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Colegio Los Robles ● Equipo Técnico Matemáticas Pg. 1 de 19

Índice

I. Efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y fraccionarios). - Con cualquier número de paréntesis - Incluyendo expresiones con castillos.

II. Efectuar operaciones con potencias y raíces de números racionales. - Con cualquier número de paréntesis. - Incluir exponentes negativos y fraccionarios. - Introducir y extraer factores de una raíz.

III. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas. - Sumas, restas y productos de polinomios con coeficientes racionales. - Productos notables. - Operaciones combinadas con cualquier número de paréntesis.

IV. Resolver ecuaciones - De primer y segundo grado. - Con cualquier número de paréntesis y denominadores enteros.

V. Resolver sistemas de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas. - Con denominadores enteros. - Con un nivel de paréntesis.

VI. Aplicar el lenguaje algebraico a la resolución de problemas. - Ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas lineales de 2 ecuaciones con

2 incógnitas.

Apéndice: Relación de Errores Gravísimos (“E.g.”)

Colegio Los Robles Equipo Técnico de Matemáticas

Resumen de

OF« Matemáticas 3º ESO

(Versión IX.2019)


Objetivo Enunciado

I Efectuar operaciones combinadas con números racionales (enteros y fracciona-rios)

- Con cualquier número de paréntesis - Incluyendo expresiones con castillos.

Resumen teórico: Cuando nos encontramos ante una secuencia compleja de operaciones, conviene ir realizándo-las en este orden:

1º) Efectuar las operaciones contenidas en el interior de los paréntesis (“de dentro afuera”). Al hacerlo debemos respetar el C.J.O.: primero se realizan las potencias, después los productos y cocientes (de izquierda a derecha) y, por último, las sumas y restas (indistin-tamente).

2º) Si esos paréntesis están afectados por algún exponente, a continuación se calcula la po-tencia correspondiente;

3º) Quitar los paréntesis, cambiando el signo de su contenido si van precedidos de un signo negativo;

4º) Repetir los pasos anteriores con los corchetes, llaves, etc... • Además: cada vez que realicemos una operación, antes de seguir operando, comprobaremos si se pueden simplificar las fracciones resultantes.

Ejemplo I.1

Operación Comentarios

32

2 129

13

34

3 2

÷ - - - + ÷ ´æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

-

( ) Empezamos realizando la operación contenida dentro del se-gundo paréntesis. Aplicando el CJO realizamos en primer lu-gar el cociente (cuyo resultado simplificamos) y después el producto.

= ÷ - - - + ´æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

= ÷ - - - +æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

-

-

32

2 123

34

32

2 112

3 2

3 2

( )

( )

Seguimos operando dentro del paréntesis: realizamos la su-ma. (Fíjate que el primer paréntesis está puesto sólo para proteger el signo negativo del -2, por lo que no hay que reali-zar operaciones dentro de él).

= ÷ - - -æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =

-32

212

3 2

( ) Según el CJO ahora hemos de efectuar la potencia que afecta al paréntesis: como la base es negativa y el exponente impar, el resultado será negativo.

= ÷ - - -æèç

öø÷

é

ëê

ù

ûú =-3

22

18

2

( ) Una vez terminada completamente la operación que había dentro del paréntesis, procedemos a quitarlo: como está pre-cedido de un signo negativo, cambiamos el signo de la frac-ción.

= ÷ - +éëê

ùûú

=-3

22

18

2

( ) Realizamos la operación contenida dentro del corchete: según el CJO, hacemos primero el cociente y después la suma.

= - +éëê

ùûú

=- +éëê

ùûú

= -éëê

ùûú

=- - -3

418

6 18

58

2 2 2

Por último, invertimos los términos de la fracción para dejar positivo el exponente y calculamos la potencia: al ser la base negativa y el exponente par, el resultado es positivo.

-éëê

ùûú

=85

6425

2

Como la fracción obtenida no se puede simplificar, éste es el resultado final.


Caso particular (objetivo I): Expresiones con castillos. Resumen teórico:

• Si en una fracción el numerador, el deno-minador (o ambos) está a su vez formado

por otra(s) fracción(es) resulta una expresión a la que denominamos “castillo”:

è 2335

; 1611

;

497

• Su valor se halla sin más que transformarlo en un cociente de fracciones, como se muestra a continuación:

Ejemplo I.2

a) 2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´= ; b)

1611

1611

1 116

116

= ÷ =´

= ; c) 497

49

74 19 7

463

= ÷ =´

´=

• Si observas atentamente los ejemplos anteriores, verás que cualquier castillo se puede convertir en una fracción

ordinaria haciendo la siguiente transformación, que acorta un poco el cálculo:

• Al escribir expresiones con castillos hay que ser muy cuidadosos para distinguir bien cuál es la raya de fracción principal y cuáles las secundarias: la principal siempre se escribe a la altura del signo igual y es algo más larga que las secundarias. • Puede ocurrir que en el numerador o en el denominador de un castillo, haya a su vez otros castillos. En ese caso, se van deshaciendo paso a paso, empezando por los más pequeños.

Ejemplo I.3


2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´=

Empezamos deshaciendo los dos castillos más pequeños, los situados por encima y debajo de la raya principal (la más lar-ga).

2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´= Ahora deshacemos el castillo obtenido

2335

23

35

2 53 3

109

= ÷ =´

´=

Antes de multiplicar los factores resultantes de deshacer el castillo, hemos simplificado los factores comunes al numerado y denominador.

a d b c

=

a b

c d


Ejemplo I.4


=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

-

÷øö

çèæ +-

-

-1

2

351

1211

211

Como conviene empezar por lo más sencillo (la operación más pequeña posible), hacemos en primer lugar: - la resta que hay en el primer numerador; y - la suma dentro del paréntesis del primer denominador.

=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

-

÷øö

çèæ-

-1

2

351

231

21

Ahora el CJO nos obliga a elevar al cuadrado la fracción del primer denominador; pero, a la vez, podemos deshacer el castillo del segundo término del corchete, ya que esta opera-ción es independiente de la anterior.

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-1

53

49121

La operación más pequeña ahora es la resta del primer deno-minador.

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-- 11

53

4521

53

49421

Es el momento de deshacer el castillo dentro del corchete.

=úû

ùêë

é--=ú

û

ùêë

é-

×-×

=-- 11

53

104

53

2541 Antes de seguir operando simplificamos la primera fracción.

=úû

ùêë

é--=

-1

53

52 Hacemos la resta dentro del corchete.

[ ] =-=úû

ùêë

é-= -

-1

1

155 Aplicamos la regla para operar con potencias de exponente

negativo y concluimos.

[ ] 1111 1

1

-=-=úû

ùêë

é-

=


E.g.

Objetivo Enunciado

II Efectuar operaciones con potencias y raíces de números racionales.

- Con cualquier número de paréntesis - Incluir exponentes negativos y fraccionarios. - Introducir y extraer factores de una raíz.

Resumen teórico:

Potenciación Radicación

1a0 = ; mnmn aaa +=× ; mnm

n

aaa -= baba ×=× ;

ba

baba ==÷

nnn ba)ba( ×=× ; n

nnn

ba

ba)ba( =÷øö

çèæ=÷ n/mn m aa = ; n pm

pn m aa ×=÷

øöç

èæ ; pn pmn m aa × ×=

( ) mnmn aa ×= n mnn m abab ×=× ; nnn a)cb(acab ±=±

nn

a1a =- ; n

n aa1

=- ;

nn

ab

ba

÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ

-

nnn baba ±¹±

- Basándonos en la propiedad que nos permite multiplicar (dividir) el índice de una raíz y el ex-ponente de su radicando por el mismo número sin que varíe la raíz, podemos reducir raíces a índice común siempre que nos interese. Este ejemplo muestra cómo proceder:

Ejemplo II.1


Reducir a índice común: 3 5 ; 32 ; 4 7

Empezamos hallando el m.c.m. de los índices de las raíces.

m.c.m. (3, 2, 4) = 12 El m.c.m. hallado es el nuevo índice común.

12 ? ; 12 ? ; 12 ?

Para calcular los nuevos radicandos: 1º) dividimos el m.c.m. entre el índice de cada raíz: 2º) multiplicamos el resultado por el exponente de su radican-

do

● Raíz 1ª) Þ=´=÷ 414;4312 12 45

● Raíz 2ª) Þ=´=÷ 1836;6212 12 182

● Raíz 3ª) Þ=´=÷ 313;3412 12 37

• Cuando efectuamos operaciones con potencias/raíces el resultado se puede dejar en forma de potencia o raíz, siempre que se hayan simplificado todo lo posible. • El resultado de una operación con potencias/raíces no se considera simplificado si contiene exponentes negativos o fraccionarios.


Ejemplo II.2


[ ]{ } =úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ--

-5332

21)3(

Como siempre empezamos haciendo las operaciones más sencillas posible (“de dentro afuera”): - En la llave inicial, elevamos “-3” al cuadrado (base negativa,

exponente par: resultado positivo). - En el segundo corchete, elevamos la fracción al cubo

[ ]{ } =úûù

êëé-=

-5

332

213

- En la llave hacemos la potencia de potencia (exponente im-par y base positiva: resultado positivo.

- En el corchete cambiamos el signo a la potencia dando la vuelta a la fracción.

[ ]{ } =úû

ùêë

é-=

536

123 - Dentro de la llave: quitamos el corchete.

- Quitamos el denominador de la fracción.

{ } [ ] =-=536 23

Realizamos la potencia de potencia y quitamos llaves y cor-chetes.

156 23 ×= Este es el resultado final (no es necesario realizar la opera-ción).

Ejemplo II.3


=++- 80108245273

- Al ser no ser raíces semejantes (tienen distinto radicando) no se pueden sumar (restar).

- Pero podemos extraer factores de las raíces si descompo-nemos los radicandos en factores primos:

=×+×+×-= 523225333 43223

=+××+-×= 52332253333 2

=++-= 543125339

- Ahora sumamos (restamos) las raíces que son semejantes (mismo índice y radicando) entre sí.

=+-++= 5)43(3)129(

5321 +=


Ejemplo II.4


=-+× 5534 64321664 - Vamos a empezar por intentar extraer factores de las raíces

a ver si resultan raíces semejantes con las que podamos operar.

=-+×= 5 653 44 6 23222 =××-+×××= 5534 2 22322222

- Ahora las dos últimas raíces son semejantes, por lo que po-demos restarlas.

=-+×××= 534 2 2)61(2222 =-××= 534 2 25224

- Además hemos aprovechado para multiplicar los dos “2” del primer término.

- Las dos raíces del primer término no se pueden multiplicar, pues tiene distinto índice. Por ello, vamos a reducirlas a índi-ce común.

● m.c.m. (4, 3): 12. ● Raíz 1ª) Þ=´=÷ 623;3412 12 62

● Raíz 2ª) Þ=´=÷ 414;4312 12 42 - Ahora ya podemos multiplicar esas dos raíces.

=-××= 512 412 6 25224 =-××= 512 46 25224

=-×= 512 10 2524

- La primera raíz se puede simplificar, dividiendo entre 2 el índice y el exponente del radicando.

56 5 2524 -×=

Ejemplo II.5


( ) =-÷÷ø

öççè

æ÷÷

÷ø

öççè

æ 242

3254

1020

- Siguiendo la estrategia de empezar por las operaciones más sencillas:

- En el primer paréntesis dividimos las dos raíces (tienen el mismo índice)

- En el segundo paréntesis hacemos la raíz de la fracción - En el tercero introducimos el coeficiente 2 dentro de la raíz.

=÷øöç

èæ ×-÷

÷

ø

ö

çç

è

æ÷÷

÷ø

öççè

æ=

22

42

325

41020 - Ahora simplificamos el contenido de cada paréntesis (antes

de pasar a operar “fuera” de ellos).

( ) ( ) =-÷÷ø

öççè

æ÷=

24

4

212

542 - Simplificado el interior de los paréntesis, “salimos” afuera:

calculamos las potencias correspondientes.

=-÷= 2

4 4

42 12

542 - Todas las raíces resultantes se pueden simplificar, al tener

divisores comunes su índice y el exponente del radicando.

=-÷= 125422

- Terminamos haciendo la división y después la resta.

891

896512

8512

1610

-=-

=-=-=


E.g.

Objetivo Enunciado

III Efectuar operaciones con expresiones algebraicas.

- Sumas, restas y productos de polinomios con coeficientes racionales. - Productos notables

Resumen teórico: • Para sumar o restar dos o más polinomios se escribe uno a continuación del otro y se suman

(restan) los términos que sean semejantes (“reducción de términos semejantes”). • Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primer polinomio por todos los

términos del segundo (teniendo en cuenta la regla de los signos) y en el resultado así obteni-do se reducen términos semejantes.

• Productos notables: ab2ba)ba( 222 ±+=± ; 22 ba)ba()ba( -=-×+ .

Por tanto: 222 ba)ba( ±¹±

Ejemplo III.1


x =-124

El CJO nos obliga a realizar primero los dos productos existentes. Observa que en el caso del segundo hemos simplificado los coeficientes fraccionarios resultantes.

x =-124

Ahora quitamos el paréntesis, cambiando el signo de los términos contenidos en él.

x =-124

Y, por último, reducimos términos semejan-tes.

6y421y

613y

25 23 -++-=


Ejemplo III.2


( ) =-+--+- )yx()yx()yx(xy 22 - El CJO nos pide que hagamos primero las

potencias, para lo que hemos de aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio.

( ) ( ) ( ) =-++--++-= )yx(xy2yxxy2yxxy 2222

- Ahora debemos realizar los dos productos, para lo que vamos multiplicando cada tér-mino del primer factor por todos los térmi-nos del segundo.

( )( )=-+-+--

--++-+-=223223

223232

xy2yx2yxyyxxyx2xyxxy2yyx

- Como siempre, antes de pasar a operar

fuera del paréntesis simplificamos su inte-rior reduciendo términos semejantes.

( ) ( )=--+-+-+--= 32233232 yxyyxxxxyyyx

- Ahora pasamos a operar “fuera” de los pa-réntesis: los quitamos (cambiando los sig-nos de todos los términos) y reducimos términos semejantes.

=++---+-= 32233232 yxyyxxxxyyyx 32 x2xy2 -=

Ejemplo III.3


=÷øö

çèæ +-

2

z32

6yx3

- Tenemos que elevar un trinomio al cuadrado. Si fuera un binomio podría-mos recurrir a la fórmula correspondien-te, pero en este caso hemos de realizar el producto del polinomio por sí mismo.

=÷øö

çèæ +-÷

øö

çèæ +-= z

32

6yx3z

32

6yx3

- Multiplicamos cada término del primero por todos los demás del segundo te-niendo en cuenta la regla de los signos y simplificando los coeficientes fraccio-narios que vamos obteniendo.

=+-+-+-+-= 222 z94yz

182xz

36yz

182y

66xy

63xz

36xy

63x9

=+-+-+-+-= 222 z94yz

91xz2yz

91yxy

21xz2xy

21x9

- Ahora reducimos términos semejantes.

=+÷øö

çèæ --++++÷

øö

çèæ --+= 222 z

94yz

91

91yxz)22(xy

21

21x9

( ) =+÷øö

çèæ-+++-+= 222 z

94yz

92yxz4xy1x9

222 z94yz

92yxz4xyx9 +-++-=


Objetivo Enunciado

IV Resolver ecuaciones

- De primer y segundo grado. - Con cualquier número de paréntesis y denominadores enteros.

• Vamos a empezar por recordar cómo se quitan denominadores en una ecuación. Resumen teórico: Para quitar denominadores en una ecuación.

1º) se calcula el m.c.m. de todos los denominadores que aparezcan en la ecuación; 2º) se multiplican los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. y se simplifican las expre-

siones resultantes.

Ejemplo IV.1


94

823

53

x x- = -

Calculamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(4, 3, 3) = 12; y multiplicamos por él los dos miembros de la ecuación

1294

8 1223

53

x x-

æèç

öø÷ = -

æèç

öø÷

1294

12 8 1223

1253

× - × = × - ×x x

Pero estos productos también se pueden escribir como se muestra en el siguiente paso

1249 12 8

1232

1235× - × = × - ×x x

Que tiene la ventaja de que si ahora simplificamos las fraccio-nes obtenemos números enteros, con lo que desaparecen los denominadores

3 9 12 8 4 2 4 5× - × = × - ×x x Y, a partir de aquí, continuamos la resolución por el procedi-miento que ya conocemos.

3 9 12 8 4 2 4 5× - × = × - ×x x 3 9 12 8 4 2 4 5× - × = × - ×x x

3 9 12 8 4 2 4 5× - × = × - ×x x

3 9 12 8 4 2 4 5× - × = × - ×x x Comprobación:

94

823

53

x x- = - ;

94

823

53

x x- = - ; 9

48

23

53

x x- = -

• Cuando el numerador de alguna fracción tenga más de un término, es muy importante escribir entre paréntesis ese numerador a fin de no olvidarse de:

- multiplicar por el m.c.m. todos los términos de esos numeradores - cambiar el signo de esos términos si delante de la fracción había un signo menos.

Estos dos errores son muy frecuentes. Tenlo presente para tratar de evitarlos.


Ejemplo IV.2


7 612

39

3x x+

-+

= m.c.m. (12, 9) = 36; multiplicamos los dos miembros de la ecuación por este número.

3612

7 6369

3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Dividimos el m.c.m. entre cada denominador.

3 7 6 4 3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Multiplicamos los coeficientes numéricos por el contenido de los paréntesis.

3 7 6 4 3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Quitamos paréntesis. 3 7 6 4 3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Trasponemos términos semejantes. 3 7 6 4 3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Reducimos términos.

3 7 6 4 3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Despejamos la incógnita.

3 7 6 4 3 36 3( ) ( )x x+ - + = × Comprobación:

7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= 7 612

39

3x x+

-+

= ¡Correcto! • Y ahora repasemos el procedimiento general de resolución. Resumen teórico: Para resolver una ecuación daremos -en este orden- los siguientes pasos: 1º) Quitar paréntesis (si los tiene). 2º) Quitar denominadores (si los tiene).

- Si al realizar este paso nos vemos obligados a poner algún paréntesis, lo quitaremos an-tes de continuar.

3º) Trasponer términos. 4º) Reducir términos semejantes. 5º) Despejar la incógnita y operar. 6º) Hacer la comprobación.

- Este último paso no forma parte estrictamente de la resolución de la ecuación, pero es muy conveniente que te acostumbres a hacerlo, pues así podrás asegurarte que está bien resuelta.

Ejemplo IV.3


253

2x

x+æ

èç

öø÷ = - Primero hemos de quitar el paréntesis. Para ello multiplicamos

la fracción que hay dentro de él por el coeficiente “2”. 2 53

2( )x

x+

= - Ahora operamos en el numerador para quitar el nuevo parén-tesis que hemos introducido.

2 103

2x

x+

= - Para quitar denominadores hallamos el m.c.m. de los denomi-nadores -que en este caso es trivial: 3- y multiplicamos los dos miembros por él.

33

2 10 3 2× + = × -( ) ( )x x Volvemos a quitar los paréntesis introducidos.

2 10 3 6x x+ = - Y seguimos de la forma habitual.

2 10 3 6x x+ = - ; 2 10 3 6x x+ = - ; 2 10 3 6x x+ = - Comprobación: 216 53

16 2+æ

èç

öø÷ = - ; 2

213

16 2× = - ; 2 213

16 2× = -

2213

16 2× = - ¡Correcto!


Ejemplo IV.4


÷øö

çèæ +--=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ ---

25x

31

414

3x2

41

2x

45

Primero hemos de quitar los paréntesis. Para ello empezamos por las operaciones más pequeñas posibles: la resta y la suma que hay dentro de los dos paréntesis.

÷øö

çèæ +

--=úû

ùêë

é÷øö

çèæ -

--25x2

31

41

312x2

41

2x

45 Ahora multiplicamos el contenido de cada parén-

tesis por su coeficiente fraccionario (sería un e.g. restar antes “1/4” a “x/2” y/o efectuar “-1/4-1/3”).

65x2

41

1212x2

2x

45 +

--=úûù

êëé -

-- Antes de seguir operando, observamos que se puede simplificar la segunda fracción que hay dentro del corchete.

65x2

41

62)6x(2

2x

45 +

--=úûù

êëé

×-

-- ; 65x2

41

66x

2x

45 +

--=úûù

êëé -

-- Para acabar de quitar “paréntesis”, multiplicamos el corchete del primer miembro por su coeficiente.

65x2

41

24)6x(5

8x5 +

--=-

+- Ahora procedemos a quitar denominadores: m.c.m. (8, 24, 4, 6) = 24.

)5x2(6241

424)6x(5

2424x5

824

+×-×-=-×+×- Simplificamos las fracciones y continuamos del modo habitual.

)5x2(416)6x(51x53 +×-×-=-×+×- 20x86)6x(5x15 ---=-+-

26x830x5x15 --=-+- 3026x8x5x15 +-=++-

4x2 =- 2

24x -=-

=

Comprobación:

÷øö

çèæ +---=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ -

-×-

--

252

31

414

3)2(2

41

22

45

÷øö

çèæ +-

--=úû

ùêë

é÷øö

çèæ --

---254

31

414

34

411

45

÷øö

çèæ--=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ --

---21

31

41

3124

411

45

61

41

316

411

45

--=úû

ùêë

é÷øö

çèæ ---- ;

1223

341

45 --

=úûù

êëé +--

125

343

45 -

=úûù

êëé +-

- ; 125

31

45

-=úûù

êëé- ;

125

125

-=-


Objetivo Enunciado

V Resolver sistemas de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas.

- Con denominadores enteros. - Con un nivel de paréntesis

Resumen teórico: Hay cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación, reducción y gráfico. En los ejemplos siguientes recordamos cómo se procede en cada uno de ellos.

Ejemplo V.1 (Igualación)

Ejemplo V.2 (Sustitución)


þýü

=+=+54yx478y2x3

Estudiamos cuál es la incógnita más fácil de despejar (en este caso la “y” al tener 1 de coeficiente en la 2ª Ec.), y la despejamos en am-bas ecuaciones.

ïþ

ïýü

-=

-=

x454y2x378y

Como los primeros miembros de las dos ecuaciones son iguales, podemos igualar los segundos, con lo que nos queda una ecuación con una sola incógnita.

x4542x378

-=- Resolvemos esta ecuación de la forma que ya sabemos y hallamos

el valor de la “x”:

(…) x = 6 Para hallar el valor de la “y” sustituimos el valor calculado de “x” en la ecuación más sencilla de las obtenidas en el 2º paso.

306454y =×-=

Con lo que la solución del sistema es: x = 6 ; y = 30

Es conveniente hacer la comprobación, para asegurarse de que he-mos operado correctamente. Para ello sustituimos los valores obte-nidos en el sistema inicial.

þýü

=+×=×+×5430647830263 ;

þýü

=+=+543024786018 ;

þýü

==54547878 ü


þýü

=+=+54yx478y2x3 Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones (la

que resulte más fácil): en nuestro caso la “y” en la 2ª Ec.

þýü

-==+x454y78y2x3 Sustituimos en la otra ecuación el valor de la incógnita despejada.

78)x454(2x3 =-×+ Resolvemos esta ecuación y hallamos el valor de la segunda in-cógnita.

(…) x = 6 Para hallar el valor de la “y” sustituimos el valor calculado de “x” en la ecuación del 2º paso donde habíamos despejado esa incógnita.

306454y =×-= Como en el método anterior, ahora convendría hacer la comproba-ción.


Ejemplo V.3 (Reducción)

Ejemplo V.4 (Gráfico)


þýü

=+=+8xy210yx2

Despejamos la “y” en ambas ecuaciones.

þýü

-=-=x8y2x210y

; ïþ

ïýü

-=

-=

2x8y

x210y

Representamos gráficamente las rectas correspon-dientes a cada ecuación. Para ello construimos una tabla de valores (recomendación: dar tres valores para detectar posibles errores de cálculo).

x210y -= ð -+ - - +

++-x2 - 4

x - 1

-¥ 1-2 2 ¥

2x8y -

= ð -+ - - +

++-x2 - 4

x - 1

-¥ 1-2 2 ¥

Las coordenadas del punto de corte (x = 4, y = 2) son la solución del sistema.


þýü

=+=+54yx478y2x3

Multiplicamos los dos miembros de una de las ecuaciones (o las dos, si fuera necesario) por el número adecuado, para lograr que una de las incógnitas quede con coeficientes igua-les u opuestos en ambas ecuaciones. En nuestro caso multi-plicamos la 2ª Ec. por “-2”:

þýü

-=--=+

¾¾ ®¾ -× 108y2x878y2x3

)2( Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones (si los coe-ficientes fuesen iguales, restaríamos en vez de sumar) con lo que desaparece la incógnita cuyos coeficientes son opuestos.

30x5 -=- Resolvemos la ecuación de una incógnita resultante.

x = 6 Sustituimos el valor hallado de “x” en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y hallamos la “y”.

54y642EendoSustituten =+×¾¾¾¾¾¾ ®¾ ; y = 30 Como en los casos anteriores. Ahora convendría hacer la comprobación.

4 2 8

2

5

8

£

£

£

¯ ¯

¯


Objetivo Enunciado

VI Aplicar el lenguaje algebraico a la resolución de problemas.

- Ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Resumen teórico: Reglas del lenguaje algebraico:

1ª) El producto se indica por un punto (y no por un aspa para evitar confusiones con la letra equis). 2ª) Cuando se escribe el producto de un número por una letra, o de una letra por otra, se puede omitir

el signo de la operación: “2x” significa “dos por equis”; “xt” significa “equis por te”. 3ª) Cuando sean dos números los que se multiplican, siempre hay que escribir el punto entre ellos para

no confundirse con un número de varias cifras: “2 · 4” significa “dos por cuatro”; “24” significa “veinti-cuatro”.

4ª) Nunca se escriben dos signos de operaciones seguidos: es necesario separarlos por un paréntesis: “3 + – x” es incorrecto, habría que escribir “3 + (–x)”; “b · – c” es incorrecto, debería ser: “b · (–c)” ó “b (–c)”.

5ª) Si se escriben dos expresiones algebraicas distintas en una misma línea, se separan por un punto y coma (para evitar que al leerlo otra persona pueda pensar que se están multiplicando): “2x 5t” signi-fica “dos equis por cinco te”; “2x ; 5t “significa “la expresión 2x y la expresión 5t”.

Ejemplo VI.1

Expresión en lenguaje ordinario Expresión algebraica

Dos números consecutivos x =-124 ; x = -12

4 Dos números pares consecutivos x =

-124 ; x = -12

4 La suma el cuadrado y el cubo de un número x = -12

4

La tercera parte de un número más el quíntuplo de su consecutivo x =-124

El triple de un ángulo menos el doble de su complementario x = -124

La diferencia entre los cuadrados de dos números x = -12

4 El cuadrado de la diferencia de dos números x = -12

4

El área de un triángulo cuya altura mide dos metros más que su base x =-124

El área de un rectángulo cuya base es el doble de su altura x = -124


Resumen teórico: Para resolver un problema de álgebra conviene seguir estos pasos: 1º) Identificar la(s) incógnita(s): ¿qué nos preguntan? 2º) Ponerle un nombre a la(s) incógnita(s): x, y, … 3º) Convertir los datos y relaciones que dé el enunciado en ecuaciones. 4º) Resolver la ecuación o sistema obtenido. 5º) Comprobar que la solución verifica las condiciones del enunciado del problema.

Ejemplo VI.1

La altura de un triángulo es el triple de su base y su área es 24 cm2. Halla la longitud de la ba-se.

Paso Desarrollo

1º y 2º)

En los problemas de geometría suele ser de gran ayuda dibujar la figura correspondiente y señalar en ella cuáles son las incógnitas y los nombres algebraicos que les ponemos:

3º) Para plantear la ecuación hemos de recordar cuál es la fórmula del área de un triángulo:

7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

=

4º) 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

=

Con lo que la base mide 4 cm.

5º) a) La altura es el triple de la base, por tanto medirá: 7 6

1239

3x x+

-+

= cm

b) Con lo que el área debe ser: 7 612

39

3x x+

-+

= cm2 ü

Como la longitud de la altura es el triple de la base, pode-mos reducir el problema a

una única incógnita: x

y

x

3x


Ejemplo VI.2

Jorge y su hermana Ana van de compras al quiosco de chuches. Jorge compra 5 caramelos y 15 gominolas y gasta 70 céntimos. Su hermana adquiere 10 caramelos y 20 gominolas y gasta 1 € con 10 céntimos. ¿Cuál es el precio de cada tipo de chuche?

Paso Desarrollo

1º y 2º) Las incógnitas y sus nombres son: - Precio caramelo: x céntimos - Precio gominota: y céntimos

3º) Dinero gastado por Jorge: 7 6

1239

3x x+

-+

= Dinero gastado por Ana: 7 6

1239

3x x+

-+

=

4º)

7 612

39

3x x+

-+

=7 612

39

3x x+

-+

=7 612

39

3x x+

-+

=7 612

39

3x x+

-+

=

Sustituyendo en la primera ecuación: 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= céntimos

5º) - Gastos de Jorge: 7 612

39

3x x+

-+

= ü - Gastos de Ana: 7 6

1239

3x x+

-+

= ü

Ejemplo VI.3

La edad de un padre es el quíntuplo de la de su hijo, pero dentro de cinco años sólo será el triple. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Paso Desarrollo

1º y 2º)

Para resolver problemas de edades es muy conveniente construir un esquema como el siguiente, donde ya se han dado los pasos 1º) y 2º): (ahora el padre tiene p años y el hijo h; y dentro de 5 años tendrán respectivamente: p+5 y h+5)

Hoy Futuro

Padre p p+5

Hijo h h+5

3º) En este caso tenemos dos incógnitas, con lo que hemos de plantear dos ecuaciones: - La edad de un padre es el quíntuplo de la de su hijo: p = 5h - Dentro de cinco años será el triple: p+5 = 3 (h+5)

4º) Resolvemos el sistema de ecuaciones:

7 612

39

3x x+

-+

=

- Sustituyendo E1 en E2: 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= ; 7 612

39

3x x+

-+

= años. - Sustituyendo en la primera ecuación: 7 6

1239

3x x+

-+

= años

5º) a) La edad del padre es el quíntuplo de la de su hijo: 5 · 5 = 25 ü b) dentro de cinco años será el triple: padre: 25 + 5 = 30; hijo: 5 + 5 = 10; 10 · 3 = 30 ü


RELACIÓN DE ERRORES MATEMÁTICOS GRAVÍSIMOS

A continuación se recogen seis errores que se cometen con frecuencia al ope-rar, y cuya particular gravedad motiva que su aparición en los exámenes (de matemáticas, naturales o física-química), tenga una penalización especial.

¨ Según establece el C.J.O., al efectuar secuencias de operaciones con números o expresiones algebraicas, se realizarán en el siguiente orden -salvo que existan paréntesis que indiquen lo contrario-: 1º) potencias; 2º) productos y cocientes (de izquierda a derecha); 3º) sumas y restas (indistintamente).

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

23212372 =+=×+ Sin embargo: 2739372 =×¹×+

ALG

EBR

AIC

O

x4)3x(x3xx =×+=×+ Sin embargo: x63x23xx =×¹×+

¨ Al despejar la incógnita en una ecuación, ha de aplicarse el C.J.O. en sentido inverso: la prime-ra operación que se efectúa es la última que se despeja.

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

Si: 234x43x2 -

=Þ=+ Sin embargo: 324x -¹

ALG

EBR

AIC

O

Si: abcdxd

cbax +

=Þ=- Sin embargo: b

acdx +¹ ;

ac)bd(x ×+

¹

¨ En una fracción, numérica o algebraica, se puede simplificar un factor si aparece repetido en el numerador y en el denominador, pero no si está sumando o restando.

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

428

2383

==×/×/ Sin embargo:

28

2383¹

×/+/

ALG

EBR

AIC

O

abba=

//× Sin embargo: a

bba¹

//+ ;

dba

cdcba +¹

/×/×+

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.


¨ Al operar con fracciones negativas ha de tenerse en cuenta que:

ba

ba

ba

-=

-=- .

Cuando se aplique este criterio a fracciones cuyo numerador sea una suma (resta), no se pue-de olvidar que el signo negativo afecta a todo el numerador.

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

21

2571

2)57(1

2)57(

21

257

21

-=+-

=--

=

=--

+=-

- Sin embargo:

211

2571

257

21

257

21

-=

--=

=--

+¹-

-

ALG

EBR

AIC

O

dcbad

d)cb(ad

d)cb(a

dcba

+-=

--=

=--

+=-

- Sin embargo:

dcbad

dcba --¹

--

¨ Dos o más raíces sólo se pueden sumar y/o restar si son semejantes (si tienen el mismo índice y radicando).

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

3333 72747573 =+- Sin embargo: 333 5757 +¹+

ALG

EBR

AIC

O

nnn a2aa =+ Sin embargo: nnn baba +¹+

¨ Al elevar un binomio al cuadrado, ha de aplicarse la fórmula: ab2ba)ba( 222 ±+=±

EJEM

PLO

ARIT

MÉT

ICO

4943243)43( 222 =××++=+o, lo que es lo mismo:

497)43( 22 ==+ Sin embargo: 2516943)43( 222 =+=+¹+

ALG

EBR

AIC

O

xy4yx4)yx2( 222 -+=- Sin embargo: 222 yx4)yx2( -¹-

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

e.g.

Colegio Los Robles...Colegio Los Robles Equipo Técnico Matemáticas Pg. 3 de 19 Caso particular...

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