1.2 VIGA RECTANGULAR DOBLEMENTE ARMADA En ocasiones una sección simplemente armada puede ser insuficiente para resistir un determinado momento flexionante y por razones de espacio o arquitectónicas no es posible modificar la sección transversal, y no es posible o no se desea aumentar la calidad del concreto. En este caso se suele recurrir al uso del refuerzo en la zona de compresión para incrementar de esta manera la capacidad resistente de la viga. Al aumentar la cantidad de acero en tensión puede hacer que la viga sea sobrerreforzada, sin embargo el acero que se le proporciona en la zona de compresión ayuda a que la viga tenga un comportamiento dúctil. En la figura 3 se muestra un esquema general de una viga doblemente armada. 

 Figura 3 Viga rectangular doblemente armada

 La viga doblemente armada se considera que se separa en dos vigas, una consiste en la viga simplemente armada con un porcentaje de refuerzo máximo y una viga complementaria que consiste en acero en tensión y acero en compresión, que resistirán la parte del momento flexionante último que no resiste la viga simplemente armada, como se muestra en la figura 4. 

 

 Figura 4 Separación de una viga doblemente armada

 Se presentará el procedimiento para diseñar vigas doblemente armadas, tratando que se presente fluencia tanto en el acero de compresión como en el acero de tensión, aunque se podrá presentar el caso de que no fluya alguno de ellos o ninguno. 1.2.1 CÁLCULO DEL REFUERZO Primero se diseña la viga simplemente armada utilizando la cuantía de acero máxima. Se verificará cuál es su momento resistente máximo, debiendo ser menor que el momento último para poder diseñarla como viga doblemente armada. 

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 si la estructura no debe resistir sismos 

  (16)

 si la estructura debe resistir sismos

 

  (17)

 

  (18)

 donde:As1 : acero en tensión de la viga simplemente armada con pmax               Como el momento último debe ser resistido por la viga simplemente armada y la viga complementaria, por diferencia de momentos se puede conocer el momento que deberá resistir la viga complementaria: 

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  (20)

 

  (21)

 donde:Mu : momento que debe resistir la viga doblemente armada.Mu1 : momento resistente de la viga 1 de la figura 4.bMu2 : momento que debe resistir la viga 2 de la figura 4.c Conocido el momento que deberá resistir la viga complementaria Mu2, se puede conocer la fuerza de compresión que tendrá el acero dividiendo dicho momento entre el brazo de palanca, que es la distancia entre los centroides del acero de compresión y el acero de tensión, como se muestra en la figura 4.c. 

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 donde:Cs : fuerza de compresión en el acerod’   : recubrimiento del acero en la zona de compresión. 

Dividiendo esta fuerza entre el esfuerzo que tendrá el acero se obtendrá el área de acero que se deberá suministrar para obtener la fuerza Cs. Como pretendemos que el acero de compresión fluya, el esfuerzo que se debe de utilizar es el de fluencia fy. 

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 donde:A’s  : acero a compresión. Siendo esta el área de acero en compresión que se deberá suministrar a la viga. El área de acero en tensión será la suma del área de acero de la viga simplemente armada agregándole acero en la misma cantidad que el calculado para el acero en compresión, esto es: 

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 Ya calculada el área de acero, sólo se debe revisar la manera del acomodo de las barras, dividiendo el área total de acero entre el área de la barra a utilizar se obtiene el número de barras que se utilizarán. Se debe tener cuidado de que las barras quepan de manera que permitan que el concreto pase entre ellas y no se tenga problemas con el acomodo del mismo. En caso de que no quepan las barras en el ancho de la viga, se podrán colocar en varios lechos, o bien colocarlas en paquetes. Si las barras se colocan en varios lechos es recomendable revisar que el momento resistente sea igual o mayor que el momento último, ya que el acero se calcula suponiendo que se colocará en un solo nivel, al colocarlo en varios se disminuye el peralte efectivo, ya que ahora se encuentra en el centroide de todo el acero, no en el centro de las barras inferiores, como se muestra en la figura 5. En seguida se presenta la manera de revisar el momento de la viga.

 Figura 5. variación del peralte efectivo

 1.2.2. MOMENTO RESISTENTE Los pasos a seguir para determinar la resistencia a flexión en forma general son los mismos que para una viga simplemente armada, con la diferencia de que la fuerza total de compresión es la suma de la fuerza de compresión en el concreto Cc y la fuerza de compresión en el acero Cs. Para determinar la fuerza de compresión en el acero es necesario calcular la deformación al nivel del acero de compresión ’s, y obtener a partir de dicha deformación el esfuerzo en el acero f’s. Este esfuerzo puede ser menor o igual al de fluencia. Se debe establecer un estado de deformaciones tal que la sección se encuentre en equilibrio, o sea que la suma de fuerzas de compresión que actúan en una sección transversal, sea igual a la suma de las fuerzas de tensión. Una vez establecido dicho estado de equilibrio se calcula el momento de todas las fuerzas internas respecto a un eje cualquiera. Este momento es la resistencia a flexión de la sección. 

Se considera que una viga doblemente armada equivale a tener una viga simplemente armada aumentándole una viga complementaria, consistente en acero en compresión y tensión para obtener un par momento que aumente la resistencia de la viga sin necesidad de modificar su sección. Primeramente se debe revisar si fluye o no el acero de compresión, esto lo obtenemos con el porcentaje máximo de refuerzo p-p’, con la siguiente expresión:

   (25)

 donde: porcentaje de acero a tensión

   (26)

 porcentaje de acero a compresión 

   (27)

 Si se cumple esta condición, el acero a compresión está fluyendo, por lo que se resuelve el problema con las ecuaciones del inciso 1.2.2.1, si no se cumple se resuelve según el inciso 1.2.2.2. 

1.2.2.1 Cálculo del Momento Resistente Cuando el Acero de Compresión está Fluyendo Se pueden presentar dos condiciones: que el acero de tensión fluya o que no fluya. Se tiene que revisar en cuál de las dos condiciones se encuentra nuestro problema: a. Con fluencia en el acero de tensión Se inicia calculando la posición del eje neutro, suponiendo que el acero en compresión y tensión están fluyendo, con la siguiente expresión: 

  (28)

Aunque ya se revisó el porcentaje de refuerzo balanceado se debe revisar que el acero de compresión esté fluyendo, esto se hace calculando la deformación unitaria del acero en compresión: 

  (29)

 donde:ε’

s : deformación unitaria del acero a compresión. Si el valor obtenido con esta expresión es menor que 0.0021 el acero de compresión no fluye, por lo que se calculará el momento resistente con las expresiones del inciso 1.2.2.2. En caso de que el valor sea mayor o igual que 0.0021 se continúa con la revisión de la fluencia del acero en tensión con la siguiente expresión: 

  (30)

 donde:εs : deformación unitaria del acero a tensión. Si el valor de la deformación unitaria del acero en tensión s es menor que 0.0021 se calcula el momento resistente con las expresiones del inciso 1.2.2.1.b.               Ya conocidas las deformaciones unitarias del acero, y habiendo revisado que tanto el acero de tensión como el de compresión fluyen, el momento resistente se calcula con la siguiente expresión:

 

  (31)

 

  (32)

 donde:a   : profundidad del bloque equivalente de esfuerzosMR : momento resistente de la viga. b. Sin fluencia en el acero de tensión Calculamos la profundidad del eje neutro, suponiendo que al acero de compresión fluye y el de tensión no fluye, con la siguiente expresión: 

  (33)

 A continuación se revisa que el acero en compresión realmente fluya y se calcula la deformación unitaria del acero de tensión con las siguientes expresiones: Para el acero a compresión: 

  (34)

 Si no se cumple esta condición, se procede con las ecuaciones del inciso 1.2.2.2. Para el acero a tensión: 

  (35)

 Si no se cumple la condición anterior, nos remitimos al inciso 1.2.2.1.a.               Ya conocidas las deformaciones unitarias del acero, y habiendo revisado que el acero de tensión no fluye y el de compresión sí, el momento resistente se calcula con la siguiente expresión: 

  (36)

 

1.2.2.2 Cálculo del Momento Resistente Cuando el Acero de Compresión no está Fluyendo Al igual que en el inciso 1.2.2.1 se pueden presentar dos condiciones: que fluya el acero de tensión o que no. a. Con fluencia del acero de tensión Calculamos la posición del eje neutro, suponiendo que el acero de compresión no fluye y el de tensión sí, con la siguiente expresión: 

  (37)

 Se deberá revisar la fluencia del acero en tensión, y que no fluya el acero en compresión: Para el acero a compresión: 

  (38)

 En caso de no cumplirse esta condición, se deberá revisar conforme inciso 1.2.2.1. Para el acero a tensión: 

  (39)

               En caso de que no se cumpla con la anterior expresión, se utilizan las ecuaciones del inciso 1.2.2.2.b. El momento resistente se calcula con la siguiente expresión: 

  (40)

 

  (41)

 b. Sin fluencia en el acero de tensión Se calcula la posición del eje neutro, suponiendo que no fluye ni el acero de tensión ni el de compresión, con la siguiente expresión: 

  (42)

 Obtenida la posición del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias y se revisa que se cumplan las condiciones de fluencia: Para el acero a tensión:

   (43)

 En caso de no cumplirse esta condición se deberá seguir lo indicado en el inciso 1.2.2.1. Para el acero a compresión:

 

  (44)

               Cuando no se cumpla este valor máximo deberá seguirse el inciso 1.2.2.2.a. El valor del momento resistente se calcula, ya conocidas las deformaciones unitarias, con la siguiente expresión: 

  (45)

 

  (46)