Comparación de modelos de regresión lineal de frutos y ...entre un 1 y 10% en todas las variedades...

X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012

Comparación de modelos de regresión lineal de frutos y yemas florales

de arándano alto cultivados en Chile considerando la

heterocedasticidad*

Sonia Salvo1, Julio Ávila

2, Carlos Muñoz

3

1 Universidad de La Frontera, Chile. [email protected]



Resumen

La logística de la producción de arándanos requiere contar con predicciones realizadas con

meses de anticipación del rendimiento potencial que se obtendrá en la cosecha. Una forma de

estimar este rendimiento es prediciendo la cantidad de frutos a cosechar, dependiendo de la

cantidad de yemas florales disponibles. Esta relación es altamente lineal, sin embargo a

medida que la cantidad de yemas aumenta el error de predicción en los frutos también

aumenta. Este efecto se conoce como heterocedasticidad y afecta la predicción. Para controlar

este efecto, fueron comparados tres modelos: de varianza contante, varianza no constante y

transformación de variables con varianza constante. El modelo de variables transformadas se

ajusta bien a los datos, pero no cumple los supuestos teóricos del error. Otro aspecto relevante

es que el modelo de varianza no constante disminuye la varianza residual en orden del 90% y

cumple todos los supuestos teóricos del error.

Palabras clave: Arándano, Vaccinium Corymbosum L., yema floral, frutos,

heterocedasticidad, modelo de varianza.

1 Introducción

Durante el 2011 fueron exportadas alrededor de 73 mil toneladas de frutos a los mercados

Norteamericano y Europeo (ODEPA, 2012). Para manejar adecuadamente la logística en este

nivel de producción se requiere contar predicciones realizadas con meses de anticipación del

* Trabajo sometido a la revista Scientia Horticulturae en agosto 2012.

Presentación en X CLATSE formato poster.


rendimiento potencial que se obtendrá en la cosecha. Tradicionalmente, el rendimiento del

arándano es estimado a partir del conteo de yemas florales (en adelante yemas) realizado

después de la poda. La relación entre frutos y yemas es altamente lineal (r entre 0.97 y 0.78) y

su ajuste es mejorado cuando se considera la variedad y/o la variedad-edad de la planta (Salvo

et al., 2011). Al incorporar otras variables en la estimación de frutos, el ajuste de los modelos

mejora, pero la cantidad de yemas sigue siendo la variable con mayor poder explicativo

(Salvo et al., 2012). Uno de los hallazgos al modelar la relación de frutos y yemas fue que a

medida que la cantidad de yemas aumenta el error de predicción también aumenta. Esto indica

la que la varianza en el error de predicción no es constante, atributo que se denomina

heterocedasticidad. Una heterocedasticidad alta afecta negativamente a las predicciones dado

que normalmente para realizarlas se usan métodos lineales de estimación de parámetros que

asumen el supuesto de que la varianza del error es constante.

Una vía para controlar la heterocedasticidad es el uso de transformaciones logarítmicas. Este

enfoque ha sido utilizado en modelos de predicción de biomasa y materia seca en bosques

sub-tropicales (Brandeis et al., 2006) y en determinar el efecto de curculiónidos sobre el

crecimiento y rendimiento de la frambuesa (Clark et al., 2012).

Otra forma de obtener un resultado similar es modificando el supuesto de varianza constante

del error, para lo cual se asume que Var(ε)=σ2V, siendo V matriz de varianza-covarianza (VC)

definida positiva. (Seber and Lee, 2003).Con la parametrización de la matriz de VC es posible

determinar las componentes de varianza de factores aleatorios planteados en el Modelos

Mixtos Generalizados. Aplicaciones de este enfoque fueron publicados en ecología (Batáry et

al., 2012), crecimiento y altura del eucalipto (Calegario et al., 2005), la calidad de la madera

(Kantavichai et al., 2010), descomposición del mango (De Ketelaere et al., 2006) and modelos

de biomasa del maíz (Paulo and Tomé, 2010).

En modelos de regresión la parametrización de la matriz VC es modelada utilizando funciones

de varianza para estimar la varianza del error. La función más empleada es 2 2y y la

estimación de los parámetros es realizado con método de mínimos cuadrados generalizados.

Este enfoque ha sido utilizado para modelar el crecimiento de la pícea roja (Picea Rubens

Sarg.), el abeto balsámico (Abies balsamea L. Mill.)(Fortin et al., 2007), el pino radiata

(Pinus radiata D. Don) (Castedo Dorado et al., 2006) y el abeto de Douglas (Weiskittel et al.,

2007). En estos modelos la función de varianza mejora las predicciones.


El objetivo de este trabajo es ajustar modelos de regresión lineal para predecir la cantidad de

frutos por planta basado en la cantidad de yemas florales con varianza constante,

incorporando una función de varianza y variables transformadas.

2 Metodología

2.1 Sitio de estudio

Fueron visitados 14 huertos comerciales convencionales de arandano localizados entre la

región Metropolitana y La Araucanía (Cubriendo un área geográfica de alrededor de 700 por

100 Km). El clima de la región metropolitana es templado cálido con lluvias invernales y la

región de La Araucanía es templado lluvioso con influencia mediterránea.

Cinco cultivares son los apropiados al clima de la región. El marco de plantación usado en los

huertos varía entre 0.6 y 3m para dos sucesivas filas y entre 0.5 y 1.1m para dos sucesivas

plantas. La recolección de frutos comienza en el norte el mes de noviembre y termina en el

sur en el mes de febrero del año siguiente.

2.2 Plantas seleccionadas

El número de palntas seleccionadas fue elegido por un muestreo aleatorio estratificado

proporcional, el cual los estratos considerados fueron el número de plantas por huerto y

proporcional a la variedad de las plantas. El muestro consideró un nivel de confianza del 95%,

error de muestreo 5% y máxima varianza de 0.25. Las plantas fueron observadas durante las

temporadas 2009 a 2011. La edad de las plantas varía entre 3 a 9 años. Un total de 912 plantas

fueron visitadas cada temporada durante este estudio. La distribución de la plantas por

variedad es presentada en la Tabla 1.

2.3 Datos

Conteos sucesivos del número de yemas florales y frutos por planta fueron realizados durante

las temporadas 2009 a 2011. Los conteos de yemas y frutos comienzan respectivamente

después de la poda y durante el estado fenológico de fruto cuajado. Con el objetivo de

controlar posibles errores de conteo, tres personas fueron entrenadas para realizar el conteo.

El conteo de frutos fue realizado examinando toda la planta como siguiere Salvo et al.(2011),

con el objetivo de reducir la sensibilidad de los parámetros usados en modelos de regresión.

Los estadísticos del conteo de yemas y frutos por variedad son presentados en la Tabla 1.


Tabla 1. Principales estadísticos de los conteos de frutos y yemas por planta para cada variedad. Los

conteos fueron realizados entre las temporadas 2009 a 2011.

Fruto Yema

Variedad n Media DS CV Media DS CV

Todas las variedades 912 1597 1134 0.71 317 254 0.80

Bluecrop 128 1474 1004 0.68 231 173 0.75

Briguitta 187 2154 1276 0.59 512 348 0.68

Duke 193 1671 1052 0.63 320 218 0.68

Elliott 231 1806 1068 0.59 281 170 0.60

O’Neal 173 781 562 0.72 194 135 0.70

DS: Desviación Estándar, CV: Coeficiente de Variación

2.4 Modelo de frutos

Para estimar la cantidad de frutos a partir de la cantidad de yemas por planta fue utilizado un

modelo regresión lineal simple según la ecuación 1.

yi = β0 + β1xi + εi (1)

Donde yi es la cantidad de frutos de la planta i, β0 es el intercepto del modelo, β1 es el

parámetro de frutos por yema floral, xi es la cantidad de yemas de la planta i y εi es el error

aleatorio.

Generalmente el error aleatorio se distribuye normal con media cero y varianza constante σ2 y

los parámetros estimados por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, para

tomar en cuenta la heterocedasticidad es necesario considerar una función de varianza que

involucre los valores predichos u otras variables explicativas (Fortin et al., 2007). La

estimación de los parámetros de esta función de varianza puede ser vista como una regresión

ponderada, cuya ponderación es parametrizada en lugar de ser fijada arbitrariamente. Un

ejemplo de esta función está basado en la potencia del valor predicho, según indica la

ecuación 2.

2 2

i iVar y (2)

Donde σ2 es la varianza residual, iy es el valor predicho de frutos para la planta i y θ es un

parámetro a ser estimado utilizando el método de mínimos cuadrados generalizados (Pinheiro

et al., 2011). Esto significa que el error aleatorio sigue distribuyéndose normal con media

cero, pero con varianza no constante 2 2

iy .


Otra forma de controlar la varianza es mediante transformación de variables. El modelo de

variables transformadas se define según la ecuación 3.

ln(yi)= β0 + β1ln(xi)+ εi (3)

Tres modelos fueron ajustados: varianza constante (Eq. 1), varianza no constante (Eq. 1, 2) y

transformación de variables (Eq. 3). Para determinar el modelo con mejor ajuste fueron

comparados los estadísticos Akaike Information Criterion (AIC), Bayesian Information

Criterion (BIC) y Log-likelihood. Para verificar la significancia del parámetro θ fue realizado

la prueba de razón de verosimilitud (LRT). Estos criterios fueron utilizados por Fortin et

al.(2007).

Con los conteos de la temporada 2009 y 2010 fueron estimados los parámetros de los modelos

propuestos para todas las observaciones y por variedad. La validación del mejor modelo

estimado fue realizada con los conteos de la temporada 2011.

Con el objetivo de comparar las predicciones fue utilizado un coeficiente de determinación

ponderado, definido en forma similar al coeficiente de determinación R2 y conservando sus

propiedades (Chambers, 1992). La diferencia es que en el coeficiente utilizado la ponderación

estimada es igual a la inversa de la función de varianza, Eq.4.

2

2 2

1

2 2

1

1 1

1

ˆ( )

( )

n

i

i

n

i

i

n n

i i i

i i

SSER

SST

SSE w y y

SST w y y

y y w w

(4)

Donde SSE es la suma de cuadrados del error, SST es la suma total de cuadrados, wi es la

ponderación de la planta i y y es el promedio ponderado de frutos.

La estimación de los modelos y gráficos fueron obtenidos con el software estadístico R (R

Development Core Team, 2011).


3 Resultados y discusión

3.1 Modelos ajustados

La Tabla 2 muestra los estadísticos para los modelos de varianza constante y no constante.

Los valores de AIC, BIC y Log-likelihood del modelo de varianza no constante disminuyen

entre un 1 y 10% en todas las variedades respecto del modelo de varianza constante (Tabla 2).

El LRT fue significativo en todos los casos, lo que indica que la incorporación del parámetro

θ mejora los modelos. Además, modelando la varianza se disminuye el indicador log-

likelihood en todos los casos, lo que implica que se obtiene un mejor ajuste a los datos.

Tabla 2. Resumen del ajuste de los modelos por variedad.

Variedad Modelo de varianza AIC BIC Log-likelihood LRTa

Todas las

variedades

Constant 9851 9864 -4922 690***

Non-constant 9163 9181 -4578

Bluecrop Constant 1315 1323 -655

83*** Non-constant 1234 1244 -613

Brigitta Constant 2044 2053 -1019

29*** Non-constant 2017 2028 -1004

Duke Constant 1941 1950 -968

92*** Non-constant 1851 1862 -921

Elliott Constant 2407 2416 -1200

71*** Non-constant 2337 2349 -1165

O’Neal Constant 1451 1459 -722

138** Non-constant 1314 1325 -653

a LRT: Likelihood ratio test.*** p-valor< 0.001

La Tabla 3 muestra los estadísticos para los modelos de variables transformadas. Los valores

de AIC, BIC y Log-likelihood disminuyeron significativamente cuando los modelos son

ajustados por variedad respecto al ajuste para todas las variedades, lo que coincide a lo

observado con los otros dos modelos (Tabla 2). Es necesario notar que este modelo no es

comparable con los modelos de la Tabla 2 porque no comparten la misma variable respuesta

(Eq. 3).

Tabla 3. Estadísticos del modelo de variables transformadas.

Variedad AIC BIC Log-likelihood

Todas las variedades 482 495 -238

Bluecrop 85 92 -39

Brigitta 143 152 -69

Duke 26 34 -10

Elliott 257 266 -125

O’Neal -83 -75 45


La Figura 1 muestra la comparación de los modelos ajustados con bandas de confianza a 1

veces la raíz de la varianza del error estimada, que depende de cada modelo ajustado. Los

modelos de varianza constante sobreestiman la cantidad de frutos en plantas con pequeñas

cantidades de yemas (<250). Los modelos de varianza no constante y de variables

transformadas se ajustan mejor a las observaciones, la mayoría de ellas están dentro de las

bandas de confianza. Las bandas de confianza crecen más rápidamente en el modelo de

variables transformadas que el de varianza no constante. Pareciera ser que los dos primeros

modelos son adecuados para este tipo de variables, a pesar que el modelo de variables

transformadas mantiene el supuesto varianza constante.

Figura 1. Comparación de los modelos ajustados sobre los conteos de frutos y yemas de la temporada 2011

(Banda de confianza de ±1 veces la raíz cuadrada de la varianza del error estimada).

En la Figura 2 se muestran los residuos normalizados de los modelos ajustados con varianza

no constante (a) y transformación de variables (b). Los residuos del modelo de varianza no

constante no presentan el efecto embudo reportado por Salvo et al. (2011) y verifican los

supuestos de homogeneidad de varianza para todas las variedades a excepción del modelo con

todas las variedades. Esto indica que es más adecuado ajustar modelos por variedad, tal como

lo reportado por Salvo et al. (2011). En los modelos con variables transformadas no se

observa el efecto embudo, pero el supuesto de homogeneidad de varianza sólo fue validado en

la variedad ‘O’Neal’.


El supuesto de normalidad de los errores fue comprobado en todos los modelos con varianza

no constante, mientras que en los modelos con variables transformadas sólo las variedades

‘Brigitta’, ‘Duke’ y ‘O’Neal’ cumplen este supuesto.

Tanto los modelos de varianza no constante como el de variables transformadas se ajustaron

mejor a los datos. Sin embargo, solo el modelo de varianza no constante cumple los supuestos

teóricos necesarios para realizar predicciones de frutos y por tanto obtener mejores

predicciones del rendimiento por planta.

(a) (b) Figura 2. Residuos normalizados de los modelos con varianza no constante por variedad (a) y

transformación de variables (b).

La Tabla 4 muestra los coeficientes estimados del modelo con varianza no constante (Eq. 2)

con todas las variedades y por variedad. Existen diferencias entre los parámetros estimados y

todos fueron significativos. Estos valores estimados de β1 son similares a los reportados por

Salvo et al. (2012), quien utilizó un modelo de varianza constante. Esto es consistente ya que

β1 representa la cantidad de frutos por yema para una determinada variedad y se espera que

estos valores sean similares por variedad, independiente del modelo ajustado por expresión

genética. Sin embargo, la varianza residual fue disminuida considerablemente respecto a los

reportados por Salvo et al. (2011, 2012 #55).

Estos hallazgos indican que el uso de modelos de varianza no constante son más adecuados

por la disminución significativa en la varianza residual, lo que impacta directamente en

predicciones más confiables.


Tabla 4. Parámetros estimados para el modelo con varianza no constante.

Variedad 0 1

Todas las variedades -2.82±6.14 5.50±0.09*** 1.0626 0.2052

Bluecrop -32.23±29.51 7.49±0.35*** 1.0279 0.2311

Brigitta 246.23±78.29*** 3.86±0.21*** 0.7624 2.4564

Duke 121.73±42.98*** 4.95±0.22*** 1.1352 0.0871

Elliott 3.26±32.15 6.34±0.21*** 0.7843 1.5423

O’Neal 9.56±3.74** 4.20±0.08*** 1.146 0.0614

*** p-valor< 0.001, ** p-valor<0.05

En la Figura 3 se muestran los gráficos de dispersión por variedad utilizando los conteos de

validación, temporada 2011, y los valores predichos de los frutos obtenidos con los

parámetros estimados de la Tabla 4. Las bandas de confianza mostradas están a ±1 y ±2

veces la raíz cuadrada de la función de varianza estimada. Los modelos ajustados lograron

explicar la varianza de los conteos de validación, estando la mayoría dentro de las bandas de

confianza. Cuando los conteos de validación están fuera de las bandas se consideran plantas

atípicas, o bien porque presentan una alta o baja productividad de frutos dependiendo si están

por sobre o bajo estas bandas.

Figura 3. Conteos de validación de la temporada 2011 y modelos ajustados (-) por variedad a ±2 y ±1 veces

la raíz cuadrada de la función de varianza estimada (--).

La Figura 4 muestra las ponderaciones según la cantidad de frutos predichos por variedad. Las

ponderaciones son menores cuando las plantas tienen mayor cantidad de frutos y viceversa.

Esta ponderación busca equilibrar la suma de cuadrados residual para que los residuos de

plantas pequeñas y grandes sean comparables. Por ejemplo, una planta con gran cantidad de


frutos (o de yemas) está sujeta a una gran variabilidad alrededor del valor predicho

provocando que la incertidumbre acerca de su producción también sea alta. Esta idea lleva a

plantear la importancia de la poda para reducir la cantidad de yemas con el fin de favorecer el

rendimiento (Strik et al., 2003) y el peso de los frutos (Suzuki et al., 1998).

Figura 4. Ponderaciones de las observaciones según el valor predicho.

4 Conclusions

El modelo de varianza constante sobreestima la variabilidad para plantas pequeñas y

subestima para plantas grandes. De los tres modelos analizados para estimar frutos a partir de

conteos de yemas, sólo el modelo de varianza no constante cumple con los supuestos teóricos

sobre los errores y obtiene los mejores resultados. La varianza no constante del modelo fue

estimada utilizando una función de varianza dada por 2 2

iy . La ponderación considerada en

modelos con varianza no constante equilibra la suma de cuadrados residual con el fin de que

éstos sean comparables entre plantas pequeñas y grandes. Con esta consideración el ajuste del

modelo contiene una mayor cantidad de observaciones dentro de las bandas de confianza,

siendo más representativa. Con modelos de varianza no constante los productores de arándano

obtienen predicciones de frutos más precisas lo que implica una reducción en la incertidumbre

para planificar la logística de cosecha con meses de antelación.


Agradecimientos

Esta investigación fue financiada por el proyecto INNOVA 07CN13PAT-213 “Formulación

de un Modelo Predictivo de Producción de Arándanos”.

Referencias

Batáry, P., Holzschuh, A., Orci, K.M., Samu, F., Tscharntke, T., 2012. Responses of plant,

insect and spider biodiversity to local and landscape scale management intensity in cereal

crops and grasslands. Agric. Ecosyst. Environ. 146 (1), 130-136.

Brandeis, T.J., Delaney, M., Parresol, B.R., Royer, L., 2006. Development of equations for

predicting Puerto Rican subtropical dry forest biomass and volume. For. Ecol. Manage. 233

(1), 133-142.

Calegario, N., Daniels, R.F., Maestri, R., Neiva, R., 2005. Modeling dominant height growth

based on nonlinear mixed-effects model: a clonal Eucalyptus plantation case study. For. Ecol.

Manage. 204 (1), 11-21.

Castedo Dorado, F., Diéguez-Aranda, U., Barrio Anta, M., Sánchez Rodríguez, M., von

Gadow, K., 2006. A generalized height–diameter model including random components for

radiata pine plantations in northwestern Spain. For. Ecol. Manage. 229 (1–3), 202-213.

Clark, K.E., Hartley, S.E., Brennan, R.M., Jennings, S.N., McMenemy, L.S., McNicol, J.W.,

Mitchell, C., Johnson, S.N., 2012. Effects of cultivar and egg density on a colonizing vine

weevil (Otiorhynchus sulcatus) population and its impacts on red raspberry growth and yield.

Crop Protection 32 (0), 76-82.

Chambers, J.M., 1992. Linear models, In: Chambers, J.M., Hastie, T.J. (Eds.), Statistical

Models in S. Wadsworth & Brooks/Cole.

De Ketelaere, B., Stulens, J., Lammertyn, J., Cuong, N.V., De Baerdemaeker, J., 2006. A

methodological approach for the identification and quantification of sources of biological

variance in postharvest research. Postharvest Biology and Technology 39 (1), 1-9.


Fortin, M., Daigle, G., Ung, C.-H., Bégin, J., Archambault, L., 2007. A variance-covariance

structure to take into account repeated measurements and heteroscedasticity in growth

modeling. Eur. J. For. Res. 126 (4), 573-585.

Kantavichai, R., Briggs, D., Turnblom, E., 2010. Modeling effects of soil, climate, and

silviculture on growth ring specific gravity of Douglas-fir on a drought-prone site in Western

Washington. For. Ecol. Manage. 259 (6), 1085-1092.

ODEPA, 2012. Boletín frutícola. Avance enero a diciembre de 2011. Oficina de Estudios y

Políticas Agrarias.

Paulo, J.A., Tomé, M., 2010. Predicting mature cork biomass with t years of growth from one

measurement taken at any other age. For. Ecol. Manage. 259 (10), 1993-2005.

Pinheiro, J., Bates, D., DebRoy, S., Sarkar, D., Team, R.D.C., 2011. nlme: Linear and

Nonlinear Mixed Effects Models. R package version 3.1-101.

R Development Core Team, 2011. R: A Language and Environment for Statistical

Computing.

Salvo, S., Muñoz, C., Ávila, J., Bustos, J., Cariaga, E., Silva, C., Vivallo, G., 2011. Sensitivity

in the estimation of parameters fitted by simple linear regression models in the ratio of

blueberry buds to fruits in Chile using percentage counting. Sci. Hortic. 130 (2), 404-409.

Salvo, S., Muñoz, C., Ávila, J., Bustos, J., Ramírez-Valdivia, M., Silva, C., Vivallo, G., 2012.

An estimate of potential blueberry yield using regression models that relate the number of

fruits to the number of flower buds and to climatic variables. Sci. Hortic. 133, 56-63.

Seber, G., Lee, A., 2003. Linear regression analysis, Second edition ed. John Wiley & Sons,

Inc., Hoboken, New Jersey.

Strik, B., Buller, G., Hellman, E., 2003. Pruning Severity Affects Yield, Berry Weight, and

Hand Harvest Efficiency of Highbush Blueberry. Hortscience 38 (2), 196-199.


Suzuki, A., Shimizu, T., Aoba, K., 1998. Effects of leaf/fruit ratio and pollen density on

highbush blueberry fruit quality and maturation. Journal of the Japanese Society for

Horticultural Science 67 (5), 739-743.

Weiskittel, A.R., Garber, S.M., Johnson, G.P., Maguire, D.A., Monserud, R.A., 2007.

Annualized diameter and height growth equations for Pacific Northwest plantation-grown

Douglas-fir, western hemlock, and red alder. For. Ecol. Manage. 250 (3), 266-278.

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