1. El Canal Inalambrico

1.1. Propagacion en el espacio libre

Si se tiene una antena con un cable coaxial que esta conectado a un Tx y del Tx sale una potenciaPpa, considerando que se tiene una perdida Lc, finalmente a la antena llega una potencia Pt (ver Figura1).

Si se alimenta la antena con una frecuencia adecuada, la antena irradia bien, pero esa antenairradia con una ganancia Gt. En cualquier punto del espacio se puede observar una densidad espectralde potencia (en W/m2) dada por:

S(d) =EIRP

4πd2=PtGt4πd2

(1)

donde d es la distancia y EIRP es la potencia isotropica radiada efectiva. Esta potencia se definecomo: ”Cantidad de potencia que una antena isotropica ideal/teorica tendrıa que emitir para producirla densidad espectral de potencia peak observada en la direccion de maxima ganancia de la antena”.Las antenas tienen patrones de radiacion en los tres ejes, ver Figura 2. Si se realizan cortes viendo elpatron desde arriba, el patron de radiacon se ver como en la Figura 3. Mientras que si se corta de talforma de verlo de manera horizontal se ve como en la Figura 4. Se puede notar como decrece S(d) enfuncion del angulo.

De esto se puede deducir que la ganancia Gt depende de dos angulos θ y φ. Ası

Gt = Gt(θ, φ) (2)

y depende en que direccion uno esta parado. Con este se puede reescribir (1) como

S(d) =PtGt(θ, φ)

4πd2=

EIRP

4πd2(3)

Cabe destacar que la igualdad de (3), solo se cumple en θmax y φmax. De esto se deduce que la gananciade la antena depende de sus propiedades geometricas. Se define Ae como la apertura especıfica de unaantena: parametro que describe/representa/captura las propiedades fısicas de la antena que afecta asu ganancia, en m2. A partir de esto, la ganancia se puede escribir como

Gt =4πAtλ2

(4)

Si se hace lo mismo para la antena Rx

Ar =Grλ

2

4π(5)

Entonces si tenemos una antena Rx que esta expuesta a radiacion electromagnetica que se induce,luego la potencia recibida es funcion de la distancia a la fuente. Ası

Pr(d) = S(d) ·Ar (6)

Usando (1) en (6)

Pr(d) = Pt

(λ

4πd

)2

Gt ·Gr (7)

1.2. Perdida por distancia

La ecuacion (7) se conoce como la Ecuacion de Friis en el espacio libre. Es valida en el campolejano de la antena. Ahora, considerando el caso real, existen distintos obstaculo que hacen que (7) no

1

se cumpla, para modelas esto se usa

10 log

(Pr(d)

Pt

)= 10 log

(GtGrλ

2

(4πd0dd0

)2

)(8)

Λp(d) = 10 log

[GtGr

(λ

4πd0

)2]

︸ ︷︷ ︸Λp(d0)

−10 log

(d

d0

)α(9)

d0 es lo que se llama distancia de referencia en el campo lejano de la antena Tx. Este se fija para unacierta referencia (exponente 2). Luego, para α > 2 se tiene perdidas por distancia. El exponente α seconoce como exponente de perdidas por distancia y varıa entre 2 y 6 (ver tabla). LA ecuacion (9) seconoce como la ecuacion de perdida por distancia en ambiente con obstaculos o path-loss. Esta ecuaciones valida solo para d > d0. Lo importante de la ecuacion anterior es que disminuye linealmente en ungrafico de logaritmo, con pendiente α, ver Figura 5.Si se esta en un escenario de Tx inalambrica se produce un cono que puede describir como va perdiendopotencia la Tx con la distancia. Si escribimos en terminos de dB la ecuacion (9) entonces nos queda

Pr(d) = Pt + Λp(d0) − 10α log

(d

d0

)(10)

A partir de esta ecuacion se define el presupuesto de enlace que permite definir hasta donde puedo Txcon la antena.

1.3. Desvanecimiento de Sombra

Si nos encontramos en un escenario como en el de la diapositiva 9, segun el modelo de perdida pordistancia, uno siempre tiene la misma potencia Rx a una distancia de la fuente. Luego, haciendo unacircunferencia en el dibujo, todos los puntos deberıan tener la misma potencia, pero sabemos que esono ocurre. En la misma diapositiva se ve la grafica de ganancia en los 360 grados, claramente se ve queel valor no es constante. Uno lo que realmente espera ver es si se esta variando entre ± 1dB o existe unafluctuacion grande de ± 10 dB. Este fenomeno se llama desvanecimiento de sombra o shadow fading.Este fenomeno ocurre cuando la senal fluctua en el tiempo o espacio ya se por distintos obstacultos.Por ejemplo, paredes, arboles, montanas, etc.Queremos saber como modelar este problema. Para esto tenemos dos opciones

1) Modelamiento estadıstico o empırico.

2) Ray-tracing o trazado de rayos.

Normalmente se usa (2) y con esto la ecuacion (10) se define como

Pr(d) = Pt + Λp(d0) − 10α log

(d

d0

)+ Φ︸ ︷︷ ︸

Λp(d)

(11)

Este Φ permite modelar las diferencia que se generan y es una variable aleatoria. Lo que se hace eneste modelo es suponer que la senal rebota en los distintos obstaculos hasta llegar al Rx. Entoncessuponemos que la amplitud de la onda al salir de una obstruccion es:

Ai = Ai−1e−αiγi (12)

donde Ai−1 es la amplitud de onda electromagnetica antes de la obstruccion, αi es la constante deatenuacion del material de la obstruccion y γi es el espesor del material de la obstruccion. Esta expresion

2

se deduce de las ecuaciones de Maxwell. Notar que el aire tambien tiene una atenuacion y un espesor.Consideremos que la onda pasa por n obstaculos, ası

An = A0e−

∑ni αiγi (13)

donde A0 es la amplitud inicial y An es la amplitud final.Como nos interesea realizar un estudio estadıstico, se debe conectar con las variables aleatorias. Comose trata de una suma hasta n, podemos usar el Teorema Central del Lımita, por lo tanto

x = −n∑i

αiγi ∼ Normal(µ, σ2)

Luego si definimos λp(d) = An/A0 se tiene que

λp(d) = ex (14)

En concreto, sea Tx una portadora pura, es decir, s(t) = A0 cos(2πfct) y sea Rx r(t) = An cos(2πfct),entonces se tiene que

r(t) = λp(d)s(t)

Necesitamos saber las estadısticas de (14). Ahora, no sabemos como distribuye, pero si sabemos comodistribuye x. Luego

Λp(d) = 20 log λp(d) = 20 log ex = 20x log e

esto quiere decir que si x ∼ Normal(µ, σ2), entonces Λp(d), que esta en dB, tambien ∼ Normal(µ0, σ20).

Es posible demostrar que ex ∼ log Normal, usando el Teorema del Jacobiano.

Hemos visto hasta ahora que Λp(d) ∼ Normal(µ, σ2) dB. Ahora si volvemos (11) vemos que

Λp(d) = Λp(d0) − 10α log

(d

d0

)︸ ︷︷ ︸

=µ=cte

+ Φ︸︷︷︸∼Normal(0,σ2)

(15)

σ se determina de manera empırica.

3