Coloración de grafos y polinomio cromático
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DEFINICIÓN 11.22
Si G=(V,E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a,b} es una arista en G, entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático y se escribe X(G)
EJEMPLO
Para el grafo G, partimos del vértice a y junto a cada vértice escribimos el número de un color necesario para una coloración propia de los vértices de G. Al pasar al vértice b, el 2 indica que es necesario un segundo color, puesto que los vértices a y b son adyacentes. Seguimos en orden alfabético hasta f y vemos que necesitamos dos colores para una coloración propia de {a,b,c,d,e,f}. Para el vértice g y h necesitamos un color distinto.
Así, este método de etiquetado de una coloración secuencial nos proporciona una coloración propia de G, por lo que X(G) ≤ 3. Como K3 es un subgrafo de G, inducido por a,b,g, tenemos que X(G)≥3, por lo que X(G)=3
¿Cuál es la coloración propia de G?
El subgrafo {b,f,h,i} de G es isomorfo a K4, por lo que X(G)>X(K4)=4
Por lo tanto si podemos determinar una coloración propia de 4 colores, entonces sabremos que X(G)=4.
Método para determinar X(G)
Sea G un grafo no dirigido y sea λ el número de colores disponibles para la coloración propia de de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P(G;λ), llamada polinomio cromático de G, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando de máximo de λ colores.
o Si G=(V,E) es tal que l V l=n y A=0, entonces G tiene n puntos aislados y por regla del producto; P(G, λ )=λn
o Si G=Kn, entonces debemos disponer de al menos n colores para obtener una coloración propia de G. Entonces por regla de producto:
P(G; λ )=λ. (λ-1).(λ-2)…(λ-n+1) Si P(G,λ)<0 no existe coloración propia para Kn
Si P(G, λ)>0 por primera vez cuando λ=n=X(G)
o Para cada camino simple, como los de la figura, si procedemos alfabéticamente veremos que:
P(G1, λ)= λ.(λ-1)3 y P(G2, λ)= λ.(λ-1)4
En general P(G, λ)= λ (λ-1)n-1
TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN PARA POLINOMIOS CROMÁTICOS (11.10)
Sea G=(V,E) un grafo no dirigido. Para e={a,b} Є E, sea Ge el subgrafo que se obtiene al eliminar e de G, sin quitar los vértices a y b, es decir, Ge=G-e. A partir de Ge obtenemos un segundo subgrafo de G, identificando los vértices a y b. Este segundo subgrafo se denota G´e.
Si G(V,E) es un grafo conexo y e Є E, entonces:
P (Ge, λ)=P (G; λ)+P (G´e, λ)
Aplicación del teorema 11.10
Al calcular polinomios cromáticos, colocaremos corchetes en torno de un grafo para indicar su polinomio cromático.
Incógnita CaminoSimple
K3
P (Ge, λ)=P (G; λ)+P (G´e, λ) ó P(G,λ)=P(Ge, λ) – P(G,´e λ)
P(G,λ) = λ.(λ-1)3 – λ .(λ-1).( λ-2) P(G,λ) = λ .(λ – 1). ((λ-1)2- (λ-2)) P(G,λ) = (λ2 – λ).(λ2- 2λ+1 – λ+2)P(G,λ) =(λ2 – λ).(λ2- 3λ+3)P(G,λ) = λ4-4λ3+6λ2-3λ
P(G,1) = 14-4.13+6.12-3.1=0No hay coloración propia de G
P(G,2) = 24-4.23+6.22-3.2=2>0Entonces sabemos que X(G)=2
TEOREMA 11.11
Para cualquier grafo G, el término constante en P(G, λ) es 0
Demostración:
Para cualquier grafo G, X(G)>0, puesto que V≠0. Si P(G,λ) tiene término constante(independiente) a, entonces P(G,0)=a ≠0. Esto implica que hay a coloraciones con 0 colores, lo que es contradictorio.
TEOREMA 11.12
Sea G=(V,E) con lEl>0. Entonces , la suma de los coeficientes de P(G, λ) es 0.
TEOREMA 11.13
Sea G=(V,E), con a, b Є V pero {a,b}=e no pertenece a E. Escribimos G+
e para el grafo que se obtiene al añadir a G la arista e={a,b}. Al identificar los vértices a y b, obtenemos el subgrafo G++
e de G. En estas circunstancias se cumple que:
P(G+e , λ)=P(G, λ) – P(G++
e, λ)
Apliquemos ahora el teorema 11.13
P(G+e, λ)=P(G, λ) – P(G++e, λ) o
P(G, λ) = P(G+e, λ) + P(G++e, λ)
P(G, λ)= λ.(λ-1).( λ-2). (λ-3) + λ.( λ-1).( λ-2)P(G, λ)= λ.(λ-1).(λ-2).((λ-3)+1)P(G, λ)=λ.(λ-1).(λ-2)2 P(G, 1)=0 P(G,2)=0 P(G,3)=6Por lo que X(G)=3. Además disponemos de 6 colores, por lo que podemos obtener 6(5)(4)2=480 formas de coloraciones propias de G.
TEOREMA 11.14
Sea G un grafo no dirigido con subgrafos G1, G2. Si G=G1 U G2 y G1 n G2 =Kn, para algún n Є Z+, entonces:
P (G, λ)=[P (G1, λ) . P (G2, λ)]/ λn
Aplicación del teorema 11.14
Sea G1 el subgrafo inducido por los vértices w, x, y, z. Sea G2 el ciclo determinado por v, w, x. Entonces G1 n G2 es la arista {w, x}, y G1 n G2=K2.
Por lo tanto:
P(G,λP(G, λ )= [λ.(λ-1).(λ-2).(λ-3).λ.(λ-1).(λ-2)] / λ(2)
P(G, λ )= [λ2.(λ-1)2.(λ-2)2.(λ-3)] / λ .(λ-1)P(G, λ ) = λ.(λ-1).(λ-2)2.(λ-3)
Así, P(G, λ ) = λ.(λ-1).(λ-2)2.(λ-3)
P(G, 1)= 0 P(G, 2)= 0 P(G, 3)= 0 P(G, 4)=48
Posible coloración propia de G, con cuatro colores.