COLUMNAS ||||||

COLUMNASINTRODUCCION.La seleccin de elementos estructurales se basa en tres caractersticas: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de anlisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los captulos anteriores. En este captulo se tratar la cuestin de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parmetros crticos adicionales que determinen si es posible una conguracin o patrn de desplazamientos dado para un sistema particular.Adems por lo general los fenmenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren ms bien repentinamente. Por esta razn muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme nmero de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior est fuera del alcance de este texto.. Aqu slo se considerar el problema de la columna. Utilizndolo como ejemplo, sin embargo, se ponen de relieve las caractersticas esenciales del fenmeno de pandeo y algunos procedimientos bsicos para su anlisis. Este se llevar a cabo investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas axialmente y sometidas simultneamente a exin. Tales miembros se llaman vigas columnas. Los problemas de vigas columnas, adems de tener un signicado propio permiten determinarlas magnitudes de cargas axiales crticas a las que ocurre el pandeo.ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIOUna aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbacin de ste o la imperfeccin ms pequea en su fabricacin haran imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones anlogas en sistemas estructurales.Para aclarar ms el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rgida con un resorte de torsin, de rigidez k, en su base, como se muestra en la Figura 5.a. La respuesta de este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la Figura 5.b para una fuerza F grande y una fuerza F pequea. Surge entonces la siguiente pregunta: Cmo se comportar este sistema si F = 0? Este es el caso lmite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rgida de la Figura 5.a puede experimentar slo rotacin, ya que no se puede exionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Para una rotacin supuesta, , el momento en el resorte (restaurador) es k, y con F = 0, el momento que produce P (perturbador) ser PLsen PL, por lo tanto:k > PL, el sistema es establek < PL, el sistema es inestable.

Exactamente en el punto de transicin k = PL, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condicin es la carga pandeo ocrtica, que se designar por PC. Para el sistema consideradoPC = k/LEsta condicin establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada innitesimalmente prxima a ella. Por lo tanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solucin, a esta condicin se la llama punto de bifurcacin de la solucin de equilibrio. Para P > k/L el sistema es inestable. Como la solucin ha sido linealizada no hay posibilidad de que sea arbitrariamente grande en PC.Considerando grandes desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio estable en < . El comportamiento de columnas elsticas, cargadas concntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales, es anlogo al comportamiento descripto en el sencillo ejemplo anterior. A partir de una formulacin linealizada del problema se puede determinar las cargas crticas de pandeo. Las cargas crticas no describen la accin del pandeo mismo. Utilizando una ecuacin diferencial exacta de la curva elstica para deexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio ms altas que PC, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal anlisis se ilustran en la Figura 6. Notar especialmente que aumentando P en slo 1,5%PC sobre PC se produce un desplazamiento lateral mximo del 22% de la longitud de la columna 2Por razones prcticas, desplazamientos tan grandes rara vezpueden ser aceptados. Adems, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de exin inducidos. Por lo tanto, las columnas reales fallan inelstica-mente. En la gran mayora de las aplicaciones de ingeniera PC representa la capacidad ltima de una columna recta cargada axialmente en forma concntrica.

CARGA DE PANDEO DE EULER PARA COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS.A n de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeo desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la columna con extremos articulados e inicialmente recta de la Figura 7.a, lo anterior se indica en la Figura 7.b.Para el caso de la columna ligeramente exionada de la Figura 7.b., el momento ector M en una seccin cualquiera es Pv (x), que si se substituye en la ecuacin diferencial de la elstica da por resultado:d2vdx2=MEI=-PEIvEntonces, 2=PEI tenemos:d2vdx2=2vEsta es una ecuacin de la misma forma que la del movimiento armnico simple y su solucin es.v=Asenx+Bcosx=-PEIvDonde las constantes arbitrarias A y B se deben determinar a partir de las condiciones de contorno, que sonv0=0 y vL=0En consecuenciav0=0=Asen0+Bcos0 o B=0yvL=0=AsenLEsta ecuacin se puede satisfacer tomando A = 0. Como esto corresponde a la condicin pandeo, esta solucin es trivial. Alternativamente la ecuacin anteriortambin se satisface si

Donde n es un entero. En esta ecuacin los valores caractersticos o auto valores para tal ecuacin diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que:

Se supondr en este caso que n puede ser cualquier nmero entero. Sin embargo, puesto que el inters se centra en el valor mnimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crtica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es

Donde I debe ser el momento de inercia mnimo del rea transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental.De acuerdo con la ecuacin anterior, bajo la carga crtica, B=0, la ecuacin de la curva elstica pandeada es:v=AsenxEsta es la funcin caracterstica o auto funcin de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un nmero innito de tales funciones. En esta solucin linealizada la amplitud A del modo de pandeo permanece indeterminada. Para n = 1, la curva elstica es media onda de una sinusoide. Esta forma, junto con los modos correspondientes a n = 2 y n = 3, se muestran en la Figura 7.c-e. Los modos de orden superior no tienen signicado fsico en el problema de pandeo, puesto que la carga crtica mnima ocurre en n = 1.

PANDEO ELSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES ENSUS EXTREMOSLas soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo la carga crtica de pandeo para una columna empotrada en su base3, Figura 8.b, con una carga vertical en su extremo libre superior, es:

En este caso extremo la carga crtica es slo 1/4 de la correspondiente al caso fundamenta.Para una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro, Figura 8.c:

En tanto que para una columna empotrada en ambos extremos, Figura 8.d:

Las dos ltimas ecuaciones indican que mediante la restriccin en los extremos las cargas de pandeo crticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las frmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inexin de las curvas elsticas o las articulaciones, si las hay. La longitud efectiva de una columna, Le, en el caso fundamental es igual a L, pero en los casos anteriores es 2L, 0,7L y 0,5L, respectivamente. Para el caso general, Le = KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las restricciones en los extremos.

Pc=2EI(KL)2=2EI(Le)2

En contraste con los casos clsicos que se muestran en la Figura 8, los miembros a compresin reales rara vez estn verdaderamente articulados o completamente empotrados (jos contra larotacin) en los extremos. Debido a la incertidumbre respecto al grado de jacin de los extremos, a menudo las columnas se suponen con articulaciones en dichas partes. Con excepcin del caso que se muestra en la Figura 8.b, donde no se puede utilizar, este procedimiento es conservador.

LIMITACIN DE LAS FORMULAS DE EULEREn las deducciones anteriores de las frmulas de pandeo para columnas se supuso tcitamente que el material se comportaba de manera linealmente elstica. Para poner de manifiesto esta significativa limitacin, la ecuacin:Pcr=2EIL2 puede escribirse en forma diferente.

Por definicin: I=AR2 donde:A= rea de la seccin transversalR=es su radio de giro.La sustitucin de esta relacin en la ecuacin dada anteriormente, se obtiene:Pcr=2EILe2=2EAR2Le2 O cr=PcrA=2E(LeR)2Donde el esfuerzo critico cr para una columna se define como cr=PcrA (es decir, como un esfuerzo promedio sobre el rea transversal A de una columna bajo una carga critica Pcr).La longitud de la columna es L y R el radio de giro mnimo del rea de la seccin trasversal, puesto que la frmula original de Euler se da en trminos del valor mnimo de I . La relacin LeR de la longitud de la columna al radio de giro mnimo de un rea transversal se llama relacin de esbeltez () de la columna.De la ecuacin dada anteriormente se puede concluir el lmite de proporcionalidad delmaterial es el lmite superior del esfuerzo con la cual la columna pandear elsticamente.

FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA DE PANDEO DE EULERUn diagrama esfuerzo-deformacin unitario en compresin para una probeta en la que se impide el pandeo se puede representar como en la Figura (a). En el intervalo de esfuerzos desde O hasta A, el material se comporta elsticamente. Si el esfuerzo en una columna en pandeo no excede de este intervalo la columna pandear elsticamente. La hiprbola correspondiente a la ecuacin cr=2E(LeR)2 , con un E elstico, es aplicable en tal caso. Esta porcin de la curva se indica como ST en la Figura (b). Es importante reconocer que esta curva no representa el comportamiento de una columna sino ms bien el de un nmero infinito de columnas ideales de diferente longitud. La hiprbola que corresponde a la regin situada ms all del intervalo til se indica en la figura por medio de una lnea punteada.

Una columna con una relacin LeR correspondiente al punto S de la Figura (b) ser la columna de ms corta longitud hecha de material y tamao dados, que se pandear elsticamente. Una columna ms corta, con una relacin LeR an menor, no se pandear en el lmite de proporcionalidad del material, en el diagrama tensin-deformacin de la Figura (a), esto significa que el nivel de esfuerzos en la columna ha pasado del punto A y alcanzado quiz un cierto punto B. A este nivel de esfuerzos ms altose puede decir, en efecto, se ha creado una columna de material diferente puesto que la rigidez del mismo ya no est representada por el mdulo de elasticidad. En este punto, la rigidez del material est dada por la tangente a la grfica tensin-deformacin, es decir, por el mdulo elstico tangente (o instantneo) Et. La columna permanecer estable si su nueva rigidez a la flexin EtI en B es suficientemente grande y podr soportar una carga mayor. A medida que la carga aumenta, el nivel de esfuerzos se eleva tambin, en tanto que el mdulo referido a la tangente disminuye. Una columna de material an menos rgido acta bajo una carga creciente.

La sustitucin del mdulo elstico tangente Et en vez del mdulo elstico inicial E, es entonces la nica modificacin necesaria para obtener las frmulas de pandeo elstico aplicables en el intervalo inelstico. En consecuencia, la frmula generalizada de Euler, o bien la frmula del mdulo referido a la tangente ser: cr=2Et(LeR)2

Como los esfuerzos correspondientes a los mdulos referidos a la tangente se pueden obtener partir del diagrama esfuerzo-deformacin a la compresin, la relacin LeR a la cual se pandear una columna con estos valores se puede obtener de la ecuacin:cr=2Et(LeR)2 .Una grfica que represente esta comportamiento para valores intermedios y bajos de LeR est data en la Figura (b) por la curva desde S hasta R. Los ensayos en columnas individualesverifican esta grfica con notable exactitud.Las columnas que se pandean elsticamente se denominan a veces columnas largas. A las columnas con relaciones LeR que no presentan esencialmente fenmenos de pandeo reciben el nombre de columnas cortas. Con bajos valores de LeR, los materiales dctiles se aplastan y pueden soportar cargas muy grandes. Si la longitud Le de la ecuacin: cr=2Et(LeR)2 se considera como la longitud efectiva de una columna, se pueden analizar diferentes condiciones de extremo. De acuerdo con este procedimiento en la Figura se grafica para fines de comparacin, el esfuerzo crtica cr en funcin de la relacin de esbeltez LeR para columnas de extremos empotrados y articulados. Es importante notar que la capacidad de carga en los dos casos est en la relacin 4 a 1 slo para columnas que tengan la relacin de esbeltez (LeR)1 o mayor. Para valores de LeR menores se obtienen progresivamente menos ventajas por la restriccin al giro en los extremos. Con bajas relaciones L/r , las grficas se confunden. Hay poca diferencia si un bloque corte est articulado o empotrado en sus extremos, ya que entonces la resistencia determina su comportamiento y no el pandeo.

COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE Y LA FORMULA DE LA SECANTEEn el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos eran idealmente rectos. Puesto que en realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas depandeo que se obtienen para columnas ideales son las mejores posibles. Tales anlisis slo proporcionan indicios acerca del mejor funcionamiento posible de columnas. Por lo tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas haya sido explorado tambin con base en algunas imperfecciones determinadas estadsticamente o en posibles desalineamientos de las cargas aplicadas. Como una ilustracin de este enfoque, se considerar una columna cargada excntricamente que es un problema importante en si mismo.Para analizar el comportamiento de una columna cargada excntricamente, se considera la columna de la figura. Si el origen de los ejes coordenados se toma en la posicin de la fuerza superior P, el momento flexionante en cualquier seccin es Pv y la ecuacin diferencial para la curva elstica es la misma que para una columna cargada axialmente.Para la columna mostrada en la figura, el momento flexionante mximo M se desarrolla en el punto de flexin mxima y numricamente es igual a Pvmax. Por consiguiente, como la fuerza directa y el momento flexionante mximo no se conocen, el esfuerzo de compresin mximo que ocurre en la columna puede calcularse con la frmula usual como:

max=PA+McI=PA+PvmaxcAR2=PA(1+ecR2Sec(L2))Pero: =PEI=PEAR2 , por tanto:max=PA(1+ecR2SecLRP4EA)Esta ecuacin, debido al termino con la secante, se conoce como FORMULA DE LA SECANTE y se aplica a columnas de cualquier longitud,siempre que el esfuerzo mximo no exceda el limite elstico. Una condicin de iguales excentricidades de las fuerzas aplicadas en la misma direccin, causa la deflexin mxima.Obsrvese que en la ecuacin el radio de giro R puede no ser el mnimo, puesto que surge del valor de I asociado al eje con respecto al cual se produce la flexin. En algunos casos la condicin crtica de pandeo puede existir en la direccin de alguna excentricidad no definida. Obsrvese tambin que en la ecuacin la relacin entre max y P no es lineal; max aumenta ms rpidamente que P. Por consiguiente, las tensiones mximas causadas por fuerzas axiales no se pueden superponer.

Para la fuerza permisible Pa sobre una columna, donde n es el factor de seguridad, nPa debe sustituir a P en la ecuacin anterior y el max debe hacerse igual al punto de fluencia de un material; es decir:max=nPaA(1+ecR2SecLRnPa4EA)La formula de la secante para columnas cortas se vierte ala familiar expresin cuando LeR tiende a cero. Para este caso, el valor de la secante tiende a la unidad; por consiguiente, el lmite, la ecuacin inicial toma la forma:max=PA+PecAR2=PA+McI

Que es la relacin normalmente usada para bloques cortos.

5. DISEO DE COLUMNAS

Para columnas que no sean cortas, la teora del pandeo de columnas muestra que las reas transversales de estas deben el radio de giro r mnimo mayor posible. Resulta as la relacin de esbeltez menorposible Le/rlo que permite el uso de esfuerzos superiores. Debe ponerse lmites al espesor mnimo del material para prevenir el pandeo local de las placas. Como los perfiles laminados comerciales tienen generalmente relaciones de espesor de pared suficientemente grandes para prevenir el pandeo, se dar un breve tratamiento de este problema en tanto que es aplicable a miembros en compresin de aluminio.

Como los miembros tubulares tienen un gran radio de giro en relacin con la cantidad de material en la seccin transversal, son excelentes para usarse como columnas. Las secciones de patn ancho (secciones H), son tambin muy adecuados como columnas y son superiores a las secciones I que tienen patines angostos lo que conduce a grandes relaciones de Le/r. Para obtener un gran radio de giro, las columnas a menudo se construyen con patines laminados o extruidos a las piezas individuales se separan entre s para obtener el efecto deseado.

5.1. Diseo de columnas sometidas a carga cntrica

El Instituto Americano de la Construccin en Acero, AISC por sus siglas en ingls, proporciona dos conjuntos de formulas para columnas con dos formulas en cada conjunto. Uno de esos conjuntos es para usarse en el diseo por esfuerzos permisibles (ASD) y el otro en el diseo por factores de carga y resistencia (LRFD). En el segundo enfoque se hace una relacin probabilstica implcita sobre la confiabilidad de las columnas basada enlos factores de carga y resistencia

5.1.1. Formulas para columnas de acero estructural

a) Formulas del del ASD del AISC para columnas

Las formulas para esfuerzo permisible perm, para columnas esbeltas se basa en la carga de pandeo elstico de Euler con un factor de seguridad 23/12 =1.92. Las columnas esbeltas son aquellas que tienen una relacin de esbeltez Le/r= Cc= 2*2*E/yp o mayor. La constante Cc, corresponde al esfuerzo crtico cren la carga de Euler igual a la mitad del esfuerzo de fluencia del acero yp.

La frmula para columnas largas cuando (Le/r)> Cc es:

perm=122E23(Le/r)2

Donde: Le=Longitud efectivar = Radio de giro mnimo del area de la seccin tranversal.No se permite que las columnas excedan una Le/r >200.Para una relacin Le/r < Cc, el AISC especfica la formula parablica:

perm=[1-(Le/r)2/2Cc2]ypF.S.

Donde el Factor de Seguridad F.S., se define como:

F.S.=53+3(Le/r)8Cc+(Le/r)38Cc3Ntese que FS vara, siendo ms conservador para las mayores relaciones de Le/r.La ecuacin escogida para el FS se aproxima a un cuarto de una curva seno con el valor de 1.67 en Le/r=0 y de 1.92 en Cc. Una razn esfuerzo permisible versus relacin de esbeltez para columnas cargadas axialmente de varios tipos de aceros estructurales se muestran en la fig. siguiente.

Como en las aplicaciones prcticas, la restriccin ideal de los extremos de las columnas, no puedeser siempre confiable, el AISC especifica conservadoramente una modificacin de las longitudes efectivas como sigue:

Para columnas empotradas en ambos extremos Le=0.65LPara columnas empotradas en un extremo y articuladas en el otro Le=0.80LPara columnas empotradas en un extremo y libre en el otro Le=2.10L

Ninguna modificacin tiene que hacerse para columnas articuladas en ambos extremos, donde Le=L. Para otras restricciones de extremo, se vern las especificaciones AISC.

b) Formulas del LRFD del AISC para columnas

Aqu de nuevo hay dos ecuaciones que gobiernan la resistencia de la columna, una para pandeo elstico y otra para el inelstico. La frontera entre la inestabilidad inelstica y la elstica tiene lugar en c se define como:

c= Ler*ypEEsta relacin resulta de normalizar la relacin de esbeltez Le/r con respecto a la relacin de esbeltez para el esfuerzo critico elstico de Euler, suponiendo que cr=yp

Para lambda c>1.5, el cr de pandeose basa en la carga de Euler y est dado como:cr=0.877lambdac2ypDonde el factor 0.877 se introduce para tomar en cuenta la falta de rectitud de la columna.

Para lambda c=1.5, el cr una relacin emprica basada en extensos estudios experimentales y probabilsticos est dada por:cr=0.658lambdac2ypEsta ecuacin incluye los efectos de los esfuerzos residuales y la falta de rectitud inicial.

Ambas formulasprevias dan la resistencia axial nominal de columnas y deben usarse en conjuncin con cargas factor izadas y un factor de resistencia c de 0.85: las relaciones de esbeltez efectivas Le/r son determinadas igualmente que en el mtodo ASD.

5.1.2. Formulas para columnas de aleaciones de aluminio

Existen un sin nmero de calidades de aluminio, sin embargo el modulo elstico de las aleaciones es razonablemente constante. La Aluminium Asociation (AA), proporciona un gran nmero de formulas de diseo, por ejemplo:

Para el aluminio 6061-T6, las tres formulas bsicas son:

perm=19ksi 0L/r9.5perm=20.2-0.126Lrksi 9.5L/r66perm=51000(L/r)^2ksi 66L/r

Para miembros en compresin de aleacin de aluminio, las longitudes efectivas son aproximadas de la misma manera que las recomendadas por el AISC

5.2. Diseo de columnas sometidas a carga excntrica

En una columna cargada excntricamente gran parte del esfuerzo total puede resultar del momento aplicado. Sin embargo el esfuerzo permisible en flexin es usualmente mayor que el esfuerzo axial permisible. Por consiguiente para una columna particular es deseable alcanzar algn equilibrio entre los dos esfuerzos, dependiendo de las magnitudes relativas del momento flexionante y de la fuerza axial. Entonces como en flexin c=Mc/I =Mc/Ar12 donde r1 es el radio de giro en el plano de flexion, el area Abrequerida por el momento flexionante es:

Ab=Mcabr12

Donde: ab=Esfuerzo mximo de flexion permisible

Similarmente el rea Aa requerida por la fuerza axial P es:

Aa=PaaDonde: aa=Esfuerzo axial permisible para el miembro actuando como columna que depende de la razn L/r.

Por tanto el rea total requerida para una columna sometida a una fuerza axial y un momento flexionante es:

A=Ab+Aa=Mcabr12+Paa

Dividiendo entre A:

Mc Ar12ab+P/Aaa=1 o bab+aaa=1

Donde a es el esfuerzo axial causado por las cargas verticales aplicadas y b es el esfuerzo deflexin causado por el momento aplicado. Si una columna soporta solo carga axial y el momento aplicado es cero, la formula indica que lacolumna esta diseada para el esfuerzo aa. Por otra arte el esfuerzo permisible resulta ser el esfuerzo de flexin absi no hay una fuerza directa de compresin actuando sobre la columna.

En trmino de la AISC, la ecuacin b/ab +a/aa =1 se escribe como:faFa+fbFb1Cuando hay momentos flexionantes respecto a ambos ejes de la seccin transversal, entonces la ecuacin anterior toma la forma:faFa+fbxFbx+fbyFby1Los subndices x y y, combinados con el subndice b, indican el eje de flexin respecto al cual un esfuerzo particular es aplicable, y

Fa=Eesfuerzo axial permisible si slo se tiene una fuerza axialFb=Esfuerzo de compresin permisible por flexin si slo se tiene momento flexionantefa= Esfuerzo axial calculadofa= Esfuerzo de flexin calculado

En puntos que estn arriostrados en el plano de flexin, Faes igual al 60% de fluencia Fydel material, y

fa0.6Fy+fbxFbx+fbyFby1En puntos intermedios en la longitud de un miembro en compresin, los momentos flexionantes secundarios debido a la deflexin pueden contribuir en forma importante a la magnitud del esfuerzo combinado. De acuerdo con las especificaciones AISC, esta contribucin se ignora en caso de que fa/Fa es menor que 0.15. Cuando fa/Fa es mayor que 0.15, el efecto de los momentos flexionantes secundarios adicionales pueden ser aproximado multiplicando ambos fbx y fby por un factor de multiplicacin, Cm/ (1-fa/F'e), que toma en cuenta la relacin de esbeltez en el plano de flexin y tambin la naturaleza de los momentos en los extremos. El termino en el denominador del termino de amplificacin considera el efecto de la esbeltez por medio de F'e (esfuerzo de pandeo de Euler usando Le/r en el plano de flexion) dividido entre 23/12 o 1.92, que es el factor d seguridad del AISC para una columna muy larga con Le/r>Cc . Puede verse que el factor de amplificacin crece con fa y crece cuando fa se acerca al valor de F'e . El termino Cm en el numerador es un factor de correccin que toma en cuenta la relacin entre los momentos de extremo as como su sentido relativo. El termino Cm es mayor si los momentos extremos son tales que causan unacurvatura simple del miembro y menor si causan una curvatura doble. La frmula para faFa>0.15 es entonces:faFa+Cmxfbx(1-faF'ex)Fbx+Cmyfby(1-faF'ey)Fby1

De acuerdo con las especificaciones AISC, el valor de Cm se tomara como sigue:

1. Para miembros en compresin de marcos sometidos a traslacin de sus nodos (desplazamiento lateral), Cm=0.85.2. Para miembros en compresin restringidos de marcos arriostrados contra traslacin de sus nodos y no sometidos a carga transversal entre sus soportes en el plano de flexin, Cm=0.6-0.4M1/M2 (pero no menor que 0.4), donde M1/M2 es la razn del menor al mayor momento en los extremos de aquella porcin del miembro no arriostrada en el plano de flexin en consideracin. M1/M2 es positiva cuando el miembro esta flexionado en curvatura doble y negativa cuando esta flexionado en curvatura simple.3. Para miembros en compresin en marcos arriostrados contra traslacin de sus nodos en el plano de carga y sometidos a carga transversal entre sus soportes, el valor de Cm puede determinarse por anlisis racional. Sin embargo, en vez de tal anlisis, pueden usarse los siguientes valores:(a)Para miembros cuyos extremos estn restringido, Cm=0.85(b)Para miembros cuyos extremos no estn restringidos, Cm=1.0

PROBLEMAS1. Una pieza de madera escuadrada de 50 x 100 mm se emplea como columna con los extremos empotrados. Calcular la longitud mnima para que pueda aplicarse lafrmula de Euler si E = 10 GPa y el lmite de proporcionalidad es de 30 MPa. Qu carga axial podr soportar con un factor de seguridad igual a 2, si la longitud es de 2,5 m?SolucinDadas las dimensiones de la seccin recta, calcular el radio de giro menor:I=1120.10.053=1.042*10-6m4A=0.1*0.05=5*10-3m2Entonces:r=IA=1.042*10-65*10-3=0.0144 mPara calcular la longitud usamos la expresin:=E2(L'r)2 , donde: L'=L2 =>L=2L'L=2rE=20.014410*10910*106 => L=1.65 mPara calcular Padm tenemos lo siguiente: L=2.5 mPcr=EI2L2=10*1091.042*10-6*2(0.5*2.5)2=65.8 kNPadm=PcrFs=65.8 kN2 =>Padm=32.9 kN

2. Una tornapunta de aluminio tiene una seccin rectangular de 20 x 50 mm. Un perno que atraviesa cada extremo lo asegura de manera que acta como columna doblemente articulada con respecto a un eje perpendicular a la dimensin de 50 mm y como empotrada, respecto a un eje normal a la de 20 mm. Determinar la carga axial de seguridad con un factor igual a 2.5, siendo E = 70 GPa y la longitud de 2 metros.Solucin

Tenemos la seccin de 20 x 50 mm, calculamos los momentos de inercia.Ix=1120.050.023=33.333*10-9m4Iy=1120.020.053=208.333*10-9m4Calculamos las cargas crticas:En el eje X (doblemente empotado)DLe=L2=2 m2=1 mPcr=EIx2Le2=7*10933.333*10-9*2(1)2=23.03 kNEn el eje Y (doblemente articulado)Le=L=2 mPcr=EIy2Le2=7*109208.333*10-9*2(2)2=35.98 kNDelos dos valores tomamos el menor:Pcr=23.03 kNLuego la carga de seguridad con un factor de seguridad 2.5 es:Padm=PcrFs=23.03 kN2.5 =>Padm=9.2 kN

3. Usando las especificaciones de la AISC, determinar la longitud mxima de un perfil W360 x 122 si se va a usar como columna con extremos articulados para soportar una carga axial de 1200 kN, usando PC=450 MPa.SolucinPara el perfil W360 x 122, tenemos:A=15500 mm2rmin=63 mmAdems como datos se tiene:Le=LP=1200 kNPC=450 MPaCalculamos la relacin de esbeltez:Cc=22EPC=22(200*109)450*106=94Decimos que:Ler>Cc =>Le>Cc*r=63*94 =>Le>5922 mm

Entonces:T=PA=122E23Ler2 =>Le=r122EA23PReemplazando:Le=63122(200*109)(15500*10-6)23(1200*103)=7245 mm

Le= 7245 mm >5922 mm

L=7.245 m

4. Mediante la frmula de AISC determinar la carga axial de trabajo en una columna constituida por un perfil W360 x 122 que est articulada en sus extremos y tiene una longitud de 9 m. Use para esto PC=380 MPa.SolucinPara el perfil W360 x 122, de tabla tenemos:A=15500 mm2rmin=63 mmObtenemos la relacin de esbeltez:Cc=22EPC=22(200*109)380*106=102De: Le=L

Ler>Cc =>900063=143 =>Ler=143>102La frmula para el esfuerzo de trabajo se tiene:T=PA=122E23Ler2=>P=122EA23Ler2

P=122(200*109)(15500*10-6)231432

P=781 k