COLUMNAS

MIEMBROS A COMPRESIÓN Y A FLEXIÓN

Se puede definir una columna como un miembro que soporta principalmente cargas axiales de

compresión y cuya relación , siendo L la altura o longitud total del elemento y b la menor

de sus dimensiones en planta.

Si el elemento a analizar tiene una relación de , el elemento es demasiado corto, su tipo de

falla puede ser por aplastamiento o trasferencia de esfuerzos de contacto y por lo tanto se podrían diseñar como pedestales en concreto simple.

TIPOS DE COLUMNAS: según su tipo de falla se pueden clasificar en columnas cortas y largas.

Las columnas largas fallan por esbeltez y las cortas por resistencia.

Tipos de falla:

Por esbeltez en columnas. Columnas con una relación de esbeltez, , alta, siendo r el

radio de giro de la sección transversal.

El radio de giro se calcula por : y representa el sitio donde se concentra toda el

área para hallar el momento de inercia

 

  Por resistencia: para columnas poco esbeltas, o sea aquellas donde la falla por esbeltez no

sea posible, la falla está determinada por la resistencia del material (correspondiente a la fluencia en un material homogéneo) de la sección transversal.

Esta falla según el ACI, se alcanza cuando la fibra externa a compresión alcanza una deformación de 0.003.

 El primer paso sería determinar si el elemento se comporta como columna, esto es, y después verificar si es esbelta o no.

1. COLUMNAS ESBELTAS:

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Para calificar si una columna fallará por esbeltez o por resistencia se debe determinar la relación de esbeltez definida en el párrafo anterior. Se sabe que las columnas esbeltas fallarán por pandeo antes que por resistencia, siendo esta una falla típica de elementos a compresión independientemente de la resistencia.

Las mayores resistencias alcanzadas en el concreto y la optimización de los métodos de diseño han llevado a utilizar secciones más esbeltas así el problema de estabilidad se ha incrementado enormemente. Adicionalmente se debe considerar el efecto P*. Este consiste en que cualquier miembro sometido a compresión y momento, se verá sometido a un momento secundario adicional debido a la excentricidad de la carga por la deflexión producida por la flexión. Este efecto se conoce también como Efecto de segundo orden ya que solo se presenta cuando la columna se ha flectado.

  

 

El factor de esbeltez depende de la longitud libre de pandeo del elemento. Esta longitud está regida por el tipo de unión de los extremos del elemento a analizar. Elementos sin restricción a rotación se pandean en toda su longitud por lo tanto su longitud libre es igual a su longitud real. Elementos en voladizos tendrán una longitud efectiva de sufrir pandeo igual al doble de un elemento simplemente apoyado y elementos con arriostramiento total en sus extremos tendrán una longitud efectiva menor que la propia del elemento.

Para tener en cuenta el efecto de las restricciones de rotación en los extremos se trabaja con el factor K que multiplica a la longitud real del elemento.

K: factor de arriostramiento (braced or unbraced)

Si el miembro se considera arriostrado y su longitud efectiva para sufrir pandeo será menor que la real . En inglés se consideran: braced member

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Si sería un elemento no arriostrado. unbraced member   

Para diseñar una columna como elemento corto, es decir, omitir los efectos de esbeltez, se debe verificar que:

para sistemas arriostrados o con restricción lateral.

para sistemas sin arriostramientos o sin restricción lateral a rotación

donde:

M1b: El menor de los momentos de extremo de un elemento a compresión

M2b: momento mayor

EFECTOS DE ESBELTEZ DE LA NSR-98: La norma considera los efectos de esbeltez en el capítulo C.10.11.8.

Allí se tienen en cuenta por separado los efectos locales, correspondientes a la falla de un solo elemento, y los efectos globales de esbeltez correspondientes a todo un piso de una edificación considerando que estos pueden ser susceptibles de ladeo.

Efectos locales de esbeltez del a Norma:

Considerando los efectos de segundo orden en elementos a compresión y flexión vemos que el momento de diseño debe obedecer a un momento mayor al que está actuando en primera instancia en la columna. Este momento de diseño correspondería a:

donde:

Mc: Momento de diseño después de considerar efectos de segundo orden

, siendo e la excentricidad de la carga P para producir el momento Mo inicial en la columna.

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Este momento se puede aproximar a:

Ecuación aproximada de Thimoshenko

Donde o es la deflexión causada por Mo tomando P=0

Y haciendo otra seríe de simplificaciones podemos llegar a:

Donde Pc es la carga crítica de Euler: , siendo EI la rigidez de la sección fisurada.

Siendo Mo el momento máximo dentro de la altura de la columna dependiendo de los momentos en los extremos

Entonces el factor correspondería a un factor de ampliación del momento inicial de

diseño y sería equivalente a mayorar las cargas inciales para tener en cuenta los posibles momentos extras que se dan por los efectos de segundo orden.

En la norma este factor se nombra con la letra δ y el momento de diseño es:

, donde la l indica local. Ecuación C.10-9

Aplicando los factores de reducción de resistencia y el factor de longitud efectiva nuestras ecuaciones quedarían así:

 

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o bien

donde M1/M2 es positivo si la columna está deformada en curvatura simple. Para elementos con fuerzas transversales entre apoyos el valor de Cm debe tomarse como la unidad.

Para mas información sobre estas ecuaciones consultar el capítulo C.10.11.9 de la NSR-98. (www.asosismica.org.co).

Una vez encontrados los momentos modificados se procede a diseñar la columna como si fuera un elemento corto.

2. COLUMNAS CORTAS

2.1                            Comportamiento de columnas cargadas axialmente

Columnas sin refuerzo: debido a la forma de vaciar las columnas la parte inferior tiende a ser más resistente que la parte superior (el agua del vaciado tiende a subir y crea una porosidad en la parte superior de la columna). Dividiendo la columna en tres tramos se ha encontrado que las resistencias de los concretos a diferentes alturas corresponden a la grafica indicada:

 

A: zona de concreto que controla la resistencia de la columna

Por estas razones se sugiere tomar como resistencia base de diseño un valor de

que corresponde a un promedio estadístico y es un valor encontrado experimentalmente.

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 Columnas con refuerzo: Tipos de columna de acuerdo con el refuerzo transversal.

Las columnas se clasifican de acuerdo con el refuerzo transversal ya que este determina la forma en que el refuerzo longitudinal esta soportado. Los tipos de columnas y su respectivo factor de reducción de resistencia son:

                     Columnas con estribos

                     Columnas con espirales

Ensayos han mostrado que hasta la fluencia del acero, ambas columnas trabajan igual pero una vez alcanzada esta, la columna con estribos falla en una forma inmediata y frágil tal cual si fuera un cilindro de ensayo de resistencia a compresión, como si no tuviera refuerzo. Esta falla se produce por el pandeo de las barras longitudinales entre estribos, mientras que en la de espirales, en el punto de fluencia, se bota el recubrimiento y se empieza a deformar antes de fallar

 

(tomado de Park and Priestley)

Se entiende por ductilidad de un elemento la capacidad de deformación después de alcanzar el rango elástico, en este caso se comprueba que esta propiedad varía con los estribos y con la forma de colocar las barras longitudinales.

El hecho de que las columnas con espiral se comporten de una manera mas dúctil se refleja en que el efecto de confinamiento en ellas es mucho mayor.

Miremos el efecto de confinamiento:

 

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Si la muestra no puede deformarse libremente en la dirección transversal se aumenta la carga axial resistente, siendo esta igual a:

Pero para que f2 sea efectivo, f1 debe ser tal que produzca deformaciones transversales en la muestra. En similitud con la columna, para poder tener en cuenta el efecto de confinamiento la columna debe estar esforzada a mas de 0.85f´c.

En el caso de tener estribos el efecto de confinamiento es menor ya que estos se deslizan y abren centro de la columna.

Considerando todos estos efectos podemos decir que la carga axial que soporta una columna es:

El término corresponde a la carga de fluencia para una columna con espirales y solo se debe tener en cuenta cuando fs=fy y la columna se ha deformado considerablemente.

Ac: área de concreto

Ast: área de acero longitudinal

Asp: área de espirales

Ks: constante de 1.5 a 2.5 promedio 1.95

Asy: esfuerzo en los espirales.

Kc=0.85

El coeficiente de reducción de resistencia, , usado en columnas es mucho menor que el de vigas ya que su tipo de falla es explosiva, frágil y no da aviso. Sabemos que para esfuerzos de tracción y flexiónt es igual a 0.90, para columnas netamente a carga a compresión varia entre 0.70 y 0.75 de acuerdo con el refuerzo transversal y en columnas sometidas a esfuerzos combinados de fuerza axial y flexión el varia desde 0.70 a 0.90.

2.2                Columnas con refuerzo

Efectos de la carga axial sostenida:

Para los dos tipos de columnas reforzadas podemos decir que el comportamiento básico es el de una sección compuesta, acero y concreto trabajando a compresión.

Inicialmente la relación de esfuerzos es entre los dos materiales es igual a la relación

modular: (tal como se calcula en la teoría elástica), pero a medida que se

producen los fenómenos de (creep) flujo plástico y (shrinkage) retracción de fraguado el

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acero empieza a cargar más haciendo que la proporción de fuerza que carga cada material varie continuamente durante el tiempo en que la fuerza actúa. 

Despreciando el trabajo de la espiral, la carga axial máxima para una columna cargada concéntricamante es:

a nivel de cargas de servicio (columnas en el rango elástico) podemos determinar los esfuerzos en el concreto para una carga axial P.

Determinando el área de acero equivalente en concreto tenemos:

 

El reemplazo del área de acero por una equivalente a concreto se hace teniendo en cuenta que las deformaciones son iguales en un punto dado del elemento, εs=εc, entonces:

y

Por flujo plástico el concreto se deforma y terminaría cargando menos de lo calculado. Esto quiere decir que la relación modular n varía con el tiempo al variar los esfuerzos en cada uno de los materiales.

  

La sección se deforma pero el acero lo impide produciéndose una transferencia de fuerzas del concreto al acero, el acero es responsable de mucha carga y esta es una de las razones por la que se estipula en la norma una cuantía mínima

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2.3 Diseño de columnas cortas sometidas a momentos y fuerzas axiales:

Efectos de flexo-compresión:

 

 

Los esfuerzos máximos totales son:

Dependiendo de la relación de momento a carga axial, Mn/Pn ,el diagrama de esfuerzos se presentará de tres formas:

         Compresión en toda la sección de tal manera de que la fibra externa de concreto alcanza e = 0.003 antes de la fluencia en el acero. “Control por compresión”

 

          Tensión en gran parte de la sección de tal manera de que el acero fluye antes de que el concreto alcance

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Control por tensión

 

 

         Condición balanceada:

Tanto el concreto como el acero llegan simultáneamente a y en el

acero.

Debido a que una columna se puede ver sometida a infinitas parejas de momento y carga en su vida útil se dibujan todas estas combinaciones en un diagrama de interacción. Este consiste en graficar las parejas de P y M que conducen a la falla del elemento. Se idenfican inicialmente en este diagrama tres puntos críticos:

         El punto de máxima carga axial neta a compresión

         El punto de falla balanceada de ambos materiales

         El punto de máxima carga axial a tracción

Par el caso específico del concreto la forma del diagrama de interacción sería así:

  

Algunos diagramas de interacción se presentan en función de la excentricidad, e, de la carga P:

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e: excentricidad de aplicación de la carga P.

 

 

 

Diagramas de interacción en función de las resistencias máximas de los materiales: Expresando la ecuación de interacción en función de la resistencia del material tenemos:

Se puede considerar que la sección falla cuando se alcanza el esfuerzo máximo a comprensión, σmax a compresión= σ a compresión o cuando el esfuerzo a tracción alcanza el esfuerzo máximo a tracción

Entonces las ecuaciones de falla son:

Definiendo Pmaxc y Mmaxc las cargas máximas o causantes de falla, tenemos.

solo compresión

solo flexión

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ecuación unitaria de falla a compresión

 Al graficarlo quedaría:

 

2.4 Construcción del diagrama de interacción

Consideraremos que el concreto siempre estará trabajando al máximo y por lo tanto

Hipótesis:

1. Materiales elásticos, las deformaciones son proporcionales a la distancia al eje neutro, secciones planas permanecen planas.

2.3. proporcionalidad. Para el caso que se alcance la fluencia del acero se

considerará fs=Fy teniendo en cuenta la plasticidad de este material.

4. en kg/cm2. El concreto no aguanta esfuerzos de tracción

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5. Se puede considerar un bloque rectangular equivalente para el diagrama de esfuerzas a compresión del concreto.

 

 

Falla a compresión:

falla a tracción:

solo trabaja el acero

Punto para la falla balanceada:

con el valor de y se determina cuanto valen las fuerzas

 

 Otros puntos:

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Variación de la profundidad del eje neutro manteniendo .

 

 

DOCUMENTO PREPARADO POR EL PROFESOR JUAN CARLOS RINCÓN

 

LA FLEXOCOMPRESION EN LOS ELEMENTOS DE HORMIGON ARMADO

 

11.1    INTRODUCCION

La mayor parte de los elementos estructurales sometidos a compresión también están solicitados por momentos flectores, por lo que en su diseño debe tomarse en consideración la presencia simultánea de los dos tipos de acciones.

En zonas sísmicas, como las existentes en nuestro país, el efecto flexionante usualmente domina el diseño con relación a las solicitaciones axiales por lo que, a pesar de que los momentos por cargas gravitacionales sean importantes, se suelen escoger columnas con armadura simétrica, dada la reversibilidad de los sismos.

 

11.2 DIAGRAMAS DE INTERACCION CON FLEXION UNIDIRECCIONAL:

El comportamiento de secciones específicas de columnas de hormigón armado es descrito más claramente mediante gráficos denominados curvas o diagramas de interacción. Sobre el eje vertical se dibujan las cargas axiales resistentes y sobre el eje horizontal se representan los correspondientes momentos flectores resistentes, medidos con relación a un eje principal centroidal de la sección transversal de la columna.

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A continuación se presenta una curva de interacción unidireccional de una columna tipo, en la que no se han incluido ni el factor f de reducción de capacidad (solamente se manejan cargas axiales y momentos flectores nominales), ni la reducción de carga axial última por excentricidad mínima de las cargas axiales, para que su interpretación sea más sencilla.

Cualquier combinación de carga axial y de momento flector nominales, que defina un punto que caiga dentro de la curva de interacción (o sobre la curva de interacción), indicará que la sección escogida es capaz de resistir las solicitaciones propuestas. Cualquier punto que quede por fuera de la curva determinará que la sección transversal es incapaz de resistir las solicitaciones especificadas.

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Es importante observar que la presencia de pequeñas cargas axiales de compresión (parte inferior de la curva de interacción), teóricamente puede tener un efecto beneficioso sobre el momento flector resistente de la columna (falta aún cuantificar el efecto del factor de reducción de capacidad f para tener la visión completa). Este comportamiento poco usual se debe a que el hormigón, sometido a esfuerzos de tracción por la flexión, se fisura en gran medida, y la presencia de cargas axiales de compresión pequeñas permite disminuir la sección transversal fisurada y aumentar la sección efectiva de trabajo del material.

La presencia de grandes cargas axiales (parte superior de la curva de interacción), por otro lado, disminuye considerablemente la capacidad resistente a la flexión de las columnas.

Para la elaboración de las curvas de interacción nominales, para una sección dada, se utiliza el siguiente procedimiento:

Se definen diferentes posiciones del eje neutro

Para cada posición del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias en cada fibra de la pieza, tomando como base una deformación máxima en el hormigón e u = 0.003

En función de las deformaciones en el acero y en el hormigón se determinan los diagramas de esfuerzos en el hormigón y la magnitud de los esfuerzos en el acero, y

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Se calculan los momentos flectores centroidales y cargas axiales internos que, por equilibrio, deben ser iguales a los momentos flectores y cargas axiales externos solicitantes

 

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EJEMPLO 11.1:

Dibujar la curva de interacción de cargas nominales y momentos flectores nominales respecto al eje centroidal x de la columna de la figura, tomando ejes neutros paralelos a dicho eje, si la resistencia a la rotura del hormigón es f’c = 210 Kgf/cm2 y el esfuerzo de fluencia del acero es Fy = 4200 Kgf/cm2.

As1 = 3 x 2.54 = 7.62 cm2

As2 = 2 x 2.54 = 5.08 cm2

As3 = 3 x 2.54 = 7.62 cm2

La deformación unitaria que provoca fluencia en el acero es:

Cualquier deformación unitaria en el acero que esté por debajo de la deformación de fluencia (e s < e y) define esfuerzos en el acero que se pueden calcular con la siguiente expresión:

fs = Es e s

Cualquier deformación unitaria en el acero que supere la deformación de fluencia (e s > e y) determinará un esfuerzo en el acero igual al esfuerzo de fluencia:

fs = Fy

Punto # 1 del Diagrama de Interacción: Se supone que todas las fibras tienen una deformación unitaria igual a la máxima deformación permitida en el hormigón e u = 0.003, lo que es equivalente a que el eje neutro se encuentre en el infinito.

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Cálculo de deformaciones unitarias:

e 1 = 0.003 > 0.002

e 2 = 0.003 > 0.002

e 3 = 0.003 > 0.002

Cálculo de esfuerzos en el acero:

fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs3 = Fy = 4200 Kgf/cm2

Cálculo de la fuerza de compresión en el hormigón:

Cc = 0.85 f’c . b . d = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (40 cm) = 285600 Kgf

Cálculo de las fuerzas de compresión en el acero:

P1 = As1 . fs1 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

P2 = As2 . fs2 = (5.08 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 21336 Kgf

P3 = As3 . fs3 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

Cálculo de la carga axial nominal:

Pn = Cc + P1 + P2 + P3 = 285600 Kgf + 32004 Kgf + 21336 Kgf + 32004 Kgf

Pn = 370944 Kgf = 370.9 T

Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x:

Mn = (285600 Kgf) (0 cm) + (32004 Kgf) ( 9 cm) + (21336 Kgf) (0 cm) - (32004 Kgf) (9 cm)

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Mn = 0 Kgf-cm = 0.0 T-cm

Punto # 2 del Diagrama de Interacción: El eje neutro es paralelo al eje x, y coincide con el borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima admitida en el hormigón e u = 0.003.

Cálculo de deformaciones unitarias:

Cálculo de esfuerzos en el acero:

fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Es . e 2 = (2100000 Kgf/cm2) (0.0015) = 3150 Kgf/cm2

fs3 = Es . e 3 = (2100000 Kgf/cm2) (0.00045) = 945 Kgf/cm2

Cálculo de la fuerza de compresión en el hormigón:

Cc = 0.85 f’c . b. a = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (34.0 cm) = 242760 Kgf

Cálculo de las fuerzas de compresión en el acero:

P1 = As1 . fs1 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

P2 = As2 . fs2 = (5.08 cm2) (3150 Kgf/cm2) = 16002 Kgf

- 20 -

P3 = As3 . fs3 = (7.62 cm2) (945 Kgf/ cm2) = 7201 Kgf

Cálculo de la carga axial nominal:

Pn = Cc + P1 + P2 + P3 = 242760 Kgf + 32004 Kgf + 16002 Kgf + 7201 Kgf

Pn = 297967 Kgf = 298.0 T

Cálculo del momento flector nominal con relación al eje centroidal x:

Mn = (242760) (20 - 34.0/2) + (32004) (14) + (16002) (0) - (9601) (14 )

Mn = 1041922 Kgf-cm = 1041.9 T-cm

Punto # 3 del Diagrama de Interacción: El eje neutro es paralelo al eje x, y está 10 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima admitida en el hormigón e u = 0.003.

Cálculo de deformaciones unitarias:

Cálculo de esfuerzos en el acero:

fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Es . e 2 = (2100000 Kgf/cm2) (0.0010) = 2100 Kgf/cm2

- 21 -

fs3 = Es . e 3 = (2100000 Kgf/cm2) (0.0004) = 840 Kgf/cm2

Cálculo de la fuerza de compresión en el hormigón:

Cc = 0.85 f’c . b . a = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (25.5 cm) = 182070 Kgf

Cálculo de las fuerzas de compresión en el acero:

P1 = As1 . fs1 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

P2 = As2 . fs2 = (5.08 cm2) (2100 Kgf/cm2) = 10668 Kgf

P3 = As3 . fs3 = (7.62 cm2) (840 Kgf/cm2) = 6401 Kgf

 Cálculo de la carga axial nominal:

Pn = Cc + P1 + P2 - P3 = 182070 Kgf + 32004 Kgf + 10668 Kgf - 6401 Kgf

Pn = 218341 Kgf = 218.3 T

Cálculo del momento flector nominal con relación al eje centroidal x:

Mn = (182070) (20 - 25.5/2) + (32004) (14) + (10668) (0) + (6401) (14)

Mn = 1857678 Kgf-cm = 1857.7 T-cm

Punto # 4 del Diagrama de Interacción: El eje neutro es paralelo al eje x, y está 20 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima admitida en el hormigón e u = 0.003.

Cálculo de deformaciones unitarias:

e 2 = 0

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Cálculo de esfuerzos en el acero:

fs1 = Fy = 4200 Kgf/cm2

fs2 = Es . e 2 = (2100000 Kgf/cm2) (0) = 0 Kgf/cm2

fs3 = Fy = 4200 Kgf/cm2

Cálculo de la fuerza de compresión en el hormigón:

Cc = 0.85 f’c . b . a = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (17.0 cm) = 121380 Kgf

Cálculo de las fuerzas de compresión en el acero:

P1 = As1 . fs1 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

P2 = As2 . fs2 = (5.08 cm2) (0 Kgf/cm2) = 0 Kgf

P3 = As3 . fs3 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

Cálculo de la carga axial nominal:

Pn = Cc + P1 + P2 - P3 = 121380 Kgf + 32004 Kgf + 0 Kgf - 32004 Kgf

Pn = 121380 Kgf = 121.4 T

Cálculo del momento flector nominal con relación al eje centroidal x:

Mn = (121380) (20 - 17.0/2) + (32004) (14) + (0) (0) + (32004) (14)

Mn = 2291982 Kgf-cm = 2292.0 T-cm

Punto # 5 del Diagrama de Interacción: El eje neutro es paralelo al eje x, y está 32.66 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna (la posición fue obtenida por tanteo hasta alcanzar flexión pura). La deformación unitaria en el borde superior es la máxima admitida en el hormigón e u = 0.003.

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Cálculo de deformaciones unitarias:

Cálculo de esfuerzos en el acero:

fs1 = (2100000 Kgf/cm2) (0.000548) = 1151 Kgf/cm2

fs2 = 4200 Kgf/cm2

fs3 = 4200 Kgf/cm2

Cálculo de la fuerza de compresión en el hormigón:

Cc = (0.85 x 210 Kgf/cm2) (40 cm) (6.24 cm) = 44554 Kgf

Cálculo de las fuerzas de compresión en el acero:

P1 = (7.62 cm2) (1151 Kgf/cm2) = 8771 Kgf

P2 = (5.08 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 21336 Kgf

P3 = (7.62 cm2) (4200 Kgf/cm2) = 32004 Kgf

Cálculo de la carga axial nominal:

Pn = Cc + P1 - P2 - P3 = 44554 Kgf + 8771 Kgf - 21336 Kgf - 32004 Kgf

Pn = -15 Kgf = -0.0 T

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Cálculo del momento flector nominal con relación al eje centroidal x:

Mn = (44554) (20 - 6.24/2) + (8771) (14) + (21336) (0) + (32004) (14)

Mn = 1322922 Kgf-cm = 1322.9 T-cm

 Se puede preparar una tabla con todos los pares de solicitaciones nominales obtenidos (Mn, Pn):

PuntoMn

(T-cm)

Pn

(T)

1 0.0 370.9

2 1041.9 298.0

3 1857.7 218.3

4 2292.0 121.4

5 1322.9 0.0

La curva de interacción nominal es la representación gráfica de la tabla anterior:

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Empleando una hoja electrónica o un programa de computación resulta más ágil la preparación de la tabla, y el número de puntos obtenidos será mayor, con lo que la calidad de la curva de interacción será mejor.

Existen dos aspectos adicionales que deben ser considerados para transformar las curvas de interacción nominales en curvas de interacción para diseño de columnas:

a. El factor de reducción de capacidad f para compresión pura en columnas rectangulares es 0.70 y para flexión pura es 0.90, lo que determina la existencia de una transición entre los dos factores para el caso combinado de flexocompresión. De cualquier modo, las solicitaciones de rotura se calcularán con las siguientes expresiones:

Pu = f . Pn

Mu = f . Mn

En flexocompresión de columnas con estribos, en que la dimensión del núcleo (zona entre los ejes de las capas más externas del acero) de hormigón en la dirección de diseño represente al menos el 70% de la dimensión exterior de la columna, el Código Ecuatoriano de la Construcción y el ACI especifican que se debe mantener un factor de reducción de capacidad de 0.70 para todos los valores de carga axial que superen 0.10 f’c.Ag, y se puede realizar una interpolación lineal del factor desde 0.70 hasta 0.90, cuando la carga axial decrece de 0.10 f’c.Ag hasta 0.

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En flexocompresión de columnas zunchadas, la variación del factor de reducción de capacidad es similar a las columnas con estribos, pero se produce entre 0.75 y 0.90.

Cuando la dimensión del núcleo de hormigón en columnas con estribos y columnas zunchadas es inferior al 70% de la dimensión exterior de la columna, el cambio en el coeficiente de reducción de capacidad se realizará entre la carga balanceada Pb (en lugar de 0.10 f’c.Ag) y 0.

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b. El ACI-95 especifica que en columnas con estribos se debe reducir en un 20% la carga axial última máxima para cubrir el efecto de los momentos flectores causados por pequeñas excentricidades de la carga, cuya existencia no puede ser controlada por el diseñador.

Las versiones anteriores del código ACI, y el Código Ecuatoriano de la Construcción manejan excentricidades mínimas del 10% de la dimensión máxima de la columna con estribos, en la dirección de la excentricidad (0.10 b, 0.10 t en el gráfico anterior).

Así mismo, en el caso de columnas zunchadas, se debe reducir en un 15% la carga axial última máxima para cubrir el efecto de los momentos flectores causados por pequeñas excentricidades de las cargas axiales, cuya existencia no puede ser controlada por el diseñador.

El Código Ecuatoriano de la Construcción y las versiones anteriores del ACI manejan excentricidades mínimas del 5% del diámetro de la columna zunchada en la dirección de la excentricidad (0.05 D en el gráfico anterior).

La excentricidad puede ser calculada con las siguientes expresiones:

e = Mu / Pu

ex = Muy / Pu

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ey = Mux / Pu

Donde:

Mu: momento último

Mux: momento último alrededor del eje x

Muy: momento último alrededor del eje y

Pu: carga axial última

e: excentricidad de la carga axial con respecto al centroide de la sección

ex: excentricidad de la carga axial medida en la dirección x

ey: excentricidad de la carga axial medida en la dirección y

En la curva de interacción, estas ecuaciones pueden ser representadas mediante rectas que pasan por el origen.

 

EJEMPLO 11.2:

Modificar la curva de interacción del ejemplo anterior para tomar en consideración los factores de reducción de capacidad apropiados, la excentricidad mínima de la carga axial (CEC), y la reducción de la carga axial última máxima (ACI-95).

Se puede preparar una tabla que incluya valores de carga axial y de momentos flectores que incluyan los factores de reducción 0.70 y 0.90, basada en la tabla del ejemplo anterior.

Punto Cargas Nominales

Cargas Ultimas

f = 0.90

Cargas Ultimas

f = 0.70

  Mn

(T-cm)

Pn

(T)

MU,1

(T-cm)

PU,1

(T)

MU,2

(T-cm)

PU,2

(T)

1 0,0 370,9 0,0 333,8 0,0 259,6

2 1041,9 298,0 937,7 268,2 729,3 208,6

3 1857,7 218,3 1671,9 196,5 1300,4 152,8

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4 2292,0 121,4 2062,8 109,3 1604,4 85,0

5 1322,9 0,0 1190,6 0,0 926,0 0,0

La carga axial que define una variación en el factor de reducción de capacidad es:

0.10 f’c . Ag = (0.10) (210) (1600) = 33600 Kgf = 33.6 T

La curva de interacción de las cargas últimas, incluyendo el efecto del factor de reducción de capacidad es:

Para tomar en consideración la excentricidad mínima (10% de la dimensión respectiva de la columna = 4 cm, por ser no zunchada) especificada por el CEC, se dibuja sobre la curva de interacción la ecuación

e = Mu / Pu = 4 cm

Para el efecto, se definen dos puntos sobre la recta mencionada, los que permiten su representación gráfica:

Mu = 0 ; Pu = 0

Mu = 400 T-cm ; Pu = 100 T

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Desde el punto de cruce de la recta de excentricidad mínima con la curva de interacción anterior se traza una recta horizontal para completar la curva de interacción definitiva.

De igual manera, si utilizamos el criterio del ACI-95, el recorte horizontal de la curva de interacción debe producirse al nivel de la carga axial última máxima (una reducción del 20% con relación a la carga última teórica).

Pu,máx = 0.80 f (0.85 f’c . Ac + As . Fy)

Pu,máx = (0.80) (259.6 T) = 207.68

El diagrama que se obtiene es muy similar al que se dedujo anteriormente.

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11.3 DIAGRAMAS DE INTERACCION ADIMENSIONALES PARA FLEXION UNIDIRECCIONAL:

Existe una gran variedad de curvas de interacción adimensionales que evitan la preparación de curvas de interacción específicas para cada columna, cuya utilización facilita enormemente el diseño a flexocompresión. El propio ACI ha publicado curvas que contienen algunos de los criterios detallados en el numeral anterior, dejando los restantes criterios para la aplicación por parte del diseñador.

La presentación típica de estos diagramas es la de una familia de curvas para determinados valores de: esfuerzo de rotura del hormigón (f’c), esfuerzo de fluencia del acero (Fy), relación entre la dimensión del núcleo de hormigón y la dimensión exterior de la columna (g), y distribución de la armadura en la sección de hormigón.

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Como anexo al presente documento se ha incluido un conjunto de familias de Diagramas de Interacción para Columnas Rectangulares con Armadura Simétrica Respecto a los Ejes Principales, sometidas a flexión en una dirección principal; Diagramas de Interacción para Columnas Circulares con Armadura Simétrica; Diagramas de Interacción para Columnas Zunchadas Circulares con Armadura Transversal Mínima Simétrica; y Diagramas de Interacción para Columnas Cuadradas con Flexión a 45° Respecto a los Ejes Principales con Armadura Simétrica, elaboradas por el autor, en las que, además de los criterios expuestos en el párrafo anterior, se han incluido: la excentricidad mínima establecida en el Código Ecuatoriano de la Construcción, y el cambio del valor del factor de reducción de capacidad. Estos factores usualmente no son incluidos explícitamente en otras curvas de interacción disponibles, por lo que para el uso de otras curvas de interacción siempre es recomendable revisar la metodología propia de uso de sus diagramas.

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 11.4 UTILIZACION DE LOS DIAGRAMAS AUXILIARES DE INTERACCION ADIMENSIONALES PARA COLUMNAS RECTANGULARES CON FLEXION UNIDIRECCIONAL:

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Para utilizar los diagramas de interacción adimensionales para columnas rectangulares, se definen en primer lugar las solicitaciones mayoradas que actúan sobre la columna (carga axial última Pu y momento flector último Mu), se especifican las dimensiones de la columna (b, t) que fueron utilizadas en el análisis estructural, y se escoge una distribución tentativa del acero de refuerzo longitudinal, respetando los recubrimientos mínimos y la separación mínima entre varillas.

Se define, en primer lugar, la resistencia última del hormigón (f’c) y el esfuerzo de fluencia del acero (Fy), que en nuestro medio son usualmente 210 Kgf/cm2 y 4200 Kgfr/cm2 respectivamente. Ocasionalmente se utilizan hormigones de 280 Kgf/cm2 y 350 Kgf/cm2, y aceros importados en varilla con esfuerzo de fluencia de 2800 Kgf/cm2.

Se proceden a calcular dos parámetros que definen la abscisa (x) y la ordenada (y) de un punto dentro del diagrama de interacción, mediante las siguientes expresiones:

Se escoge el diagrama adimensional que mejor se ajuste a las condiciones del diseño real, y en él se identifica el punto de abscisa y ordenada anteriormente señalados.

El punto así obtenido puede coincidir sobre una de las curvas de interacción o puede ubicarse entre dos curvas de interacción, definidas para diferentes cuantías de armado (0.00, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07 y 0.08).

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En el primer caso se lee directamente la cuantía de armado total r t de la curva de interacción de la columna adimensional, y en el segundo caso se interpola la cuantía de armado mediante apreciación visual o medición de longitudes.

La cuantía de armado así obtenida será la mínima requerida por la columna real para resistir la carga axial última y el momento flector último, siempre que se encuentre entre las cuantías mínima y máxima permitidas por los códigos.

En caso de ser necesario se interpolará linealmente entre los resultados de la lectura en varios diagramas de interacción.

La cantidad de acero total de la columna se obtiene mediante la siguiente expresión:

As = r t . b . t

 

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