Conjuntos finitos e infinitos

Indice

1. Propiedad del buen orden y principio de induccion en N 1

2. Conjuntos finitos e infinitos 2

3. Conjuntos infinitos 3

4. Conjuntos Contables 4

1. Propiedad del buen orden y principio de induccion en N

Sea N = {0, 1, ...} el conjunto de los numeros naturales (por los axiomas de Peano).

Principio de induccion para N (quinto axioma de Peano). Si I ⊂ N es un conjunto tal que

i) 0 ∈ I,

ii) Si n ∈ I entonces n + 1 ∈ I.

Entonces I = N.

Recordemos que en N el orden parcial ≤ esta definido del modo siguiente:

∀n ∈ N ∀m ∈ N, n ≤ m ⇔ ∃ k ∈ N tal que m = n + k.

En particular n < n + 1 (el sucesor de un numero natural es mayor a este numero natural). Sin > 0, denotamos como n− 1 el numero natural tal que n = (n− 1) + 1. Definimos los conjuntosSn = {k ∈ N : k < n}, para cada n ∈ N. En particular S0 = ∅ (el 0 no es sucesor de ningun otronumero naural).

Teorema 1. El conjunto N con el orden habitual ≤ esta bien ordenado.

Demostracion. Sea n ∈ N. Probabremos primero que todo subconjunto del conjunto {0, 1, ..., n}tiene un mınimo elemento. Sea A el conjunto de todos los numero naturales n que satisfacen loanterior. Entonces 0 ∈ A, pues el unico subconjunto no vacıo de {0} es este mismo conjunto, y portanto el numero 0 es el elemento mınimo. Supongamos ahora que n ∈ A. Sea C un subconjunto novacıo de {0, 1, ..., n+1}. Si C consiste del unico elemento n+1, entonces este es el mınimo elementode C. En otro caso, el conjunto C ∩{0, 1, ..., n} es no vacıo, y por lo tanto tiene un lemento mınimo(dado que n ∈ A), el cual es por suspuesto el elemento mınimo de C. Luego n + 1 ∈ A y A = N.

Ahora probaremos el enunciado del teorema. Sea C ⊂ N un subconjunto no vacıo. Sea n ∈ Cy consideremos el conjunto no vacıo D = C ∩ {0, 1, ..., n}. Entonces si m es el mınimo de D es elmınimo de C.

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2. Conjuntos finitos e infinitos

Definicion 1. Decimos que un conjunto A es finito si para algun n ∈ N existe una biyeccionf : A→ Sn. En tal caso decimos que A tiene cardinalidad n y que A tiene n elementos. Usamos lanotacion |A| = n.

Observacion 1. El conjunto vacıo ∅ es finito. En efecto, S0 = ∅, la aplicacion vacıa f = ∅ es launica biyeccion de ∅ en sı mismo.

Observacion 2. Un conjunto A es finito si, y solo si, para algun n ∈ N existe una biyeccionf : Sn → A.

Observacion 3. Los conjuntos Sn, n ∈ N son finitos y |Sn| = n.

Lema 1. Sea n ∈ N. Sea A un conjunto y sea a ∈ A un elemento de A. Entonces existe unabiyeccion f del conjunto A con el conjunto Sn+1 si y solo si existe una correspondencia biyectiva gdel conjunto A\{a} con el conjuntos Sn.

Demostracion. Si f : A→ S1 es una aplicacion biyectiva, entonces A consta de un solo elemento, ypor tanto la aplicacion vacıa g = ∅ es una biyeccion entre los conjuntos A\{a} = ∅ y S0 = ∅. Desdeluego, la aplicacion vacıa es la unica biyeccion entre el conjunto vacıo y sı mismo, y por supuestola aplicacion f : {a} → S1 dada por f(a) = 0 es una biyeccion entre los conjuntos {a} y S1.

Sea n > 0. Supongamos que g : A\{a} → Sn es una aplicacion biyectiva. Definimos la funcionf : A→ Sn+1 dada por

f(x) =

{g(x) si x ∈ A\{a},n si x = a.

Es claro que f es una aplicacion biyectiva de A y Sn+1.Ahora supongamos que f : A → Sn+1 es una correspondencia biyectiva. Si f(n) = a, entonces

tomamos la restriccion g = f |A\{a} : A\{a} → Sn la cual es claramente una biyeccion. En otrocaso, si f(a) = m 6= n, sea a′ ∈ A tal que f(a′) = n. Obviamente a 6= a′. Definimos la funcionh : A→ Sn+1 dada por

h(x) =

f(x) si x ∈ A\{a, a′},m si x = a′,

n si x = a.

Entonces h es una biyeccion de A en Sn+1 tal que h(a) = n, como en el caso anterior. Tomamosentonces la restriccion g = h|A\{a}.

Teorema 2. Sea A un conjunto. Supogamos que existe una biyeccion f : A→ Sn para algun n ∈ N.Sea B un subconjunto de A. Entonces existe una biyeccion h : B → Sm para algun m ≤ n. Si B esun subconjunto propio de A, entonces no existe biyeccion alguna g : B → Sn.

Demostracion. Si n = 0, entonces A = ∅ y como la aplicacion vacıa es la unica biyeccion entreel vacıo y sı mismo, el teorema se cumple inmediatamente. Sea C el subconjunto de N que reunetodos los numeros naturales para los cuales el teorema es valido. Entonces 0 ∈ C y C 6= ∅. Sean ∈ N y supongamos que n ∈ C. Sea f : A → Sn+1 un biyeccion y B un subconjunto propio novacıo de A. Sea a0 ∈ B. Por el lema anterior existe una biyeccion f ′ : A\{a0} → Sn. Ahora bien,por supuesto, B\{a0} es un subconjunto propio de A\{a0}, de modo que no existe una biyecciong : B\{a0} → Sn, pero existe una biyeccion h : B\{a0} → Sp para algun p < n. Por el lema anteriorde nueva cuenta, no existe biyeccion alguna g′ : B → Sn+1, pero existe una biyeccion h′ : B → Sp+1.Por supuesto p + 1 < n + 1. Ası, n + 1 ∈ C y por el principio de inducion C = N

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Corolario 1. Si A es un conjunto finito, no existe biyeccion alguna de un subconjunto de A conalgun subconjunto propio de A.

Demostracion. Supongamos que B es un subconjunto propio de A y que f : A → B es unabiyeccion. Como A es finito, existe una biyeccion g : A → Sn para algun n ∈ N. La composiciong ◦ f−1 es una biyeccion de B con Sn, lo que contradice el teorema anterior.

Corolario 2. Si A es un conjunto finito y B ⊂ A entonces B es finito.

Demostracion. Inmediato.

Corolario 3. La cardinalidad de un conjunto A esta unicamente determinada por el conjunto A.

Demostracion. Supongamos que m < n. Supongamos que existen dos biyecciones f : A → Sn yg : A→ Sm. Entonces la composicion g ◦ f−1 : Sn → Sm es una biyeccion del conjunto finito Sn enun subconjunto propio de sı mismo. Una contradiccion.

Corolario 4. Sea A un conjunto. Los siguientes enunciados son equivalentes.

(1) A es finito.

(2) Para algun n ∈ N, existe una aplicacion sobreyectiva f : Sn → A.

(3) Para algun n ∈ N existe una aplicacion inyectiva g : A→ Sn.

Demostracion. (1)⇒ (2). Como A es finito, existe una biyeccion f : Sn → A.(2)⇒ (3). Si f : Sn → A es sobreyectiva, definimos g : A→ Sn por la ecuacion,

g(a) = mın f−1({a}).

Dado que f es sobreyectiva, f−1({a}) es no vacıo y g esta bien definida. La aplicacion g es inyectiva,pues

f−1({a}) ∩ f−1({b}) = ∅ ⇔ a 6= b.

(3) ⇒ (1). Si g : A → Sn es inyectiva, entonces la aplicacion g : A → g(A) es una biyeccion, ypor supuesto, g(A) es un conjunto finito pues un subconjunto de Sn. Luego, A es finito.

Corolario 5. Uniones y productos cartesianos finitos de conjuntos finitos son finitos.

Corolario 6. La interseccion cualquiera de una clase de subconjuntos {At}t∈T es finita si al menosun conjuntos At0 es finito.

Demostracion. Tenemos,⋂

t∈T At ⊂ At0 , para cualquier t0 ∈ T . De donde se sigue de inmediato elenunciado.

3. Conjuntos infinitos

Definicion 2. Un conjunto A es infinito si no es finito.

Proposicion 1. N es infinito.

Proposicion 2. Un conjunto A es infinito si existe una funcion inyectiva f : N→ A

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4. Conjuntos Contables

Definicion 3. Un conjunto A es contable si existe una aplicacion sobreyectiva f : N → A.Decimos que A es contable infinito si es contable y ademas infinito.

Ejemplo 1. Si A es finito entonces es contable.

Ejemplo 2. N es contable infinito.

Ejemplo 3. Z es contable infinito.

Ejemplo 4. N× N es contable infinito.

Proposicion 3. Sea A un conjunto. Entonces A es contable infinito si, y solo si, existe una biyec-cion f : N→ A.

Corolario 7. Un conjunto A es contable si, y solo si, es finito o bien contable infinito.

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