Colección Matemática Educativa y...

ColecciónMatemáticaEducativayTecnología

Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico

Comitéeditorial(versiónelectrónica)

ÁlvaroBustosRubilar

FernandoHitt

EditoresdelacolecciónMatemáticaEducativayTecnologíaJoséCarlosCortésZavalaFernandoHitt

ComitéEditorialdellibro:Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico(versiónelectrónica)

ÁlvaroBustosRubilar

UniversidaddeValparaíso

FernandoHitt

UniversitéduQuébecàMontréal

Primeraedición:Marzo2019(México)

Actividades de modelación matemática en un medio tecnológico

Versiónelectrónica

Bustos,A.yHitt,F.(Eds.)

México:EditorialAMIUTEM,2019

322p;23x17cm–(ColecciónMatemáticaEducativayTecnología)

ISBN:978-607-98603-1-8

Diseñoportada:ClaudiaMirandaOsornioImprime:MorevalladoImpresoenMéxico/PrintedinMexico©2019©CC-BY-NC-ND

i Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico

ÍndicePrefacioyactividadesporcapítulo PáginaPrefacio vCapítulo1.LaenseñanzadelasmatemáticasenunmediosocioculturalytecnológicoDiseñodeactividades:FernandoHittEspinosa,MireilleSaboya,SamanthaQuirozRivera,ÁlvaroBustosRubilaryZitaAntunRemarque.Activitésenfrançais.

1

25Capítulo2.Distinciónentreejercicio,problemaysituaciónproblemaenunmediotecnológicoyejemplosendiferentesniveleseducativosDiseñodeactividades:JoséLuisSotoMunguía,FernandoHittEspinosaySamanthaQuirozRivera

43

Capítulo3.ElaprendizajedelasmatemáticasenunmediosocioculturalytecnológicoDiseñodeactividades:SamanthaQuirozRivera,FernandoHittEspinosa,ÁlvaroBustosRubilar,MireilleSaboyayZitaAntun

57

Capítulo4.EntendimientodepostuladosbásicosdelaperspectivademodelosymodelaciónporprofesoresenformaciónDiseñodeactividades:VerónicaVargasAlejoyCésarCristóbalEscalante

63

Capítulo5.LainclusióndeGeoGebraeneldiseñodesecuenciasdidácticasenmatemáticasDiseñodeactividades:JoséLuisSotoMunguía

73Capítulo6.ProcesodeRepresentacióndelcambioylavariación:exploracionesdigitalesDiseñodeactividades:SandraEvelyParadaRico,JorgeEnriqueFialloLealyNelsonJavierRueda

81

Capítulo7.UtilizacióndesensoresparaelestudiodesituacionesfuncionalesanivelsecundariayuniversitarioDiseñodeactividades:ValérianePassaro,RuthRodríguezGallegos,MireilleSaboyayFabienneVenantRemarque.Activitésenfrançais.

8599

Capítulo8.ActividadesdeaprendizajeparaentenderelconceptodefunciónDerivadayFunciónintegralatravésdelasrazonesdediferenciasylasacumulacionesDiseñodeactividades:JoséCarlosCortésZavala,LiliaLópezVerayEréndiraNúñezPalenius

113

ii Índice

Capítulo9.Variaciónlinealymovimiento:delaexperienciacorporizadaalossignificadosinstitucionalesDiseñodeactividades:MaríaTeresaDávilayAgustínGrijalvaMonteverde

159Capítulo10.Problèmesd’apprentissageducalculdifférentieletapportdelaméthodedeFermatpouruneapproched’enseignementplusintuitiveDiseñodeactividades:PedroRogérioDaSilveiraCastroRemarque.Activitésenfrançais.

167

Capítulo11.Laecuaciónlinealcondosvariables:unapropuestaparasuaprendizajeenlaescuelasecundariamexicanaDiseñodeactividades:AnaGuadalupedelCastilloySilviaE.IbarraOlmos

175

Capítulo12.Tecnologíayusosdelasgráficas:unaexperienciademodelacióndelmovimientoconestudiantesdebachilleratoDiseñodeactividades:JoséDavidZaldívarRojas

197

Capítulo13.Unaformadeenseñanzayaprendizaje:ObjetosParaAprenderDiseñodeactividades:RicardoUlloaAzpeitia

201

Capítulo14.Secuenciadidácticaparalecálculodelvolumenporelmétododesólidosderevolución:elcasoderecipientesysandíaDiseñodeactividades:RafaelPantojaRangel,RosauraFerreyraOlverayRafaelPantojaGonzález

203

Capítulo15.Geogebracommeoutild’explorationenenseignementdelagéométrieDiseñodeactividades:LoïcGeeraertsyDenisTanguayRemarque.Activitésenfrançais.

205

iii Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico

Colección: Matemática Educativa y Tecnología La Matemática Educativa como disciplina científica investiga sobre el aprendizaje de las matemáticas para revolucionar la enseñanza de las mismas. Desde un punto de vista tecnológico, desde las últimas décadas del siglo XX, la tecnología exhibió, en pantallas de calculadoras y de computadoras, su eficiencia técnica al mostrar en forma dinámica diferentes representaciones de un concepto matemático. Con este hecho, las teorías sobre la construcción de conceptos fundamentadas en la noción de representación se hicieron cada vez más sólidas. Así mismo, la resolución de problemas y el movimiento de la matemática realista de la escuela de Freudenthal impulsó la modelación matemática haciendo uso de tecnología (Blum, Galbraith, Henn & Niss, Eds. 2007, English 2007). Si bien la tecnología es utilizada en la vida diaria de los individuos en forma eficaz, falta mucho para que ello se realice en el aula de matemáticas.

La enseñanza de las matemáticas con tecnología necesitaba de un marco teórico ligado a esta problemática, el trabajo de Rabardel (1995) proporcionó una respuesta para entender cómo funciona el organismo humano frente a un artefacto, desarrollando la noción de génesis instrumental, teoría del aprendizaje adaptada al aprendizaje de las matemáticas por Guin & Trouche (1999). Esta teoría con raíces vygostkianas mostró que la apropiación de artefactos y su transformación en herramienta para la resolución de problemas no es una tarea fácil (Bartolinni Bussi & Mariotti 1999, 2008, Arzarello & Paola 2007).

Conscientes de la importancia de promover la investigación práctica sobre el uso de tecnología en el aula de matemáticas, hemos creado la colección de libros “Matemática Educativa y Tecnología”. Cada producto de esta serie estará integrado por dos libros uno que contendrá un acercamiento teórico-practico y el otro será una versión práctica que sirva de apoyo en el aula al profesor de matemáticas. Las obras producidas en el marco de esta colección serán puestas a disposición de los profesores y podrán descargarlos vía Internet.

Editoresdelacolección

FernandoHittEspinosaJoséCarlosCortésZavala

Referencias Arzarello, F. & Paola, D. (2007). Semiotic games: the role of the teacher. In Woo, J. H., Lew, H. C., Park, K. S. &

Seo, D. Y. (Eds.). Proceedings of the 31st Conference of the International Groupe PME, v. 2, 17-24. Seoul: PME. Bartolini Bussi, M. and Mariotti, M. (1999). Semiotic mediation: From history to mathematics classroom. For the

Learning of Mathematics 19(2): 27-35. Bartolini Bussi M. G., & Mariotti M. A. (2008). Semiotic Mediation in the Mathematics Classroom: Artefacts and

Signs after a Vygotskian Perspective, In L. English, M. Bartolini, G. Jones, R. Lesh and D. Tirosh (Eds.), Handbook of International Research in Mathematics Education. New Jersey: LEA.

Blum, W., Galbraith, P., Henn, H. & Niss, M. (Eds. 2007). Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI Study. New York: Springer.

English L. (2015). STEM: challenges and opportunities for mathematics education. In K. Beswick, T. Muir & J. Welles (eds.), Proceedings of PME39, v. 1, 3-18. July, 2015, Hobart, Australia.

Guin, D. & Trouche, L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: The case of calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3, 195-227.

Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments Contemporains. Armand Colin. HAL: hal-01017462, consulted 5 april 2016.

v Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico

Prefacio

Al pasar las páginas de este libro detengo mi mirada en los vocablos representación, modelación y problema; me doy cuenta de que son términos centrales que insertos en la presente obra se convierten en construcciones teóricas muy elaboradas. Su enunciación en contextos específicos, enmarcada por las diversas teorías seleccionadas por los autores, los convierte en términos polisémicos cuyos significados podrán ser develados a través de la lectura y el seguimiento de las actividades aquí presentadas.

Hablar de representación (o alguna de sus variantes) no es sólo remitirnos a cualquiera de las catorce acepciones que ofrece el Diccionario de la Real Academia Española (DRAE, 2017), hacerlo involucra necesariamente establecer vínculos con alguna teoría cognitiva, de aprendizaje, de enseñanza o bien con alguna corriente metodológica que sitúa el concepto en un escenario perfectamente delimitado. Así, por ejemplo, Hitt y Quiroz (Capítulo 1, pág. 7) se proponen “iniciar la construcción de elementos teóricos específicos para una teoría sociocultural del aprendizaje, considerando la noción de representación como pilar indispensable”, en tanto que, Castro (Capítulo 10, pág. 267) remite exclusivamente a las representaciones gráficas en los albores de su surgimiento, sobre todo por resaltar como referente el trabajo desarrollado por Fermat y Descartes.

Por su parte, Pantoja, Ferreyra y Pantoja (Capítulo 14) emplean el término representación como una imagen que sustituye a la realidad y vincula ésta a otras formas de representación (externas): acercamiento numérico, gráfico o analítico, que puede tener un tópico matemático, interpretación a la que también aluden Soto, Hitt y Quiroz (Capítulo 2, pág. 29) y Cortés, López y Núñez (Capítulo 8, 204).

Parada y Fiallo (Capítulo 6, 144) enuncian que: al “animar el punto P los estudiantes ven, a través de la filmación, el comportamiento del punto que representa el volumen en función de la altura”. Asimismo, en un pie de gráfica asignan la cualidad de representación a la imagen de una caja sin tapa.

De lo expuesto desprendo que los autores conciben como una representación, en el texto, a una imagen, un punto, una gráfica, una tabla o un procedimiento.

El concepto modelo (o alguna variante) es bastante cercano al de representación, algunos participantes de este texto los emplean como sinónimos, ya sea de forma explícita o implícita.

Vargas-Alejo y Cristobal-Escalante (Capítulo 4, pág. 86) citan a Lesh y Doerr (2003, pág. 10) para ofrecer una definición del segundo de los conceptos mencionados:

“[Los modelos] son sistemas conceptuales (que consisten de elementos, relaciones y reglas que gobiernan las interacciones) que son expresados mediante el uso de sistemas de notación externa, y que son utilizados para construir, describir, o explicar los comportamientos de otros sistemas –de tal forma que el otro sistema pueda ser manipulado o predicho de manera inteligente”.

Más adelante, Vargas-Alejo y Cristobal-Escalante (Capítulo 4, pág. 95 y 96) asignan el nombre de “modelo tabular” y “modelo gráfico” a las producciones numérica y gráfica que resultan de un proceso computacional.

Los términos simulación y modelación guardan entre sí una estrecha relación en el compendio de artículos, por ejemplo, Soto (Capítulo 5) emplea el primer vocablo para referirse a una situación creada con base en los elementos y las relaciones entre éstos, provenientes desde otra situación previamente enunciada. Explicita el autor que la exploración y la observación de la simulación, a la cual llama modelo dinámico, “puede sistematizarse para identificar las variables, las constantes y las relaciones que intervienen en el modelo” (pág. 123).

Passaro, Rodríguez, Saboya y Venant (Capítulo 7); Dávila y Grijalva (Capítulo 8); Del Castillo e Ibarra (Capítulo 9); Zaldívar (Capítulo 10) relacionan la modelación con situaciones problemáticas relativas a fenómenos de variación.

vi Prefacio

En lo que concierne al concepto problema, Soto, Hitt y Quiroz (Capítulo 2) presentan una reseña de la ruta de la resolución de problemas como núcleo didáctico dentro del aula de matemáticas; algo similar ocurre en Hitt y Quiroz (Capítulo 1), quienes discuten la diferencia entre ejercicio, problema, situación problema, situación de búsqueda y problema de modelación. Desencadenan el recorrido con una formulación propia, la situación de investigación, actividad que proponen para ser utilizada en el marco de la metodología Acodesa (Aprendizaje en Colaboración, Debate científico y Autorreflexión).

Los problemas, representaciones y modelos se encuentran en diversos momentos del desarrollo histórico del conocimiento matemático. Por ejemplo, los llamados tres problemas clásicos: la trisección de un ángulo, la duplicación de un cubo y la cuadratura de un círculo, mantuvieron ocupados, en la búsqueda de su solución, a los estudiosos de la época en que fueron formulados. También, se sabe que el equivalente a “un modelo” fue empleado por Arquímedes para la demostración de teoremas matemáticos, acercamiento que él llama el Método, que consiste en “pesar figuras” para establecer relaciones que validan las afirmaciones que se enuncian; es un modelo mecánico de planteamientos geométricos.

En cuanto a las representaciones, otro hombre de ciencia, Galileo, emplea segmentos rectilíneos y figuras geométricas para explicar gráficamente los razonamientos que sustentan las demostraciones de proposiciones acerca del movimiento de los cuerpos.

Es claro que los tres conceptos comentados: representación, modelo y problema, tienen en la historia un uso distinto al que ocupan en la presente obra. Aquí, se presentan con un andamiaje teórico que les da soporte para su uso en las aulas de matemáticas. Se distinguen planteamientos generales como es La teoría de la actividad de Leontiev (Capítulo 2), La Teoría Socioepistemológica (Capítulo 12) y otras de alcance local: la Teoría de los Registros Semióticos de Representación desarrollada por Duval (Capítulo 7, Capítulo 8), la Perspectiva de Modelos y Modelación (Capítulo 4), el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (Capítulo 6), y, el Paradigma del geómetra-físico (Capítulo 15).

La metodología de enseñanza que se emplea es diversa. La mayoría de los autores de la presente obra: Hitt y Quiroz (Capítulo 1); Soto, Hitt y Quiroz (Capítulo 2); Quiroz, bustos y Hitt (Capítulo 3); Cortés, López y Núñez (Capítulo 8); Da Silveira (Capítulo 10); Pantoja, Ferreyra y Pantoja (Capítulo 14), organizan el desarrollo de sus propuestas de aula con base en las etapas de Acodesa. Resulta interesante la forma en que el autor de la propuesta relaciona el tipo de representación con las diferentes etapas en que se divide el proceso metodológico. También se utilizan otras formas de organización y realización de la secuencia didáctica como es la propuesta de Díaz-Barriga que emplean Soto (Capítulo 5) y del Castillo e Ibarra (Capítulo 11).

Emplear una fotografía como estrategia para relacionar una de las propiedades extensivas de la materia, el volumen, con un concepto matemático, la integral definida, y, con un procedimiento geométrico, la rotación de una superficie que genera la representación de un sólido, es posible realizarlo gracias al avance tecnológico, sobre todo computacional, ocurrido esto en los últimos cincuenta años.

La mayoría de los proyectos de investigación y propuestas didácticas incluidos en el libro utilizan software como herramienta para el desarrollo de las actividades, es preponderante el uso de la aplicación de Matemáticas dinámicas GeoGebra (Capítulos 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14 y 15). Otros emplean dispositivos de recolección de datos, específicamente sensores de movimiento (Capítulos 7 y 12) y voltaje (Capítulo 7).

En cuanto a los tipos de actividades con software de geometría dinámica, Geeraerts y Tanguay (Capítulo 15) mencionan algunos, entre ellos: a) Editor de figuras, b) Editor de figuras geométricas dinámicas, c) Herramientas de experimentación empírica, y d) Ilustración de los elementos de enseñanza, las explicaciones y los razonamientos dirigidos a los estudiantes. Ulloa (Capítulo 13), por su parte, propone, los “Objetos Para Aprender”, como una forma de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con apoyo de tecnología.

vii Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico

Dentro de la obra se distingue, de manera general, que los autores diseñaron sus actividades con la intención de hacer exploraciones sistemáticas guiadas acerca de tópicos específicos de matemáticas, como puede verse más detalladamente en el compendio específico.

La presente obra puede funcionar como un valioso apoyo para estudiantes de posgrado en aspectos relativos a la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, para profesores de las diferentes asignaturas que conforman la disciplina y para investigadores en Matemática Educativa y Educación matemática.

La agradable sensación que en mi ha dejado la lectura de las más de cuatrocientas páginas del texto y el seguimiento de las actividades que componen el libro de actividades concomitante a este volumen me llama a releerlo. Sé que la interpretación será distinta y que la cercanía a los interesantes planteamientos que los autores aportan será cada vez más estrecha.

Esnel Pérez Hernández

Instituto GeoGebra AMIUTEM

1

1 LAENSEÑANZADELASMATEMÁTICASENUNMEDIOSOCIOCULTURALYTECNOLÓGICO

Capítuloteórico

FernandoHittEspinosa1,SamanthaQuirozRivera2Actividadesdesarrolladasenrelaciónaestecapítuloenotrosestudiospor:FernandoHittEspinosa1,SamanthaQuirozRivera2,MireilleSaboya1,ÁlvaroBustosRubilar3,ZitaAntun1.

ELRESTAURANTEDEMARCELO

Página1ElrestaurantdeMarcelo

Nombredelalumno:_____________________Nombredelosmiembrosdelequipo: ____________________

____________________

____________________

Grupo:_____________Fecha:______________

Instrucciones:§ Paraesteprimertrabajoindividual,utilizaunaplumanegraoazul.

§ Para el trabajoen equipo, si túmodificasturespuestautilizaunaplumaroja.

§ Después de discutir con el grupo, si túmodificas tu respuesta de nuevo, utilizaunaplumaverde.

ElrestaurantdeMarcelo

Página2.TrabajoindividualPágina1–SituaciónMarceloeseldueñodeunrestaurante.EnsurestauranteMarcelotienemesasquecolocaen diferentes lugares donde se sientan sus clientes cuando llegan. Las mesas son dediferentes tamaños: grandes, pequeñas y medianas. Están colocadas de la siguientemanera:

1DépartementdesMathématiques,UniversitéduQuébecàMontréal2FacultaddeCienciasFísicoMatemáticas,UniversidadAutónomadeCoahuila.3 Universidad de Valparaíso. Chile.

2 Actividadesdelcapítulo1.Laenseñanzadelasmatemáticasenunmediosocioculturalytecnológico

AMarcelolegustaríanotenerquecontarcadavezque llegan losclientes,elnúmerodesillas de cada mesa para saber dónde los pondrá. Marcelo requiere tu ayuda. A él legustaríaencontrarunamaneradecalcularrápidoelnúmerodeclientesquepuedesentaralrededordecadamesa,teniendoencuentaelnúmerodemesassintenerlanecesidaddecontarcadavezelnúmerodesillas.1. ¿Cuántaspersonassepuedensentaralrededorde3mesas?2. Si buscamos el númerodepersonaspara colocar alrededorde4mesas, ¿necesitashacerundibujoparaencontrarlarespuestaosabríasagunamanerarápidadehacerlo?

3. Y para15mesas, ¿puedes encontrar una estrategiapara calcular rápìdamente el número depersonassinnecesidaddedibujar

3 Actividadesdemodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico

Página3.Trabajoenequipo.4. Enequipo,discute lasestrategiasqueusasteparacalcularelnúmerodepersonasquepuedensentarse alrededor de 15 mesas. ¿todos usaron la misma estrategia? Encuentra al menos 2estrategiasparahacerestecálculo.

5. Unavezqueescribistelasestrategiasyquevieronquesoncorrectas,utilizaalgunadeellasparacalcularelnúmerodepersonasquepuedencomeren21mesasydespuésen54mesas.

Página4–Trabajoenequipo6. LaaplicaciónGeoGebratemostraráelnúmerodepersonasquesepuedensentaralrededordelasmesasnoimportaquetangrandessean.Utilízaloparaverificartusrespuestasdelproblema5.

7. Escribe un mensaje escrito a Marcelo donde le explicas cómo podría calcular el número depersonasparasentaralrededordeunamesanoimportaquétangrandesea.

8. Losmensajes sonmuy largos.Marcelonecesitamensajesque le indiquen las operacionesquedebe realizar más fácilmente. Escribe el mismo mensaje pero simplificado, indicando quéoperacionesMarcelonecesitarealizar.


Página5.Trabajoindividual,autorreflexiónMarceloeseldueñodeunrestaurante.EnsurestauranteMarcelotienemesasqueubicaendiferenteslugaresdondesesientansusclientescuandollegan.Lasmesassondediferentestamaños:grandes,pequeñasymedianas.Estáncolocadasdelasiguientemanera:

AMarcelo legustaría no tener que contar cada vez que llegan los clientes, el número desillasdecadamesaparasaberdondelospodrácolocar.Marcelorequieretuayuda.Aéllegustaríaencontrarunamaneradecalcularrápidoelnúmerodeclientesquepuedesentaralrededordecadamesa,teniendoencuentaelnúmerodemesassincontarlassillas.

1) Calcula el número de personas que podemos sentar alrededor de 4 mesas. Explica laestrategiaqueutilizaste.


3) Calculaelnúmerodepersonasquepodemossentaralrededorde21mesasydespuésde54

mesas.Explicalaestrategiaqueutilizaste.

4) Calcula el número de personas que podemos sentar alrededor de cualquier cantidad de



Página6–Procesodeinstitucionalizaciónrealizadoporelprofesoroprofesora

Elprofesoroprofesoraefectúaunanálisisdelaproduccióndelosalumnos,acentuandolosprocesos de evolución de las representaciones espontáneas de los alumnos y suacercamientoen susprocesosaritméticosoalgebraicos.En fin, elprofesoro laprofesoraproporcionaalosestudianteslosprocesosaritméticosyalgebraicosentantoqueprocesosde generalización basados en los procesos numéricos de los alumnos y llegando a unaexpresiónalgebraicaquepermitaelcálculodirecto.


Actividad,joyería«ElDorado»

Página1JoyeríaelDorado

Nombredelalumno:________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: ________________________

________________________

________________________

Grupo:_____________Fecha:_____________

Instrucciones:§ Para la primera actividad individual,utilizaunaplumaazul.

§ Para el trabajo en equipo, simodificas tú respuesta, utiliza unaplumaroja.

§ Eneltrabajoengrupo,simodificastúrespuestadenuevo,utilizaunaplumaverde.

Pulseraycadenasdeoro

Página2–Lasituación

Enlajoyería«ElDorado»,Samanthafabricacadenasdeoroenformatriangularcomolassiguientes:

Ellaconfeccionapulserasdediferentestamañosdelacadena.Samanthacompralasbarritasde oro que ella tiene necesidad, sin necesidad de contar cada6barrita una a una. Ellaquisiera encontrar el número de barritas que necesita sin estar obligada a contar lasbarritas una a una (¡es demasiado tiempo!). Envía unmensaje a Samantha en el cual leexplicas cómo ella podría hacer para encontrar rápidamente el número de barritas quenecesitasegúnelnúmerodeeslabonesdeseadossinestarobligadaacontarlasunaauna.


Página3–Trabajoindividual

1) Calcula el número de barras necesarias, si se te solicita 3 eslabones en forma detriángulo.

2) Sisebuscaelnúmerodebarrasnecesariaspara4eslabonesdeformatriangular,¿Tienesnecesidad de realizar un dibujo para encontrarloso existe una manera rápida deproceder?

3) Para15eslabonesen forma triangular, ¿puedesencontrarunaestrategiapara calcularrápidamenteelnúmerodebarritassinnecesidaddecontarlasunaaunaysinnecesidaddedibujar?

Página4–Trabajoenequipo

4) Enequipodiscutelasestrategiasquehanencontradoparacalcularelnúmerodebarrasparaunacadenade15eslabonesenformatriangular.¿Losprocedimientosdecadaunodelosmiembrosdelequiposoniguales?Encuentrealmenos2estrategiasparacalcularelnúmerodebarrasnecesariasparaunacadenaopulserade15eslabonestriangulares.

5) Una vez que han escrito las diferentes estrategias y que han decidido que ellas soncorrectas,utilícenlascadaunadeellasparacalcularelnúmerodebarrasnecesariasparaunacadenaopulserade21eslabonesyotrade54eslabonestriangulares.


Página5.Trabajoenequipo

6) La aplicación que pueden utilizar con GeoGebra, les proporciona en forma directa elnúmerodeeslabonesen formatriangular.Utilícenlaparaverificarsusresultadosde lapreguntaanterior.

7) Escribe un mensaje en palabras que permita a Samantha calcular el número de

barrasnecesariasparacualquiernúmerodeeslabonestriangulares.

8) Los mensajes son largos para leer. Samantha está de prisas, ella desea que tú leproporcionesalgocortoindicandolasoperacionesarealizarentúmensaje.EscribeunmensajecortoparaSamantha.

Comentarioparaelmaestro:Discusióncontodalaclase

Discutir loqueseharealizadoen lasprimerasetapasde la investigaciónenunconsensobasado sobre la argumentación y la validación. Escribir en una tabla las diferentesestrategiasproducidas.Esimportanteiniciarporaquellasestrategiaserróneasparaquelosalumnostenganlaoportunidaddediscutir,rechazarovalidarportoda laclase.Todaslasproduccionesdelosalumnosserecolectanunavezfinalizadaladiscusión.


Página6–Trabajoindividualdeautorreflexión

En la joyería «El Dorado», Samantha fabrica pulseras y cadenas de oro en forma deeslabonesdetriángulos,comolossiguientes:

Ellarealizapulserasycadenasdediferentetamaño.Samanthacompralasbarrasdeoroporpieza. Ella quisiera encontrar el número de barras que necesita sin tener que contar lasbarrasunaauna(¡esmuylargoelproceso!).TesolicitamosenviarunmensajeaSamanthaenelcuállevasaexplicarcómopodríahacerleparaencontrarrápidamenteelnúmerodebarrasquenecesitasegúnelnúmerodeeslabonesdeseadossinestarobligadaacontarlasunaauna.

5) Calcular el número de barras necesarias para 4 eslabones en forma triangular.Explicalasestrategiasquehasutilizado.

6) Calcula el número de barras para 15 eslabones en forma triangular. Explica lasestrategiasquehasutilizado.

7) Calcula el número de barras para 21 eslabones y para 54 eslabones en forma de

triángulo.Explicalasestrategiasquehasutilizado.

8) Calculaelnúmerodebarrasnecesariasparacualquiernúmerodeeslabones.Explicalasestrategiasquehasutilizado.

Página 7 – Proceso de institucionalización realizado por el profesor oprofesora

Elprofesoroprofesoraefectúaunanálisisdelaproduccióndelosalumnos,acentuandolosprocesos de evolución de las representaciones espontáneas de los alumnos y suacercamiento en sus procesos aritméticos o algebraicos. En fin, el profesor o profesoraproporcionaalosestudianteslosprocesosaritméticosyalgebraicosentantoqueprocesosde generalización basados en los procesos numéricos de los alumnos y llegando a unaexpresiónalgebraicaquepermitaelcálculodirecto.


Lasventanasconvitralesalrededor

Page1

Nombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Grupo:_____________Fecha:_____________

Instrucciones:§ Paralaprimeraactividadindividual,utilizaunapluma

azul.§ Para el trabajo en equipo, si modificas tú respuesta,

utilizaunaplumaroja.§ En el trabajo en grupo, si modificas tú respuesta de

nuevo,utilizaunaplumaverde.Lasventanasconvitralesalrededor

Página2–SituaciónTengo un amigo que tiene una pequeña fábrica de ventanas. Las ventanas que se fabrican tienen formacuadrada y se componen de pequeños cuadros cafés en el centro y cuadros verdes alrededor. Aquímostramosalgunosejemplos:

?

?

Lostrabajadoresnecesitancontarelnúmerodecuadroscolorverdealrededordelgrancuadradocafédelaventanayloscuentanunoporuno.¿Podríasayudaralostrabajadoresaencontrarunamaneradecalcularrápidamenteelnúmerodecuadrosdecolorverdeparacualquiertamañodeventana?

4) Calculaelnúmero totaldecuadroscolorverdesi tenemos3cuadroscafésde lado (o5cuadroscolorverdesdelado).

5) Sibuscamoselnúmerodecuadroscolorverdeparaunaventanaquetiene4cuadroscafésdelado(o6

cuadroscolorverdedelado),¿necesitasundibujoparaencontrarlarespuestaoencontrasteunamanerarápidadeproceder?

6) Y la ventana de 15 cuadros cafés de lado (o 17 cuadros color verde de lado), ¿puedes encontrar una


estrategiaparacalcularrápidamenteelnúmerodecuadroscolorverdeentotalsintenerquecontarunoaunoysintenerquedibujar?

Página3–Trabajoenequipo9) En equipo, discutan las estrategias que utilizaron anteriormente para calcular el número de cuadros

colorverdenecesariosparaunaventanaquetenga15cuadroscafésdelado.¿Todosutilizaronlamismaestrategia?Encuentrenalmenos2estrategiasparacalcularelnúmerodecuadroscolorverdeparaunaventanaquetiene15cuadroscafésdelado.

10) Unavezquehanescritodiferentesestrategiasyquehandecididoquesoncorrectas,utilizaalguna

deestasestrategiasparacalcularelnúmerodecuadroscolorverdenecesariosparaunaventanade23cuadroscafésdeladoyotraventanade58cuadroscafésdelado.

Página4–Trabajoenequipo11) La aplicación Geogebra te muestra el número de cuadros color verde necesarios para cualquier

númerodecuadroscafésdelado.Puedenutilizarloparaverificarsusrespuestasdelasecciónanterior.

12) Escribeunmensajeconpalabrasquepermitacalcularelnúmerodecuadroscolorverdenecesarios

paraunaventanaparacualquiernúmerodecuadroscafésdelado.13) Losmensajessonlargosaleer,escribanelmensajesimplificadoutilizandosolooperaciones.


Página5–Trabajoindividual.Autoreflexión

Tengounamigoquetieneunapequeñafábricadeventanas.Lasventanasquesefabricastienenformacuadradaysecomponendepequeñoscuadroscafésenelcentroycuadrosverdesalrededor.Aquíhayalgunosejemplos:

Haytrabajadoresquenecesitancontarelnúmerodecuadroscolorverdealrededordelaventanaycuentanunopor uno. ¿Podrías ayudar a los trabajadores a encontrar una manera de calcular rápidamente el número decuadroscolorverdeparacualquiertamañodeventana?1) Calculaelnúmerototaldecuadroscolorverdesitenemos4cuadroscafésdelado.Explicalaestrategiaque

utilizaste.

2) Calculaelnúmerototaldecuadroscolorverdesitenemos15cuadroscafésdelado.Explicalaestrategiaqueutilizaste.

3) Calculaelnúmerototaldecuadroscolorverdesitenemos23y58cuadroscafésdelado.Explicalaestrategiaqueutilizaste.

4) ¿Cómopodemos calcular el númerode cuadros color verde necesarios para cualquier númerode cuadros

cafésdelado?Explicalaestrategiaqueutilizaste.


Elprofesoroprofesoraefectúaunanálisisdelaproduccióndelosalumnos,acentuandolosprocesos de evolución de las representaciones espontáneas de los alumnos y suacercamiento en sus procesos aritméticos o algebraicos. En fin, el profesor o la profesoraproporcionaa losestudianteslosprocesosaritméticosyalgebraicosentantoqueprocesosde generalización basados en los procesos numéricos de los alumnos y llegando a unaexpresiónalgebraicaquepermitaelcálculodirecto.


Elcaminodelascalaveritas

Página1Elcaminodelascalaveritas

Nombredelalumno:___________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: __________________________

__________________________

__________________________

Grupo:_____________Fecha:________________

Instrucciones:§ Para la primera actividad individual, utiliza una pluma

azul.§ Para el trabajo en equipo, si modificas tú respuesta,

utilizaunaplumaroja.§ En el trabajo en grupo, si modificas tú respuesta de

nuevo,utilizaunaplumaverde.Elcaminodelascalaveritas

Página2–Situaciónytrabajoindividual

EnMéxicotodomundosepreparaparalafiestadedíademuertos.Enelparquedelacomunidad,eldirectorresponsabledelparquedeciderealizarun“caminodecalaveritas”comolomuestralafoto.Élquisieracolocarcalaveritasatodololargodelcamino,ladrilloverdeluminosoyunacalaveritaparamostrarelcaminodurantelanoche,yladrillosmarronesparaelresto.

Elproblemacomienzacuandoeldirectorquieresaberelprecioparahacerelcamino,ycontarlascalaveritas,losladrillosluminososverdes,ylosladrillosmarrones,paracomprarlos.

Teinvitamosaefectuaruntrabajoindividual,despuésenequipoydiscusióndetodalaclase.Finalmente,unregresoaunareflexiónindividualcomoseráindicadoportuprofesora.

Enseguida,temostramosunmodeloquehahecholacompañíadeladrillosytambién, lapersonaquelohahechomuestradóndeseríancolocadaslascalaveritas.

El director está interesado en calcular el número de ladrillos verdes, el número de ladrillos marrones, elnúmerodecalaveritasdeacuerdoacadafigura.

Temostramosvariasfigurasparaqueveaselmodelorealizadoporelfabricantedeladrillos:


Figura5Figura1Figura21. Calculaelnúmerodecalaveritasdelatercerafigura.

2.¿Tienesnecesidaddedibujarlacuartafiguraparacalcularelnúmerodecalaveritas?3.¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmerodecalaveritasdela5ªfigura,sincontarlascalaveritasunaauna?

4.Calculaelnúmerodeladrillosluminososdela3ªfigura.

5.¿Tienesnecesidaddedibujarparacalcularlosladrillosluminososdela4ªfigura?6.¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmerodeladrillosluminososdela5ªfigurasincontarlosunoauno?

7.Calculaelnúmerodeladrillosmarronesdela3ªfigura.8.¿Tienesnecesidaddedibujarparacalcularlosladrillosmarronesdela4ªfigura?9.¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmerodeladrillosmarronesdela5ªfigurasincontarlosunoauno?

Página3–Trabajoenequipo10. Analizareltrabajodetuscompañerosparaencontrardiferentesestrategiasquetepermitandecalcularel

númerodecalaveritas,deladrillosluminososydeladrillosmarronesdela6ªfigura.Escribecadaunadelasestrategias.

11. Unaveztienesusestrategias,yquehandecididoquesoncorrectas,calculaconcadaunadelasestrategias

elnúmerodecalaveritas,elnúmerodelos ladrillos luminososyelnúmerodeladrillosmarronesparala


12ªfigura.¿Cuálessuresultadoconcadaestrategiaquehanutilizado?¿Obtienenelmismoresultadoconcadaestrategia?

12. Utiliza la aplicación GeoGebra para verificar si sus estrategias corresponden a los resultados

proporcionadosporlaaplicaciónGeoGebra.Silosresultadosnocorresponden,buscaunaexplicación.

13. Escribe unmensajeescrito dondeexpliquescómopodríacalcularel númerode calaveritas, de ladrillos

luminosos y de ladrillos marrones para cualquier figura de acuerdo a la misma forma como lo hastrabajadoantes.

14. Losmensajessonmuylargos.EscribeelmismomensajesimplificadoindicandoquéoperacionesMarcelo

necesitarealizar.

Página4.Trabajoindividual,autorreflexión(retornoalasituación)

EnMéxicotodomundosepreparaparalafiestadedíademuertos.Enelparquedelacomunidad,eldirectorresponsabledelparquedeciderealizarun“caminodecalaveritas”comolomuestralafoto.Élquisieracolocarcalaveritasatodololargodelcamino,ladrilloverdeluminosoyunacalaveritaparamostrarelcaminodurantelanoche,yladrillosmarronesparaelresto.

Elproblemacomienzacuandoeldirectorquieresaberelprecioparahacerelcamino,ycontarlascalaveritas,losladrillosluminososverdes,ylosladrillosmarrones,paracomprarlos.

Teinvitamosaefectuaruntrabajoindividual,despuésenequipoydiscusióndetodalaclase.Finalmente,unregresoaunareflexiónindividualcomoseráindicadoportuprofesora.

Enseguida, temostramosunmodeloquehahecho lacompañíade ladrillosy también, lapersonaque lohahechopusocalaveritasparamostrardóndeseríancolocadaslascalaveritas.

El director está interesado en calcular el número de ladrillos verdes, el número de ladrillos marrones, elnúmerodecalaveritasdeacuerdoacadafigura.


Temostramosvariasfigurasparaqueveaselmodelorealizadoporelfabricantedeladrillos:

Figura5Figura1Figura21.Calculaelnúmerodecalaveritasdelatercerafigura.2.¿Tienesnecesidaddedibujarlacuartafiguraparacalcularelnúmerodecalaveritas?3.¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmerodecalaveritasdela5ªfigura,sincontarlascalaveritasunaauna?

4.Calculaelnúmerodeladrillosluminososdela3ªfigura.5.¿Tienesnecesidaddedibujarparacalcularlosladrillosluminososdela4ªfigura?6.¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmerodeladrillosluminososdela5ªfigurasincontarlosunoauno?

7.Calculaelnúmerodeladrillosmarronesdela6ªfigura.8.¿Tienesnecesidaddedibujarparacalcularlosladrillosmarronesdela12ªfigura?

9.¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmerodeladrillosmarronesdela5ªfigurasincontarlosunoauno?




Rectángulosycírculos

Página1

Nombredelalumno:_________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: _______________________ _______________________ _______________________Grupo:_____________Fecha:______________

Instrucciones:§ Paralaprimeraactividadindividual,utilizaunaplumaazul.

§ Para el trabajo en equipo, si modificas túrespuesta,utilizaunaplumaroja.

§ Eneltrabajoengrupo,simodificastúrespuestadenuevo,utilizaunaplumaverde.

Rectángulosycírculos

Página2–Situaciónytrabajoindividual

Tenemos una serie de rectángulos y círculos arreglados como lo muestra la figura másabajo.

Teinvitamosaefectuaruntrabajoindividual,despuésenequipo,yengrangrupo.

Finalmente,unregresoaunareflexiónindividualcomoseráindicadaporlaprofesora.Enseguidatemostramoslasdosprimerasfigurasylaquinta.

1. Calculaelnúmeroderectángulosydecírculosdelafigura3.

2. ¿Tienes necesidad de realizar un dibujo para calcular el número de rectángulos y de

círculosdela4ªfigura?3. ¿Puedesencontrarunaestrategiaparacalcularelnúmeroderectángulosycírculosde

la5ªfigura?


Página3–Trabajoenequipo4. Analizar el trabajo de tus compañeros para encontrar diferentes estrategias que tepermitandecalcularelnúmerorectángulosydecírculosdela6ªfigura.Escribecadaunadelasestrategias.

5. Una vez que tengan sus estrategias, y que han decidido que son correctas, calcula concadaunadelasestrategiaselnúmerodecalaveritas,elnúmerodelosladrillosluminososyelnúmeroderectángulosydecírculosdela12ªfigura.¿Cuálessuresultadoconcadaestrategiaquehanutilizado?¿Obtienenelmismoresultadoconcadaestrategia?

6. Ahora, calcula con tus estrategias el número de rectángulos y de círculos para la 13ªfigura.

7. Utiliza la aplicación GeoGebra para verificar si sus estrategias corresponden a losresultados proporcionados por la aplicación GeoGebra. Si los resultados nocorresponden,buscaunaexplicación.

8. Unavezquehayasterminadolaetapaprecedente,proporcionaatuscompañerosunprocedimientoouna fórmulaque lespermitadecalcularelnúmeroderectángulosydecírculosparacualquierfiguradeacuerdoalamismaformacomolohanhechoantes.

Página4–Discusiónengrangrupo

9. Discusióndeloquehanhecho losequiposenlasprimerasetapas. Intentacomprenderlosprocedimientosdetuscompañerosbasadoenlaargumentaciónylavalidación.

Página5–Trabajoindividual,autorreflexión

Un nuevo cuestionario será utilizado por cada alumnopara trabajar en casa. Se trata dereconstruirlosresultadosquepermitanderesolverlaactividad.


Númerostriangulares

Página1Nombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Grupo:_____________Fecha:________________

Instrucciones:§ Paralaprimeraactividadindividual,utilizaunaplumaazul.

§ Para el trabajo en equipo, simodificas tu respuesta, utiliza unaplumaroja.

§ En el trabajo en grupo, si modificastu respuesta de nuevo, utiliza unaplumaverde.

Númerostriangulares

Página2–SituaciónytrabajoindividualHacemucho,mucho tiempo (hacia elaño520antesdeCristo), unmatemático llamadoPitágorasfundó una escuela en una isla de la Grecia antigua. Sus alumnos y él estaban fascinados por losnúmeros y la geometría. Uno de sus descubrimientos consistía en representar los números porfigurasgeométricas.Porejemplo,ellossepercataronqueciertosnúmerospodíanserrepresentadosentriángulo.Ellosdiríanque1,3,?,?y10sonlosprimerosnúmerostriangularesyaquesepuedenrepresentarporpuntoscolocadosenformadetriángulos,comosemuestraenseguida.

? ?

Triangular

1

Triangular

2

Triangular? Triangular? Triangular5

Primeraactividad(Trabajoindividualyluegoenequipo)

10. Observabienesosnúmeros.¿Cuálesel3ernúmerotriangular?Represéntalo.Explicalamaneracomolohasrealizado.

11. ¿Tepuedesimaginarel4ºnúmerotriangularsinrealizarundibujo?


Página3–Trabajoenequipo12. De acuerdo a tu opinión, ¿cómo están construidos esos números triangulares? ¿Quéobservas?

13. ¿Cuálesel11ºnúmerotriangular?Explicacómopuedeshacerloparaencontrarlo.

14. TudebesescribirunmensajeCORTOaunamigoparadescribirlecómorealizarloscálculosparaeltriangular83.Describeloqueleescribirías.NOTIENESNECECIDADDEREALIZARLOSCALCULOS.

15. Yparacalcularcualquiernúmero triangular,cómoseharía (sequisieraotravezaquíotromensajeCORTO).

Página4(trabajoindividual)16. Segundaactividad

Utiliza lasmismas ideas que has encontrado antes, pero esta vez, en un ambiente de tecnología(EXCEL).VerlafiguraenExcel.

¿Quéharíasparaencontrarel6o,7oy8onúmerostriangulares?Teesposiblecalcular:

Elnúmerotriangular30:______________________________

Elnúmerotriangular83:_______________________________

Elnúmerotriangular120:_____________________________

¿Cómolohasrealizado?

17. ¿Cuálessonlaslimitacionesylasposibilidadesdeestaformadeproceder?

18. Proporcionalasoperacionesparacalcularcualquiernúmerotriangular.


Página5(Trabajoenequipo)10)Terceraactividad(enequipo)Utiliza la aplicación GeoGebra para esta tercera actividad. Solamente tienes que seleccionar elnúmerotriangularquedeseasylaaplicacióntemostraráelresultado.

a)Enseguidamostramoslosprimeroscinconúmerostriangulares:

Triangular

1Triangular

2Triangular? Triangular? Triangular5

Encuentrauna fórmulapara calcular el valornuméricodecualquiernúmero triangular.TúpuedesutilizarlaaplicaciónPolyparaayudarteaencontrarlafórmula.

PROCEDIMIENTO(OPERACIONES)

Escribelareglaofórmulaquehasencontrado:


Página6(Trabajoenequipo)11)Utilizandoturesultado,calculalossiguientesnúmerostriangulares.

Posición ValorcorrespondienteTriangular10

Triangular20

Contufórmula,¿puedescalcularelnúmerotriangular120?

Triangular120=_____________


El profesor o profesora efectúa un análisis de la producción de los alumnos, acentuando losprocesosdeevolucióndelasrepresentacionesespontáneasdelosalumnosysuacercamientoensusprocesosaritméticosoalgebraicos.Enfin,elprofesorolaprofesoraproporcionaalosestudianteslos procesos aritméticos y algebraicos en tanto que procesos de generalización basados en losprocesosnuméricosde los alumnosy llegandoauna expresión algebraicaquepermita el cálculodirecto.

25

1 L’ENSEIGNEMENTDESMATHÉMATIQUESDANSUNMILIEUSOCIOCULTURELETTECHNOLOGIQUE

ChapîtrethéoriqueversionenEspagnolseulement

FernandoHitt4,SamanthaQuirozRivera5Activitésdéveloppéesenlienaveccechapitredansd’autresétudespar:FernandoHitt1,SamanthaQuirozRivera2,MireilleSaboya1,ÁlvaroBustosRubilar6,ZitaAntun1.

LERESTAURANTDEMARCEL

Page1LerestaurantdeMarcel

Nomdel’élève:_____________________Nomsdesmembresdel’équipe: _________________________

_________________________

_________________________

Groupe:_____________Date:________________

Directives:§ Pour ce premier travail individuel, utilise un stylo àl’encrenoireoubleue.

§ Pour le travail d’équipe, si tu modifies ta réponse,utiliseunstyloàl’encrerouge.

§ Aprèslebilanaveclaclasse,situmodifiestaréponseànouveau,utiliseunstyloàl’encreverte.

Lespersonnesetlestables

Page2-Miseensituation(Travailindividuel)

Marcel, le propriétaired’un restaurant, disposede tables simplesdans son restaurantqu’il placel’une à côté de l’autre pour pouvoir placer ses clients lorsqu’ils arrivent. Il dispose ainsi dedifférentestablesdetoutessortesdegrandeurs:desgrandes,despetites,desmoyennes…toujoursdisposéesdelamêmefaçon.

4DépartementdesMathématiques,UniversitéduQuébecàMontréal5FacultaddeCienciasFísicoMatemáticas,UniversidadAutónomadeCoahuila.6 Universidad de Valparaíso. Chile.


Marcel aimerait bien ne pas avoir à compter à chaque fois les clients qui arrivent pour déciderautourdequelletableil lesplace.Marcelabesoindetonaide.Ilaimeraittrouverunemanièredecalculer vite le nombre de clients qu’on peut asseoir autour d’une table, et ce, quelque soit lagrandeurdelatableetsanscompteruneàunelespersonnes.1. Quelestlenombredepersonnesquel’onpeutasseoirautourde3petitestables?2. Sioncherchelenombredepersonnespour4petitestables,avez-vousbesoind’undessinpourlestrouverouvoyez-vousunefaçonrapidedeprocéder?

3. Etpour15petitestables,pouvez-voustrouverunestratégiepourcalculerrapidementlenombredepersonnesquel’onpeutasseoirsansavoiràlescompteruneàuneetsansavoiràlesdessiner?

Page3-Travailenéquipe4. Enéquipe,discutezdesstratégiesquevousaveztrouvéprécédemmentpourcalculerlenombre

de personnes que l’onpeut asseoir si on a 15petites tables. Procédez-vous tous de lamêmefaçon?Trouvezaumoins2stratégiespourcalculerlenombredepersonnespour15tables.

5. Une fois que vous avez écrit les différentes stratégies et que vous avez décidé qu'elles sontcorrectes,utilisezchacunedecesstratégiespourcalculerlenombredepersonnesquel’onpeutasseoirautourde21tablesetde54tables.

Page4-Travailenéquipe

6. L'applicationGeoGebravousdonnelenombredepersonnesquel’onpeutasseoirpourn’importequellegrandeurdetable.Vouspouvezl’utiliserpourvérifiervotretravailen5.


7. ÉcrivezunmessageenmotsàMarcelquiluipermetdecalculerlenombredepersonnesquel’onpeutasseoirautourd’unetableetce,pourn’importequelletable.

Suite:Discussionengrandgroupe(commentairepourl’enseignant(e))Discussion de ce qui a été fait dans les premiers stades et recherche d'un consensus basé surl'argumentationetlavalidation.Écrireautableaulesdifférentesstratégiesressorties,commencersipossibleparcellesquisonterronéespourquelesélèveslesvalidentengrandgroupe.Touteslesproductionsdesélèvessontcollectées.Page5-Travailindividuel,autoréflexion–LefaireenclasseMarcel, le propriétaired’un restaurant, disposede tables simplesdans son restaurantqu’il placel’une à côté de l’autre pour pouvoir placer ses clients lorsqu’ils arrivent. Il dispose ainsi dedifférentestablesdetoutessortesdegrandeurs:desgrandes,despetites,desmoyennes…toujoursdisposéesdelamêmefaçon.

Marcel aimerait bien ne pas avoir à compter à chaque fois les clients qui arrivent pour déciderautourdequelletableil lesplace.Marcelabesoindetonaide.Ilaimeraittrouverunemanièredecalculer vite le nombre de clients qu’on peut asseoir autour d’une table, et ce, quelque soit lagrandeurdelatableetsanscompteruneàunelespersonnes.Remettrelamiseencontexte(restaurant).Répondssanstechnologie.

1) Calculerlenombredepersonnesquel’onpeutasseoirautourde4petitestables.Explicitelaoulesstratégie(s)quetuasutilisée(s).

2) Calculerlenombredepersonnesquel’onpeutasseoirautourde15petitestables.Explicitelaoulesstratégie(s)quetuasutilisée(s).


3) Calculer le nombre de personnes que l’on peut asseoir autour de 21 et de 54 petites tables.Explicitelaoulesstratégie(s)quetuasutilisée(s).

4) Calculer le nombre de personnes que l’on peut asseoir autour de n’importe que nombre depetitestables.Explicitelaoulesstratégie(s)quetuasutilisée(s).

Remarque. Une fois que les élèves ont répondu, l’enseignant(e) ramasse les copies. Ne pas leslaisserauxélèvespendantl’institutionnalisationpourqu’ilsn’écriventpassurleurfeuille(onveutvoircequ’ilssontcapablesdefairedefaçonindividuelleaprèsavoirvécul’activité).

Suite-Processusd’institutionnalisationmenéparl’enseignant(e)L'enseignant effectue une analyse des productions des élèves, mettant l'accent sur le processusd'évolutiondesreprésentationsspontanéesdesélèvesetleurapprochedesprocessusalgébriques.Enfin,ilfournitauxétudiantsleprocessusalgébriqueentantqueprocessusdegénéralisationbasésurlesprocessusnumériquesdesétudiantsetenarrivantàuneexpressionalgébriquequipermetlecalculdirect.IciSamantha(lemêmejourquel’autoréflexion)faitunesynthèsedecequiestressorti,ellereprendcequiaétéfait.


Activitésurlabijoutière«ElDorado»

Page1Bijoutière«ElDorado»

Nomdel’élève:____________________________Nomsdesmembresdel’équipe: ___________________________

___________________________

___________________________

Groupe:_____________Date:________________

Directives:§ Pourcepremiertravailindividuel,utiliseunstyloàl’encrenoireoubleue.

§ Pourletravaild’équipe,situmodifiestaréponse,utiliseunstyloàl’encrerouge.

§ Après le bilan avec la classe, si tu modifies taréponseànouveau,utiliseunstyloàl’encreverte.

Bijouterie«ElDorado»

Page2(Travailindividuel)

Dans la bijouterie duMile-end appelée «El Dorado», Mme Saboya fabrique des chaînes en or àmaillesdeformetriangulairecommecelle-ci:

Elle fait des bracelets de différentes longueurs de chaîne. Mme Saboya achète les tiges d’or parpièce.Ellevoudraittrouver lenombrede tigesdontelleabesoinsansêtreobligédecompter lestigescommeça,uneparune.VousdevezenvoyerunmessageàMmeSaboyadanslequelvousallezlui expliquer comment elle pourrait faire pour trouver combien de tiges elle a besoin selon lenombredemaillesdésiréssansêtreobligédelescompteruneparune.

Nousvousmontronslesdeuxpremièresfiguresetla5e.

??

1) Calculerlenombredetigespourla3echaîne.2) Avez-vousbesoind’undessinpourcalculerlenombredetigespourla4echaîne?3) Pouvez-vous trouver une stratégie pour calculer le nombre de tiges pour la 5e chaîne, sanscompteruneàunechaquetige?


Page3(Travailenéquipe)4) Analyserletravaildevoscollèguespourtrouverdifférentesstratégiesquivouspermettentde

calculerlenombredetigesdela6echaîne.Écrivezchacunedesstratégies.

5) Unefoisquevousavezvosstratégies,etvousavezdécidéqu'ellessontcorrectes,calculezavecchacuned'ellesla12echaîne.Quelestvotrerésultatavecchacunedesstratégiesquevousavezutilisées?Est-cequechacunedesstratégiesvousadonnélemêmerésultat?

6) Utilisez l'application GeoGebra pour vérifier si vos stratégies correspondent aux résultatsfournis par l'application GeoGebra. Si les résultats ne correspondent pas, recherchez uneexplication.

7) Une fois que vous avez terminé l'étape précédente, fournissez aux autres collègues uneprocédureouuneformulequivouspermetdecalculerlenombredetigesden’importequellechaîne.

Page4(Discussionengrandgroupe)Discussiondecequiaétéfaitdanslespremiersétapes.Essayezdecomprendlesprocéduresdevoscompagnonsbasésurl'argumentationetlavalidation.Page5(Travailindividuel,autoréflexion)

Dans la bijouterie duMile-end appelée «El Dorado»,Mme Saboya fabrique des chaînes en or àmaillesdeformetriangulairecommecelle-ci:


Elle fait des bracelets de différentes longueurs de chaîne. Mme Saboya achète les tiges d’or parpièce.Ellevoudrait trouver lenombrede tigesdontelleabesoinsansêtreobligédecompter lestigescommeça,uneparune.VousdevezenvoyerunmessageàMmeSaboyadanslequelvousallezlui expliquer comment elle pourrait faire pour trouver combien de tiges elle a besoin selon lenombredemaillesdésiréessansêtreobligédelescompteruneparune.


1) Calculerlenombredetigespourla4echaîne.Explique.2) Calculerlenombredetigespourla15echaîne.Explique.3) Calculerlenombredetigespourla21echaîneetpourla54echaîne.Explique.4) Fournissezauxautrescollèguesuneprocédureouune formulequivouspermetdecalculer lenombredetigesden’importequellechaîne.

Page6(Processusd’institutionnalisationmenéparl’enseignant(e))L'enseignant(e) effectue une analyse de la production des étudiants, mettant l'accent sur leprocessus d'évolution des représentations spontanées des élèves et leur approche des processusalgébriques. Enfin, il fournit aux étudiants le processus algébrique en tant que processus degénéralisation basé sur les processus numériques des étudiants et en arrivant à une expressionalgébriquequipermetlecalculdirect.


Activitésurlecarrébordé

Page1LecarrébordéNomdel’élève:_____________________________Nomsdesmembresdel’équipe: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Groupe:_____________Date:________________

Directives:§ Pourcepremiertravailindividuel,utiliseunstyloà

l’encrenoireoubleue.§ Pour le travaild’équipe,si tumodifies taréponse,

utiliseunstyloàl’encrerouge.§ Après le bilan avec la classe, si tu modifies ta

réponseànouveau,utiliseunstyloàl’encreverte.Lecarrébordé

Page2(Travailindividuel)

Unfournisseurdeplancherencéramiquevenddescarrésd'unecouleuretsuggèrequ'unmotifagréablec’estceluideplacerdecarrésd’unautrecouleursurlabordure.Pourchaquefigurequel’onpeutfaireaveclescarrés(voirexempleplusbas),lefournisseurvoudraitlesplacerdansunecaseavecleprix.Chaquecarrédecéramiqueàl'intérieurestactuellementde2$,etchaquecarréenbordureestde3$.Commentpouvez-vousaideraufournisseur?Vousêtesinvitéàeffectueruntravailindividuel,puisenéquipeetaprèsengrandgroupe.Finalementunretouràuneréflexionindividuellecommeseraindiquéparl’enseignant.Ensuite,nousvousmontronsunesériedecarrés,etnoussommes intéressésàcalculerlenombredecarrésautourducarrécentral.


?

?

Calculerlenombredecarrésautourducarrécentraldela3efigure.1) Avez-vousbesoind’undessinpourcalculerlescarrésautourducarrécentraldela4efigure?2) Pouvez-voustrouverunestratégiepourcalculerlenombredecarrésautourducarrécentraldela5efigure,sanscompterlescarrésautourdechacund'unparun?


Page3(Travailenéquipe)4) Analyserletravaildevoscollèguespourtrouverdifférentesstratégiesquivouspermettentdecalculerle

nombredecarrésdu6efigure.Écrivezchacunedesstratégies.5) Unefoisquevousavezvosstratégies,etvousavezdécidéqu'ellessontcorrectes,calculezavecchacune

d'elles le12efigure.Quelestvotrerésultatavecchacunedesstratégiesquevousavezutilisées?Est-cequechacunedesstratégiesvousadonnélemêmerésultat?

6) Utilisez l'applicationGeoGebra pour vérifier si vos stratégies correspondent aux résultats fournis parl'application.Silesrésultatsnecorrespondentpas,recherchezuneexplication.

7) Une fois que vous avez terminé l'étape précédente, fournissez aux autres collègues uneprocédureouuneformulequivouspermetdecalculerlenombredecarrésautourden’importequellefigureaveclamêmeformeavanttravaillé.

Page4(Discussionengrandgroupe)Discussion de ce qui a été fait dans les premiers étapes. Essayez de comprend les procédures de voscompagnonsbasésurl'argumentationetlavalidation.Page5(Travailindividuel,autoréflexion)Unnouveauquestionnaireestutiliséparchaqueélèvepourtravailleràlamaison.Ils’agitdereconstruirelesrésultatsquipermettentderésoudrel’activité.

Page6(Processusd’institutionnalisationmenéparl’enseignant(e))L'enseignant(e) effectue une analyse de la production des étudiants, mettant l'accent sur le processusd'évolutiondes représentationsspontanéesdesélèveset leurapprochedesprocessusalgébriques.Enfin, ilfournitauxétudiantsleprocessusalgébriqueentantqueprocessusdegénéralisationbasésurlesprocessusnumériquesdesétudiantsetenarrivantàuneexpressionalgébriquequipermetlecalculdirect.


Activitésurlesrectanglesetlescercles

Page1Rectanglesetlescercles

Nomdel’élève:________________________Nomsdesmembresdel’équipe: _____________________

_____________________

_____________________

Groupe:_____________Date:________________

Directives:§ Pour ce premier travail individuel, utilise un stylo àl’encrenoireoubleue.

§ Pourletravaild’équipe,situmodifiestaréponse,utiliseunstyloàl’encrerouge.

§ Aprèslebilanaveclaclasse,situmodifiestaréponseànouveau,utiliseunstyloàl’encreverte.

Lesrectanglesetlescercles

Page2(Travailindividuel)Nousavonsunesériederectanglesetcerclesarrangéscommelemontrelesfiguresplusbas…Tu-estinvitéàeffectueruntravailindividuel,puisenéquipeetaprèsengrandgroupe.Finalementunretouràuneréflexionindividuellecommeseraindiquéparl’enseignant.Ensuite,nousvousmontronsunesériederectanglesetcercles,etnoussommesintéressésàcalculerlenombrederectanglesetcerclespourchaquefigure.


1) Calculerlenombrederectanglesetdecerclesdela3efigure.2) As-tubesoind’undessinpourcalculerlesrectanglesetlescerclesla4efigure?3) Peux-tutrouverunestratégiepourcalculerlenombrederectanglesetcerclesdela5efigure,sanscompterlesrectanglesnilescerclesunàun?

Page3(Travailenéquipe)4) Analyserletravaildetescompagnonspourtrouverdifférentesstratégiesquitepermettantdecalculerlenombrederectanglesetdecerclesdela6efigure.Écrivechacunedesstratégies.

5) Unefoisquevousavezvosstratégies,etquevousavezdécidéqu'ellessontcorrectes,calculez


avec chacuned'elles lenombrede rectangles et de cerclespour la12e figure.Quel est votrerésultatavecchacunedesstratégiesquevousavezutilisées?Est-cequechacunedesstratégiesvousadonnélemêmerésultat?

6) Maintenantcalculezavecvosstratégieslenombrederectanglesetdecerclespourla13efigure.7) Utilisez l'application GeoGebra pour vérifier si vos stratégies correspondent aux résultatsfournis par l'application GeoGebra. Si les résultats ne correspondent pas, recherchez uneexplication.

8) Unefoisquetuasterminél'étapeprécédente,fournisàtescompagnonsuneprocédureouuneformule qui vous permet de calculer le nombre de rectangles ou de cercles pour n’importequellefigureaveclamêmeformeavanttravaillé.

Page4(Discussionengrandgroupe)

Discussiondecequiaétéfaitdanslespremiersétapes.Essayedecomprendlesprocéduresdetescompagnonsbasésurl'argumentationetlavalidation.

Page5(Travailindividuel,autoréflexion)

Un nouveau questionnaire est utilisé par chaque élève pour travailler à la maison. Il s’agit dereconstruirelesrésultatsquipermettentderésoudrel’activité.

Page6(Processusd’institutionnalisationmenéparl’enseignant(e))

L'enseignant(e) effectue une analyse de la production des étudiants, mettant l'accent sur leprocessus d'évolution des représentations spontanées des élèves et leur approche des processusalgébriques. Enfin, il fournit aux étudiants le processus algébrique en tant que processus degénéralisation basé sur les processus numériques des étudiants et en arrivant à une expressionalgébriquequipermetlecalculdirect.


Activitésurlesrectanglesetlescercles

Page1Nomdel’élève:_____________________________Nomsdesmembresdel’équipe: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Groupe:_____________Date:________________

Directives:§ Pourcepremier travail individuel,utiliseunstyloà

l’encrenoireoubleue.§ Pour le travail d’équipe, si tu modifies ta réponse,

utiliseunstyloàl’encrerouge.§ Aprèslebilanaveclaclasse,situmodifiestaréponse

ànouveau,utiliseunstyloàl’encreverte.ChemindansleJardinbotanique

Page2(Travailindividuel)LaVilledeMontréalsepreparepoursonspectacle«Jardinsdelumière»auJardinBotanique.LedirecteurresponsableduJardinBotaniqueadécidédefairele«Chemindecitrouilles»commelemontrelaphoto.Ilveutmettredecitrouillestoutaulongduchemin,dedallesverteslumineusespourmontrerlecheminpendantlanuit,etdedallesmarronnespourlereste.

Leproblèmecommencequandledirecteurveutsavoirleprixpourfairecechemin,etfaireuncomptagedesdalleslumineuses,dedallesmarronnesetdecitrouilles,pourlesacheter.Tu-estinvitéàeffectueruntravailindividuel,puisenéquipeetaprèsengrandgroupe.Finalementunretouràuneréflexionindividuellecommeseraindiquéparl’enseignante.Ensuite,noustemontronsunmodèlequiafaitlacompagniededallesetaussilapersonnequil’afaiteamisdecerclespourmontreroùdevraientêtreplacéslescitrouilles.Ledirecteurestintéresséàcalculerlenombrededallesvertes,lenombrededallesmarronnes,lenombredecitrouillesenaccordàchaquefigure.Noustemontronslesdeuxpremièresfiguresetla5e.


??

1) Calculerlenombredecitrouillesdela3efigure.2) As-tubesoind’undessinpourcalculerlescitrouillesdela4efigure?3) Peux-tu trouver une stratégie pour calculer le nombre de citrouilles de la 5e figure, sanscompterlescitrouillesuneàune?

4) Calculerlenombrededalleslumineusesdela3efigure.5) As-tubesoind’undessinpourcalculerlesdalleslumineusesdela4efigure?6) Peux-tutrouverunestratégiepourcalculerlenombrededalleslumineusesdela5efigure,sanscompterlesdallesuneàune?

7) Calculerlenombrededallesmarronnesdela3efigure.8) As-tubesoind’undessinpourcalculerlesdallesmarronnesdela4efigure?9) Peux-tutrouverunestratégiepourcalculerlenombrededallesmarronnesdela5efigure,sanscompterlesdallesuneàune?

Page3(Travailenéquipe)10) Analyserletravaildetescompagnonspourtrouverdifférentesstratégiesquitepermettantdecalculer

lenombredecitrouilles,dedalleslumineusesetdedallesmarronnesdela6efigure.Écrivechacunedesstratégies.

11) Une foisque vousavez vos stratégies,et que vous avez décidéqu'elles sont correctes, calculezavec

chacuned'elleslenombredecitrouilles,dedalleslumineusesetdedallesmarronnespourla12efigure.Quel est votre résultat avec chacunedes stratégies que vous avez utilisées? Est-ce que chacunedesstratégiesvousadonnélemêmerésultat?

12) Utilisezl'applicationGeoGebrapourvérifiersivosstratégiescorrespondentauxrésultatsfournispar

l'applicationGeoGebra.Silesrésultatsnecorrespondentpas,recherchezuneexplication.

13) Unefoisquetuasterminél'étapeprécédente,fournisàtescompagnonsuneprocédureouuneformulequivouspermetdecalculerlenombredecitrouilles,dedalleslumineusesetdedallesmarronnespourn’importequellefigureenaccordàlamêmeformeavanttravaillé.


Page4(Discussionengrandgroupe)

Discussion de ce qui a été fait dans les premiers étapes. Essaye de comprend les procédures de tescompagnonsbasésurl'argumentationetlavalidation.Page5(Travailindividuel,autoréflexion)

Unnouveauquestionnaireestutiliséparchaqueélèvepourtravailleràlamaison.Ils’agitdereconstruirelesrésultatsquipermettentderésoudrel’activité.

Ajouter laquestion:Si ledirecteurveutcalculer letotaldedallespourchaquefigure,peux-tucalculersanscompterlenombretotaldedallespourchaquefigure?

Page6(Processusd’institutionnalisationmenéparl’enseignant(e))

L'enseignant(e) effectue une analyse de la production des étudiants, mettant l'accent sur le processusd'évolutiondes représentationsspontanéesdesélèveset leurapprochedesprocessusalgébriques.Enfin, ilfournitauxétudiantsleprocessusalgébriqueentantqueprocessusdegénéralisationbasésurlesprocessusnumériquesdesétudiantsetenarrivantàuneexpressionalgébriquequipermetlecalculdirect.


Activitésurlesnombrestriangulaires

Page1Nomdel’élève:

_____________________________Nomsdesmembresdel’équipe: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Groupe:_____________Date:________________

Directives:§ Pourcepremiertravailindividuel,utiliseunstyloà

encrenoireoubleue.§ Pour le travaild’équipe,si tumodifies taréponse,

utiliseunstyloàencrerouge.§ Après le bilan avec la classe, si tu modifies ta

réponseànouveau,utiliseunstyloàencreverte.

Page2

Ilyatrèstrèstrèslongtemps(versl’an520avantJC),unmathématiciendunomdePythagorefondauneécoledans une île dans la Grèce antique. Ses élèves et lui étaient fascinés à la fois par les nombres et par lagéométrie.Unede leur découverte consistaità représenter les nombres par des figures géométriques. Parexemple,ilss’aperçurentquecertainsnombrespouvaientêtrereprésentéspardestriangles.Ilsdirontque1,3, 6 et 10 sont les quatre premiers nombres triangulaires parce qu’on peut les représenter par des pointsdisposésentrianglescommeci-dessous:

Premièreactivité(d’abordindividuelpuisenéquipe)1) Observebiencesnombres.Quelestlecinquièmenombretriangulaire?Représente-le.Expliquelafaçon

donttuasprocédé.

Page3

2)D’aprèstoicommentsontconstruitscesnombrestriangulaires?Qu’observes-tu?3) Quelestle11ièmenombretriangulaire?Expliquecommenttufaispourletrouver.

4)TudoisécrireuncourrielCOURTàunamipour luidécrirecommentprocéderpourcalculer lenombretriangulaire83.Décriscequetuluiécrirais.TUN’ASPASÀFAIRELESCALCULS!


Page4

5)Etpourcalculern’importequelnombre triangulaire, comment ferait-on (onveutencore iciunmessageCOURT).

Page5

Deuxièmeactivité(enéquipe)Utilise les mêmes idées que tu as trouvées précédemment, mais cette fois-ci dans un environnementtechnologique(EXCEL).Voicicequetudoistrouver:

Quefais-tupourtrouverle6ième,7ièmeet8ièmenombrestriangulaires?Est-ilpossibledecalculer:

lenombretriangulaire30:______________________________

lenombretriangulaire83:_______________________________

lenombretriangulaire120:_____________________________

Commentas-tuprocédé?

Quellessontleslimitationsetlespossibilitésdecettefaçondeprocéder?

Page6

Donnelesopérationsàfairepourcalculern’importequelnombretriangulaire.

Page7

Troisièmeactivité(enéquipe)Utilise l’applet des nombres polygonaux pour cette troisième activité. Tu as juste utiliser les barres dedéfilementpourvisualiserchaquenombrepolygonauxdésiréetGeoGebravalegénérer(voirfigure).

a)Voicilescinqpremiersnombrestriangulaires.


Trouveuneformulepourcalculerlavaleurnumériqueden’importequelnombretriangulaire.TupeuxutiliserlelogicielPolypourt’aideràtrouverlaformule.

DÉMARCHE(OPÉRATIONS,DESSINS,…)

Écrislarègleouformulequetuastrouvée:

Page8

Enutilisanttonrésultat,calculelessuivantesnombrestriangulaires.

Position ValeurcorrespondanteTriangulaire10

Triangulaire20

Avectaformule,peux-tucalculerlenombretriangulaire120?

Triangulaire120=_____________

43

2 DISTINCIÓNENTREEJERCICIO,PROBLEMAYSITUACIÓNPROBLEMAENUNMEDIOTECNOLÓGICOYEJEMPLOSENDIFERENTESNIVELESEDUCATIVOS

Actividadescapítulo2:guíaparaelprofesor

JoséLuisSotoMunguía7,FernandoHitt8,SamanthaQuirozRivera9Lavisualizaciónmatemáticaesunahabilidadquesepuededesarrollarenlosalumnos,paramayorprecisión,vercapítulo6:Distinciónentreejercicio,problemaysituaciónproblemaenunmediotecnológicoyejemplosendiferentesniveleseducativos,endondesediscutenlos trabajos de investigación de Krutetski 1976, Presmeg, Eisenberg & Dreyfus 1991,Zimmerman & Cunninham 1991, entre otros. Es por ello que es importante proponeractividadesenacordeaestahabilidad,comolohapropuestoelpropioKrutetski.A continuación se presentan algunas actividades que van da acuerdo a lo señalado en elcapítulo6dellibro:Investigacionesteóricoprácticassobrelamodelaciónmatemáticaenunmediotecnológico.

Actividadenlápizypapel

Page1CálculodeladistanciaentreloscentrosdedoscírculosparticularesNombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Grupo:_____________Fecha:________________



§ Eneltrabajoengrupo,simodificasturespuestadenuevo,utilizaunaplumaverde.CálculodeladistanciaentreOyO’

7 Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora. 8 Département des Mathématiques, Université du Québec à Montréal. 9 Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Coahuila.

44 Actividadesdelcapítulo2.Distinciónentreejercicio,problemaysituaciónproblemaenunmediotecnológicoyejemplosendiferentesniveleseducativos

Página2Situaciónyreflexiónindividual

Seconsideraeldiagramasiguiente,enelcuallasdosfigurassombreadastienenlamismaárea.SesolicitaencontrarelvalordeladistanciaentreelcentrodelcírculoOyelcentrodelcírculoO’.

Página3TrabajoenequipoDiscutecontuscompañerosdeequipolasdiferentesestrategiasutilizadasyverificaquehanobtenidoelmismoresultado.Si no han obtenido el mismo resultado, discutir sobre los posibles errores cometidos,hastallegaraunconsenso.

Página4TrabajoengrangrupoLos alumnos presentan sus resultados y los validan ellos mismos, hasta llegar a unconsensodelresultadoy/odemostración.

El profesor proporciona la respuesta correcta, realizando un proceso visual como elseñalado en el capítulo (ver figura más abajo) y proporcionando el proceso numéricoasociadoalvisual.

Áreadelrectánguloigualadosveceseláreadelacuartapartedelcírculounitario,porlotanto,áreaigual2(p/4)=p��Dadoqueelladodelrectángulomide1,�ladistanciasolicitadaesp/2.Actividadenlápiz,papel,regla,tijerasytecnologíaNuevamenteenunprocesodevisualizaciónmatemática,Polyapropusósuproblemaquetienevariassoluciones.Nosotrossolamentehemosmostradouna.


Page1DividireláreadeunacruzentrespartesparaformarunrectánguloNombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: _____________________________

_____________________________

_____________________________

Grupo:_____________Fecha:________________



§ Eneltrabajoengrupo,simodificasturespuestadenuevo,utilizaunaplumaverde.

Dividirlacruzparaformarunrectángulo


Exclusivamentecondoscortessedebecortar lacruzquesepresentaacontinuacióndemaneraqueseobtengandoscuadradosdeáreaigualquepuedanformarunrectánguloalunirse.

Página3TrabajoenequipoDiscutecontuscompañerosdeequipolasdiferentesestrategiasutilizadasyverificaquehanobtenidoelmismoresultado.Si no han obtenido el mismo resultado, discutir sobre los posibles errores cometidos,hastallegaraunconsenso.En caso necesario, utiliza el archivoGeoGebra que acompaña la actividad, para que lespermitasimularcortesparavisualizaralgunaestrategia.

Página4TrabajoengrangrupoLos alumnos presentan sus resultados y los validan ellos mismos, hasta llegar a unconsensodelresultadoy/odemostración.En caso necesario, permitirles a los expositores de utilizar el archivo GeoGebra que


acompaña laactividad,paraque lespermita simular cortesparavisualizar la estrategiasugeridaporlosequipos.


Actividadenlápiz,papel,reglayuntrozocuadradodepapel.

Page1Doblezdeuntrozodepapel(parte1)Nombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: ____________________________

____________________________

____________________________

Grupo:_____________Fecha:________________




Doblezdeuntrozodepapelcuadrado


Página2SituaciónyreflexiónindividualUntrozocuadradodepapelABCDesblancoporenfrenteyobscuroporelreverso,tieneunáreade20cm2.LaesquinaDesdobladasobreelpuntoA´quepermanecesobreladiagonalAC,detalmodoqueeláreavisibletotales½decolorblancoy½decolornegro.¿AquédistanciaestáA´delalíneadeldoblez?

Página3TrabajoenequipoDiscutecontuscompañerosdeequipolasdiferentesestrategiasutilizadasyverificaquehanobtenidoelmismoresultado.

Si no han obtenido el mismo resultado, discutir sobre los posibles errores cometidos,hastallegaraunconsenso.

Página4TrabajoengrangrupoLos alumnos presentan sus resultados y los validan ellos mismos, hasta llegar a unconsensodelresultadoy/odemostración.


Sea𝑥 = 𝐷𝐺%%%%.Eláreadel triángulo∆FDG(rectángulo isósceles)esunterciode400cm2.O

sea &'()×',-./'0

= 12

0= 344

5. Lo cual implica 𝑥 = 2080

5≅ 16.33 . Debemos calcular la

diagonal del cuadrado construido con el doblez y dividir entre dos.>?'@AB',0

= √12D12

0=

√010≅ 11.55.Respuesta11.55cm.


Actividadenlápiz,papel,regla,unahojadepapeltamañocartaytecnología

Page1DoblezdeunatrozodepapelNombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo: ____________________________

____________________________

____________________________

Grupo:_____________Fecha:________________




Doblezdeunahojadepapel

Página2SituaciónyreflexiónindividualSetomaunahojadepapelysetrazaunadiagonal.Considerandodosextremosopuestos,sedoblalaesquina(digamosA)delahojademaneraqueesaesquinaArecorraladiagonalAC(ver Figura) y de que el área de la superficie del triángulo formado al doblar el papel(superficie obscura), sea igual al área del hexágono irregular (superficie más clara)formadounavezrealizadoeldoblez.¿AquédistanciadelalíneadeldoblezseencuentraelpuntoAcuandolaigualdadsehaalcanzado?¿Cuáleseláreadeltriánguloquedeberáserigualaláreadelhexágonoirregular?


a) Esconvenientelaconstruccióndeunaestrategiaparaatacarelproblema.b) El uso de una hoja de papel es un buen comienzo para iniciar la modelación de la


situación.c) Utiliceunanotaciónadecuadaquelepermitamodelarlasituación.

Página4Situaciónydiscusiónenequipod) ¿Sehallegadoaunaestrategiaadecuadaenladiscusiónenequipo?e) ¿Esposiblemodelarlasituación?f) ¿Seríaconvenienteelusodetecnologíaquepudieraproporcionarmásinformaciónparalaposiblesolucióndelproblema?(porejemploelusodeGeoGebra)

Página5Situaciónydiscusiónenequipoyenseguidaengrangrupo

a) Sisehubierallegadoaunasolucióndesdeunpuntodevistavisualcontecnología,¿seríaposibleencontrarunajustificaciónalgebraica?Unavezllegadoaunconsensoenelaula,elprofesorrecogetodolorealizadoporlos

alumnosysolicitaquerehaganlaactividadcomounprocesodeautorreflexión(individual)solicitandoalestudiantelareproduccióndelosresultadosencontradosenladiscusiónengrangrupo.

Posterior a esta etapa, el profesor puede proporcionar una demostración delresultado(consultararchivocorrespondiente),tomandoenconsideraciónlasproduccionesdelosalumnos.

Eldoblezestáaunadistanciade13,992cmdelapuntaFdelahoja(verfigura).


Laspirámidesfinancieras

�Inicio

Actividad:1(trabajoindividual)

Los fraudes financieros piramidales, conocidos también como Esquemas Ponzi, deben sunombreaunestafadordeascendenciaitaliana,radicadoenBoston,quienseenriquecióen1920, con una compañía de inversiones a costa de la ruina de sus inversionistas. LosEsquemasdePonzitienenunmecanismodefuncionamientomuysencillo:Losprimerosinversionistasobtienenatractivasganancias,graciasalosrecursosaportadospor nuevos clientes, casi siempre convencidos por estos primeros. Para que el sistemafuncioneserequiereentoncesqueexistasiempregentedispuestaainvertir,perollegaunmomentoenelqueyanohaymaneradeconseguirquieninvierta,entonceslaempresasecolapsa.Aunque el truco parece bastante burdo, año con año surgen en todo el mundo nuevasvariantes de los esquemas de Ponzi, estafando a grandes cantidades de ciudadanosincautos.UnodeloscasosmásimpresionantessepresentóenAlbania10en1997,elcolapsode lasempresas financieras fraudulentas,perjudicarona lasdostercerasde lapoblación,provocaronlainsurreccióndelapoblaciónylacaídadelgobiernoenturno. 10 Una descripción más detallada del caso puede verse en: Christopher Jarvis, C. The Rise and Fall of Albania’s Pyramid Schemes. Finance & Development [en línea]. Marzo de 2000, Vol. 37, No. 1. [Fecha de consulta: 18 de octubre de 2018]. Disponible en: http://www.imf.org/external/pubs/ft/fandd/2000/03/pdf/jarvis.pdf.

Material necesario para la secuencia:

1. Unacomputadoraporequipo,conGeoGebrainstalado.


1. Siestásdeacuerdoenqueunafinancierapiramidalcolapsarátardeotemprano,explicacuálserálacausaprincipaldelcolapso:

Desarrollo

Actividad2(trabajoenequipo)

Veremos aquí cómo funcionan las cadenas de inversión financiera y por quéinvariablementeresultanfraudulentas.Paraexplicarelfuncionamientodeestaspirámides,usaremoselejemplohipotéticodeunaempresaquesefundaenlaCiudaddeHermosilloparadedicarseaestenegocio.Unapersona,denombreTimoteoVil,conocidoenelbajomundocomoTimoVil,creauna“empresade inversión”y la titulaDineroGratis.Laempresavendebonosde inversiónde$5000.00conlapromesaderegresaralmeslainversiónconun100%deganancia,esdecir$10000entotal;laúnicacondiciónparapagarlos$10000alinversionista,esqueéstellevealaempresaotroscuatroinversionistas,quecomprentambiénunbonode$5000.00cadauno,sujetosalasmismasreglasdeinversión.SupongamosqueenlaCd.deHermosilloexistenaproximadamente100000personasconladisposiciónylosfondosparainvertirenlaempresaDineroGratis.ComopuedeverseenlaTabla1,laempresainiciaconDonTimoycuatroinversionistasqueaportan5milpesoscadauno.Elmessiguienteestoscuatroinversionistasconsiguenotroscuatrocadauno,esdecir hay40 nuevos inversionistas. Al final del primer mes, los cuatro primeros hancumplidosutrato,porlocualreciben10milpesoscadauno,esdecir4G × 10milesdepesosentre todos, Don Timo en cambio recibe 40 × 5 miles de pesos de los 16 nuevosinversionistas.EnlaTabla1semuestracómoevoluciona,durantelosprimeroscuatromeses,lasituaciónfinancieradeDineroGratis.Mes Personasinvolucradas Ingresosdela

empresaEgresosdelaempresa

GananciasdelaEmpresa

0 1 + 4G = 4G × 5 = 0 1 1 + 4G + 40 = 40 × 5 = 4G × 10 = 2 1 + 4G + 40 + 45 = 45 × 5 = 40 × 10 = 3 1 + 4G + 40 + 45 + 43 = 43 × 5 = 45 × 10 = 4 1 + 4G + 40 + 45 + 43 + 4I = 4I × 5 = 43 × 10 =

Tabla1.Losingresos,egresosygananciasenmilesdepesos

2. Analiza en tu equipo los cálculos indicados en cada columna y expliquen por qué lasindicacionessoncoherentesconelfuncionamientodelaempresa.


EnlaTabla1puedeobservarsequeloscálculosdecadarenglónestánrelacionadosconloscálculosdelrenglónsiguiente.Fijemoslaatenciónparticularmenteenlasegundacolumna,paralacualloscálculospudieransermáslaboriosos,habríaporlomenosdosmanerasderealizarestoscálculos:Método1.Lasseriesdelasegundacolumnasedenominanseriesgeométricasyexisteunafórmulaparacalcularestasuma,hastael(𝑛 + 1) −ésimotérmino.

3. Investigueneninternetlafórmula

1 + 4G + 40 + 45 +⋯+ 4B =__________,(1)

yúsenlapararealizarloscálculosdelacolumna2,solicitados.Método2.Si

𝑆5 = 1 + 4G + 40 + 45 + 43

y𝑆3 = 1 + 4G + 40 + 45 + 43 + 4I,

entonceslarelaciónmássimpleentre𝑆5y𝑆3,puedeescribirsecomo:

𝑆3 = 𝑆5 + 4I, (2)

aunquetambiénlarelaciónpodríaestablecersecomo:𝑆3 = 1 + 4(1 + 4G + 40 + 45 + 43) = 1 + 4𝑆5 (3)

Estaúltimarelaciónparecemáscomplicadaque(2),perotienelaventajadequepuedeserautomatizadafácilmenteenunSistemadeCálculoSimbólico(CASporsussiglasenInglés).Enlavista“CálculoSimbólico”deGeoGebra,porejemplo,capturamosendosrenglones:

Enelprimerrenglónhemosdefinidolafunciónf(x):=4x+1,comoloharíamosconcualquierfunción, excepto porque usamos el símbolo “:=” (que significa sustitución), en lugar delsigno “=”, pero en el segundo renglón el comando “ListaIteración( <Función>, <Valorinicial>,<Númerodeiteraciones>)”,paracapturarelrenglón“ListaIteración(f,5,3)”loqueindicaalCASque tomeel valor inicial𝑥 = 5, y luego itere los cálculos3veces,GeoGebraharálossiguientescuatrocálculos:

𝑥 = 5


𝑓(5) = 4(5) + 1 = 21

𝑓(21) = 4(21) + 1 = 85𝑓(85) = 4(85) + 1 = 341

4. UsenelCálculoSimbólicodeGeoGebraparallenarlaTabla1.5. ¿Cuáldelosdosmétodosprefierenusarparahacerloscálculos?Justifiquensurespuesta.

6. Luegousen cualquierade losdosmétodospara continuar con los cálculos extendiendo la

Tabla1(añadiendorenglones).Respondanensuequipolapregunta:¿hastaquémeshabráqueextenderlaTabla1,paraexplicarelcolapsodeDineroGratis?

7. ¿Cuáleslacausaprincipaldelcolapsodelaempresa?

8. ¿CuáleseltotaldepersonasqueinviertenenDineroFácil?

9. ¿Cuántosdelosinversionistasobtienenlos$10000prometidos?

10. ¿Cuántosdelosinversionistaspierdensuinversión?


11. ¿CuáleselmontodelagananciaobtenidaporDonTimoVil,antesdedarsealafuga?

12. Supongamosquetuequiporecibeuncorreoelectrónicodealguienquequisierainvertirenunaempresafinancierapiramidalcomolamencionadaaquí.Redacten(enmediacuartilla)equipolarespuestaquedaríanalcorreoelectrónico.

13. Expongananteelrestodelgrupolarespuestaredactada.

Cierre

Actividad3(trabajogrupal)Enelproblemaplanteadoaquí lasolucióndependeengranpartedequepodamossumarlos términos de una progresión geométrica, usualmente a esta suma se le llama seriegeométrica.Mientrasqueunaprogresióngeométrica,tienelaforma:

𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟0, 𝑎𝑟5, … , 𝑎𝑟B

Unaseriegeométricatienelaforma:

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟0 + 𝑎𝑟5+, … ,+𝑎𝑟B

Aunqueenelproblemaabordadoaquí,𝑎 = 1,𝑟 = 4y𝑛eraunnúmeropordeterminar.Puestoqueestaseriepuedeescribirseenformafactorizadacomo:

𝑎(1 + 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5 +…+ 𝑟B),

donde𝑎es una constante, el problema se reduce prácticamente a calcular(1 + 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5 +…+ 𝑟B)

ElMétodo 1 estábasadoenque sepuedeencontrarunaexpresiónalgebraicapara𝑆, endonde:

𝑆 = 1 + 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5 +…+ 𝑟B

Perosimultiplicamos𝑆por𝑟,tendremos:𝑟𝑆 = 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5 +…+ 𝑟B + 𝑟BDG

Yrestando𝑆de𝑟𝑆,obtenemos:


𝑟𝑆 = 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5+, … , +𝑟B+ 𝑟BDG

−𝑆 = −1 − 𝑟 − 𝑟0 −𝑟5−,… , −𝑟B

𝑟𝑆 − 𝑆 = −1 +𝑟BDG

Luegofactorizando𝑆enelladoizquierdodelaigualdad,tenemos:

𝑆(𝑟 − 1) = −1+𝑟BDG

Obien:

𝑆 =𝑟BDG − 1𝑟 − 1

Yconcluimosfinalmenteque

𝑎𝑆 = 𝑎(1 + 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5+, … , +𝑟B) = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟0 + 𝑎𝑟5+, … ,+𝑎𝑟B = 𝑎𝑟BDG − 1𝑟 − 1

En cambio en elMétodo 2, se ha introducido una función recursiva para realizar loscálculosconayudadeGeoGebra.Unafuncióncomoéstapuedeintroducirseporquelasumadelaseriegeométricahastaeln-ésimotérmino,puedehacersedependerdelasumahastaeltérminoanterior,esdecir:

𝑆B = 1 + 𝑟 + 𝑟0 +𝑟5 +…+ 𝑟BVG + 𝑟B ,

puedeescribirsecomo:

𝑆B = 1 + 𝑟(1 + 𝑟0 +𝑟5 +…+ 𝑟BVG),

yporlotanto:𝑆B = 1 + 𝑟𝑆BVG,

locualnospermitedefinirlafunciónrecursiva:

𝑓(𝑥):= 1 + 𝑟𝑥.14. Abre la vista “CAS” de GeoGebra y captura en un renglón la expresión “f(x):=10x +1" y

oprime la tecla “enter”, en un segundo renglón captura la expresión “ListaIteración(f, 1,10)” e igualmente oprime la tecla “enter”. ¿A qué serie geométrica corresponden losvaloresqueGeoGebraestácalculando?

57

3 LAENSEÑANZADELASMATEMÁTICASENUNMEDIOSOCIOCULTURALYTECNOLÓGICO


SamanthaQuirozRivera11,FernandoHitt12,ÁlvaroBustosRubilar13MireilleSaboya12,ZitaAntoun12

Introducción

Laliteraturaactualendidácticadelasmatemáticas,señalalaimportanciadepromovereldesarrollodeestrategiasen losprocesosdegeneralizaciónenedadestempranas.Sesabeque niños en los primeros años de primaria son capaces de conjeturar y construirestrategiasligadasalageneralizaciónenlaresolucióndeproblemas.En este sentido, se diseñaron una serie de actividades para utilizar en el aula dematemáticas con el fin de promover la generalización como preludio al aprendizaje delálgebra(verelconjuntocompletodeactividadesquesedesarrollaronporelequipoarribamencionado).Acontinuación,semuestraunadeesasactividades.

ELRESTAURANTEDEMARCELO

Página1ElrestaurantdeMarcelo

Nombredelalumno:_____________________Nombredelosmiembrosdelequipo: ____________________

____________________

____________________

Grupo:_____________Fecha:______________

Instrucciones:§ Para este primer trabajo individual, utiliza unaplumanegraoazul.

§ Para el trabajo en equipo, si tú modificas turespuestautilizaunaplumaroja.

§ Despuésdediscutirconelgrupo,sitúmodificasturespuestadenuevo,utilizaunaplumaverde.

ElrestaurantdeMarcelo

11 Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Coahuila. 12 Département des Mathématiques, Université du Québec à Montréal. 13 Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN.

58 Actividadesdelcapítulo3.Elaprendizajedelasmatemáticasenunmediosocioculturalytecnológico

Página2.TrabajoindividualSituaciónMarceloeseldueñodeunrestaurante.EnsurestauranteMarcelotienemesasquecolocaendiferenteslugaresdondesesientansusclientescuandollegan.Lasmesassondediferentestamaños:grandes,pequeñasymedianas.Estáncolocadasdelasiguientemanera:

AMarcelo legustaría no tener que contar cada vez que llegan los clientes, el número desillasdecadamesaparasaberdóndelospondrá.Marcelorequieretuayuda.Aéllegustaríaencontrarunamaneradecalcularrápidoelnúmerodeclientesquepuedesentaralrededordecadamesa,teniendoencuentaelnúmerodemesassintenerlanecesidaddecontarcadavezelnúmerodesillas.

1. ¿Cuántaspersonassepuedensentaralrededorde3mesas?2. Si buscamos el número de personas para colocar alrededor de 4 mesas, ¿necesitas hacer undibujoparaencontrarlarespuestaosabríasagunamanerarápidadehacerlo?

3. Y para 15 mesas, ¿puedes encontrar una estrategia para calcular rápìdamente el número depersonassinnecesidaddedibujar


Página3.Trabajoenequipo.4. Enequipo,discute lasestrategiasqueusasteparacalcularelnúmerodepersonasquepuedensentarse alrededor de 15 mesas. ¿todos usaron la misma estrategia? Encuentra al menos 2estrategiasparahacerestecálculo.

5. Unavezqueescribistelasestrategiasyquevieronquesoncorrectas,utilizaalgunadeellasparacalcularelnúmerodepersonasquepuedencomeren21mesasydespuésen54mesas.

Página4–Trabajoenequipo6. LaaplicaciónGeoGebratemostraráelnúmerodepersonasquesepuedensentaralrededordelasmesasnoimportaquetangrandessean.Utilízaloparaverificartusrespuestasdelproblema5.

7. Escribe un mensaje escrito a Marcelo donde le explicas cómo podría calcular el número depersonasparasentaralrededordeunamesanoimportaquétangrandesea.

8. Losmensajes sonmuy largos.Marcelonecesitamensajesque le indiquen las operacionesquedebe realizar más fácilmente. Escribe el mismo mensaje pero simplificado, indicando quéoperacionesMarcelonecesitarealizar.

60 Actividadesdelcapítulo3.Elaprendizajedelasmatemáticasenunmediosocioculturalytecnológico

Página5.Trabajoindividual,autorreflexiónMarceloeseldueñodeunrestaurante.EnsurestauranteMarcelotienemesasqueubicaendiferenteslugaresdondesesientansusclientescuandollegan.Lasmesassondediferentestamaños:grandes,pequeñasymedianas.Estáncolocadasdelasiguientemanera:

AMarcelo legustaría no tener que contar cada vez que llegan los clientes, el número desillasdecadamesaparasaberdondelospodrácolocar.Marcelorequieretuayuda.Aéllegustaríaencontrarunamaneradecalcularrápidoelnúmerodeclientesquepuedesentaralrededordecadamesa,teniendoencuentaelnúmerodemesassincontarlassillas.


2) Calcula el número de personas que podemos sentar alrededor de 15 mesas. Explica la

estrategiaqueutilizaste.

3) Calculaelnúmerodepersonasquepodemossentaralrededorde21mesasydespuésde54


4) Calcula el número de personas que podemos sentar alrededor de cualquier cantidad de


63

4 ENTENDIMIENTODEPOSTULADOSBÁSICOSDELAPERSPECTIVADEMODELOSYMODELACIÓNPORPROFESORESENFORMACIÓN

Actividadesdelcapítulo4:Guíaparaelprofesor

VerónicaVargas-Alejo14,CésarCristóbal-Escalante15

ActividadProvocadoradeModelos[APM]“ElHotel”.LainformaciónqueseproporcionaalosestudiantespararealizarestaactividadeslaquemuestranlasFiguras1, 2 y3.No sedamás, yno se restringe a los estudiantes en el usode recursosqueconsideren útiles para responder lo que se pide. Esta actividad se basa enAliprantis y Carmona(2003).

Figura1.Artículodeperiódico

14 Universidad de Guadalajara. 15 Universidad de Quintana Roo.

64 Actividadesdelcapítulo4.Entendimientodepostuladosbásicosdelaperspectivademodelosymodelaciónporprofesoresenformación

Figura2.Preguntasdecontexto


Figura3.Problema.


Elusodidácticodeestaactividadenelaularadicaenlasdiferentesformasenquepuedeserabordadaporlosestudiantes.Discutiroreflexionarsobrelasdistintasformasparaobtenerlasrespuestas,incideeneldesarrollodelosconocimientosyhabilidadesdelosestudiantes.

Explorar la situación permite a los estudiantes entender la problemática. Hacersuposiciones o considerar casos particulares es algo que deben aprender a realizar losestudiantes.

Laexploraciónnumérica con lápizypapelsensibilizaypermitereconocer la importanciadelusodelacomputadoraydelautilizacióndediversosprocedimientos.Laorganizaciónde la información y de los procesos permite reconocer la secuencia de operaciones y larelaciónentrelainformaciónproporcionada.Lotediosodeloscálculosyladisposicióndeequipoyconocimientodesoftwarellevaaelaborarprocedimientosenlacomputadora.

LaActividadProvocadoradeModelospuederesolverseutilizandounatabladedatos(Tabla1).Enlafila12seobservaquecuandoelhoteltiene30habitacionesocupadas,laGananciaesmáxima.

Tabla1.ProcedimientotabularpararesolverlaAPM“ElHotel”Unmodelo gráfico que se puede construir a partir de los datos de la Tabla 1, es el de laFigura 1. Donde el eje representa la Ganancia y el eje𝑥, la cantidad de habitacionesocupadas.

y


Figura4.ProcedimientográficopararesolverlaAPM“ElHotel”

AunquepodríantambiénobtenerselasgráficasapartirdelosdatosdelascolumnasB,CyD(Tabla1),correspondientesalcostodelahabitación,ingresoyegreso.Unmodeloalgebraicoparaestasituaciónseconstruyedelasiguienteforma:

Considerandoque:𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 − 𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜Tanto la ganancia como el ingreso y el egreso dependen del número de habitacionesocupadasodesocupadas.

Sirepresentamoscon𝑛elnúmerodehabitacionesdesocupadas,entonces40 − 𝑛representaelnúmerodehabitacionesocupadasy

1200 + 50𝑛eselprecioenquerentacadahabitación.El ingreso consiste en multiplicar el precio de cada habitación por el número dehabitacionesocupadas.Porello,elingresoesrepresentadopor:

𝐼(𝑛) = (1200+ 50𝑛)(40 − 𝑛)El egreso es determinado por el pago pormantenimiento y limpieza de las habitacionesocupadas,estoes𝐸(𝑛) = 200(40 − 𝑛).

Porlotantolagananciaes:𝐺(𝑛) = (1200+ 50𝑛)(40 − 𝑛) − (200)(40 − 𝑛)

Alrealizarlasoperacionesysimplificar:𝐺(𝑛) = −50𝑛0 + 1000𝑛 + 40000

Finalmente, la función𝐺(𝑛)puede derivarse para obtener la ganancia máxima, la cualcorrespondea𝑛 = 10.Donde𝑛eslacantidaddehabitacionesdesocupadas.Al considerar el número de habitaciones (ℎ) ocupadas en lugar de las desocupadas seobtienealagananciacomounafunciónquedependedeℎ:𝐺(ℎ).


Algunas preguntas interesantes que se pueden explorar son las siguientes: ¿Cómo es lagráfica de𝐺(𝑛)? ¿Cómo es la gráfica de𝐺(𝑛)respecto de𝐺(ℎ)? ¿Cuál es el dominio de lafunción?

ActividadProvocadoradeModelos:LaAforeEnlasFiguras5,6y7sepresentalaAPM.EstaactividadsedescribeconmayordetalleenTec-EscalanteyVargas-Alejo(2015).

Figura5.Artículodeperiódico


Figura6.Preguntasdecontexto

Figura7.Elproblema


DemanerasemejantealaAPM“ElHotel”,elusodidácticodeestaactividadenelaularadicaen las diferentes formas en que puede ser abordada por los estudiantes. Discutir oreflexionarsobrelasdiferentesformasparaobtenerlasrespuestas,incideeneldesarrollodelosconocimientosyhabilidadesdelosestudiantes.Esta APM conlleva un proceso recursivo. La vía para resolverlo puede ser puramentenumérico (sin uso de tablas), numérico usando tablas (Figura 8), numérico con tablas ygráficos(Figura9)yalgebraicos.LosprocedimientosendetallepuedenobtenerseenTec-EscalanteyVargas-Alejo(2015).Elusodeunodeestosmétodosdependedelosconocimientosyhabilidadespreviosdelosestudiantes.Laexploraciónnuméricaesfundamentalparaidentificarlarecursividadenlasituación.Quienesyahantenidoexperienciaspodríanreconocerlanaturalezarecursivaenelprocesode cálculo.Laspreguntasplanteadas tienen la funciónde llevaraexplorareseaspecto de la actividad, así como las ventajas de seguir los procedimientos de maneraorganizadapormediodetablas.Procedimiento numérico. Los estudiantes podrían comenzar a responder laspreguntasplanteadas en el problema acudiendo a una forma recursiva en la que sólo realicenoperacionesnuméricasobteniendo losmontosahorradosal finaldecadaperiodo.Esto lopodrían realizar directamente en la calculadora, sin tomar nota de las estructurasmatemáticas,sinobservaralgúnpatrón,delasiguienteforma:

En el primer pago de Mateo (cero meses transcurridos), sólo le realizan el descuento aingresarasufondodeahorroqueesde$91.Transcurrido el primer periodo,Mateo tendrá la aportación del periodo al fondomás elmontoinicialaportadoconsu9.62%(0.0962)derendimiento;esdecir:91+91+0.0962(91)=182+8.7542=190.75

Para el monto del fondo de ahorro a final del segundo periodo véase la Figura 8. Ladificultadquizáiniciaríaalintentarcontestarlaúltimapreguntaplanteadaenelproblema.Los estudiantes deberían cuestionarse ¿Es necesario hacer todos los cálculos? ¿No hayalgunaotramaneradeobtenerlacantidadsolicitada?¿Existealgunafórmula?Estopodríaapoyar para que los estudiantes organizaran la información en forma tabular, e inclusoutilizarlahojadecálculoelaborandounprocedimientoparahacerlatabla(Figura8).


Figura8.ProcedimientosrecursivosytabularespararesolverlaAPM“LaAfore”

Procedimientoalgebraico.Deformaanálogaalprocedimientonuméricocontablas,perosinutilizarlahojadecálculo,sepuedeelaborarunprocedimientoalgebraico,quesepuedeutilizarpararespondertodaslaspreguntas.Elprocedimientoenlahojadecálculotambiénpuedeserutilizadodeestaforma,ysepuedeusarcuandocambianlascondicionesinicialescomoelsalariomensualylatasadeinterésquepagalaAfore.SidenotamosporMkelmontoenelfondodeMateoalfinaldelk-ésimomes,porilatasadeinterésquepaga laAforecadames,ysiM0es laaportaciónmensualal fondo.Setiene losiguiente:

Aliniciarelmes1setendráenelfondoM0.Alfinalizarelmes1setendráM1=M0+M0+M0i=M0+M0(1+i)Al finalizarelmes2se tendráM2=M0+M1+M1i=M0+M1(1+i)sustituyendoM1setieneM2=M0+[M0+M0(1+i)](1+i)=M0+M0(1+i)+M0(1+i)2

Al finalizarelmes3se tendráM3=M0+M2+M2i=M0+M2(1+i)sustituyendoM2setieneM3=M0+[M0+M0(1+i)+M0(1+i)2](1+i)=M0+M0(1+i)+M0(1+i)2+M0(1+i)3Sepuedeobservarelpatrónyconjeturarqueelmontoenelfondoalterminarelcuartomeses:M4=M0+M0(1+i)+M0(1+i)2+M0(1+i)3+M0(1+i)4Yquealfinaldelk-ésimomeselmontodelfondoserá:

Mk=M0+M0(1+i)+M0(1+i)2+…+M0(1+i)k-1+M0(1+i)k=

=M0[1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…+(1+i)k]Enestepuntosepuedeintroducirlaseriegeométricaconrazónr:

quellevaa11...1

132

--

=++++++

rrrrrrn

n


ObteniéndoseasíunarelaciónfuncionalútilpararespondercualquierpreguntarelacionadaconlacantidaddedineroquetendráMateoalcabodecualquiercantidaddeaños.

ComparacióndemodelosyextensiónhaciaelanálisisdelahorroparaotrasAFORES.Comorespuestaalapregunta¿PorquédeberíaelegirtuAFOREynootra?elalumnopodríacalcular el monto que tendría Mateo para los mismos periodos que se indican en laspreguntas anteriores a éste, pero eligiendo AFORES con diferentes rendimientos. Elmaestropodríaorientarladiscusiónhaciareflexionarlapregunta¿FuncionanlosmodelosconstruidosparaanalizarelahorroutilizandootrasAFORES?Con ello se pretende apoyar la comparación del monto final ahorrado considerandodistintasAFORESypropiciarlaconstruccióndemodelosgráficosquepermitaalestudianterefinarsusciclosdecomprensiónrespectoalosconceptosmatemáticos:variaciónyfunción,alcompararyanalizarunafamiliadeproblemas.Debidoaqueelestudianteyarealizóunanálisisalápizypapeldelasituación,éstasecciónesrecomendableabordarladenuevoconelapoyodesoftwaredondesetrabajenhojasdecálculoygraficación(EXCEL,Geogebra).Con la meta de ahorrar tiempo en los cálculos que ya se analizaron anteriormente, einvertirlo mejor en el análisis de la situación y conceptos matemáticos desde modelosdiferentes(Figura9).

Figura9.ProcedimientográficopararesolverlaAPM“LaAfore”

]1)1([]1)1(1)1([

1

0

1

0 iiM

iiMM

kk

k-+

=-+-+

=++

73

5 LainclusióndeGeoGebraeneldiseñodesecuenciasdidácticasenmatemáticas

Actividadescapítulo5:guíaparaelprofesorJoséLuisSotoMunguía16

LaconstruccióndeunarcodecentroinaccesibleInicioActividad:1(Trabajoindividual)En diversas actividades humanas se utilizanmétodos prácticos para resolver problemas,estosmétodossehanganadounlugarendiferentesoficios,simplementeporquefuncionan,aunqueelusuarionosepaconprecisiónaquésedebesufuncionamiento.Enestaactividadrevisaremosunmétodoligadoalaconstruccióndearcosdecírculoenlasedificaciones,ydiscutiremoslosfundamentosmatemáticosenlosqueestábasado.Cuando se trata de un arco semicircular, también conocido como arco de medio punto,puedetrazarselocalizandoelpuntomediodeltravesañoquesostendrálacimbra(diámetrodelarco),yluegocolocandounclavoenesepunto(centrodelarco).Aesteclavoseataráunacuerdacuyalongitudseráigualalradiodelarcoaconstruir.Setrataenestecasodelasimple aplicación de la definición de circunferencia, como el conjunto de puntos que seencuentraalamismadistancia(radio)deunpuntofijo(centro).Todosestostrazospuedenhacerse sin grandes dificultades sobre la cimbra que sostendrá al arco mientras seconstruye(verFigura1).

16 Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora.

Material necesario para la secuencia:

2. Unjuegogeométricoporequipo(queincluyalasdosescuadrasyeltransportador).

3. Tirasdecartónrígido,chinchetasotachuelasyunastijerasparacortarpapel.

4. Unacomputadoraporequipo,conGeoGebrainstalado.5. CincoarchivosconstruidosenGeoGebra,asaber:Arco1,

Arco2,Arco3,Arco4yArco5.

74 Actividadesdelcapítulo5.InclusióndeGeoGebraeneldiseñodeactividadesdidácticasenmatemáticas

Figura1

La situación que plantearemos aquí es un pocomás complicada que la anterior. Se trataahora de construir un arco que no llega a ser una semicircunferencia, como el que semuestraenlaFigura2.Elproblemaaquíesqueelcentrodelarco,dondepodríamoscolocarelclavoparausarlocomocentro,yanoesunpuntoaccesible.

Figura2

SisequisierautilizarlatécnicamostradaenlaFigura1,elcentrodelarcoestaríabajotierrayhabríaque excavarpara localizarlo.LaFigura3muestra la excavaciónque tendríaquéhacerseparalocalizarelpuntoO.

Figura3

1. SienlacuadrículadelaFigura2, loscuadradosrepresentanunmetrocuadrado,estimalaprofundidada la que se tendríaqué excavarsepara localizar elpuntoOyutilizarlo comocentroparatrazarelarco.


2. AbreelarchivoArco1.ggb,enpantallasemostraráunaconstruccióncomolaqueapareceenla Figura 2. Arrastra el punto Q hasta que el arco tenga un ancho de 10 m, ¿A quéprofundidadseencuentraahoraelpuntoO?

3. ¿Te parece práctico el método para trazar el arco ilustrado en la Figura 2? Justifica turespuesta.

Desarrollo

Lecturaindividual

Un albañil necesita trazar un arco circular como el que semuestra en la Figura 2. Paraconstruirelarcorequierearmarlacimbrasobrelaquelomontará.Suexperiencialedicequeelarcopuedeser trazado localizandoelcentrodelarcoyauxiliándose luegoconunacuerda(talcomosehaconstruidoelarcodelaFigura1),perolasdimensionesdelarcoledicen que este centro se localiza muy por debajo del nivel del suelo y que tendría queexcavarparaencontrarlo.ElMaestrodeObraslerecomiendausarelsiguientemétodoparatrazarlo:Primeroutilizalosdospuntosdelabasedelarco(AyB)yelpuntodondeelarcoalcanzarálamayoraltura(P),paratrazarconbarrotesdemaderaelánguloqueseobservaenlaFigura4.

Figura4

Unavezconstruidoyfijadoesteángulo,construyeunsegundoángulodemaderacopiandoelprimero,peromodificandolalongituddelosmaderos,talcomoseilustraenlasiguienteFigura5:

Figura5


Ahorasetieneotropunto(llamadoaquíQ),quetambiénestásobreelarco.LasimetríadelarcopermitemanipularesteúltimoánguloparalocalizarotropuntoR,comoseilustraenlaFigura6:

Figura6

El resto del trazo se haría copiando el ángulo APB tantas veces como se quiera paralocalizartantospuntossobreelarcocomosedesee.EnlaFigura7semuestranalgunosdelospuntosquepuedenserlocalizados.

Figura7

Actividad:2(Trabajoenequipo)Ahora reproduciremos a escala, elmétodo utilizado por el albañil para trazar el arco.Enlugardebarrotesusaremostirasdecartón(incluidasentumaterialrecortable)yenlugarde losclavosusadospara fijar losbarrotes,usaremostachuelasochinches(elmaestroselasproporcionará).

1. LagráficadelaFigura8muestralosdatosqueconoceelalbañil.Usalastirasdecartónylaschinches,paratrazarenestagráficalospuntosH,I,K,L,MyN,detalmodoqueesténsobreelarcoquesepretendetrazar.

Figura8


2. AnalizaeldispositivoconstruidoconlastirasdecartónyqueusasteparatrazarlospuntosH,I,K,L,MyN.¿Quépropiedadgeométricadeldispositivoconstruido,consideraslamásimportante?

Actividad3(Trabajoenequipo)En esta actividad se tratará de dar respuesta a la pregunta: ¿por qué el dispositivoconstruidopermitetrazarpuntosqueestánsobreelmismoarcodecircunferencia?

1. EnlaFigura9semuestraunarcodecircunferenciaconunánguloinscritoACB.a) MidecontutransportadorelánguloACByanotaaquísumedida.

b) TrazaotropuntocualquieraDsobreelarco, luegotrazaelánguloADBymídeloconel

transportador.¿CuántomideelánguloADB?

c) TrazaotropuntoEsobreelarcoyluegotrazaelánguloAEB.¿Puedespredecircuántomideelángulosinmedirlo?Explicadedóndeobtuvistetupredicción.Sielequipotienedificultadesparaexplicarestapredicción,abreelarchivoArco2.ggbyarrastraelpuntoCparaexplorarlaconstrucción.

Figura9

SiyacontamosconunarcocomoeldelaFigura9,entoncespodemoshacerafirmacionessobre el comportamiento de los ángulos inscritos, pero eso no resuelve el problemaplanteadoalalbañil,porqueélnocuentaconelarco,porelcontrarioesjustamenteloquequieretrazar.

2. TrazadospuntosAyBsobreunahojaenblanco,luegocolocalasescuadrasdetalmodoquelos puntos A y B queden sobre sus lados (ver Figura 10). Marca el punto P en el quecoinciden las esquinasde las escuadras.Desliza las escuadras, sinperder la configuraciónquetienenymanteniendoAyBsobrelosladosdeellas,paralocalizarotrospuntosdistintosaP.


Figura10

a) ObservaqueelánguloAPBconservarásumedida,¿cuántomide?

b) Haganunapredicciónenelequiposobrelacurvaqueirándelineandolospuntostrazados.Ofrezcanunaexplicaciónsobrelapredicciónqueestánhaciendo.Sitienenalgunadificultadabran el archivo Arco3.ggb y arrastren el punto Q para deslizar las escuadras. Si loconsiderannecesario,activenel“rastro”deP.

Actividad4(Trabajogrupal)LosequiposllamaránTeorema1alresultadogeométricoobtenidodelaFigura9yTeorema2alresultadogeométricoobtenidode laFigura10ypondrána ladiscusióndelrestodelgrupolosiguiente:

a) Elenunciadoqueredactaronparalosteoremas1y2.

b) LasdiferenciasqueencuentranenteelTeorema1yelTeorema2.

c) Una carta en laque explicaránal albañil las razones geométricasque justifican elmétodoqueestáempleandoparatrazarunarcodecentroinaccesible.

Actividad5(Trabajoindividual)Tomandoencuentaladiscusióngrupalquesehadadoencadaexposición,cadaestudianteescribirásuversióndelosteoremas1y2.


CierreActividad6(Trabajogrupal)Elprofesorexplicaráatodoelgrupo:

a) Elenunciadoformaldelosteoremas1y2yporquéunoseconsideraelrecíprocodelotro.

b) Explicaráporquécadaunodeestosteoremassetienenquejustificarporseparado.Enestaexplicaciónpodráutilizarejemploscomoelsiguiente:Afirmación1.Si𝑚y𝑛sonnúmerosenterospares,entonceselproducto𝑚𝑛esunnúmeropar.Afirmación2.Sielproducto𝑚𝑛dedosnúmerosenterosesunnúmeropar,entonces𝑚y𝑛sonnúmerosenterospares.

c) Justificará geométricamente los teoremas 1 y 2, no necesariamente ofreciendo unademostración.EnestajustificaciónpuedearrastrarlospuntosPoQenelarchivoArco4.ggbparajustificarelteorema1yarrastrarlospuntosP,Q,RoSenelarchivoArco5.ggb.parajustificarelTeorema2.

81

6 PROCESODEREPRESENTACIÓNDELCAMBIOYLAVARIACIÓN:EXPLORACIONESDIGITALES

Actividadescapítulo6:GuíaparaelprofesorSandraEvelyParadaRico17,JorgeEnriqueFialloLegalyNelsonJavierRueda17

Parauncomplementodeactividades,consultarelsitioweb:http://matematicas.uis.edu.co/jfiallo/?q=talleresprecalculo

CAJASINTAPA

Actividad1

Apartirdeunahojarectangulardetamaño6dmpor4dm,construyeunacajasintaparecortandocuadradosdeigualtamañoenlascuatroesquinas,detalmaneraquealmaceneelmayorvolumen.¿Cuálessonlasdimensionesdelaatura,anchurayprofundidaddelacajademayorvolumen?¿Porqué?

Explicatuprocedimientoyturespuesta.

Actividad2Discute con tus compañeros y el profesor la solución del problema y escribe unaconclusiónalrespecto.

Actividad3

AbreelarchivodeGeoGebra“cajasintapa”

3.1 AnimaelpuntoP¿QuérepresentaelpuntoPenelproblema?3.2 ¿Cuálesmagnitudesvarían?¿Cuálesmagnitudesnovarían?Explicaturespuesta.3.3 ¿Dequémagnitudomagnitudesvariablesdependeelvolumendelacaja?¿Porqué?3.4 ¿Quévalorespuedetomarlaaltura?¿Porqué?3.5 ¿Quévalorespuedetomarlaanchura?¿Porqué?3.6 ¿Quévalorespuedetomarlaprofundidad?¿Porqué?3.7 ¿Quévalorespuedetomarelvolumen?¿Porqué?3.8 ¿Quérelaciónhayentrelaanchuraylaaltura?¿sonmagnitudesinterdependientes?

¿porqué?Expresalaanchuraenfuncióndelaaltura.3.9 ¿Quérelaciónhayentrelaprofundidadylaaltura?¿sonmagnitudes

interdependientes?¿porqué?Expresalaprofundidadenfuncióndelaaltura.3.10 Expresaelvolumenenfuncióndelaaltura.3.11¿Cuálessonlasdimensionesdelaatura,anchurayprofundidaddelacajademayorvolumen?¿Porqué?

17 Universidad Industrial de Santander. Colombia.

82 Actividadesdelcapítulo6.Procesoderepresentacióndelcambioylavariación:exploracionesdigitales

Actividad4Discutecontuscompañerosyelprofesor losconceptos, lasconjeturasysolucionesde laActividad1.3

Actividad5

AbreelarchivodeGeoGebra“cajasintapa”5.1 Enlavistagraficamuestralosejes.EnlavistaalgebraicamuestraelpuntoVyanimaelpuntoP

¿QuérepresentaelpuntoV?5.2 MarcaelrastrodelpuntoV¿QuérepresentaelrastrodelpuntoV?5.3 HallaellugargeométricodelpuntoVcuandovaríaelpuntoP(vealmenúyseleccionalugar

geométrico,señalaelpuntoVyluegoelpuntoP)¿QuérepresentaellugargeométricodelpuntoVconrespectoalpuntoP?

5.4 Escribeenlabarradeentradalafórmulaquerepresentaelvolumenenfuncióndelaalturaquehallasteen3.10.Sinolahashalladoutilizalaopciónderegresióndedosvariablesyencuentralafunciónquemejorseajustaalproblema(asegúratedequeelpuntoPinicieen(0,0)ytomaalmenos50datos)¿Porquéeslaquemejorseajusta?

5.5 ¿Coincidenlagráficaquerepresentaelvolumenenfuncióndelaalturaconellugargeométrico?¿Enquécoinciden?¿Enquésediferencian?

¿Cuálesmáximovolumen?¿Porqué?

Actividad6

AbreelarchivodeGeoGebra“cajasintapa”6.1 ¿Cuálesladimensióndelaalturaquegeneraelmayorvolumen?¿Porqué?6.2 Aumentaa5cifrasdecimaleselredondeodelavariablevolumenycambiaelincrementodel

puntoPa0,0001(hasdobleclickenP,seleccionapropiedades,abrelapestaña“algebra”ycambiaelincrementoa0,0001).

6.3 MueveelpuntoPalrededordelvalordelaalturaquegeneraelmáximovolumen¿Elvalordadoparalaalturaen6.1generaelmayorvolumen?¿Dichovaloresúnico?Explicaturespuesta.

6.4 Registraenlahojadecálculo20valoresdelpuntoVcuandoteaproximasalvalordelaalturaquegeneraelmáximovolumen(utilizalasteclasdelaflechasaladerechayalaizquierdadelpuntoP)¿Quéocurreconlasimágenesdelosvaloresdelaalturacuandoteaproximasalvalordelaalturaquegeneraelmáximovolumen?Explicaturespuesta.

6.5 Aumentaa10cifrasdecimaleselredondeodelavariablevolumen¿Cuálesladimensióndelaalturaquegeneraelmayorvolumen?¿Porqué?

6.6 ¿Quéocurreconlasimágenesdelosvaloresdelaalturacuandonosaproximamosalvalordelaalturaquegeneraelmáximovolumen?Escribeunaconclusiónyexplicaturespuesta.

6.7 TrazalarectatangenteporelpuntoValacurvaquerepresentaelvolumenenfuncióndelaaltura(enlabarradeentradaescribesTangente[V,h],silafuncióndelvolumen(h)tieneotronombreescríbeloenlugardeh).Hallalapendientedeestarecta.

6.8 Registraenlaterceracolumnadelahojadecálculo20valoresdelpuntoVcuandoteaproximasalvalordelaalturaquegeneraelmáximovolumen(utilizalasflechasderechaeizquierda)¿Quéocurreconlosvaloresdelapendientedelarectatangentecuandoteaproximasaestevalorporladerechayporlaizquierda?Escribeunaconclusiónyexplicaturespuesta.

6.9¿Cuálesladimensióndelaalturaquegeneraelmayorvolumen?¿Porqué?


Actividad7Discutiendoycomunicando

Discutecontuscompañerosyelprofesorlosconceptos,lasconjeturasysolucionesdelasactividadesanteriores.

85

7a UTILIZACIÓNDESENSORESCBR2PARAELESTUDIODESITUACIONESFUNCIONALESANIVELSECUNDARIAYUNIVERSITARIO

Actividades(nivelpreuniversitario)delcapítulo7:GuíaparaelprofesorValérianePassaro18,RuthRodríguezGallegos19,MireilleSaboya20,FabienneVenant21

DOCUMENTOPARALOSPROFESORES

NOMBREDELAACTIVIDAD:EstudiodeldesplazamientodeunapersonaPROPÓSITODELAACTIVIDAD:Desarrollarlacomprensióndelconceptodefunciónatravésuncuestionamientosobrelacovariaciónentredosvariablesenunasituaciónreal.GRADOACADÉMICODONDESEPUEDEIMPLEMENTAR:Finalesdesecundaria(14-17años)CONTENIDOSMATEMÁTICOSABORDADOS:Función,covariación,representacióngráfica,modelaciónDURACIÓNAPROXIMADA:75minutosMATERIALESNECESARIOS:

• Paralosalumnos:CadaequipodisponedeunCBR2,deunlabQuest22,ydepapelconpegamentosobreelquesepuedeescribiryquesepodrápegaralsuelo.

• Paraelprofesor:Ordenador,proyector,CBR2,labQuest

RECOMENDACIONESPARAELDOCENTE:Losalumnostrabajanenequiposde3o4.

Fase0:Presentacióndelasituaciónalosalumnos

Esamenudoútildesabercómovaría,alolargodeltiempo,ladistanciaentreunobjetoy

18 Université du Québec à Montréal (UQAM) – Canadá – [email protected] 19 Tecnológico de Monterrey - México - [email protected] 20 UQAM – Canadá – [email protected] 21 UQAM – Canadá – [email protected] 22 El labQuest es una máquina que recupera los dados tomados por el sensor para tratarlos. Aquí, utilizamos el

labQuest para representar gráficamente la distancia entre la persona y el sensor en función del tiempo.

86 Actividadesdelcapítulo7.Utilizacióndesensoresparaelestudiodesituacionesfuncionalesanivelsecundarioyuniversitario

unpuntodereferenciafijo.Porejemplo,cuandounradaraéreopercibelapresenciadeun

avión,loscaptoresqueevalúanladistanciaentreesteaviónylatorredecontrolpermiten

evitar colisiones. Para comprender como analizar el desplazamiento de un objeto a lo

largodeltiempo,vamosaestudiareldesplazamientodeunapersona.

Descripcióndelaactividad

FaseI:ExploracióndelatecnologíaydelasituaciónSituación:Estagráficarepresentaladistanciahorizontalentrelapersonayelsensorenfuncióndeltiempo.

Consigna Desarrollo“Tienesquereproducirestagráficahaciendoustedesmismoseldesplazamientofrentealsensorqueestácolocadosobreelescritorio”.

Engrangrupo.Elprofesorpresentalasituaciónalosalumnos.Pideaunoscuantosalumnosdehacervariosensayosdelantedelaclase(soloseutilizaunsensor,lagráficaesproyectadadelantedelaclase,verlafiguraaquíabajo)paraquetodosveancómofuncionaunsensor.Elprofesorproponealosalumnosdeexperimentarydediscutirentreellossobreloqueobservan.

Recomendacionesparaelprofesor• Dejarquelosalumnosseapoderendelasituaciónydelfuncionamientodelsensorsinforzar

unanálisis,queesprecozenestafase.Aquínosreferimosaunanálisisdelacoordinaciónentrelasaccionesyelaspectodelagráfica.

• Proponeravariosalumnosirdelantedelaclaseparaquedeunensayoaotrointentenobtenerunagráfica,lamásajustadaposiblealaqueproponeelsensor.

FaseII:InterpretacióngráficaSituación:Estaotragráficarepresentaladistanciahorizontalentrelapersonayelsensorenfuncióndeltiempo(otrodesplazamientodeunapersona).


Ejemplosdegráficasquepuedenserpropuestas:

Consigna Desarrollo“Tienesqueescribiruntextoparaexplicar,aunapersonaquenotienelagráficabajolosojos,lamaneraenlaquetienequedesplazarsefrentealsensorparareproducirexactamenteestagráfica”.

Equiposde3o4alumnos.CadaequipodisponedeunCBR2etdeunLabQuest.El profesor proporciona la consigna y atribuye unagráficadiferenteacadaunodelosequipos.Dejaalosalumnostrabajar,asegurándosequeeltextoescritosobrelahojanocontenganingunarepresentacióngráfica.

Recomendacionesparaelprofesor• Incitarlosalumnosaexplicarsurazonamientoalosotrosmiembrosdelequipoyaentenderse

sobrelasinstruccionesadaraunapersonaquenovelagráfica.• SugierealosalumnosdeprobarsudescripciónexperimentándolaconelCBR2.• Sugieredeprepararlagráficadividiéndolaendiferentespartesysugieredeanalizarla

variacióndeladistanciaparacadaunadeestaspartes.

FaseIII:ApropiacióndeunadescripciónverbalyanticipacióndelagráficaSituación:Aquísedescribeundesplazamientoproducidoporotroequipo:….(cadaequiporecibeladescripcióndeotroequipo,verelejemplodadoanteriormente).Consigna DesarrolloA. “Sin el CBR2, tienes que leer el texto y

asegurarte de entender la sucesión de lasacciones que se tienen que realizar. Unmiembro del equipo debe producir estemovimiento (los otros deben asegurarsequecorrespondebienaltexto)parapodervolverlo a hacer después con el sensordelantedetodalaclase”.

Equiposde3o4alumnos.El profesor proporciona la consigna a losalumnos y distribuye los textos producidosporellos,asegurándosequecadaequiponorecibasupropiotexto.Dejaalosalumnostrabajar,asegurándosequeentiendenyrespetanbienelcontenidodeltexto.

B. “Producirunesbozodelagráficaasociadaaldesplazamientoqueacabasdetrabajar(distanciaenfuncióndeltiempo)”.

Primeroenuntrabajoindividualydespuéscompartidoconlosotrosmiembrosdelequipo.

RecomendacionesparaelprofesorA. Dejarquelosalumnosseapropiendeltextoeidentifiquen,sinecesario,loquefaltaolos

errores.B. Incitarlosalumnosacompararsusgráficas,explicandolamaneraenlaquehanpasadodela

descripciónconpalabrasalagráfica.

A B


FaseIV:Validación/invalidacióndelasdescripcionesverbalesydelasgráficasanticipadas,yanálisisdelcomportamientodelosincrementosSituación: Cada equipo ha recibido una descripción de un desplazamiento, queremosahoraproducirlagráficaasociadayversicorrespondebienalagráficainicial.Consigna Desarrollo“Paracadaequipo,unalumnovienedelantedelaclaseparareproducirelmovimientodescritotalycomolopracticó.Debemosdespuéscompararlagráficaobtenidaalaquefuedadainicialmentealequipoqueprodujoeltexto”.

Engrangrupo.Unalumnoporequipovieneareproducirelmovimiento(puedehabercomomáximo3ensayos).Cuandoelequipoestásatisfechodelagráficaobtenida(consideranqueelalumnohaefectuadoeldesplazamientoconformealoquedescribíaeltexto),elprofesormuestralagráficainicial.Pidealosalumnoscompararlasdosgráficasydeexplicar,sihay,lasdiferencias.

Recomendacionesparaelprofesor• Escoger previamente, en la fase III, dos o tres descripciones por las que el análisis será

profundizado.• Plantear preguntas para conducir a los alumnos a localizar e interpretar los puntos

característicos.• Plantearpreguntassobreelcomportamientodelosincrementosparaconduciralosalumnos

a:1) Calificareldesplazamientoasociadoaunsegmentoderectaascendenteodescendente.2) Calificareldesplazamientoasociadoalascurvasabiertashaciaarribayalascurvas

abiertashaciaabajo.AnálisisaprioriFaseIEnestafase,losalumnosexploranespontáneamentelatecnologíayseapoderandelasituación.Mientrasqueunalumnosedesplaza,losdemásleobservanyprestanatenciónalrastreosimultáneodelagráfica.Estapercepcióndelarelacióndedependenciaydelasvariacionessimultáneasdelasvariablestiempoydistancia,favoreceeltrabajosobrelacovariaciónqueserásolicitadoenlasotrasfasesdelaactividad.Aunquelosalumnosestablezcanestrategiasparaajustarlacurvaqueellostrazanconelsensoralaqueespropuestaporelsensor,elobjetivonoesaúneldeconcientizarydeformularclaramenteestasestrategias.Duranteestafaseserequiereunacoordinaciónentrelosregistrosgráficoyexperiencia.ApoyándonosenlosestudiosdePassaro(2015)ydeCarlson(2002),prevemosquelosalumnosadoptenunenfoqueestático(correspondencia)sobrelagráfica,localizandopuntoscaracterísticos(laordenadadelpuntodeabscisa0porejemplo).Sinembargo,comolagráficasetrazasimultáneamentealdesplazamiento,losalumnospodríanempezarahacerinferenciassobrelavelocidadyasírecurriraunenfoquedinámicosobrelagráfica(covariación).


FaseIIEnestafase,losalumnosdebendeexplicarlasestrategiasquehansurgidoenlafaseI.Latareaexigequelosalumnoscoordonenlosregistrosgráficoyverbalpasandoeventualmenteporelregistrodelaexperiencia.Comoeltextotienequesersuficienteparaqueunatercerapersonaefectúeelbuendesplazamientoparatrazarlagráficapropuesta,losalumnosdebendecomponerdescripcionesdetalladas,nopuedencontentarsedandoinformacionesestáticascomo“Alempezar,colócateaunmetro”,debendeindicaralapersonacomodesplazarse.ElCBR2ofrecelaposibilidadalosalumnosdevalidar,deinvalidarodeajustarloselementosdesudescripción,particularmenteenloqueconciernelavariación.UnejemplodedescripciónquepodríaserproducidaporunequipodealumnosparalagráficaBes:“Alprincipio,colócatea3metrosdelsensor.Cuandoelcronómetrosepongaenmarcha,avanzahaciaelsensoravelocidadconstantedurante3segundos,despuésdisminuyetuvelocidaddurante2segundoshastaqueestésaunmetrodelsensor.Quédatedespuésinmóvildurante2segundosyretrocederápidamentehastaelpuntodesalida,perodisminuyendotuvelocidaddurante2segundosypáratea2metrosdelsensor”.FaseIIIParteA ParteBEnlaparteAdeestafase,losalumnosdebenvisualizarelmovimientoapartirdeladescripciónescrita.Después,elalumnoquehaceelmovimientodebedetransponerestavisualizaciónenlaexperienciareal(embodiement).Estacoordinaciónentrelosregistrosverbalyexperienciapuedefavorecerlaanticipacióndelaspectodelagráficaasociada.

EnlaparteB,cadaalumnodebetrazarunesbozodelagráficadelasituación.Estatareaexigeunacoordinaciónentrelosregistrosverbalygráfico.Enelmomentodeconversarentrelosmiembrosdelequipo,lacoordinaciónentreestosdosregistrosseprofundizacuandolosalumnosexplicitanlasasociacionesqueefectúanentreelementossignificativosdeltextoylasvariablesvisualesdelagráfica.Entreloserroresposibles,sepuedeanticiparlaconfusiónentreel“objetoorigen”(latrayectoriadelapersona)yel“objetometa”(eltrazadodelagráficaquemuestracomovaríaladistanciaenfuncióndeltiempo,Janvier1993).Así,unalumnopodríatrazarunsegmentohorizontal,cuandolapersonasedesplazaenlínearectaavelocidadconstante,eltrazadoseráentoncesasociadoalatrayectoriadelapersona.

FaseIV

Lacoordinaciónentre los tresregistrospresentesenesta fase (experiencia,descripciónverbal y gráfica) va a ser reforzada por la confrontación entre la gráfica inicial y laproducida después de haber interpretado el texto. Además, se pone en evidencia lacorrespondenciaentreloselementosdecadaunodeestosregistros.Enprimerlugar,losalumnos pueden resaltar los elementos significativos asociados a los puntoscaracterísticos(elenfoquecorrespondencia).Porejemplo,enelmodelodeladescripciónpresentadoanteriormente,elprofesorpodríaresaltartresextractosyponerenevidencia


laasociaciónentreloselementossignificativosdelosregistrosverbalygráfico(verTabla1).

Elprofesordebeensegundolugar,conduciralosalumnosacaracterizarelaspectodelacurva entre los puntos y el desplazamiento asociado. Como lo han mostrado Passaro(2015)yCarlson(2002),losalumnoshacenespontáneamentereferenciaalavelocidadyalaaceleraciónparadescribirdeformamásprecisaeldesplazamiento.Porejemplo,parael trazado curvado ascendiente abierto haciaarriba, un alumnopodría decir “retrocedeyendo cada vez más rápido” o también “retrocede acelerando”. En la descripciónpresentada anteriormente, el profesor podría recuperar tres extractos y conducir a losalumnosainterpretarlosparafavorecerlaconversiónhacialagráfica(verTabla2).


La interpretación sugerida necesita no obstante una experiencia en interpretargráficamente los conceptos de velocidad y de aceleración. Además, haciendo lasexperiencias con el desplazamiento, los alumnos pueden observar que es difícil sabercómoefectuar labuenaaceleración.Elprofesordebeaprovecharestaoportunidadparaprofundizar el análisis de la variación de la distancia ayudándose de los incrementoscuantificados(verelejemploenlaTabla3).


7b UTILIZACIÓNDESENSORESCBR2PARAELESTUDIODESITUACIONESFUNCIONALESANIVELSECUNDARIAYUNIVERSITARIO

Actividades(niveluniversitario)delcapítulo7:GuíaparaelprofesorRuthRodríguezGallegos23,ValérianePassaro24,MireilleSaboya25,FabienneVenant26

NOMBREDELAACTIVIDAD:EstudiodelcambiodetemperaturaenaguahirviendoPROPÓSITODELAACTIVIDAD:Acercar/mostrar a los alumnos al fenómeno de enfriamiento de agua hirviendo,

sensibilizarlos al método experimental y hacerles ver su relación con la parte

teórica/analítica.

GRADOACADÉMICODONDESEPUEDEIMPLEMENTAR:Finalesdesecundaria(14-17años)yuniversitario(18-20años)CONTENIDOSMATEMÁTICOSABORDADOS:Función,covariación,representacióngráfica,modelación,EcuaciónDiferencial,representaciónsimbólicaDURACIÓNAPROXIMADA:75minutosMATERIALESNECESARIOS:

• Paralosalumnos:Cadaequipodisponedeunsensordetemperatura,unacalculadoraconposibilidadesgráficasTI-NspireCXCAS,unvaso.

• Paraelprofesor:CafeteraconaguahirviendoyunalaptopconelemuladordelaTIparadarinstrucciones.

RECOMENDACIONESPARAELDOCENTE:Losalumnostrabajanenequiposde3.

Descripcióndelaactividad

FaseI–Experimentandoparaconocermejorelcontextotérmicoamodelar

23 Tecnológico de Monterrey - México - [email protected] 24 Université du Québec à Montréal (UQAM) – Canadá – [email protected] 25 UQAM – Canadá – [email protected] 26 UQAM – Canadá – [email protected]

94 Activitésduchapître7.Utilisationdessenseurspourl’étudedesituationsfonctionnellesauniveausecondaireetuniversitaire

Situación:Conocerelfenómenoamodelaryencontrarunagráficaconayudadelsensordetemperaturaquerepresentelatemperaturadelaguaenfuncióndeltiempo.Consigna DesarrolloDebesdeintentarencontrarlagráficaenlacalculadora/Interfacequepermitarepresentarlatemperaturavseltiempo.

Enequipode3alumnos.Elprofesorintroduceenclaselanecesidadeimportanciadeestudiarlamaneraenquecambialatemperaturadelosobjetos,yprecisaquenosinteresaremosenconocerelenfriamientodelaguahirviendo,comounfenómenomásdondeelcambioestápresenteyprecisarlamaneraenquelamagnitudtemperaturavaría.Selesinvitaalosalumnosque,medianteunaprácticaexperimentaldetalladapasoapaso,midanlatemperaturaeneltiempoconayudadeunsensordetemperatura.

RecomendacionesparaelprofesorDejaralosalumnosconocerlasituaciónycómofuncionalainterface(calculadoragráficaTINspireCXCAS)yelsensordetemperatura.Haceremergerlosprocesosintuitivosylosprimerosrazonamientosparapensarenelfenómeno.Enlaetapaposteriorsepediráalosalumnosqueprecisen,tantolarazóndecambiodelatemperaturaeneltiempo,asícomolafunciónanalíticadelatemperaturaenfuncióndeltiempo.

FaseII–EstableciendoelmodelomatemáticoysusoluciónSituación:Establecerelmodelomatemático(ED)quepermitarepresentarelcambiodelatemperaturarespectoaltiempo.Consigna DesarrolloDeberásestablecerunaEDquepermitamodelarelcambiodetemperaturarespectoaltiempot.

Trabajoenequiposde3alumnos.Elprofesorapoyaenguiaralosalumnosenreflexionarcómocambialatemperaturaenel tiempo y lamanera de expresarlomatemáticamente. Losalumnos trabajan en escribir la ED y toman en cuantadiversos factores que influyen como la temperatura delmedioambientey/otemperaturainicialdelaguahirviendo.

RecomendacionesparaelprofesorSesugiereintentardejarquelosalumnosproponganlavariaciónalnuevomodelodeEDquesepretendeestudiar.Generalmenteenesteañouniversitario,másde lamitadde lapoblación sabe que se debe “ajustar el modelo” pero no sabe cómo justificar talmovimiento. En diálogo grupal se unen argumentos de los alumnos para justificar “enconjunto”lanuevaED.


FaseIII–ResolviendolaEDparaconocerlaTemperaturaenfuncióndeltiempotSituación:Resoluciónmatemáticadelmodelomatemático(laED)paraidentificarlasolucióndelaTemperaturaentodotiempo.Consigna DesarrolloResuelveelmodelomatemáticopreviamenteestablecidoconapoyodealgúnmétodoanalítico.Encuentralasolucióngeneralyparticulardelamisma.

Trabajoenequipode3personas.ElprofesorpermitequelosalumnosresuelvanlaEDestablecidapreviamentehaciendousodealgúnmétodovistoenclase.Silaactividadsedesarrollaenlasprimerassesionesdelcurso,podráutilizarelmétodoanalíticodevariablesseparables.Enestaparteesmuyimportanteresaltarquelosdatosdeiniciodecadaequipopueden/debenserdiferentes,respectoalatemperaturadelmedioambientey/olainicialporloqueseesperatenerresultadosdistintos(aunquesimilares)paracadaequipo.

RecomendacionesparaelprofesorEnestemomentoesunaoportunidaddevolverarepasarelmétodoanalíticodevariablesseparablesenuncontextodiferenteaCrecimientoyDecrecimientoexponencial,ademásenuncontextodiferenteyconunaEDquevaríadelaestructuraoriginalqueellosconocen.EsimportanteprecisarladiferenciaentrevariablesyparámetrosdentrodelaED.

FaseIV–ValidarelmodeloteóricovselexperimentalSituación:Sepideacadaequipocompararlagráficadelatemperaturaobtenidaporellosenlasoluciónparticularyelmodeloteóricoconlagráficaobtenidaporelsensor.Consigna DesarrolloSetepidecompararlagráficaobtenidadesdeelmodeloteórico(gráficadelasoluciónparticular)conlaobtenidaporelsensordetemperatura.¿Quépuedesdecirdeambasgráficas?Setepidecompararelvalordelatemperaturaenuntiempotdeterminado(entre0y15minutos)haciendousodelmodeloteórico.Observaelvalorquereportaelsensoryconcluyesobreestacomparación.Sesugieremejorarparaqueestadiferencia(encasodehaberla)seamínima.

LosalumnoscomparanyseesperaseobservelasimilitudperoqueasuvezidentifiquenlasdiferenciasquepermitanavanzarenlacomprensióndelsignificadodeunasolucióndeunaED.Cadaequipoexponesucomparación,sugerenciasdemejoraysobretodolosnuevosvaloresconelmodeloajustado.

RecomendacionesparaelprofesorSepidea losalumnos compararel valorde la temperaturaenun tiempopreciso.En laprácticasepreguntaport=15minutos(900segundos).Enrealidad,esunpretextoparaque ellos comparen y reflexionen sobre la validez de sumodelo. Generalmente existendiferenciasimportantesentreelvalorreportadoporelmodeloteóricoyelexperimental.Sepreguntaentoncesalosalumnosaquépuedecausarenelfenómenotaldiferencia,susrespuestas suelen ser variadas, desde “errores” desde lo teórico (en realidad se debenrecalcular los parámetros; k principalmente) y a veces de manipulación del sensor, de


lectura de “valores iniciales”. Se espera una síntesis de la institucionalización sobre lacoordinación de los registros analítico y gráfico, en el caso del estudio del cambio detemperatura(enfriamiento)enelaguahirviendo.AnálisisaprioriFaseILos alumnos han estudiado magnitudes que cambian (crecen o decrecenexponencialmente) a través de un comportamiento de tipo exponencial. Esto permiteexplicar que los alumnos suelen proponer modelos comobc

b-= 𝑘 ∗ 𝑇(𝑡)o modelos del

tipo exponencial𝑇(𝑡) = 𝑃𝑒/-(aprendido desde la preparatoria) ó𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒j- visto enlas clases previas de este mismo curso (donde k representa una constante deproporcionalidad).Unargumentoquesuelenacerenalgunosalumnosdemaneramuyintuitiva, es el de determinar que en esta ocasión la temperatura no puede descendertotalmente hasta cero sino que debe ser hasta la temperaturadelmedio ambiente, ennuestrocaso,latemperaturadelsalóndeclase.EstoesunelementomuyimportantequeellosconoceninclusodeotrasclasescomoFísicaóTermodinámica.FaseIILos alumnos suelen proponer modelos comobc

b-= 𝑘 ∗ (𝑇(𝑡) − 𝑇k). Algunas posibles

variaciones son el que se desee precisar la k como un parámetro negativobcb-= −𝑘 ∗

(𝑇(𝑡) − 𝑇k)desde la misma ED. En ocasiones solo invierten el orden dentro de lasdiferenciascomobc

b-= 𝑘 ∗ (𝑇k − 𝑇(𝑡)).A loanteriorse leconoceverbalmentecomo“la

formaenquecambialatemperaturaeneltiempoesproporcionalaladiferenciaentrelatemperaturadelcuerpoT=T(t)(aguahirviendoenestecaso)yladelmedioambiente𝑇k”. La ED esperada es

bcb-= 𝑘 ∗ (𝑇(𝑡) − 𝑇k)con el correspondiente valor inicial de la

temperatura𝑇(𝑡 = 0) = 𝑇4. Es importante precisar que habrá ligeras variaciones delvalorde𝑇k(suelepasarparasalonesmuyamplios)perosobretodoen𝑇4(estodependedelalecturadelospropiosalumnossobreestedato).FaseIIILos alumnos resuelven laED a travésdel primermétodo visto en el curso (y elúnicohasta el momento visto) llamado Variables Separables, el cual consiste en separar lavariable dependiente Temperatura T y la variable independiente tiempo t en ambosladosdelaED,loqueconducealaecuaciónsiguienteenlaqueCesunaconstante:

𝑇(𝑡) = 𝑇k + 𝑪𝑒j-Posteriormente, en los problemas en contexto como éste, nos interesa más tener lasoluciónparticular,esdecir,precisarlosvaloresdeCyk.Ejemplo:Silatemperaturainiciales80gradoscentígradosylademedioambiente23gradoscentígrados,lasoluciónparticularseveríacomo:


FaseIVSe pretende comparar los resultados teóricos y los experimentales de un modelomatemático.Silascondicioneslopermitensepodránsugerirmodificacionesalmodelodelasoluciónparticular(condicionesiniciales)paraquelosalumnospuedandisminuirlas diferencias entre uno y otro. En ese caso, tendrían que replantear la solución. Sepuedecompartirunatabladediferenciasentrevaloresobtenidosporlosalumnos:

Temperatura80

60

40

20

00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Time (Second)

grad

os

Temperatura : Current


7a UTILISATIONDESSENSEURSCBR2POURL’ÉTUDEDESITUATIONSFONCTIONNELLESAUNIVEAUSECONDAIREETUNIVERSITAIRE

Activités(niveausecondaire)duchapitre7:Guidepourl’enseignantUtilisationdesenseursCBR2pourl’étuded’unesituationfonctionnelleau

secondaireValérianePassaro27,RuthRodríguezGallegos28,MireilleSaboya29,FabienneVenant30

NOMDEL’ACTIVITÉ:L’étudedudéplacementd’unepersonneOBJECTIFDEL’ACTIVITÉ:Développerlacompréhensiondelanotiondefonctionàtraversunquestionnementsurlacovariationdedeuxgrandeursdansunesituationréelle.NIVEAU:Findusecondaire(élèvesde14à17ans)CONTENUMATHÉMATIQUEABORDÉ:Fonction,covariation,représentationgraphique,modélisationDURÉEAPPROXIMATIVE:75minutesMATÉRIELNÉCESSAIRE:

• Pourlesélèves:Chaqueéquipedisposed’unCBR2,d’unlabQuest31etdepapiercollantpourpouvoirfairedesmarquesausol.

• Pourl’enseignant:Ordinateur,projecteur,toile,CBR2,labQuest

RECOMMANDATIONSPOURL’ENSEIGNANT:Lesélèvestravaillentenéquipede3ou4.

27 Université du Québec à Montréal (UQAM) – Canadá – [email protected] 28 Tecnológico de Monterrey - México - [email protected] 29 UQAM – Canadá – [email protected] 30 UQAM – Canadá – [email protected] 31 Le labQuest est une machine qui récupère les données prises par le capteur pour les traiter. Ici, nous utilisons le logiciel labQuest pour représenter graphiquement la distance entre la personne et le capteur en fonction du temps.


Phase0:Présentationducontexteauxélèves

Il est souvent utile de savoir comment varie la distance entre un objet et un point deréférencefixeaucoursdutemps.Parexemple,lorsqu’unradardecontrôleaériencaptelaprésenced’unavion,descapteursévaluentladistanceentrecetavionetlatourdecontrôlepour éviter les accidents. Afin de mieux comprendre comment on peut analyser ledéplacement d’un objet au cours du temps, nous allons étudier le déplacement d’unepersonne.

Descriptiondel’activité:

PhaseI:Explorationdel’outiletdelasituation

Situation:Voiciungraphiquequireprésenteladistancehorizontaleentrelapersonneetlecapteurenfonctiondutemps.

Consigne Déroulement«Vousdeveztenterdereproduirecegraphiqueeneffectuantvous-mêmeledéplacementfaceaucapteurplacésurlebureau».

Engrandgroupe.L’enseignantprésentelasituationauxélèves.Ilenvoieplusieursélèvesfairedesessaisenavantdelaclasse(unseulcapteurestutilisé,legraphiqueestprojetéenavantdelaclasse,voirschémaci-dessous).Illaisselesélèvesexpérimenteretéchangerspontanément.

Recommandationsàl’enseignant

• Laisserlesélèvess’approprierlasituationetlefonctionnementducapteursansforceruneanalyseprécocedelacoordinationentreleursactionsetl’alluredugraphique.

• Envoyerplusieursélèvesenavantdelaclassedemanièreàcequed’unessaiàl’autreilstententd’obtenirungraphiquemieuxajustéàceluiproposé.


PhaseII:Interprétationgraphique

Situation:Voiciunautregraphiquequireprésenteladistancehorizontaleentrelapersonneetlecapteurenfonctiondutemps.Exemplesdegraphiques:

Consigne Déroulement

«Vousdevezécrireuntextequiexpliqueàquelqu’unquin’apaslegraphiquesouslesyeuxcommentsedéplacerfaceaucapteurpourreproduireexactementcegraphique.»

Équipesde3ou4élèves.Chaqueéquipedisposed’unCBR2etd’unLabQuest.L’enseignant donne la consigne et attribue un graphiquedifférentàchacunedeséquipes.Illaisselesélèvestravaillerens’assurantqueletexteestécritsurunefeuillelibresansreprésentationgraphique.


• Inciterlesélèvesàexpliquerleurraisonnementauxautresmembresdeleuréquipeetàs’entendresurlesinstructionsàdonneràquelqu’unquinevoitpaslegraphique.

• Suggérerauxélèvesdetesterleurdescriptionenexpérimentantàl’aideduCBR2.• Suggérerdeséparerlegraphiqueendifférentespartiesetd’analyserlavariationdeladistance

pourchacunedecesparties.

PhaseIII:Appropriationd’unedescriptionverbaleetanticipationdugraphique

Situation:Voiciladescriptiond’undéplacementproduiteparuneautreéquipe.Exemplededescription:«Audépart,place-toià3mètresducapteur.Lorsquelechronomètrepart,avanceverslecapteuràvitesseconstantependant3secondespuisralentispendant2secondes jusqu’àceque tusoisà1mètredu capteur.Reste immobilependant2 secondespuis recule rapidementaudépartmais enralentissantpendant2secondespourterendreà2mètresducapteur.»Consigne Déroulement

C. «Vousdevezlireletexteetvousassurerdebiensaisirlasuccessiond’actionsàfaire.Unmembre de l’équipe doit s’exercer à

Équipesde3ou4élèves.L’enseignant donne la consigne et distribue lestextes produitspar les élèves en s’assurant que

A B


effectuer cemouvement (lesautresdoivents’assurer qu’il correspond bien au texte)pour pouvoir le refaire ensuite devant laclasseaveclecapteur.»

chaqueéquipenereçoitpassonpropretexte.Illaisselesélèvestravaillerens’assurantqu’ilscomprennentetrespectentbienlecontenudutexte.

D. «Produisezuneesquissedugraphiqueassociéaudéplacementquevousvenezdetravailler(distanceenfonctiondutemps).»

Individuelpuispartageavecl’équipe.


C. Laisserlesélèvess’approprierletexteetidentifierlesmanquesouleserreurss’ilyena.D. Inciterlesélèvesàcomparerleursgraphiquesenexpliquantcommentilssontpassésdela

descriptionaugraphique.

PhaseIV:Validation/invalidationdesdescriptionsverbalesetdesgraphiquesanticipés,etanalyseducomportementdesaccroissementsSituation:Chaqueéquipeareçuunedescriptiond’undéplacement,onveutmaintenantproduirelegraphiqueassociéetvoirs’ilcorrespondbienaugraphiquededépart.Consigne Déroulement

«Pourchaqueéquipe,unélèvevientenavantreproduirelemouvementdécrittelqu’ill’apratiqué.Nousdevonsensuitecomparerlegraphiqueobtenuàceluiquiavaitétédonnéinitialementàl’équipequiaproduitletexte».

Grandgroupe.Unélèveparéquipevienteffectuerlemouvement(ilpeutavoirunmaximumde3essais).Quandl’équipeestsatisfaitedugraphiqueobtenu(ilsconsidèrentquel’élèveaeffectuéledéplacementconformémentàcequeletextedécrivait),l’enseignantmontreenparallèlelegraphiqueoriginal.Ildemandeauxélèvesdecomparerlesdeuxgraphiquesetd’expliquerlesdifférencess’ilyena.


• Choisiraupréalable,lorsdelaphaseIII,deuxoutroisdescriptionspourlesquellesl’analyseseraapprofondie.

• Poserdesquestionsafind’amenerlesélèvesàrepéreretinterpréterlespointscaractéristiques.• Poserdesquestionssurlecomportementdesaccroissementsafind’amenerlesélèvesà:

3) Qualifierledéplacementassociéàunsegmentdedroiteascendantoudescendant.4) Qualifierledéplacementassociéàdescourbesouvertesverslehautouverslebas.


AnalyseaprioriPhaseIDanscettephase,lesélèvesexplorentspontanémentl’outilets’engagentdanslasituation.Pendantqu’unélèvesedéplace,lesautresl’observentetobserventletraçagesimultanédugraphique.Cetteperceptiondelarelationdedépendanceetdesvariationssimultanéesdutempsetdeladistancefavoriseletravailsurlacovariationquiserasollicitéparlasuite.Ainsi,mêmesilesélèvescommencentàmettreenplacedesstratégiespourmieuxajusterlacourbetracéeàcelleproposée,l’objectifn’estpasencoredeconscientiseretformulerclairementcesstratégies.Lacoordinationdesregistresgraphiqueetexpérienceestparticulièrementsollicitéedurantcettephase.AuxvuesdestravauxdePassaro(2015)etCarlson(2002),nousnousattendonsàcequelesélèvesadoptentunregardstatique(correspondance)surlegraphiqueenrepérantdespointscaractéristiques.Toutefois,commelegraphiquesetracesimultanémentaudéplacement,lesélèvespourraientcommenceràfairedesinférencessurlavitessedudéplacementetdoncadopterunregarddynamiquesurlegraphique(covariation).PhaseIIDanscettephaselesélèvesdoiventconscientiseretexpliciterlesstratégiesquiontémergéesàlaphaseI.Latâcheexigedesélèvesdecoordonnerlesregistresgraphiqueetverbalenpassantéventuellementparleregistredel’expérience.Commeletextedoitsuffireàcequ’unetiercepersonneeffectuelebondéplacementpermettantdetracerlegraphiquedonné,lesélèvesdoiventcomposerdesdescriptionsdétaillées,ilsnepeuventpassecontenterdedonnerdesinformationsstatiquescomme«Place-toiàunmètreaudépart»ou«Arrêtequandtuarrivesà2mètresdedistance».LeCBRoffrejustementlapossibilitéauxélèvesdevalider,d’invalideroud’ajusterlesélémentsdeleurdescription,particulièrementceuxquiconcernentlavariation.Voiciunexemplededescriptionquipourraitêtreproduiteparuneéquiped’élèvespourlegraphiqueB:«Audépart,place-toià3mètresducapteur.Lorsquelechronomètrepart,avanceverslecapteuràvitesseconstantependant3secondespuisralentispendant2secondesjusqu’àcequetusoisà1mètreducapteur.Resteimmobilependant2secondespuisreculerapidementaudépartmaisenralentissantpendant2secondespourterendreà2mètresducapteur».PhaseIIIPartieA PartieBÀlapartieAdecettephase,lesélèvesdoiventvisualiserlemouvementàpartirdeladescriptionécritepuisl’’élèvequieffectuelemouvementdoittransposercettevisualisationdansl’expérienceréelle(embodiement).Cettecoordinationentrelesregistresverbaletexpériencepeut

ÀlapartieB,chaqueélèvedoittraceruneesquissedugraphiquedelasituation.Cettetâcheexigeunecoordinationentrelesregistresverbaletgraphique.Lorsdupartageaveclesautresmembresdel’équipe,lacoordinationdecesdeuxregistresestapprofondielorsquelesélèvesexplicitentlesassociationsqu’ilseffectuententredesélémentssignifiantsdutexteetdesvariablesvisuellesdugraphique.Parmileserreurspossibles,onpeutanticiperlaconfusionentrel’objetsource(latrajectoiredelapersonne)etl’objetcible(le


favoriserl’anticipationsurl’alluredugraphiqueassocié.

tracédugraphiquequimontrecommentvarieladistanceenfonctiondutemps,Janvier1993).Ainsiunélèvepourraittracerunsegmenthorizontallorsquelapersonnesedéplaceenlignedroiteàvitesseconstante.

PhaseIV

Laconfrontationmiseen jeudans cettephasevapermettrede renforcer la coordinationdestroisregistresenjeu(expérience,descriptionverbaleetgraphique)àtraverslamiseenévidence de la correspondance entre les éléments signifiantsde chacun de ces registres.D’abord, lesélémentssignifiantsassociésauxpointscaractéristiquespeuventêtrerelevés(regard correspondance). Par exemple, dans l’exemple de description donnéprécédemment, l’enseignant pourrait relever trois extraits et mettre en évidencel’associationentre leséléments signifiantsdes registresverbaletgraphique (voir tableau1).

L’enseignantdoitensuiteamenerlesélèvesàallerplusloinafindecaractériserl’alluredelacourbeentrecespointsetledéplacementassocié.Parexemple,siletracéestunecourbeascendanteouverteverslehaut,onnepourrapassecontenterdedireàlapersonnequisedéplacedereculer,ilfaudraluidirecommentreculer.Commel’ontmontréPassaro(2015)et Carlson (2002), les élèves font spontanément référence à la vitesse et à l’accélérationpourdécrireplusprécisémentledéplacement.Parexemple,toujourspourletracécourbéascendantouvertverslehaut,unélèvepourraitdire«reculeenallantdeplusenplusvite»oumême«reculeenaccélérant».Cettequalification intuitivedudéplacementestunbonpoint de départ car elle permet d’avoir une idée de l’allure du graphique. Dans ladescriptionprésentéeprécédemment,l’enseignantpourraitrelevertroisextraitsetamenerlesélèvesàlesinterpréterpourlaconversionverslegraphique(voirtableau2).


L’interprétationsuggéréenécessitetoutefoisuneexpérienceàinterprétergraphiquementlesconceptsdevitesseetd’accélération.Deplus,enexpérimentantledéplacement,lesélèvesrisquentd’êtreconfrontésàuneproblématiqueimportante:commenteffectuerlabonneaccélération.L’enseignantpeutsaisirl’occasionpourapprofondirl’analysedelavariationdeladistanceàl’aided’accroissementsquantifiés.Eneffet,lorsqu’onparleintuitivementdelavitessequichange,onparleenfaitdutauxdevariationquivarieetdoncdelavariationdelafonctiondérivée.Pouramenerlesélèvesverslesconceptsmathématiquesassociésàleurintuition,untravailsurlesaccroissementsestnécessaire.Pourdonnerunsensàcesconceptsdansleregistredel’expérience,ondoitsequestionnersurlecomportementdesaccroissementsdeladistancelorsquelesaccroissementsdutempssontconstants.L’enseignantpourraitparexempledemanderauxélèvesdedécrirecommentaugmenteladistanceàchaquesecondepuisproposerd’utiliserlerubanàmesurerenleplaçantàcôtéde(ousur)lalignedéjàtracéeausolpourdécrireplusprécisémentledéplacement(voirexempledansletableau3).


7b UTILISATIONDESSENSEURSCBR2POURL’ÉTUDEDESSITUATIONSFONCTIONNELLESAUNIVEAUSECONDAIREETUNIVERSITAIRE

Activités(niveauuniversitaire)duchapitre7:Guidepourl’enseignantUTILISATIONDESENSEURSCBR2POURL’ÉTUDED’UNESITUATIONFONCTIONNELLEÀ

L’UNIVERSITÉRuthRodríguezGallegos32,ValérianePassaro33,MireilleSaboya34,FabienneVenant35

NOMDEL'ACTIVITÉ:Étudeduchangementdetempératuredansl'eaubouillanteOBJETDEL’ACTIVITÉ:Approcher/montrerauxétudiants lephénomènedu refroidissementde l’eaubouillante,

les sensibiliser à la méthode expérimentale et faire le lien avec la partie théorique

(analytique).

DEGRÉUNIVERSITAIRELORSQU'ILPEUTÊTREMISENŒUVRE:CollègeTroisième/lycée(14-17ans)etuniversité(18-20ans)CONTENUMATHÉMATIQUE:Fonction,covariation,représentationgraphique,modélisation,équationdifférentielle,représentationsymboliqueDURÉEAPPROXIMATIVE:75minutesMATÉRIELNÉCESSAIRE:

• Pourlesétudiants:Chaqueéquipedisposed’uncapteurdetempérature,d’unecalculatricegraphiqueTI-NspireCXCAS,d’unverre.

• Pourl'enseignant:unebouilloireélectriqueetunordinateurportableavecémulateurinformatique.

RECOMMANDATIONSPOURL'ENSEIGNANT:Lesétudiantstravaillentenéquipesde3.

32 Tecnológico de Monterrey - México - [email protected] 33 Université du Québec à Montréal (UQAM) – Canadá – [email protected] 34 UQAM – Canadá – [email protected] 35 UQAM – Canadá – [email protected]


Descriptiondel'activité

PhaseI-ExpérimenterpourmieuxcomprendrelecontextethermiqueàmodéliserSituation:Appréhensionduphénomèneàmodéliseretaffichaged’ungraphiquereprésenationlatempératuredel'eauenfonctiondutempsàl'aideducapteurdetempérature.

Consigne DéroulementVousdevezessayerdetrouverlegraphiquedanslacalculatrice/interfacepermettantdereprésenterlatempératureenfonctiondutemps.

Paréquipede3étudiants.L’enseignantprésenteàlaclasselanécessitéetl’importanced’étudierlafaçondontlatempératuredesobjetschange,etprésentelecontextedel’activité:étudierlesvariationsdetempératurelorsdurefroidissementd’uneeauportéeàébullition.Lesétudiantssontinvitésàmesurerleschangementsdetempératureàl'aided'uncapteurdetempérature,ensuivantuneprocédureexpérimentaledétaillée,étapeparétape.

Recommandationspourl'enseignantPrésenterlasituationauxétudiants,lesinformerdufonctionnementdel'interface(calculatricegraphiqueTINspireCXCAS)etducapteurdetempérature.Faireémergerlesprocessusintuitifsetlespremiersraisonnementspourréfléchirauphénomène.Àunstadeultérieur,lesétudiantsserontinvitésàspécifierlerapportetlafonctionanalytiquedécrivantlavariationdelatempératureenfonctiondutemps.

PhaseII-MiseenplacedumodèlemathématiqueetdesasolutionSituation:Établissementdumodèlemathématiquetraduitparuneéquationdifférentielle(ED)représentantlechangementdetempératureenfonctiondutemps.Consigne DéroulementVousdevezétabliruneEDquipermetdemodéliserlechangementdetempératureenfonctiondutempst.

Travailenéquipede3étudiants.L'enseignantamènelesétudiantsàréfléchiràlamanièredontlatempératurechangedansletempset à la manière de l'exprimer mathématiquement. Les étudiantstravaillentà l’établissementdel'EDetprennentencomptediversfacteurs tels que la température de l'environnement et / ou latempératureinitialedel'eauenébullition.

Recommandationspourl'enseignantIlestsuggéréd'essayerdelaisserlesétudiantsproposerlavariationdunouveaumodèledeEDquidoit être étudié. Généralement, au cours de cette année universitaire, plus de la moitié de lapopulation sait qu’elle doit "ajuster le modèle" mais ne sait pas comment justifier un telchangement. Une discussion de groupe permet de réunir les arguments des étudiants pourjustifier"ensemble"lanouvelleED.


PhaseIII-RésolutionduproblèmepourconnaîtrelatempératureenfonctiondutempstSituation:Résolutionmathématiquedumodèlemathématique(ED)pourobtenirlatempératureàtoutmoment.Consigne DéveloppementRésoudrelemodèlemathématiqueprécédemmentétabliàl'aided'uneméthodeanalytique.Trouverlasolutiongénéraleetparticulièredecelle-ci.

Travailenéquipede3étudiants.L'enseignantpermetauxétudiantsderésoudrel'EDprécédemmentétablienutilisantuneméthodevueenclasse.Sil'activitéalieuaucoursdespremièressessionsducours,ilestpossibled’utiliserlaméthodeanalytiquedeséparationdesvariables.Danscettephase,ilesttrèsimportantdenoterquelesdonnéesdedépartdechaqueéquipepeuvent/doiventêtredifférentes,encequiconcernelatempératuredel'environnementet/oulesdonnéesinitiales,desortequelesrésultatsdevraientêtredifférents(bienquesimilaires)pourchaqueéquipe.

Recommandationspourl'enseignantC’estl’occasionderevenirsurlaméthodederésolutionanalytiqueparséparationdesvariablesdansuncontextedifférentdeceluidelacroissanceetdécroissanceexponentielle,etavecuneEDquidiffèredelastructureoriginaleconnuedesétudiants.Ilestimportantdespécifierladifférenceentrelesvariablesetlesparamètresauseindel’ED.

PhaseIV-ValiderlemodèlethéoriqueparrapportaumodèleexpérimentalSituation:comparaisondugraphiqueobtenuenphaseIavecceluidonnéparlarésolutiondel’EDenphaseIIIConsigne DéroulementIlvousestdemandédecomparerlegraphiqueobtenuàpartirdumodèlethéorique(graphiquedelasolutionparticulière)avecceluiobtenuparlecapteurdetempérature.Quepouvez-vousdiresurlesdeuxgraphiques?Vousêtesinvitéàcomparerlavaleurdelatempératuredansuntempsdonnét(entre0et15minutes)àl'aidedumodèlethéorique.Observezlavaleurindiquéeparlecapteuretconcluezcettecomparaison.Ilestsuggéréd’ajustervotremodèlepourquecettedifférence(lecaséchéant)soitminimale.

Lesétudiantscomparentets'attendentàcequelasimilaritésoitobservée,maisilsidentifientàleurtourlesdifférencesquipermettentd'avancerdanslacompréhensiondelasignificationd'unesolutiondel’ED.Chaqueéquipeprésentesacomparaison,sessuggestionsd’améliorationetsurtoutlesnouvellesvaleursobtenuesdanslemodèleajusté.

Recommandationspourl'enseignantLesétudiantssontinvitésàcomparerlavaleurdelatempératureàuneheureprécise.Enpratique,ondemandet=15minutes(900secondes).Enfait,c’estunprétextepourlesameneràcompareret


àréfléchiràlavaliditédeleurmodèle.Généralement,ilexistedesdifférencesimportantesentrelavaleur donnée par le modèle théorique et celle obtenue de façon expérimentale. On demandeensuite aux étudiants ce qui peut causer une telle différence, leurs réponses sont généralementvariées, depuis des "erreurs" de la théorie (en fait, il faut recalculer les paramètres, kprincipalement) jusqu’à des erreurs dans la manipulation du capteur, ou dans la lecture des"valeurs initiales". La phase d’institutionnalisation devrait permettre une synthèse sur lacoordination des registres analytique et graphique, dans le cas de l'étude du changement detempérature(refroidissement)del'eaubouillante.AnalyseaprioriPhaseILes étudiants ont étudié les variations de grandeurs (croissance ou décroissanceexponentielle) en raison d'un comportement exponentiel. Cela nous permet d’expliquerpourquoiilsproposentgénéralementdesmodèlestelsquebc

b-= 𝑘 ∗ 𝑇(𝑡)oudesmodèlesde

type exponentiel, 𝑇(𝑡) = 𝑃𝑒/- (appris du lycée) ou 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒j- vu dans les classesprécédentes de cemême cours (où k représente une constante de proportionnalité). Unargumentquiémergegénéralementdemanièretrèsintuitivechezcertainsétudiantsestdedéterminerquecettefois-ci,latempératurenepeutpastombercomplètementàzéromaiselle doit correspondre à la température de l'environnement, dans notre cas à latempératuredelasalledeclasse.C’estunélémenttrèsimportantqu’ilsrencontrentmêmedansd’autrescourscommelaphysiqueoulathermodynamique.PhaseIILesétudiantsproposentgénéralementdesmodèlescommebc

b-= 𝑘 ∗ (𝑇(𝑡) − 𝑇k).Certaines

variantespossibles,commecellespour lesquellesonspécifieque leparamètreestnégatifbcb-= −𝑘 ∗ (𝑇(𝑡) − 𝑇k)auseindelamêmeED.Parfois,ilsinversentsimplementl'ordredans

les différences commebcb-= 𝑘 ∗ (𝑇k − 𝑇(𝑡)). Ceci est connu verbalement comme "la façon

dontlatempératurechangeenfonctiondutempsestproportionnelleàladifférenceentrelatempératureducorpsT=T(t)(eaubouillantedanscecas)etl'environnement𝑇k”.L'EDattendu estbc

b-= 𝑘 ∗ (𝑇(𝑡) − 𝑇k)avec la valeur initiale correspondante de la température

𝑇(𝑡 = 0) = 𝑇4.Ilestimportantdepréciserqu’ilyauradelégèresvariationsdanslavaleurde𝑇k(Cela arrive généralement pour les très grandes pièces)mais surtout dans𝑇4(Celadépenddelalecturedesétudiantseux-mêmessurcesdonnées).PhaseIIILes étudiants résolvent l'EDpar la premièreméthode vue dans le cours (et la seule à cejour) appelée Variables séparables, qui consiste à séparer la variable dépendanteTempératureT et la variable indépendante t du côté de l'ED, ce qui conduit à l'équationsuivantedanslaquelleCestuneconstante:

𝑇(𝑡) = 𝑇k + 𝑪𝑒j-Plus tard, dans des problèmes comme celui-ci, nous nous intéresserons davantage à lasolutionparticulière,àsavoirspécifierlesvaleursdeCetk.


Exemple:Silatempératureinitialeestde80degrésCelsiusetcelledel’environnementde23degrésCelsius,lasolutionenquestionressembleraità:

PhaseIVLe but est de comparer les résultats théoriques et expérimentaux d’un modèlemathématique.Silesconditionslepermettent,desmodificationsaumodèledelasolutionparticulière (conditions initiales) peuvent être suggérées afin que les étudiants puissentréduire lesdifférencesentre les solutions.Dans ce cas, ilsdevraient repenser la solution.Vous pouvez partager un tableau des différences entre les valeurs obtenues par lesétudiants:

113

8 ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJEPARAENTENDERELCONCEPTODEFUNCIONDERIVADAEINTEGRALATRAVESDELASRAZONESDEDIFERENCIASYLASACUMULACIONES


JoséCarlosCortésZavala36,LiliaLópezVera37,G.EréndiraNúñezPalenius1

Actividad1:Diferencias

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación: A.DiferenciaMatemáticaParteI(conlápizypapel):ConceptoGeneralLa diferenciamatemáticaes el resultadode restar, endonde se resta un sustraendode unminuendo. Porejemplo,ladiferenciaentre3(sustraendo)y8(minuendo)es5.En lavidacotidianacuandoseexpresaunadiferencia, típicamentese refierea ladiferenciaentreunvalorinicial (sustraendo) y un valor final (minuendo).Esdecir, ladiferenciaes igualal valor finalmenosel valorinicial.a) Completa la siguiente tabla.Paseel texto de la columna1 a una sintaxismatemática en la columna2 yescribaelresultadodeladiferenciaenlacolumna3.

Texto Sintaxis Diferencia

Unacuentadeahorrostiene$2383.87aliniciodelmesy$2873.92alfinal.¿Cuálfueladiferenciaalolargodelmes?

Sesacaunpedazodecarneadescongelar,alsacarsedelcongeladorseencuentraa-30Cydespuésde5horasseencuentraa240C.¿Cuálesladiferenciadetemperaturadespuésdelas5horas?

Unautomóvilcontieneuntanquede90litros.Sellenaalcomienzodelasemana,alfinaldeellaseobservaqueeltanquecontiene32.3litros.¿Cuálesladiferenciadelitroseneltanquealolargodelasemana?

b)Observelasdiferenciasdelostres(3)casosdelincisoanterior,¿existeunadiferenciaconsignonegativo?Encasoafirmativo,¿quérepresentaconrespectoalacantidad(aumentaodisminuye)?

36 Facultad de Físico Matemáticas de la Universidad Michoacana, México. 37 Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León, México.

114 Actividadesdelcapítulo8.Actividadesdeaprendizajeparaentenderelconceptodefunciónderivadayfunciónintegralatravésdelasrazonesdediferenciasyacumulaciones

c) ¿Qué concluyes a partir del inciso anterior con respecto al signo de la diferencia? Considere signospositivos,negativosyvaloresdecero.

d)Enlasiguientetablaenlaprimeracolumnaseencuentraunasecuenciadecinco(5)números,observelatendenciauniforme(siexistealguna)yanótelaenlasegundacolumna.

Secuencia Observaciones2,4,6,8,10

45,38,31,24,17

-8.75,-3.5,1.75,7,12.25

1,9,17,27,41

Considere el conjunto de datos, en donde i corresponde a una variable independiente mientras tanto ucorrespondea lavariabledependiente.Porlotantouicorrespondeauevaluadaencualquiervalorde i.Porejemplo,u3indicaelvalordeucuandoies3locuales14.

i 1 2 3 4 5 6

ui 8 11 14 17 20 23e)Utilizandoelconjuntodedatosmencionado,completelasiguientetabla.

Sintaxis RepresentaciónAlgebraica Resultado

u5–u4

u2–u1

u3–u2

u5–u3

u3–u6

u4–u1

Enmatemáticaseloperadordelta(∆)representauncambio.Siendounoperadormatemático,puedeaplicarseacualquiervariable.Porejemplo,∆𝑥representauncambioenxmientrasque∆𝑇representauncambioenT(muchasvecesdichavariablerepresentaunatemperatura).


f)Considerandoelconceptode∆yutilizandoelconjuntodedatos,completelasiguientetabla.

Sintaxis ∆u ∆iu5–u4 u2–u1 u3–u1 u5–u3 u3–u6 u4–u1 g)Analicelatabladelincisof,¿hayunarelaciónconrespectoa∆𝑖y∆𝑢?¿quépuedeconcluir?

h)Expresesuobservacióndelincisogenformamatemática(fórmula).¿Secumpleencadacasodelatabla?

Parte2(conCAS):Formulaciónde∆𝑥y∆𝑦Siunavariableydependedeunavariablex,detalmaneraquecadavalordexdeterminaexactamenteunvalorde y, entonces se dice que y es una función de x. Cuatro métodos comunes para la representación defuncionesson:numéricamenteportablas,geométricamenteporgráficas,algebraicamenteporfórmulasy/overbalmente. Una función f es una regla que asocia una salida única con cada entrada. Si la entrada esdenotadaporx,entonceslasalidaesdenotadaporf(x)(seleecomo“fdex”).Paraunaentradadadax,lasalidade la función f sedenominaelvalorde f enx.Algunasvecessedenomina la salidaporunasola letra,porejemploy,yseescribecomoy=f(x).Estaecuaciónexpresaycomounafuncióndex;lavariablexsellamalavariableindependientedef,ylavariableysellamalavariabledependientedef.Lascoordenadascartesianassonunsistemadecoordenadasdedosdimensiones,denominadocomoelplanocartesiano,utilizadoparalarepresentacióngráficadeunafunción.Enelejehorizontal,conocidocomoeleje“x”, seencuentran lasvariablesindependientesmientrasqueenelejevertical, conocidocomoeleje “y”, seencuentranlasvariablesdependientes.Siendounplano,cadapuntosepuedeexpresarporsuscoordenadas(x,y).

a)IntroduzcalaexpresiónI1Vp1∗1D12

1alahojadeCASypresioneenter,¿quéobserva?¿quésucede?¿Para

quépuedeserútillaobservaciónanterior?


UnaherramientaútildentrodelsistemaCAS,eselcomando“Sustituye”,.Dichocomandoseelijepresionando

elicono .b)Considerelafunción2x2+5x–2.Llenelasiguientetablaconlosvaloresdexrespectivos.Valordex Operaciónconlápiz ResultadodeCAS

-3

-2

-1.25

-0.5

0

0.25

0.89


ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJEPARAENTENDERELCONCEPTODEFUNCIÓNDERIVADAYFUNCIÓNINTEGRALATRAVÉSDELASRAZONESDEDIFERENCIASYLASACUMULACIONES



Actividad2:Pendientes

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación:

A.PendienteParteI(conlápizypapel):ConceptodePendienteyRectasa)Uncarrorecorre245kilómetroscon18litrosdegasolina.

1)Sielmismocarrogasta30litrosdegasolina,¿quédistanciaviajó?

2)Expliquelalógicautilizadaenelproblemaanteriorylassuposicioneshechas.

3)¿Cuáleslarazóndecambioenkilómetrosporlitrosdegasolinayquésignifica?

4) Utilizando el dato original, 18 litros para 245 kilómetros y el dato del problema 1, grafique dichospuntosytracelarecta.Formuleunaexpresiónmatemáticaparalapendiente.

5)¿Quérelaciónhayentreunarazóndecambioyunapendiente? 38 Facultad de Físico Matemáticas de la Universidad Michoacana, México. 39 Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León, México.


El modelo matemático más sencillo para relacionar dos variables es la ecuación lineal y =mx + b. Estaecuaciónsellamalinealporquesugráficaesunalínea.Cuandox=0,seobtiene:

y=m(0)+b=b

Por lo tanto, la línea cruza el eje yen y= b. En otras palabras, el intercepto y es (0, b). La inclinación opendiente esm. La pendiente de una línea no verticales el numerode unidades que la recta sube (o cae)verticalmenteporcadaunidaddecambiohorizontaldeizquierdaaderecha,comoseobservaenlafigura1y2.

Figura1.LínearectaconpendientepositivaFigura2.Línearectaconpendientenegativab)Considerelaecuacióndelarecta,y=2x+3.Identifiquelavariableindependienteylavariabledependiente.Elijaporlomenos5valoresdependientesyhagaunatablaconlosvaloresindependientescorrespondientes.

c)Grafiquelalínearectaexpresadaporlaecuacióny=2x+3.

d) Considere los puntos (6, 9) y (0, 11). Sin hacer ningún cálculo responda ¿la pendiente es positiva onegativa?Compruebegráficamenteydespuésanalíticamente.


e)Utilizandolospuntosgenerales,(xn,yn),dondenesn-ésimopunto.Calculelapendienteentreelpunto1(x1,y1)y2(x2,y2).

f)Expreselaecuacióndelapendienteparalospuntosgeneralesdelincisoeutilizandoelconceptode∆.

ParteII(conCAS):Aplicación

Ladataciónporradiocarbono,esunatécnicadedataciónradiométricaqueutilizaelisótopocarbono-14parala determinación de la edad de materiales que contienen carbono. Los siguientes datos obtenidosexperimentalmente,demuestranlacantidaddeC-14paraunmaterialalolargodeltiempo.

AntigüedaddelMaterial

(milesdeaños)

CantidaddeC-14

0 15.30

1 13.56

2 12.01

3 10.64

4 9.43

5 8.35

6 7.40

7 6.56

8 5.81

9 5.15

10 4.56

11 4.04

12 3.58

13 3.17

14 2.81

15 2.49

16 2.21

17 1.95


a)Completelasiguientetablaconsiderandoelrangodeañosdado.

Rango DiferenciadeAños DiferenciadeC-14 Pendiente

6–14

6–12

6–10

6–8

b)Utilizandolapendienteysuintervalorespectivo,calculelacantidaddeC-14a7años(7c)ycompáreloconlacantidada7añosreal(7r).

Rango 7c 7c–7r

6–14

6–12

6–10

6–8

c)¿Quéobservacionestiene?¿quépendientescalculanmejorelvalorde7c?

d)¿Aquésedebelaobservacióndelincisoanterior?

e)ParacalcularlacantidaddeC-14a9.5años,¿cuálpendientedellossiguientesrangosutilizaría?(6–10,7–10,8–10,9–10)¿Porqué?

f)CalculelacantidaddeC-14a9.5años.


Utilizandolahojadecálculoingreselosdatosexperimentalesdelproblemaanteriordentrodeestasección.Paraelegir lahojadecálculoseleccioneVista, ydespuésHoja de Cálculo.En la celdaque tiene la letraA(celdasuperior)ingreselosañosyllamedichacolumna“yrs”yenlaceldaquecontienelaletraBingreselos

datosdeC-14yllamedichacolumna“C14”.DentrodeMenu ,elijaDatosy

Estadísticas yseleccione“Análisisde regresióndedos variables”Ahoradebenaparecer losdatosgraficados.

Se puede hacer un ajuste de datos para los datos graficados. Dentro de la gráfica, presione “Modelo deRegresión”.Dentrodeestasopcionesexistenvariosajustedisponibles.

g)HagaunajustededatosutilizandoLineal(mx+b).¿Quésucede?Repitaelajusteutilizandoexponencial.¿Cuálseajustamejor?

h)RepitaelprocedimientoparaunaA:Regresiónexponencial… ¿Quéinformaciónaparece?¿Sellegaa lamismaconclusiónqueenelincisog?

i)Utilizandolaecuacióndemejorajuste,calculelacantidaddeC-14a9.5años.

j)Utilicelapendientedelrango9–10añosparacalcularlacantidaddeC-14a9.3y9.6años.Utilizandocomorango9.3–9.6años,calculelacantidaddeC-14a9.5años.

k)ConsiderelacantidaddeC-14calculadaa9.5añosdel incisof),k),y j).¿Cuáles lamejoraproximación?¿Porqué?


l)Consuspalabrasexpliquelaobservaciónanterior.

m)Expresepormediodeunaexpresiónalgebraicaloqueacabadedecir.

ParteIII(Simbolización):DesarrollosimbólicadelaPendientea)Enel☐introduzcaunsímboloquerepresentelosdatos.

☐ ☐0 15.30

1 13.56

2 12.01

3 10.64

4 9.43

5 8.35

6 7.40

7 6.56

8 5.81

9 5.15

10 4.56

11 4.04

12 3.58

13 3.17

14 2.81

15 2.49

16 2.21

17 1.95b)Escribalaoperaciónnecesariaparacalcularlapendienteentre6y14.


c)¿Cómollamaoexpresasimbólicamentelaecuaciónanterior?

d)¿Cómosequedalaexpresiónsimbólicaanteriorcuandoseevalúaen9.5años?

e)¿Cómoseexpresaloanteriorparacualquiervalor?





Actividad3:PendientecomoFunción

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación:

A.DesarrolloMatemáticode𝒇(𝒙D∆𝒙)V𝒇(𝒙)

∆𝒙

ParteI(Simbológica):DesarrolloPreliminara) Una forma convencional de describir una pendiente es𝑚 = s2Vst

12V1t. Observe la forma

convencionalylasuyadelaactividadpasada,¿Cuálprefiereusar?¿Porqué?

LapendientetambiénsepuedeescribircomosuVs21uV12

,osvVsu1vV1u

,osvVst1vV1t

,oswVsx1wV1x

,dondemynsonsubíndices.Si𝑦B = 𝑓(𝑥B)yn=10,sepuedeescribircomo𝑦G4 = 𝑓(𝑥G4).b)Escribalapendientey(1tz)Vy(1{)

1tzV1{introduciendolavariablen.

c)Paralapendientey(1t|)Vy(1})1t|V1}

,¿quévalorledaríaan?



d)Si∆𝑥 = 𝑥BDG − 𝑥B, ¿aquées igualxn+1?Exprese lapendientedel incisob,utilizando lostérminos∆𝑥y𝑥B.

ParteII(conlápizypapel):Introduccióndeha)ComparelaecuaciónobtenidaenelincisoddelaparteI,¿esdiferentea𝒇(𝒙D∆𝒙)V𝒇(𝒙)

∆𝒙?Si

esdiferente,¿aquésedebedichadiferencia?

b)Observandolafigura1,¿quérepresentayaquéesigualh?

Figura1.Introduccióndelconceptoligadoalvalorh


c)Utilizandoh,¿cómoquedalaexpresióndelapendiente?

d)Considerelafunción,𝑓(𝑥) = 𝑥0 + 2𝑥.¿Cómoseexpresaf(x1),f(x1+∆𝑥)yf(x1+ℎ)?

e)Considerando𝑓(𝑥) = 𝑥0 + 2𝑥y∆𝑥oh,¿cuáleslaecuacióndelapendientedelincisoc?(Noesnecesarioreduciralgebraicamente)

f)Sielprimerpuntoes(1,3),expreselaecuacióndelincisoanteriorconestospunto.¿Quéobservadeestaecuación?

ParteIII(conCAS):Variacióndeha) Utilizando la hoja de cálculo, en la primera columna incluya los valores de∆𝑥o hmientrasqueenlasegundacolumnavalapendiente.UtilicelaecuacióndelapendientedelincisofdelaparteII.Comoencualquierhojadecálculo,enlapartegrisdelacolumnagrissepuedeexpresarlafuncióndelapendienteendonde∆𝑥ohequivalealavariable“a”,yaqueeselvalordelacolumnaA.Completelatabla. A B� 1 0.1 2 0.01 3 0.001 4 0 5 -0.001 6 -0.01 7 -0.1


b)¿Quéobservacuando∆𝒙oh=0?¿Aquésedebeesevalor?

c) ¿A qué número se acerca la pendiente cuando∆𝒙ohse acerca a cero a partir de losnúmerospositivos?

d) ¿A qué número se acerca la pendiente cuando∆𝑥o hse acerca a cero a partir de losnúmerosnegativos?

e)Observandolarespuestasalosincisoscyd,¿llegaalamismaconclusión?

f)Cuando∆𝑥ohtiendeacero,¿aquétiendelapendiente?

g)Considerelaobservacióndelincisoanterior,¿esigualalvalorcuando∆𝒙oh=0?


h)¿Quépuedeconcluirdelasobservacionesdelosincisosfyg?i)¿Cómopuededefinirestetipodeanálisis(analíticoográfico)?Expliquesurazonamiento.





Actividad4:Límites

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación:ParteI(conlápizypapel):ConceptoInformaldelLímiteSupongaquequierecalcularlavelocidadpromedioalviajarenunacarreterarecta.Sipasaelkilómetro100alas12:00yelkilómetro140alas12:30:a)Escriba laoperaciónque realizaparaobtener la cantidadque seviajóypara saber encuántotiemposeviajó.

b) Utilizando las expresiones del inciso anterior, escriba la operación para calcular lavelocidadpromedio.

c)Expliquequéesunapendienteyescribalaexpresión.



d)Relacionelavelocidadpromedioconlaecuacióndelapendiente.¿Quéobserva?

Por otra parte, aun que la velocidad promedio es una cantidad fija, es casi seguro que lavelocidad instantánea (la velocidad indicada por el velocímetro), varía de unmomento aotro.Se lanza verticalmente una piedra del piso a una velocidad de 96 ft/s. Despreciando laresistenciadelaire,laposicióndelapiedradespuésdetsegundosestádadaporlafunción:𝑠,𝑡.=−16,𝑡-2.+96𝑡Laposiciónsesmedidaenpiescons=0,correspondealpisomientrasquetrepresentaeltiempoensegundos.e) Escriba las operaciones para calcular la velocidad promedio y calcule la velocidadpromedioentreelintervalodetiempo,i)t=1yt=3,ii)t=1yt=2,iii)t=1yt=1.5.

f)Observelosresultadosdei,ii,yiii.¿Quédiferenciaobserva?

g)Escribalaecuaciónparalavelocidadpromediodelapiedraentreelintervalo,,𝑡-0.,𝑡..

Al calcular lavelocidadpromedio,seutilizó laposicióndelobjetoadospuntosdistintos.Para la velocidad instantánea solamente se utiliza un punto distinto. Como se verá en lasiguientesección,lavelocidadinstantáneasecalculaapartirdevelocidadespromedios.h)Sinosinteresacalcularlavelocidadinstantáneaat0=1,secalculalavelocidadpromediosobreelintervalo[1,t].Escribalaecuacióndelavelocidadpromedio.


Lavelocidadinstantáneaenelpuntot=t0,sedeterminaalcalcularlavelocidadpromedioenelintervalo[t0,t1].Cuandot1seacercaat0,lavelocidadpromediotípicamenteseacercaa un número único, el cual es la velocidad instantánea. Lo anterior significa, que es uninstanteendondeelintervaloesmuypequeño.Estenúmeroseconocecomounlímite,elcualsepuedeexpresarmatemáticamentecomo:,𝑣-𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎.=,,lim-𝑡→,𝑡-0..-,𝑣-𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜..i)Sustituyalavelocidadpromediodelincisoh,delaexpresióndelavelocidadinstantánea.Endondet0=1.

j)Calculelavelocidadinstantáneautilizandolaexpresiónanterior.

ParteII(conCAS):ConceptoInformaldelLímiteEl límite , se refiereaun límitededos-lados; cuándo f(x) seacercaaL para

valoresdex<ayparax>a.Paraalgunasfunciones,esconvenienteanalizarlímitesdeunladodenominadoslímitesdemanoizquierdaydemanoderecha.Ladefiniciónsepuederesumircomo:

1. Límitedemanoderecha:Supongaquefesdefinidaparatodoslosvaloresdexcercanosaayx>a.Sif(x)esarbitrariamentecercanaaLparatodosvaloressuficientementecercanosaaconx>a,seescribe ysedicequeellímitedef(x)cuandoxseacercaaapor

laderechaesigualaL.

2. Límitedemano izquierda:Supongaque fesdefinidaparatodos losvaloresdexcercanos a a y x < a. Si f(x) es arbitrariamente cercana a L para todos valoressuficientemente cercanos a a con x< a, se escribe y se dice que el

límitedef(x)cuandoxseacercaaaporlaizquierdaesigualaL.Ell-imitedeunafunciónexistecuandoellímiteporlaizquierdaesigualqueellímiteporladerechaesdecir siempreycuando

€

limx→ a

f ( x) = L

€

limx→ a +

f (x) = L

€

limx→ a −

f (x) = L

€

limx→ a

f (x) = L

€

limx→ a +

f (x) = limx→ a −

f (x)


a)Considere lassiguientesgráficasyrelacione lagráficaconel tipode límitequeseestátomando.

i) ; ii) ; iii),,

b)Grafiquelafunción .Observelagráficaylaecuacióndelafunción,¿existe

algúnvalordexquenopuedetomar?¿Cuálesyporqué?

c) Compruebe utilizando lo siguiente: Coloque un punto sobre la grafica de la función ydeslice ese punto a lo largo de la gráfica, observe que coordenadas tiene el punto ¿Quésucedecuándox=2?Utilizandounincrementodetrazode0.01,completelasiguientetabla.

x 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05y

Considerelasexpresiones:i) ii) iii)

e)Delatablaanterior,¿quévaloresutilizaríaparaelcasoi?

€

limx→ a −

f (x) = L

€

limx→ a

f (x) = L

€

limx→ a +

f (x) = L

€

f (x) =x3 − 8x − 2

€

limx→ a +

x3 − 8x − 2

€

limx→ a −

x3 − 8x − 2

€

limx→ a

x3 − 8x − 2


f)Delatablaanterior,¿quévaloresutilizaríaparaelcasoii?g)Delatablaanterior,¿quévaloresutilizaríaparaelcasoiii?h)Representegráficamenteloscasosi,ii,yiii.

casoi

casoii

casoiii

i)Repitaelincisodparalafunción, .(Paraintroducirelmodulodevalorabsoluto,

utiliceabs(x)).

x -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05y

j)Representegráficamente:i) ,ii) iii)

€

f (x) =xx

€

limx→0

xx

€

limx→0+

xx

€

limx→0−

xx


casoi

casoii

casoiiik)Relacioneelincisohyelj;¿quéobserva?

l)Encuentreelvalorde .utilizandolasrepuestasdelosincisosdeldalh.

m)Encuentreelvalorde utilizandolasrespuestasdelosincisosiyj.

n)¿Quérelaciónexisteentreellímite,límitedeladerechaylímitedelaizquierda?

€

limx→ a

x3 − 8x − 2

€

limx→0

xx





Actividad5:LíneasSecantesyTangentes

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación: ParteI(conlápizypapel):ConceptodeLíneaSecanteyTangente

a)Completelasiguientetabla.Donde𝑦 = �10− 2�

5+ 1

P1 P2 y2–y1 x2–x1 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

(3,0.875) (8,9)

(3,0.875) (6,2)

(3,0.875) (5,1.125)

(3,0.875) (4,1)

(3,0.875) (3.5,0.984375)

(3,0.875) (3.1,0.908875)

(3,0.875) (3.05,0.892828)

(3,0.875) (3.01,0.878713)

(3,0.875) (3.005,0.876866)

(3,0.875) (3.001,0.875375) b)Grafiquelaslíneasrectasdelatablaanterior,enlasiguientegráfica.

c)Completelasiguientetabla,donde𝑦 = �10− 2�

5+ 1



P1 P2 y2–y1 x2–x1 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

(3,0.875) (8,9)

(5,1.125) (8,9)

(6,2) (8,9)

(7,4.375) (8,9)

(7.5,6.35938) (8,9)

(7.9,8.41488) (8,9)

(7.95,8.70375) (8,9)

(7.99,8.94015) (8,9)

(7.995,8.97004) (8,9)

(7.999,8.994) (8,9)

d)Grafiquelaslíneasrectasdelatablaanteriorenlasiguientegráfica.

e)Observelastablasdelincisoayc,¿quéobservadelasdiferenciasdex?


f)¿Quésignifica“x2–x1à0”?

g)¿Cuálesdelossiguientescasos,representanqueladiferenciadextiendeacero?

i)1ii)0.4iii)x2–x1à0iv)0.00001v) G

G4444

h)Relacionelossiguientesconceptos,consucorrespondientegráfica:líneasecanteylíneatangente.

i)Consuspalabrasyutilizandocomoreferenciaelincisoanterior,expliqueelconceptodelíneasecanteylíneatangente.


j)¿Quéentiendeporvelocidadpromedioyvelocidadinstantánea?

k)Considerelafunción𝑦 = �10− 2�

5+ 1ylosincisosayc,¿cuáleslapendientedela

tangenteenx=3yx=8?

l)Considerelafunción𝑦 = 𝑥0 + 0.5.Enlasiguientegráfica,tracelalíneatangenteenx=-2,-1,1,y2.

m)Utilizandolagráficaconlaslíneasrectas(figuradeladerecha),aproximeelvalordelapendientedelastangentesconapoyodeescuadras.

Tangenteen(x) Pendienteaproximada

-2

-1

1

2


n) Calcule las pendientes de las líneas tangentes en los puntos indicados y muestre laoperaciónrealizada.

Tangenteen(x) Operación Pendiente

-2

-1

1

2

o) Utilizando las pendientes de la tabla anterior, trace la línea tangente en el puntocorrespondiente,apoyándoseenlasrectasdereferencia.

p)Comparelaslíneastangentestrazadasenlosincisos“l”y“o”,¿quéobserva?

q)Considerelasfunciones−𝑥0,x3yex.Tracelascurvascorrespondientesylastangentesenlospuntos:x=-2,0,1,2y3.Completelatablaindicandolapendientedelatangente.


x -x2 x3 ex

-2

0

1

2

3 r)Elijalamejorfraseparacompletarladeclaración:Laspendientesenunagráficadecualquierfunciónson:siempreiguales,siemprediferentes,avecesigualesoavecesdiferentes.

En geometría euclidiana, una línea es tangente a un círculo si intersecta a dicho círculosolamenteenunpunto.Estadefiniciónesadecuadaparacírculos,peronoapropiadaparacurvasengeneral.Observandolafigura1a,lalíneatangenteparaelpuntoAtocalacurvaenotrospuntos.

Figura1a Figura1b


Observando lo anterior, debemos encontrar otra definición para la aplicación de líneastangentesparacurvas.Paraestefin,observelafigura1b.Nosinteresalalíneatangenteenla curvaenelplanoxy.La líneaquepasaporPyQ, esuna línea secante. SimovemoselpuntoQa lo largode lacurvahaciaelpuntoP,entonces la líneasecantegiraráhaciaunaposiciónlimitante.Dichaposiciónlimitante,esloquesellama,líneatangenteenelpuntop.ParteII(conCAS):RelaciónaLímitesEnelproblemaanterior,lapendientedelalíneatangenteparaelpunto(3,0.875)secalculógráficamente.Analíticamentelapendientesepuedeexpresardelasiguientemanera:

𝑚G0 =𝑦0 − 𝑦G𝑥0 − 𝑥G

=�𝑥2 − 2�

5+ 1 − 0.875𝑥 − 3 =

�𝑥2 − 2�5+ 0.125

𝑥 − 3

a)UtilizandolahojadecálculodentrodeCAS,completelasiguientetabla.

A B

� �𝒂𝟐 − 𝟐�𝟑+ 𝟎. 𝟏𝟐𝟓

𝒂 − 𝟑

1 2.9

2 2.95

3 2.99

4 2.995

5 2.999

6 3

7 3.001

8 3.005

9 3.01

10 3.05

11 3.1

b)¿Aquéesigual lim1→5�

��2V0�2D4.G0I

1V5y lim

1→5��2V0�

2D4.G0I

1V5?

c)Conbaseenloscálculosanteriores,¿aquéesiguallim1→5

��2V0�2D4.G0I

1V5?Expliquesu

razonamiento.


d)Compareellímitedelincisocylapendientedelatangenteenx=3,¿quéobserva?

e)¿Cómoseríalapendienteparalafunción𝑦 = �10− 2�

5+ 1enelpunto(8,9)?

f) Utilizando la hoja de cálculo dentro de CAS, complete la siguiente tabla. La columna Bcontienelaecuacióndelapendienteobtenidadelincisoanterior.

A B

� ☐

1 7.9

2 7.95

3 7.99

4 7.995

5 7.999

6 8

7 8.001

8 8.005

9 8.01

10 8.05

11 8.1


g)¿Aquéesigual lim

1→��𝑚y lim

1→��𝑚?

h)Conbaseenloscálculosanteriores,¿aquéesiguallim

1→�𝑚?Expliquesurazonamiento.

i)Compareellímitedelincisocylapendientedelatangenteenx=8,¿quéobserva?

j)¿Quérelaciónobservasentrelapendientedelatangenteenunpuntoparaunafunciónyellímitedelamismaenelmismopunto?

k)¿Aquésedebeloanterior?


ParteIII(Simbolización):EcuacióndelaPendientedelaLíneaTangenteLapendientedeunalíneasecantesepuedeexpresardelassiguientemanera:

𝑚()� =∆𝑦∆𝑥 =

𝑦0 − 𝑦G𝑥0 − 𝑥G

a)Expliqueensuspalabras,quéeslapendientedelatangente.

b)Escribaunaexpresiónalgebraicaquesimboliceloqueacabadedecirenelincisoanterior.





Actividad6:FunciónDerivada

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación: ParteI(Simbolización):EcuaciónConvencionaldelapendientedelaTangenteUnaformaconvencionaldeexpresarlapendientedelalíneatangenteeslasiguiente:

𝑚-'B = lim∆1→4

𝑚()� a)Comparelaecuaciónconvencionalanterior,conlaqueustedescribióenlaactividadpasada(incisobdelaparteIII).¿Observadiferencias?Siesunsí,¿cuálesson?

b)Sihaydiferencias,¿esporquefaltóconsideraralgo?Encasoafirmativo,¿quéfue?

ParteII(conCAS):FuncióndelasPendientesdelaLíneaTangente 46 Facultad de Físico Matemáticas de la Universidad Michoacana, México. 47 Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León, México.


Grafiquelafunciónx3+1,coloqueun“punto”sobrelafunción,Dentrodel“menúdegrafica”

,

Seleccione“Tangente”yseleccioneelpuntosobrelafunciónparaqueaparezcalatangente.Posteriormentemidaelvalordelapendiente.Hagaunpuntoquetengacoordenadas(x,m).Abraunahojadecálculo,llenelacolumnaAconlosvaloresde“x”ylacolumnaBconlos

valores de “m”. Dentro deMenu , elijaDatos y Estadísticas

y seleccione “Análisis de regresión de dos variables” Ahora deben aparecer losdatosgraficados.Sepuedehacerunajustededatosparalosdatosgraficados.Dentrodelagráfica,presione“ModelodeRegresión”.a)Delospasosanteriores,seobtuvounaecuacióndecuartoorden.Escribaloscoeficientesdelaecuación.

x4: x1:x3: x0:x2:b)Observelosvaloresdeloscoeficientes,¿sepuedenreduciroeliminarunos?¿Porqué?


c)Considerandoloanterior,¿cómoquedalaecuación?

d)Seobtuvounagráficadextcontramt.¿Quérepresentamt?

e)Considerandosurespuestadelincisoanterior,¿quérepresentalafunciónobtenidaenelincisoa?

ParteIII(conlápizypapel):ConceptodeDerivadaEnlosincisosanteriores,secalculólapendientedeunalíneatangenteenunpuntofijodelacurva.Siestepuntosemueveatravésdelacurva,lalíneatangentetambiéncambiayporlogeneral, su pendiente cambia (vea figura 1). Por esta razón, la pendiente de la líneatangenteparalafunciónftambiénesunafuncióndex,llamadaladerivadadef.


Dejamosquef‘(seleecomofprima)denotelafunciónderivadaparaf,locualsignificaquef ‘(a)cuando exista, es la pendiente de la línea tangente para la gráfica de f en (a, f(a)).Utilizandoladefiniciónanteriorparalapendientedelalíneatangente,tenemos:

𝑓�(𝑎) = 𝑚-'B = lim�→4

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)ℎ

Entérminosmásgenerales,sepuedereemplazarelaconxparallegaraladefinicióndelafunciónderivada.Laderivadadefeslafunción:

𝑓´(𝑥) = lim�→4

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ

siempre que el límite exista. Si f ‘(x) existe, decimos que f es diferenciable en x. Si f esdiferenciableencadapuntodelintervaloabiertoI,decimosquefesdiferenciablesobreI.Paraencontrarladerivadadelafunciónf(x)=x3+1,hacemos:

𝑓�(𝑥) = lim�→4

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ

= lim�→4

(𝑥 + ℎ)5 − (𝑥5)ℎ

= lim�→4

𝑥5 + 3ℎ𝑥0 + 3ℎ0𝑥 + ℎ5 − 𝑥5

ℎ

= lim�→4

3ℎ𝑥0 + 3ℎ0𝑥 + ℎ5

ℎ

= lim�→4

ℎ(3𝑥0 + 3ℎ𝑥 + ℎ0)ℎ

= lim�→4

3𝑥0 + 3ℎ𝑥 + ℎ0 = 3𝑥0Porlotantof‘(x)=3x2a)Relacionelaecuaciónf’(x)obtenidaconsufuncióndelaparteII,¿quéobserva?

Otrasnotacionesquesemanejansonlassiguientes:

𝑓´(𝑥) = lim∆1→4

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)∆𝑥 = lim

∆1→4

∆𝑦∆𝑥 =

𝑑𝑦𝑑𝑥

Ademásdef‘(x)ybs

b1,otrasformascomunesdeescribirladerivadaincluyen:

𝑑𝑓𝑑𝑥 ,

𝑑𝑑𝑥 𝑓

(𝑥),𝐷1𝑓(𝑥),𝑦𝑦´(𝑥)


b)¿Cuálesladerivadadeunaconstante?

c)Considerelafunción,f(x)=3.Grafiquelafunción,¿quérepresenta?

d)¿Cuálesladerivadadelafunción,f(x)=3yporqué?

e)Derivelassiguientesfunciones:x,x2,x4yx7.Observandolasderivadas,¿cómopuedededucir b

b1𝑥B?

f)Considerelafunciónf(x)=x3+x2+x.Grafiquelafunciónf(x)enelejedelaizquierdayf’(x)enladerecha.Además,escribalaecuacióndef’(x)debajodelagráfica.

f(x)=x3+x2+x f’(x)=


g)Utilizandolainformaciónanterior,calculelapendientedelatangentedef(x)enelpuntox=3.

h)¿Quéinformaciónutilizópararesponderelincisoanterior?¿Porqué?

i)Suponganquef(x)yf’(x)estándados,¿quéindicaf’(3)conrespectoalafunciónf(x)?

j)Sif(x)estadefinida,¿cómocalcularíalapendientedelatangenteencualquierpuntodex?Expliquesuprocedimiento.





Actividad7:Aplicaciones

Líder:Calculadora:HojadeTrabajo:NúmerodeEquipo: HoradeInicio: HoradeTerminación: A.PuntosCríticosySuSignificadoParteI(conlápizypapel):AnálisisdeFunciones:Creciente,DecrecienteyConcavidadLos términos creciente, decreciente y constante son utilizados para describir elcomportamiento de una función al moverse de la izquierda a la derecha. Sucomportamientodependedelosvaloresdef(x).

Figura1.

a)Considerelafigura1,completalasiguientetablaconlostérminoscreciente,decrecienteoconstante.


Intervalosdex Comportamientodelafunción

a–b

b–c

c–d

d–∞


b)Encadaunade lassiguientes figurasseencuentran4puntos.Paracadapuntotrace latangente.

c)Considerelastangentesdelincisoanterior.¿Quépuedeconcluirdelosvaloresdelastangentesparaunafuncióncreciente,decrecienteyconstante?

Figura2. Figura3.d)Observelafigura2,¿quérepresentaelpuntoC(máximoomínimo)?¿Quéobservaconrespectoalastangentesdecadaunodelospuntosdeesafigura?

e)Observelafigura3,¿quérepresentaelpuntoH(máximoomínimo)?¿Quéobservaconrespectoalastangentesdecadaunodelospuntosdeesafigura?


f)Recordandoqueunaderivadarepresentaunatangenteyanalizandosusrespuestasdelosincisosdye,¿quéeselvalordeladerivadaenunmáximoomínimo?Estepuntoseconocecomounpuntocrítico.

Figura4.

g)Observandolafigura4,¿cuálesseríanlospuntoscríticosdelaprimeraderivada?¿Porqué?

h)Considerelafigura4,completalasiguientetabla.Enlacolumna“Intervalo”,escribalosintervalosqueestánseparadosporlospuntoscríticos.Lacolumna“Comportamiento”serefiereasilafunciónescrecienteodecrecienteylacolumna“Valordef‘”serefiereasila

derivadaespositivaonegativa.

Intervalo Comportamiento Valordef´


i)¿Quérelaciónencuentraentreelcomportamientodelafunciónyelvalordeladerivada?

j)Observelafigura4ylosincisosanteriores,siexisteunpuntocrítico,¿cómosepuedeclasificarcomomáximoomínimoconrespectoalaprimeraderivada?

k)Regresealafigura4,¿enquévaloresdexexistenmínimos?¿Enquépuntoseencuentraelmínimoabsoluto?

l)Delafigura4,¿enquévaloresdexexistenmáximos?¿Enquépuntoseencuentraelmáximoabsoluto?

m)¿Quéentiendecomounmáximo/mínimoabsolutoyunmáximo/mínimorelativo?Matemáticamente¿cómoseexpresasuobservación?

Aunqueelsignodeladerivadadefindicaendóndelagráficadefescrecienteodecreciente,noindicaladireccióndelacurvatura.Porejemplo,lafunciónescrecienteenambosladosdelpuntoenlafigura5,peroenelladoizquierdotieneunacurvaturahaciaarriba(“retieneagua”)yenelladoderechotieneunacurvaturahaciaabajo(“derramaagua”).Enintervalos


dondelagráficadeftieneunacurvaturahaciaarribasedicequefescóncavahaciaarriba,yenintervalosdondelagráficadeftieneunacurvaturahaciaabajosedicequefescóncavahaciaabajo.Lacurvaturatambiénseconocecomolaconcavidad.

Figura5.n)Paralasfigurasenlospuntosindicados,estimeytracelalíneatangentecorrespondiente.

o)Observesurespuestadelincison,¿quéobservacióntieneconrespectoalaspendientesparacurvascóncavahaciaarribaycóncavahaciaabajo(laspendientesaumentanodisminuyen)?¿Aquéconclusionesllegaconrespectoalvalordeladerivadadelafunciónf‘paracurvascóncavahaciaarribaycóncavahaciaabajo?

p)Silaprimeraderivadaf‘escreciente,¿cómoserálasegundaderivadaf‘’?

q)Sif‘esdecreciente,¿cómoseráf‘’?


r)¿Quérelaciónexisteentreelvalordelasegundaderivadaf‘’conrespectoalaconcavidaddelafunciónf?

ParteII(conCAS):ComprobaciónGraficaa)Grafiquelafunciónf(x)=x2–4x+3.¿Quétipodeconcavidadobserva?¿Cambialaconcavidadenalgúnintervalo?Compruebesuobservaciónutilizandolasegundaderivadadelafunción.

b)Grafiquelafunciónf(x)=x3.¿Quéobservadelaconcavidad?¿Cambiaenalgúnpunto?¿Cuáleslasegundaderivadadelafunción?

c)Considerelosincisosayb,enelpuntodondecambialaconcavidad,¿cuántovalelasegundaderivadaendichopunto?

d)Elijados(2)puntosdelafuncióndelincisob,unoendondehayconcavidadhaciaarribayotroendondehayconcavidadhaciaabajo.¿Quévalorestomalasegundaderivadaendichospuntos?


Enlosincisosanteriores,seobservaquehayunpuntodondecambialaconcavidad,dichopuntoseconocecomoelpuntodeinflexión.e)Sienunpuntodeinflexiónhayuncambiodeconcavidadyobservandolarespuestadelincisoanterior,¿cuálesseríanlosintervalosdeconcavidad?

Grafique las funciones f(x)=x3–3x2+1, f ‘(x)y f ‘’(x) en lamismapantalla. Utilice comoreferencialasgráficaspararesponderlossiguientesincisos.f)¿Quérelaciónobservaentrelaprimeraderivadaylafunción?Considerelosmáximosymínimosylosintervaloscrecientesydecrecientesensurespuesta.

g)¿Quérelaciónobservaentrelasegundaderivadaylafunción?Considerelosmáximosymínimos,concavidadylosintervalosdeconcavidad.

Enlosincisosanteriores,seobservalaimportanciadeencontrarloscerosdeunaecuación.EnelsistemaCAS,existeelcomando“x=”.Dichocomandoencuentraloscerosdelafunción.

h)Introduzcax3+4x2+x–6,xyposteriormenteoprimaelicono“x=” ,¿quésucedeyquérepresentanesosvalores?Compruebeesosvalores.


Paralossiguientesincisosutiliceloscomandos“x=” ,derivar ysustituye ,etc.perosinutilizarlagráfica.Ademásconsiderequef(x)=x4–5x3+9x2.i)¿Quéprocedimientoutilizaríaparaencontrarlosintervalosdecrecimientoydecrecimiento,ylosmáximosymínimos?¿Cuálessonlosintervalosy,losmáximosymínimos?

j)¿Quéprocedimientoutilizaríaparaencontrarlosintervalosdeconcavidadylospuntosdeinflexión?¿Cuálesconlosintervalosdeconcavidadylospuntosdeinflexión?

k)CompruebelosincisosjykalgraficarlafuncióndentrodelsistemaCAS.¿Observaalgunasdiferencias?

l)Reflexionesobrelaactividadyresumaelefectoquetienenlasderivadas(primeraysegunda)sobrelagráficadelafunción.

159

9 LAECUACIÓNLINEALCONDOSVARIABLES:UNAPROPUESTAPARASUAPRENDIZAJEENLAESCUELASECUNDARIAMEXICANA


MaríaTeresaDávilaAraiza50,AgustínGrijalvaMonteverde51

INFORMACIÓNGENERALYRECOMENDACIONESALDOCENTE

NOMBREDELASECUENCIADEACTIVIDADES:Variaciónlinealymovimiento.PROPÓSITODELASECUENCIA:Quelosestudiantescomprendanlafunciónlinealcomounmodelodelavariaciónlinealentreposiciónytiempo(co-variacióndirectamenteproporcional),cuandoelmovimientoesrectilíneoydevelocidadconstante.Tambiénsepretendequeelestudianteapliqueloaprendidoalcontextodellenadoderecipientes.GRADOACADÉMICODONDESEPUEDEIMPLEMENTAR:Primersemestredebachillerato(estudiantesde15a16años).CONTENIDOSMATEMÁTICOSABORDADOS:proporcionalidad,variaciónlinealyfunciónlineal,ensusrepresentacionesgráfica,numéricayalgebraica.TOTALDEACTIVIDADESYDURACIÓNAPROXIMADA:8actividades,pararealizarseenuntotalde5sesionesde50minutoscadauna,aproximadamente.

MATERIALESNECESARIOS:Hojasdetrabajoparacadaestudiante,unacomputadoraconGeoGebraparacadaequipodeestudiantesyproyector.Además,hojasdepapel,plumónnegroycintaparaconstruirunarectanuméricaenelpisodelsalón.RECOMENDACIONESPARAELDOCENTE:AntesdeiniciarlaActividad1:1) Se construye la rectanumérica en el pisodel salón, tomando como origen

una líneadereferenciaycomounidaddemedida la longituddeun cuadrodelpiso.

2) Losestudiantessedebenfamiliarizarconlanocióndeposicióncomoubicación en la rectanumérica, a cierta cantidadde cuadrosdetrás (paraposiciónnegativa) o delante (paraposición positiva)de la línea dereferencia.LaFigura1ilustralarectanuméricaydosestudiantesE1 y E2ubicadosenlaposición-2y3respectivamente.

Figura1.Rectanumérica

LaActividad1partedeobservarelmovimientodedosestudiantesquecaminanenlínearectaavelocidadconstante,perodistintaentresí.Paraello,elprofesorpidelaparticipacióndedosestudiantesy,sinqueelrestodelgrupoescuche,lesdalasinstruccionessiguientes:

• Elprimerestudiante(E1)avanzará2cuadroscadasegundodesdeelorigen.• Elotroestudiante(E2)avanzará1.5cuadroscadasegundodesdelaposición3.

Losestudiantesvoluntariosavanzaránsimultáneamentedurante5segundos,mientrasque

50 Universidad de Sonora, México. [email protected]. 51 Universidad de Sonora, México. [email protected]

160 Actividadesdelcapítulo9.Variaciónlinealymovimiento:delaexperienciacorporizadaalossignificadosinstitucionales

elprofesorcuentaenvozaltacadasegundo.Puedesernecesarioactuarelmovimientovariasveces.Unavezobservadalacarrera,losestudiantespuedencomenzaracontestarsushojasdetrabajo.INSTRUCCIONESPARAUSARELAPPLET:ElarchivodeGeoGebrapararealizarlasactividades4y5estádisponibleenelenlacehttps://ggbm.at/jsqbfnhg.Enelarchivo,elestudiantepuedecambiarlavelocidadypuntodepartidadelosdosparticipantesdelacarreraparaexplorarnuevascarrerasyencontrarrelacionesentrelasdiferentesrepresentacionesdelmovimientoquesemuestranenGeoGebra.Página1 INSTRUCCIONES

Nombredelalumno:____________________________________________________

Miembrosdelequipo:

Grupo:____________Fecha:__________

Contestalaspreguntasyrealizaloquesesolicitaencadaunadelasactividadesdetushojasdetrabajo.Registrasiempretusrespuestasentushojasdetrabajo,aunquehayastrabajadoenequipo.

Página1 Actividad1:Observayrepresentaelmovimiento(Individual,10minutos)

1. ¿Cómoavanzacadaunodelosparticipantesenlacarrera?Describedetalladamente.2. Realiza un dibujo o ilustración donde se muestre cómo fue avanzando cada uno de los

participantes.3. ¿Enquéposiciónseubicócadaunodelosparticipantesenelsegundo0,1y5?4. ¿Cuántoavanzóentotalcadaparticipantedurantelos5segundosdelacarrera?

Página2 (Equipo,10minutos)

5. Muestraatuscompañerosdeequipolailustraciónquehicisteydiscutanquéelementostienenencomúnsusilustraciones.

6. Elaboren en equipo una gráfica que muestre cómo es el movimiento de cada uno de losparticipantesdurantelacarrera.

7. ¿Tehizofaltaconsideraralgoimportanteentudibujo?Explica.


Página3 Actividad2.Gráficasdelacarrera(Individual,10minutos)

Estagráficarepresentaelmovimientodeunparticipantedelacarrera.8. ¿Cuántos cuadros avanza este participante cada segundo?

Explicacómolosupiste.9. ¿Cuálparticipantecaminódeestamanera?10. ¿Cuántoscuadrosavanzóentotalesteparticipantedurantelos

5segundosdelacarrera?11. Sisetriplicaeltiempodelacarrera(sidurara15segundos),

¿cuántoavanzaríaentotal?Explicaturazonamiento.

Estagráficarepresentaelmovimientodeunparticipantedelacarrera.12. ¿Cuántoscuadrosrecorreesteparticipantecadasegundo?13. ¿Al movimiento de cuál participante corresponde esta

gráfica?14. ¿Cuántos cuadros en total avanzó este participante durante

los5segundosdelacarrera?15. Silacarreradurara2.5segundos,¿cuántoscuadrosavanzaría

en total esteparticipante? ¿Y el otroparticipante?Explica turespuesta.



Comparensusrespuestasyestrategiasalaspreguntasanteriores.16. ¿Acuálparticipantecorrespondecadarecta?17. Elaboren una tabla con la información de la posición donde se

ubicaríacadaparticipanteenlossegundos0,1,1.5,5y8.75.18. ¿Encuentras alguna relación entre los valores del tiempo y los

valores de la posición, en el caso del participante que inició en laposición0?Describeestarelación.

19. Escribe una ecuación o fórmula que relacione tiempo y posición yque sirva para saber la posición del participante en un valorespecíficodeltiempo.

20. Repite las preguntas 18 y 19 para el participante que inició en laposición3.

Página5 Actividadgrupal(15minutos)

21. ¿Es el tiempo es directamente proporcional a la posición, en el movimiento de cadaparticipantes?Explicaturespuesta.

22. ¿Cuáleslaconstantedeproporcionalidad?23. ¿Los incrementosde tiemposondirectamenteproporcionalesa los incrementosdeposición,

enelmovimientodecadaparticipante?24. ¿Cuáleslaconstantedeproporcionalidadencadacaso?

Página6 Actividad3.Cambiosenlacarrera(Individual,10minutos)

Elprofesorestáplaneandocambiarcómoavanzaunodelosparticipantesdelacarrera,demaneratalqueseobtenganlossiguientesdatos:

𝑥:Tiempo(segundos)

0 3 5 8

𝑦:Posición

9.5

14.5

22

25. ¿Cuáleslavelocidaddeesteparticipante?Esdecir,¿cómoavanzarácadasegundo?¿Cuálserásupuntodepartida?Explicacómohicisteparasaber.

26. ¿Cuálde las siguientes gráficas correspondealmovimiento de eseparticipante? Explica turazonamiento.



Comparensusrespuestasobtenidasenlaspreguntasanteriores.27. Actúen el movimiento como lo describieron en la pregunta 25 para verificar que

correspondaalatabladedatosdearriba.28. Encuentrenunaecuacióno fórmulapararepresentarlarelaciónentre tiempoyposición

paraestecaso.

Página8 Actividad4.ModelandolacarreraenGeoGebra(Equipo,32minutos)

Abranelarchivocarrera.ggboelenlacehttps://ggbm.at/jsqbfnhg.En élpodráncreardiferentescarrerasparadosparticipantes E1yE2.Puedencambiarsuvelocidad(V1paraE1yV2para E2),supuntodepartida(P1paraE1yP2paraE2)yladuracióndelacarrera.

Conlosbotonesverdespuedeniniciarypausarlacarrerayobservarcómoavanzanlosparticipantes.Parareiniciarelcontadordetiempohayquedeslizarlohacialaizquierda.

Delladoderechodelapantalla,puedenobservarlasgráficasquegeneracadaparticipante.Alactivarlacasilla“Ecuaciones”podránescribirlasecuacionesqueustedescreenquemodelanelmovimientodelosparticipantesyverificarsisononocorrectas.

29. Generenenelarchivounacarrerade10segundos,dondeE1tieneunavelocidadde1cuadrocada segundo y comienza desde la posición -2, mientras que E2 tiene velocidad de mediocuadroporsegundoeiniciaenlaposición2.¿Quiénganólacarrera?

30. ¿Quésignificaquelasrectasdeladerechaseintersequen?¿Enquésegundosucede?31. ¿Cuál es la ecuación que representa el movimiento de cada participante? Comprueben con

ayudadeGeoGebraqueseancorrectas.32. ¿Qué velocidad y qué punto de partida deberían tener los participantes para generar las

fórmulas𝑦 = 0.75𝑥 − 1y𝑦 = 0.25 + 4?33. Jueguenacrearotrascarrerasyencontrarlasecuacionesquerepresentenelmovimientode

losparticipantes.


Página9 Actividad5.Lagráficavahaciaabajo(Equipo,18minutos)

34. ¿Cómodeberíancaminarlosparticipantesdelacarreraparaobtenerestasgráficas?ExplicadetalladamenteycompruebaturespuestaenGeoGebraoactuandolacarreraconunodetuscompañeros.

35. ¿Hayproporcionalidaddirectaentretiempoyposiciónenelmovimientodeambosparticipantes?

36. ¿Cuálessonlasconstantesdeproporcionalidadencadacaso?37. ¿Cuáles son las ecuaciones que relacionan tiempo y posición para cada

caso?38. Jueguenacrearotrascarrerasyencontrarlasecuacionesquerepresenten

elmovimientodelosparticipantes.

Página10 Actividad6.Otrotipodemovimiento(Individual,10minutos)

Unestudiantecaminadetalmaneraqueseobtienenlossiguientesdatos:

𝑥:Tiempo(segundos)

0 2 5 9

𝑦:Posición 0 4 6 8

39. Describesumovimiento.40. Describesuvelocidad.41. ¿Losincrementosdeposiciónsondirectamenteproporcionalesalosincrementosdetiempo?

Explicaturespuesta.42. Elaboraunagráficacartesianadeestemovimiento¿Quéobservas?

Página11 Actividad7.Recipientescilíndricosdemismotamaño

(Equipo:30minutos)

Dosrecipientessonllenadosconaguaconunflujoconstantede4litroscadaminuto.Lasdimensionesdelosrecipientessonlasmismasyseseñalanenlasiguientefigura.Unodeellosestáoriginalmentevacíoyelotroyatieneaguahastaunaalturade10cm.

1. Señalalasmagnitudesvariablesqueestáncambiandoencadarecipiente,conformesevanllenando.

2. Elabora una tabla para cada recipiente donde se especifique la altura endiferentestiempos.

3. Determina una expresión o ecuación para calcular la altura del agua a partir deltiempotranscurridoparacadaunodeellos.Consideraeltiemponecesarioparaquecadarecipienteselleneyestablezcalasrestriccionesparaelvalordeltiempoencada


caso.4. Elaboraunagráficadealturacontratiempoencadacaso.5. ¿Qué tienen en común esta situación y las estudiadas previamente con relación al

movimientodesuscompañerosdeclase?Explicadetalladamente.

Página12 Actividad8.Recipientescilíndricosdetamañodiferente(Equipo:30minutos)

Losdosrecipientesqueseilustranacontinuaciónsellenandeaguaaflujoconstantede6litroscadaminuto.

1. Determinaparacadaunodeellosunafórmulaoecuaciónparacalcularlaalturadel

aguaenelrecipienteenfuncióndeltiempo.2. Sihicierasunagráficaquesecorrespondaconcadaunodeloscasos,¿quédiferencias

tendrían?Respondedetalladamente,perosinhacerlasgráficas.3. Sinelaborartablasnuméricas,determinacómoseríaelcomportamientodelaaltura

conrelaciónaltiempoencadacaso.

167

10 PROBLEMESD’APPRENTISSAGEDUCALCULDIFFERENTIELETAPPORTDELAMETHODEDEFERMATPOURUNEAPPROCHED’ENSEIGNEMENTPLUSINTUITIVE

Activitésduchapitre11:GuidepourleprofesseurPedroRogérioDaSilveiraCastro52

INFORMATIONSSURL’ACTIVITÉETRECOMMANDATIONSPOURENSEIGNEMENT

NOMDEL’ACTIVITÉ:La Méthode de Fermat pour une approche d’enseignement plus intuitive du calculdifférentiel.

OBJETDEL’ACTIVITÉ:Notreobjectifc’estdeconstruirechezlesétudiantsunconceptsolideducalculdifférentiel,englobant les aspects intuitifs, les aspects historiques, les aspects algébriques et lesaspectsgéométriques.DEGRÉACADÉMIQUESUSCEPTIBLED’ÊTREMISENŒUVRE:

Cetteactivitéestdestinéeauxétudiantsdelapremièreannéeuniversitaireoucollégiale.

CONTENUMATHÉMATIQUEADRESSÉ:Introduction au calcul différentiel, les points extremum des fonctions (maximale etminimale)etintroductionauconceptdeladérivée.DURÉEAPPROXIMATIVE:

Pourchaqueactivitéc’estestiméuneduréede50minutes.

MATÉRIAUXNÉCESSAIRES:Papier,crayon,calculatriceetlelogicielGeoGebra.

RECOMMANDATIONSPOURL’ENSEIGNANT:D’abord c’est recommandé un travail individuel d’investigation ensuite indiqué laformation d’équipes de trois étudiants pour la continuation de l’investigation et endéfinitive la discussion globale en grand groupe. Une étape d’autoréflexion (retourindividuel à la situation), et finalement l’étape d’institutionnalisation, de parte duprofesseur,duconceptmathématiqueenvisagé(voirméthodeACODESAdanslechapitre1dulivre).Nousallonsproposer4activitésdanslesquellesledegrédedifficultésvaaugmenterpeuàpeu. L’objectif c’est de familiariser l’étudiant à la modélisation mathématique etl’utilisationde laméthodedeFermatpour trouver lespointsextremumsd’une fonctionmathématique.Pour les deux premières activités, les objectifs sont d’introduire chez les étudiants 52 Université du Québec à Montréal (UQAM) – Canada – [email protected]

168 Activitésduchapître10.Problèmesd’apprentissageducalculdifférentieletapportdelaméthodedeFermatpouruneapproched’enseignementplusintuitive

l’utilisationdelaméthodedeFermatpourtrouverlespointsdemaximumoudeminimumd’une fonction et demontrer l’efficacité de laméthode dans la résolution de situationsproblèmes.Tandisquepourlesdeuxdernièresactivités,nousallonsremplirlesobjectifsenvisagésdanslesdeuxpremièresactivitésetaussicontextualiserleconceptdeladérivéedansdessituationsdelaviequotidienne.De plus, nous croyons que montrer les applications de la dérivée est possible etintéressant.Cecivacontribueràlaconscientisationdel’importanceducalculdifférentielet peut impulser les étudiants à aller plus loin dans le sens afin de construire unapprentissagesignificatif.Ainsi, les situations problème que nous proposons dans les situations problème 3 et 4s’appuientsuruneconscientisationdel’environnement,caraujourd’huinousvoyonsquele gaspillage dematériel pour la fabrication de produits industrialisés prend de plus enplusd’ampleur.Faceàceconstat,onpeutseposerlaquestionsilesformesdesemballagesquiexistentdansnossupermarchéssontconvenablespourl’environnement.Àl’aidedesmathématiques est-il possible de susciter une réflexion sur ces formes dans le butd’améliorernotrecontexteenvironnemental?LeformatproposéestbiendétaillédanslaSP1(Situationproblème1,etilestsuggérédelesuivresurlesautressituationsproblèmessuivantes,carlesétapespourlaconstructiondel’activitésontlesmêmes.

Remarque:LesfichiersGeoGebradetouteslessituationsproblèmessontdisponibles.

A) Àlarecherchedel’optimisation–situation-problème1:EnutilisantlaméthodedeFermatprésentéeauparavant,essayederépondrelaquestion

suivante:

Detouslesrectanglesayant60cmdepérimètre,laquelleal’airemaximale?Remarquepourl’enseignant:Cettepremièreactivitésembleêtretrèssimpleetellel’esteneffet.Par contre,notre choix c’estde commencer lamodélisationmathématique chezlesétudiantsdefaçonsolideetpourcefairenousallonsdébuterpourlescasplussimplesetpeuàpeu,encourageantgraduellementnousallonsamener lesétudiantsauxcaspluscomplexesoùlesconnaissancesmathématiquesdevrontémergernaturellement.Decettemanière,nouscroyonsl’apprentissagemathématiqueseraplusintéressantetstimulant.

«Uneétincellesuffit,silecombustibleestbeau,lefeuapparaitra»

PedroCastro


Page1Àlarecherchedel’optimisationPrénomdel’étudiant:Nom des membres de

l’équipe:Groupe:_____________Date:________________

Instructions:

• Pourlapremièreactivitéindividuelle,utilisezunstylobleu.

• Pouruntravaild’équipe,sivousmodifiezvotreréponse,utilisezunstylorouge.

• Engroupe,sivousmodifiezànouveauvotreréponse,utilisezunstylovert.

Page2

EnutilisantlaméthodedeFermatprésentéeauparavant,essayederépondrelaquestionsuivante:

Detouslesrectanglesayant60cmdepérimètre,laquelleal’airemaximale?

Page3RÉFLEXIONINDIVIDUELLE

Danscettesection, l'étudiantestautoriséàexprimer individuellementses idées initiales(représentationsfonctionnellesspontanées)surlasituationprésentée.Ons'attendàunepremièreapprochedelasituationetàunprocessusderéflexionavantladiscussionentrel'équipe. Il est possible que les élèves initient avec une approche de modélisationmathématique.

Il est possible d'ajouter dans cette section des directives ou des suggestions quisoutiennent la formulation des approches des étudiants. Par exemple, l'utilisation desinstruments de mesure, l’utilisation du logiciel GeoGebra pour faire les premièresinvestigations,entreautres.

Danscetteétapeestattenduque lesétudiantscomprendrebien lasituationproposéeetencore qu’ils soient capables de trouver la fonction mathématique qui modélise leproblème.


Page4DISCUSSIONPARÉQUIPE

En équipes de trois participants, les élèves discuteront des stratégies utilisées etcompareront les différentes procédures ainsi que les réponses obtenues. Dans cettesection,ilestpossiblequeplusd'uneidéecentraleapparaissedansl'équipementetqu'ilsoitimportantdel'écrire.

Aucoursdeladiscussion,lesétudiantspourrontutiliserlatechnologiepourvérifierleursréponsesougénérerdesidéesquirépondentàleursquestions.Parmieux,l'utilisationdeGeoGebrapeutêtreintroduitedanscettesection.

Dans cette page devrait être soulevé quelques lignes directrices de discussion dansl'équipementpouruneplusgranderéflexion.

Pour cette première activité, la fonction qui modélise le problème est la fonctionquadratique dont les connaissances préalables chez les étudiants pourront apparaître,tellescommelaformulepourtrouverlesommetdelareprésentationdupolynômede2edegré,cequiestintéressantàvaloriser.Parcontre,laquestionposéedemanded’utiliserlaméthodedeFermatpour répondre laquestion,donc c'est attenduque lesétudiantsquin’ontpasutilisélaméthodeenseignéeparFermatreviennentàlasituationdudébutpourconfronter leurs résultats et utiliser la méthode enseignée pour répondre la questionproposée.

Page5DISCUSSIONENGROUPE

Chaque équipe choisit un représentant pour expliquer au groupe les idées discutées auseindel'équipe.L'enseignantchercheàposerdesquestionsquimotiventunediscussionsurlesréponsestrouvées.Danscettesection,lesétudiantspeuventécrireouenregistrerdesidéesd’autreséquipesetlesintégreràleursprocédures.

Page6AUTORREFLEXIÓN

L'autoréflexionestunepartiedel'activitéàlaquelleonrépondàlamaison(tâche)ouenquelquesjoursaprèsl'applicationdel'activité.Sonobjectifestdepermettreàl'étudiantdereproduire les procédures choisies comme il convient par le groupe pour résoudre leproblème de recherche. Il est possible de proposer des activités similaires à cellesproposéeslorsdelaréflexionindividuelle.

Commesuggestiond’activiténousproposeronsauxétudiantsdegénéraliser la situationproblème:


Detouslesrectanglesayantlepérimètrefixém,laquelleal’airemaximale?

Remarque:Ilestattendudanscettepropositionquelesétudiantsconcluentquedetouslesrectanglesayantlepérimètrefixém,lequelestceluiquial’airemaximale,c’estbienlecarré

B)Àlarecherchedel’optimisation-Situationproblème2:EnutilisantlaméthodedeFermatprésentéeauparavant,essayederépondreàlaquestion

suivante:

Detouslesrectanglesayant4𝑚0d’aire,lequelalepérimètreminimal?

Commesuggestiond’activiténousproposeronsauxétudiantsdegénéraliserlasituationproblème:Detouslesrectanglesayantl’airefixéA,lequelalepérimètreminimal?

Delamêmemanièreàlasituation1,nouscherchonslafonctionquimodéliseleproblème.Par

lasuite,noussommesintéressesàtrouverlepointoptimalquerépondrelaquestionproposée.Parcontredanscetteproposition la fonctionquimodélise leproblèmen’estpasune fonction trivialecomme la fonction quadratique présentée dans la situation-problème 1 et pourtant nousprovoqueronsl’étudiant,carleursconnaissancespréalables,tellescommelaformulepourtrouverlesommetdelacourbeliéeàlafonctionnerentrentpasdanslasolution.Notamment,nouscroyonsque les situations de provocations comme ceci c’est une manière efficace de stimulerl’apprentissage.

C)Àlarecherchedel’optimisation-Situationproblème3:

EnutilisantlaméthodedeFermatprésentéeauparavant,essayederépondreàlaquestionsuivante:

Étantdonnéeunefeuilledepapiercartonenformatrectangulaireayantcommemesuresdecôtesde8dmsur5dm,ilestdemandédeconstruireuneboiteaveccouvercleenformatdeprismedroitàbaserectangulairedetellesortequelacapacité(levolume)obtenuesoitmaximale.

Pourcetteactivité,noussuggéronsquechaqueétudiantamèneunevraieboiteprismatique.Cetteactivitéacommebutdetrouver lasolutionàpartird’unesituationplusprochede laquotidiennedes étudiants et pourtant nous rentreronsdansdes situations reliées à des situations concrètes,dansdessituationsdemodélisationmathématiquequiontlecaractèrefonctionnelattachéeàlavie.

Remarquepourl’enseignant:Danscettesituationc’estpossiblequelesétudiantsdemandentsilesrabatsvontcouvrirtoutelaboiteousilacouvertureseraaumilieud’unrabat.

Pourélucidercetteactivité,voirlesfigures:


Tout d’abord, nous suggérons que chaque étudiant démantèle sa propre boite pour regarder lepatronforméclairement.Ensuitevientl’étapedemodélisationdelasituationetenfinvientl’étapedelarésolutiondelasituation.

D)Àlarecherchedupointoptimal-Situationproblème4:

EnutilisantlaméthodedeFermatprésentéeauparavant,essayederépondrelaquestionsuivante:Detouteslesboîtescylindriquesavecunvolumede300𝑐𝑚5,lequelestcellequial'airetotaleminimale?

De lamêmemanièreàdessituationsproposéesauparavant,nouscherchons la fonctionquimodélise le problème ensuite nous sommes intéresse le point optimal qui répondre la questionproposée. Par contre dans cette proposition la fonction qui modélise le problème n’est pas unefonction triviale encore et les manipulations algébriques un peu plus complexes seraientnécessaires.

Pourcetteactivité,noussuggéronsquechaque étudiantamèneunevraieboitecylindrique.Cette activité a comme but relier les mathématiques à partir d’une situation plus proche de laquotidiennedesétudiantsetpourtantnousrentreronsdansdessituationsreliéesàdessituationsconcrètes, dans des situations de modélisation mathématique qui ont le caractère fonctionnelattachéeàlaviedetouslesjours.

Le point intéressant dans cette situation est le fait que la plupart des boites cylindriquestrouvéesdansdessupermarchésn’ontpasleformatidéaletpourtantnesontpasconvenablespourl'environnement.Parconséquent,ilestsusceptiblededemandersiavecl’aidedesmathématiquesilestpossibled’améliorerl’environnement.

Évidemment, il faut souligner que pour une consultation complète sur les formats desemballages, c’est nécessaire de considérer les autres contraintes telles comme le palet impliquédanslasituation,lecamionetledépôtoùlaboiteseragardéeetmêmeleproduitquiseradéposésurlaboite.Égalementilyaencorelesautrescontraintesreliéesàlapublicitéetàl’ergonomieduproduit,parexemple.

Néanmoins,ilestpassiblelequestionnementsurleformatdecertainsemballagestelscommedesemballagespourdumaïsoulesautresgrainsquin’ontaucunepréoccupationavecl’ergonomieouàlapublicitéetquandmêmenousvoyonsquelegaspillagedematérielestévident.


Exemplederésolutiondessituationsproblèmesproposées

Pourclarifiernousdonnonsàtitred’exemplelarésolutiondel’activé4.SP4:Detouteslesboîtescylindriquesavecunvolumede300𝑐𝑚5,quelleestcellequial'airetotaleminimale?

Étape1:Prisededonnéesetmodèlemathématique

Soitrlerayondelaboitecylindriqueethleurhauteur,nousvoulonsdéterminerlesvaleursderethdetellefaçonquel’airetotalesoitminimale.

Étape2:Trouverleséquations

𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟0(Airelatérale+Airedelabase)et

𝑉 = 𝜋𝑟0ℎ

𝑉 = 𝜋𝑟0ℎ = 300; ℎ𝑒𝑡𝑟 > 0.

Alors,ℎ = 544�/2et𝐴 = 2𝜋𝑟. 544

�/2+ 2𝜋𝑟0.Donc,𝐴(𝑟) = p44

/+ 2𝜋𝑟0

𝐴 = 2𝜋𝑟.300𝜋𝑟0

+ 2𝜋𝑟0

𝐴(𝑟) =600𝑟+ 2𝜋𝑟0

EnutilisantlaméthodedeFermatpourtrouverlesextremumsd’unefonctionviennent:

𝐴(𝑟) =600𝑟+ 2𝜋𝑟0

𝐴(𝑟 + 𝑒) =600𝑟 + 𝑒

+ 2𝜋𝑟0 + 4𝜋𝑟𝑒 + 2𝜋𝑒0𝐼𝑙𝑑𝑜𝑖𝑡𝑎𝑑é𝑔𝑎𝑙é𝐴(𝑟)à𝐴(𝑟 + 𝑒)600𝑟+ 2𝜋𝑟0~

600𝑟 + 𝑒

+ 2𝜋𝑟0 + 4𝜋𝑟𝑒 + 2𝜋𝑒0𝐸𝑛𝑠𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑛𝑡𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑠:600𝑟~

600𝑟 + 𝑒

+ 2𝜋𝑒0 + 4𝜋𝑟𝑒𝐸𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡𝑡𝑜𝑢𝑠𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒:600

𝑟(𝑟 + 𝑒)~4𝜋𝑟 + 2𝜋𝑒

𝑆𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑧𝑒:


600𝑟0

~4𝜋𝑟 → 𝑟5 =150𝜋

≅ 3,628𝑐𝑚Commenouscherchonsl’aireminimale,lepointquinousintéresse,estbien𝑟 ≅ 3,628𝑐𝑚.Ensubstituantr≈ 3,628𝑐𝑚danslafonctionA,noustrouveronslavaleurminimalequiestégaleà248,08𝑐𝑚0.

𝐴(𝑟) =600𝑟+ 2𝜋𝑟0

𝐴(𝑟) =6003,628

+ 2𝜋(3,628)0 = 248,08𝑐𝑚0

Lareprésentationgraphiquedelasituationproblème:

Cetteexercicenousrévèleque le formatoptimalpouruneboite cylindriquesera laquelledont lahauteurdelaboitecylindriqueestégaleaudiamètredelabase.Celuic’estunrésultatclassiqueducalculdifférentielquiillustrebienlepouvoirdecettedisciplinesicrucialpourlesmathématiques.

175

11 LAECUACIÓNLINEALCONDOSVARIABLES:UNAPROPUESTAPARASUAPRENDIZAJEENLAESCUELASECUNDARIAMEXICANA

Actividadescapítulo11:GuíaparaelprofesorAnaGuadalupedelCastillo53,SilviaE.IbarraOlmos53

Página0.INFORMACIÓNDELASECUENCIADIDÁCTICAYRECOMENDACIONESALDOCENTE

• NOMBREDELASECUENCIA:

LosahorrosdeLuis

• PROPÓSITODELASECUENCIA:

Estudiodesituacionesmodelablesconecuacioneslineales,articulandoalolargodelasecuencia,representacionesgráficas,tabulares,algebraicasyenlenguajenatural,culminandoconelanálisisdelaecuaciónlinealcondosvariablesdelaforma𝑦 = 𝑚𝑥 +𝑏.

• GRADOACADÉMICODONDESEPUEDEIMPLEMENTAR:

Primerodesecundaria

• DURACIÓNAPROXIMADA:

Decuatroacincosesionesde50minutos

• CONTENIDOSMATEMÁTICOSABORDADOS:

Números,operacionesaritméticas,númerogeneral,variable,expresiónalgebraica,expresiónlineal,coeficiente,términoindependiente,ecuación,ecuaciónlineal,ecuacionesequivalentes,igualdad.

• MATERIALESNECESARIOS:

Materialimpresoyenlínea,enformatodehojasdetrabajoyunconjuntodeappletsoarchivosGeoGebra,disponiblesenwww.mat.uson.mx/proyectoalgebra/ecuacionlineal.

• RECOMENDACIONESPARAELDOCENTE:

Encuantoalosconocimientospreviosdelosestudiantes,seránecesarioqueestosconozcanlosnúmeros,susoperacionesypropiedades;tenernocionessobreelusodelaliteralpararepresentarcantidadesdesconocidasymanejobásicodelplanocartesiano.NoserequierehaberutilizadoGeoGebraconanterioridad,pueslosarchivosoappletsautilizarsólorequierenmanipulacionesoconstruccionesmuybásicas.Seesperaqueatravésdelusodeestesoftwareyelcontextoutilizado,sepuedadespertarelinterésenlosestudiantes,ymostraralamatemáticacomounaherramientaútilparalamodelaciónyresolucióndeproblemasenuncontextodelavidacotidiana.

53 Universidad de Sonora. México.

176 Actividadesdelcapítulo11.Laecuaciónlinealcondosvariables:unapropuestaparasuaprendizajeenlaescuelasecundariamexicana

LAECUACIÓNLINEALCONDOSVARIABLES:UNAPROPUESTAPARASUAPRENDIZAJEENLAESCUELASECUNDARIAMEXICANA

Actividadescapítulo11:GuíaparaelprofesorAnaGuadalupedelCastillo54,SilviaE.IbarraOlmos54

Página1LOSAHORROSDELUIS

Nombredelalumno:_____________________________Nombredelosmiembrosdelequipo:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Grupo:_____________Fecha:________________

Instrucciones:

• Paralaprimeraactividadindividual,utilizaunaplumaazul.

• Paraeltrabajoenequipo,simodificasturespuesta,utilizaunaplumaroja.

• Eneltrabajoengrupo,simodificastu

respuestadenuevo,utilizaunaplumaverde.



Página2ACTIVIDADDEAPERTURA:PLANTEAMIENTODELASITUACIÓN

LosahorrosdeLuis

Al ingresar a la escuela secundaria, Luis ha decidido iniciar un esquema de ahorro,reservando parte de lo que sus papás le dan para sus gastos en la escuela. Él deseacomprar una bicicleta para unirse a un grupo de amigos que organizan paseos y otrasactividadesrecreativas.

El papá y la mamá de Luis, para promover unaculturafinancieraensuhijoyapoyarsuiniciativa,lehanprometidoque cadaunoaportaráuna cantidadigual a la que logre ahorrar. De igual manera, elhermano mayor de Luis se ofreció a cooperar conpartede susahorros, estimandoquepodríaaportarunacantidadde250pesos,alfinal.

Haybicicletasdemuydiferentesprecios.Paraexploraraquétipodebicicletapuedeaspirar,Luishizounejerciciodecálculoparadeterminarelmontototalquelograráreunir,dependiendodelacantidadquelogreahorrarinicialmente,planteándoselassiguientespreguntas:¿Siahoratengoahorrados450pesos,quécantidadtotalreuniría?¿Ysiahorro655pesos?¿Cuántonecesitoahorrarsiquierocomprarunabicicletade3400pesos?¿Olade5200?

1. AyudaaLuisarespondersuscuestionamientosyorganizalainformaciónenlatablapresentadamásabajo.Escribedetalladamentetus procedimientos en el siguiente espacio y, compara y discute tusrespuestasconlasdetuscompañeros.

AhorroinicialdeLuis

Aportacióndesupapá

Aportacióndesumamá

Aportacióndesuhermano

Totalreunido

450

655

3400

5200


Página3ACTIVIDADESDEDESARROLLO

Analizandoconmásdetallelasituación

1. Luisdeseatenerunaperspectivamásampliadelasituaciónyanalizarmáscasosposibles.DescargayutilizaelApplet1paraayudaraLuisensuspropósitos.Modificaelcontenidodelasceldasdelatablaparaqueencadarenglónsereflejeuncasodela

situaciónplanteada.

ImagendepantalladeApplet1

a. ¿Qué información adicional proporciona este Applet? Describe con detalle suselementos de ayuda y la forma en que puede ser útil para analizar diferentescasos.



2. Luis seda cuentadequepuede simplificar elarchivoparautilizar tres columnas en

lugardecinco.DescargayabreelApplet2,ycompletalainformacióndelatabla.¿Porqué es más conveniente este archivo? Comenta con tus compañeros similitudes ydiferencias,asícomoventajasydesventajasalcompararlosApplets1y2.Escribetusconclusiones.




3. Paraprofundizarenlautilidadeinterpretacióndelasgráficas,descargayabreelApplet3

(Se recomienda abrir elarchivoGeoGebrapuesdeberás guardar tu trabajo yhacerunasconstrucciones,posteriormente).Enambasáreasgráficas,observaelpuntodecolorverdeyarrastralosdemáspuntoshastaquecambiensucoloraverde.Explicaatuscompañerosla estrategia seguida, así como la información que brindan las coordenadas de estospuntos.Escribelasideascentralesenelsiguienteespacio.NoolvidesguardarelApplet3contodoslospuntosencolorverde,puesloutilizaremosmásadelante.




4. Para analizar y responder a las cuestiones planteadas hasta aquí, ha sido necesariocalcular,enuncaso,eltotalreunidoparalacompradelabicicleta,apartirdelacantidadque logreahorrarLuis inicialmente.Enelotrocaso,porelcontrario,hasidonecesariocalcular la cantidadquedebe ahorrarLuis inicialmente, apartirdel total a reunirparacomprarunabicicletadeciertoprecio.

a. DescribecontuspropiaspalabraselprocedimientogeneralquedebeseguirLuisparacalculareltotalreunidoparalacompradelabicicleta,apartirdelacantidadquelogreahorrarinicialmente.

b. Igualmente, describe con tus propias palabras el procedimiento general que debeseguirLuisparacalcularlacantidadquedebeahorrarinicialmente,paracomprarunabicicletadeciertoprecio.

5. SirepresentamoselahorroinicialdeLuisconlaletra𝐴,yconlaletra𝑇,eltotalreunidoparala

compradelabicicleta,escribeunafórmulaparacalcular𝑇dependiendodelvalorde𝐴,yotrafórmula para calcular𝐴 dependiendo del valor de𝑇 . ¿Qué semejanzas y/o diferenciasencuentras entre ambas fórmulas? Comenta con tus compañeros y escribe en el siguienteespaciolasprincipalesideas.



6. AbredenuevoelApplet3queguardastepreviamente,yencadaáreagráfica,utilizalaherramientarectaparaunirdospuntosdecolorverde.Conayudadetuprofesor,activalaecuaciónasociadaacadarectaycomparaconlasfórmulasqueescribisteenelpuntoanterior.¿Quédiferenciasy/osemejanzasencuentrasentrelasexpresionesseñaladas?Discutetambiéncontuscompañerosloquerepresentantodoslospuntosdecadarecta.

7. Reflexiona junto con tus compañeros y profesor, sobre la utilidad de tener una tabla, unagráficay/ounaecuaciónparaelanálisisylacomprensióndelasituaciónplanteada.Escribetusconclusionesenelsiguienteespacio



8. Modificandolascondicionesdelproblema:¿Cómocambiaríanlosresultadospresentadosen

latabla,enlagráficayenlaecuación,si,finalmente,elhermanodeLuisnopuedecooperarconlacompra?¿Osiaportara300pesos?¿Osiaportara500?

a. DescargayabreelApplet4yexploralasituaciónparadistintosvaloresposiblesdela aportacióndel hermanode Luis. ¿Cómo se afecta la gráfica? ¿Cómo se afecta laecuación? ¿Y la tabla? Describe ampliamente y comparte tus hallazgos con tuscompañeros.




9. Explora ahora cómo cambian la tabla, la gráfica y la ecuación, si lamamádeLuisnopuedecooperarparalacompradelabicicleta.¿Ycómocambiaríansi,finalmente,tampocoelpapádeLuispudieracooperar?

a. Utiliza nuevamente el Applet 4, para explorar las nuevas situaciones planteadas.¿Cómo se afecta la gráfica? ¿Cómo se afecta la ecuación? ¿Y la tabla? Describeampliamenteycompartetushallazgoscontuscompañeros.

Página10ACTIVIDADESDECIERRE

Reflexionesfinales

Duranteelanálisisdelasituaciónplanteadaenestasecuencia,aparecierontablasdevalores,rectasyecuacioneslinealescondosvariables.Enestasecciónseestudiarándemaneramásgeneral,lasrelacionesexistentesentreellas.

1. Descarga yabre elApplet5. En élpuedes explorar el efecto general en la ecuación y en latabla,alcambiarelpuntodeinterseccióndelarectaconelejey,y/olainclinacióndelarecta,medianteelarrastredelospuntosencolorrosayrojo.Prestaespecialatención,porunlado,alas cosas que cambian y, por el otro, a las que permanecen sin cambio. Escribe abajo tusconclusionesycompáralasconlasdetuscompañeros.



a. Efectoproducidoenlaecuaciónyenlatabla,alcambiarlainterseccióndelarectaconeleje𝑦.

b. Efectoproducidoenlaecuaciónyenlatabla,alcambiarlainclinacióndelarecta.

Página11ACTIVIDADESDECIERRE

2. Ahora, descargay abre elApplet6. Explora el efecto general en la gráfica y en la tabla, alcambiar los valores numéricos de la ecuación. Como en el caso anterior, presta especialatención, por un lado, a las cosas que cambian y, por el otro, a las que permanecen sincambio.Escribetusconclusionesycompáralasconlasdetuscompañeros.



a. Efectoproducidoenlagráficayenlatabla,alcambiarelvalordelcoeficientede𝑥.

b. Efecto producido en la gráfica y en la tabla, al cambiar el valor del términoindependiente.

3. Escribe un resumen con los principales hallazgos realizados en esta sección, sobre lasrelaciones existentes entre una ecuación lineal con dos variables, su gráfica y una tablaasociada.


LAECUACIÓNLINEALCONDOSVARIABLES:UNAPROPUESTAPARASUAPRENDIZAJEENLA

ESCUELASECUNDARIAMEXICANAActividadescapítulo11:Guíaparaelprofesor

AnaGuadalupedelCastillo55,SilviaE.IbarraOlmos55

LosahorrosdeLuisAl ingresar a la escuela secundaria, Luis ha decidido iniciar un esquema de ahorro,

reservando parte de lo que sus papás le dan

para sus gastos en la escuela. Él desea

comprarunabicicletaparaunirseaungrupo

de amigos que organizan paseos y otras

actividadesrecreativas.

ElpapáylamamádeLuis,parapromoveruna

cultura financiera en su hijo y apoyar su

iniciativa, le han prometido que cada uno

aportará una cantidad igual a la que logre

ahorrar. De igualmanera, el hermanomayor

deLuisseofrecióacooperarconpartedesusahorros,estimando

quepodríaaportarunacantidadde250pesos,alfinal.

Haybicicletasdemuydiferentesprecios.Paraexploraraquétipo

de bicicleta puede aspirar, Luis hizo un ejercicio de cálculo para

determinar elmonto total que logrará reunir, dependiendo de la

cantidad que logre ahorrar inicialmente, planteándose las

siguientes preguntas: ¿Si ahora tengo ahorrados 450 pesos, qué

cantidad total reuniría? ¿Ysi ahorro655pesos? ¿Cuántonecesito

ahorrar si quiero comprar una bicicleta de 3400pesos? ¿O la de

5200?



1. Ayuda a Luis a responder sus cuestionamientos y organiza la información en la tabla

presentada más abajo. Escribe detalladamente tus procedimientos en el siguiente

espacioy,comparaydiscutetusrespuestasconlasdetuscompañeros.

Ahorroinicial

deLuis

Aportaciónde

supapá

Aportaciónde

sumamá

Aportaciónde

suhermano

Totalreunido

450

655

3400

5200

Analizandoconmásdetallelasituación10. Luis desea tener una perspectivamás amplia de la situación y analizarmás casos

posibles.DescargayutilizaelApplet1paraayudaraLuisensuspropósitos.Modificael

contenido de las celdas de la tabla para que en cada renglón se refleje un caso de la

situaciónplanteada.



a. ¿Qué información adicional proporciona este Applet? Describe con detalle sus

elementos de ayuda y la forma en que puede ser útil para analizar diferentes

casos.

11. Luissedacuentadequepuedesimplificarelarchivoparautilizartrescolumnasen

lugarde cinco.Descargayabre elApplet2, y completa la informaciónde la tabla.

¿Porquéesmásconvenienteestearchivo?Comentacontuscompañerossimilitudes

ydiferencias,asícomoventajasydesventajasalcompararlosApplets1y2.Escribe

tusconclusiones.


12. Para profundizar en lautilidad e interpretación de las gráficas, descarga y abre el

Applet3(serecomiendaabrirelarchivoGeoGebraparaguardartutrabajoyhacer


construccionesbásicas,posteriormente).Enambasáreasgráficas,observaelpunto

de color verde y arrastra los demás puntos hasta que cambien su color a verde.

Explicaatuscompañeroslaestrategiaseguida,asícomolainformaciónquebrindan

lascoordenadasdeestospuntos.Escribelasideascentralesenelsiguienteespacio.

No olvides guardar el Applet 3 con todos los puntos en color verde, pues lo

utilizaremosmásadelante.


13. Paraanalizaryresponderalascuestionesplanteadashastaaquí,hasidonecesario

calcular, en un caso, el total reunido para la compra de la bicicleta, a partir de la

cantidad que logre ahorrar Luis inicialmente. En el otro caso, por el contrario, ha

sidonecesariocalcular lacantidadquedebeahorrarLuis inicialmente,apartirdel

totalareunirparacomprarunabicicletadeciertoprecio.

a. Describecontuspropiaspalabraselprocedimientogeneralquedebeseguir

Luisparacalculareltotalreunidoparalacompradelabicicleta,apartirdela

cantidadquelogreahorrarinicialmente.


b. Igualmente,describecontuspropiaspalabraselprocedimientogeneralque

debeseguirLuisparacalcularlacantidadquedebeahorrarinicialmente,para

comprarunabicicletadeciertoprecio.

14. Si representamos el ahorro inicial de Luis con la letra𝐴, y con la letra𝑇, el total

reunido para la compra de la bicicleta, escribe una fórmula para calcular𝑇

dependiendodelvalorde𝐴,yotrafórmulaparacalcular𝐴dependiendodelvalorde

𝑇.¿Quésemejanzasy/odiferenciasencuentrasentreambasfórmulas?Comentacon

tuscompañerosyescribeenelsiguienteespaciolasprincipalesideas.

15. AbredenuevoelApplet3queguardastepreviamente,yencadaáreagráfica,utiliza

laherramientarectaparaunirdospuntosdecolorverde.Conayudadetuprofesor,

activalaecuaciónasociadaacadarectaycomparaconlasfórmulasqueescribisteen

elpuntoanterior.¿Quédiferenciasy/osemejanzasencuentrasentrelasexpresiones

señaladas?Discutetambiéncontuscompañerosloquerepresentantodoslospuntos

decadarecta.

16. Reflexionajuntocontuscompañerosyprofesor,sobrelautilidaddetenerunatabla,

una gráfica y/o una ecuación para el análisis y la comprensión de la situación

planteada.


17. Modificando las condiciones del problema: ¿Cómo cambiarían los resultados

presentadosenlatabla,enlagráficayenlaecuación,si,finalmente,elhermanode

Luis no puede cooperar con la compra? ¿O si aportara 300 pesos? ¿O si aportara

500?

a. Descarga y abre el Applet 4 y explora la situación para distintos valores

posibles de la aportación del hermano de Luis. ¿Cómo se afecta la gráfica?

¿Cómoseafecta laecuación?¿Y la tabla?Describeampliamenteycomparte

tushallazgoscontuscompañeros.


18. Exploraahoracómocambianlatabla,lagráficaylaecuación,silamamádeLuisno

puede cooperarpara la compra de la bicicleta. ¿Y cómo cambiarían si, finalmente,

tampocoelpapádeLuispudieracooperar?


a. Utiliza nuevamente el Applet 4, para explorar las nuevas situaciones

planteadas. ¿Cómo se afecta la gráfica? ¿Cómo se afecta la ecuación? ¿Y la

tabla?Describeampliamenteycompartetushallazgoscontuscompañeros.

ReflexionesfinalesDurante el análisis de la situación planteada en esta secuencia, aparecieron tablas de

valores, rectas y ecuaciones lineales con dos variables. En esta sección se estudiarán de

maneramásgeneral,lasrelacionesexistentesentreellas.

4. DescargayabreelApplet5.Enélpuedesexplorarelefectogeneralenlaecuacióny

en la tabla, al cambiar el punto de intersección de la recta con el eje y, y/o la

inclinacióndelarecta,medianteelarrastredelospuntosencolorrosayrojo.Presta

especial atención, por un lado, a las cosas que cambian y, por el otro, a las que

permanecen sin cambio. Escribe tus conclusiones y compáralas con las de tus

compañeros.



a. Efectoproducidoenlaecuaciónyenlatabla,alcambiarlainterseccióndela

rectaconeleje𝑦.

b. Efectoproducidoenlaecuaciónyen la tabla,alcambiar la inclinacióndela

recta.

5. Ahora, descarga y abre el Applet 6. Explora el efecto general en la gráfica y en la

tabla, al cambiar los valores numéricos de la ecuación. Como en el caso anterior,

prestaespecialatención,porunlado,alascosasquecambiany,porelotro,alasque

permanecen sin cambio. Escribe tus conclusiones y compáralas con las de tus

compañeros.



a. Efectoproducidoenlagráficayenlatabla,alcambiarelvalordelcoeficiente

de𝑥.

b. Efectoproducidoen lagráficayen la tabla, al cambiarel valordel término

independiente.

6. Escribeunresumencon losprincipaleshallazgos realizadosenestasección, sobre

lasrelacionesexistentesentreunaecuaciónlinealcondosvariables,sugráficayuna

tablaasociada.

197

12 TECNOLOGÍAYUSOSDELASGRÁFICAS:UNAEXPERIENCIADEMODELACIÓNDELMOVIMIENTOCONESTUDIANTESDEBACHILLERATO

Actividadescapítulo12:Guíaparaelprofesor

JoséDavidZaldívarRojas56I. INFORMACIÓNDELAACTIVIDADYRECOMENDACIONESALDOCENTE• NOMBREDELAACTIVIDAD:MarcosalaEscuela• PROPÓSITO DE LA ACTIVIDAD: La situación de modelación del movimiento pretende

problematizarnocionesysignificadossobrelavariaciónycomportamientoscontendenciapormedio de un uso de las gráficas que se generan a partir de modelar un fenómeno demovimientodecambio.

• GRADOACADÉMICODONDESEPUEDEIMPLEMENTAR:SecundariayMedioSuperior• CONTENIDOS MATEMÁTICOS ABORDADOS: funciones, funciones crecientes y decrecientes,

razóndecambioinstantánea,gráficasdefunciones.• DURACIÓNAPROXIMADA:60minutos.• MATERIALESNECESARIOS:sensordemovimiento,programadeanálisisdedatos(TI-Nspire,

LoggerPro,otro),unespaciodóndecaminarylahojadetrabajo.• RECOMENDACIONES PARA EL DOCENTE: La implementación de la SMM en el escenario

escolarrequieredeunaorganizaciónquepermitaeldesarrollodelusodelagráfica,porloqueserealizaconbaseentresmomentos:

ü Momento de conjetura. En este momento de la situación se permite que los estudiantesexpresen aquello que consideren necesario para representar y expresar el movimiento. Seespera que ante la Tarea 1 los estudiantes pongan en funcionamiento formas culturales desaber socialmente compartidas para responder y expresar la situación de movimientopropuestaporelprofesor.

ü Momentodeconfrontación.Enestemomentodelasituaciónseestableceundebatecientíficoentre el profesor y los estudiantes al problematizar las producciones de estos últimos. Secuestionaalosestudiantessobreelementosvariacionalesquedebencontenersusproduccionescon la intención de desarrollarlas. Se establece entonces una forma de construir graficascartesianasusandodispositivostecnológicos(sensoresdemovimiento).

ü Momento de funcionalidad. En este momento se ponen en funcionamiento un uso de lasgráficas cartesianas para la construcción de argumentos para ajustar la estructura de lagráficasyconstruirpatronesdeseables.Elabordajeexperimentalquesepropone, seesperaqueproporcione laposibilidadentre losestudiantes de simular elmovimiento de una persona que camina frente al sensor en línearectabajodiferentes condiciones: alejarse del sensor, acercarse al sensor o quedarse quietofrenteal sensor.Másaún, sepuedencombinarestascondicionesbajodiferentesvariaciones,por ejemplo: acercarse rápido al sensor y alejarse de este, despacio. La tecnología brindaademás laoportunidadderepetirelexperimento,debidoa laretroalimentación instantáneaquepresentaelsoftwareeinclusopresentalaposibilidaddeanalizarotrasrepresentaciones,comolatabular.

56 Universidad Autónoma de Coahuila, México.

198 Actividadesdelcapítulo12.Tecnologíayusosdelasgráficas:unaexperienciademodelacióndelmovimientoconestudiantesdebachillerato

Página1 MARCOSALAESCUELANombredelAlumno:Nombre de los miembros delequipo:

Instrucciones:ü Para la primera actividad individual, utiliza una pluma

azul.ü Para el trabajo en equipo, si modificas tu respuesta,

utilizaunaplumaroja.

Grupo:____________Fecha:_____/_____/_____

Página2 PLANTEAMIENTODELASITUACIÓNDEINVESTIGACIÓN

Marcosesunestudiantedepreparatoriaqueviverelativamentecercadesuescuela;asolo800metrosyademás,sucasaseubicaenlamismaaceraquelaescuela.

TodoslosdíasMarcoscaminahacialaescuelalocualnolellevamásde10minutos.Ciertodía

saliódesucasamuytranquiloycuandoyahabíacaminadodurante4minutosyseencontrabaalamitaddelcamino,¡nosintióenlabolsadelpantalónelcelular!Asustado,sepusoabuscarensumochiladurantedosminutossinpodersemoverdelsusto,porloque

decidióregresarasucasacaminandoapasovelozsindejardebuscarenlamochila.Faltando100metrosparallegardenuevacuentaasucasa,porfinencontróelcelular,porloquetuvoquecorrerhacialaescuelacontodassusenergías,llegandoalapuertadelamismaun

minutoantesquelecerrasenlareja.

Desdeesedía,Marcossaleconalmenos15minutosdeanticipaciónysiemprerevisandolabolsadelpantalónantesdesalirdecasa.


Página3 REFLEXIÓNINDIVIDUAL(MomentodeConjetura)

UnavezqueseleshapresentadoalosestudianteslasituacióndemovimientodeMarcosalaEscuela,selespidealosestudianteslosiguiente:Tarea1.DibujaelmovimientorealizadoporMarcosdurantesutrayectoalaescuelaeneldíadescritoanteriormente.

En este momento de la situación se permite que los estudiantes expresen aquello queconsiderennecesariopararepresentaryexpresarelmovimiento.SeesperaqueantelaTarea1 los estudiantes pongan en funcionamiento formas culturales de saber socialmentecompartidaspararesponderyexpresarlasituacióndemovimientopropuestaporelprofesor.Para la elaboración de sus propuestas se les pide a los estudiantes que realicen susproduccionesenhojasdepapeldemaneraindividual.

Página4 DISCUSIÓNENEQUIPO(MomentodeConfrontación)

Posterioralaelaboracióndesusproducciones,selespidealosestudiantesquesereúnanenequipoydiscutansuspropuestas.Enestemomentoelprofesorpuedesolicitaraalgunosestudiantesquerealicensusdibujosenla pizarra con la intención de discutir las producciones grupalmente. Se espera que estasproduccionessebasenenelusodeTrayectorias,esdecir,deflechascondirección.Asimismo,el profesor puede pedirle a un(a) estudiante que interprete la producción de un(a)compañero(a)conlaintencióndeanalizarlaviabilidadyvalidezdelasproducciones.Elprofesorpuedecuestionarlossiguienteselementosdelaspropuestasdelosestudiantes:

ü Sobreelsignificadodelasflechasquelosestudiantesproponen,ü Sobrelalongituddelasflechasyelsignificadodeotroselementosincluidoseneldibujo,ü SobrelarapidezdeMarcosenlosmomentosclavedelahistoriayenla formaenlacuálse

expresadicharapidezenlosdibujos,ü Sobrelasimilituddelasproducciones,ü SobreeltiempoquelellevaaMarcoscompletarelrecorridoycadaetapadelahistoria,ü Sobrelaconvenienciadecontarconunsistemaquepermitahablardelaposiciónrelativade

una partícula y la forma en la cual se podrían expresar elementos variacionales de lasituación.

200 Actividadesdelcapítulo12.Tecnologíayusosdelasgráficas:unaexperienciademodelacióndelmovimientoconestudiantesdebachillerato

Página5 DISCUSIÓNENGRANGRUPO(Momentodefuncionalidad)

Unavezrealizadosloscuestionamientospropuestosenlahoja4porpartedelprofesor,estepresentaalosestudiantesunamaneraenlacualesposiblerepresentarelmovimientoyunaherramientaparaello:lagráficacartesiana.Paraello,elprofesorintroduceelusodeunsensordemovimientoydeunprogramaparalatomadedatos.Tarea2.Usandoel sensordemovimientoy el programaLoggerLite, realiza los siguientesmovimientosfrentealsensor:

ü Caminafrentealsensoryaléjatedeeste,ü Caminafrentealsensoryacércateaestedesdeunaciertadistancia,ü Mantentequieto(a)frentealsensoraunaciertadistancia,ü Correfrentealsensor,alejándoteoacercándoteaéste,ü Realiza combinaciones de movimiento como consideres pertinente. Por ejemplo: corre

acercándoteycaminaalejándotedelsensor.ü Contesta:¿Cuáleslaformadelagráficageneradaencadacaso?,¿cuálessonlassimilitudesy

diferenciasenlasformasdelasgráficas?

Página6 DISCUSIÓNENEQUIPO(MomentodeConfrontación)

Tarea3.Realiza,sinayudadelsensordemovimiento,lagráficacartesianaquecreasqueseobtendríadelrecorridodeMarcosmientrassedirigíaalaescuela.Posteriormente,utilizandoelsoftwaredegraficaciónyelsensordemovimiento,reproducelaescenadeMarcosmientrassedirigealaescuelaycompruebatusconjeturassobrelagráficacartesianaquepropusiste.¿Separecen?,¿cuálessonlasdiferencias?

201

13 UNAFORMADEENSEÑANZAYAPRENDIZAJE:OBJETOSPARAAPRENDER

Actividadescapítulo13:GuíaparaelprofesorRicardoUlloaAzpeita57EjemplosdeactividadesseencuentranenelsitioWeb:

http://www.cucei.udg.mx/maestrias/matedu/

57 Universidad de Guadalajara, México.

203

14 SECUENCIADIDÁCTICAPARAELCÁLCULODELVOLUMENPORELMÉTODODESÓLIDOSDEREVOLUCIÓN:ELCASODERECIPIENTESYSANDÍA

Actividadescapítulo14:GuíaparaelprofesorRafaelPantojaRangel58,RosauraFerreyraOlveraAzpeita59,RafaelPantojaGonzález59Contactardirectamentealresponsabledelcapítulo:[email protected]

58 Universidad de Guadalajara, México.

205

15 GEOGEBRACOMMEOUTILD’EXPLORATIONENENSEIGNEMENTDELAGEOMETRIE

Activitésduchapitre15:Guidepourleprofesseur

LoïcGeeraerts59,DenisTanguay55

I. ACTIVITÉ1:LESQUADRILATÈRESQUIONTDESANGLESDROITS

(PREMIÈREPHASE)

Nom:______________________ Prénom:_________________________ Date:_________

1. ConstruisezavecGeoGebraunquadrilatèrequia3anglesdroits.Commetoujoursavec

GeoGebra,votrequadrilatèredoitgarderlapropriétéprescrite(les3anglesdroits)quandil

estdéformé.Déformez.Queconstatez-vous?

__________________________________________________________________________________________________________

2. ConstruisezavecGeoGebraunquadrilatèrequia2anglesconsécutifsquisontdroits.

Déformez.Queltypedequadrilatèresobtenez-vous?

_________________________________________________________________________________________________

3. Prouvezvosaffirmationsprécédentes,envousappuyantsurlesénoncésci-dessous:

Perpendiculaire-1: Si deux droites sontparallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est

perpendiculaireàl’autre.

Parallèle-1:Sideuxdroitesontuneperpendiculaireencommun,alorsellessontparallèles.

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________ 59 Université du Québec à Montréal, Québec, Canada.

206 Activitésduchapître15.GeoGebracommeoutild’explorationenenseignementdelagéométrie

4. Les deux autres angles du quadrilatère qui a deux angles droits consécutifs ont

quelquechosedeparticulier.Vérifiez,endéformantavecGeoGebra.Démontrez-le.

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

________________________ontunepropriétéparticulière.ExplorezavecGeoGebraetessayez

de découvrir laquelle. Si vous ne trouvez pas, passez au point suivant et revenez-y

ensuite.

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

5. AveclefichierGeoGebraquivousestfourni,explorezlafigureci-dessous.Énoncezle

résultatqu’ellecache.Démontrer-le.

Fig.1LafigurequiillustreleThéorèmedestroissegments

_______________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________


GEOGEBRACOMMEOUTILD’EXPLORATIONENENSEIGNEMENTDELAGÉOMÉTRIELoïcGeeraerts60,DenisTanguay1

II. ACTIVITÉ2:LESQUADRILATÈRESQUIONTUNEPAIRED’ANGLES

SUPPLÉMENTAIRES

(DEUXIÈMEPHASE)

Nom:______________________ Prénom:_________________________ Date:_________– Construisez avec GeoGebra un quadrilatère non croisé inscrit dans un cercle. Quelles

sontsespropriétés?

– ___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

– Prouvezcettepropriétédesquadrilatèresnoncroisésinscrits:

– Dans lecasoù lecentreducercleestà l’intérieurduquadrilatère.Tracezpour

cela les segmentsayantpourextrémités chaque sommetet le centreducercle.

Identifiezlesangles(parexempleavecdelacouleur).Faitesintervenirlasomme

desmesuresdesanglesintérieursdetoutquadrilatère(noncroisé).

– ___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

– Danslecasoùlecentreducercleestàl’extérieurduquadrilatère.Utilisezpour

celalethéorèmedesanglesinscrits.

60 Université du Québec à Montréal, Québec, Canada.

208 Activitésduchapître15.GeoGebracommeoutild’explorationenenseignementdelagéométrie

– ___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

– ÉnoncezcethéorèmedanstoutesagénéralitéenFrançaissous formede«Si…

alors(forcément)…»

– ___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

– Réciproquement, Prouvez que tous les quadrilatères non croisés ayant ses angles

opposéssupplémentairessontforcémentinscriptiblesdansuncercle.Vouspouvezbien

sûrutiliserlethéorèmeprécédemmentdémontré.

– ___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Colección Matemática Educativa y...

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