UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

FACULTAD DE PRODUCCION Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

“Primer año”

CURSO: Estructuras Discretas I

TEMA: COMO LAS TECNICAS DE CONTEO AYUDA A LAS INGENIERIAS EN LA SOLUCION DE DIVERSOS PROBLEMAS

DOCENTE: Olha Sharhorodska

ALUMNO:Ticona Bejarano Alex Daniel

Paredes Sánchez Javier

Kana Pallani Elmer

GRUPO: C

AREQUIPA-PERU

2013

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INDICE

1. CARATULA 12. INDICE 23. INTRODUCCION 34. CAPITULO I: HISTORIA 55. CAPITULO II: TECNICAS DE CONTEO6. CAPITULO III: APLICACIÓN DE LAS TECNICAS DE CONTEO EN LAS

INGENIERIAS 96.1 EN LA ESTADISTICA 96.2 EN LAS PROBABILIDADES 116.3 EN EL USO DE EXEL 12

7. CONCLUSIONES 158. ANEXOS 169. BIBLIOGRAFIA 18

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INTRODUCCION

El conteo es una de las habilidades numéricas más tempranas en el desarrollo infantil y en nuestra sociedad,  principalmente en la familia, ya que en forma involuntaria se involucra al niño desde muy temprana edad a este sistema al decirle por ejemplo: compra un kilo de arroz, medio kilo de azúcar, una leche, un sol de huevos  que equivale a cuatro huevos, o un sol de pan…etc.Todas las maestras de una u otra forma inculcan o introducen a los niños las diferentes formas de conteo dentro y fuera del aula, como por ejemplo:Se realiza el conteo con: Temperas, crayones, cuentos, chapas, palitos de chupetes, cuentas, carretes, semillas de maíz, de zapallo, carrizos, plumones, colores, nuestros zapatos, las loncheras, las sillas, las mesas , piedras, tarritos, etc.Los docentes deben seguir incorporando las diferentes formas de conteo para constituir las bases fundamentales referentes a las matemáticas para futuros aprendizajes en nuestros niños.

-      Según Piaget “existe una estrecha relación entre la construcción del concepto numérico y las  experiencias de conteo”.En mi comunidad se han empleado diferentes formas de conteo: utilizando semillas de maíz, arroz, cebolla, sandía, menestras, choloques, y  en lo tradicional el uso de los dedos que es una forma o estrategia más frecuente que emplearon  en mi comunidad, Incluso todavía hacen uso frecuente del famoso “ TRUEQUE “ para poder adquirir alimentos u objetos que deseen ya que los pobladores son emigrantes de la región sierra, selva y en estas zonas es muy frecuente cambiar una cosa por otra (un intercambio) en mi comunidad.Para Ed. Labinowicz, “El conteo es un proceso que el niño va construyendo gradualmente en estrecha relación con el  lenguajes cultural de su  entorno”.Por lo tanto una conclusión importante es la siguiente:Es de suma importancia  enseñar a los niños las formas de conteo que hubo en nuestra comunidad ya que su evolución se ha venido dando a  pasos agigantados, y así podrá trascender como si fuera un patrimonio cultural, también se debe rescatar y aplicar dentro de las aulas en el proceso de enseñanza – aprendizaje; debemos tener en cuenta que cada niño viene de casa con un potencial único, y los maestros deben inculcar nuevos conocimientos de conteo para poder desarrollar el pensamiento lógico de la persona y poder estudiar con mayor eficacia una carrera de ingeniería.

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HISTORIA DEL CONTEO

En todas las culturas de la Antigüedad estuvieron presentes implícita o explícitamente los temas combinatorios. Por ejemplo, el famoso libro “I Ching”, que se empezó a escribir hacia el 1200 a.C., aunque su propósito era el oráculo, su estructura condujo a valorarlo matemáticamente, ya que en él se implica un sistema de numeración binario, geométrico y aritmético, y el uso de permutaciones. Con cada tirada de tres monedas genera una línea continua, representativa de todos los números impares, o bien una línea partida, que representa a todos los pares; con tres lanzamientos de las monedas se obtiene un trigrama, de 8 posibles, que se traza sobre papel, de abajo hacia arriba; con otros tres lanzamientos se obtiene un segundo trigrama, que al superponerse al anterior forma un hexagrama, de 64 posibles; con los dos trigramas obtenidos, se busca en una tabla el número que resulta de la combinación de ambos: fi las para el primero y columnas para el segundo, y a partir de él se obtiene la interpretación de la respuesta del oráculo. En el siglo III a.C. Pingala escribió el “Chandahsutra”, el primer tratado en sánscrito sobre la prosodia; interesado en la pureza de la expresión, quería saber de cuántas maneras se podría formar una métrica védica de seis sílabas, con sílabas cortas y largas, y mediante el cálculo de permutaciones y combinaciones, obtuvo la primera descripción conocida de un sistema de numeración binario; también encontró el número de métricas que tenían n notas largas y k notas cortas, lo que fue equivalente a encontrar los coefi cientes binomiales.Luego, las aportaciones registradas sobre análisis combinatorio fueron aisladas. Los griegos tuvieron que enfrentar y resolver problemas de combinatoria, pero no hay evidencia de que hayan desarrollado teoría al respecto. De los romanos, que se caracterizaron por su desinterés por las matemáticas, sólo se destaca Boecio, en el siglo V, con la regla para encontrar las combinaciones de n objetos tomados de 2 en 2. En la India, en el siglo XI, Bhaskara dio reglas para calcular ordenaciones y combinaciones con y sin repetición, así como sus aplicaciones. En 1321 el judío francés Levi ben Gershon, conocido como Gersónides, en su libro de aritmética “Maaseh Hoshev”, incluyó identidades combinatorias y coefi cientes binomiales. También en el siglo XIV, Nicolás de Oresme realizó cálculos combinatorios, expresándolos retóricamente, como correspondía a su época. Hacia 1540, el italiano Tartaglia parece haber utilizado los conceptos combinatorios en estudios sobre el juego de dados, así como en el cálculo de la potencia de un binomio. En 1559, el francés Jean Borrel, mejor conocido como Buteo, mostró su gran conocimiento de las leyes de la combinatoria en su libro “Logística”, donde presentó un esquema para la construcción de un candado de combinación, formado por varios cilindros rotatorios, que al coincidir en la permutación correcta, permitían su apertura. La idea original de convertir números en palabras, como métodos mnemotécnicos, se le atribuye al francés Pierre Hérigone en su “Cursus Mathematicus”, de 1634.

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CAPITULO I: HISTORIA

Las matemáticas empiezan con el conteo. Sin embargo, no es razonable sugerir que el conteo de la antigüedad era matemáticas. Se puede decir que las matemáticas empiezan solamente cuando se empezó a llevar un registro de ese conteo y, por ello, se tuvo alguna representación de los números.

En Babilonia, las matemáticas se desarrollaron a partir del 2000 a. C. Antes de esto, durante un largo periodo había evolucionado un sistema numérico posicional con base 60. Esto permitió representar números arbitrariamente grandes y fracciones y se convirtió en los cimientos de un desarrollo matemático más fuerte y dinámico.

Problemas numéricos tales como el de las tripletas pitagóricas (a,b,c) con a2 + b2 = c2 fueron estudiados desde al menos el 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron estudiados en el contexto de resolver problemas numéricos. Las ecuaciones cuadráticas también fueron estudiadas y estos ejemplos llevaron a una especie de algebra numérica.

También se estudiaron problemas geométricos relacionados con figuras similares, área y volumen y se obtuvieron valores para π.

La base matemática babilónica fue heredada a los griegos y el desarrollo independiente de las matemáticas griegas empezó alrededor del 450 a. C. Las paradojas de Zenón de Elea condujeron a la teoría atómica de Demócrito. Una formulación más precisa de conceptos los llevó a darse cuenta de que los números racionales no bastaban para medir todas las longitudes. Surgió entonces una formulación geométrica de los números irracionales. Estudios sobre áreas condujeron a una forma de integración. La teoría de las secciones cónicas muestra una cima en el estudio de las matemáticas puras de Apolonio. Muchos otros descubrimientos matemáticos surgieron de la astronomía, por ejemplo, el estudio de a trigonometría

.CAPITULO II: TECNICAS DE CONTEO

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INTRODUCCION

Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo? Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras? Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de  todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

¿Qué SON LAS TECNICAS DE CONTEO?

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Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se recurre al análisis combinatorio, que es una manera más sofisticada de contar. Principio fundamental del conteo 1. Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1*n2*n3…

REGLA DEL PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN)Si los eventos A y B pueden ocurrir de m y n maneras distintas respectivamente, entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado es m x n. Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El número total de posibilidades es el producto del número de posibilidades de cada evento. Por ejemplo, si los eventos A, B, C y D pueden ocurrir de m, n, o y p maneras distintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estos eventos pueden ocurrir en ese orden, es m x n x o x p. Ejemplos 1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar las prendas? Solución: Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z = 2), los pantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces: Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24Existen 24 posibilidades de combinar las prendas. Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 20113. 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 personas en una fila? Solución: La primera posición en la fila (P1), puede ser ocupada por cualquiera de las 7personas (P1 = 7); la segunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente.P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040Existen 5040 maneras de colocar a 7 personas en una fila. 3. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personas alrededor de una mesa? Solución: La posición relativa de todos los lugares es similar, por lo que la colocación de las primeras personas es irrelevante, a diferencia de su colocación en una fila; cuando la primera persona se ha colocado en un lugar, quedas 3 opciones para la segunda persona; la tercera persona tiene 2 opciones y la última sólo una. Esto equivale a:3 x 2 x 1 = (n – 1)! = 3! = 6 4. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. Solución: El director puede elegir a la pareja principal de:6 x 8 = 48 formas.

REGLA DE LA SUMAUna primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Ejemplo 1. Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellas pueda ocurrir simultáneamente.

PERMUTACIONES

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Las permutaciones de un numero n de objetos de un conjunto es cualquiera de las diferentes maneras de ubicar esos objetos en un orden definido. Se utiliza el símbolo nPn o P(n) cuando se toman las permutaciones de igual número n de elementos u objetos del conjunto. Si se desean ordenar n objetos diferentes en una línea, el primero objeto se puede escoger de n maneras, el segundo de n-1; y el tercero de n-2 y así, sucesivamente, hasta 1.nPn = P(n) = (n) (n-1) (n-2)… (1) = n! Ejemplos 1. ¿De cuántas maneras se pueden permutar los 3 dígitos del número 478?Solución:3P3 = P (3) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6Las permutaciones son: 478, 487, 748, 784, 847 y 874.Cuando las permutaciones se hacen de un tamaño r menor al número n de elementos del conjunto, se utilizan indistintamente los símbolos nPr o P(n,r).De un grupo n de objetos, deseamos ordenar r objetos en una línea. El primer objeto se puede escoger de n maneras; el segundo de n-1 y así, sucesivamente, de manera que el último de ellos será n – (r-1) = n – r + 1.nPr = P(n, r) = (n) (n-1)(n-2)… (n-r+1

COMBINACIONESUna combinación es cualquier selección de objetos en la que no importa el orden, a diferencia de una permutación, donde el orden si es importante. Por ejemplo, ABC, ACB y BAC son permutaciones distintas; mientras que, por contener los mismos elementos, se pueden considerar como una misma combinación. Por lo tanto, hay más permutaciones que combinaciones de un número n de objetos, tomados de tamaño r en r.Las combinaciones de n objetos, tomados en r en r, se representa por , nCr,C(n,r) o Cn,r y se obtiene mediante las operaciones: = nCr = C(n,r) = Cn,r = = =El número de combinaciones nCr está relacionado con los subconjuntos de un conjunto. Por ejemplo, el número de subconjuntos de 2 elementos del conjunto A que tiene 5 elementos es:A = {a, e, i, o, u} = 5C2 = C(5,2) = C5,2 = = = = 10Los 10 subconjuntos de 2 elementos son: ae, ai, ao, au, ei, eo, eu, io, iu, ou. Ejemplos 1. ¿Cuántos subconjuntos de 6, 8 y 10 elementos tiene el conjunto Q?Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o}Solución: Valentín & Cynthia : Copyright © # a 9 de diciembre de 2011

CAPITULO III: APLICACIÓN DE LAS TECNICAS DE CONTEO EN LAS

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INGENIERIAS

EN LA ESTADISTICA

La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las observaciones. Las estadísticas sirven en administración y economía para tomar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y administrativos. El problema de describir, resumir y analizar grandes cantidades de datos condujo a la creación de métodos y la utilización de diferentes técnicas de conteo que constituyen lo que ahora se denomina estadística. Existen diversas definiciones de estadística, sin embargo nosotros describiremos la estadística como “el conjunto de procedimientos científicos que permite captar, clasificar, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basado en tal análisis”. Clasificación de la Estadística La Estadística se clasifica en:Estadística Descriptiva (deductiva): Parte que da los procedimientos para transformar los datos obtenidos en forma más útiles para describir la naturaleza de los datos. Generalmente los datos de una muestra puede describirse de tres maneras tabular, gráficas y aritmética. La descripción tabula: se lleva a cabo mediante la construcción de tablas.La descripción gráfica: requiere la elaboración de esquemas o gráfica que describan de una manera más objetiva  la naturaleza de los datos.Descripción Aritmético: es necesario calcular determinados números cuya interpretación proporciona aspectos de la naturaleza del conjunto de datos.Estadística Inferencial: Se encarga de definir los métodos que posibilitan la toma de decisiones concernientes a una población que se basa en una muestra.  Comprende técnicas con la que se basa en una muestra sometida a la observación sobre la población o un proceso estadístico. A las características de medida de una muestra se la llama estadísticas muestrales y a las característica de medida de una población y el procedimiento para la medición de las características de todos  los miembros de la población de le llama Censo. La característica de un grupo  de población se basa en datos de un conjunto pequeño de muestra de observación. En resumen el propósito de la estadística inferencial es que si hay un problema por en una población nos damos cuenta el grave del problema a partir de  una muestra es decir, escogemos una porción de la población para darnos cuenta del resultado. 

Uso y Aplicación de la Estadística

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 Uso de la estadísticaLa estadística es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas:Educación,Sociología,Geografía humana,Economía, etc.Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones.También es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situación.La estadística está relacionada con el estudio del proceso cuyo resultado es más o menos imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones. La estadística se ocupa de establecer leyes generales a partir de los datos correspondiente a muestra, mediante la aplicación del cálculo de probabilidades. La misma la podemos utilizar para obtener información de un censo de población. Aplicación de la estadística Se asocia a estudios demográficos, económicos y sociológicos. Casi todos los campos de la ciencia emplean instrumentos estadísticos de importancia fundamental para el desarrollo de su modelo de trabajo. Campos de aplicación La estadística es una ciencia de aplicación práctica casi universal en todos los campos científicos: Ciencias naturales: se emplea con profusión en la descripción de modelos termodinámicos complejos en física cuántica, en teoría cinética de los gases. Ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología aplicada. Economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre múltiples parámetros macro y microeconómicos. Ciencias médicas: permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los enfermos, el grado de eficacia de un medicamento.

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EN EL USO DE LAS PROBABILIDADES

La importancia de la probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.En efecto, la probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles. Así, el ejemplo más tradicional consiste en definir cual es la prevalencia de obtener un número al arrojar un dado. Sobre seis resultados posibles (todas las caras), sólo es posible lograr un número por cada vez que el dado es arrojado. En este caso, la probabilidad puede expresarse como uno en seis, un sexto, la sexta parte o, en términos matemáticos precisos, 0.16 ó 16%.La teoría de la probabilidad, en especial en el marco de sistemas más complejos, se aplica en áreas variadas del conocimiento, como las ciencias exactas (estadística, matemática pura y aplicada, física, química, astronomía), las ciencias sociales (sociología, psicología social, economía), la astronomía, la meteorología y, en especial en forma más reciente, la biomedicina.La importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos. Cuanto mayor sea la cantidad de datos disponibles para calcular la probabilidad de un acontecimiento, más preciso será el resultado calculado. Dada la complejidad de los sistemas en los que suele aplicarse la teoría de la probabilidad, se requiere de modelos informáticos y estadísticos de gran elaboración, que serían imposibles de no contarse con los modernos recursos tecnológicos relacionados con la computación.Un buen ejemplo de su aplicabilidad cotidiana lo constituyen los análisis del comercio de las commodities (materias primas) en las relaciones internacionales actuales. Dado que gran parte de los factores involucrados en la estimación de la producción son azarosos (vientos, humedad ambiental, exposición solar, mano de obra real, condiciones económicas y financieras locales, avatares políticos regionales, entre otros), la teoría de la probabilidad resulta de gran importancia, ya que intenta ajustar en conceptos matemáticos cual será el devenir de los acontecimientos para calcular, por ejemplo, la producción final de cereales, combustibles fósiles y otros recursos de un área geográfica.Por lo tanto, la probabilidad es una herramienta fundamental en la planificación estratégica de los movimientos sociales, económicos y laborales de toda la comunidad.

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EN EL USO DE EXEL

EXEL es una herramienta utilizada por la mayoría de ingenieros para realizar la recolección, interpretación y cuantificación de datos.USO DE EXCEL PARA CALCULAR COMBINACIONES EN JUEGOS DE AZAR.ANÁLISIS COMBINATORIO MEDIANTE LA FUNCIÓN COMBINAT DE LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL:El Análisis Combinatorio es fundamental para calcular probabilidades de resultados en los juegos de azar. Si un jugador no desea realizar el cálculo de combinaciones mediante la aplicación de la fórmula nCr, ni desea emplear el Triángulo de Pascal para el mismo propósito, ni perder tiempo elaborando la representación gráfica del total de combinaciones que puede arrojar un juego de azar, entonces puede usar la útil función COMBINAT de la hoja de cálculo de Excel, para lo cual debe seguir los siguientes pasos:(ver gráfico numero 1 )

Es fácil usar una hoja de cálculo como la de Excel de Microsoft para obtener los resultados del total de las combinaciones que pueden ocurrir cuando un determinado número de elementos son tomados aleatoriamente de un mismo Espacio de Eventos: verbigracia, balotas numeradas que son tomadas de una misma urna, cartas que son sacadas de un mismo mazo, etc. Como lo muestra la anterior gráfica, en primer lugar se debe posicionar el cursor sobre cualquier celda vacía de un hoja de cálculo, en este caso en la celda A1, y a continuación se acciona la pestaña «Insertar» y del menú desplegable se escoge la opción «Función».(ver gráfico numero 2)Cuando es activada la opción «Función» se abre automáticamente una ventana que ofrece diversas clases de funciones que pueden ser escogidas: como funciones financieras, matemáticas, estadísticas, lógicas, etc. En este caso, para poder realizar cálculos de combinaciones, es necesario escoger las funciones «Matemáticas y Trigonométricas».(ver gráfico numero 3)

Al seleccionar la categoría de las funciones Matemáticas y Trigonométricas, automáticamente en la ventana del recuadro inferior se despliega un listado con todas las posibles funciones que pertenecen a esta categoría, y para poder realizar cálculos combinatorios sólo basta escoger la función «COMBINAT».EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COMBINACIONES CON EXCEL EN JUEGOS DE AZAR:Supongamos que en una urna hay 3 dulces de diferente sabor: Menta, Chocolate y Fresa. Estos 3 dulces conforman un mismo «Espacio de Eventos», integrado por 3 elementos diferentes que pueden combinarse entre sí de diversas maneras según cómo sean seleccionados aleatoriamente. Un espectador desea calcular en la hoja Excel la cantidad de posibles combinaciones que se pueden formar entre esos 3 dulces si aleatoriamente son extraídos de la urna tomando una cantidad diferente en cada ocasión.

Así, una vez que ha seleccionado la función «COMBINAT» en la hoja de cálculo, se abre automáticamente una nueva ventana para la introducción de los «Argumentos de función», es decir, para introducir los datos que serán operados. A continuación en la casilla superior de esa ventana identificada como «Número» introduce la cantidad de elementos que

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conforman el conjunto analizado, es decir, introduce el número 3 que corresponde a la cantidad de dulces de diferente sabor que hay en la urna y que constituyen el Espacio de eventos a analizar. Si en primer lugar el espectador calcula las combinaciones que pueden ocurrir cuando la mano es introducida en la urna y no se selecciona ningún dulce (equivalente a calcular 3C0), entonces en la casilla identificada como «Tamaño» debe colocar el número 0 que corresponde a no seleccionar ningún elemento del conjunto, y automáticamente el resultado de la fórmula es 1 como se observa en la gráfica superior, lo que equivale a que en este caso hay una sola combinación posible que obviamente está formada por cero elementos (introducir la mano en la urna y no sacar ningún dulce).Si se asume que la mano es introducida en la urna y de los 3 dulces disponibles se saca aleatoriamente un solo dulce a la vez (equivalente  calcular 3C1), entonces como se observa en la anterior gráfica en la casilla de «Tamaño» se coloca el número 1 que equivale a que del conjunto de eventos se selecciona aleatoriamente sólo uno, y automáticamente el resultado es 3, lo que significa que hay 3 posibles combinaciones diferentes cuando la mano es introducida en la urna y se saca 1 dulce a la vez: o que salga de Menta, o que salga de Chocolate, o que salga de Fresa. En este caso se puede afirmar que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos 3 eventos es de: P = 1/3 = 0,3333.

Si ahora se asume que la mano es introducida en la urna y se sacan 2 dulces a la vez (equivalente a calcular 3C2), entonces como se observa en la anterior gráfica en la casilla de «Tamaño» se debe colocar el número 2 que indica que del conjunto de eventos se van a seleccionar aleatoriamente 2 elementos a la vez, lo cual automáticamente arroja que el resultado es 3, ya que al introducir la mano en la urna y sacar de a 2 dulces a la vez las posibles combinaciones son sólo 3: que salga Menta−Chocolate, o que salga Menta−Fresa, o que salga Chocolate−Fresa. No hay que olvidar que en este caso las combinaciones son equivalentes a todos sus inversos, y por tanto la combinación Menta−Chocolate es igual que la combinación inversa Chocolate−Menta, y la combinación Menta−Fresa es equivalente a su inverso Fresa−Menta, y la combinación Chocolate−Fresa es igual a la inversa Fresa−Chocolate. En este caso se puede afirmar que la probabilidad de introducir la mano en la urna y sacar cualquier combinación entre 2 dulces, como la combinación Menta−Chocolate, tiene un valor de: P = 1/3 = 0,3333.

Finalmente, como se observa en la anterior imagen, si se asume que la mano es introducida en la urna y a la vez se sacan los 3 dulces disponibles, entonces al colocar el número 3 en la casilla «Tamaño» automáticamente se obtiene que sólo hay 1 sola combinación posible: que salga Menta−Chocolate−Fresa. En este caso también se tiene en cuenta que esa única combinación es equivalente a su inverso y a todas las demás combinaciones conformadas por los mismos elementos como: Menta−Fresa−Chocolate o Chocolate−Fresa−Menta o Fresa−Menta−Chocolate, etc. En verdad en este ejemplo mediante el uso de la hoja de cálculo Excel se han obtenido en cada caso los valores correspondientes al desarrollo de la fórmula: 3C0+3C1+3C2+3C3 = 1+3+3+1 = 8combinaciones; solo que para el cálculo de las probabilidades se ha tenido en cuenta la cantidad de combinaciones posibles referidas a un número específico de elementos que son tomados de la urna en cada ocasión: cuando se toma 1 elemento sólo hay 3 combinaciones posibles, cuando se toman 2 elementos a la vez sólo hay 3 combinaciones posibles, etc.

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Como lo muestra la anterior imagen, si se trata de una partida de póquer Texas Hold’em un analista usando la hoja de cálculo Excel puede concluir que si el mazo de 52 cartas está completo, entonces en sus primeras 2 cartas (Pocket Cards) extraídas de ese mazo podría recibir cualquiera de las 1.326 combinaciones posibles que se pueden formar cuando 2 cartas son tomadas del conjunto de 52, lo cual también es resultante de calcular la fórmula 52C2, y por tanto la probabilidad de cada posible combinación es de P = 1/1.326.

Y si se trata del Draw Poker, entonces usando la hoja de cálculo Excel se puede concluir que dentro de las primeras 5 cartas el jugador puede recibir cualquiera de las 2.598.960 combinaciones posibles que se pueden formar cuando 5 cartas son tomadas aleatoriamente de un mazo completo de 52 cartas, lo cual también es resultante de calcular la fórmula 52C5, y por tanto la probabilidad de ocurrencia de cada posible combinación es de P = 1/2.598.960.Obviamente, si en todos estos ejemplos últimos ejemplos el mazo de cartas se ha reducido a 50, 48, 45 o menos cartas, entonces esa cifra es la que debe ser incluida en la casilla «Número» de los argumentos de la función, y según sea el número de cartas extraídas en cada ocasión se puede reducir la cantidad de posibles combinaciones entre las mismas.El uso de programas ofimáticos como Excel de Microsoft simplifica las cosas y acelera el cálculo de los resultados de operaciones que en otras épocas demandaban mucho tiempo, y por eso es conveniente que todo jugador profesional tenga conocimiento de la manera de emplear estas herramientas a su favor.

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CONCLUSIONES

Después de haber desarrollado este trabajo de investigación, podemos llegar a las siguientes conclusiones:Primero: el uso de técnicas de conteo se ha ido desarrollando desde el inicio de las primeras civilizaciones y ha ido mejorando con el avance de las matemáticas.Segundo: los ingenieros aplican técnicas de conteo para hallar una solución a un problema especifico como la cantidad de material necesario para poder construir una vivienda partiendo de las dimensiones del terreno, la cantidad de pisos y los materiales que se van a utilizar.Tercero: las técnicas de conteo son muy importantes porque nos facilitan el desarrollo de un problema y sus posibles soluciones.

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ANEXOSGrafico 1

Grafico 2

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Grafico 3

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BIBLIOGRAFIA

ttp://books.google.com.mx/books?id=qEeK5IZR6IsC&lpg=PA492&ots=QD9C5I9qMP&dq=Regla%20general%20del%20conteo&hl=es&pg=PA492#v=onepage&q=Regla%20general%20del%20conteo&f=false

http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/tecnicas-de-conteo.html

http://www.mitecnologico.com/Main/CombinacionesYPermutaciones

http://tutormatematicas.com/ALG/Probabilidad_combinaciones_permutaciones.html

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http://matematica.50webs.com/conteo.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

http://matematica.50webs.com/ejercicios-de-conteo.html

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