Cmo funciona un quincunceUn quincunce o "tablero de Galton" (llamado as en honor de Sir Francis Galton) es una distribucin triangular de clavos. Se dejan caer bolas sobre el clavo de arriba y van rebotando hasta abajo, donde caen en pequeos contenedores.Cada vez que una bola cae sobre un clavo, rebota a la izquierda o a la derecha.

Pero esto es lo interesante: si siempre hay la misma probabilidad de ir a derecha o izquierda, las bolas que caen en los contenedores forman la famosa curva "de campana" de la distribucin normal.

(Si las probabilidades no son iguales, de todas maneras sale una versin "torcida" de la distribucin normal.)

FrmulaPodemos calcular las probabilidades!Piensa: una bola cae en el contenedor que est a distancia k del borde derecho si ha ido a la izquierda k veces.

En este ejemplo la bola ha ido dos veces a la izquierda y todas las dems a la derecha. Acab a distancia dos del borde derecho.

En general, si el quincunce tiene n filas, cada bola puede rebotar k veces a la izquierda y (n-k) veces a la derecha.

Y si la probabilidad de rebotar a la izquierda es p entonces la probabilidad de un cierto camino se calcula as:

La bola rebota k veces a la izquierda con probabilidad p: pk

Y los otros (n-k) rebotes tienen probabilidad: (1-p)(n-k)

As que la probabilidad de seguir un camino as es pk(1-p)(n-k)

Pero hay muchos caminos as! Por ejemplo ir a la izquierda podra pasar en los dos primeros rebotes, o primero y tercero, o segundo y sptimo, etc. Podras hacer una lista y contar (IIDDD.., IDIDD..., IDDDI...), pero hay dos maneras ms fciles.Cuntos caminosPuedes leer sobre el tringulo de Pascal. De hecho, el quincunce es como el tringulo de Pascal, con clavos en lugar de nmeros. El nmero en cada clavo te dice cuntos caminos diferentes llegan a ese clavo. Increble pero cierto.O puedes usar esta frmula para combinaciones: Se suele decir "n sobre k" y escribir C(n,k).

Es el clculo del nmero de maneras de distribuir k cosas en una sucesin de n.

(El "!" significa "factorial", por ejemplo 4! = 1234 = 24)

Si lo juntamos todo, la frmula que sale es:

(Por cierto, esta es la frmula de la distribucin binomial.)Ejemplo: Si hay 10 filas (n=10) y la probabilidad de ir a la izquierda es 0.5 (p=0.5), podemos calcular la probabilidad de caer en el tercer contenedor por la derecha (k=3) as:

tambin:

(Esto quiere decir que hay 120 caminos diferentes que acabancon la bola en el tercer contenedor por la derecha.)As que tenemos:

De hecho, podemos hacer una tabla completa para filas=10 y probabilidad=0.5 as:Desde la derecha:109876543210

Probabilidad:0.0010.0100.0440.1170.2050.2460.2050.1170.0440.0100.001

Ejemplo: 100 bolas0141221242112410

Claro, este juego tiene azar as que los resultados reales no coinciden con esta situacin ideal.Otro ejemplo:Si la probabilidad fuera 0.8 la tabla quedara as:Desde la derecha109876543210

Probabilidad0.1070.2680.3020.2010.0880.0260.0060.0010.0000.0000.000

Ejemplo: 100 bolas112630209310000

Prueba t mismoDeja caer 100 (o ms) bolas en el quincunce y a ver qu resultados salen. Yo lo he hecho muchas veces mientras escriba los programas. Nunca sali el resultado perfecto, pero siempre salan resultados sorprendentemente cerca. Buena suerte!