Combinatoria y definiciones básicas de...

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Combinatoria y definiciones básicas de

probabilidad


Definiciones de probabilidad

• Probabilidad como intuición

• Probabilidad como la razón de resultados favorables

• Probabilidad como medida de la frecuencia de ocurrencia

• Definición axiomática de la probabilidad


Probabilidad como intuición

En este modelo, la probabilidad intenta predecir eventos con

base en la intuición. Por ejemplo, “mañana lloverá” o “él

está manejando muy rápido”.


Probabilidad como la razón de

resultados favorables

En esta línea de razonamiento, la cual es no experimental, la

probabilidad de un evento puede ser calculada a priori a

través del cálculo del número de maneras en que un

determinado evento E puede ocurrir seguido por el cálculo de

la razón NE/N, donde N representa el conjunto de todos los

resultados posibles. Este modelo supone que todos los

resultados son igualmente probables.


Probabilidad como medida de la frecuencia

de ocurrencia

Sea E una colección de resultados que poseen un cierto

atributo. Suponga que un experimento o juego es repetido N

veces y que NE representa el número de veces que el

resultado E fue obtenido. La razón

para N suficientemente grande se define como la

probabilidad de A.

n

nAP E

n lim)(


Definición axiomática de la

probabilidad

La probabilidad P[·] asigna a cada evento E en el universo de

posibilidades un número P[E], llamado la probabilidad

de E, tal que:

1. P[E] ≥ 0

2. P[] = 1

3. P[EF] = P[E] + P[F] si EF = .


Definición axiomática de la

probabilidad

Los tres axiomas básicos de la probabilidad son suficientes

para establecer toda una serie de definiciones básicas. En

particular:

4. P[] = 0

5. P[E] = 1 - P[EC]

6. P[EFC] = P[E] - P[EF]

7. P[E F] = P[E] +P[F] - P[EF]


Definición axiomática de

la probabilidad

ji

n

i

i

n

i

i EEEPEP si 11

El último resultado de la lámina anterior nos permite escribir

la cota superior del operador unión como sigue:

Por lo que,

n

i

i

n

i

i EPEP11


Probabilidad conjunta

Suponga que se realizan experimentos del estado del tiempo

en la ciudad de México. En particular estamos interesados

en tres eventos A, B, C, tales que:

• A es el evento en que en un cierto día la temperatura

ambiente estuvo por encima de los 15C;

• B es el evento en que en un determinado día haya caído

una precipitación pluvial superior a los 8 milímetros y;

• C es el evento en que en un determinado día tanto A como

B hayan acontecido.



Puesto que C es un evento, P[C] es su probabilidad de

ocurrencia de acuerdo a las definiciones axiomáticas dadas

anteriormente. Pero P[C] = P[AB]. Por lo que definimos el

número P[AB] como la probabilidad conjunta de los

eventos A y B.

Claramente, la probabilidad conjunta puede ser extendida a

más de dos eventos, por ejemplo, P[EFG] es la

probabilidad conjunta que E, F, y G ocurran

simultáneamente.



Suponga ahora que ni denota el número de días (veces) que el

evento i ha ocurrido. Entonces, a través de un período de 1000

días (n = 1000) se hicieron las siguientes observaciones: nA =

811, nB = 306, nAB = 290. Utilizando el modelo de frecuencia de

eventos de la probabilidad concluimos:

811.01000

811

n

nAP A

306.01000

306

n

nBP B

29.01000

290

n

nABP AB


Probabilidad Condicional

AP

ABP

nn

nn

n

n

A

AB

A

AB /

/

Considere ahora el cociente nAB/nA. Este valor representa la

frecuencia con la cual el evento C = AB ocurrió cuando A

aconteció. En palabras, es el número de días en que la cantidad

de lluvia excedió 8 milímetros en aquellos días en los cuales la

temperatura excedió los 15C. Note que:

Por lo que se puede definir el concepto de probabilidad condicional

P[B|A] como:

0,| APAP

ABPABP


Probabilidad incondicional

n

i

iA1

• En muchos problemas de ingeniería conviene calcular

probabilidades incondicionales, P[B], de un evento B en

términos de la suma ponderada de probabilidades condicionales.

Teorema Suponga que A1, A2, …, An son n eventos mutuamente

excluyentes, esto es, . Entonces, con P[Ai]0 para toda

i, se tiene

nn APABPAPABPBP || 11


Probabilidad incondicional:

ejemplo

Para El canal simétrico binario mostrado en la figura, calcule

P[Y=0] y P[Y=1].

X=0, P[X=0]=1/2 0.9

Y = 0

X=1, P[X=1]=1/2 0.9

Y = 1

0.1

0.1


Probabilidad incondicional:

ejemplo

Para El canal simétrico binario mostrado en la figura, calcule

P[Y=0] y P[Y=1].

P[Y = 0] = P[Y = 0|X = 0]P[X = 0] + P[Y = 0|X = 1]P[X = 1]

= (0.9)(0.5) + (0.1)(0.5) = 0.5 = P[Y=1]

X=0, P[X=0]=1/2 0.9

Y = 0

X=1, P[X=1]=1/2 0.9

Y = 1

0.1

0.1


Independencia

Se dice que dos eventos A, B con P[A] > 0 y P[B] >0 son

independientes, si y sólo si P[AB] = P[A]P[B]. Puesto que

en general, P[AB] = P[B|A]P[A] = P[A|B]P[B], se

concluye que para eventos independientes se cumple que:

P[A|B] = P[A] y P[B|A] = P[B]

Tres eventos son independientes si y sólo si:

P[ABC] = P[A]P[B]P[C] y P[AB] = P[A]P[B];

P[AC] = P[A]P[C]; P[BC] = P[B]P[C]


Nuevamente el canal binario

simétrico

Para el canal simétrico binario mostrado en la figura, sabiendo que

un 1 ha sido recibido ¿Cuál es la probabilidad que un 1 fue

transmitido?

X=0, P[X=0]=P0

1- Y = 0

X=1, P[X=1]=1- P0=P1 1-

Y = 1



simétrico

Sabiendo que un 1 ha sido recibido ¿Cuál es la probabilidad que un 1

fue transmitido?

X=0, P[X=0]=P0

1- Y = 0

X=1, P[X=1]=1- P0=P1 1-

Y = 1

01

1

1

1

00|111|1

11|1

1

1,11|1

PP

P

XPXYPXPXYP

XPXYP

YP

YXPYXP



simétrico

01

1

1

1

00|111|1

11|1

1

1,11|1

PP

P

XPXYPXPXYP

XPXYP

YP

YXPYXP


Ejemplo: prueba de cáncer

Suponga que existe una prueba de cáncer con las siguientes

propiedades. Sea:

– A := Evento que la prueba dictamine que el paciente tiene cáncer

– B := Evento que la persona tiene cáncer

– AC := Evento que la prueba dictamine que el paciente está sano

– BC := Evento que la persona está sana

Se conoce que P[A|B] = P[AC|BC] =0.95 y P[B] = 0.005.

¿Es la prueba confiable?


Ejemplo: prueba de cáncer

Suponga que existe una prueba de cáncer con las siguientes

propiedades. Sea:

– A := Evento que la prueba dictamine que el paciente tiene cáncer

– B := Evento que la persona tiene cáncer

– AC := Evento que la prueba dictamine que el paciente está sano

– BC := Evento que la persona está sana

Se conoce que P[A|B] = P[AC|BC] =0.95 y P[B] = 0.005.

¿Es la prueba confiable?

087.0

95.005.095.0005.0

95.0005.0

||

||

CC BPBAPBPBAP

BAPBPABP

¡Sólo en el

8.7% de los

casos se da

el diagnóstico

correcto!


Combinatoria

• Considera una población de n elementos a1, a2,…, an.

Cualquier arreglo ordenado ak1, ak2,…,akr de r símbolos se

conoce como una muestra ordenada de tamaño r.

• Considera una urna genérica que contiene n pelotas

numeradas.

Pregunta ¿De cuántas maneras se pueden formar muestras

ordenadas de tamaño r?

Se consideraran dos casos.


Muestras con reemplazo

• Después que se extrae una pelota de la urna su número es

anotado y después la pelota es regresada a la urna.

• Note que para la primera muestra hay n opciones, y para la

segunda, también n opciones.

• Por lo tanto para una población de n elementos, existen nr

muestras ordenadas de tamaño r que pueden ser formadas.

• Ejemplo: ¿Cuántas contraseñas se pueden formar

utilizando el alfabeto inglés [26 letras] y un tamaño fijo de

8 caracteres? 268.


Muestras sin reemplazo

• Después que cada pelota es extraída, no se vuelve a

regresar a la urna.

• Note que para la primera muestra hay n opciones, para la

segunda, n-1 opciones, etc.

• Por lo tanto para una población de n elementos, existen

.

• Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar tres

libros de un total de 10? (10)3 = 10*9*8= 720.

!

!121),(

rn

nrnnnnnrnP r


Combinaciones

Pregunta frecuente en probabilidad: ¿Cuántos grupos, esto es,

sub-poblaciones de tamaño r pueden ser formados de una

población total de tamaño n?

Por ejemplo, suponga que se tienen 6 pelotas numeradas,

¿cuántos grupos de tamaño 2 pueden ser formados?

12 23 34 45 56

13 24 35 46

14 25 36

15 26

16


Combinaciones

Note que el resultado anterior es diferente del número de

muestras ordenadas que pueden ser formadas sin

reemplazo:

12 21 31 41 51 61 11 21 31 41 51 61

13 23 32 42 52 62 12 22 32 42 52 62

14 24 34 43 53 63 13 23 33 43 53 63

15 25 35 45 54 64 14 24 34 44 54 64

16 26 36 46 56 65 15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

Con reemplazo


Combinaciones

• Una fórmula general para el número de subpoblaciones

C(n, r) de tamaño r en una población de tamaño n puede

ser calculada como sigue.

• Ya convinimos que el número de muestras ordenadas de

tamaño r que se pueden formar es P(n,r). Considere una

subpoblación específica de tamaño r. Para este grupo hay

r! diferentes muestras ordenadas, por lo tanto se puede

escribir: C(n, r) r! = P(n,r). Es decir:

r

n

rrn

n

r

nrnC r

!)!(

!

!,


Teorema del Binomio

n

k

knknba

k

nba

0

• Una fórmula muy famosa que se remonta a los tiempos de

Newton se conoce como el teorema del binomio:

• Con ayuda del teorema del binomio se puede demostrar

[pero, ¿cómo?]

n

k

n

k

n

0

2


Distribución binomial Bernoulli

Suponga que la probabilidad que un evento ocurra es p y que

no ocurra es q = 1-p. Considere además que se realizan

un total de n experimentos Bernoulli, de los cuales k son

exitosos y el resto son fracasos.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de observar exactamente k

éxitos?

Una posibilidad sería: ppp…pqqq…q = pkqn-k

¿Pero cuántas posibilidades hay en total?

Respuesta en la próxima lámina


Distribución binomial Bernoulli

knkknk qpk

nqpknCpnkb

),(),;(

N = 10;

P= 2/3.

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