COMBINACIONESIng. Gerardo Valdés Bermudes

¿CUANTOS TRIÁNGULOS?

Considérense 6 puntos en el plano, sin que haya tres en la misma recta. Marquense con F, A, C, T, O, R. ¿Cuantos triángulos pueden ser dibujados utilizando estos puntos como vértices?

A

F

R

C

T

O

CONTEO DE COLECCIONES NO ORDENADAS

Se aprendió que se podían hacer 6P3 = 6 • 5 • 4 = 120 palabras código con 3 letras de las

letras de FACTOR. No obstante, cada triangulo puede marcarse con 3! = 6

palabras código diferentes. Para encontrar el numero de triángulos se debe por lo

tanto dividir el numero de palabras código entre 3!.

20123456

!336 =

⋅⋅⋅⋅=P

COMBINACIONES

Una colección no ordenada de objetos se llama combinación de esos objetos. Si se eligen r objetos de un conjunto de n objetos distinguibles, el subconjunto resultante se llama combinación de n cosas tomadas de r en r.

El numero de tales combinaciones se denota por nCr

Por ejemplo 6C3 es el número de combinaciones de 6 cosas tomadas de 3 en 3.

20123456

!336

36 =⋅⋅⋅⋅== P

C

NOTACIÓN Si , ,el símbolo de combinación

se representa:

Una buena manera de recordar esto es que se quieren r factores en el numerador y en el denominador.

En el numerador, se empieza con n y se va bajando; en el denominador se empieza con r y se va bajando.

La respuesta debe ser un entero. Esto significa que el denominador tiene que dividir exactamente al numerador.

nr ≤≤1 rnC

12)...2)(1()1)(2)...(2)(1(

! ⋅−−+−+−−−==

rrrrnrnnnn

r

PC rnrn

EJERCICIOS Calcular:

=25C

=412C

=810C

=210C

NOTACIÓN

Obsérvese que

Es decir:

Además, sabiendo que: Sustituyendo en: Se obtiene:

=810C 210C

=rnC rnnC −

)!(!rnn

Prn −=

!rP

C rnrn =

)!(!!rnr

nCrn −

=