Colegio Cristo Rey

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Repaso Septiembre 2016

Tema 1. Números reales

1) Calcula:

a)

13

3 12

1

3

4327·8·

125

1

b) 343

33

125·5

5·25

c)

32

02

13

3·03,0

7·4·9

d)

31

031

2·2,1

5·2·25

2) Simplifica:

a) 42012

1644

81

49cd

cba b)

142121

2331423

··

··

baaab

baba

3) Efectúa:

a)

2

27243

4

485

3

754122 b)

15 8212 710 32 ·· baabba

4) Racionaliza :

a)

53

10 b)

3 3

23 c)

2253

2253

5) Expresa en forma de intervalo los números que verifican 31 x

6)i) Expresa como un solo logaritmo la expresión CBA loglog2log2

3

ii) Calcula 78log3

iii) Sabiendo que 3,2log 2 x y 2,1log2 y ; calcula: 3

5

2

8log

y

x

Tema 2. Aritmética mercantil

1. Abrimos un depósito a dos años con 1500 € en un banco a un rédito anual del 3 % y

los intereses que generan al final de cada año se reinvierten en dicha cuenta. ¿Cuánto

dinero nos deben reingresar al finalizar el periodo de dos años?

2. Determina el tanto por ciento de interés compuesto a que se ha de colocar un capital

de 100.000 € durante dos años para que produzca una ganancia de 18.810 €.

3. El ayuntamiento de una ciudad desea amortizar una deuda por trabajos de mejoras en

el pueblo que asciende a 300.000 €. Para ello va a emitir anualidades de amortización

durante los próximos 30 años al 6 %. ¿Cuánto deberá amortizar cada año?

4. Pablo solicita un préstamo de 15 000 euros al 6%, que amortizará en plazos

semestrales de 1 194,16 euros. ¿Cuántos años tardará Pablo en amortizar la deuda?

5. ¿Qué mensualidad hay que pagar para amortizar 30 000 euros al 8% en 5 años?

6. Determinar los años necesarios para que un capital colocado al 11 % se duplique.

Tema 3. Álgebra

1) Calcula:

a)

5

4

2

3·

2

1

4

1

3

2 223 xxxx

b) 2·14

33

2·3

24

2

xx

xx

2) Divide :

a) 34 5145 xxx entre

23 x

b) xx 7 entre 2x

3) Factoriza los siguientes polinomios:

a) xxxxP 98282 23

b) 614102 23 xxxxQ

c) 345 4146 xxxxT

5) Determina el valor de m para que 1224 23 mxxmx sea divisible por

(x + 1).

6) Efectúa:

a)

273

2

93

2

93 2

2

x

x

x

x

x

x b) 1

1

12

x

x

c)

2

15205·

155

2

4

45 2

2

2

x

xx

x

x

x

x d)

2

2

4

4

3

3

x

x

x

x

e)

xxx

xx

xx

xx

96

546:

65

1212323

3

2

2

f)

1

22:

1

1

1

1 2

m

m

m

m

m

mm

ECUACIONES

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1)

4

3

1

22

2

1

3

x

x

x

2) xx

x

11

3

12

3) 08522

x

4) xx2

3110 2

5)

x

xxx 2

6) 3332 xxx

7)

1

813

2

2

xx

8) 03·1 22 xxx

9) 0635 234 xxxx

10) 01615 48 xx

11) 045 36 xx

12) 34

1

2

2

2

132

xx

x

x

x

13)

5

7

34

2:

23

12

x

x

x

x

14) 5453

1

x

x

PROBLEMAS DE SISTEMAS

1) Un museo tiene tres salas de exposiciones: A, B, C. Los precios de las entradas son,

respectivamente, 2, 4 y 7 euros. Un determinado día entraron a las tres salas un total de

210 personas, siendo la recaudación conjunta igual a 810 euros. Teniendo en cuenta que

la novena parte de los visitantes de la sala A es igual a la séptima parte de los visitantes

de la sala B, determinar el número de visitantes de cada sala.

2) Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo

y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €.

Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los

garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada

legumbre.

3) Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El

primer mes compra 10 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de carne de

ternera y les sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg de carne de pollo, 7 kg

de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, y les sobran 5,1 euros. El tercer mes

compran 11 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera,

abonando un total de 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de

la carne en estos meses, ¿cuánto cuesta el kilo de carne de pollo, de cerdo y de ternera?

4) Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a

2115 €. Calcular de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del

billete, que vale 9 €, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que

el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que ha

pagado el billete entero.

5) La suma de las tres cifras de un determinado número es 13. La cifra de las centenas

excede en 4 unidades la de las decenas. Si se intercambian la cifra de las unidades con la

de las centenas, el número aumenta en 495 unidades. ¿De qué número se trata?

INECUACIONES

1) Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 012

1023

4

81

3

53

xxx

b) 222122513 xxxx

c) 12

x

xx

d) 32

51

x

e) 14

21

y

x

2) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

31

6

67

3

33

13

2

522

xxx

xxx

b)

0134

04

012

yx

xy

yx

3) Un vendedor de libros tiene un contrato con una editorial, por el cual percibe 300 € de

sueldo fijo más 90 € por enciclopedia que venda. Recibe una oferta de trabajo de otra

editorial, por la que le ofrecen 140 € por cada venta, pero sin remuneración fija. ¿Cuántas

enciclopedias debe vender para que le convenga, económicamente, cambiar de editorial?

4) Calcula los números cuyo triple exceda a su doble al menos en 5 unidades.

Tema 4. Funciones elementales

DOMINIO DE DEFINICIÓN Y RECORRIDO

1) Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es el dominio de definición y cuál

es su recorrido:

a) b) c) d)

2) Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) 524

3 3 xxy b)

3

132

xxy

c)

75

132

xx

xy d)

1

522

x

xy

e)

xxy

2

12

f) xy 32

g)

3

1

xy h) 12 xy

i) 12 xy j)

xy

1

k) 822 xxy l)

2

12

x

xy

FUNCIONES CUADRÁTICAS

1) Representa gráficamente la función 322 xxy

2) Representa gráficamente las siguientes parábolas:

a) 822 xxy b) 32

1 2 xy

3) Asocia a cada una de estas ecuaciones una de las parábolas que aparecen debajo:

a) xxy 22 b) xxy 22 c) xxy 22 d) xxy 22

I) II) III) IV)

4) La rentabilidad R(x) (en euros) de un plan de inversión es

función de la cantidad x que se invierte (en euros) según la expresión:

xxxR 6,00001,0 2

a) Averigua qué cantidad hay que invertir para obtener la rentabilidad máxima.

b) Halla gráfica y numéricamente cuál es la rentabilidad máxima.

INTERPOLACIÓN

1. El número de turistas que visitaron España en el periodo 1975-1990 está reflejado en la

siguiente tabla:

Años 1980 1985 1990

Millones de turistas 30,1 38,1 43,2

Calcular, utilizando un polinomio de interpolación cuadrático, el número de turistas que

visitarán España en 1995.

2. En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en gramos) de tres

embriones de cierta especie animal:

Tiempo 3 5 8

Peso 8 22 73

a) Obtener el polinomio de interpolación de 2º grado correspondiente.

b) Determinar, a partir de dicho polinomio, el peso que correspondería a un

embrión de 6,5 días.

3. De una función f(x) se conocen los valores f(1)=0, f(2)=4, f(5)=52. Hallar el

correspondiente polinomio cuadrático de interpolación. Estimar el valor de la función en

x=3 y en x=6.

4. El aumento de líneas telefónicas instaladas en España durante los tres últimos años fue:

Años 1995 1996 1997

Millones de líneas 8,457 8,882 9,640

a) ¿Es lineal el aumento producido?

b) Calcular el valor esperado en 1998 mediante una extrapolación cuadrática.

5. Si consumimos 60 m3

de gas tendremos que pagar un recibo de 35,96 euros, y por un

consumo de 80 m3

tendríamos que pagar 43,56 euros. ¿Cuál sería el precio del recibo si

consumiéramos 70 m3

de gas?

6. Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto

de matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos 6 meses,

nos gastaremos en total 246 euros, y si estamos 15 meses, nos costará 570 euros.

¿Cuánto nos gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año?

7. Sabiendo que 15° C (grados centígrados) equivalen a 59° F (grados Fahrenheit), y que

30° C son 86° F, averigua cuántos grados centígrados son 70° F.

Tema 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

1) 4lim 23

2

xx

x 2) 35lim 2

1

xx

x

3)

2lim

0 x

x

x

4) 33lim 23

xxx

x

5) 33lim 23

xxxx

6)

1

2lim

2

3

x

x

x 7)

35

653lim

2

2

-

x

xx

x 8)

7

1lim

5

23

x

xx

x

9)

1

24lim

23

x

x

x 10)

5lim

2

5 x

x

x 11)

5

25lim

2

5

x

x

x 12)

1

2lim

21

x

x

x

13)

2

44lim

2

2

x

xx

x 14)

12

1lim

21

xx

x

x

15)

3

1

21lim

x

x

x

16)

3

3lim

23

x

x

x

17)

322

12105lim

23

23

3

xxx

xxx

x 18)

2114

22lim

23

34

2

xxx

xxx

x 19)

xx

x

x 5

25lim

2

2

5

20)

2

146lim

23

23

2

xx

xxx

x

21)

9157

935lim

23

23

3

xxx

xxx

x 22)

23

4

0

3lim

xx

x

x

23)

1

1lim

2

x

xx

x 24)

1

2lim

2

3

x

x

x

25) x

xe

lim

26)

1

12lim

2

2

1

x

xx

x

27) x

x2lim

-

28)

35

653lim

2

3

x

xx

x

29)

9

27lim

2

3

3

x

x

x 30)

5

2 523lim

x

xx

x

31)

1

1lim

2

x

xx

x 32)

612

24lim

3

23

x

xx

x

33)

3

5lim

2

x

x

x

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1) Estudia la continuidad de la siguiente función:

2 xsi 1x-

2x1- si 12x-

-1 xsi 63x

xf

2) Siendo m y n números reales positivos, tales que 10· nm , calcula sus valores para que

la función sea continua en x = 1

1 x si x-

1 xsi 5

2

2

nx

mxxxf

3) Estudia la continuidad de esta función, y determina los tipos de discontinuidad que

presenta:

3 xsi 16x

3x0 si 14x-

0 xsi 3

1

2

2

x

xf

4) Halla k para que la función sea continua:

2 xsi 1kx

2 xsi 3

92

x

x

xf

Tema 7. Derivadas

1. Halla la derivada de estas funciones:

a) xxxf ln b) 1

4

x

xxf c) xxf 2 d) xxf log

e) xxexf

2. Halla la derivada de estas funciones:

a) 62 523 xxxf b) xxexf 52 3 c) 2

3xxf

d) 24 32ln xxxf e) 13log xxf

RECTA TANGENTE

1) Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva 1ln xy en el punto de abscisa

x = 2

2) Halla los puntos de corte con el eje de abscisas de la función xxy 43 y escribe las

ecuaciones de las rectas tangentes a dicha función en los puntos obtenidos.

3) Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva 732

5

3

23

xxx

y en el punto

donde corta al eje de ordenadas.

CÁLCULO DE LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

DE UNA FUNCIÓN

1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

xxxxf 1232 23

2. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

793

1 3 xxxf

3. Calcula los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) 82 24 xxxf b) x

xxg

2

2

4. Representa gráficamente las siguientes funciones polinómicas:

a) 233 xxy b) 23 3xxy

c) 24 2xxy d)

23 32 xxy

e) xxy 33 f) xxxy 23 2

g) 98 24 xxy h) xxxy 1834 23

5. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:

a)

1

92

2

x

xy b)

1

42

x

xy

c)

x

xy

12 d)

4

12

x

y

e)

1

12

2

x

xy f)

3

22

x

xy

PROBLEMAS OPTIMIZACIÓN

1. La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una

ciudad viene dada por la función C(x) = 90 + 15x − 0,6x2

, donde x es el tiempo

transcurrido desde 1 de Enero de 1990 contado en años.

a) ¿Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono?

b) ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?

2. Una compañía de autobuses interurbanos ha comprobado que el número de viajeros (N)

diarios depende del precio del billete (p) según la expresión: N(p) = 300 − 6p.

a) Dar la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía

en función del precio del billete.

b) ¿Qué ingreso diario se obtiene si el billete es 15 euros?

c) ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios?

d) ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

3. En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto

que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función:

f(x) = −3x2

+ 72x + 243 siendo x el número de días transcurridos desde que se detectó la

enfermedad. Determinar:

a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

b) El número máximo de personas afectadas.

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

4. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera

que la portería tenga la máxima superficie interior posible.

a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero?

b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?

5. Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra

cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes,

dependiendo del número de horas que lleva abierto, es C(h) = −h2

+ 8h. El gasto por

cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función

g(h) = 300 − 25h.

a) ¿En qué hora se produce la mayor afluencia de clientes?

b) ¿Cuánto gasta el último cliente?

c) ¿Cuándo hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?

Tema 8. Distribuciones bidimensionales

1. El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un

cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla:

X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5

Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62

Calcula:

a) Las medias y desviaciones típicas de las variables, número de horas y número de

bacterias.

b) La covarianza de la variable bidimensional.

c) El coeficiente de correlación.

2. Asocia las rectas de regresión y = –x +16, y = 2x – 12, y = 0,5x + 5 a las nubes de

puntos siguientes:

3. Asigna los coeficientes de correlación lineal r = 0,4, r = –0,85 y r = 0,7, a las nubes del

problema anterior.

4. La tabla siguiente muestra las notas obtenidas por 8 alumnos en un examen, las horas

de estudio dedicadas a su preparación y las horas que vieron la televisión los días previos

al examen.

Nota 5 6 7 3 5 8 4 9

Horas de estudio 7 10 9 4 8 10 5 14

Horas de TV 7 6 2 11 9 3 9 5

b) ¿Se observa correlación entre las variables estudiadas? ¿De qué tipo? ¿En qué caso

estimas que es más fuerte?

5. Con los datos del problema anterior, halla el coeficiente de correlación de nota-estudio

y nota-TV. ¿Qué puede deducirse con más precisión conociendo la nota que obtuvo una

persona en el examen: el tiempo que dedicó al estudio o el que dedicó a ver la televisión?

6. Las puntuaciones en Matemáticas y Física de siete alumnos han sido las siguientes:

Matemáticas 8 8 6 7 8 6 2

Física 7 7,5 5 7 7,5 5 7

Calcula el coeficiente de correlación de esas dos variables para los siete alumnos.

7. Las notas obtenidas por cinco alumnos en matemáticas y música son las siguientes:

Matemáticas 6 4 8 5 3,5

Música 6,5 4,5 7 5 4

a) Determina la recta de regresión de Y sobre X y represéntala.

b) Halla la nota de música de un alumno que tiene 7,5 en matemáticas.

c) Determina la recta de regresión de X sobre Y y represéntala.

d) Halla la nota de matemáticas de un alumno que tiene 6 en música.

Tema 9. Distribuciones de probabilidad de variable discreta

1) Lanzamos un dado de seis caras. Sean los sucesos:

A = "Número par" B = " Múltiplo de 3"

Comprueba:

a) BABA b) BABA

2) Se lanzan al aire dos dados y se consideran los siguientes sucesos:

A = "obtener dos números pares" B = "obtener suma mayor de 9"

Halla:

a) BA b) BA c) BA d) AB

3) Aplicando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los sucesos del ejercicio

anterior y comprueba que:

a) BAPBPAPBAP

b) ABPBAPBAPBAP

4) Extraemos una carta de una baraja española. Halla las siguientes probabilidades:

a) Que sea un rey o un as.

b) Que sea un rey o una copa.

c) Que sea un rey y una copa.

5) Se elige al azar uno de los 50 primeros números naturales.

a) Calcula la probabilidad de que el número elegido sea cuadrado perfecto.

b) Sabiendo que el número elegido es múltiplo de 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea

cuadrado perfecto?

6) En la prensa aparece esta noticia:

" En la ciudad, el 55% de sus habitantes es mayor de 30 años, el 45% está casado y el 60%

está casado o es mayor de 30 años".

Calcula la probabilidad de estos sucesos:

a) Ser mayor de 30 años y estar casado.

b) No estar casado.

7) Sean A y B dos sucesos y A y B sus contrarios. Si se verifica que:

3

2BP

4

3 BAP

4

1 BAP

Halla: a) AP b) BP c) BAP d) BAP /

8) Se tienen los sucesos A y B tales que:

7,0AP 6,0BP 58,0BAP . ¿Son independientes A y B?

9) En una clase hay 18 chicos y 20 chicas, de los que

3

1 de los chicos y la mitad de las

chicas tienen el pelo negro.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno al azar sea chico o tenga el pelo

negro?

b) Si el alumno elegido tiene el pelo negro, ¿cuál es la probabilidad de que no sea chico?

10) En un Colegio, hay organizadas actividades extraescolares de carácter deportivo. De

los alumnos de 2º de Bachillerato, participan en esas actividades 14 chicas y 22 chicos. En

ese curso hay un total de 51 chicos y 44 chicas. Si se escoge un alumno al azar, calcula la

probabilidad de que:

a) Sea chico y no participe en dichas actividades.

b) Participe en las actividades sabiendo que es chica.

c) Sea chica, sabiendo que participa.

11) En una bombonera hay 20 bombones rellenos de fresa y 35 rellenos de avellana. Si se

extraen dos bombones, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo sabor?

12) Al Congreso europeo asisten 60 hombres y 50 mujeres. El 50% de los hombres son del

partido A y el resto del partido B; en cambio, el 60% de las mujeres son del partido B, el

resto son del partido A. Eligiendo una persona al azar que asiste al Congreso, ¿cuál es la

probabilidad de que no sea del partido A?

13) Se sortea un viaje a Singapur entre los 120 mejores clientes de una agencia de

automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se

pide:

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe ya que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una

mujer?

14) A una ciudad española se la suele visitar bien por autocar bien por tren. La

probabilidad de elegir el autocar es 0,55 y la de elegir el tren, 0,45. Los autocares llegan

puntuales en un 85% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de no llegar puntual a la

ciudad?

BINOMIAL

15) La probabilidad de que un cierto producto se rompa cuando es transportado es del

2%. Si se transportan 20 de éstos, calcula la probabilidad de que:

a) Se rompan más de 2.

b) No se rompa ninguno.

16) Un examen tipo test tiene 10 preguntas, cada una de ellas con 3 opciones para elegir.

Si un alumno contesta al azar; calcula la probabilidad de que:

a) Acierte más de 8 preguntas.

b) No acierte ninguna.

c) Acierte todas.

17) El 53% de los trabajadores de una empresa son mujeres. Si elegimos 8 personas de

esa empresa al azar. Calcula la probabilidad de que haya:

a) Alguna mujer.

b) Más de 6 mujeres

18) Lanzamos un dado 5 veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Más de 3 unos.

b) Ningún uno.