FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS FISICAS Y FORMALESPROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

Estructuras Discretas II

Informe N1Coloracin de grafos

(AREQUIPA-PERU)-2013-

A. Introduccin.

B. Definiciones.EnTeora de grafos, lacoloracin de grafoses un caso especial de etiquetado degrafos; es una asignacin de etiquetas llamadascoloresa elementos del grafo. De manera simple, una coloracin de losvrticesde un grafo tal que ningn vrtice adyacente comparta el mismo color es llamado vrtice coloracin. Similarmente, unaaristacoloracin asigna colores a cada arista talque aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloracin de caras de un grafo plano a la asignacin de un color a cada cara o regin tal que caras que compartan una frontera comn tengan colores diferentes. El vrtice coloracin es el punto de inicio de la coloracin, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versin con vrtices. Por ejemplo, una arista coloracin de un grafo es justamente una vrtice coloracin delgrafo lnearespectivo, y una coloracin de caras de un grafo plano es una vrtice coloracin delgrafo dual.B.1. Vrtice coloracinLavrtice coloracin(o simplemente coloracin) es la asignacin de los vrtices de un grafo con colores tal que dos vrtices que compartan la misma arista tengan colores diferentes. Un grafo con loops no puede ser coloreado, y solo se consideran grafos sin loops.La terminologa de usar colores para etiquetar vrtices proviene del problema de colorear mapas. Las etiquetas como rojo o azul son solamente utilizadas cuando el nmero de colores es pequeo, y normalmente los colores estn representados por los enteros {1, 2, 3, }.Una coloracin que usa a lo ms k colores se llama k-coloracin (propia). El menor nmero de colores necesarios para colorear un grafo G se denota nmero cromtico . Un grafo que puede ser asignada una k-coloracin (propia) es k-coloreable y es k-cromtico si su nmero cromtico es exactamente k. Un subconjunto de vrtices asignados con el mismo color se llama una clase de color. Cada clase forma un conjunto independiente. Esto es, una k-coloracin es lo mismo que una particin del conjunto de vrtices en k conjuntos independientes, y los trminos k-partito y k-coloreable tienen el mismo significado.B.2. Polinomio cromticoElpolinomio cromticocuenta el nmero de maneras en las cuales puede ser coloreado un grafo usando no ms que un nmero de colores dado. Por ejemplo, usando 3 colores, el grafo en la imagen de la derecha puede ser coloreado de 12 formas distintas. Con solo 2 colores, no puede ser coloreado. Con 4 colores, puede ser coloreado de 24+4*12 maneras distintas: usando los cuatro colores juntos, hay 4!= 24 coloraciones validas (toda asignacin de cuatro colores a algn grafo de cuatro vrtices es una coloracin propia); y para cada eleccin de tres de los cuatro colores, hay 12 3-coloraciones validas. As que, para el grafo del ejemplo, una tabla de nmeros de coloraciones validas puede comenzar como esta:Colores disponibles1234

Nmero de coloraciones001272

El polinomio cromtico es una funcin p(G, t) que cuenta el nmero de t-coloraciones de G. como el nombre lo indica para un grafo G la funcin es un polinomio en t. para el grafo del ejemplo, P(G, t)= t(t-1)2 (t-2) y P(G,4)=72

Polinomios cromticos de algunos grafos.

TringuloK3

Grafo completoKn

rbolconnvrtices

CicloCn

Grafo de Petersen

B.3 Arista coloracinUnaarista coloracinde un grafo, es una coloracin de las aristas, denotada como la asignacin de colores a aristas tal que aristas incidentes tengan un color distinto. Una arista coloracin con k colores es llamada k-arista-coloracin y es equivalente al problema de particionar el conjunto de aristas en k emparejamientos. El menor nmero de colores necesarios para un arista coloracin de un grafo G es el ndice cromtico o nmero cromtico de aristas. Una coloracin Tait es una 3-arista-coloracin de un grafo cbico. El teorema de los cuatro colores es equivalente a que cada grafo cbico sin puentes admite una coloracin Tait.C. PropiedadesC.1.Cotas del nmero cromticoAsignando distintos colores a distintos vrtices siempre obtendremos una coloracin propia, entonces

El nico grafo que es 1-coloreable es el grafo sin aristas, y elgrafo completode n vrtices requierecolores.Si G contiene un clique de orden k, entonces a lo menos son necesarios k colores para colorear elclique; en otras palabras, el nmero cromtico es a los menos el nmero de clique:

Los grafos 2-coloreables son exactamentegrafos bipartitos, incluidosrbolesy bosques. Por elteorema de los cuatro colores, todo grafo plano es 4-coloreable.C.2. Cotas del ndice cromticoLa arista coloracin es una vrtice coloracin de su grafo lineal, y viceversa. Esto es,

Existe una fuerte relacin entre la arista coloracin y el grado mximo del grafo. Como todas las aristas incidentes a algn vrtice necesitan colores distintos, tenemos

Ms an,Teorema de Knig:Sies bipartito entoncesTeorema de Vizing(1964):

D. Teorema de los cuatro coloresEl nmero cromtico de un grafo plano es menor o igual que 4.Propuesto inicialmente en 1850 y nalmente demostrado por los matemticos estadounidenses Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976.Idea de la Demostracin: Si el teorema era falso, debera existir un contraejemplo, en una lista de aproximadamente 2000 candidatos.Empleando ms de 1000 horas de tiempo de clculo de un ordenador, no encontraron dicho contraejemplo.Nota: Los mejores algoritmos conocidos para calcular el nmero cromtico de un grafo, en el peor caso tienen complejidad exponencial (con base en el nmero de vrtices).E. AplicacionesProgramacin de exmenes nales.- Como programar los exmenes sin que ningn estudiante tenga dos exmenes al mismo tiempo.Idea: los vrtices son las asignaturas y existe una arista entre un par de vrtices, si hay un estudiante matriculado en ellas.Una coloracin consiste en una programacin y permite determinar el nmero de jornadas. Asignacin de frecuencias.- Son intervalos defrecuenciasdelespectro electromagnticoasignados a diferentes usos dentro de lasradiocomunicaciones. Su uso est regulado por laUnin Internacional de Telecomunicacionesy puede variar segn el lugar. El espacio asignado a las diferentes bandas abarca el espectro deradiofrecuenciay parte del demicroondasy est dividido en sectores.Idea: los vrtices son los sectores y existe una arista entre un par de vrtices, si hay una frecuencia que se cruce con otra.Almacenamiento en registros.- Los registros deben almacenarse en disco de manera tal que sea posible localizarlos de manera eficiente cuando se les requiera.Hay varias organizaciones primarias de archivos que determinan la forma en que los registros en disco sin un orden especfico, que en tanto que los archivos ordenados (o archivos secuenciales) mantienen los registros ordenados segn el valor de un cierto campo. Los archivos dispersos utilizan una funcin de dispersin para determinar la colocacin de los registros en el disco.F. Ejemplos e imgenes

Grafo que puede ser coloreado de 12 formas diferentes.Grafo de Petersen.

G . Bibliografa.http://teoriadegrafos2010.files.wordpress.com/2011/06/unidad4.pdfhttp://eisc.univalle.edu.co/materias/Matematicas_Discretas_2/pdf/colorea_grafos_08.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos#Definiciones_y_terminolog.C3.ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Bandas_de_frecuenciahttp://comprendiendolastics.blogspot.com/2012/02/almacenamiento-de-registros-en.html