2.2.4 Permutaciones y combinaciones

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Daniel García Chávez

Marzo 2010

INSTITUTO TECNOLOGICO DE REYNOSA

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PERMUTACIONES En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

 

Una permutación es una combinación ordenada. Si el orden sí importa es una permutación

Hay dos tipos de permutaciones:Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

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Permutaciones con repeticiónSon las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)Por ejemplo , hay 10 números para elegir (0,1,...,10) y eliges 3 de ellos:10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

EJEMPLO

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Permutaciones sin repeticiónEn este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.                             Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:16 × 15 × 14 = 3360Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16

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COMBINACIONES

La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones.

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EJEMPLOS :Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). 

PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel

SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael

TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo

 CAMBIOS

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EJEMPLO

Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden

pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma

ensalada.

Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.