Colegio de Bachilleres del Estado de Hidalgo

CALCULO DIFERENCIAL I

TRABAJO DE INVESTIGACION 1

Nombre: Yessica Yurai Mosca Marcelino.

Grupo: 5101

Profesora: Concepción

Leonard Euler

Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor calvinista, y de

Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas

Anna María y María Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se

trasladó de Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su

parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos

entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya

considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia

sobre el joven Leonard.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes

descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos.

También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática,

particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción

de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de

la mecánica, óptica y astronomía.

La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron

a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 años se matriculó en la Universidad

de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación

comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces,

Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la

tarde, quien descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las

matemáticas.[4]

En aquella época Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo siguiendo

los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor.

Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonard estaba

destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una

tesis sobre la propagación del sonido bajo el título De Son[5] y en 1727 participó en

el concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se

solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el

mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es

conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría

ganar ese premio hasta en doce ocasiones

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras

completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación

atribuida a Pierre Simón Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos

posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10

francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como

alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Aportaciones en las matemáticas

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría,

cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua,

teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante

a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.

Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de

publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su

época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra

completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus

trabajos, llamados Opera Omnia,[]comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a

publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en

72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y

artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se

imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia

fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.[] Además, y según el

matemático Hans Peter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad

de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el

nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de

pautas para el cálculo de probabilidades.

Pierre Simón Laplace

Nacido en una familia de granjeros de la baja Normandía, marchó a estudiar en la

Universidad de Caen donde fue recomendado a D'Alembert, quien, impresionado

por su habilidad matemática, lo recomendó para un puesto de profesor en la

Escuela Militar de París en 1767, donde tuvo entre sus discípulos a Napoleón[cita

requerida]. En 1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencia y en 1795,

miembro de la cátedra de matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las

Artes, que presidirá en 1812. En 1795 empieza a publicar el primero de los cinco

volúmenes que constituirán su Mecánica celeste y en 1796 imprime su Exposition

du système du monde, donde revela su hipótesis nebular sobre la formación del

sistema solar.

En 1799 fue nombrado ministro del interior durante el Consulado, aunque no

estuvo en el cargo sino seis semanas. Su antiguo alumno Napoleón I le confirió en

1805 la legión de honor y en 1806 el título de conde del Imperio. En 1812 publica

su Teoría analítica de las probabilidades y en 1814 su Ensayo filosófico sobre la

probabilidad. En 1816 fue elegido miembro de la Academia Francesa. A pesar de

su pasado bonapartista, tras la restauración de los Borbones fue lo bastante hábil

como para conseguir ser nombrado marqués en 1817.[2]

En Exposition du système du monde (Exposición del sistema del mundo, 1796)

expuso una teoría sobre la formación del Sol y del sistema solar a partir de una

nebulosa o remolino de polvo y gas. Aunque con mucho mayor detalle y múltiples

refinamientos, esta "Hipótesis nebular" permanece en nuestros días como el

fundamento básico de toda la teoría de la formación estelar. Por otra parte,

demostró también la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de la

teoría matemática de probabilidades (en su obra Théorie analytique des

probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método de los mínimos

cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló de manera muy

firme e influyente la imagen de un mundo completamente determinista.

Es recordado como uno de los máximos científicos de todos los tiempos, a veces

referido como el Newton de Francia, con unas fenomenales facultades

matemáticas no poseídas por ninguno de sus contemporáneos.[3]

Su obra más importante, Traité de mécanique céleste (Tratado de mecánica

celeste, 1799-1825, 5 vols.), es un compendio de toda la astronomía de su época,

enfocada de modo totalmente analítico, y donde perfeccionaba el modelo de

Newton, que tenía algunos fenómenos pendientes de explicar, en particular

algunos movimientos anómalos que seguían sin solución: Júpiter estaba sometido

a una aceleración aparente mientras que Saturno parecía frenarse poco a poco y

la Luna también mostraba un movimiento acelerado. Si estos movimientos

continuaban indefinidamente, Saturno caería sobre el Sol, Júpiter se escaparía del

sistema solar y la Luna caería sobre la Tierra. Con tan sólo 23 años de edad,

Laplace demostró que la aceleración de Júpiter y el frenado de Saturno eran

movimientos periódicos. Los larguísimos períodos (en torno a mil años) habían

hecho creer hasta entonces que estas variaciones eran continuas e indefinidas

('seculares'); en 1785 demostró que tales anomalías se debían a la posición

relativa de Júpiter y Saturno respecto del Sol. Todo ello necesitó de una cantidad

enorme de cálculos muy detallados. En 1787 Laplace demostró que el movimiento

anómalo de la Luna también era oscilatorio y que estaba ocasionado por

pequeños efectos (de 'segundo orden') en el sistema triple Sol-Tierra-Luna. Las

variaciones eran periódicas y, por tanto, el sistema solar debía ser estable y

autorregulado. Todas estas ideas se recogieron en su obra Exposition du système

du monde publicada en 1796.

Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol

saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de ,

donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que

esta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse en

todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue

cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de

un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras

de él.

Laplace creía fuertemente en el determinismo causal, tal como puede apreciarse

en la siguiente cita:

Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la

causa de su futuro. Se podría concebir un intelecto que en cualquier momento

dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los

seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para

someter los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el

movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal

intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus

ojos.

Este intelecto se refiere al demonio de Laplace (cf. demonio de Maxwell). Los

descubrimientos de la física moderna, especialmente la Física Cuántica y el

principio de incertidumbre prueban que la existencia de tal intelecto es imposible al

menos en principio.

Aportaciones en las matemáticas

Sentó las bases científicas de la teoría matemática de probabilidades (en su obra

Théorie analytique des probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método

de los mínimos cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló

de manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamente

determinista.

Atento a los descubrimientos de nebulosas realizados por William Herschel en

Inglaterra, Laplace pensó que el colapso gravitatorio de una nebulosa podría

haber dado origen a la formación del Sol y que el material orbitando en torno al Sol

podría condensarse para formar una familia de planetas. Esta teoría explicaba de

manera natural que todos los planetas orbiten en torno al Sol en el mismo sentido

(de oeste a este) y que sus órbitas estén en un mismo plano. Herschel concordó

con esta idea y la generalizó para explicar la formación y evolución de todas las

estrellas y de sistemas estelares.

Sophie Germain

Nacida en París, el 1ro. de abril de 1876 y criada durante los años de turbulencia

en Francia. Sus padres se opusieron a que estudiara matemáticas hasta que no

tuvieron opción y lo aceptaron.

Germain no podía ir a la escuela porque no aceptaban mujeres; pero se las

arreglaba para recibir apuntes de los profesores. A ella le atrajo el análisis de

LaGrange y bajo un nombre ficticio le escribió una composición. A éste le

impresionó tanto, que averiguó quien era y fue a su casa a decirle cuán

impresionado estaba. Esto le sirvió a Germain para tener el coraje de seguir

estudiando matemáticas. Como resultado de un libro escrito por Gauss, Germain

le escribió usando el mismo pseudónimo que había usado con LaGrange. Gauss

se interesó tanto en sus observaciones, que mantuvieron correspondencia por

varios años. En 1807, Gauss se enteró del verdadero nombre de Germain. Ella

temía que a Gauss le sucediera algo y envió unas tropas a la casa de él para

asegurarse de que estuviera bien. Cuando los soldados le hablaron de Germain, él

les dijo que no la conocía. Luego, por cartas se esclareció la situación.

Germain trabajó en el problema de la ley matemática de vibraciones de superficies

elásticas. En 1811 sometió un trabajo al respecto a la Academia Francesa de las

Ciencias (anónimamente); pero fue criticada por la falta de precisión al pasar de

una línea a una superficie. En 1813 sometió otro trabajo del mismo tema y en

1816 ganó el primer lugar situándola entre los mejores matemáticos. Esto hizo que

la aceptaran entre los círculos de matemáticos. Continuó escribiendo sobre

distintos problemas matemáticos y continuó intercambiando correspondencia con

Gauss. Este pidió a la Universidad de Göttingen que le dieran el grado de doctora;

pero el 26 de junio de 1831 murió, antes de poder recibir el grado.

Aportaciones en las matemáticas

Una de las mayores contribuciones de Germain a la teoría de números fue la

demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 +

y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. Esta

demostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía una

importancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones del

último teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por

completo hasta 1995.

Una de sus más famosas identidades, más comúnmente conocida como Identidad

de Sophie Germain expresa para dos números x e y que:

Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick, Alemania, el 30 de

abril de 1777, en una familia muy pobre: Su abuelo era allí un humilde jardinero y

repartidor. Nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió.

De pequeño, Gauss fue respetuoso y obediente y, en su edad adulta, nunca criticó

a su padre por haber sido tan rudo y violento, que murió poco después de que

Gauss cumpliera 30 años.

Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el

lenguaje. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la

aritmética desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó en la

escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se

cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase

de Aritmética, el profesor propuso el problema de sumar los números de una

progresión aritmética.[1] Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente

diciendo «Ligget se'» ('ya está'). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones

y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de

las de sus compañeros.

El matemático Martin Bartels era asistente de Büttner en la escuela de Brunswick

y desde que Gauss lo conoció se aceleraron sus progresos en Matemáticas.

Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender

los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años se

empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, que

caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor

en muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron, como

Newton, Euler, LaGrange y otros más.

A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los

16 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría.

A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían

dejado a medios sus predecesores en materia de teoría de números. Así

descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus

primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que

para él «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las

matemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick

Ferdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por su

modestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss

para asegurar que su educación llegara a buen fin.

Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum para

continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las

lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tres

años en el Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las

matemáticas o a la filología. En esta época ya había descubierto su ley de los

mínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss por la teoría de

errores de observación y su distribución.

Aportes de las matemáticas

Gauss estaba tan orgulloso de la demostración de este resultado que decidió

estudiar Matemáticas por él.

Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantes

descubrimientos, entre los que destacan los siguientes:

Inventó la aritmética modular (y II), hecho que sirvió para unificar la teoría

de números.

Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no

demostrada completamente por Legendre unos años antes.

Demostró que todo número número entero positivo puede expresarse como

suma de como mucho tres números triangulares (en su diario podía leerse

¡Eureka! núm.= ).

Dos años en Göttingen le bastaron para darse cuenta de que ya nadie podía

hacerle avanzar allí. Por ello volvió a su casa en Brunswick a escribir su tesis

doctoral. Como tema central de la misma eligió el teorema fundamental del

álgebra, que dice que todo polinomio de grado con coeficientes complejos tiene

exactamente raíces complejas (aunque bastaría formularlo así: todo polinomio de

grado con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja). Aunque en

la actualidad su primera demostración no está aceptada, las otras tres

demostraciones del mismo resultado que produjo durante su vida sí son

plenamente correctas.

Tales de Mileto

Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Filósofo y matemático griego. En su

juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y

astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en

Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis

y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes, y

contemporáneo de Anaximandro.

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo,

que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no

buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual

era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se

constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos

sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente

cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral

azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra,

cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que

finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia?

Tales consideraban que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de ser

así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál

era entonces esa materia o elemento básico.

Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor

cantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través

de los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco

plano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito. Esta tesis

sobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustancias

cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellos

aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la

consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, sea

cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser

considerado como el "padre de la filosofía".

Aportes a las matemáticas

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es

decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.

Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.

Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Más, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.

1: ¿porque crees que es importante conocer la historia de las matemáticas?

Es muy importante ya que así nosotros podemos conocer quienes descubrieron

las matemáticas y que aportaciones dio cada uno de los científicos matemáticos.

2: ¿Cuáles crees que son los beneficios que han aportado las matemáticas en la

vida del hombre?

Las matemáticas se usan en todo sin darnos cuentas cuando vamos a la tienda

ocupamos las matemáticas para jugar por que podemos contar lo que sea en los

juegos se usan cuando vamos al banco, en la cocina al hacer cualquier guisado

etc. Para salir, a cualquier parte siempre usamos algo de matemáticas en los

juegos de pelota etc.

Unidad 2¿Cómo se originó el cálculo?

Las matemáticas aparecen como herramienta utilitaria en las civilizaciones

mesopotámicas y egipcias. Siglos después los griegos las utilizan con dos

aspectos diferenciados, el de herramienta práctica y como ciencia para el

desarrollo de la inteligencia; dualidad que sigue vigente

Las matemáticas de la antigüedad eran la aritmética, ciencia de los números,

y la geometría, ciencia de la forma y de las relaciones espaciales. Platón

define como geometría en su República: "Es el conocimiento de lo que

siempre existe". Definición que puede aplicarse a toda la Matemática

 Los textos de matemáticas más antiguos proceden de   Mesopotámica, textos

matemáticos cuneiformes de hace más de 5 000 años. Sumerios y   babilonios ya

utilizaban complejos      sistemas de numeración  y otros procedimientos

matemáticos.   Los conocimientos matemáticos de los   egipcios fueron

rudimentarios pero muy prácticos.  Su principal texto fue el papiro de Rhind,

debido a un escriba del reinado de  Ekenre Apopi,  hacia  1 600.

En el año 1 899 apareció, cerca de Bagdad (Irak), las ruinas de la Babilonia

de Nabucodonosor,

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer

milenio a. C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la

aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de

conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a. C., muestran un sistema

de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10

(1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se

representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el

número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y

así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,

las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en

duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción ',

para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, “era la suma de las fracciones y

~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas

aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En

geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos,

rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por

supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un

cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene

utilizando la constante pi (3,14.

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el

babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña

(cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha

representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos

símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El

número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a

partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número

completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el

del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo

principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el

ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) +

10 × (†)-2. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil

como el sistema decimal (base 10.

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas

que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de

segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas

ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando

el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas,

incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de

interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones

aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.

También obtuvieron una buena aproximación de Ã.

LOS EUROPEOS DOMINARON EN EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS

DESPUÉS DEL RENACIMIENTO.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las

matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el

descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper);

su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dos

siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les

había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la

época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII

basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de

Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de

números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen

soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor

que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado

gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El

primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su

descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra

(desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas

(Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del

método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado,

ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El

segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el

ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría

proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el

científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran

entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el

desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del

matemático francés Jean Víctor Poncelet

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la

teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat

sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos.

Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christian Huygens a

escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue

publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.

Tanto Bernoulli como el francés Abraham de Moivre, en su Doctrina del azar de

1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su

teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de

seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin

lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e

integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos

compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros

matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann

van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el

alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en

publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy

en el cálculo.

DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS

Las  primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del

tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas

por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin

mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema

de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10

(1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se

representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el

número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y

así sucesivamente. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y

la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones, junto con la fracción, para expresar

todas las fracciones

.

LAS MATEMÁTICAS DURANTE EL RENACIMIENTO

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios

matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue

hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de

trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las

ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático

italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los

matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de

soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta

búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a

finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste

Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos

matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo

importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron

gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de

Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

AVANCES EN EL SIGLO XVII

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las

matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el

descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper);

su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dos

siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les

había duplicado la vida. La ciencia de la teoría de números, que había

permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los

avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad

clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes

descubrimientos en la teoría de números.

LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque

lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en

cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un

nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de

cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático

alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los

números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la

actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass

también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más

importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle

—estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la

palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier

aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien

propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de

entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo

importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss

dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números

formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de

Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante

avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de

expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de

Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en

las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a

series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una

aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como

demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se

curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y

recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes

turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo

fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos

rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a

ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia

que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y

publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y

por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su

forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.

En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también

aplicaciones en física.

LAS MATEMÁTICAS ACTUALES

La Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el

matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en

Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma

sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico

Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en

colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un

repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la

investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho,

han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez

que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto,

la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no

pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable,

primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las

computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo

XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una

máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo

una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación

de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del

relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación

programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso

a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas

finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio

de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan

diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra

abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios

problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el

problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El

teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con

la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este

teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad

de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que

nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar

teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más

importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin

solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas.

Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

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