mento no fue ni siquiera planteada.

Frege empezó por l lamar la atención lo que llamó enuncia

dos numéricos , enunciados que dicen que hay

cosas de un tipo

dado T; por ejemplo,

tica elemental tiene, de hecho, suúnico fundamento en elconcep

to de número. B e g r i ff d e l Z a bl , p. 294)

Hoyes generalmente acordado que un desarrollo completo y r i

guroso del análisis superior latotalidad de la

a r i t b m e ti c a t I I li v e r s a /i s

En

G r u n d l a g e n

Frege estuvo interesado, una vez más, en lainterpre

tación semántica adecuada de ciertas nociones. Aquí, sin embargo,

su énfasis no fue en conceptos en lo general asignados aldominio

de la lógica tales como cuantif icación, copulación, y conexión

enunciativa, sino en nociones ampliamente consideradas como

extra-lógicas. Su tema fue el número.

Tres años después de que

G r u n d l a g e n

fuera publicado, Husserl

explicó en su Habi l i t at i onsscbri f i :

A n t m é t i c a

notacional, Frege desarrolló explicitamente en B e g r i f f t s c h r i f t la pri

mera formulación clara de un lenguaje formal con conectivos

proposicionales y cuantificación sobre individuos y sobre funcio

nes de primer nivel. Más alláde esto, lamonografía identif icó un

conjunto de leyes lógicas y reglas de inferencia para inferir de

ellas otras leyes, aunque ningún esfuerzo fue hecho para determi

nar qué rasgo distintivo de esas fórmulas determina su rnembresía

a esa clase. El sistema fue desarrollado con una sutileza y rigor que

excedían por mucho los estándares desarrollados en las últimas

décadas por Peana, Russell y aun Hilbert en sus escritos lógicos

tempranos. El papel de las reglas deinferencia, claramente recono

cido en B e g r i f f s s c h r i f t continuaría siendo un misterio a los más dis

tinguidos colegas de Frege hasta bien entrado el siglo xx.

Por notables que fueron esos logros, no eran más que el co

mienzo. Cinco años más tarde Frege publicaría otra corta mono

grafía que intentaba mostrar que cuando nosotros alcanzamos

nuestros hechos semánticos directamente, se vuelve claro que la

filosofía de la aritmética de Kant -en verdad, de la ciencia comple

ta del número- es incorrecta.

referencia a conceptos. La esperanza de Bolzano de conceptuar las

matemáticas había dado un paso gigantesco hacia delante.

Regresaremos en elcapítulo 7 a la concepción de Frege de la

l ·

133

SEMÁNTIC DE FREGE Y LO

PR OR

EN RITMÉTIC

De acuerdo con la segunda, *) no es acerca de ningún elemento

objetivo sino acerca de alguna contraparte subjetiva talcomo nuestra

L SEMÁNTIC DE FREGE Y LO PRIORI EN RITMÉTIC

32



\

O >

>

lógica

y

de la aritmética,

y

a algunos de los problemas que ésta dejó

sin resolver. Pero cualesquiera que sean esos problemas, no puede

haber duda alguna de que el trabajo de Frege arrojó mucha luz

sobre el carácter del conocimiento aritmético. Es digno de enfati

zar una vez más, que cuanto más claras las matemáticas se volvie

ron en sus manos, más se alejaron de la doctr ina kantiana. No fue

tanto que Frege hubiera argüido que la aritmética es analítica. Una

vez que había definido analítico como derivable de la lógica

y

de

las definiciones, uno podría considerar-su concepción de la lógica

tan diferente de la de Kant como para hacer virtualmente imposi

ble cualquier conflicto en esta materia. Más bien, elconflicto bási

co fue, como podríamos esperar , a propósito de la intuición. En

una cosa Kant

y

Frege estuvieron de acuerdo: la lógica está funda-

. da en elnivel del entendimiento donde la sensibilidad

y

sus formas

no juegan ningún papel (recuerde la ci ta de Frege alprincipio de

este capitulo). La reducción de la aritmética a la lógica era incom

patible con la postulación kantiana de un recurso a la sensibilidad

en el dominio de la aritmética. Como tendremos oportunidad de

observar en un estadio posterior, no hay teoría explícita del funda

mento del conocimiento analít ico en los escri tos de Frege; pero

estas breves consideraciones indican que élintentaba poner tanto

el contenido como el fundamento del conocimiento aritmético al

nivel de la doctrina kantiana de lo analítico, a la exclusión de su

doctrina estética.

.: Independientemente de su relevancia para elkantismo, el trata

miento temprano de Frege dela cuantificación y de los enunciados

numéricos proveyó elmodelo para una concepción reconstructora

del lenguaje que inspiraría a una variedad de escuelas dentro de la

tradición analítica.Ninguno antes deFrege había tomado tan enserio

la tarea de modelar un lenguaje en el cual las cosas ordinarias pu

dieran ser dichas de una manera extraordinariamente clara. Ningu

no antes de élhabía aplicado sus técnicas de traducción demanera

tan efectiva a la solución o disolución de problemas filosóficos.

representación de las lunas, o cierto proceso mental de adición ,

conjunción, o lo que sea. Frege describió

y

criticó varias versiones

de esas dos interpretaciones posibles, refutando decisivamente cada

una de ellas. Esta porción de la monografía, guiando a la propia

solución propuesta por Frege, es uno de los más deslumbrantes

ejemplos de un sólido escrito filosófico alguna vez producido.

La clave, de acuerdo con Frege, esreconocer que lapregunta

¿cuántos? no tiene sentido si nosotros identificamos un objeto

como su blanco, pero adquiere sentido sisu blanco esun concep

to. Siponemos las cartas sobre la mesa y preguntamos acerca de

1 1 ; : > 1

as, ¿cuantas. a respuesta correcta puede ser ocho (cartas) , dos

(pilas de cartas), o casi cualquier otro número que nosotros elija

mos. Para que haya una respuesta única, definida, debemos hacer

referencia, explicita o implícita, a un concepto (xes una carta, x es

una pila de cartas, etcétera.). Ya que elatributo numérico es fijado

sólo cuando el concepto está determinado, esnatural considerar al

concepto mismo como el tema del enunciado numérico. Así, a

pesar de las apariencias sintácticas, los enunciados numéricos

como

enun ci a d os c u a n ti fi c a do s

son acerca de conceptos. De hecho, Frege

explicó,

so n

enunciados cuantificados, aunque el lenguaje ordinario

oculte ese hecho.

Por ejemplo, el enunciado numérico

la

Tierra tiene una luna

es acerca del concepto

es u na IU l1 a de la

Tie rra y dice que sólo un

objeto (al menos uno y a lo más uno) cae bajo él. Decir que un

objeto cae bajo un concepto dado es,de acuerdo con

Begrif . fsschrif t

aplicarle un cuantificador existencial. De manera similar uno pue

de convertir una interpretación de

*)

y de todos los enunciados de

la forma hay

11

F s , dónde

11

es un numeral

estándar.

Esta brillante solución, más tarde descrita por Frege como el

más importante de mis resultados en

Grul1d lagel1 Gn l11dgese t ze

p.

ix),

mostró que un amplio rango de enunciados con anf~rioridad

considerados como extra-lógicos y envolviendo un recurso o a la

intuición empírica

Mili)

o a laintuición pura (Kant) envolvía sólo

Aunque no sabemos mucho acerca del curso del pensamiento de

Frege conforme se acercó al reconocimiento del sentido, las ob

servaciones iniciales de Sobre sentido y referencia 1892) nos

dan una apreciación del papel jugado por uno de los factores más

135

SEMÁNTIC DE FREGE y LO

PR OR

EN RITMÉTIC

Veremos pronto que este aspecto del enfoque de Frege apareció

sin relación con los trabajos de Russell, y luego en los de

Wittgenstein y en los de Carnap. Pero debemos ahora regresar to

davía a otro descubrimiento mayor de Frege, uno que sus suceso

L SEMÁNTIC DE FREGE LO PRIORIEN RITMÉTIC

34



¿Qué dice la semántica r¡ p acerca del contenido expresado por

esos enunciados? Siinterpretamos laidentidad como relacional, su

contenido será un q p conteniendo la relación de identidad con

ambos hoyos saturados por los objetos nombrados por los tér

minos relevantes. Entonces, ya que elautor de lf V a v e r l V e s Scott, el

contenido de * es idéntico al contenido de ** . Consecuente

mente, si saber que un enunciado es verdadero es saber que su r ¡ p

es verdadero, cualquiera que sepa que * es verdadero debe tam

bién saber que * * lo es también. Como Frege lo dice en Sobre

. sentido y referencia , Ahora si fuéramos a considerar la igualdad

como una relación entre eso que los nombres designan, pare

cería que a b nopodría diferir de a a

i

e. suponiendo que a =

b es verdadera) t Tra nsla t i ons p. 56). Al parecer Frege había pensa

do al principio que esta dificultad no representaba un problema

dentro de su semántica sino que revelaba más bien elpuro carácter

idiosincrásico de la relación de identidad. Así, llegó a pensar que

mientras todas las otras relaciones relacionan sus objetos, la iden

tidad dice algo acerca de un dominio muy diferente. Veamos más

de cerca cuál era ese dominio.

Superficialmente, la sección 8 d~ Begri f f t schri f t en la cual esta

materia es discutida) parece decir que laidentidad debe ser cons

truida como una relación entre expresiones sólo sintácticas, como

* * el

autor de U V a v e r l r y

cott

* el

autor de H a v e r l r y

elautor de W a v e r l r y

influyentes: la naturaleza de la identidad. La identidad había plan

teado una dificultad a la semántica r ¡ de Frege desde el mismo

comienzo. Considérese, por ejemplo, los siguientes enunciados de

identidad:

Pocas cosas habían resultado más difícilesde alcanzar en el desa

rrollo de la semántica que eireconocimiento del hecho de que en

tre nuestras representaciones subjetivas y elmundo de las cosas de

que hablamos, hay un tercer elemento: lo que decimos. Quizá el

capítulo 5, el cual trata más esos desarrollos que tuvieron lugar

más de una década después de que Frege tratara con seriedad la

situación, deberían ser leídos antes de esta explicación del descu

brimiento de Frege; pues ese capítulo describe las dificultades que

muchos de las mejores mentes filosóficas encontraron cerca del

comienzo del siglo en gran parte porque fueron incapaces. de en- .

tender que lo que decimos, elsentido, no puede ser constituido de

contenido psicológico o de los correlatos del mundo real en nues

tras representaciones. Los lógicos psicologistas habían seguido el

primer enfoque; la mayoría de los sucesores de Frege siguieron el

segundo. Todos ellos intentaron entender elsentido forzándolo en

un mundo al cual no pertenece.

Como hemos visto, muchas de las cosas que Frege dijo du

rante su primera década de investigación sugieren que él también

había empezado con la suposición de que las q p s deberían tener

como constituyentes tanto alos objetos delasque ellastratan como

a los conceptos atribuidos a ellas. Las vacilaciones del uso y men

ción implícitas en algunas de las referencias en la sección sobre las

raíces del holismo y lainstauración no son, sino síntomas del he

cho de que Frege no había pensado las implicaciones de lo que

estaba diciendo. Más aún, desde el comienzo mismo, Frege había

reconocido una excepción mayor a la explicación general de conte

nido, una excepción que se volvería la regla en la representación

del contenido proposicional que emergió en la década de 1890.

l descu r im i en to de l sen ti do

res tardaron más en apreciar.

Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1

Documents

Transcript of Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1