Universidad Autónoma de Zacatecas Unidad de MatemáticasOlimpiada Mexicana de Matemáticas Coordinadora : Nancy Calvillo Guevara1. Técnicas de resolución de problemas José Ibrahim Villanueva Gutiérrez

La combinatoria es el arte de las matemáticas que responde a preguntas como :– De cuántas maneras se puede... ?– Cuántos ... hay ?– Para cuántos ... ?

Es decir, la combinatoria se encarga de contar, numerar y ordenar estructuras. Esta tareapuede ser tan sencilla como tratar de saber cuántas monedas hay en una alcancía ; o un pocomenos sencillo como saber de cuántas formas puedo recorrer todos los caminos de la siguientefigura con la condición de partir de un punto y regresar a ese mismo punto sin pasar dosveces por el mismo camino. 1

En estas notas, haremos un estudio de dos técnicas para resolver cierta clase de problemasque involucran combinatoria.

1 Principio de CasillasEl Prinicipio de Casillas dice que si tenemosm casillas para acomodar n objetos y n > m,

entonces en al menos una casilla habrá 2 objetos.

Por ejemplo, usted pasea con su hermano menor que ha llorado todo el día. Saliendode una tienda ven una máquina (como la de la figura) de dulces y para que deje de llorar

1. Este problema duró muchos años sin resolverse hasta que el príncipe de las matemáticas Leonhard Euler(1707-1783) dio una solución general. Para más información ver en Wikipedia : Los puentes de Königsberg.

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usted decide comprarle un dulce. En la máquina hay dulces de 7 colores diferentes, pero suhermanito no dejará de llorar si usted no se come un dulce del mismo color. Cuántos dulcestendrá que sacar para que su hermanito deje de llorar ?...Si usted está teniendo realmente unmal día, entonces en los primeros 7 intentos han salido siete dulces de colores diferentes, ensu octavo intento garantiza que salga un dulce de los colores que ya han salido para calmarlas lágrimas de su hermanito.

Ejercicio : En un papel cuadriculado de 6 × 9 cuadrados se consideran 25 triángulosarbitrarios y diferentes que tienen sus vértices en los puntos de intersección de las líneas dela cuadrícula. Mostrar que no importa cómo se elijan los triángulos, forzosamente habrá (almenos) dos triángulos con (al menos) un vértice en común.

Ejercicio : Probar que en cualquier conjunto de 6 personas forzosamente hay 3 que seconocen todas entre sí o 3 tales que ninguna conoce a las otras 2.

El conjunto de los números reales R se divide en dos subconjuntos ajenos (es decir, sinelementos en común), los números racionales Q y los números irracionales I. En lenguaje dela teoría de conjuntos

R = Q ∪ I con Q ∩ I = ∅.

Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir como cocientes deenteros, ejemplo

−576,− 45256 , 0,

17 , 1, etc.

Los números racionales son aquellos que no se pueden escribir como cocientes de enteros,ejemplo √

2,√p con p primo , π, etc.

Demostremos que√

2 es irracional : Supongamos que√

2 es racional, es decir√

2 = ab, para

a, b enteros y primos relativos (es decir, mcd(a, b)=1). Tenemos a2

b2= 2, luego a2 = 2b2, esto

implica que 2 divide a a ó lo que es lo mismo a es par. Digamos que a = 2k para algúnk entero. Sustituyendo tenemos 4k2 = 2b2, luego 2k2 = b2, por lo tanto b es par, lo cualcontradice que a, b son primos relativos. Esto demuestra que

√2 es irracional.

En general demostrar que un número es irracional puede tornarse difícil, por ahora nosinteresaremos en los números racionales.

La expansión decimal de un número real, es la escritura conocida con cifras. Se llamaexpansión decimal porque dependiendo de la posición en que se encuentra una cifra, es elnúmero de veces que debe tomarse la potencia de diez que corresponde a la posición. Ejemplo,

125.735 = 1× 102 + 2× 101 + 5× 100 + 7× 10−1 + 3× 10−2 + 5× 10−3

= 1× 102 + 2× 10 + 5 + 7× 110 + 3× 1

102 + 5× 1103 .

Las expansiones decimales pueden ser finitas como en el caso de 334 o infinitas como en el

caso de 13 o de π. Si un número tiene una expansión infinita de cifras, pero hay una cadena

de estas cifras que se repite, decimos que su expansión es periódica y llamamos periodo a la

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cadena que se repite y le ponemos una barrita arriba para distinguirlo. Por ejemplo, 13 = .3

tiene expansión periódica de periodo 3 y 3787990 tiene expansión periódica de periodo 25. Así

mismo, podemos decir que las expansiones finitas, son periódicas de periodo 0. El siguienteteorema que vamos a probar haciendo uso del álgebra y del Principio de Casillas, es unacorrespondencia entre los números con expansión decimal periódica y los números racionales.

Teorema : Sea x un número real, x tiene expansión periódica si y sólo si es un númeroracional.Demostración : (⇒) Sea x un número con expansión decimal periódica, entonces existe unperiodo digamos p1p2p3...pk, sea 10−n la potencia de 10 que corresponde a la primera cifradel primer periodo. Entonces

10n+kx− 10nx es un entero, digamos a

por lo tantox = a

10n+k − 10n ∈ Q.

(⇐) Ahora demostramos el otro lado, supongamos que x es un número racional. Entoncesx = a

bcon a, b enteros b 6= 0. Al hacer a÷ b por el algoritmo usual, tenemos que los posibles

residuos son 0, 1, 2, ..., b− 1, es decir, los residuos son finitos y al repetir un residuo, los co-cientes y los residuos van formando un periodo de repetición, por lo tanto x tiene expansiónperiódica.♣

Ejercicios :1. Probar que si cada punto del plano se colorea de rojo o azul, forzosamente habrá un

segmento de longitud 1 cuyos extremos tengan el mismo color.2. Sea p un número primo distinto de 2 y de 5. Probar que hay una infinidad de términos

en la sucesión1, 11, 111, 1111, 11111, ....

que son múltiplos de p.3. Considere 109 enteros con 0 < a1 < ... < a109 < 1999. Muestre que entre los valoresdi = ai+1 − ai, i = 1, ..., 108 hay un valor que se repite 4 o más veces. Encuentre unejemplo de enteros 0 < a1 < ... < a109 ≤ 1999 donde ninguna diferencia di = ai+1 − aise repita más de 3 veces.

2 SeparadoresEmpezaremos con un breve ejemplo para describir esta técnica. Un domingo por la

mañana lo mandan a comprar 15 piezas de pan a la tienda de Don Lalo. Don Lalo vendeconchas, bisquets, semas y bolillo. Si Don Lalo tiene al menos 15 piezas de cada una, decuántas maneras puede comprar las quince piezas que le encargaron ?

Imagine que usted compra 4 conchas, 1 bisquet, 10 semas y ningún bolillo, graficamentelo podemos representar como

−−−− | − | − − −−−−−−−−|,

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si usted no compra conchas, compra 7 bisquets, no compra semas y compra 8 bolillos, pode-mos representar la compra como

| − − −−−−− || − − −−−−−−;

es decir, la cantidad de líneas antes de la primera barrita simboliza el número de conchasque compró, la cantidad de líneas entre la primera y la segunda barrita simboliza el númerode bisquets que compró, la cantidad de líneas entre la segunda y la tercera barrita simbolizael número de semas que compró y finalmente la cantidad de líneas después de la tercerabarrita simboliza el número de bolillos que compró. Observemos que las posibles compras laspalabras de 18 letras que podemos formar con quince − y tres |, es decir se pueden formar(

183

)=(

1815

)palabras. Por lo tanto hay 816 compras posibles.

En general dados dos números naturales r y N la técnica de los separadores permiteencontrar cuántas r-adas (a1, a2..., ar) de enteros no negativos a1, a2, ..., ar hay de tal maneraque a1 + ...+ ar = N . Cómo vimos, la respuesta es

(N+r−1r−1

).

Ejercicio : Decir cuántos términos tiene la expansión (a+ b+ c)5 y de qué forma son ?

Siguiendo con el ejemplo, ahora suponga que su abuelito ha pedido un bisquet, su abuelay su madre semas y usted quiere comerse al menos una torta de los deliciosos frijoles quehace su abuela. Esto quiere decir que en el segundo separador usted al menos tiene que teneruna línea, en el tercero dos rayitas y en el cuarto una línea. Entonces nuestro problema pasósencillamente a ser de cuantas maneras puedo escoger 15 piezas de pan a sólo escoger 11piezas. Es decir, el número de compras que puede hacer dadas las piezas encargadas es de(

143

), o sea 364 compras posibles.

En general, dados dos números naturales r y N , el número de r-adas (a1, a2..., ar) deenteros a1, a2, ..., ar que satisfacen a1 + ... + ar = N sujetos a la restricción : a1 ≥ k1, a2 ≥k2, ..., ar ≥ kr, donde k1, k2, ..., kr son enteros dados, es(

N − (k1 + k2 + ...+ kr) + r − 1r − 1

).

Ejercicio : De cuántas maneras pueden escogerse 8 enteros a1, a2, ..., a8, no necesaria-mente distintos, tales que 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a8 ≤ 8.

3 Ejercicios generales de combinatoriaF Nivel Principiante1. Sea n un número impar mayor que 1. Pruebe que la sucesión(

n

1

),

(n

2

), ...,

(nn−1

2

)

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contiene un número impar de números impares.2. Cuántos enteros positivos menores iguales que 2001 son múltiplos de 3 o 4 pero no de

5 ?3. 25 olímpicos y 25 olímpicas se sientan en una mesa circular. Prueba que siempre es

posible encontrar una persona que está entre dos olímpicas.4. Una araña tiene un calcetín y un zapato para cada pie. En cuántos diferentes órdenes

puede ponerse los calcetines y los zapatos en sus patas ? Y qué pasaría con el cien-pies ?5. Sea a

bun número racional positivo tal que mcd(a, b) = 1. Considere el producto ab,

para cuántos números racionales entre 0 y 1, ab = 20! ?FF Nivel Intermedio

1. Sea n un impar mayor que 1. Encuentre el número de permutaciones p del conjunto{1, 2, ..., n} para los cuales

|p(1)− 1|+ |p(2)− 2|+ ...+ |p(n)− n| = n2 − 12 .

2. En una secuencia de volados, podemos hacer un record de cuándo un Sol es seguidopor Cara, un Sol por Sol, una Cara por Sol y una Cara por Cara. A estos eventos losdenotamos : SC, SS,CS,CC. Por ejemplo en la secuencia

CCSSCCCCSCCSSSS,

de 15 volados observamos que hay 5 CC, 3 CS, 2 SC y 4 SS. Cuántas secuencias de15 volados tendrán exactamente 2 CC, 3 CS, 4 SC y 5 SS ?

3. Encuentre el número de subconjuntos de {1, ..., 2000} tales que la suma de sus elementoses divisible por 5.