Colección Matemáticas para la Administración · PDF fileIngeniero...

Colección Matemáticas para la Administración Algebra Lineal y Métodos Cuantitativos (Incluye aplicaciones en Microsoft EXCEL©)

Carlos Mario Morales C Ingeniero Electricista (U de A) Magíster en Administración de Empresas (EAFIT) Especialista en Pedagogía para el Aprendizaje Autónomo (UNAD)

Algebra Lineal y Métodos Cuantitativos para Administración

Copyright © 2008 Carlos Mario Morales C.

2

UNID

AD

DE

APR

END

IZA

JE IV

-S

OLU

CIÓ

N D

E SI

STEM

AS

LIN

EALE

S C

ON

MA

TRIC

ES-

Competencias

- Relacionar los sistemas lineales y las matrices. - Escribir un sistema lineal en forma matricial. - Comprender y conceptuar la matriz escalona

reducida por filas. - Transformar una matriz en una matriz escalonada

reducida por filas. - Solucionar modelos lineales de “n” ecuaciones y “m”

incógnitas a través del método GAUSS-JORDAN - Solucionar modelos lineales de “n” ecuaciones y “n”

incógnitas a través de método de la matriz INVERSA - Solucionar modelos lineales de n ecuaciones y n

incógnitas a través de método de la Ley de CRAMER - Utilizar Microsoft EXCEL para la solución de los

sistemas lineales de “n” ecuaciones y “n” incógnitas.

Contenido

1. Los Sistemas Lineales y las Matrices 2. Matriz escalonada reducida por filas 3. Solución de los sistemas lineales a través del

método Gauss-Jordan 4. Solución de los sistemas lineales a través de la

matriz Inversa 5. Solución de los sistemas lineales a través de la Ley

de Cramer 6. Solución de ecuaciones lineales con Microsoft

EXCEL de Microsoft Office XP 7. Aplicación de Microsoft EXCEL

Referencias Bibliográficas Preguntas y problemas



3

LOS SISTEMAS LINEALES Y LAS MATRICES En la unidad 2 se definió los sistemas lineales en forma general como el conjunto de ecuaciones (1) que se muestran a continuación:

a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = y2 . . . . (1) . . . .

. . . . am1x1 +am2x2 +…+amnxn = ym

Considerando las propiedades de la multiplicación de matrices y la definición de igualdad de ellas, el sistema lineal (1) se puede escribir matricialmente como:

De la anterior notación matricial, podemos distinguir las partes como sigue:

De esta forma en forma matricial se puede escribir el sistema lineal como:

Ax = b En los ejemplos 4-1 y 4-2 se ilustra la manera sistemática de escribir los sistemas lineales de forma matricial.

y1 y2 …. …. yn

Matriz de Parámetros = b

x1 x2 …. …. xn

Matriz de Variables x =

a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n … … …. … … … …. … am1 am2 …. amn

Matriz de Coeficientes A=

a11 a12 …. a1n x1 y1 a21 a22 …. a2n x2 y2 … … …. … …. = …. … … …. … …. …. am1 am2 …. amn xn ym



4

Paso 4 Determine la matriz de parámetros como una matriz de n filas (número de ecuaciones) por una columna. Los parámetros de acuerdo al orden de las ecuaciones, para el ejemplo: 52

22 12 11

Paso 3 Determine la matriz de variables como una matriz de n filas (número de variables) por una columna. Las variables ordenadas de acuerdo a lo predeterminado, para el ejemplo que se trata: x

y w z

Paso 2 Determine la matriz de coeficientes como los valores que acompañan las variables x, y, w, z, ordenados por filas y columnas de acuerdo al sistema, para el ejemplo: 4 -2 5 3

3 3 2 0 -5 0 4 0 4 2 -3 2

Paso 1 Ordene el sistema lineal de acuerdo a un orden predeterminado de las variables: (Por ejemplo x, y, w, z) 4x - 2y + 5w + 3z = 52 3x + 3y + 2w + 0z = 22 -5x + 0y + 4w + 0z = 12 4x + 2y – 3w + 2z = 11

Ejemplo 4-1 Escriba el siguiente sistema lineal de forma matricial -2y + 4x + 3z +5w = 52 2w + 3x + 3y = 22 -5x + 4w = 12 4x + 2y – 3w + 2z = 11



5

Paso 2 1 2 3 5 -2 3 -2 3 0

Paso 3 x1 x2 x3

Paso 4 -25 16 60

Paso 5 -25 16 60

1 2 3 5 -2 3 -2 3 0

x1 x2 x3

=

Ejemplo 4-2 Escriba el siguiente sistema lineal de forma matricial x1 + 2x2 + 3x3 = -25 3x3 - 2x2 + 5x1 = 16 3x2 - 2x1 = 60

x1 + 2x2 + 3x3 = -25 5x1 - 2x2 + 3x3 = 16 -2x1 + 3x2 + 0x3 = 60

Paso 1

Paso 5 Exprese el sistema lineal como el producto de la matriz de coeficientes por la matriz de variables igualadas a la matriz de parámetros.

4 -2 5 3 3 3 2 0 -5 0 4 0 4 2 -3 2

x y w z

=

52 22 12 11

Nótese que al multiplicar la matriz de coeficientes por la matriz de variables y al igualarla a la matriz de parámetros se vuelve a obtener el sistema lineal original.



6

1. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS Aunque este tema ya fue tratado en la unidad anterior, se vuelve a tratar con el fin de contextualizarlo en la solución de los sistemas lineales. 2.1 Definición Una matriz de m x n esta en forma escalonada reducida por filas cuando satisface las siguientes propiedades: a) Todas las filas que constan solo de ceros, si las hay, están en la parte inferior de

la matriz b) Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en cada fila

(que no esté formado completamente por ceros) es un 1, llamado la entrada principal de su fila

c) Si las filas i y i+1 son dos filas sucesivas que no consten completamente de ceros entonces la entrada principal de la fila i+1 esta a la derecha de la entrada principal de la fila i

d) Si la columna contiene una entrada principal de alguna fila, entonces el resto de las entradas de esta columna son iguales a cero.

En los ejemplos 3-37, 3-38, 3-39 y 3-40 de la unidad anterior se muestran diferentes matrices escalonadas por filas. 2.2 La matriz escalona reducida por filas y la solución de los sistemas lineales Si se considera la notación matricial de los sistemas lineales y la definición de matriz escalonada reducida por filas, se puede decir que si se logra convertir la matriz de coeficientes en una matriz escalonada reducida por filas, lo que al final se obtiene es un sistema lineal que puede ser fácilmente solucionado. Esto se ilustra en el ejemplo 4-3

-25 16 60

1 0 0 0 1 0 0 0 1

x y z

Ejemplo 4-3 Determine los valores de x, y, z para el siguiente sistema lineal expresado en forma matricial.

=

Solución: Observe que la matriz de coeficientes es una matriz escalonada reducida. Al multiplicar la matriz de coeficientes por la matriz de variables y hacer la igualación de matrices se obtiene: x + 0y + 0z = -25 0x + y + 0z = 16 0x + 0y + z = 60 Es decir que: x = -25; y = 16; z = 60



7

2.3 Transformación de una matriz en una matriz escalonada reducida por filas Para transformar la matriz A en una matriz escalonada reducida por filas se pueden realizar las siguientes tres operaciones elementales sobre dicha matriz: a) Intercambiar filas, es decir, pasar la fila i a la posición de la fila j y a su vez

pasar la fila j a la posición de la fila i. b) Multiplicar cualquier fila por un escalar ρ ≠ 0 c) Sumar β veces la fila i de la matriz a la fila j, i ≠ j.

De otro lado, se puede probar que si Ax = b y Cx = d, son dos sistemas lineales, cada uno con m ecuaciones y n incógnitas y si las matrices aumentadas [A│b] y [C│d] de estos sistemas son equivalentes por filas, entonces ambos sistemas lineales tienen exactamente las mismas soluciones. Es decir que si se logra transformar la matriz aumentada [A│b] en una matriz escalonada reducida por filas [C│d], se puede afirmar que las soluciones de esta última son las soluciones de [A│b]

Con el fin de complementar lo anterior se define la matriz aumentada [A│b] como la matriz de coeficientes adicionada con la matriz de parámetros, así por ejemplo: la matriz aumentada para los sistemas lineales de los ejemplos 4-1 y 4-2 son:

2. PROCEDIMIENTO GAUSS-JORDÁN PARA LA SOLUCIÓN DE

SISTEMAS LINEALES El procedimiento de reducción de GAUSS-JORDAN para resolver los sistemas lineales Ax = b es el siguiente:

Paso 1 Formar la matriz aumentada [A│b] Paso 2 Transformar la matriz aumentada a su forma escalonada reducida por filas

mediante operaciones elementales por fila. Paso 3 El sistema lineal que corresponde a la matriz en forma escalonada reducida

por filas obtenida en el paso 2 tiene exactamente las mismas soluciones que el sistema dado. Para cada fila distinta de cero de la matriz en forma escalonada reducida por filas, se despeja la incógnita a la entrada principal de la fila. Las filas compuestas solo de ceros se pueden ignorar pues la

-25 16 60

1 2 3 5 -2 3 -2 3 0

Matriz aumentada para el ejemplo 4-1 4 -2 5 3 3 3 2 0 -5 0 4 0 4 2 -3 2

52 22 12 11

Matriz aumentada para el ejemplo 4-2



8

ecuación correspondiente será satisfecha por cualquier valor de las incógnitas.

A través de los ejemplos 4-4, 4-5 y 4-6 se ilustra el procedimiento GAUSS-JORDAN para solucionar sistemas lineales.

Paso 2 – Transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada por filas. Para la transformación se realizan los siguientes sub-pasos:

1 2 3 2 -1 1 3 0 -1

9 8 3

Sub-paso 1 – En la matriz aumentada se determina la primera columna de izquierda a derecha donde no todos los coeficientes sean iguales a cero. A esta se le denomina columna PIVOT.

Sub-paso 2 – La primera entrada diferente de cero de la columna PÍVOT se le denomina elemento PÍVOT.

1 2 3 2 -1 1 3 0 -1

9 8 3

Sub-paso 3 – En caso de que el elemento PÍVOT no corresponda a la primera fila, en este punto se intercambia de posición de la fila que contiene el elemento PÍVOT y la primera fila. Para el ejemplo no es necesario este paso ya que este se encuentra en la primera fila

Paso 1 – Determinar la matriz aumentada 1 2 3 2 -1 1 3 0 -1

9 8 3

Ejemplo 4-4 Resolver el siguiente sistema lineal x1 + 2x2 + 3x3 = 9 2x1 - x2 + x3 = 8 3x1 - x3 = 3

En forma matricial el sistema se puede escribir como:

1 2 3 2 -1 1 3 0 -1

x1 x2 x3

9 8 3

=



9

Sub-paso 4 – En caso de que el elemento PÍVOT sea diferente de 1, multiplique la fila a la que pertenece el elemento PÍVOT por el inverso del elemento PÍVOT. Por ejemplo: sí el elemento PÍVOT fuera -5, toda la fila se multiplicaría por 1/-5. Para el ejemplo no es necesario ya que el elemento PÍVOT es 1.

Sub-paso 5 – Sumar múltiplos de la primera fila a las demás filas para asegurar que todos los elementos de la columna PÍVOT, excepto el PÍVOT, sean iguales a cero. Para el caso: Sumar a la segunda fila, menos dos veces la primera fila, así

b 1 2 3 0 -5 -5 3 0 -1

9 -10 3

Para el caso: Sumar a la tercera fila, menos tres veces la primera fila, obtenemos:

1 2 3 0 -5 -5 0 -6 -10

9 -10 -24

Sub-paso 6 – Si todos los elementos de la columna PÍVOT son iguales a cero con excepción del elemento PÍVOT entonces se separa la fila del elemento PÍVOT, resultando así una submatriz.

1 2 3 0 -5 -5 0 -6 -10

9 -10 -24

Sub-paso 7 – Para la sub-matriz resultante repita los sub-pasos 1 a 5.

Sub-paso 1 – Para la Sub-Matriz se determina la primera columna de izquierda a derecha donde no todos los coeficientes sean iguales a cero. A esta se le denomina columna PIVOT.

1 2 3 0 -5 -5 0 -6 -10

9 -10 -24

Sub-paso 2 – La primera entrada diferente de cero de la columna PÍVOT se le denomina elemento PÍVOT. Para el ejemplo:



10

Sub-paso 3 – En caso de que el elemento PÍVOT no corresponda a la primera fila se intercambia las filas del elemento PÍVOT y la primera. En este caso no es necesario este paso

Sub-paso 4 – Se multiplica la fila PÍVOT por el inverso del elemento PÍVOT. Para el ejemplo: considerando que el PÍVOT es -5, entonces toda la fila se multiplicaría por 1/-5.

1 2 3 0 1 1 0 -6 -10

9 2

-24

Sub-paso 5 – Sumar múltiplos de la primera fila a las demás filas para asegurar que todos los coeficientes de la columna PÍVOT, excepto el PÍVOT, sean iguales a cero. Es decir: Sumar a la segunda fila de la sub matriz, seis veces la primera fila:

1 2 3 0 -5 -5 0 -6 -10

9 -10 -24


1 2 3 0 1 1 0 0 -4

9 2

-12

Sub-paso 6 – Si todos los elementos de la columna PÍVOT son iguales a cero con excepción del elemento PÍVOT entonces se separa la fila del elemento PÍVOT, resultando así la siguiente submatriz:

1 2 3 0 1 1 0 0 -4

9 2

-12


1 2 3 0 1 1 0 0 -4

9 2

-12



11

Sub-paso 2 – La primera entrada diferente de cero de la columna PÍVOT se le denomina elemento PÍVOT. Para este caso:

Sub-paso 3 – En caso de que el elemento PÍVOT no corresponda a la primera fila se intercambia las filas del elemento PÍVOT y la primera. En este caso no es necesario este paso Sub-paso 4 – Se multiplica la fila PÍVOT por el inverso del elemento PÍVOT. Para el caso: considerando que el PÍVOT es -4, entonces toda la fila se multiplicaría por 1/-4.

1 2 3 0 1 1 0 0 -4

9 2

-12

1 2 3 0 1 1 0 0 1

9 2 3

Considerando que la matriz resultante todavía no es una matriz escalonada reducida por filas ya que hay columnas que contiene una entrada principal y el resto de las entradas de esas columnas no son iguales a cero se continúa con la transformación. Para esto restituimos de nuevo la matriz; es decir, se considera la matriz con las filas separadas.

1 0 1 0 1 1 0 0 1

5 2 3

Sumar menos una vez la tercera fila a la segunda fila

1 0 1 0 1 0 0 0 1

5 -1 3

Sumar menos una vez la tercera fila a la primera fila

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 -1 3

Sub-paso 8 – Sumar múltiplos de las filas a las otras de tal forma que se anulen los elementos encima de las entradas principales. Sumar menos dos veces la segunda fila a la primera fila

1 2 3 0 1 1 0 0 1

9 2 3



12

Paso 1 – Determinar la matriz aumentada

1 1 3 2 2 -1 0 4 0 3 6 0

7 8 8

Paso 2 – Transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada por filas. Para la transformación se siguen los siguientes pasos a su vez.

Sub-paso 1 – En la matriz aumentada se determina la primera columna de izquierda a derecha donde no todos los elementos sean iguales a cero. A esta se le denomina columna PIVOT.

1 1 3 2 2 -1 0 4 0 3 6 0

7 8 8


Ejemplo 4-5 Resolver el siguiente sistema lineal x + y + 3z +2w = 7 2x – y + 4w = 8 3y +6z = 8


1 1 3 2 2 -1 0 4 0 3 6 0

x y z w

7 8 8 =

Escribiendo este sistema en forma matricial se tiene:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

x1 x2 x3

2 -1 3

=

De esta forma el sistema lineal será: x1 + 0x2 + 0x3 = 2 0x1 + x2 + 0x3 = -1 0x1 + 0x2 + x3 = 3

De donde: x1 = 2 x2 = -1 x3 = 3



13

Sub-paso 4 – En caso de que el elemento PÍVOT sea diferente de 1, multiplique la fila a la que pertenece el elemento PÍVOT por el inverso del elemento PÍVOT. Para este caso no es necesario ya que es 1.

Sub-paso 3 – En caso de que el elemento PÍVOT no corresponda a la primera fila, en este punto se intercambia de posición de la fila que contiene el elemento PÍVOT y la primera fila. Para este caso no aplica.

1 1 3 2 2 -1 0 4 0 3 6 0

7 8 8

Sub-paso 6 – Si todos los elementos de la columna PÍVOT son iguales a cero con excepción del elemento PÍVOT entonces se separa la fila del elemento PÍVOT, resultando así:

Sub-paso 5 – Sumar múltiplos de la primera fila a las demás filas para asegurar que todos los coeficientes de la columna PÍVOT, excepto el PÍVOT, sean iguales a cero. Para el caso: Sumar a la segunda fila menos dos veces la primera fila, así

b 1 1 3 2 0 -3 -6 0 0 3 6 0

7 -6 8

1 1 3 2 0 -3 -6 0 0 3 6 0

7 -6 8



1 1 3 2 0 -3 -6 0 0 3 6 0

7 -6 8

Sub-paso 2 – La primera entrada diferente de cero de la columna PÍVOT se le denomina elemento PÍVOT. Para este caso:



14

Sub-paso 4 – En consideración a que el elemento PÍVOT es ≠ de 1 entonces se multiplica toda la fila del elemento PÍVOT por el inverso del elemento PÍVOT. Es decir, en este caso multiplicar por 1/-3

1 1 3 2 0 -3 -6 0 0 3 6 0

7 -6 8

1 1 3 2 0 1 2 0 0 3 6 0

7 2 8

Sub-paso 5 – Sumar múltiplos de la primera fila a las demás filas para asegurar que todos los elementos de la columna PÍVOT, excepto el PÍVOT, sean iguales a cero. Para el caso: Sumar a la tercera fila menos tres veces la primera fila, así se obtiene:

Sub-paso 6 – Si todos los elementos de la columna PÍVOT son iguales a cero con excepción del elemento PÍVOT entonces se separa la fila del elemento PÍVOT, resultando así:

Considerando que la ultima fila solo esta compuesta por ceros esta fila se puede ignorar. Considerando que la matriz resultante todavía no es una matriz escalonada reducida por filas ya que hay columnas que contiene una entrada principal y el resto de las entradas de esas columnas no son iguales a cero se continúa con la transformación. Para esto restituimos de nuevo la matriz; es decir, se considera la matriz con las filas separadas.

1 1 3 2 0 1 2 0 0 0 0 0

7 2 2

1 1 3 2 0 1 2 0 0 0 0 0

7 2 2

Sub-paso 8 – Sumar múltiplos de las filas a las otras de tal forma que se anulen los elementos encima de las entradas principales Sumar menos una vez la segunda fila a la primera fila

1 1 3 2 0 1 2 0 0 0 0 0

7 2 2



15

Paso 1 – Determinar la matriz aumentada

1 1 4 -1 2 1

8 -4 2

Ejemplo 4-6 Resolver el siguiente sistema lineal x + y = 8 4x - y = -4 2x + y = 2


1 1 4 -1 2 1

x y

8 -4 2

=

Y realizando la multiplicación indicada se encuentra el sistema lineal transformado, así: x + z + 2w = 5 y + 2z = 2

De donde: z = (2–y)/2 x = 5- [(2-y)/2] -2w Si y = ρ un número real cualquiera y w = β un número real cualquiera, entonces se puede afirmar que la solución de x y z será: z = (2–ρ)/2 x = 5- [(2-ρ)/2] -2β

1 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0

5 2 2

La matriz obtenida ahora es una Matriz escalonada reducida por filas Verifique condiciones!

Escribiendo de nuevo el sistema lineal en forma matricial, obtenemos:

1 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0

x y z w

5 2 2

=



16

Paso 2 – Transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida por filas. Para esto se realizan los siguientes pasos a su vez. Sub-paso 1 – Se determina la columna PIVOT.

1 1 4 -1 2 1

8 -4 2


1 1 4 -1 2 1

8 -4 2

Sub-paso 3 – No aplica.

Sub-paso 4 – No aplica. Sub-paso 5 – Sumar múltiplos de la primera fila a las demás filas para asegurar que todos los coeficientes de la columna PÍVOT, excepto el PÍVOT, sean iguales a cero. Para el caso: Sumar a la segunda fila menos cuatro veces la primera fila, así se obtiene:

1 1 0 -5 2 1

8 -36 2

Si se suma a la tercera fila menos dos veces la primera fila, se obtiene: 1 1 0 -5 0 -1

8 -36 -14


1 1 0 -5 0 -1

8 -36 -14


1 1 0 -5 0 -1

8 -36 -14



17

3. SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES A TRAVÉS DE LA MATRIZ

INVERSA.

Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones, si A es una matriz de n x n, entonces el sistema lineal A.x = b es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Y si A es no singular, entonces existe A-1 y se puede probar que:

x = A-1 b Sea A.x = b (2) un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas.

Multiplicar ambos lados de la ecuación (2) por A-1, entonces se obtiene:

De álgebra de matrices se tienen que si B es la inversa de A, entonces: AB = In donde n x n es el orden de la matriz A y I es la matriz identidad. También se sabe que B se puede denotar como A-1, es decir que: A.A-1 = In

Si se escribe el sistema lineal en forma matricial se obtiene:

1 0 0 1 0 -1

x y

4/5 36/5 -14

=

Y rescribiendo el sistema lineal: x = 4/5 y = 36/5 -y = -14

Considerando que y toma diferentes valores no existe una solución para este sistema

Sub-paso 4 – En consideración a que el elemento PÍVOT es ≠ de 1 entonces se multiplica toda la fila del elemento PÍVOT por el inverso del elemento PÍVOT. Es decir, en este caso multiplicar por 1/-5

1 1 0 1 0 -1

8 36/5 -14

Sub-paso 5 – Sumar múltiplos de las filas a las otras de tal forma que se anulen los coeficientes encima de las entradas principales (coeficientes 1) Sumar menos una vez la segunda fila a la primera fila

1 0 0 1 0 -1

4/5 36/5 -14



18

A-1Ax = A-1b (3) considerando que en (3) A-1.A = In, entonces se obtiene que: x = A-1b (4)

De esta forma, el procedimiento para resolver el sistema lineal Ax = b, a través de la matriz inversa es el siguiente: Paso 1 Escribir el sistema lineal en forma matricial, es decir: Ax = b Paso 2 A través del procedimiento descrito en la unidad 3 determine la matriz

inversa de la matriz de coeficientes A, es decir halle A-1. Paso 3 Calcule los valores de x, como: x = A-1b. A través de los ejemplos 4-7 y 4-8 se ilustra el método de solución de los sistemas lineales a través de la matriz inversa:

Paso 1. Escribir el sistema lineal en forma matricial.

1 1 1 0 2 3 5 5 1

x y z

12 -24 4

= Ax = b

Paso 2. A través del método de la matriz escalonada reducida determine A-1. Formar la matriz aumentada [A | In]

1 1 1 0 2 3 5 5 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Transformar la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida por filas. Sumar a la tercera fila menos cinco veces la primera fila. Así se obtiene:

Ejemplo 4-7 Resolver el siguiente sistema lineal utilizando la matriz inversa de coeficientes x + y + z = 12 2y + 3z = -24 5x + 5y +z = 4



19

1 1 1 0 2 3 0 0 -4

1 0 0 0 1 0 -5 0 1

Multiplicamos la 2da fila por ½, para obtener:

1 1 1 0 1 3/2 0 0 -4

1 0 0 0 ½ 0 -5 0 1

Sumar a la 1era fila (-1) vez la 2da fila, para obtener:

1 0 -1/2 0 1 3/2 0 0 -4

1 -1/2 0 0 ½ 0 -5 0 1

Multiplicar la 3era fila por -1/4:

1 0 -1/2 0 1 3/2 0 0 1

1 -1/2 0 0 ½ 0

5/4 0 -1/4

Se suma a la 2da fila (-3/2) de la 3era fila.

1 0 -1/2 0 1 0 0 0 1

1 -1/2 0 -15/8 ½ 3/8 5/4 0 -1/4

Se suma a la 1era fila (1/2) de la 3era fila. 1 0 0 0 1 0 0 0 1

13/8 -1/2 -1/8 -15/8 ½ 3/8 5/4 0 -1/4

De acá se obtiene que la A-1: 13/8 -1/2 -1/8 -15/8 ½ 3/8 5/4 0 -1/4

Paso 3. Calcule los valores de x, como: x = A-1b.

x y z

13/8 -1/2 -1/8 -15/8 ½ 3/8 5/4 0 -1/4

12 -24 4

= Multiplicando las matrices e igualando las matrices se obtiene que:

x = 31 y = -33 z = 14



20


1 1 2 1 0 -2 0 0 0 3 2 1 1 2 1 -2

x y z w

-2 3 -1 1

= Ax = b

Paso 2. A través del método de la matriz escalonada reducida determine A-1. Formar la matriz aumentada [A | In]

Transformar la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida por filas. Sumar a la cuarta fila menos una vez la primera fila. Así se obtiene:

Multiplicar la segunda fila por -1/2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 1 2 1 0 -2 0 0 0 3 2 1 1 2 1 -2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1

1 1 2 1 0 -2 0 0 0 3 2 1 0 1 -1 -3

1 0 0 0 0 -1/2 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1

1 1 2 1 0 1 0 0 0 3 2 1 0 1 -1 -3

Sumar a la tercera fila menos tres veces la segunda fila. Así se obtiene: 1 0 0 0 0 -1/2 0 0 0 3/2 1 0 -1 0 0 1

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 -1 -3

Ejemplo 4-8 Resolver el siguiente sistema lineal utilizando la matriz inversa de coeficientes x + y + 2z + w = -2 -2y = 3 3y + 2z + w = -1 x + 2y + z - 2w = 1



21

Sumar a la cuarta fila menos una vez la segunda fila. Así se obtiene:

1 0 0 0 0 -1/2 0 0 0 3/2 1 0 -1 1/2 0 1

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 -1 -3

Multiplicar la tercera fila por 1/2:

Sumar a la cuarta fila una vez la tercera fila. Así se obtiene:

Multiplicar la cuarta fila por -2/5:

Sumar a la tercera fila menos un medio vez la cuarta fila. Así se obtiene:

Sumar a la primera fila menos una vez la segunda fila. Así se obtiene:

1 0 0 0 0 -1/2 0 0 0 3/4 1/2 0 -1 1/2 0 1

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 1/2 0 0 -1 -3

1 0 0 0 0 -1/2 0 0 0 3/4 1/2 0 -1 5/4 1/2 1

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 1/2 0 0 0 -5/2

1 0 0 0 0 -1/2 0 0 0 3/4 1/2 0

2/5 -1/2 -1/5 -2/5

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 1/2 0 0 0 1

1 0 0 0 0 -1/2 0 0

-1/5 1 6/10 1/5 2/5 -1/2 -1/5 -2/5

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 1/2 0 0 0 -1/2 0 0

-1/5 1 6/10 1/5 2/5 -1/2 -1/5 -2/5

1 0 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Sumar a la primera fila menos dos veces la tercera fila. Así se obtiene: 7/5 -3/2 -6/5 -2/5 0 -1/2 0 0

-1/5 1 6/10 1/5 2/5 -1/2 -1/5 -2/5

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



22

4. SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES A TRAVÉS DE LA LEY DE CRAMER.

Regla de CRAMER Sea: a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2 . . . . (1) . . . .

. . . . an1x1 + an2x2 +… +annxn = bn

un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas. Si A es la matriz de coeficientes, x la matriz de variables y b la matriz de parámetros de modo que se pueda escribir el sistema de forma matricial como: Ax = b; se puede probar que si el Det (A) ≠ 0, entonces el sistema tiene una única solución que se puede determinar como:

x1 = (Det(A1)) / (Det(A));

Sumar a la primera fila menos una vez la cuarta fila. Así se obtiene:

1 -1 -1 0 0 -1/2 0 0

-1/5 1 6/10 1/5 2/5 -1/2 -1/5 -2/5

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

De esta forma se obtiene que la A-1, es igual:

1 -1 -1 0 0 -1/2 0 0

-1/5 1 6/10 1/5 2/5 -1/2 -1/5 -2/5

A-1 =

x y z w

Paso 3. Calcule los valores de x, como: x = A-1b.

= 1 -1 -1 0 0 -1/2 0 0

-1/5 1 6/10 1/5 2/5 -1/2 -1/5 -2/5

-2 3 -1 1

Multiplicando las matrices e igualando se obtiene que: x = -4; y = -3/2 ; z = 3; w = -5/2



23

x2 = (Det(A2)) / (Det(A))

x3 = (Det(A3)) / (Det(A))

… … …

xi = (Det(Ai)) / (Det(A))

Donde Ai es la matriz resultante de remplazar la i-esima columna de A por la matriz b. El procedimiento para resolver el sistema lineal Ax = b, a través de la regla de Cramer, es el siguiente: Paso 1 Escribir el sistema lineal en forma matricial, es decir: Ax = b

Paso 2 Calcule el determinante de A Paso 2a Si el Det (A) = 0, el sistema no tiene una única solución

Paso 2b Si el Det (A) ≠ 0, continué con los siguientes pasos: Paso 3 Forme las matrices (Ai), remplazando la columna i por la matriz b en la

matriz A Paso 4 Calcule los determinantes de (Ai)

Paso 5 Determine los valores de xi como (Det(Ai)) / (Det(A))

A través de los ejemplos 4-9 y 4-10 se ilustra el método de solución de los sistemas lineales a través de la regla de CRAMER.


2 3 3 1 2 1 4 2 1

x y z

2 0 1

= Ax = b

Ejemplo 4-9 Resolver el siguiente sistema lineal utilizando la Regla de CRAMER 2x + 3y + 3z = 2 x + 2y + z = 0 4x + 2y + z = 1



24

Paso 2. Calcule el determinante de A.

2 3 3 2 3 1 2 1 1 2 4 2 1 4 2

Det (A) =

= [(2x2x1) + (3x1x4) + (3x1x2)] - [(3x1x1) + (2x1x2) + (3x2x4)]

Paso 3. Forme las matrices (Ai), remplazando la columna i de la matriz A por la matriz b.

2 3 3 0 2 1 1 2 1

A1 =

2 2 3 1 0 1 4 1 1

A2 =

2 3 2 1 2 0 4 2 1

A3 =

Paso 4 Calcule los determinantes de (Ai).

2 3 3 2 3 0 2 1 0 2 1 2 1 1 2

Det (A1 ) =

[(2x2x1) + (3x1x1) + (3x0x2)] - [(3x0x1) + (2x1x2) + (3x2x1)] Det (A1 ) =

Det (A1 ) = -3

2 2 3 2 2 1 0 1 1 0 4 1 1 4 1

Det (A2)


Det (A2 ) = 7

Det (A) = -9



25

Paso 2. Calcule el determinante de A.

-2 3 -1 -2 3 5 10 -5 5 10 -2 -1 1 -2 -1

Det (A) =

= [(-2x10x1) + (3x-5x-2) + (-1x5x-1)] - [(3x5x1) + (-2x-5x-1) + (-1x10x-2)]

Det (A) = -10

Paso 3. Forme las matrices (Ai), remplazando la columna i por la matriz b.

1 3 -1 20 10 -5 -3 -1 1

A1 =


-2 3 -1 5 10 -5 -2 -1 1

x y z

1 20 -3

= Ax = b

Ejemplo 4-10 Resolver el siguiente sistema lineal utilizando la Regla de CRAMER -2x + 3y - z = 1 5x + 10y - 5z = 20 -2x - y + z = -3

2 3 2 2 3 1 2 0 1 2 4 2 1 4 2

Det (A3) =


Det (A3 ) = -11

Paso 5 Determine los valores de xi como (Det(Ai)) / (Det(A)). x = 1/3 ; y = -7/9 ;z = 11/9



26

-2 1 -1 5 20 -5 -2 -3 1

A2 =

-2 3 1 5 10 20 -2 -1 -3

A3 =

Paso 4 Calcule los determinantes de (Ai).

1 3 -1 1 3 20 10 -5 20 10 -3 -1 1 -3 -1

Det (A1 ) =

[(1x10x1) + (3x-5x-3) + (-1x20x-1)] - [(3x20x1) + (1x-5x-1) + (-1x10x-3)] Det (A1 ) =

Det (A1 ) = -20

-2 1 -1 -2 1 5 20 -5 5 20 -2 -3 1 -2 -3

Det (A2)

[(-2x20x1) + (1x-5x-2) + (-1x5x-3)] - [(1x5x1) + (-2x-5x-3) + (-1x20x-2)] Det (A2 ) =

Det (A2 ) = -30

-2 3 1 -2 3 5 10 20 5 10 -2 -1 -3 -2 -1

Det (A3)

[(-2x10x-3) + (3x20x-2) + (1x5x-1)] - [(3x5x-3) + (-2x20x-1) + (1x10x-2)] Det (A3 ) =

Det (A3 ) = -40

Paso 5 Determine los valores de xi como (det(Ai)) / (det(A)). x = 2; y = 3; z = 4



27

6. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON Microsoft EXCEL de Microsoft Office XP1 La solución de ecuaciones a través de Microsoft Excel se limita a aquellos sistemas donde el número de incógnitas coincide con el número de de ecuaciones. En este caso, como se ha visto en los apartados anteriores se pueden solucionar a través de tres métodos:

El método de la matriz Inversa, el cual define que si Ax = b, es un sistema lineal escrito en forma matricial, entonces x = A-1b

El método de la Regla de Cramer el cual define que si Ax = b; es un sistema lineal escrito en forma matricial, y si Det(A) es diferente de cero, entonces: x1 = Det(A1) / Det(A) x2 = Det(A2) / Det(A) xn = Det(An) / Det(A) Donde: Ai es la matriz que resulta de remplazar la columna i por la matriz b en la matriz de coeficientes.

Para sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas se pueden utilizar el método gráfico. Este método se describió en la Unidad de Aprendizaje II

El procedimiento para solucionar los sistemas lineales por los dos primeros métodos se exponen a continuación. 6.1 El método de la matriz Inversa El procedimiento para solucionar los sistemas lineales por el método de la matriz inversa, a través de Microsoft EXCEL es el siguiente: a) Ordene el sistema de ecuaciones de acuerdo a un orden predeterminado de las

variables. Por ejemplo: 23x + 12y – 7w + 6v + 9z = -123 6v + 51w = 45 z + 34v -10x = 62 x + y + z + w = 22 -25y +2w + 3x = -1

Ordenar el sistema anterior de acuerdo al siguiente orden de variables: x, y, z, v, w. 23x + 12y + 9z + 6v – 7w = -123 0x + 0y + 0z + 6v + 51w = 45 -10x + 0y + z + 34v + 0w = 62 x + y + z + 0v + w = 22 3x - 25y + 0z + 0v + 2w = -1

1 Copyright© Microsoft Corporation 1985-2001



28

b) Escriba el sistema en forma matricial y consigne la matriz de coeficientes y la matriz de parámetros en una hoja EXCEL, así como se muestra en la gráfica No 4-1. Sistema Lineal del ejemplo escrito en forma matricial.

23 12 9 6 -7 x

=

-123 0 0 0 6 51 y 45

-10 0 1 34 0 z 62 1 1 1 0 1 v 22 3 -25 0 0 2 w -1

Gráfica No 4-1 Solución de Sistemas lineales por el método de la matriz inversa utilizando Microsoft EXCEL. c) Halle la matriz inversa de la matriz de coeficientes utilizando la función

MINVERSA, así como se expuso en al apartado 6.6 de la unidad de aprendizaje III. La Inversa para el ejemplo, se muestra en la gráfica No 4-2



29

Gráfica No 4-2 Solución de Sistemas lineales por el método de la matriz inversa utilizando Microsoft EXCEL d) Después de hallar la matriz inversa de coeficientes el valor de las variables se

determina como el producto de la matriz inversa por la matriz de parámetros. Para realizar esta multiplicación utilice el procedimiento expuesto en el apartado 6.5 de la unidad de aprendizaje III. El valor de las variables, ósea el valor del producto, se muestra en la gráfica No 4-3.

6.2 El método de la regla de Cramer El procedimiento para solucionar los sistemas lineales por el método de la regla de Cramer, a través de Microsoft EXCEL es el siguiente: a) Igual que en el caso anterior, ordene el sistema de ecuaciones de acuerdo a un

orden predeterminado de las variables. Por ejemplo: 2x + 12y - 9z = -23 2y + z = -21 z – 4x = -3

Ordenar el sistema anterior de acuerdo al siguiente orden de variables: x, y, z, v, w. 2x + 12y - 9z = -23 0x + 2y + z = -21 -4x + 0y + z = -3



30

Gráfica No 4-3 Solución de Sistemas lineales por el método de la matriz inversa utilizando Microsoft EXCEL b) Escriba el sistema en forma matricial y consigne la matriz de coeficientes y la

matriz de parámetros en una hoja EXCEL, así como se muestra en la gráfica No 4-4. Sistema Lineal del ejemplo escrito en forma matricial.

2 12 -9 x =

-23 0 2 1 y -21 -4 0 1 z -3

Además, en la hoja de EXCEL determine las matrices A1, A2 y A3.

Para hallar A1 remplace la columna 1 de la matriz de coeficientes por la matriz de parámetros. A su vez, para determinar A2 remplace la columna 2 y así sucesivamente, esto se muestra en la gráfica No 4-4. La formulación para determinar cada Ai del ejemplo, se muestra en la gráfica No 4-5.

c) Para las matrices A y Ai halle el determinante utilizando la función MDETERM y el procedimiento descrito en el apartado 6.7 de la Unidad de Aprendizaje III.



31

Gráfica No 4-4 Solución de Sistemas lineales por el método de la ley de Cramer utilizando Microsoft EXCEL


En la gráfica No 4-6 se presenta el cálculo de los determinantes de la Matrices. La formulación se muestra en la gráfica No 4-7



32





33





34

d) El calculo de las variables se realiza teniendo en cuenta que: xi = Det(Ai) / Det(A). Los resultados para el ejemplo se muestran en la gráfica No 4-8, en la gráfica No 4-9 se muestra la formulación para el cálculo de las variables.

7. APLICACIÓN DE Microsoft EXCEL En el CD, adjunto al texto, se incluye la aplicación EXCEL denominada ALG-SISLIN-06.05.06.xls. Esta aplicación permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta nueve incógnitas con nueve ecuaciones, ya sea a través del método de la matriz inversa, el método de la ley de Cramer o el método gráfico, utilizando Microsoft EXCEL. Para resolver los sistemas lineales con la aplicación, siga los siguientes pasos: a) En el menú principal seleccione el Sistema Lineal que se quiere solucionar. Este

puede ser desde sistemas de 2x2 hasta de 9x9. b) Ingrese los coeficientes y parámetros de las ecuaciones del sistema que se quiere

solucionar. c) Después de ingresar los coeficientes y parámetros, seleccione el método de

solución que se quiere utilizar. Para los sistemas de 2x2, además de los métodos de la matriz inversa y la ley de Cramer, se puede escoger la opción del método gráfico. Para los sistemas de 3x3 a 5x5, existe la alternativa del método de la matriz inversa y el método de la Ley de Cramer. Finalmente en los sistemas 6x6 a 9x9 solo esta disponible el método de la matriz inversa.

En los siguientes ejemplos se ilustra el uso de la aplicación.

Solución a. En el menú principal se selecciona el Sistema 3x3. Así como se muestra en la

gráfica No 4-10 b. Seleccionado el sistema se ingresan los coeficientes y parámetros de las

ecuaciones, así como se muestra en la gráfica No 4-11 c. Después de ingresar los coeficientes y parámetros se selecciona el método de

solución. En la gráfica No 4-12 se muestra la solución después de seleccionar

Ejemplo 4-11 Utilizando Microsoft EXCEL resolver el siguiente sistema lineal x + y + 2z = 25 5x + 10y - 5z = -5 -2x - 8y + 3z = 7



35

“Solución a través de la matriz inversa”. En la gráfica No 4-13 se muestra la solución después de seleccionar “Solución a través de la Ley de Cramer”

Gráfica No 4-10 Solución del ejemplo 4-11 utilizando ALG-SISLIN-06.05.06.xls




36





37 Solución a. Organice el sistema dado de acuerdo a una prioridad dada de las variables, para el

ejemplo: (Prioridad x, y, z, w, v) 3x +2y +z +w +2v = 2 4x +2y + 2z + 2w +0v = 1 x - y + z + 3w + v = 4 -x +2y – z + w + 2v = -2 2x + 0y +5z + w + v = -1

b. En el menú principal se selecciona el Sistema 5x5. Así como se muestra en la gráfica No 4-14

Gráfica No 4-14 Solución del ejemplo 4-12 utilizando ALG-SISLIN-06.05.06.xls c. Seleccionado el sistema se ingresan los coeficientes y parámetros de las

ecuaciones, así como se muestra en la gráfica No 4-15.

Ejemplo 4-12 Utilizando Microsoft EXCEL resolver el siguiente sistema lineal 3x +2y +z +w +2v = 2 4x +2y + 2z + 2w = 1 x - y + z + 3w + v = 4 -x +2y – z + w + 2v = -2 2x + 5z + w + v = -1



38


Gráfica No 4-16 Solución del ejemplo 4-12 utilizando ALG-SISLIN-06.05.06.xls d. Después de ingresar los coeficientes y parámetros se selecciona el método de

solución. En la gráfica No 4-16 se muestra la solución después de seleccionar “Solución a través de la matriz inversa”. En la gráfica No 4-17 se muestra la solución después de seleccionar “Solución a través de la Ley de Cramer”



39

Nótese que: x1 = x; x2 = y; x3 = z; x4 = w; x5 = v; de acuerdo a la prioridad de variables previamente establecido.


Ejemplo 4-13 Utilizando Microsoft EXCEL resolver el siguiente sistema lineal 5a +2b +3c – d + 2e – 5f + 0g + 3h +2i = 12

3a + b +8c +5d + 3e + f + 3g + h +7i = 1

0a +9b +0c – d + 2e – 2f + 2g - 2h +0i = -6

2a +2b +3c –4d - e + 3f - 4g + 0h +2i = 2

2a + b +7c –4d - 6e + 3f + 2g + 2h +3i = -3

-a +2b - 9c +3d + 7e - 2f - 12g + 0h +5i = 7

9a + b - 2c + d + 2e + 0f + 9g + 2h +0i = 0

-5a +0b + 2c +0d + 2e - 3f + 2g + 2h + i = -5

a + b - c + d + 2e + 2f + 2g + 2h + i = 3



40



a. En el menú principal se selecciona el Sistema 9x9. Así como se muestra en la gráfica No 4-17.



41

b. Seleccionado el sistema se ingresan los coeficientes y parámetros de las ecuaciones, así como se muestra en la gráfica No 4-18.


c. Después de ingresar los coeficientes y parámetros se selecciona el método de solución. En la gráfica No 4-19 se muestra la solución después de seleccionar “Solución a través de la matriz inversa”.

Nótese que: x1 = a; x2 = b; x3 = c; x4 = d; x5 = e; x6 = f; x7 = g; x8 = h; x9 = i; de acuerdo a la prioridad de variables previamente establecido.



42

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS KOLMAN, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones y Matlab. México:

Prentice Hall. 1999. ISBN: 970-17-0265-4 HADLEY, G. Álgebra Linear. Bogotá: Fondo Educativo Interamericano S.A.

1969 SOLER F, Francisco y otros. Álgebra lineal y programación lineal. Bogotá:

ECOE Ediciones, 2004.ISBN: 958-648-409-2

Colección Matemáticas para la Administración · PDF fileIngeniero...

Documents

Transcript of Colección Matemáticas para la Administración · PDF fileIngeniero...